《一元二次方程的解法》规律总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

一元二次方程的解法总结一元二次方程是代数学中最基本的方程形式之一，求解一元二次方程有多种方法，本文将对几种常见的解法进行总结。

方法一：因式分解法对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，首先需要将其因式分解为两个一次方程的乘积形式。

例如：x^2+5x+6=0可以分解为(x+2)(x+3)=0，然后令每个因式等于零，解得x=-2和x=-3，即为方程的解。

方法二：配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以尝试使用配方法。

配方法的基本思路是将方程中的二次项与一次项配对，并进行变量代换。

具体步骤如下：1. 将方程形式为ax^2+bx+c=0，其中a≠0。

2. 将方程两边同时除以a，得到x^2+(b/a)x+(c/a)=0。

3. 将方程右侧的常数项c/a拆分为两个数的乘积，使得这两个数之和等于b/a，即将其配对。

4. 在方程左侧增加与拆分后的两个数相等的数，构成一个完全平方项的形式。

即在x^2+(b/a)x上加上一个常数d/d，使得(x+d)^2=x^2+(b/a)x+d^2。

5. 将方程重新写为扩展后的形式(x+d)^2+d^2=c/a，这就是已经变量代换后的方程。

6. 将方程左侧完全平方项展开，并与方程右侧常数项进行化简，得到新方程x^2+2dx+d^2-d^2=c/a，即x^2+2dx=(c/a-d^2)。

7. 整理方程，得到(x+d)^2-d^2=(c/a-d^2)。

8. 使用平方差公式，将等式左侧进行运算，得到(x+d-d)(x+d+d)=(c/a-d^2)。

9. 化简等式左侧，得到(x+2d)(x)=(c/a-d^2)。

10. 若c/a-d^2≥0，即存在实数解，解方程(x+2d)(x)=(c/a-d^2)，得到x+2d=0或x=c/a-d^2。

11. 解方程x+2d=0，得到x=-2d，然后将其代入方程(x+2d)(x)=c/a-d^2中，求解得到剩下的解。

方法三：求根公式法求根公式是一元二次方程的一种解法，通过使用求根公式，可以直接求得方程的解。

( x a)( x a) 0
x a 0或x a 0
x1 a
形如
2
x2 a
的式子运用完全平方公式得：
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
例题讲解
例1 解下列方程
16(2 x) 9 0 （1） 解：原方程变形为： 9 2 (2 x) 16
解：提公因式得：
(3x 2)( x 6) 0
(3x 5)( x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
3x 2 0或x 6 0
2 x1 3

5 x1 3
x2 6
x2 2
平方差公式与完全平方公式
形如
x2 a2 0 运用平方差公式得：
2
（2） x( x 2) 1 0 解：原方程变形为：
直接开平方得：
x2 2 x 1 0
( x 1)2 0
3 2 x 4 11 5 x2 x1 4 4
x1 x2 1
2 十字相乘法
步骤：
1 二次项系数为1的情况：
将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘 积的形式，且p + q = 一次项系数。
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解：
x 6x 7 2 x 6x 9 7 9 2 x 3 16 x 3 4 x1 1 x2 7
2
例题讲解
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2

一元二次方程的解法的解题技巧总结一元二次方程是中学数学中的常见题型，求解方程的过程需要掌握一定的解题技巧。

下面将对一元二次方程的解题方法进行总结，希望对你的学习有所帮助。

一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 都是已知实数，且a ≠ 0。

二、求解一元二次方程的基本步骤求解一元二次方程的基本步骤如下：1. 将方程按照一般形式准确写出。

2. 判断一元二次方程是否可以因式分解，如果可以，进行因式分解得到两个一次方程，再求解这两个一次方程得到原方程的解。

3. 如果方程不可以因式分解，可以采用配方法，将方程转化为一个平方差的形式，再进行变量替换，进而求解得到方程的解。

4. 如果配方法不适用，可以采用求根公式，即二次方程的根公式，根据公式直接求解得到方程的解。

5. 对于复杂数字的解，应给出复数解的明确形式。

三、因式分解的技巧1. 一元二次方程的因式分解要找到两个整数 m、n，使得 a(m + n) + bn = 0。

2. 通过观察系数 a、b 的正负关系来判断 m 和 n 是否为整数。

3. 不断尝试不同的 m、n 值，直到找到满足条件的因式分解。

四、配方法的技巧1. 配方法是将一元二次方程转化为一个平方差的形式，即 a(x + m)²+ n = 0。

2. 通过观察系数 a、b、c 的关系来确定配方的具体步骤。

3. 根据配方法将方程转化为平方差的形式后，再进行变量替换，得到一个一次方程，从而求解得到方程的解。

五、求根公式的应用1. 一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

2. 公式中的 ±表示两个不同的解。

3. 当判别式 b² - 4ac 大于 0 时，方程有两个不相等的实数解。

4. 当判别式 b² - 4ac 等于 0 时，方程有一个实数解。

一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x 2+3x+1=0；(2)2241x x =-； (3)2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x=∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1)（2014•武汉模拟）2x 2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0； （3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0，∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=01212,23x x =-=.5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =-3．一元二次方程2340x x +-=的解是( ) A ．11x =；24x =- B ．11x =-；24x = C ．11x =-；24x =- D ．11x =；24x =4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为 值时，y 的值为0； (2)当x 为 值时，y 的值为5.三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程 （1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0， 所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6，∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=． 【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0，∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)369212x ±-⨯⨯-±==⨯，∴ 3692x +=或3692x -=． 三、解答题13.【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14.【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a--=②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2243624|6|2()2()n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==-- ∴ 122, 1.1x x m==- 2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥ ∴23322m m m m x ±±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=13.4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

《一元二次方程的解法》课堂笔记一、直接开平方法1.方程x²-2x-3=0；解：移项得x²-2x=3，方程左边开平方得x-1²=±√3+1，（x-1）²=2或（x-1）²=-2+1，（x-1）²=2或（x-1）²=-1（舍去），∴x₁=3，x₂=-1。

2.方程（x-1）²-5=0；解：移项得（x-1）²=5，方程左边开平方得x-1=±√5，∴x₁=1+√5，x₂=1-√5。

3.方程x²-8x+16=0；解：移项得x²-8x=-16，方程左边配方得（x-4）²=-16+4²，（x-4）²=0，∴x₁=4，x₂=4。

4.方程（x+3）²-9=0。

解：移项得（x+3）²=9，方程左边开平方得x+3=±3，∴x₁=-3，x₂=-3+6=3。

二、配方法1.用配方法解方程x²-6x+9=0；解：移项得x²-6x=-9，方程左边配方得（x-3）²=-9+9，（x-3）²=0，∴x₁=3，x₂=3。

2.用配方法解方程2x²-8x=-5；解：移项得2x²-8x=-5，方程左边配方得（x-2）²=-5+4，（x-2）²=-1（舍去），∴此方程无实数根。

三、公式法用求根公式法解一元二次方程的步骤：1.把原方程化为一般形式；2.确定a、b、c的值；3.计算b²-4ac的值；4.若b²-4ac≥0，则方程有两个不相等的实数根；若b²-4ac<0，则方程有两个相等的实数根；若b²-4ac=0，则方程没有实数根。

5.运用求根公式求出方程的根。

一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它可以通过求解来确定方程的根或解。

解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、图像法等。

本文将对这些方法进行归纳总结，以便读者更清晰地理解和应用一元二次方程的解法。

一、公式法公式法是解一元二次方程最常用的方法之一，它基于一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0。

一元二次方程的解可通过求根公式得到。

求根公式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

1. 判别式D = b^2 - 4ac。

- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根。

- 当D = 0时，方程有两个相等的实根。

- 当D ＜ 0时，方程没有实根。

2. 根据判别式的情况，求解一元二次方程的根。

- 当D > 0时，方程的两个根为 x1 = (-b + √D)/(2a) 和 x2 = (-b -√D)/(2a)。

- 当D = 0时，方程的两个根为 x1 = x2 = -b/(2a)。

- 当D ＜ 0时，方程没有实根。

公式法适用于所有一元二次方程，但需注意的是，当D ＜ 0时，方程没有实数解，因此解为复数，需要用复数域来表示。

二、配方法对于一些特殊形式的一元二次方程，如完全平方差、平方差、求负等，可以通过配方法将其转化成更容易求解的方程，进而求得解。

1. 完全平方差形式对于形如(x ± a)^2 = b的方程，可利用完全平方差公式，将其转化为(x ± a) = √b的形式，然后解得解x。

2. 平方差形式对于形如x^2 - a^2 = b的方程，可通过配方法将其转化为(x + a)(x -a) = b的形式，然后选取合适的值求解。

3. 求负对于形如x^2 + px = q的方程，可通过将方程两边同乘以负一进行转化，变为x^2 - px = -q的形式，然后应用配方法解方程。

配方法是解特殊形式一元二次方程的有效方法，通过将方程转化为更简单的形式，能够简化解的过程。

一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。

等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。

左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。

化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。

确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。

若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。

一元二次方程专题（一）、一元二次方程的解法：【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx +c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0 (3) 6x 2+5x-50=0 (4)x 2-2(+)x+4 =0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0【总结】以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x 2=a 的方程，我们可以用直接法。

方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b 的方程也是用直接开方的方法。

注意点：①二次项的系数为1，且a ≥0②假如a 为根式，注意化简。

例1：解方程：5x 2=1例2：解方程：x 2= 4-例3：解方程：4x 2+12x+9=122、配方法：对于形如：ax 2+bx+c=0〔其中a ≠0〕的方程，我们可以采用配方法的方法来解。

步骤：①把二次项的系数化为1.两边同时除以a ，可以得到：X 2+ b a x+ c a=0 ②配方： 〔x+ 2b a 〕2+c- 2()2b a=0 ③移项： 〔x+ 2b a 〕2=2()2b a-c ④用直接法求出方程的解。

X=-2b a注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0〔其中a ≠0〕的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。

根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a 进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0〔其中a ≠0〕的方程的解为：x 1x 2 注意点：① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

② 解题步骤要标准。

例:解方程：x 2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法对于一个方程，假如在构造上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比拟复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。

例1：解方程：〔x2+5x+2〕2+(x2+5x+2)-2=0例2：15、有理化方法：对于一个方程，假如含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。

一元二次方程四种解法总结一元二次方程是高中数学必修课，尤其是高考数学中比较常见的题型，因此，有必要了解一元二次方程的解法，以便在解题中更加熟练。

本文将总结一元二次方程的四种解法：解析解法、因式分解法、配方法和求根公式法，为大家提供参考。

首先，解析解法是一种解决一元二次方程的最基础的方法。

它的基本思路是将原方程化为两个一元一次方程，用整体求解的方法求出根。

它有两个特点：一是消元法的思想，二是有良好的解析性。

但是，它也有一些局限性，它不适合处理一些三角函数等不定方程。

其次，因式分解法是用因式拆解的方法求出一元二次方程的解。

它的特点在于将多项式中的每一项拆开，再通过求解简化的子问题来得到结果，同时可以去除多项式中的因子，因此能够简化计算过程。

但是，它也有其缺点，它只适用于特定的一元二次方程，对于一些复杂的一元二次方程无能为力。

第三，配方法是一种特殊的解法，它采用一元二次方程的原有方程格式，保证了方程的特点，在其基础上，利用变形来求出根。

配方法需要考虑原方程的特点，把原方程变形成同类方程来求解：即恒等变换和代数变换。

其优点是解析度极高，对于复杂的一元二次方程也可以解出，但是，它也有一些局限性，即它只能用于特定的一元二次方程，只要输入原式方程，就可以求出它的解。

最后，求根公式法是一种求解一元二次方程的简便方法，重点在于记忆求根公式，求根公式是一元二次方程的基本解法。

它有三个特点：一是可以直接求得一元二次方程的解；二是计算过程容易；三是有效果、简便。

但是，它也有局限性，即当系数发生变化时，求根公式的解法就不适用了。

总之，一元二次方程有四种常见的解法：解析解法、因式分解法、配方法和求根公式法。

从上面可以看出，这四种方法各有优点，也各有缺点，只有综合考虑，才能更好地求解一元二次方程。

同时，各位考生在备考中也可以根据不同类型的题目，选择不同的解法，以节省时间，提高效率。

一元二次方程的解法汇总1．直接开方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：（点击图片可放大阅览）要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：（点击图片可放大阅览）类型二、因式分解法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．（点击图片可放大阅览）【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有 5 种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法.在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平方法解形如x2 p （p≥0）和ax b 2 c（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为x2 p （p≥0）或ax b 2 c（c ≥0）的形式;（2）直接开平方, 把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程, 得到一元二次方程的两个解. 注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法, 并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程x2 p,当p 0时,方程无解;（3）对于一元二次方程ax b 2 c:①当 c 0时, 一元二次方程有两个不相等的实数根;②当 c 0时, 一元二次方程有两个相等的实数根;③当 c 0 时, 一元二次方程没有实数根.例 1. 解下列方程:（1）x2 2 0; （2）16x2 81 0.分析:观察到两个方程的特点,都可以化为x2 p（p≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 当一元二次方程缺少一次项时, 考虑使用直接开平方法求解.解:( 1) x 2 2 x2∴x 1 2,x 22;2 281（2）16x 2 81,x 21681 9 x 16 4∴9 9 ∴ x1,x 2.44例 2. 解下列方程 :22（1） x 3 2 9 0; （2）12 2 x 2 9 0.分析:观察到两个方程的特点 ,都可以化为 ax b 2 c （ c ≥0）的形式 ,所有选择用直接开 平方法求解 . 解:( 1) x 3 2 9 x 3 3∴ x 3 3 或 x 3 322)12 x 2 2 9293x 2 2 192 34 ∴ x 2 3 342 33∴ x 2 或 x 2 2233∴x 1 2 , x 2 2 1 2 2习题 2. 若 x 2 y 2 12 4,则 x 2 y 2___________________习题 1. 下列方程中 ,不能用直接开平方法求解的是A ) x 2 3 0B ) x 1 240C ) x 22 02D ) x 1 222习题 3. 若a,b为方程x2 4 x 1 1的两根,且a b,则 a b（A5 （B）4 （C）1（D）3）习题4. 解下列方程:（1）2x 8 2 16 ;（2） 29 3x 2 64.习题 5. 解下列方程:1）4x 1 2 9 0 ;习题 6. 对于实数p,q ,我们用符号min p,q 表示p,q两数中较小的数,如min 1,2 1.（1）min 2 , 3 _____________ ;（2）若min x 1 2, x2 1,则x ______________.习题7. 已知直角三角形的两边长x, y满足x2 16 y2 9 0 ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）、因式分解法 因式分解法解一元二次方程的一般步骤是 : （1）移项 把方程的右边化为 0;（2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积 ; （3）转化 令每个因式等于 0, 得到两个一元一次方程 ;（4）求解 解这两个一元一次方程 , 得到一元二次方程的两个解 例 1. 用因式分解法解方程 : x 2 3x . 解:x 2 3x 0 x x 3 0 ∴ x 0 或 x 3 0∴x 1 0,x 2 3.解 : x 1 x 1 2x 0∴x 1 1, x 2 1.例 3. 解方程 :3x 2 12x 12. 解:3x 2 12x 12 0 3 x 2 4x 4 0 3 x 2 2 0∴x 1 x 2 2.例 4. 解方程 :x 2 x 3x 3. 解:x 2 x 3x 3 0∴x 11,x 2 3.因式分解法解高次方程 例 5. 解方程 : x 2 1 2 3 x 2 1 0. 解: x 2 1 x 2 1 3 0例 2. 用因式分解法解方程 2: x 1 22x x 1 0.x2 1 x 2 4 0x 1 x 1 x 2 x 2 0∴ x 1 0 或x 1 0或x 2 0 或x 2 0∴x11, x2 1,x32, x4 2.例 6. 解方程: x2 3 2 4 x2 3 0.解: x2 3 x2 3 4 022x2 3 x2 1 0x2 3 x 1 x 1 0∵ x2 3 0∴ x 1 x 1 0∴ x 1 0 或x 1 0∴x1 1,x2 1.用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 , 当b2 4ac ≥0 且的值为完全平方数时可以用十字相乘法分解因式解方程.例7. 解方程:x2 5x 6 0.分析: 5 2 4 6 25 24 1,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式解: x 2 x 3 0∴ x 2 0 或x 3 0∴ x1 2,x2 3.例 8. 解方程 :2x 2 7x 3 0. 分析 : 72 4 2 3 49 24 25, 其结果为完全平方数 , 可以使用十字相乘法分解因式.解 : 2x 1 x 3 0 ∴ 2x 1 0 或 x 3 0例 9. 设方程 2013x 2 2014 2012x 1 0的较大根为 a ,方程 x 2 2011x 2012 0 的较 小根为 b ,求 a b 的值 .2 解 : 2013x 22014 2012x 1 0 22013x 22013 1 2013 1 x 1 0 2 2 220132x 2 20132 x x 1 02 20132x x 1 x 1 0 x 1 20132 x 1 0 ∴ x 1 0 或 20132 x 1 01∴ x11,x 2 21220132∵ a 是该方程的较大根 ∴ a 12x 2 2011x 2012 0 x 1 x 2012 0 ∴ x 1 0 或 x 2012 0 ∴ x 1 1, x 2 2012 ∵ b 是该方程的较小根 ∴ b 2012∴ a b 1 2012 2013.1∴x 1 2 ,x 23.习题 1. 方程x2 2x的根是___________ .习题 2. 方程x x 2 x 2 0 的根是 ________________ .习题 3. 方程x2 4x 4 0 的解是______________ .习题 4. 方程x 2 x 3 x 2 的解是 _________________习题 5. 如果x 2 x 1 x 1 ,那么x 的值为（A）2 或1 （B）0或1（C）2（D）1习题 6. 方程x x 2 x 的根是_________ .习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2 6x 的周长为_________ .习题8. 解下列方程:（1）3x x 2 2 2 x ;（2）x2 3 2 x 1 ;22 （3）x 2 4x 4 3 2x ;2（4）2x2 4x 2 .0的根,则该三角形习题9. 解下列方程:22）x 2 5x 4 0 .2习题 10. 解方程 : 2x 1 2 2 2x 1 1 0 .、配方法解用配方法解一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 共分六步 :一移、二化、三配、四开、五转、 六解 .1）一移 把常数项移到方程的右边 ,注意变号 ;ax 2 bx c2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为 1;x 2 b x c aa3）三配 即配方 ,把方程的左边配成完全平方的形式 ,需要在方程的左右两边同时加上次项系数一半的平方 ;说明 :由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式bx abc 2a a2ab 2 4ac4a 2（4）四开直接开平方 ; b b 24acx（注意 2a2a（5）五转 把第（ 4）步得到的bb 2 4acbx 或x2a 2a2a（6）解 解这两个一元一次方程2:当b 2 4ac ≥ 0 时方程有实数根）元一次方程 ;b b 2 4ac 2ab b 2 4ac2ax 12b a2b 2 4ac2a,x 2,得到一元二次方程的两个解22一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 有实数根的条件是b 2 4ac ≥0, 求根公式为b b 2 4acx . 2a例 1. 用配方法解方程 :x 2 4x 1 0 . 解:x 2 4x 1 2 x 24x 4 1 4 2x 2 5 x 2 5∴ x 2 5 或 x 2 5 ∴ x 1 2 5, x 2 2 5 . 例 2. 解方程 :3x 2 2x 3 0 .分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤 ,在移项之后 , 要化二次项系数为“ 1 解:3x 2 2x 3x2 2x 1 322 1 1 x 2x139 921210 x3 91 10x331 10 1 10∴x 或 x3 3 3 3 1 10 1 10∴ x 1 ,x 21 3 323 3 例 3. 用配方法解关于 x 的方程 :22x px q 0 ( p4q ≥ 0) .解:x 2 px q 222p p x px q44 x p p 2 4q x 2 4p p 2 4qx pp 2 3 4q ,x p p 2 4qx2 2 ,x 2 2 p 2 4q ≥022p p 4q p p 4q∴ x12,x22说明:p 2 4q ≥0 既是二次根式 p 2 4q 有意义的条件 ,也是一元二次方程 x 2 px q 0有实数根的前提 . 因此把 p 2 4q 叫做一元二次方程 x 2 px q 0 的根的判别式 . 习题 1. 用配方法解方程 x 2 4x 1 0,配方后的方程是【 】22（A ） x 2 2 3（B ） x 2 2 3 22（C ） x 2 2 5（D ） x 2 2 5习题 2. 若方程 x 2 8x m 0 可以通过配方写成 x n 2 6 的形式 ,那么 x 2 8x m 5 可以配成2（A ） x n 5 2 12（ B ） x n 2 12（ D ） x n 2 1122） 3x 2 6x 1 0;2 4） 4x 212x 1 0 .2（C ） x n 5 2 11 习题 3. 用配方法解方程 （1） x 2 x 1 0; 3 x 2 5x 6 0;四、公式法元二次方程的求根公式b b 2 4ac x2a例 1. 证明一元二次方程的求根公式 分析 :用配方法可以证明一元二次方程的求根公式bb2 4ac( b 2 4ac ≥0).2a注意:当b 2 4 ac ≥ 0时,一元二次方程 ax 2 bx c 0（a 0 ）有实数根 ;当b 2 4ac 0时, 二次根式 b 2 4ac 无意义 ,方程无实数根 .公式法解一元二次方程的一般步骤 : 用公式法解一元二次方程的一般步骤是 : （1）把一元二次方程化为一般形式 ; （2）确定 a,b,c 的值, 包括符号 ;（3）当 b 2 4ac ≥0时,把 a,b,c 的值代入求根公式求解 ;当b 2 4ac 0时,方程无实数根 .证明 :ax 2 bx c 0ax 2 bx c a b 2 4ba 22 b x a b x a b 2 b 2a c b 2 a 4a 2 x 2a 4ac4a2b b 2 4ac2a ∴ x b 2ab 2 4ac 或x 2a b b 2 4ac2a2ab b 2 4ac ∴ x 1 2a , x 2b b 2 4ac2a元二次方程 ax 2bx c 0 （ a 0 ）的求根公式为 :当 b 2 4ac 0 时 ,元二次方程无实数根2b4ac ≥ 0)即一元 次方程 ax 2 bx c 0（ a 0）的根为例 1. 用公式法解方程 :2x 3 x 6 0 . 分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式 ,并正确确定 a,b,c 的值 ,包括符 号.解:a 2,b 1,c 6 ∴ b 2 4ac 12 4 2 6 494 173∴x 1,x 242例 2. 解下列方程 :解:( 1) x 2 4x 2 0 22b 24ac 42 4 2 242 6,x 2 2 6 ;2) 4x 2 12x 9 022b 24ac 122 4 4 9 144 144 03 ax 2bx c 0 （ a 0 ）有两个相等的实数根 .x 1 0.4 322 2.次方程获得的启示a 0 ）,可以用 a,b,c 的值确定方程解的情况以及方12 0 12 0 ∴x 83∴x 1 x 21 22说明:当b 2 4ac 0 时,一元二次方程对于一元二次方程 ax 2 bx c 01 49 1 7 ∴x 1) x 2 4x 2;22) 4x 2 4x 10 1 8x .4 24 4 2 6 ∴x26b 2 4ac 有意义的条件即为方程有解的条件:当程的解,并且求根公式里面的二次根式∴x 1 3,x 2 4.b 2 4ac ≥0 时,二次根式 b 2 4ac ,一元二次方程有实数根 ;当b 2 4ac 0时,二次根式 b 2 4ac 无意义 ,一元二次方程无实数根 .（1）当 b 2 4ac 0 时,一元二次方程有两个不相等的实数根 ;（2）当 b 2 4ac 0 时,方程有两个相等的实数根 .把 b 2 4ac 叫做一元二次方程根的判别式 ,用 “ ”表示 ,所以 b 2 4ac .在不解方程的前提下 ,可以由 的符号确定一元二次方程根的情况 . 习题 1. 解方程 :1)求 a 2 4a 2018的值 ;1 2a a2 a 2 2a 1 12a 1 a a a1) 2x 2 x 6 ;22) 4x 2 3x 1 x 2 ;3) x 2 2x 2 0 ;4) 2x x 2 1 .习题 2. 已知 a 是一元二次方程 x 2 4x 1 0 的两个实数根中较小的根2）化简并求值五、换元法解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时 ,我们可以通过整体换元的方法 ,把方程转 化为一元二次方程进行求解 ,从而达到降次或变复杂为简单的目的 .换元法的实质是换元 ,关键是构造元和设元 ,体现的是转化化归思想 . 用换元法解某些高次方程 例 1. 解方程 :x 4 2x 2 3 0.分析 : 这是一元四次方程 , 可设 x 2 y （注意 : y ≥0）, 这样通过换元就把原方程转化为关于 y 的一元二次方程 . 解:设 x 2 y ,则有 : y ≥0 ∴ y 2 2y 3 0∴ y 1 1, y 2 3∵ y ≥0∴ y 3 （ y 1 舍去） ∴ x 2 3用换元法解具有一定结构特点的方程 例 2. 解方程 : x 2 2 3 x 2 2 0.分析 : 注意到该方程中整体 x 2 出现了两次 , 可整体设元 , 从结构上简化方程 解:设 x 2 t ,则有 :t 2 3t 2 0∴t 1 1,t 2 2∴ x 2 1 或 x 2 2∴x 13,x 2 3.∴x 1 3,x 2 4.例 3. 解方程 : x 2 x 8 x 2 x 12 0.分析 : 本题中的方程若展开整理 , 则得到的是一个高次方程 , 但方程本身具有非常明显的结 构特点 , 可整体换元 , 不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程 . 解:设 x 2 x y ,则有 : y 2 8y 12 0 y 2 y 6 0∴y 2 0 或y 6 0 ∴y 1 2,y 2 6∴ x 2 x 2 或 x 2 x 6解方程 x 2 x 2得: x 1 1,x 2 2 ; 解方程 x 2 x 6 得: x 1 2,x 2 3综上 ,原方程的解为 x 1 1,x 2 2,x 3 2,x 4 3.原方程转化为关于 t 的整式方程 , 且为一元二次方程 . x 1 2 解:设 x 21 t ,则有 : t 2 1 x 2t 整理得 :t 2 t 2 0∴t 1 1,t 2 2x 1 2由 2 1得: x 2x 1 0 ,此时方程无解 ;x x 1 1由 2 2得:2x 2x 10,解之得 :x 1 ,x 21.x 221综上 ,原方程的解为 x 1 1,x 2 1.1 2 211 例 5. 解方程 :x 22 x 0.x 2x2分析 : 设 x 1 y , 则 x 2 12x 1 2 y 2 2.xx 2x2 x 1 2x 2 例 4. 解方程 : x 1 2x2x x 1 x2分析 : 方程中 x 1 与 x x 11.x 2x 1x1互为倒数 , 若设 x 1 t , 则x11 1, 经过这样的换元 , 最后可把 t1或 x 2 1x2x211解:x 22 x 0 x 2x1 21 x x2 0 xx设 x 1 y ,则有 : y y 2 0 x y 1 y 2 0 ∴ y 1 0 或 y 2 0 ∴ y 1 1, y 2 211 ∴x 1 或 x 2xx 12 由 x 1得: x 2 x 1 0,此时方程无解 ; x 12 由 x 2得: x 2 2x 1 0,解之得 :x 1 x 2 1. x综上 ,原方程的解为 x 1 x 2 1.211 1本题变式 : 已知实数 x 满足 x 212x 10,那么 x1的值是【 】 x 2xx（A ）1或 2（B ） 1或 2 （C ）1 （D ） 2例 6. 已知 x 2 y 2 x 2 y 2 1 12 ,求 x 2 y 2 的值 .分析:整体设元 :设 x 2 y 2 m ,则 m ≥ 0,据此注意根的取舍 . 解:设 x 2 y 2 m ,则有 :m ≥0 ∴m m 1 12 整理得 :m 2 m 12 0 解之得 :m 1 3,m 2 4∵ m ≥ 0 ∴ m 3 22∴ x 2 y 2 的值为 3.习题 1. 解下列方程 :22习题 2. 解方程 : x 2 x 22 1.x 2 x习题 3. 阅读下面的材料 ,回答问题 :解方程 x 4 5x 2 4 0 ,这是一个一元四次方程 ,根据该方程的特点 ,它的解法通常是 : 设 x 2 y ,则原方程变形为 : y 2 5y 4 0 ①解之得 :y 1 1, y 2 4当 y 1时, x 2 1,解之得 : x 1 ;2当 y 4时,x 2 4,解之得 : x 2.综上 ,原方程的解为 : x 1 1, x 2 1, x 3 2, x 4 2 .（1）在由原方程得到方程 ①的过程中 ,利用 ________ 法达到 ________ 的目的 ,体现了数学的转化思想 ;（2）解方程 : x 2 x 2 4 x 2 x 12 0 .1) x 2 x 2 x 2 x 6 ;22) x 1 5 x 1 6 0 .特殊一元二次方程的解法举例某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例.例 1. 解方程: x2 5x 1 x2 5x 7 7.分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程, 这不是我们想看到的结果. 可使用换元法解该方程: 设x2 5x 1 t , 这样就能把原方程转化为关于t 的一元二次方程解:设x2 5x 1 t ,则原方程可转化为:t t 6 7∴ t 2 6t 7 0t 1 t 7 0∴ t 1 0或t 7 0∴ t1 1,t 27∴ x2 5x 1 1 或x2 5x 1 7由x2 5x 1 1得:x2 5x 0,解之得:x1 0,x25;由x2 5x 1 7 得:x2 5x 8 0 ,此时方程无解.综上,原方程的解为x1 0,x2 5.例 2. 解方程:x 2 x 2 0.解法1:当x ≥0,原方程可化为: x2 x 2 0,解之得:x 1（x 2舍去）;当x 0 时,原方程可化为:x2 x 2 0,解之得:x 1（x 2 舍去）.综上所述,原方程的解为x1 1,x2 1.解法2:原方程可化为: x 2 x 2 0∴ x 1 x 2 0∵ x 2 0∴ x 1 0, x 1∴x1 1, x2 1∴原方程的解为x1 1, x2 1.解法3:(图象法)原方程可化为: x 2 2 x设 f (x) x2 2,g(x) x ,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示∵两个函数的图象有两个交点1,1 和1,1∴方程x2 2 x 有两个实数根,且根为x1 1, x2 1 ∴原方程的解为x11, x2 1 .习题 1. 参照例 2 的解法,解方程: x2 6x x 3 3 0 .例 3. 解方程: x 1 x 2 x 3 x 4 48 .解: x 1 x 4 x 2 x 3 48∴ x 2 5x 4 x 2 5x 6 48设x2 5x 5 t ,则有: t 1 t 1 48∴ t2 1 48,t 2 49∴ t1 7, t 2 7第 21 页 5x 5 7时,解之得: x 15 33,x 2 5 33 ; 22当 x 2 5x 5 7 时,此时方程无解 . 综上所述 ,原方程的解为 x 1 5 233,x 2 5 233习题 2. 方程 x 2 2 x 4 27 0的所有根的和为 ________________ 1 1 1 习题 3. 已知实数 x 满足 x 2 2 x 0 ,那么 x 的值是 x 2x x （A ）1或 2 （B ） 1或 2（C ）1 【】 D ） 2。

一元二次方程的解法规律总结1．一元二次方程的解法1直接开平方法：根据平方根的意义,用此法可解出形如a x 2=a ≥0,b )a x (2=-b ≥0类的一元二次方程．a x 2=,则a x ±=；b )a x (2=-,b a x ±=-,b a x +=．对有些一元二次方程,本身不是上述两种形式,但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式,也可以用此法解．2因式分解法：当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0,使方程xx －3＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立,所以方程xx －3＝0有两个根,而不是一个根． 3配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方,把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时,可把方程化为7x 6x 2-=+,22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,即2)3x (2=+,从而得解． 注意：1“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．2解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点．3公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++a ≠0的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下,a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式,即0c bx ax 2=++a ≠0的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值要注意它们的符号；③计算0ac 4b 2<-时,方程没有实数根,就不必解了因负数开平方无意义；④将a 、b 、c 的值代入求根公式,求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程,而公式法则是最普遍,最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况,由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根．判别式的应用1不解方程判定方程根的情况；2根据参数系数的性质确定根的范围；3解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++a ≠0的两个根是21x x ，,那么a c x x ab x x 2121=⋅-=+，． 当a ＝1时,c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：1已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数；2已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；3已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；4已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用1面积问题；2数字问题；3平均增长率问题．步骤：①分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系包括隐含的；②设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系,并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意,并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的,但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．。

知识框架 知识点总结：一兀二次方程4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如 (X 可知，X a 是b 的平方根，当 b<0时，方程没有实数根。

(2) 配方法 配方法是一种重要的数学方法，2a) b 的一元二次方程。

根据平方根的定义b 0 时，X a4b , X a J b ，当它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2a 2ab b (a b)，把公式中的a 看做未知数x ，并用x X 2 2bx b 2(x b)2。

配方法解一元二次方程的一般步骤： 现将已知方程化为一般形式；代替，则有 化二次项系知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知 数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2; (3) 是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整 式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的形 式，则这个方程就为一元二次方程。

(4 )将方程化为一般形式： 3. 一元二次方程的一般形式 过整理，？都能化成如下形式 一个一元二次方程经过整理化成 是二次项系数；bx 是一次项， 2ax +bx+c=0时，应满足( :一般地，任何一个关于 X 2ax +bx+c=0 (aM 0)。

2ax +bx+c=0 (a 丰 0)后，b 是一次项系数；a 丰0) 的一元二次方程，经其中ax 2是二次项,c 是常数项。

数为1;常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边 配成一个完全平方式；变形为 (X+P) 2=q 的形式，如果q > 0，方程的根是x=-p ±V q ;如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法， 方法。