平行线分线段成比例练习题及答案

1 / 14平行线分线段成比例知识梳理1. 1. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCD E EDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。

专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+.FEDCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111ABCDEF+=.FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论F EDCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】 （2007年北师大附中期末试卷）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EFAFFC FD + 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDCBA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； E AO（2）当11A 34AE C=、时，求AO AD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

《平行线分线段成比例定理》例1、 如图，F 是□ABCD 的边CD 上一点，连结BF ，并延长BF 交AD 的延长线于点E 。

求证：DCDFAE DE = 证明： 例2、如图，在△ABC 中，E 为中线AD 上的一点，21=AE DE 。

连结BE ，延长BE 交AC 于点F 。

求证AF=CF 。

证明：三、训练题：1、如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，下列各式中不正确的是（ ）A 、DE BCAE AC AD AB == B 、BF FCEC AE BD AD == C 、AEACDA BA FC BC ==D 、AEDEFC BF DA BD ==2、如图，梯形ABCD ，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，过点O 作EF ∥AD 交AB 、CD 于点E 、F ，则（ ）A 、OE=OFB 、OE ≠OFC 、OE>OFD 、OE<OF3、如图，在□ABCD 中，E 在AD 上，且4AE=5DE ，CE 交BD 于F ，则BF ：DF=（ ）A 、4：5B 、9：4C 、10：4D 、5：9 5、如图，已知D 为△ABC 的边AC 的中点，EF 过D 交AB 及BC 延长线于E 、F 。

求证：CF BE BF AE ⋅=⋅ABCDEFA B CD E FH A BCDEFA BC D EFOAB C DEFA BC DEF6、如图，已知在△ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，BE=AD ，ED 和AB 相交于F 。

求证：BCACFD EF =。

7、如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD=CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F 。

求证：ABACEF DF =。

8、如图，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，DE 的延长线交BC 的延长线于F 。

求证：ECAECF BF =9、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，CE ∥AB 交BD 延长线于E ，若OB=6，OD=3，求DE 。

平行线分线段成比例一、选择题（共8小题）1、（2011•肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A、7B、7.5C、8D、8.52、（2011•泰安）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A、B、C、D、3、（2011•怀化）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则CE的值为（）A、9B、6C、3D、44、（2010•北京）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A、3B、C、6D、85、（2010•鞍山）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（）A、2：1B、1：C、3：2D、2：36、（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A、B、C、D、7、（2007•襄阳）如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（）A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3C、BC•DE=8D、BC•DE=68、（2006•湘西州）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（）A、B、 C、D、二、填空题（共4小题）9、（2011•湘潭）如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC= _________ ．10、（2006•河北）如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_________ 米．11、如图，梯形ABCD中，EF∥BC，，则= _________ ．12、如图所示：设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+= _________ ．三、解答题（共3小题）13、如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4 cm，BD=8 cm，DE=5 cm，求线段BF的长．14、如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．15、已知：平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．。

专题14平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，E，F分别是AD，BC的中点，且AF 交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，则BG︰GH：HM等于（）A．3︰2︰1 B．4︰2︰1 C．5︰4︰3 D．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形．【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ． 求证：PQ •PT ＝P R •PS ．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ •PT ＝P R •PS ，需证PQPS＝PR PT ，由于PQ ，PT ，P R ，PS 在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB ＝PE ＋PF ，即要证明PE AB ＋PF AB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．图2图1（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC是任意三角形．（1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A；（2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且AMAB＝13，ANAC＝13，点P1，P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M，N分别在边AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．能力训练A级1．设K＝a b cc+-＝a b cb-+＝a b ca-++，则K＝＿＿＿＿．（镇江市中考试题）2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿．第2题第3题第4题第5题图1 图2 图33．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰29．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ；第9题 第10题 第11题第6题 第7题第8题（2）求OEAD＋OEBC的值；（3）求证：1AD＋1BC＝2EF．（宿迁市中考试题）12．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，MB与AD交于点N．求证：∠AFN＝∠DME．（全国初中数学联赛试题）B级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，6m的A，C处，向两侧地面上的E，D和B，F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为＿＿＿＿m．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）第7题 第8题 第9题第5题 第6题第2题 第3题第1题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD+＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）12．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，过D 点的直线PQ 交边AC 于点P ，交边AB 的延长线于点Q ．（1）如图1，当PQ ⊥AC 时，求证：11AQ AP +； 第11题第10题（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）专题14 平行线分线段成比例例1aba b+提示：由AP DQ aPF QF b==,推得PQ∥AD。

九年级数学下册《第二十七章 平行线分线段成比例》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如图，在ABCD 中AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在CD 上取一点F ，使CBF ∽ABE △，则DF 的长是（ ）A ．8.2 B．6.4 C ．5 D ．1.82．如图，在ABC 中DE ∥BC ，57AD AB 记ADE 的面积为s 1，四边形DBCE 的面积为s 2，则12s s 的值是（ ）A ．57B ．2549C ．2425D ．25243．如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OD =2OA ，△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．904．如图，在ABC 中D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且∥DE BC ，连接CD ，过点E 作EF CD ∥，交AB 于点F ，则下列比例式不成立的是（ ）A ．AF AD AD AB = B ．EF DE CD BC = C ．AF AD FD BD = D ．AF EF FD BC= 5．如图，直线123l l l ∥∥，直线a ，b 与1l ，2l 和3l 分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若:2:3AB BC =和10DF = 则DE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 是AD 的中点，连接BE 并延长交AC 于点F ，则AF ：FC ＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：57．如图，两条直线被第三条平行所截，则DE 的长为（ ）A ．4.2B ．3.2C ．4D ．3.68．如图，四边形ABCD 中P 为对角线BD 上一点，过点P 作//PE AB ，交AD 于点E ，过点P 作//PF CD 交BC 于点F ，则下列所给的结论中不一定正确的是（ ）．A ．PE PF AB CD = B ．AE BF DE CF =C ．1CF AE BC AD += D ．1PE PF AB CD+= 9．如图，在菱形ABCD 中点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2CF ，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则S 四边形EHFG ÷S 菱形ABCD 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．29二、填空题10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ：AF =3：5，BC =6，则CE 的长为______．11．已知ABC ∽A B C '''，分别为ABC 与A B C '''的中线，下列结论中：①:4:3AD A D ''=；②ABD △∽A B D '''△；③ABD △∽A B C '''；④ABC 与A B C ''''对应边上的高之比为4:3．其中结论正确的序号是______．12．如图，△ABC中DE∥BC，G为BC上一点，连结AG交DE于点F，若AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝________．13．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．三、解答题14．如图在△ABC中D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．(1)求∠ADC度数；(2)如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．15．如图，在△ABC中点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．(1)求证：△BDF ∽△FEC ．(2)设12AE EC =． ①若BC ＝15，求线段BF 的长；②若△FEC 的面积是16，求△ABC 的面积．16．(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC 中90ACB ∠=︒，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为______；(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC 中将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； (3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC 中将ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B '处，折痕为CM ．求线段AC 的长； 参考答案与解析1．A【分析】E 是AD 的中点可求得AE ，根据三角形相似的性质可得CF BC AE BA=，可得CF 的长即可求解． 【详解】解：∵E 是AD 的中点，6AD =∴132AE AD == 又∵CBF ∽ABE △CF BC AE BA ∴=，即6310CF =解得 1.8CF =10 1.88.2DF DC CF ∴=-=-=故选：A ．【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键．2．D【分析】根据ADE ABC ∆∆∽，通过相似三角形的面积等于相似比的平方，求出ABC ∆与ADE ∆的面积比，再根据21ABC S S S =-得到12s s 的值． 【详解】解：∵DE ∥BC∴ADE ABC ∆∆∽ ∴22549ADE ABC AD A S S B ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴14925ABC S S ∆= ∵21ABC S S S =- ∴212425S S = ∴122524S S =故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积等于相似比的平方．3．A【分析】利用位似的性质得△ABC ∽△DEF ，OD =2OA ，然后根据相似三角形的性质解决问题【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．∴△ABC ∽△DEF ，OD =2OA∴△ABC 与△DEF 的周长比是：1：2．∴△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是20故选：A ．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．4．D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可求解．∴成立的是ABC ，不成立的是D故选：D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．5．C【分析】根据平行线分线段定理得到::AB BC DE EF =，设2DE x =，根据10DF =，列方程求解即可．【详解】解：∵123l l l ∥∥∴::2:3AB BC DE EF ==设2DE x =，则3EF x =∵10DF =∴2310x x +=，解得2x =∴4DE =故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段定理，熟练掌握平行线分线段定理是解答本题的关键．6．A【分析】作DH ∥AC 交BF 于H ，如图，先证明△EDH ≌△EAF 得到DH ＝AF ，然后判断DH 为△BCF 的中位线，从而得到CF ＝2DH ．【详解】解：作DH ∥AC 交BF 于H ，如图∵DH ∥AF∴∠EDH ＝∠EAF ，∠EHD ＝∠EFA∵DE ＝AE∴△EDH ≌△EAF （AAS ）∴DH ＝AF∵点D 为BC 的中点，DH ∥CF∴DH 为△BCF 的中位线∴CF ＝2DH ＝2AF∴AF ：FC ＝1：2故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．7．D 【分析】根据平行线分线段成比例得到AB DE AC DF =，将数据代入即可求出答案． 【详解】解：////AD BE CF ∴AB DE AC DF= 4AB =，6BC =和9DF =∴4610AC AB BC =+=+= ∴4109DE = ∴ 3.6DE =．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．8．A【分析】根据//PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，即可判断A ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP ED PD = BF BP FC PD =可判断B ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP AD BD =，FC PD BC BD= 可判断C ，由 //PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，可判定D ．【详解】解：A ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB = ∵DPBPDB DB ≠ ∴PEPFAB CD ≠故选项A 不正确；B ．∵//PE AB //PF CD ∴AEBP ED PD = BFBPFC PD = ∴AE BFDE CF =故选项B 正确；C ．∵//PE AB //PF CD ∴AE BP AD BD = FCPDBC BD = ∴1AEFCBPPDAD BC BD BD +=+=故选项C 正确1CFAEBC AD +=D ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB =∴ 1EP PF DP PB DP PB AB CD DB BD BD ++=+==故选项D 正确．故选择A ．【点睛】本题考查平行线截线段比例，和三角形相似判定与性质，掌握平行线截线段长比例，和三角形相似判定与性质是解题关键．9．A【分析】由题意可证EG ∥BC ，EG ＝2，HF ∥AD ，HF ＝2，可得四边形EHFG 为平行四边形，即可求解．【详解】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ∴12AE BC = 12CF DF = ∵G 、H 分别是AC 的三等分点 ∴12AG GC =12CH AH = ∴AE AG BE GC = ∴EG ∥BC ∴13EG AE BC AB == 同理可得HF ∥AD ，13HF AD = ∴111339EHFGABCD S S =⨯=四边形菱形故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．10．4【分析】由AB CD EF ∥∥，推出AD BC AF BE =，推出365BE=，可得结论． 【详解】∵AB CD EF ∥∥ ∴AD BC AF BE = ∴365BE = ∴BE =10∴CE =BE -BD =10-6=4故答案为：4．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．11．①②④【分析】根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵ABC ∽A B C '''，AD 、A D ''分别为ABC 与A B C '''的中线 ∴4''''3AB AD A B A D ==，故①正确； ∵'B B ∠=∠ 121''''''''2BC BD BC AB B D B C A B B C === ∴ABD △∽A B D '''△，故②正确；∴ABC 与A B C '''对应边上的高之比为4:3，故④正确；而ABD △与A B C '''不相似，故③错误；∴正确的结论有：①②④；故答案为：①②④.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比.12．7.5【分析】由DE ∥BC ，得AF AE AG AC=，代入已知量即可求得答案． 【详解】解：∵DE ∥BC ∴AF AE AG AC = ∵AE ＝AC －EC ＝AC －5，AF ＝2，AG ＝6 ∴256AC AC -= 解得AC ＝7.5故答案为：7.5【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例列出比例式是解题的关键． 13．7.5【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线AB ∥CD ∥EF ，AC ＝2，CE ＝5，BD ＝3∴AC BDCE DF=，即235DF=，解得DF＝7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．14．(1)∠ADC＝90°(2)CD＝【分析】（1））由相似三角形的性质及邻补角可进行求解；（2）先证明△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可得ACAB＝ADAC，然后代入数值问题可求解．（1）解：∵△CBD∽△ACD ∴∠CDB＝∠ADC∵∠CDB+∠ADC＝180°∴∠ADC＝90°；（2）如图∵△CBD∽△ACD∴∠ACD＝∠B∵∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC∴ACAB＝ADAC，即ACAD BD+＝ADAC∴46AD+＝4AD∴AD＝2（负根已经舍弃）∴CD【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．(1)证明见详解(2)①BF＝5；②S△ABC＝16×94＝36【分析】（1）由平行线的性质得出∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出12BF AEFC EC==，即可得出结果；②先求出2,3ECAC=易证△EFC∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．（1）证明：∵DF∥AC∴∠BFD＝∠C∵EF∥AB∴∠B＝∠EFC∵∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC ∴△BDF∽△FEC；（2）解：①∵EF∥AB∴12 BF AEFC EC==∴12 BFBC BF=-∵BC＝15∴1 152 BFBF=-∴BF＝5；②∵12 AE EC=∴2EC AE=∴2223 EC EC AEAC AE EC AE AE===++∵EF∥AB∴∠CEF＝∠B∵∠C＝∠C．∠CEF＝∠B∴△EFC∽△ABC∴249 EFCABCS ECS AC∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭∵S△EFC＝16∴S△ABC＝94×16＝36．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．(1)AM＝BM(2)16 9(3)152 AC=【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可；（3）证明△BCM∽△BAC，推出BC BM CMAB BC AC==，由此即可解决问题．（1）解：如图①中∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN ∴MN垂直平分线段BC∴CN＝BN∵∠MNB＝∠ACB＝90°∴MN∥AC∵CN＝BN∴AM＝BM．故答案为AM＝BM．（2）如图②中∵CA＝CB＝6∴∠A＝∠B由题意MN垂直平分线段BC ∴BM＝CM∴∠B＝∠MCB∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM BA BC=∴6106BM=∴185 BM=∴18321055 AM AB BM=-=-=∴321651895AMBM==．（3）如图③中由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM ∵∠ACB＝2∠A∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM CM AB BC AC ==∴696BM =∴BM＝4∴AM＝CM＝5∴65 9AC =∴152 AC=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.2平行线分线段成比例》选择专项练习题（附答案）1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，DF＝10，则DE的长是（）A．2B．3C．4D．62．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．44．如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（）A．1B．C．D．55．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且，CD与AE交于点F，则的值为（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，DE∥AC，若AD＝4，BD＝8，CE＝3，则BC的长为（）A．9B．8C．6D．47．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若BF：FC＝2：3，AB＝15，则BD＝（）A．6B．9C．10D．128．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则＝（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（）A．B．2C．3D．410．如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，＝，若EF＝6，则AD的长为（）A．6B．C．7D．11．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△DEF面积的最大值是（）A．1B．2C．D．12．如图，点A，B在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．1B．C．2D．313．如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝1：2，BF＝6，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．414．如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝15．如图，能推出DE∥BC的比例式是（）A．＝B．＝C．＝D．＝16．在△ABC中，D是AB边上的点，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，AE＝6，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．917．如图，BE和CD是△ABC的中线，连接DE，则的值是（）A．B．C．D．18．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝9，EF＝6，则DE＝（）A．4B．6C．7D．919．如图AB∥CD∥EF，AF、BE相交于O，若AO＝OD＝DF＝3cm，BE＝10cm，则BO的长为（）A．cm B．5cm C．cm D．3cm20．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P，Q为边BC的三等分点，若BM与AP，AQ 分别交于D，E两点，则BD，DE，EM三条线段的长度比等于（）A．3：2：1B．4：2：1C．5：3：2D．5：2：121．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC ＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（）A．+＝B．+＝C．+＝D．+＝22．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（）A．B．C．2D．3参考答案1．解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：AC＝DE：DF．∵AB：BC＝2：3，DF＝10，∴AB：AC＝2：5，∴DE：10＝2：5，∴DE＝4．故选：C．2．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，又∵DG＝2，DF＝10，＝，∴＝，∴AG＝4．故选：C．3．解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：BD＝3，故选：C．4．解：如图，OB＝1.5，OA＝3，OC＝10，∵PB∥AC，∴，∴，∴OP＝5．∴点P表示的数是5．故选：D．5．解：如图，过点D作DH∥BC交AE于H，∵D是AB边的中点，∴点H是AE的中点，∴DH是△ABE的中位线，∴DH＝BE，设BE＝3x，则CE＝2x，DH＝x，∵DH∥BC，∴，∴，故选：B．6．解：∵DE∥AC，∴＝，∵AD＝4，BD＝8，CE＝3，∴＝，解得：BE＝6，∴BC＝BE+CE＝6+3＝9，故选：A．7．解：∵EF∥AB，BF：FC＝2：3，∴＝＝，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴BD＝9，故选：B．8．解：过点E作EH∥AD交BC于H，则＝，∵BE是△ABC的中线，∴CE＝EA，∴CH＝HD，∵EH∥AD，∴＝＝3，∴＝，故选：B．9．解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，∵DF∥BE，∴，∵O是BD的中点，∴OB＝OD，∴DF＝BE＝3，∵DF∥CE，∴，∵AD：DC＝1：2，∴AD：AC＝1：3，∴CE＝3DF＝3×1＝3．故选：C．10．解：∵EF∥BC，AB：BC＝2：3，∴，∴，∵AD∥EF，∴，∵点G是EF的中点，∴EG＝3，∴M∴AD＝．故选：D．11．解：∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，∠CED＝∠CAB，∴AB∥DE，∴，S△ABE＝S△ABD，∴，，∴，∴当S△ABD最大时，S△DEF最大，当AB⊥BD时，，∴．故选：D．12．解：观察图形可知，BC：AC＝1：2，∵BC＝，∴AC＝3BC＝2×＝．故选：B．13．解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF为平行四边形，∴DE＝CF，∵DE∥BC，∴＝，∵AE：EC＝1：2，∴AE：AC＝1：3，∴＝，∴DE＝3．故选：C．14．解：∵ME∥CD，∴＝，∴＝．故选：D．15．解：∵DE∥BC，∴＝，故A、B、D错误，C正确．故选：C．16．解：∵DE∥BC，∴，∴EC＝2，∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．故选：C．17．解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故选：A．18．解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DE＝4．故选：A．19．解：AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，AO＝OD＝DF，∴由B平行线等分线段定理得：OB＝OC＝CE，∴BO＝BE＝，故选：A．20．解：过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC＝3a则BP＝PQ＝QC＝a；∵AM＝CM，AF∥BC，∴AF：BC＝AM：CM＝1，∴AF＝BC＝3a，∴BD：DF＝BP：AF＝1：3，∴BD＝，同理可得：BE＝，BM＝；∴DE＝BE﹣BD＝，EM＝BM﹣BE＝，∴BF：FG：GE＝＝5：3：2；故选：C．21．解：∵AC∥EF，∴，∵EF∥DB，∴，∴＝+＝＝＝1，即＝1，∴．故选：C．22．解：∵BN∥AM，＝，∴＝，∵DN∥CM，∴＝＝，故选：B．。

《平行线分线段成比例》习题一.填空题：1. 如图，梯形ABCD ，AD //BC ，延长两腰交于点E ，若AD BC AB ===264，，，则ED EC DE DC ==，2. 如图，∆ABC 中，EF //BC ，AD 交EF 于G ，已知EG GF BD ===235，，，则DC =3. 如图，梯形A B C D 中，DC AB DC AB //.，，==235，且M N //P Q //A B ，DM MP PA ==，则MN ＝________，PQ ＝________4. 如图，菱形ADEF ，AB AC BC ===756，，，则BE ＝________5. 如图，EA FC EB FD ////，，则AB 与CD 的位置关系是________6. 如图，D 是BC 的中点，M 是AD 的中点，BM 的延长线交AC 于N ，则AN:NC ＝________.二．计算题：1.如图，已知菱形B E D F 内接于∆ABC ，点E 、D 、F 分别在A B 、A C 和B C 上，若AB BC ==1512，，求菱形边长.B F C2.如图，已知∆ABC 中，DE BC AD AC BD AE //，，，===86，求BD 的长.B C3.如图，∆ABC 中，AD 是角平分线，DE AC//交AB 于E ，已知AB =12，AC =8，求D E .A4.在∆ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BE AB =，且AE 与BD 相交于点F ，试说明：AB BC EF AF=.5. 如图F 为平行四边形ABCD 的AD 延长线上一点，BF 分别交CD 、AC 于G 、E ，若EF GE ==328，，求BE .FD G CEA B。

平行线分线段成比例专题练习内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）《平行线分线段成比例》专题练习1． 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 中点，F 在AD 上，且AF ＝12FD ，EF 交AC 于G ，则AG ︰AC ＝________。

A. 14B. 15C. 16D.18（第1题图） （第2题图）（第3题图）2．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝14AB ，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时 BC ︰CD 为（ ）A ．2︰1B ．3︰2C ．3︰1D ．5︰23．如图，直线a∥b，AF ︰FB ＝3︰5，BC ︰CD ＝3︰1，则AE ︰EC 为（ ）A ．5︰12B ．9︰5C ．12︰5D ．3︰24．如图，在Rt△ABC 内有边长分别为a 、b 、c 的三个正方形，则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）A. b=a+cB.b=acC. b2=a2+ c2 D ．b=2a=2c5．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14 米到点B 时，人影长度（ ）A ．变短3.5米B ．变长1.5米C ．变长3.5米D ．变短1.5米（第4题图） （第5题图） （第6题图）6．已知：如图，平行四边形ABCD，E为BC的中点，BF︰FA＝1︰2，EF与对角线BD相交于G，求BG︰BD。

7．已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD。

8．如图，在ΔABC中，EF//DC，DE//BC，求证：（1）AF︰FD＝AD︰DB；（2）AD2＝AF·AB。

9．如图，AB∥EF∥CD，（1）AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求EF的长。

（2）AB＝a，CD＝b，AE∶ED＝k，求EF的长。

10. 一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD＝1.0m，又测地面部分的影长BC＝3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？11．小芳同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1m长的标杆测得其影长为1.2m，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6m和2m，你能帮助小芳同学算出学校旗杆的高度？12．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？13．如图，花丛中有一路灯杆AB在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD 方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米。

中考数学每日一练：平行线分线段成比例练习题及答案_2020年综合题版答案答案答案2020年中考数学：图形的变换_图形的相似_平行线分线段成比例练习题~~第1题~~(2020宁波.中考模拟) 已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n）是抛物线上的一个动点．（1）如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，请通过测量或计算，比较PA 与PB 的大小关系：PAPB （直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）；（2） 请利用（1）的结论解决下列问题：①如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，简单说明理由；②如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．考点： 两点间的距离;垂线段最短;平行线分线段成比例;~~第2题~~(2020青浦.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 上一点，AE 与BD 交于点F， DE ∶EC=2∶3．（1）求BF ∶DF 的值；（2） 如果 ， ，试用 、 表示向量 ．考点： 平面向量;平行线分线段成比例;~~第3题~~(2020青浦.中考模拟) 已知：如图，在△ABC中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ， BE 与AD 、AC 分别相交于点F、G ，．（1） 求证：△CAD ∽△CBG ；（2） 联结DG ，求证： ．考点： 平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;~~第4题~~(2020松江.中考模拟) 已知：如图，点D 、F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ， .答案答案（1） 求证：EF ∥BD ；（2） 如果，求证：.考点： 平行线的性质;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;~~第5题~~(2020长宁.中考模拟)如图，在梯形ABCD 中，点E， F 分别在边AB ， CD 上，AD ∥EF ∥BC ， EF与BD 交于点G ，AD ＝5，BC ＝10，＝．（1）求EF 的长；（2） 设 ＝ ， ＝，那么 ＝， ＝．（用向量 、 表示）考点： 平面向量;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;2020年中考数学：图形的变换_图形的相似_平行线分线段成比例练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

专题22.2平行线分线段成比例【十大题型】【沪科版】【题型1辨别相似图形】【题型2相似多边形的性质运用】【题型3“A”模型中的平行线分线段成比例】【题型4“8”模型中的平行线分线段成比例】【题型5“X”模型中的平行线分线段成比例】【题型6“#”模型中的平行线分线段成比例】【题型7多种模型的综合平行线分线段成比例】【题型8平行线分线段成比例与重心、中位线的综合运用】【题型9作平行线构造平行线分线段成比例】【题型10 作垂线构造平行线分线段成比例】知识点1：相似多边形定义1：形状相同的图形叫做相似图形．定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．【题型1辨别相似图形】【例1】（23-24九年级·山东聊城·开学考试）1．下面各组图形中，不是相似形的是（ ）A．B．C．D．【变式1-1】（23-24九年级·安徽六安·期末）2．下列多边形一定相似的是（ ）A ．两个等腰三角形B ．两个平行四边形C ．两个正五边形D ．两个六边形【变式1-2】（23-24九年级·山西阳泉·期末）3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（23-24九年级·全国·期末）4．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是 ．【题型2 相似多边形的性质运用】【例2】（23-24九年级·河北邢台·期中）5．已知矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，下面四个矩形中与矩形ABCD 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）6．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且EF AB ∥，矩形ABCD 与矩形BFEA 相似，则矩形BFEA 的面积为（ ）A ．16B ．403C ．323D ．163【变式2-2】（23-24九年级·海南海口·期末）7．如图是两个形状相同的举重图案，则x 的值是．【变式2-3】（23-24九年级·山西太原·期末）8．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使AB 边落在AD 边上，点B 的对应点为点F ，折痕为AE ，展平后连接EF ；继续折叠该纸片，使FD 落在FE 上，点D 的对应点为点H ，折痕为FG ，展平后连接H G ．若矩形HECG ∽矩形ABCD ，1AD =，则CD 的长为（ ）．A ．0.5B 1CD 知识点2：平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图：如果123l l l ∥∥，则AB DEBC EF =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF=．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例．【题型3 “A ”模型中的平行线分线段成比例】【例3】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）9．如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若PQ MN ∥，点Q ，点M 在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N 表示的数是10，则点P 表示的数是（ ）A ．52B ．3C ．103D ．5【变式3-1】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）10．如图，在ABC V 中，DE BC ∥，DF AC ∥，则下列比例式中正确的是（ ）A ．BD DFAD AC=B ．BF AEFC EC=C ．BF DFFC AC=D ．BF CEFC AE=【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）11．如图，在ABC V 中，D 、E 分别为AB AC 、边的中点，连接DE ，点F 为BC 边上一点，2BF FC =，连接AF 交DE 于点N ，则下列结论中错误的是（ ）A ．12AN AF =B ．23DN DE =C ．12AD AC =D ．12NE FC =【变式3-3】（23-24九年级·河南平顶山·期末）12．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线1l ，3l ，4l ，2l 上，若直线123l l l ∥∥且相邻两直线间距离相等．若6AB =，4BC =，则2l ，3l 之间的距离为（ ）．A．5B．65C．125D．245【题型4“8”模型中的平行线分线段成比例】【例4】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）13．如图，DE BC∥，则下列比例式错误的是（）A．AD DEBD BC=B．AE ADEC BD=C．AB ACBD EC=D．AD AEAB AC=【变式4-1】（2024春·上海静安·九年级校考期中）14．已知ax bc=，求作x，那么下列作图正确的是（）A．B．C．D．【变式4-2】（2024春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）15．如图，在平行四边形ABCD 中，ABC Ð的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ，3AB =，2FD =，则EFFB的值为（ ）A ．25B ．38C ．37D ．35【变式4-3】（2024春·全国·九年级专题练习）16．如图， 12l l ∥，:2:5AF BF =，:4:1BC CD =，则:AE EC 的值为（ ）A ．5:2B ．1:4C ．2:1D ．3:2【题型5 “X ”模型中的平行线分线段成比例】【例5】（23-24九年级·陕西渭南·期末）17．如图，123l l l ∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点、、A B C 和D E F 、、，已知32AB BC =，若10DF =，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【变式5-1】（23-24九年级·山西晋中·期中）18．如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被直线1l 、2l 、3l 所截，2AB =，5BC =，6EF =，则DE 的长为（ ）A ．7B ．125C ．152D ．245【变式5-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）19．如图，123l l l ∥∥，直线a ，b 相交于点G ，与这三条平行线分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，下列比例式中错误的是（ ）A ．AB DEBG EG =B ．AG DGGC GF =C ．BE BGFC BC=D ．AD AGBE BG=【变式5-3】（2024春·吉林长春·九年级统考期末）20．如图 ，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝4，GD ＝2，DF ＝8，那么BCCE的值等于．【题型6 “#”模型中的平行线分线段成比例】【例6】（23-24九年级·江苏南京·期末）21．如图，123l l l ∥∥，则下列比例式成立的是（ ）A ．AB DEAC EF=B ．AB DEAC DF=C ．AB BEAC CF=D ．AB ADAC CF=【变式6-1】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）22．如图，AB CD EF ∥∥，20BF =．(1)若3AC =，5CE =，求DF 的长；(2)若:2:3AC CE =，求DF 的长．【变式6-2】（23-24九年级·贵州铜仁·期末）23．如图是某景区大门部分建筑，已知AD BE CF ∥∥，16m AC =，当:4:3DF DE =时，则AB 的长是（ ）A ．10mB ．11mC ．12mD ．13m【变式6-3】（23-24九年级·海南海口·期末）24．如图，123l l l ∥∥，若23AB BC =，6DF =，则DE 等于（ ）A ．2.4B ．3C ．3.6D ．4【题型7 多种模型的综合平行线分线段成比例】【例7】（23-24九年级·山东淄博·期末）25．如图，AB ，CD 相交于点E ，且AC ∥EF ∥DB ，点C ，F ，B 在同一条直线上，已知AC ＝p ，EF ＝r ，DB ＝q ，则p ，q ，r 之间满足的数量关系式是（ ）A ．111r q p+=B ．112p q r+=C ．111p q r+=D ．112q r p+=【变式7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）26．如图，在V ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，过点D 作DG //BC ，交AC 于点G ，过点E 作EH //AB ，交AC 于点H ，DG 的延长线与EH 的延长线交于点F ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AD DGDB BC=B ．GF HCEC GH=C ．FH GHAD AG=D ．HE ECAB BE=【变式7-2】（23-24九年级·浙江温州·期末）27．如图，在ABCD Y 中，E ，F ，G 依次是对角线BD 上的四等分点，连结CG 并延长交AD 于点M ，连结MF 并延长交BC 于点H ．若,1MF MC MG ==，MH 的长为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8【变式7-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）28．如图， 点P 是平行四边形ABCD 内部一点， 过P 分别作AB 和BC 的平行线交平行四边 形ABCD 的四边于E F G H ，，，． 连结AC 分别交EG FH ，于M 和N ． 若四边形~FBGP 四边形EPHD ，且四边形FBCH 的面积是四边形`AFP E 的3倍． 下列选项正确的是（ ）A ．EP PH =B ．AN EP =C ．2AN MN =D ．2AM CM=【题型8 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合运用】【例8】（23-24九年级·山东枣庄·期中）29．如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，连接AE 、AF 、EF ．若菱形ABCD 的面积为16，则△AEF 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式8-1】（23-24九年级·上海·期中）30．△ABC 中，AB=AC=10，重心G 到底边BC 的距离为2，那么AG= ．【变式8-2】（23-24九年级·安徽宿州·期末）31．如图，60AOB Ð=°，C 、D 是边OA 上的两点，且8,2OD CD ==，点P 是OB 上的一动点，连接PD ，点Q 是PD 的中点，连接CQ ，则CQ 的最小值为（ ）A ．1BCD ．2【变式8-3】（2024·福建泉州·模拟预测）32．设AX ，BY ，CZ 是ABC V 的三条中线，求证：AX ，BY ，CZ 三线共点．【题型9 作平行线构造平行线分线段成比例】【例9】（23-24九年级·广东河源·期末）33．AD 是ABC V 的中线，E 是AD 上一点，14AE AD =，BE 的延长线交AC 于F ，则AF FC的值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【变式9-1】（23-24九年级·重庆·期中）34．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边中点，G 为BC 边上一点，连接AE ，DG ，相交于点F ．若45DF FG =，则FE 的长度是（ ）A B C ．12D ．47【变式9-2】（23-24九年级·浙江湖州·期末）35．如图△ACB ，∠ACB=90°，点O 是AB 的中点，CD 平分∠BCO 交AB 于点D ，作AE ⊥CD分别交CO 、BC 于点G ，E ． 记△AGO 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，当12S S ＝25时，则OG BC 的值是（ ）A ．25B ．13C ．411D ．38【变式9-3】（23-24九年级·广西·期中）36．如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，P ,Q 为BC 边上的点，且BP=PQ=CQ ，BM 与AP ,AQ 分别交于D ,E 点，则BD ∶DE ∶EM 等于A ．3∶2∶1B ．4∶2∶1C ．5∶3∶2D ．5∶2∶1【题型10 作垂线构造平行线分线段成比例】【例10】（2024·浙江绍兴·一模）37．有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O 处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP ，OP 上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA =a ，OB =b ，读出直尺与OP 的交点C 的标度就可以求出OC 的长度．当a =4，b =6时，读得点C 处的标度为（）A ．125B C ．245D 【变式10-1】（23-24九年级·浙江·周测）38．如图，在ABC 中，90A Ð=°，6AB =，10BC =，ABC Ð的平分线交AC 于点D ，与BC 的垂线CE 相交于点E ，则:BD DE 为（ ）A ．3:2B ．5:3C ．4:3D ．2:1【变式10-2】（23-24九年级·山东聊城·期末）39．如图，正方形ABCD 边长为3，G ，F 是对角线BD 的三等分点，点E 在边AB 上，EG AD ∥，连接FC ．(1)求EF 的长．(2)试判断EF 与FC 之间的位置关系，并说明理由．【变式10-3】（23-24九年级·广东佛山·期中）40．如图，在四边形ACBD 中，对角线AB CD ，相交于点O ，9010ACB BD CD Ð=°==，，16BC =，若2DAB ABC Ð=Ð，则AD AB 的值为 ．1．B【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决．【详解】解：A、两幅国旗相似，故不符合题意；B、顶角不相等的两个等腰三角形不相似，故符合题意；C、两个五角星相似，故不符合题意；D、所有的圆都相似，故不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．2．C【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键．根据相似三角形的定义逐项判断即可．【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确；C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确；D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确．故选C．3．A【分析】根据图形相似的概念进行解答即可．【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，故选：A．【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键．4．②③【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质进行判断即可．【详解】①所有的等腰三角形都相似，错误；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误．故答案为②③．【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．5．A【分析】验证对应边是否成比例即可判断．【详解】解：A：432 1.5=，符合题意；B：4332¹，不符合题意；C：432 1.2¹，不符合题意；D：432.52¹，不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可．6．C【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明224469ABEFBCDAS ABS BCæöæö===ç÷ç÷èøèø矩形矩形，从而可得答案．【详解】解：∵矩形ABFE∽矩形BCDA，4AB=，6BC=，∴224469ABEFBCDAS ABS BCæöæö===ç÷ç÷èøèø矩形矩形，4624ABCDS=´=矩形，∴323ABEFS=矩形，故选：C．7．22.5【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可．【详解】解：由题意得，30:20:15x=∴22.5x =．故答案为：22.5．8．C【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设CD x =，则()1,1EC x CG x x =-=--，根据两矩形相似求出即可．【详解】解：在矩形ABCD 中，设CD x =，则AB CD x ==，1AD BC ==，由翻折得,90AB AF x AFE B BAF ==Ð=Ð=Ð=°，\四边形ABEF 是正方形，同理，四边形DFHG 是正方形，,1BE AB x DF DG x \====-，()1,121CE x CG x x x \=-=--=-，Q 矩形HECG ∽矩形ABCD ，EC CG BC CD \=，即1211x x x--=，解得：x ，经检验，xCD \=故选：C ．9．C【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．【详解】解：∵PQ MN ∥，∴13OP OQ ON OM ==，∵10ON =，∴103OP =．故选：C ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，数轴，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．10．D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A ．由DF AC ∥，得BD DF BA AC =，故A 选项错误；B ．由DF AC ∥，得BF BD FC DA =，又由DE BC ∥，得BD CE DA EA =，则BF CE FC EA =，故B 选项错误，D 选项正确；C ．由DF AC ∥，得BF DF BC AC =，故C 选项错误；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．11．C【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出AN NF =,根据中位线定理分析求解．【详解】解：∵D 、E 分别为AB AC 、边的中点，∴DE BC ∥.∴1AD AN DB NF ==∴12AN AF =,11,22NE CF DN BF == .∴12NE FC =.∵2BF FC =，∴2DN NE =.∴23DN DE =.所以，A,B,D 正确，C 错误；故选：C【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．12．C【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键．过A 点作3AN l ^于点N ，交2l 于点M ，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得1AE AM EB NM ==，进而可得132AE EB AB ===，再利用勾股定理可得5ED ==，结合三角形的面积即可求解．【详解】过A 点作3AN l ^于点N ，交2l 于点M ，如图，∵在矩形ABCD 中，4BC =，∴4AD BC ==，90BAD Ð=°，∵直线123l l l ∥∥且相邻两直线间距离相等，3AN l ^，∴AM NM =，∴1AE AM EB NM==，∵6AB =，∴132AE EB AB ===，∴在Rt EAD V 中，5ED ==，∵11S 22EAD AE AD AM ED =´´=´´V ，∴125AE AD AM ED ´==，∴125MN AM ==，故选：C ．13．A 【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．【详解】解：∵DE //BC ，∴,,AD AE AB AC AD AE BD EC BD EC AB AC===；∴A错误；故选：A．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案．14．C【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可．【详解】∵ax bc=，∴a cb x=或a bc x=．A．作出的为a a xb b c+=+，故不符合题意；B．该情况无法作图，故不符合题意；C．作出的为a cb x=，故符合题意；D．作出的为a cx b=，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键．15．B【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AFB=∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=3，又FD=2，∴BC=AD=AF+FD=5，∵AD∥BC，∴35=EF AF BE BC =，∴38EF FB =，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．16．C【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据12l l ∥可证GAF DBF V V ∽，GAE DCE ∽△△，利用相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：Q 12l l ∥，\GAF DBF Ð=Ð，AGF BDF Ð=Ð，\GAF DBF V V ∽，\25AF GA BF DB ==，Q :4:1BC CD =，\15CD DB =，\21255GA DC =¸=，Q 12l l ∥，\GAE DCE Ð=Ð，AGE CDE Ð=Ð，\GAE DCE ∽△△，\2GA AE DC CE==，\:2:1AE EC =，故选C ．17．D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据题意可得AB DE BC EF=，设DE x =，则10EF x =-，由此即可求解，掌握平行线的分线段成比例，比例的性质，解方程的方法是解题的关键．【详解】解：根据题意可得，32AB DE BC EF ==，设DE x =，则10EF x =-，∴3210x x =-，解得，x =6，∴DE 的长为6，故选：D ．18．B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出比例式代入即可．【详解】解：Q 123l l l ∥∥，\AB DE BC EF=，256DE \=，125DE \=．故选B ．19．C【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．【详解】解：A 、∵123l l l ∥∥，∴AB DE BG EG=，结果正确，故本选项不符合题意；B 、∵123l l l ∥∥，∴AG DG GC GF=，结果正确，故本选项不符合题意；C 、∵123l l l ∥∥，∴BE BG FC GC=，结果错误，故本选项符合题意；D 、∵123l l l ∥∥，∴AD AG BE BG=，结果正确，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．20．34##0.75【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：////AB CD EF Q ，,BC AD AG GD CE DF DF+\==4,2,8,AG GD DF ===Q 423,84BC AD AG GD CE DF DF ++\====故答案为：3.4【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解此题的关键．21．B【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项．【详解】解：∵123l l l ∥∥，∴AB DE AC DF=，故选：B ．【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例．22．(1)12.5DF =(2)12DF =【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．（1）由平行分线段成比例得出AC BD CE DF=，再代入数值计算；（2）由平行线分线段成比例的性质得出23BD DF =，再代入计算．【详解】（1）AB CD EF ∥∥Q ，\=AC BD CE DF，3AC =Q ，5CE =，20BF =，3205DF DF-\=，解得12.5DF =；（2）AB CD EF ∥∥Q ，:2:3AC CE =，23AC BD CE DF \==.20BF =Q ，2023DF DF -\=，解得12DF =．23．C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到43DF AC AB DE ==，再由16m AC =可得结果．【详解】解：∵AD BE CF ∥∥，∴43DF AC AB DE ==，∵16m AC =，∴12m AB =，故选C ．24．C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到,DE EF 的关系，再根据6DF =可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．【详解】解：∵123l l l ∥∥，23AB BC =，∴32AB DE BC EF ==，∴35DE DF =，∵6DF =，∴3186 3.655DE =´==，故选：C ．25．C 【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EF BF AC BC =，EF CF BD BC=，两式相加即可得出结论．【详解】解：//AC EF Q ，\EF BF AC BC=，//EF DB Q ，\EF CF BD BC =，\1EF EF BF CF BF CF BC AC BD BC BC BC BC ++=+===，即1r r p q +=，\111p q r+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．26．C【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可．【详解】解：∵DG //BC ，∴AD DG AB BC=，故A 选项错误；∵DG //BC ，∴GF GH EC HC=，故B 选项错误；∵EH //AB ，∴FH GH AD AG=，故C 选项正确；∵EH //AB ，∴HE EC AB BC=，故D 选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质．27．D【分析】根据AD ∥BC ，得到MD MG DG BC CG BG==，根据四等分点和MG 得到CG ，可得MC =MF =4，再证明1DF MF BF FH==可得HF ，可得MH ．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴MD MG DG BC CG BG==，∵E ，F ，G 依次是对角线BD 上的四等分点，MG =1，∴113DG CG BG ==，∴CG =3，∴MF =MC =MG +CG =4，∵AD ∥BC ，∴1DF MF BF FH==，∴HF =4，∴MH =MF +HF =8，故选D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行线得到相应的比例式．28．D【分析】设EP x PH y BF kx BG ky ====，，，，利用平行线分线段成比例定理求得GM x FN y EM kx NH ky ====，，，，再利用已知条件求得2k =，据此即可求解．【详解】解：∵点P 是平行四边形ABCD 内部一点， 过P 分别作AB 和BC 的平行线交平行四边形ABCD 的四边于E F G H ，，，．四边形~FBGP 四边形EPHD ，∴四边形PFBG DEPH ，都是平行四边形，且相似，设EP x PH y BF kx BG ky ====，，，，∵FN BC ∥，∴FN AF GM GC BC AB AB BC==，，即(1)(1)(1)(1)FN x GM y k y k x k x k y ==++++，，∴GM x FN y EM kx NH ky ====，，，，∴CGM NFA CNH MAE ≌，≌，△△△△∴PGCH AFPE S S =四边形四边形，∵四边形FBCH 的面积是四边形`AFP E 的3倍．∴(1)3k y y+=，∴2k =，∴EP PH =、AN EP =、2AN MN =都不成立，2AM CM =成立，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．29．D【分析】连接AC 、BD ，交于点O ，AC 交EF 于点G ，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得EF 与BD 关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．【详解】解：连接AC 、BD ，交于点O ，AC 交EF 于点G ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO =OC ，菱形ABCD 的面积为：12AC •BD ，∵点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，∴EF ∥BD ，EF =12BD ，∴AC ⊥EF ，CF CG DF OG =，∴OG =CG ，∴AG =3CG ，设AC =a ，BD =b ，∴12ab =16，即ab =32，S △AEF =12EF •AG =12×12b ×34a =316ab =6．故选：D ．【点睛】此题考查的是菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键．30．4【分析】过点D 作//DE BF 交AC 于点E ，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出2AG AF GD EF==，然后代入计算即可．【详解】如图，过点D 作//DE BF 交AC 于点E ，∵G 是△ABC 重心，∴AD ，BF 都是△ABC 的中线，,AF CF BD DC \==．//DE BF Q ，12CE EF CF \==， 2AF EF \= ．//DE BF Q ，2AG AF GD EF\==． 2GD =Q ，4AG \=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关键．31．B【分析】取OD 的中点M ，连接MQ ，过点C 作CQ MQ ¢^于点Q ¢，得MQ 是DOP △的中位线，连接DQ ¢并延长交OB 于点P ¢，可得Q 点的运动轨迹是射线MQ ，所以得CQ 的最小值为CQ ¢的长，然后利用含30度角的直角三角形性质即可解决问题．本题考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，轨迹，解决本题的关键是得到Q 点的运动轨迹是射线MQ ．【详解】解：如图，取OD 的中点M ，连接MQ ，过点C 作CQ MQ ¢^于点Q ¢，Q 点Q 是PD 的中点，MQ \是DOP △的中位线，MQ 始终与OB 平行，连接DQ ¢并延长交OB 于点P ¢，∴1DM DQ OM Q P ¢=¢=¢DQ Q P ¢¢¢\=，Q \点的运动轨迹是射线MQ ，CQ \的最小值为CQ ¢的长，60CMQ AOB ¢Ð=Ð=°Q ，8OD =，M 是OD 的中点，142MD OD \==，2CD =Q ，2MC MD CD \=-=，112MQ MC ¢\==，CQ \=¢=¢CQ \故选：B32．见解析【分析】令,AX CZ 相交于点E ，延长AX ，使XE XD =，连接BD ，CD ，证明四边形BDCE 是平行四边形，则BE CD ∥，BD CE ∥，再证明ZE 为ABD △中位线，则点E 为AD 中点，最后证明EY 为ABD △中位线，得出EY CD ∥，即可根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求证．【详解】解：令,AX CZ 相交于点E ，延长AX ，使XE XD =，连接BD ，CD ．∵AX 是ABC V 的中线，∴BX CX =，∵XE XD =，∴四边形BDCE 是平行四边形，∴BE CD ∥，BD CE ∥，∵CZ 是ABC V 的中线，∴点Z 为AB 中点，BD CE∥∴12AE AZ AD AB ==，∴ZE 为ABD △中位线，即点E 为AD 中点，∵BY 是ABC V 的中线，∴点Y 为AC 中点，BE CD∥∴12AE AY AD AC ==，∴EY 为ABD △中位线，∴EY CD ∥，∵EY CD ∥，BE CD ∥，∴点B 、E 、Y 在同一条直线上，∴AX ，BY ，CZ 三线共点．【点睛】本题主要考查了三角形重心的证明，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线的判定和性质，以及在平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．33．C【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作DH BF ∥交AC 于H ，根据三角形中位线定理得到FH HC =，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．【详解】解：作DH BF ∥交AC 于H ，∵AD 是ABC V 的中线，∴BD DC =，∴FH HC =，∵DH BF ∥，且14AE AD =∴13AF AE HF ED ==， ∴16AF FC =：：，故选：C34．A【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作FH BC ∥交CD 于H ，则45DH DF HC FG ==，根据E 为CD 边中点，得19HE ED =，再根据FH AD ∥，得19FE HE AE DE ==，根据勾股定理得AE =FE ．【详解】解：如图，作FH BC ∥交CD 于H ，则45DH DF HC FG ==，E Q 为CD 边中点，\19HE ED =，FH AD Q ∥，\19FE HE AE DE ==，AE ==QFE \故选：A ．35．D【分析】连接BG ，过点O 作OT ∥AE 交BC 于点T ，首先证明41AG EG =，再利用平行线分线段成比例求解即可．【详解】解：如图所示，连接BG ，过点O 作OT ∥AE 交BC 于点T ，∵点O 是AB 的中点，∴AO =OB ，∴AOG OBG S S =n n ，∵25AOG ABE S S =n n ，∴41ABG BEG S S =n n ，∴41AG EG =，∵OT ∥AE ，AO =BO ，∴ET =TB ，∴OT =12AE ，∴25GE OT =，∵AE ⊥CD ，CD 平分∠BCO ，∴∠DCG =∠DCE ，∴∠CGE +∠DCG =90°，∠CEG +∠DCB =90°，∴∠CGE =∠CEG ，∴CG =CE ，∵∠CGE =∠COT ，∠CEG =∠CTD ，∴∠COT =∠CTD ，∴CO =CT ，∴OG =ET ，∵GE ∥OT ，∴25CE GE CT OT ==，∴23CE ET =，∴38OG BC =，故选：D ．【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例，三角形的面积，三角形中位线定理等，理解题意，学会添加辅助线，构造平行线是解题关键．36．C【分析】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设BC=3a ，则BP=PQ=QC=a ；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD 、BE 、BM 的长度，再来求BD ，DE ，EM 三条线段的长度，即可求得答案．【详解】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设3BC a =，则BP PQ QC a ===；∵AM CM =，AF ∥BC ，∴1AF AM BC CM==，∴3AF BC a ==，∵AF ∥BP ，∴133BD BP a DF AF a ===，∴34DF BF BD ==，∵AF ∥BQ ，∴2233BE BQ a EF AF a ===，∴23EF BE =，即25BF BE =，∵AF ∥BC ，∴313BM BC a MF AF a===，∴BM MF =，即2BF BM =，∴235420BF BF BF DE BE BD =-=-=，22510BF BF BF EM BM BE =-=-=，∴3::::53242010BF BF BF BD DE EM ==：：．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．37．A【分析】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．【详解】解：如图所示，过C 点分别向OA 、OB 作垂线，垂足分别为点D 、点E ，因为∠AOB =90°，OP 平分∠AOB ，∴∠BOC =∠AOC =45°，∴∠BOC =∠OCE =∠AOC =∠OCD =45°，∴OE =CE =CD =OD ,设OE =CE =CD =OD =x ,∴BE =6-x ，∵CE ∥OA ，∴BE CE OB OA =,∴664x x -=，∴125x =，∵OP 上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,∴点C 处的标度等于CD 的长，即为125，故选：A ．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合等思想方法．38．A【分析】过点D 作DF BC ^于点F ，由勾股定理得8AC =，再由角平分线的性质得DA DF =，进而由面积法求出3DF =，则5CD AC DA =-=，然后由勾股定理得4CF =，则6BF =，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：过点D 作DF BC ^于点F ，∵90A Ð=°，6AB =，10BC =，∴DA BA ^，8AC ===，∵BD 平分ABC Ð，DF BC ^，∴DA DF =，∵ABC ABD BCD S S S =+△△△，∴111222AB AC AB DA BC DF ×=×+×，∴68610DF DF ´=+，。