高三数学总复习知能达标训练

高三数学总复习知能达标训练第一章第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0解析 写命题的否定需要注意“任意”和“存在”的互换，还要注意小于等于的否定是大于，根据上述分析，可知选C.答案 C2．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案 D3．下列命题中，真命题是A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析 m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx 是偶函数．故选A.答案 A4．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x p 2：∃x ∈(0,1)，12log x ＞13log xp 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞12log x p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜13log x 其中的真命题是A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析 p 1是假命题，p 2是真命题，对于p 3，x ＝12时，1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ 12＝22＜1，12log 12＝1，∴p 3是假命题，对于p 4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，而13log x ＞13log 13＝1， ∴是真命题，故选D.答案 D5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∧p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析 ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数， ∴y ＝－2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为增函数， ∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D ，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A.故选择C.答案 C6．下列命题的否定是真命题的有①p：Δ＜0时方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根；②p：存在一个整数b，使函数f(x)＝x2＋bx＋1在[0，＋∞)上不是单调函数；③p：∃x∈R，使x2＋x＋1≥0不成立．A．0 B．1C．2 D．3答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．命题“存在向量a，b，使|a＋b|＝|a|＋|b|”的否定是________，它是________命题．答案对任意向量a，b，|a＋b|≠|a|＋|b|.假．8．已知命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．解析当1≤x≤2时，8≥x2＋2x≥3，如果“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题应有－a≤8，所以a≥－8.答案a≥－89．已知命题p：∃m∈R，m＋1＜0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．解析因为p∧q为假命题，所以p、q中至少有一个为假命题，而命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2，又命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m＜－1，故综上可知：m≤－2.答案m≤－2三、解答题(38分)10．(12分)写出下列命题的“否定”，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解析 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，这是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1＞0成立．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题，这是由于x ＝－1时，x 3＋1＝0.11．(12分)设命题p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]的值域为[－1,3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解析 由0＜a －32＜1得32＜a ＜52.∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，得2≤a ≤4.∵p 且q 为假，p 或q 为真，得p 、q 中一真一假．若p 真q 假得，32＜a ＜2，若p 假q 真得，52≤a ≤4.综上，32＜a ＜2或52≤a ≤4.12．(14分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围． 解析 由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x ＞1c 恒成立，则2＞1c ，即c ＞12.又由p 或q 为真，p 且q 为假知， p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12.当p 为假，q 为真时，c ≥1. 综上，c的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12或c ≥1.。

高三数学总复习知能达标训练第三章 第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．sin 2(π＋α)－cos (π＋α)·cos (－α)＋1的值为 A ．1 B ．2sin 2α C ．0D ．2解析 原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案 D2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于A ．mB ．－m C.1－m 2D ．－1－m 2解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m .∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m . 答案 A3．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是 A ．－2 B ．2 C ．±2D.12解析 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝2. 答案 B4．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A 等于 A.153 B ．－153 C.53D ．－53解析 ∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin 2A ＝23，即2sin A cos A ＝23， ∴0＜A ＜π2，(sin A ＋cos A )2＝53， sin A ＋cos A ＝153. 答案 A5．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝π3，则sin 2θ等于A ．－79 B ．－19 C.19D.79解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，两边平方12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79.答案 A6．下列关系式中正确的是 A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析 注意到sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin 80°，且0°＜11°＜12°＜80°＜90°， 因此sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， 即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°，选C. 答案 C二、填空题(3×4分＝12分)7．(2011·重庆)若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则tan α＝________.解析 ∵cos α＝－35且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴sin α＝－45，∴tan α＝43. 答案 438．(2011·大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan α＝2，则cos α＝________.解析 ∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2， ∴sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(2cos α)2＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos α＝－55.答案 －559．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ的值是________． 解析 由已知sin θ＋cos θ＝15，①得2sin θcos θ＝－2425， 又π2≤θ≤3π4， ∴cos θ＜0，sin θ＞0.(cos θ－sin θ)2＝4925，则sin θ－cos θ＝75，② 由①②知cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案 －725 三、解答题(38分)10．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－2＋33.11．(12分)求证：2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝cos α1＋sin α－sin α1＋cos α.证明 右边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝(cos α－sin α)＋(cos 2α－sin 2α)1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(1＋cos α＋sin α)1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝2(cos α－sin α)(1＋cos α＋sin α)2(1＋sin α＋cos α＋sin αcos α). ∵2(1＋sin α＋cos α＋sin αcos α)＝1＋sin 2α＋cos 2α＋2sin α＋2cos α＋2sin αcos α ＝(1＋sin α＋cos α)2. ∴等式成立．12．(14分)已知0＜α＜π2，sin α＝45. (1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．解析 ∵0＜α＜π2，sin α＝45， ∴cos α＝35，tan α＝43，(1)sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α ＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋2×432－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝20.(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.。

高三数学总复习知能达标训练第六章第三节二元一次不等式 ( 组) 与简单的线性规划(时间分钟，满分分 )一、选择题 (×分＝分 )．( ·纲领全国卷 )若变量，知足拘束条件 (\\( ＋≤，－≤－，≥， ))则＝＋的最小值为．．．．分析如图，作出可行域 (暗影 )，再作出初始直线：＋＝，即＝－，发现向上挪动时愈来愈大，故平移到过点时最小，又()，∴＝＋＝.答案．设变量，知足拘束条件(\\( ≥，＋－≤，－＋≤， ))则目标函数＝－的最大值为．－．．分析作出可行域如图．＝－在 ()获得最大值．＝×－＝ .答案．( ·湖北 )已知向量＝ (＋)，＝ (，－ )，且⊥ .若，知足不等式＋≤，则的取值范围为．[－]．[－]．[－]．[－]分析∵＝(＋ )，＝ (，－ )，且⊥，∴·＝(＋)＋(－ )＝，即＋－＝，又＋≤ 表示的地区如图暗影，∴当＋－＝过点 (，－ )时，＝－，当＋－＝过点 ()时，＝，∴∈[－]．答案．设不等式组 (\\(＋－≥，－＋≥，－＋≤， )) 表示的平面地区为，若指数函数＝的图象上存在地区上的点，则的取值范围是．(]．[]．(]．[，＋∞ )分析不等式组 (\\( ＋－≥ －＋≥－＋≤))对应的地区以下图，若指数函数＝的图象上存在地区上的点，则＞，解方程组(\\(＋－＝－＋＝))，得(\\(＝＝))，则＜≤.答案．若实数，知足不等式组(\\( ＋－≥，－－≤，－＋≥，))且＋的最大值为，则实数等于．－．－．．分析不等式组 (\\( ＋－≥ －－≤－＋≥))，对应的地区以下图，作直线：＋＝，可察看出＋在点取到最大值 .解方程组 (\\( －－＝＋＝ ))，得(\\(＝＝))代入－＋＝得＝ .答案．( ·湖南 )设＞，在拘束条件 (\\(≥≤＋≤ ))下，目标函数＝＋的最大值小于，则的取值范围是．(＋)．(＋，＋∞ )．()．(，＋∞ )分析画出可行域以下图．将目标函数化为斜截式为＝－＋，联合图形能够看出当目标函数过＝与＋＝的交点时取到最大值，联立 (\\( ＝，＋＝， ))得交点坐标为.由题意得＜，又＞，∴＜＜＋ .答案二、填空题 (×分＝分 )．若变量，知足条件 (\\(－≤－＋≥ ))，则＝＋的最大值为．分析作出可行域以下图作出直线：＋＝，由图可知当：＋＝由图可知当平移到点时，最大，解方程组(\\(－＝－＋＝ ))得(\\( ＝()＝()))，∴，∴＝＋＝.答案．已知变量，知足拘束条件 (\\(＋－≤＋－≥－≤ )) ，若目标函数＝＋ ( 此中＞ )仅在点 ()处获得最大值，则的取值范围为．分析由拘束条件表示的可行域以下图，作直线：＋＝，过()点作的平行线′，则直线′介于直线＋－＝与过 ()点与轴垂直的直线之间，所以，－＜－，即＞.答案．设＞，在拘束条件 (\\(≥，≤，＋≤， ))下，目标函数＝＋的最大值为，则的值为．分析画出可行域如图．目标函数化为斜截式为＝－＋.当目标函数过＝与＋＝的交点时，有最大值，联立 (\\( ＝＋＝ ))得交点坐标为，代入目标函数得＝＋·＝，解得＝ .答案三、解答题 (分)．(分)已知 (\\( ＋－≥，－＋≥，－－≤， )) ＋在，取何值时获得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？分析以下图可作出不等式组表示的地区，过原点作垂直于直线＋－＝，垂足为，则＋在、点分别获得了最大值和最小值．由(\\( －－＝，－＋＝， )) 得 (\\(＝，＝ .)) 即()．由(\\( ＝()，＋－＝， ))得(\\(＝()，＝().))即.∴＋的最大值和最小值分别为， .．(分)、两地分别生产同一规格产品千吨、千吨，而、、三地分别需要千吨、千吨，千吨，每分析运价(万元千吨 )到到到从从设从到运千吨，则从到运(－)千吨；从到运千吨，则从到运(－ )千吨；从到运 (－－ )千吨，则从到运 (＋－ )千吨，则线性拘束条件为 (\\( ≤≤，≤≤ ，≤＋≤，))线性目标函数为＝＋＋ (－－ )＋ (－ )＋(－)＋ (＋－ )＝－＋＋，如上图作出可行域，可察看出目标函数在 ()点取到最小值，即从到运千吨，从到运千吨，从到运千吨，从到运千吨，可使总的运费最少．．(分)设、知足≤＋≤且＋≥－ . ()求点 (，)所表示的平面地区；()设＞－，在 ()所确立的地区里，求函数(，)＝－的最大值和最小值．分析()点(， )所在的平面地区如图 (暗影部分 )．此中：＝－，：＝－＋，()(，)是直线：－＝在轴上的截距，直线必与暗影订交．由＞－，则经过极点时，(，)最大，又点的坐标为 (－)，于是 (，)的最大值为 3a＋.假如－＜≤，则经过点 (，－ )时，(， )最小，此时最小值为－ 2a－ . 假如＞，则经过点 ()时， (， )最小，此时最小值为－ 3a＋.。

高三数学总复习知能达标训练第六章第六节 直接证明与间接证明(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．(2012·青岛模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是A．0 B．1C．2 D．3解析　①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.答案　C2．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b解析　a＝，b＝，c＝.∵0＜＋＜＋＜＋，∴＞＞.∴a＞b＞c答案　A3．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2解析　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案　D4．(2012·临沂模拟)命题“如果数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n，那么数列{a n}一定是等差数列”是否成立A．不成立 B．成立C．不能断定 D．能断定解析　∵S n＝2n2－3n，∴S n－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴a n＝S n－S n－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵a n＋1－a n＝4(n≥1)，∴{a n}是等差数列．答案　B5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案　B6．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若＞，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则＞D．若a2＞b2且ab＞0，则＜答案　C二、填空题(3×4分＝12分)7．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为________．解析　由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)·f(－1)＜0，∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0.∴－1＜a＜－.答案　－1＜a＜－8．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋≥________.解析　＋＋＝＋＋＝3＋≥3＋(2＋2＋2)＝9.答案　99．(2012·莱芜调研)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，x n，有≤f，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．解析　∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f＝f，即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为.答案　三、解答题(38分)10．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.(1)证明：是f(x)＝0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：－2＜b＜－1.解析　(1)证明　∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不相等的实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根．又x1·x2＝，∴x2＝.∴是f(x)＝0的一个根．(2)假设＜c，又＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f＞0与f＝0矛盾，∴≥c，又∵≠c，∴＞c.(3)证明　由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－＝＜＝x2＝，即－＜.又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.11．(12分)(2012·合肥模拟)(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．解析　(1)证明　x是正实数，由均值不等式知x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)若x∈R不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，当x＞0时，不等式成立；当x≤0时，8x3≤0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2·(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)≥0，此时不等式仍然成立．12．(14分)已知在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)，b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求当正整数m为何值时，T n＞对于任意n∈N*恒成立．解析　由a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，可得a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，所以数列{a n}是一个等差数列，其首项a1＝8，公差d＝＝－2，所以a n＝8－2(n－1)＝10－2n，所以b n＝＝＝，所以T n＝＝＝，因为＝，n∈N*，所以当n＝1时，T n取得最小值，欲使＞对于任意n∈N*恒成立，只需＜，解得m＜3，又m∈N*，所以m＝1,2.。

高三数学总复习知能达标训练第八章第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案 C2．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 中点，则直线AB 的方程是A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0答案 A3．圆心在抛物线y 2＝2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0 解析 设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，依题意有a 22＋12＝|a |， 得圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1. 答案 D4．(2012·台州模拟)圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 圆的圆心(－1，－2)，半径R ＝22，而圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2.答案 C5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－3，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0 解析 设弦心距为d ，则d ＝ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22≤1， 即|2k －3＋3|k 2＋1≤1，解得－33≤k ≤33. 答案 B6．(2011·江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 C 1化为标准式(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y －mx －m ＝0⇒y ＝m (x ＋1)，当m ＝0时，C 2：y ＝0此时C 2与C 1仅有两交点；当m ≠0时，易知要满足题意需(x －1)2＋y 2＝1与y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时m ＝±33，∴直线处于两切线之间，即－33＜m ＜0或0＜m ＜33.综上m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．(2012·中山模拟)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.解析 d ＝|a ＋1|a 2＋1，由已知条件d 2＋3＝4， 即d 2＝1，|a ＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝0. 答案 08．过点(－1，－2)的直线被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析 当斜率不存在时，易知l 与圆相离，∴斜率存在，设圆的斜率为k ，∴l ：y ＋2＝k (x ＋1)，即：kx －y ＋k －2＝0，对于圆的方程，可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)，半径为1，∴圆心到l 的距离：d ＝|k －1＋k －2|k 2＋1＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222⇒(7k －17)(k －1)＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案 k ＝1或k ＝1779．(2011·湖南)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________．(2)圆C 上任一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析 (1)圆心(0,0)，∴d ＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5. (2)如图设直线l ′∥l ，且l ′与圆交于P 、Q 两点，过圆心作AB ⊥l 交l 于B 交l ′于C ，∵|BC |＝2，|OC |＝5－2＝3，又|OP |＝12＝23，∴∠OPQ ＝60°，平移A 到l 距离小于2，则A 在PAQ 上，∴P ＝60°360°＝16.答案 (1)5 (2)16三、解答题(38分)10．(12分)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为M 、N ，证明：直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证明 证法一 设M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵M 、N 在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴过M 、N 的切线方程分别是：x 1x ＋y 1y ＝r 2，x 2x ＋y 2y ＝r 2，又P 是两切线公共点，即有：x 1x 0＋y 1y 0＝r 2，x 2x 0＋y 2y 0＝r 2，上两式表明点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在二元一次方程x 0x ＋y 0y ＝r 2表示的直线上．所以直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证法二 以OP 为直径的圆的方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12y 02＝14(x 20＋y 20)， 即x 2＋y 2－x 0x －y 0y ＝0，又圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，两式相减得x 0x ＋y 0y ＝r 2，这便是过切点M 、N 的直线方程．11．(12分)一直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．解析 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4.∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．(2)当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， ∴|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3， 解得k ＝－34.所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.12．(14分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析 (1)对于y ＝x 2－6x ＋1，令x ＝0得y ＝1，令y ＝0得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，∴曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴交于(0,1)与x 轴交于(3＋22，0)及(3－22，0)，设该圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将以上三点代入．解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1.∴x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0即(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0(x －3)2＋(y －1)2＝9消y 得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，由已知Δ＝(2a －8)2－2×4(a 2－2a ＋1)＝56－16a －4a 2＞0.∴－2－32＜a ＜－2＋32(*)∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0⇒a ＝－1符合(*)，∴a ＝－1.。

高三数学总复习知能达标训练第六章第七节数学归纳法(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．(2012·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D2．用数学归纳证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1解析增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案 C3．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．答案 D4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1 D ．以上各种情况均不对解析 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1. 答案 C5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －3解析 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2，故应选B.答案 B6．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.比较上述两个式子，n＝k＋1时，等式的左边是在假设n＝k时等式成立的基础上，加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案 D二、填空题(3×4分＝12分)7．(2012·淮南调研)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)28．观察不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．解析3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n－1＞n2.答案1＋12＋13＋…＋12n－1＞n29．(2012·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n 2＝60，∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案 (5,7)三、解答题(38分)10．(12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解析 (1)由题意a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13， ∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13， ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k·(2a k ＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1.∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．11．(12分)已知△ABC 的三边长都是有理数．(1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． 证明 (1)设三边长分别为a ，b ，c ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ，b ，c 是有理数，b 2＋c 2－a 2是有理数， 分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，∴b 2＋c 2－a 22bc 必为有理数，∴cos A 是有理数．(2)①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数． 当n ＝2时，cos 2A ＝2cos 2A －1，因为cos A 是有理数，∴cos 2A 也是有理数． ②假设当n ＝k －1，n ＝k (k ≥2)时，结论成立， 即cos kA 、cos (k －1)A 均是有理数．当n ＝k ＋1时，cos (k ＋1)A ＝cos kA cos A －sin kA sin A＝cos kA cos A －12[cos (kA －A )－cos (kA ＋A )]＝cos kA cos A －12cos (k －1)A ＋12cos (k ＋1)A ，解得：cos (k ＋1)A ＝2cos kA cos A －cos (k －1)A ， ∵cos A ，cos kA ，cos (k －1)A 均是有理数， ∴2cos kA cos A －cos (k －1)A 是有理数，∴cos (k ＋1)A 是有理数，即当n ＝k ＋1时，结论成立，综上所述，对于任意正整数n ，cos nA 是有理数．12．(14分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4与b 2，b 3，b 4的值，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．解析 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1. 又a 1＝2，b 1＝4，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16， a 4＝20，b 4＝25，猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝2，b 1＝4，结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2， ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．。

高三数学总复习知能达标训练第五章第二节 等差数列及其前n 项和(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若x ≠y ，两个等差数列x ，a 1，a 2，y 与x ，b 1，b 2，b 3，y 的公差分别为d 1和d 2，则d 2d 1等于 A.23B.32C.34D.43解析 d 1＝y －x 4－1＝y －x 3，d 2＝y －x 5－1＝y －x 4. ∴d 2d 1＝34. 答案 C2．(2011·大纲全国卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于A ．8B ．7C ．6D ．5解析 ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d＝2×1＋(2k ＋1)×2＝24.∴k ＝5.答案 D3．(2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析 由题意知a 27＝a 3a 9，即(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，∴a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×9d 2＝10×20＋10×9×(－2)2＝110. 答案 D4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．220解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 18＋a 19＋a 20＝3(a 1＋a 20)＝54，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝20×542×3＝180. 答案 B5．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 由⎩⎨⎧a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0，2a n ＝a n ＋1＋a n －1，得a 2n －2a n ＝0， 又a n ≠0，∴a n ＝2，S 2n －1－4n ＝2(2n －1)－4n ＝－2.答案 A6．等差数列中，a 1＝125，第10项开始比1大，则公差d 的范围是A ．d ＞875B ．d ＜325 C.875＜d ≤325D.875＜d ＜325 解析 a 10＝125＋9d ＞1，a 9＝125＋8d ≤1，∴875＜d ≤325.答案 C二、填空题(3×4分＝12分)7．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋2×12d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，∴⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2， ∴a 5＝a 1＋4d ＝－1.答案 －18．(2011·天津)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10＝________.解析 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 1＋2d ＝16且20a 1＋20×192d ＝20.∴a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝20×10＋10×9×(－2)2＝110. 答案 1109．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析 设所构成数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎨⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝6766. 答案 6766三、解答题(38分)10．(12分)(2011·福建)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k .解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，则1＋2d ＝－3，∴d ＝－2.∴a n ＝1＋(n －1)(－2)＝－2n ＋3.(2)S k ＝k ＋k (k －1)2×(－2)＝－k 2＋2k ＝－35， ∴k ＝7.11．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }的首项为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＝1a 1·1a 4，∴a 22＝a 1a 4， ∴(a ＋d )2＝a (a ＋3d )，∴d ＝a .故a n ＝a ＋(n －1)a ＝an .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n， 由于a 2n ＝2n a ，∴T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝1a ·12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .当a ＞0时，T n ＜1a ；当a ＜0时，T n ＞1a .12．(14分)在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值；(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36，∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 917－9＝248＝3， ∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63，a n ＋1＝3n －60， 令⎩⎨⎧ a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21， ∴S 20＝S 21＝20×[－60＋(－3)]2＝－630. ∴当n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0， 以后各项均为正数．当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－n (－60＋3n －63)2 ＝－32n 2＋1232n .当n ＞21时，T n ＝S n －2S 21＝n (－60＋3n －63)2－2S 21 ＝32n 2－1232n ＋1 260.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32n 2＋1232n ， n ≤21，n ∈N *，32n 2－1232n ＋1 260， n ＞21，n ∈N *.。

高三数学总复习知能达标训练第二章第七节函数图象(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．由方程x|x|＋y|y|＝1确定的函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析①当x≥0且y≥0时，x2＋y2＝1，②当x＞0且y＜0时，x2－y2＝1，③当x＜0且y＞0时，y2－x2＝1，④当x＜0且y＜0时，无意义．由以上讨论作图象，易知是减函数．答案 B2．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为A．4 B．5C．6 D．7解析由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图实线部分f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．答案 C3．函数y＝e|ln x|－|x－2|的图象大致是解析y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －2，0＜x ≤1，2x －2， 1＜x ≤2，2， x ＞2.答案 C4．若函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0且a ≠1)是增函数，那么g (x )＝log a (x ＋1)的图象是下图中的解析 f (x )＝a x －1a x 为增函数，所以a ＞1.而y ＝log a (x ＋1)的图象由y ＝log a x 向左平移一个单位得到． 答案 C5．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为解析 本题先采用排除法，因为初始位置P 0(2，－2)到x 轴距离d ＝2，故排除A 和D ，又因为当t ＝π4时，θ＝ωt ＝π4，此时P 点恰好落在x 轴上，此时d ＝0，所以选择C 排除B .答案 C6．(2011·陕西)设f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是解析 f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，f (x )图象关于y 轴对称，排除A 、C. f (x ＋2)＝f (x )，2是f (x )的一个周期，排除D. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分) 7．将函数f (x )＝x ＋2x －1的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到函数g (x )的图象，则g (1)＋2g (2)＋3g (3)＝________.解析 由题意得g (x )＝(x ＋1)＋2(x ＋1)－1－1＝3x ，因此g (1)＋2g (2)＋3g (3)＝9. 答案 98．如下图所示，向高为h 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________； (2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________； (3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________； (4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．答案 (1)A (2)D (3)B (4)C9．已知最小正周期为2的函数y ＝f (x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象与y ＝|log 5x |的图象的交点个数为________个．解析 易知x ∈R 时，f (x )≤1.∴当x ＞5时，y ＝|log 5x |＞1与函数y ＝f (x )的图象无交点． 作两函数的图象如图所示．由图象知，两图象有5个交点． 答案 5三、解答题(38分)10．(12分)设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )． (1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解析 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0， Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4；当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．11．(12分)利用函数图象讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解析 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k ＜0时，方程没有实数根；当k ＝0或k ＜－1或k ≥1时，方程只有一个实数根； 当0＜k ＜1时，方程有两个不相等的实数根．12．(14分)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实 数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．解析 (1)证明 设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图象上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)．因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0，所以P ′也在y ＝f (x )的图象上，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1. 又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7， 而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]． 所以f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋7， x ∈[－4，－2]，－2x －1， x ∈[－2，0].。

高三数学总复习知能达标训练第九章第四节用样本估计总体(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．(2011·四川)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18[27.5,31.5)11[31.5,35.5)12[35.5,39.5)7[39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是A.16 B.13C.12 D.23解析由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为2266＝13.答案 B2．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A．84,4.84 B．84,1.6C．85,4 D．85,1.6解析由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，其余得分为84,84,86,84,87，故平均分为84×3＋86＋875＝85，方差为15[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.答案 D3．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为A ．300B ．360C ．420D ．450解析 图中70.5公斤以上的人数的频率为(0.04＋0.035＋0.015)×2＝0.18，则该校男生体重在70.5公斤以上的人数为2 000×0.18＝360.答案 B4．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是A ．90B ．75C ．60D ．45解析 净重小于100克的频率是(0.050＋0.100)×2＝0.30，故这批产品的个数x 满足36x ＝0.30，即x ＝120，净重大于或等于98克且小于104克的频率是(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，故所求产品的个数是120×0.75＝90.答案 A5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为A ．18B ．36C ．54D ．72解析 由0.02＋0.05＋0.15＋0.19＝0.41， ∴落在区间[2,10]内的频率为0.41×2＝0.82. ∴落在区间[10,12)内的频率为1－0.82＝0.18.∴样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36. 答案 B6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x －，则A ．m e ＝m o ＝x －B ．m e ＝m o ＜x －C ．m e ＜m o ＜x －D ．m o ＜m e ＜x －解析 30个数中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数为m e ＝5＋62＝5.5， 众数为m o ＝5，x －＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930. 答案 D二、填空题(3×4分＝12分)7．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图，则在区间[4,5)上的数据的频数为________．解析 对于在区间[4,5)的频率组距的数值为1－(0.4＋0.15＋0.1＋0.05)＝0.3，而样本容量为100，因此频数为30.答案 308．(2011·浙江)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析 由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3 000×0.2＝600.答案 6009．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是________、________.解析 ∵中位数为10.5，∴a ＋b2＝10.5，a ＋b ＝21， ∵x －＝2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋2010＝10，∴s 2＝110[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a )2＋(10－b )2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]．令y ＝(10－a )2＋(10－b )2＝2a 2－42a ＋221 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2122＋12， 当a ＝10.5时，y 取最小值，方差s 2也取最小值． ∴a ＝10.5，b ＝10.5. 答案 10.5,10.5三、解答题(38分)10．(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差．解析 (1)乙班的平均身高较高(可由茎叶图判断或计算得出)．(2)因为甲班的平均身高为x －＝110(182＋170＋171＋179＋179＋162＋163＋168＋168＋158)＝170(cm)．所以甲班的样本方差s 2＝110[(182－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(158－170)2]＝110(122＋12＋92＋92＋82＋72＋22＋22＋122)＝57.2.11．(12分)(2011·广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解析 (1)由16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，得x 6＝90. s ＝16[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝7.(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，其成绩的所有可能的结果为(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种．其中恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的结果为(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种．故恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为P ＝410＝25.12．(14分)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．(1)假设n ＝2，求第一大块地都种植品种甲的概率；(2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm 2)如下表：果，你认为应该种植哪一品种？附：(样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为样本平均数．)解析 (1)设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4.令事件A 为“第一大块地都种植品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个，分别为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．而事件A 包含1个基本事件：(1,2)． 所以P (A )＝16.(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为x－甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，s2甲＝18[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为x－乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，s2乙＝18[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且品种乙的样本方差小于品种甲的样本方差，故应该选择种植品种乙．。

高三数学总复习知能达标训练第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案 A2．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC答案 C3．(2012·潜江模拟)ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直解析∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.则AN＝CN，在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.答案 B4．如图，已知E、F分别为正四面体ABCD所在棱的中点，则异面直线AC与EF所成的角为A．30°B．45°C ．60°D ．90°解析 如图，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，则∠GEF 为异面直线AC 与EF 所成角，∵EG ＝12AC ＝12BD ＝GF ，又可证AC ⊥BD ，∴∠EGF ＝90°，则∠GEF ＝45°. 答案 B5．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 如图，可补成一个正方体，∴AC 1∥BD 1.∴BA 1与AC 1所成角的大小为∠A 1BD 1. 又易知△A 1BD 1为正三角形， ∴∠A 1BD 1＝60°.∴BA 1与AC 1成60°的角． 答案 C6．(2012·兰州模拟)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°解析 解法一 如图，取BC 的中点D ，连接AD ，B 1D ， 由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1知AD ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥BC 1， 又BB 1BD ＝B 1C 1BB 1＝ 2知△BB 1C 1∽△DBB 1， ∴∠B 1C 1B ＝∠BB 1D ， 因此B 1D ⊥BC 1，∴BC 1⊥平面ADB 1，则BC 1⊥AB 1.解法二 如图，取AB 、BB 1、B 1C 1、BC 的中点D 、E 、F 、G ，连接DE 、EF 、DF 、FG 、DG ， 设AB ＝1可求出DG ＝12，GF ＝22， 可证明FG ⊥平面ABC ，在Rt △DGF 中DF 2＝DG 2＋GF 2＝34， 又可求出DE ＝12AB 1＝64，EF ＝12BC 1＝64，在△DEF 中DF 2＝DE 2＋EF 2， ∴∠DEF ＝90°，即AB 1⊥C 1B .解法三 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ， AB 1→＝a ＋c ，BC 1→＝b －a ＋c ， AB 1→·BC 1→＝(a ＋c )·(b －a ＋c )＝a ·b －a 2＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＋c 2＝12|a |2－a 2＋12|a |2＝0. ∴AB 1→⊥BC 1→. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．如图，P A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，且P A ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．答案 28．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝BC ，则PC 与AB 所成角的大小为________．解析 取P A 、AC 、CB 的中点分别为E 、F 、G ，连接EF 、FG 、GE . 则∠EFG 或其补角为PC 与AB 所成的角，设P A ＝1，则EF ＝12PC ＝22， FG ＝12AB ＝22，EG 2＝EA 2＋AC 2＋CG 2＝32，在△EFG 中，cos ∠EFG ＝EF 2＋FG 2－EG 22EF ·FG ＝－12， 则∠EFG ＝120°，∴PC 与AB 所成角的大小为60°. 答案 60°9．(2011·大纲全国卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 和BC 所成角的余弦值为________．解析取A1B1的中点F，连接EF，AF，则EF∥B1C1∥BC.∴∠AEF为异面直线AE与BC所成的角．设正方体的棱长为a，则AF＝52a，EF＝a，∵EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥AF，∴AE＝AF2＋EF2＝32a，∴cos ∠AEF＝EFAE ＝2 3.答案2 3三、解答题(38分)10．(12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D 与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明如图，连接BD、B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平面图形且为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，又∵H∈平面ACD1，且平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线．11．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证AC⊥BC1；(2)求证AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．解析(1)证明在直棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩C1C＝C，则AC⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1.(2)证明如图，设BC1∩B1C＝E，连接DE，E为BC1中点，又∵D 为AB 的中点． ∴AC 1∥DE ，AC 1⊄平面CDB 1， DE ⊂平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.(3)∠DEC (或其补角)即为异面直线AC 1与B 1C 所成的角， 在Rt △ACB 中，CD ＝12AB ＝52， DE ＝12AC 1＝52，CE ＝12CB 1＝22，在△CED 中，cos ∠DEC ＝DE 2＋CE 2－CD 22DE ·CE ＝255，即异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为255.12．(14分)(2011·广东)如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A ，A ′，B ，B ′分别为CD ，''C D ，DE ，''D E 的中点，O 1，O ′1，O 2，O ′2分别为CD ，C ′D ′，DE ，D ′E ′的中点．(1)证明：O ′1，A ′，O 2，B 四点共面；(2)设G 为AA ′中点，延长A ′O ′1到H ′，使得O ′1H ′＝A ′O ′1.证明：BO ′2⊥平面H ′B ′G .证明 (1)由题意知A ′，O ′1，B ′，O ′2四点共面． ∵O ′1，O ′2分别为C ′D ′，D ′E ′的中点，A ′，B ′分别为''CD ，''DE 的中点，∴O ′1A ′∥B ′O ′2. 又O 2，B 分别为DE ，DE 的中点，连接BO 2，∴BO2∥B′O′2，∴O′1A′∥BO2.∴O′1，A′，O2，B四点共面．(2)如图所示，连接AO1，并延长至H，使得O1H＝AO1，连接H′H，HB，O2O′2，O1O′1，HO′1，则得长方体HBO2O1－H′B′O′2O′1，∴HO′1∥BO′2，H′B′⊥BO′2.取A′G的中点F，连接O′1F，HF，则O′1F綊12H′G.由题意，在Rt△H′A′G中，H′A′＝2，A′G＝1，∴H′G＝H′A′2＋A′G2＝22＋12＝5，∴O′1F＝52.在Rt△HAF中，HA＝2，AF＝3，2∴HF＝HA2＋AF2＝52.在Rt△HH′O′1中，HH′＝2，H′O′1＝1，∴HO′1＝HH′2＋H′O′21＝22＋12＝ 5.∴O′1F2＋HO′21＝HF2.∴HO′1⊥O′1F.又O′1F∥H′G，∴HO′1⊥H′G.∴BO′2⊥H′G.又H′B′⊥BO′2，H′B′∩H′G＝H′，∴BO′2⊥平面H′B′G.。

高三数学总复习知能达标训练第五章 第四节 数列的通项及数列求和(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为 A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.答案 C2．数列9,99,999,9 999，…的前n 项和等于 A ．10n －1 B.109(10n －1)－n C.109(10n －1)D.109(10n －1)＋n解析 a n ＝10n －1，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1) ＝(10＋102＋…＋10n )－n ＝10(10n －1)9－n .答案 B3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和T n ＝32164，则项数n 等于 A ．13 B ．10 C ．9D ．6解析 a n ＝1－12n ，因此S n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，由n －1＋12n ＝32164， 可观察出n ＝6.答案 D4．(2021·四川)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于A ．0B ．3C ．8D ．11解析 设{b n }的首项为b 1，公差为d ， 则b 1＋2d ＝－2，b 1＋9d ＝12， ∴b 1＝－6，d ＝2.∴b n ＝2n －8. 又b n ＝a n ＋1－a n ，∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝b 7＋b 6＋b 5＋…＋b 1＋a 1＝7(－6＋2×7－8)2＋3＝3.答案 B5．(2021·昆明模拟)数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为A ．11B ．99C ．120D ．121解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案 C6．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n 的前n 项和S n 等于A.3n －1n ＋1B.2nn ＋1C.3nn ＋1D.4nn ＋3解析 a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1， 所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．(2021·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵树，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．解析 假设20位同学是1号到20号依次分列，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁．此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，所有同学往返的路程为s ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000. 答案 2 0008．已知数列{a n }满足a n ＋1a n＝n ＋2n (n ∈N *)，且a 1＝1，且a n ＝________.解析 本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知可得，当n ≥2时利用累积法得：a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1·31·42·53·…·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2，又验证知a 1＝1也适合，故a n ＝n (n ＋1)2.答案n (n ＋1)29．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )，(n ∈N *)的前n 项和是________．解析 ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，即f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )，(n ∈N *)的前n 项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 答案 n n ＋1三、解答题(38分)10．(12分)(2021·纲目全国卷)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求a n ； (2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，证明S n ＜1. 解析 (1)∵11－a n ＋1－11－a n ＝1，11－a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是等差数列，首项为1，公差为1， ∴11－a n＝1＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝n －1n . (2)证明 由(1)知a n ＋1＝nn ＋1，b n ＝1－n n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1n＝1n－1n ＋1.∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，显然S n ＜1. 11．(12分)按照下列数列的通项公式，求数列{a n }的前n 项和S n . (1)a n ＝0.999…9n 个； (2)a n ＝n (n ＋1)； (3)a n ＝n ·2n ； (4)a n ＝a n (a n －1)．解析 (1)a n ＝0.999…9n 个＝1－110n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n ＝n －19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(2)解法一 a n ＝n (n ＋1)＝n 2＋n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n 2＋n ) ＝(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋…＋n ) ＝13n (n ＋1)(n ＋2)．解法二 a n ＝n (n ＋1)＝A2n ＋1，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝A22＋A23＋…＋A2n ＋1 ＝A22(C22＋C23＋…＋C2n ＋1) ＝A22C3n ＋2＝13n (n ＋1)(n ＋2)． (3)∵a n ＝n ·2n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋2×22＋…＋n 2n ，①∴2S n ＝22＋2×23＋…＋(n －1)2n ＋n 2n ＋1.② ①－②得：－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n 2n ＋1 ＝2(2n －1)－n 2n ＋1， ∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.(4)①若a ＝0，则a n ＝0，∴S n ＝0. ②若a ＝1，则a n ＝0，∴S n ＝0. ③若a ＝－1，则a n ＝1－a n .S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(1－a )＋(1－a 2)＋…＋(1－a n ) ＝n －a (1－a n )1－a ＝n ＋1＋(－1)n ＋12.④若a ≠0，a ≠±1， 则a n ＝a n (a n －1)＝a 2n －a n ， S n ＝(a 2－a )＋(a 4－a 2)＋…＋(a 2n －a n ) ＝(a 2＋a 4＋…＋a 2n )－(a ＋a 2＋…＋a n ) ＝a 2(1－a 2n )1－a 2－a (1－a n )1－a .12．(14分)若公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1＝1且满足a n ＝a n －1＋a n －22(n ＝3,4，…)．(1)求c 的值；(2)求数列{na n }的前n 项和S n . 解析 (1)由题设，当n ≥3时， a n ＝c 2a n －2，a n －1＝ca n －2， a n ＝a n －1＋a n －22＝1＋c 2a n －2.由题设条件可得a n －2≠0，因此c 2＝1＋c2.即2c 2－c －1＝0，解得c ＝1或c ＝－12. (2)由(1)，需要分两种情况讨论． 当c ＝1时，数列{a n }是一个常数列． 即a n ＝1(n ∈N *)．这时，数列{na n }的前n 项和S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 当c ＝－12时，数列{a n }是一个公比为－12的等比数列． 即a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．这时，数列{na n }的前n 项和S n ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.①①式两边同乘－12，得－12S n ＝－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋n (－12)n .② ①式减去②式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n1＋12－n⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n. 所以S n ＝19⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－(－1)n ·3n ＋22n －1(n ∈N *)． 即当c ＝1时，S n ＝n (n ＋1)2，当c ＝－12时，S n ＝19⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－(－1)n ·3n ＋22n －1(n ∈N *)．。

高三数学总复习知能达标训练第二章第十一节定积分的观点与微积分基本定理(时间 40 分钟，满分 80 分)一、选择题 (6× 5 分＝ 30 分)ππ1．(2011 湖·南 )由直线 x ＝－ 3， x ＝ 3， y ＝ 0 与曲线 y ＝ cos x 所围成的关闭图形的面积为1 B ．1A. 2 3C. 2D. 33cos xdx ＝sin x|3ππ分析S ＝＝ sin 3－sin－3＝ 3.33答案 D2．以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体， t 秒时辰的速度 v ＝ 40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为160 80A. 3 mB. 3 m40 20 C. 3 mD. 3 m分析v ＝ 40－10t 2＝ 0， t ＝2，2210 3210160|0 ＝40×2－(40 10t )dx ＝ 40t － 3 t3 ×8＝3 (m)．答案A3．一物体在变力 F(x)＝ 5－ x 2(力单位： N ，位移单位： m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直线运动，则由 x ＝1 运动到 x ＝2 时 F(x)作的功为2 3 A. 3 JB.3 J4 3C. 3JD ． 2 3 J分析因为 F(x)与位移方向成 30°角．如图： F 在位移方向上的分力 F ′＝F ·cos 30 ，°2 x 2) ·cos 30 dx °W ＝(5132x 2 )d x＝ 2(512 31 3 |＝ 2 5x －3x13 84 3＝ 2 ×3＝ 3 (J)．答案C4．由曲线 y ＝x 2 和直线 x ＝0，x ＝1，y ＝ t 2，t ∈ (0,1)所围成的图形 (如图 )(暗影部分 )的面积的最小值为2 1A. 3B.31 1C.2D.411 32 3分析 1 3x 2 d x3，S ＝t － t＝t －3t ＝ 3t1x 2 d x －(1－t)t 2 S 2＝ t1 1 32 ＝3－3t －(1－t)t2 3 2 1＝3t －t ＋3， S 1＋ 2＝ 4 3 2 1 ∈ ．t － ＋ ，(0,1)S 3 t 3 t11可由导数求适当t＝2时， S1＋S2取到最小值，最小值为4.答案D5．计算A．4πC．π分析2x2 d x 的结果是4B． 2ππD.22x2 d x 表示曲线y＝4－x2与两坐标轴围成的暗影部分的面积，412由图知该面积为4πr ＝π.答案C6．(2011 ·标全国卷课 )由曲线 y＝x，直线 y＝x－2 及 y 轴围成的图形的面积为10A. 3B．416C. 3D．6分析如图， y＝ x与 y＝ x－ 2 交点为 P(4,2)，2( x x 2)d x ＝231416∴S＝03x 22x22x |0＝3.答案C二、填空题 (3× 4 分＝ 12 分)7．从如下图的长方形地区内任取一个点M(x，y)，则点 M 取自暗影部分的概率为 ________．1231S阴11分析依据题意得： S 阴＝03x d x ＝x|0＝1，则点M取自暗影部分的概率为S矩＝3×1＝3.答案1 38．设 y＝f(x)为区间 [0,1] 上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，能够用随机模拟方法近似计算积1分0 f ( x) d x .先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的平均随机数x1，x2，，x N和y1，y2，，yN，由此获得 N 个点 (x i，y i)(i＝ 1,2，， N)．再数出此中知足y i≤f(x i )(i ＝1,2，， N)的点数 N1，那么1由随机模拟方法可得积分 f ( x) d x的近似值为________．分析由平均随机数产生的原理知：在区间 [0,1] 知足 y i≤ f(x i )的点都落在了函数0≤ x≤ 1N1，由积分的几何意义知又因为 0≤f(x)≤ 1，所以由 0≤ y≤ 1围成的图形面积是Ny≤ f xy＝f(x)的下方，1f (x) d x ＝N1.0N答案N1 N．已知一次函数的图象经过点，且1f(x)f (x) d x ＝1，则f(x)＝________.9(3,4)0分析设 f(x)＝ kx＋b(k≠0)，因为图象过点 (3,4)，所以 3k＋b＝4.①1 (kx k1k又∫10f(x)dx＝02b)d x＝2x ＋bx |0＝2＋ b＝ 1，②6 2所以由①②得 k＝5，b＝5.6 2故 f(x)＝5x＋5.6 2答案5x＋5三、解答题 (38 分 )10．(12 分 )如图在地区Ω＝{( x，y)|－ 2≤ x≤2,0≤y≤4} 中随机撒 900 粒豆子，假如落在每个区域的豆子数与这个地区的面积近似成正比，试预计落在图中暗影部分的豆子数．分析地区Ω的面积为 S1＝16.图中暗影部分的面积221232S2＝S1－2 x d x ＝16－3x3|2＝3.设落在暗影部分的豆子数为m，m S2由已知条件900＝S1，900S2即 m＝S1＝600.所以落在图中暗影部分的豆子约为600 粒．11．(12 分)一质点在直线上从时辰t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋ 3(m/s)运动，求：(1)在 t＝ 4 s 的地点；(2)在 t＝ 4 s 内运动的行程．分析(1)在时辰 t＝4 时该点的地点为421 3244(t |004t 3) d t＝3t－2t＋3t＝3(m)，4即在 t＝ 4 s 时辰该质点距出发点3m.(2)因为 v(t)＝t2－ 4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间 [0,1] 及[3,4] 上的 v(t)≥0，在区间 [1,3] 上 v(t)≤0，所以 t＝ 4 s 时的行程为14t3)d t ＋324t3)d t ＋44t3) d tS＝(t 2(t(t2 013 13211＋3t|0t32t23t3＝ t －2t＋133|1324444|3＋3t －2t＋3t＝3＋3＋3＝4(m)即质点在 4 s 内运动的行程为 4 m.12．(14 分)已知 f(x)为二次函数，且 f(－ 1)＝2，f′ (0)＝ 0，1f ( x) d x ＝－2. 0(1)求 f(x)的分析式；(2)求 f(x)在[ －1,1]上的最大值与最小值．分析(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋ c(a≠ 0)，则 f′(x)＝2ax＋b.由 f(－ 1)＝2，f′ (0)＝0，得a－ b＋ c＝2 b＝ 0，即c＝ 2－a b＝ 0.∴f(x)＝ax2－a＋2.又∫10f(x)dx＝∫10[ax2＋(2－ a)]dx1123＝3ax ＋ 2－ a x |0＝ 2－3a＝－ 2.∴a＝ 6，∴c＝－ 4.进而 f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[ －1,1]，所以当 x＝0 时， f(x)min＝－ 4；当 x＝±1 时， f(x)max＝2.。

高三数学总复习知能达标训练第七章第五节直线、平面垂直的判定及其性质(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.其中正确命题的个数是A．0B．1C．2 D．3解析①④正确；②错，α与β可相交；③错，m与n可异面，可相交，故选C.答案 C2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α解析n⊥α，n⊥β⇒α∥β，∵m⊥β，∴m⊥α，故选B.答案 B3．(2011·浙江)下列命题中错误的是A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的线都平行于平面β，故A 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．答案 D4．(2011·大纲全国卷)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD等于A. 3 B．2C. 2 D．1解析如图，连接BC，在直二面角α－l－β中，AC⊥l，∴AC⊥β，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，∴BC＝22－12＝ 3.Rt△BCD中，BC＝3，BD＝1，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案 C5．二面角α－l－β的大小为锐角，P∈l，P A⊂α，PB⊂β且P A⊥l，则A．∠APB的最大值等于二面角的平面角B．∠APB的最小值等于二面角的平面角C．二面角的平面角既不是∠APB的最大值，也不是∠APB的最小值D．∠APB就是二面角的平面角解析如图，在平面β内作PC⊥l，则∠APC为二面角的平面角，cos ∠APB＝cos ∠BPC·cos ∠APC≤cos ∠APC，即∠APB≥∠APC，故选B.答案 B6．(2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案 D二、填空题(3×4分＝12分)7．α，β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个8．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的________；(2)若P A、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的________；(3)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________；(4)若平面P AB、平面PBC、平面PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O 是△ABC的________；(5)若P A、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．答案(1)外心(2)外心(3)内心(4)内心(5)垂心9．若Rt△ABC在给定平面α上的射影有如下的判断：①可能是一条线段；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是锐角三角形；⑤可能是一条直线；⑥可能是一条射线．其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的序号都填上)．答案①②③④三、解答题(38分)10．(12分)(2011·湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，点C在AB上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点．(1)证明：AC⊥平面POD；(2)求直线OC和平面P AC所成角的正弦值．解析 (1)证明 因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC ⊥PO .而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD .(2)由(1)知，AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC .在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，则OH ⊥平面P AC .连接CH ，则CH 是OC 在平面P AC 上的射影，所以∠OCH 是直线OC 和平面P AC 所成的角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin 30°＝12.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·ODPO 2＋OD 2＝2×122＋14＝23. 在Rt △OHC 中，sin ∠OCH ＝OH OC ＝23.故直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值为23.11．(12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D .(1)求证：PB 1∥平面BDA 1；(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值．解析 (1)证明 连接AB 1，与BA 1交于点O ，连接OD .∵C 1D ∥AA 1，A 1C 1＝C 1P ，∴AD ＝PD .又∵AO ＝B 1O ，∴OD ∥PB 1.又OD ⊂平面BDA 1，PB 1⊄平面BDA 1，∴PB 1∥平面BDA 1.(2)如图，过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连接BE .∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC ＝A ，∴BA ⊥平面AA 1C 1C .∴BE ⊥DA 1.∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．在Rt △A 1C 1D 中，A 1D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， 又S △AA 1D ＝12×1×1＝12×52·AE ，∴AE ＝255.在Rt △BAE 中，BE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝355， ∴cos ∠BEA ＝AE BE ＝23. 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.12．(14分)(2011·浙江)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．(1)证明：AP ⊥BC ；(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.求二面角B －AP －C 的大小．解析 (1)证明 由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ，又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ，因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A .(2)如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连CM . 因为BC ⊥P A ，得P A ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM .故∠BMC 为二面角B －AP －C 的平面角．在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝41，得AB＝41.在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，所以PB2＝PO2＋OD2＋BD2＝36，得PB＝6.在Rt△POA中，P A2＝AO2＋OP2＝25，得P A＝5.又cos∠BP A＝P A2＋PB2－AB22P A·PB＝13，从而sin∠BP A＝223.故BM＝PB sin∠BP A＝4 2.同理CM＝4 2.因为BM2＋MC2＝BC2，所以∠BMC＝90°，即二面角B－AP－C的大小为90°.。

高三数学总复习知能达标训练第二章第五节 对数与对数函数(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．下列四个数中最大的是A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2解析 0＜ln 2＜1，则ln(ln 2)＜0，(ln 2)2＜ln 2， ln 2＝12ln 2＜ln 2.答案 D2．(2011·天津)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43，c ＝log 43.6，则A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析 a ＝log 23.6，b ＝log 23，c ＝log 2 3.6，又3.6＞ 3.6＞3，∴a ＞c ＞b .答案 B3．若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，bB ．(10a,1－b ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b ) 解析 由于lg a ＝b ，∴lg 1a ＝－b ，lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ，lg 10a ＝1－lg a ＝1－b ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，∴(a 2,2b )在y ＝lg x 图象上．答案 D4．(2012·杭州模拟)若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.22B.24C.14D.12解析 ∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上为减函数，∴f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 2a ＝1＋log a 2，∴1＝3(1＋log a 2)即log a 2＝－23，∴a ＝24. 答案 B5．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[2，＋∞)解析 解法一 用特殊值检验．a ≠1，应排除B 项．当a ＝2时，x ＝1不在定义域内，排除D 项．再取a ＝12，此时y ＝12log ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12x ，函数在[0,1]上是增函数，不合题意，排除A 项． 解法二 函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜2a . [0,1]应在定义域内，则2a ＞1，所以0＜a ＜2.又因为y 在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，即a ＞1，故1＜a ＜2.答案 C6．(2011·课标全国卷)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析 画f (x )的图象及y ＝|lg x |＝⎩⎨⎧lg x ， x ≥1，－lg x ， x ＜1，的图象如图．可知两图象共有10个交点．答案 A二、填空题(3×4分＝12分)7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷12100-＝________. 解析 原式＝lg 14×25÷122(10)- ＝lg 210-÷10－1＝－2÷110＝－20. 答案 28．(2011·陕西)设f (x )＝⎩⎨⎧ lg x ， x ＞0，10x ， x ≤0，则f [f (－2)]＝________. 解析 f (－2)＝10－2＝1100，f [f (－2)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100 ＝lg 1100＝－2.答案 －29．函数f (x )＝0.5log (3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.答案 [－8，－6]三、解答题(38分)10．(12分)若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )＞f (1)且log 2 [f (x )]＜f (1)?解析 (1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b .由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又log 2 [f (a )]＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2 ＝221log 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意得22222(log )log 22log (2)2x x x x ⎧⎫+⎨⎪-+⎩⎭ ⇒⎩⎨⎧x ＞2或0＜x ＜1－1＜x ＜2⇒0＜x ＜1.11．(12分)已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16.(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－ax ](a ＞0，且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设f (x )＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1，∵f (x )是偶函数，∴b 1＝0，又f (4)＝4f (2)＝16，则⎩⎨⎧ 16a 1＋c 1＝164(4a 1＋c 1)＝16，解得⎩⎨⎧ a 1＝1c 1＝0， ∴f (x )＝x 2.(2)由(1)知，当x ∈[2,3]时，g (x )＝log a (x 2－ax )在[2,3]上为增函数，则①当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在其定义域内递减， 要使g (x )在[2,3]上递增，则要u ＝x 2－ax 在[2,3]上递减且u ＞0，此时a 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥39－3a ＞0(无解)； ②当a ＞1时，y ＝log a u 在定义域内递增， 要使g (x )在[2,3]上递增，则要u ＝x 2－ax 在[2,3]上递增且u ＞0，此时a 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤24－2a ＞0⇒a ＜2，由①、②得实数a 的取值范围为{a |1＜a ＜2}．12．(14分)已知函数f (x )＝log 4 (4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由函数f (x )是偶函数可知：f (x )＝f (－x )，∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4 (4－x ＋1)－kx ，log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ， 即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，化简得：方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根，令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根，①a ＝1⇒t ＝－34，不合题意；②Δ＝0⇒a ＝34或－3，若a ＝34⇒t ＝－2，不合题意；若a ＝－3⇒t ＝12；③一个正根与一个负根，即－1a －1＜0⇒a ＞1. 综上：实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。

高三数学总复习知能达标训练第一章第一节集合(时间分钟，满分分)一、选择题(×分＝分)．若集合＝{－}，＝{}，则∩等于．{}．{－}．{} ．{－}解读∩＝{}．答案．已知全集＝，集合＝{≤}，则∁等于．(－∞，－) ．(，＋∞)．(－) ．(－∞，－)∪(，＋∞)解读＝{－≤≤}，∁＝{＞或＜－}．答案．(·福建)是虚数单位，若集合＝{－}，则．∈．∈．∈∈解读＝－∈，＝－∉，＝－∉.答案．(·湖南)设集合＝{}，＝{}，则＝是⊆的．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分又不必要条件解读若＝，则＝{}，⊆.若⊆，则＝或，＝±或＝±.所以＝是⊆的充分不必要条件．答案．已知集合＝{≤}，＝{}，若∪＝，则的取值范围为．(－∞，－] ．[，＋∞)．[－] ．(－∞，－]∪[，＋∞)解读＝{－≤≤}，∵∪＝，∴⊆，∴－≤≤.答案．(·湖北)已知＝{＝，＞}，＝，则∁等于．(，＋∞) ．(－∞，]∪解读＝{＞}，＝，∁＝.答案二、填空题(×分＝分)．已知＝{}，＝{}，＝{}，则∁(∪)＝.解读∪＝{}，∁(∪)＝{}．答案{}．(·上海)若全集＝，＝{≥}∪{≤}，则∁＝.解读∁＝{＜＜}．答案{＜＜}．已知集合＝{∈－＜}，为整数集，则∩中所有元素之和等于．解读＝{∈－＜＜}，∩＝{}，元素之和为.答案三、解答题(分)．(分)设＝{＋＝}，＝{＋(＋)＋－＝}．()若∩＝，求的值；()若∪＝，求的值．解读＝{，－}，()∵∩＝，∴⊆.①若∈，则－＝，解得＝±，当＝时，＝{＋＝}＝，当＝－时，＝{}，②若－∈，则－8a＋＝，解得＝或＝，当＝时，＝{＋＋＝}＝{－，－}，③若＝∅，则Δ＝(＋)－(－)＜，解得＜－，综上所述，≤－或＝.()∵∪＝，∴⊆，∵＝{，－}，而中最多有两个元素，∴＝，即＝.．(分)已知集合＝{＋＜}，＝{(＋－)(＋＋)＜}，求分别满足下列条件的的取值范围．()；()∩＝∅.解读由集合知＋＋＝(＋)＋＞恒成立，∴＋－＜，解得＝{－＜＜}．()若＞，则＝{－－＜＜－}，∵，∴(\\(－－＞－，－＜.))解得＜，∴＜＜.若≤，则＝∅满足.综上所述，＜.()若＞，则＝{－－＜＜－}．要使∩＝∅，只需－≤－或－－≥，解得≤－，这与＞矛盾．若≤，则＝∅满足∩＝∅.综上所述，≤.．(分)定义运算*＝(－)(＋)，集合＝{(－)*(＋)＜}，＝{＝＋，∈}．求∩与∪. 解读(－)*(＋)＝(－)(＋)＜，∴－＜＜.即＝{－＜＜}，又∈，∴－＜＜.则－＜＋＜≤＋＜，即＝{≤＜}．∩＝{≤＜}，∪＝{－＜＜}．。

高三数学总复习知能达标训练第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．(2011·湖南)x＞1是|x|＞1的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．不充分也不必要条件解析x＞1，则|x|＞1；反之|x|＞1，则x＞1或x＜－1.故选A.答案 A2．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．不充分也不必要条件解析A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＞2或x＜0}，C＝{x|x＞2或x＜0}，A∪B＝C.∴x∈A∪B必有x∈C，反之，x∈C必有x∈A∪B.故选C.答案 C3．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件解析a＝2，则(a－2)(a－1)＝0；若(a－1)(a－2)＝0，a＝1或a＝2.故选A.答案 A4．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件解析若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，y＝f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数；若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，y＝|f(x)|图象关于y轴对称．故选B.答案 B5．下列命题中错误的是A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析 两个平面α，β垂直时，设交线为l ，则在平面α内与l 平行的直线都平行于平面β，A 正确．如果平面α内存在直线垂直于平面β，则由面面垂直的判定定理知α⊥β，B 正确．两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C 正确．两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，D 不正确．答案 D6．(2011·课标全国卷)a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：P 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3； P 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π； P 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3； P 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 其中的真命题是A ．P 1，P 4B ．P 1，P 3C ．P 2，P 3D ．P 2，P 4解析 |a ＋b |＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋1＋2×1×1cos θ＝2＋2cos θ＞1，∴cos θ＞－12，∴0≤θ＜2π3. |a －b |＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1＋1－2cos θ＝2－2cos θ＞1，∴cos θ＜12，∴π3＜θ≤π.∴P 1，P 4正确．答案 A二、填空题(3×4分＝12分)7．设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．解析 A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b ∈(－2,2)．答案 (－2,2)8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.解析 x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案 －239．有下列判断：①命题“若q 则p ”与命题“若綈p 则綈q ”互为逆否命题；②“am 2＜bm 2”是“a ＜b ”的充要条件；③“平行四边形的对角相等”的否命题；④命题“∅⊆{1,2}或∅∈{1,2}”为真．其中正确命题的序号为________．解析 ①两个命题的条件与结论互逆且否定，故正确；②am 2＜bm 2，∴m 2＞0，∴可以推出a ＜b .但反之不能(如m ＝0)．故错误；③命题“平行四边形的对角相等”的否命题是“若一个四边形不是平行四边形，则它的对角不相等”是假命题；④∅⊆{1,2}是真命题，∅∈{1,2}是假命题，故正确．答案 ①④三、解答题(38分)10．(12分)命题“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解析 解法一 原命题是真命题．∵m ＞0，∴－14＜0＜m ，∴m ＞－14.∴4m ＋1＞0，方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝4m ＋1＞0，因而方程x 2＋x －m ＝0有实数根，故原命题“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价，故命题“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题也是真命题．解法二 原命题“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”，∵x 2＋x －m ＝0无实数根，∴Δ＝4m ＋1＜0，∴m ＜－14≤0.故原命题的逆否命题为真命题．11．(12分)指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切；(2)设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m ；(3)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，p ：α＜β，q ：tan α＜tan β. 解析 (1)若a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，所以直线与圆相切；反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝±2，故p 是q 的充分不必要条件．(2)∵l ∥αD l ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α，∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时， 正切函数y ＝tan x 是单调递增的，∴当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 且α＜β时，tan α＜tan β，反之也成立．∴p 是q 的充要条件．12．(14分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°. (2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.将此式代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.。

高三数学总复习知能达标训练第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在惟一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．答案 B2．(2011·江西)已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析如图，α1∥α2∥α3，l与α1，α2，α3分别交于点P1，P2，P3；FP3⊥α1，且FP3与α2交于点E，则FE＝d1，EP3＝d2.根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行”得P1F∥P2E，则P1P2P2P3＝d1d2，显然“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的充分必要条件．答案 C3．给出下列命题，其中正确的两个命题是①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；④a、b是异面直线，则存在惟一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．A．①与②B．②与③C．③与④D．②与④解析直线上有两点到平面的距离相等，直线可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，直线n可能在平面α内，因此①③为假命题．答案 D4．设a、b是异面直线，下列命题正确的是A．过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B．过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C．过a一定可以作一个平面与b垂直D．过a一定可以作一个平面与b平行解析可证明过a一定有一个平面与b平行．答案 D5．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P 的直线n与α、β分别交于B、D且P A＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为A．16 B．24或24 5C．14 D．20 解析根据题意可出现以下如图两种情况，可求出BD的长分别为245或24.答案 B6．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．(2011·福建)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析 由于在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案28．(2012·南京质检)下列命题中正确的命题是________．①夹在两平行平面间的两线段长相等，则这两线段所在直线平行； ②平面α内不在同一直线上三点到平面β的距离相等，则α∥β； ③垂直于同一直线的两个平面平行； ④平行于同一直线的两平面平行；⑤若a 、b 为异面直线，a ⊂α，b ∥α，b ⊂β，a ∥β，则α∥β. 答案 ③⑤9．如图甲所示，在透明塑料制成的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状．②水面四边形EFGH的面积不改变．③棱A1D1始终与水面EFGH平行．④当容器倾斜如图乙所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的序号是________．答案①③④三、解答题(38分)10．(12分)(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.证明(1)如图，在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.11．(12分)如图，在四面体P ABC中，PC⊥AB，P A⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP.(2)求证：四边形DEFG为矩形．(3)是否存在点Q，到四面体P ABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．解析(1)证明因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)证明因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点．由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝12EG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12EG，所以Q为满足条件的点．12．(14分)(2011·山东)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD 是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.证明(1)证法一因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos∠BAD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，所以BD2＝3AD2.所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.证法二因为DD1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，如图，取AB的中点G，连接DG.在△ABD中，由AB＝2AD，得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形，所以GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，所以∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.(2)如图，连接AC、A1C1.设AC∩BD于点E，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝12AC.由棱台的定义及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.。