§1.2一元二次方程的解法⑴——直接开方法班级________姓名____________一.学习目标：1．由平方根的定义探寻直接开方法；2．掌握形如：ax2＝b；a(x－m)2＝b；a(x－m)2＝b(x－n)2的解题方法．二．学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程．学习难点：体会整体思想在解题中的作用．三．教学过程Ⅰ．知识准备①4的平方根是；81的平方根是；100的算术平方根是．②若x2＝a，则叫的平方根；记作x＝．③x2＝14，则x＝．若分式x2－92x－6的值为零，则x的值为．Ⅱ．活动探究【复习】回忆数的开方一章中的知识，请大家生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2＝225；2．x2－169＝0；3．36x2＝49；4．4x2－25＝0．【新知探究】我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？阅读：解方程x2－4＝0．解：移项，得x2＝4．∴x＝±4＝±2即x1＝2，x2＝−2．我们把这种解一元二次方程的方法叫做“直接开平方法”．思考：比较用直接开平方法解方程和求一个非负数的平方根的差异。
例1：解下列一元二次方程．⑴x2＝196；⑵9x2＝16；⑶4x2－3＝0．例2：解下列一元二次方程．⑴(x− 2)2＝5；⑵(x－1)2－18＝0；⑶3(x＋2)2＝27；⑷12(2－x)2－9＝0．【题后反思】你能否总结一下，能使用直接开平方法的一元二次方程的形式是怎样的？一般解题步骤又是怎样的？例3：用“直接开方法”解下列方程：⑴(3x－2)2＝(x＋1)2；⑵(x＋2)2－(2x＋3)2＝0．【思考】若将⑵中的两项加上系数又如何解呢？4(x＋2)2－9(2x + 3)2＝0【课内反馈】1．①方程x2＝9的根为；②方程4x2＝100的解为．2．①方程6x2－1＝23的解为；②方程(x＋1)2＝16的解为．3．关于x的方程x2＋k＝0有实数根的条件是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤04．解下列方程⑴2x2＝50；⑵12y2＝16；⑶(x－2)2＝6；⑷(2m－4)2－18＝0．。
一元二次方程解法【知识梳理】1. 对一元二次方程的概念及根的考察；2. 一元二次方程的求解；一元二次方程的解法一元二次方程的求解的最根本的思路是“降次”.（1）直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02（2）配方法：02=++c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ （3）求根公式法：条件()04,02≥-≠ac b a 且 aac b b x 242-±-= （4）因式分解法：()()021=--x x x x一元二次方程的求解直接开方法：由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=±p ，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解。
（注：两边同时开平方的时候记得不要忘记加上±号，两根相等时记得要写成x 1=x 2=…；而不是x= ） 例1：直接开方解方程：2x 2-8=0 3592=-x ()0962=-+x配方法：1)现将已知方程化为一般形式；2)化二次项系数为1；3)常数项移到右边；4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；5)变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±q ；如果q ＜0,方程无实根． 例1：配方法解方程0462=++x x 03422=-+x x 0142=++x x例2. 试说明：无论x 取何值，代数式542+-x x 的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式542+-x x 的值最小？最小值是多少？公式法（用公式法解一元二次方程是记得要先把方程化成一般式）要点：找出a,b,c 判断：ac b 42-=∆ 应用：aac b b x 242-±-= 例1、用公式法解下列方程（1）解方程x 2-2x-1=0 （2）解方程：-x 2+3x-2=0；变式：用公式法解下列方程（1）3x 2+2x-5=0 （2） x 222-x+1=0．不解方程说明方程根的情况（1） x 2+x-3=0 （2）x （x+8）=16．因式分解的方法：提公因式法、公式法和十字相乘法.1.乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+.2.十字相乘法：（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成:()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22. 题型一：因式分解【例1】（1））（）（3x 3x x +=+； （2） 016x 2=— （3）09a 1242=++a ；题型二：十字相乘法分解因式【例1】（1）232x x ++=0； （2）212x x --=0； （3）2215x x +-=0.题型三：解一元二次方程【例1】用适当的方法解下列方程：（1）2410x x ++=； （2）210x x +-=； （3）22310x x -+=.【变式练习1】解下列一元二次方程：（1）21304x x ++=； （2）2420x x -+=；（3）2200x x --=； （4）24920x x -+=.【作业布置】（时间：20分；总分：60）用合适的方法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）x 2+2x-3=0．（3）x 2+35=12x （4）（x-3）2+9（x-3）=0（5）220x x -=； （6）2430x x +-=；(7） 22)3(4)23(-=+x x (8) )2(5)2(3+=+x x x。
一元二次方程的解法（直接开平方法）教学目标（一）使学生会解x^2=m(m≥0)型方程，并知道这种解法的算法；（二）使学生理解换元的数学思想，并会解（x+a）^2=m（m≥0）型方程；（三）训练学生准确、迅速的计算能力.教学重点和难点重点：会解x^2=m(m≥0)、(x+a)^2=m(m≥0)型方程.难点：正确表示方程的两个根.教学过程设计（一）复习联系上一节课，提出新需求：上一节课，在开始时根据题意我们提出了两个解法，得到了两个一元二次方程：x^2+5x-150=0和x^2-5x-150=0同学们自然要问，这两个方程的形式（一次项系数）不同，结果会一样吗？实践是检验真理的标准，最有说服力的办法是把这两个方程的根解出来比较.于是，提出一个新的需求：怎样解一元二次方程？（二）新课从简单到复杂，逐步攻克难关.1.我们已经知道一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0（a≠0）.其中a，b，c的取值，a绝不可能为零（为什么？），至于b，c没有限制，b，c中有一个为零或两个都为零，仍属一元二次方程.可以用下面的表格把一元二次方程分类我们把ax^2=0(a≠0),ax^2+c=0(a≠0,c≠0)和ax^2+bx=0(a≠0,b≠0)都叫做不完全的一元二次方程.今天我们来解ax^2=0和ax^2+c=0两种类型.2.怎样解ax^2=0(a≠0)，算理是什么？例1解方程：3x^2=0.启发学生（1）先化成x^2=0（算理是：方程两边除以同一个部位零的数，所得的方程与原方程是同解方程）；（2）x^2=0,x=0的算理是什么？（平方根的定义）为了与一元一次方程x=0有区别，x^=0有两个实根，所以写成x1=0,x2=0.3.怎样解ax^2+c=0（a≠0,c≠0），算理是什么？例2解方程x^2-36=0.（启发学生说出解题过程）解：移项得 x^2=36开平方，得 x=±6（要求学生说出算法）所以 x1=6,x2=-6（这种解法叫直接开平方法）与学生一起检验6是不是原方程的根？特别要注意检验-6是不是原方程的根.提问学生，如果由x^2=36得到x=6，这个解正确吗？错误原因是什么？（错误原因是对平方根与算术平方根的概念不清. 一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0）4.巩固练习用直接开平方法解下列方程：（1）3x^2-75=0; (2)4x^2-9=0; (3)5y^2-10=0;(4)x^2+4=0.（答：（1）x1=5，x2=-5；（2）x1=3/2,x2=-3/2; (3)y=√2;y=-√2; (4)无解）5．运用换元法，更上一层楼例3解方程（x-2）^2-3=0.提问：如果（x-2）^2用乘法公式展开，原方程是怎么样？（答：x^2-4x+4=0），这是一个完全的一元二次方程我们暂时还不会解这类方程.怎么办？启发学生回答，并写出完整的板书，解方程（x-2）^2-3=0. 解：移项（x-2）^2=3x-2=±√3(算理是什么？)得x-2=√3或x-2=-√3所以x1=2+√3 ，x2=2-√3总结此例的解题思路：把一个代数式看作一个整体，以便适合数学公式，这种方法叫做“换元法”.这种方法我们在初二代数的因式分解中已经常运用.像（1）分解因式16（a-b）^2-9（a+b）^2，（2）分解因式1+(a^3b^3)/8,等等.换元法是中学数学里的一种重要的数学方法，请同学们重视它，掌握它.（三）课堂练习解下列方程：（1）（x-3）^2-25=0；（2）（2x+3）^2-4=0;(3)5-(x-6)^2=0(4)a(x-b)^2+c=0(a≠0).(答：(1)x1=8,x2=-2; (2)x1=-1/2,x2=-5/2; (3)x1=6+√5,x2=6-√5;(4)当a,c异号时，x1=b+√(-c/a),x2=b-√(-c/a);当a,c同号时，无实数解）（四）小结1.从简单到复杂，逐步攻克难关.在解完全的一元二次方程之前，先解（1）ax^2=0(a≠0);(2)ax^2+c=0(a≠0).2.对于ax^2+c=0(a≠0)形式的方程.（1）当a，c异号时有解；（2）当a，c同号时无实数解.解这类方程时，要牢记平方根的概念，不要丢了负数根.3.对于(x+a)^2+b=0形式的方程，要运用“换元”的思想方法，先把x+a看成一个字母.（五）作业1.方程2x^2+a=0(a<0)的根是____2.方程ax^2=c有实数根的条件是()(A)a≠0 (B)ac≠0 （C）ac≥0 （D）c/a≥0且a≠0.3.用直接开平方法解下列方程：（1）x^2-7=0;(2)4y^2=9;(3)t^2-45=0;(4)3x^2-x=15-x.4.解下列方程：(1)(2x-3)^2=5;(2)(x+1)^2-12=0;(3)(x-5)^2-36=0;(4)(6x-1)^2=25;(5)x^2/a=1(a>0);(6)x^2-a=0(a≥0);(7)(x-a)^2=b^2;(8)(ax+c)^2=d(d≥0,a≠0);(9)5(2y-1)^2=80;(10)4(3x-2)^2=32.5.x是什么值时，x^2-6x的值等于-7.作业的答案或提示1.x1=(√-2a)/2;x2=-(√-2a)/2.2.选(D).3.(1)x1=√7,x2=-√7;(2)y1=3/2,y2=-3/2;(3)t1=3√5,t2=-3√5;(4)x1=√5,x2=-√5.4. (1)x1=1/2(3+√5),x2=1/2(3-√5);(2)x1=-1+2√3,x2=-1-2√3;(3)x1=11,x2=-1;(4)x1=1,x2=-2/3;(5)x^2=a,x1=√a,x2=-√a;(6) x^2=a,x1=√a,x2=-√a；（7）x-a=±b,x=a±b,x1=a+b,x2=a-b;(8)ax+c=±√d,ax=-c±√d,x1=1/a(-c+√d),x2=1/a(-c-√d);(9)(2y-1)^2=16,2y-1=±4,2y=1±4,y1=5/2,y2=-3/2;(10)(3x-2)^2=8,3x-2=±2√2,3x=2±2√2,x1=2/3(1+√2),x2=2/3(1-√2).5.列方程x^2-6x=-7,配方x^2-6x+9=-7+9,(x-3)^2=2,x-3=±√2,所以x=3+√2或x=3-√2时,x^2-6x的值等于-7.课堂教学设计说明1.为了激发学生有求出方程的解需要，在课堂一开始提出问题：两个一元二次方程x^2+5x-150=0和x^2-5x-150=0的解是不是一样？2.为了使解方程由简单形式过渡到复杂形式，所以列出一元二次方程分类的表格，使学生能纵览全局，认识到完全的一元二次方程及不完全一元二次方程.同时，（表格的）分类过程进一步培养学生初步树立分类讨论的数学思想.3.在讲解ax^2=0及ax^2+c=0型的一元二次方程时，通过例1、例2，每步都强调算理及分辨算术平方根与平方根的概念，使学生养成有条有理的思维品质.4.在解（ax-b）^2=c型的方程时，要用到换元的数学思想，为此先从已学过的用换元法把多项式因式分解入手，让学生回忆换元法，使学生对运用换元法解方程不生疏，为此，安排了例3.所以本节课的设计是由简单到复杂，但好不生硬.。
