一元二次方程的解法全

一元二次方程的解法
1、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

　解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

2、方法
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±
.
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
　将二次项系数化为1：x2+
x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：
x2+
x+(
)2=-
+(
)2方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
当b2-4ac≥0时，x+
=±
　∴x=
(这就是求根公式)
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=
(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

一元二次方程公式大全一、因式分解法：设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

如果方程可以被因式分解为(a_1x+d_1)(a_2x+d_2)=0的形式，则根据零乘性质可得x=-d_1/a_1或x=-d_2/a_2，即方程的根为这两个值。

例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以通过因式分解得到(x+2)(x+3)=0，因此方程的根为x=-2和x=-3二、求根公式法：求根公式法适用于任意一元二次方程。

设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

根据求根公式，方程的根可以表示为：x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中±表示可以取正负两个值。

例如，对于方程x^2+5x+6=0，根据求根公式可得x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×6}}{2×1}，计算可得根为x=-2和x=-3三、配方法：配方法适用于一元二次方程中b较大的情况，通过配方将方程转化为一个完全平方的形式。

具体步骤如下：1. 将一元二次方程写成标准形式：ax^2+bx+c=0。

2.根据方程中的b项，将方程分成两部分，将x^2系数a与x系数c分别进行配方。

3.将分离的两部分进行配方，使其转化为完全平方。

4.将配方后的两部分相加或相减，消去中间项，得到一个完全平方。

5.将方程转化为(x±d)^2=n的形式，其中d为常数，n为已知数。

6.通过求平方根或其他方法求解方程。

例如，对于方程x^2+7x+12=0，可以通过配方法进行解答：1.将方程写成标准形式，即x^2+7x+12=0。

2.将方程分成两部分，即a为x^2的系数1，b为x的系数7，c为常数123.配方后得到(x+4)(x+3)=0。

4.将配方后的两部分相加，得到(x+4)+(x+3)=2x+7=0。

5.将方程转化为(x+7/2)^2=49/4的形式。

一元二次方程的解法汇总一元二次方程是一个常见的数学问题，它的解法有多种方法。

在本文中，我将汇总一些常用的解法，并对其进行详细介绍。

一、因式分解法一元二次方程的一种解法是因式分解法。

通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。

首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

然后，通过因式分解的方法将方程进行分解，得到方程的解。

二、配方法配方法是解一元二次方程的另一种常用方法。

通过将方程进行配方，可以得到一个完全平方。

首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

然后，通过配方的方法将方程进行变形，得到一个完全平方。

最后，通过求解完全平方，可以得到方程的解。

三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。

通过求根公式，可以直接计算出方程的解。

一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

其中，a、b、c为方程的系数。

将方程的系数代入求根公式中，即可得到方程的解。

四、图像法图像法是解一元二次方程的一种直观方法。

通过绘制方程的图像，可以直观地找到方程的解。

首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

然后，通过绘制方程的图像，可以观察到方程的解在坐标系中的位置。

最后，根据图像的形状和位置，可以确定方程的解。

五、完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法。

通过将方程转化为完全平方的形式，可以直接得到方程的解。

一元二次方程的完全平方公式为(a±√b)^2=a^2±2a√b+b。

将方程进行变形，使其符合完全平方的形式，然后根据完全平方公式，可以直接得到方程的解。

六、求解方法的选择在解一元二次方程时，根据具体的情况选择合适的解法非常重要。

因式分解法适用于方程可以进行因式分解的情况；配方法适用于方程可以通过配方得到完全平方的情况；求根公式适用于一般的一元二次方程；图像法适用于通过观察图像找到方程解的情况；完全平方公式适用于方程可以转化为完全平方的情况。

一元二次方程的解法大全例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。

例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0) x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2) ＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。

即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：3．(m2+1)x2＝0； 4．16x2-25＝0．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝0 6x2＝25。

一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】＝0(a≠0)，把方程ax2+c例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；；2．(3x+2)2-4＝04．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝0259x2＝2．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±22±23x＝-4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除+以二次项系数，使二次项系数为1，如x21．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+47(x-2)2＝3．4x2+4x+1＝7一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。

例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；．4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．81b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)22b≥0)时，得当(a-【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。

即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝06x2＝25。

一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。

一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。

在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。

根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。

因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。

下面再讲一元二次方程的解法。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。

配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。

公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。

先化为一般形式再用公式。

因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。

方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。

【举例解析】例1：已知，解关于的方程。

分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。

解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。

通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。

一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c＝0(a≠0)，这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0；4．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝09x2＝252．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±23x＝-2±2∴x1＝x2＝3．4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0；2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7；4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝74．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。

例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。

一元二次方程的解法一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，通常表示为 ax^2 + bx + c = 0。

解一元二次方程的方法有多种，其中包括求解公式和配方法。

一、求解公式1. 对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，可以使用求解公式来求解。

求解公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2. 根据求解公式，首先计算出判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。

a) 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根。

根据求解公式，将Δ 的值代入并计算得到两个根。

b) 当Δ = 0 时，方程有一个重根，即两个相等的实数根。

将Δ 的值代入求解公式，得到重根。

c) 当Δ < 0 时，方程没有实数根。

因为在实数范围内不能对负数开根号，所以方程的解为复数。

二、配方法1. 对于某些特殊的一元二次方程，可以使用配方法来求解。

配方法的基本思想是通过变换将方程转化为可因式分解的形式。

2. 如果一元二次方程的 b 项可以拆成两个数的和或差的平方，那么就可以利用配方法进行求解。

a) 首先，将方程中的 x^2 项系数设置为1，即将方程化为形如 x^2 + px + q = 0 的形式。

b) 找到两个数 a 和 b，使得 a + b = p 和 ab = q。

将这两个数代入方程中进行转化，得到 (x + a)(x + b) = 0。

c) 根据零乘法则，当且仅当 (x + a) = 0 或 (x + b) = 0 时，方程成立。

分别解出 x 的值，即为方程的解。

三、实例应用现举一个具体的例子来说明一元二次方程的解法。

例：解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。

1. 使用求解公式求解：首先计算判别式Δ = (-5)^2 - 4(1)(6) = 1。

因为Δ > 0，所以方程有两个不相等的实数根。

将Δ 的值代入求解公式：x1 = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3x2 = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2方程的解为 x = 3 和 x = 2。

求一元二次方程的解法
一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c
为实数且a≠0。

解一元二次方程有以下三种方法：
1. 因式分解法：对于形如x²+bx+c=0的方程，可以通过因式分
解的方法求解。

通过将方程进行因式分解，得到(x+m)(x+n)=0的形式，从而得到方程的解x=-m或x=-n。

2. 公式法：一元二次方程的解可以通过求根公式得到。

根据一
元二次方程的标准形式ax²+bx+c=0，可以使用求根公式x=[-
b±√(b²-4ac)]/(2a)来计算方程的解。

3. 完全平方式：有时候，一元二次方程的解可以通过将方程进
行配方来求解。

对于形如x²+bx+c=0的方程，可以通过将二次项的一
半平方加减到方程两边，从而得到形如(x+p)²=q的形式，其中p和q
为常数。

然后，通过求取平方根来计算方程的解。

需要注意的是，在使用这三种解法时，需要根据具体的一元二次
方程以及问题的要求来选择最合适的方法来求解。

一元二次方程的解法一元二次方程是代数学中非常重要的一种方程形式，它的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

解一元二次方程主要有四种方法：因式分解法、配方法、求根公式法和完成平方法。

本文将详细介绍这四种解法，并给出解题示例。

一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法求解。

即将方程两边进行因式分解，使得等式左右两边之积等于零，从而得到方程的解。

例如，我们有一个一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0。

通过因式分解，我们可以将该方程转化为(x + 2)(x + 3) = 0。

由于两个因式的乘积等于零，所以可以得到x + 2 = 0或x + 3 = 0。

进一步求解可得x = -2或x = -3，这就是方程的解。

二、配方法有些一元二次方程无法直接进行因式分解，此时可以利用配方法将方程转化为可进行因式分解的形式。

配方法的具体步骤如下：1. 将方程的常数项c进行负号提取：ax^2 + bx - c = 0；2. 将方程中的b项进行二次项的一半的平方操作，得到(b/2)^2，然后加减到方程的两边；3. 将方程进行因式分解。

例如，我们有一个一元二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0。

按照配方法进行求解：1. 提取常数项的负号，得到2x^2 + 5x + 3 = 0；2. 二次项的一半是5/2，其平方是(5/2)^2 = 6.25。

加减到方程两边得到2x^2 + 5x + 6.25 - 6.25 + 3 = 0；3. 将方程进行因式分解，得到(2x + 3.5)^2 - 2.25 = 0。

再进行开方，得到2x + 3.5 = ±√2.25。

最后解得x = -3.5 ± √2.25的解。

三、求根公式法求根公式法也是一元二次方程解法的一种常用方法，它是利用一元二次方程的根与方程系数之间的关系来求解方程。

根据求根公式，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)例如，我们有一个一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0。

一元二次方程的解法方法一：因式分解利用因式分解的方法解一元二次方程的一般步骤如下：Step 1：将方程化为一般形式ax^2+bx+c=0。

Step 2：观察方程是否可以因式分解，即是否存在两个数m和n，使得a(x-m)(x-n)=0。

Step 3：根据展开合并得到的方程，将系数与一般形式进行对比，进而确定m和n的值。

Step 4：根据得到的m和n的值，列出两个因式为零的方程，解方程得到x的值。

方法二：配方法配方法是利用一定的代数运算将方程变换成平方的形式，从而求得方程的解。

它的一般步骤如下：Step 1：将方程化为一般形式ax^2+bx+c=0。

Step 2：观察方程的形式，判断是否可以通过变量的替换来将方程变为平方的形式。

Step 3：根据变量的替换，将方程转化为平方的形式。

Step 4：将平方的方程进行求解，得到平方变量的解。

方法三：求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法，它可以通过一次运算直接求得一元二次方程的根。

求根公式的一般形式如下：x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中，a、b、c为方程ax^2+bx+c=0的系数，±表示两种可能的根。

求根公式的步骤如下：Step 1：将方程化为一般形式ax^2+bx+c=0。

Step 2：根据求根公式，将a、b、c的值代入公式中。

Step 3：计算公式中的各个项的值。

Step 4：根据计算结果，得到方程的根。

需要注意的是，根的数量和性质与判别式Δ=b^2-4ac的值有关。

若Δ>0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ<0，则方程没有实根，但有两个共轭的复根。

总结：通过因式分解、配方法和求根公式等不同的解法，我们可以解一元二次方程。

不同的解法适用于不同的方程形式和求解要求，但它们都可以帮助我们求得一元二次方程的解。

选择合适的解法，可以使求解过程更加简便和高效。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择最适合的解法来解决一元二次方程。

一元二次方程的解法一元二次方程的解法有公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法。

一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。

其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

怎样求解一元二次方程方法一、公式法先判断△=b²-4ac，若△若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b/（2a）；若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））/（2a）。

方法二、配方法先把常数c移到方程右边得：aX²+bX=-c将二次项系数化为1得：X²+（b/a）X=- c/a方程两边分别加上（b/a）的一半的平方得：X²+（b/a）X +（b/（2a））²=- c/a +（b/（2a））²方程化为:（b+（2a））²=- c/a +（b/（2a））²①、若- c/a +（b/（2a））²②、若- c/a +（b/（2a））² =0，原方程有两个相同的解为X=-b/（2a）；③、若- c/a +（b/（2a））²>0，原方程的解为X=（-b）±√（（b²-4ac））/（2a）。

方法三、直接开平方法形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n方法四、因式分解法将一元二次方程aX²+bX+c=0化为如（mX-n）（dX-e）=0的形式可以直接求得解为X=n/m，或X=e/d。

一元二次方程求解例题分析一、直接开平方法对于直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1=x2=a的形式，其他的都是比较简单。

例1.解关于x的方程：x^2-6x+9=(5-2x)^2解析：原方程化简得（x-3）^2=(5-2x)^2, x-3=±(5-2x)解得x1=2，x2=8/3。