第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2,a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。
其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。
定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.limA a n n =∞→ 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为qa -11（由极限的定义可得）。
定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。
竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。
定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。
二、方法与例题 1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。
通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n .例2 已知数列{a n }满足a 1=21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1=21,又a 1+a 2=22·a 2,所以a 2=231⨯，a 3=4311322⨯=-+1a a ,猜想)1(1+=n n a n (n ≥1).证明；1）当n =1时，a 1=121⨯，猜想正确。
2）假设当n ≤k 时猜想成立。
当n =k +1时，由归纳假设及题设，a 1+ a 1+…+a 1=[(k +1)2-1] a k +1,，所以)1(1231121+⨯++⨯+⨯k k =k (k +2)a k +1, 即1113121211+-++-+-k k =k (k +2)a k +1, 所以1+k k=k (k +2)a k +1,所以a k +1=.)2)(1(1++k k 由数学归纳法可得猜想成立，所以.)1(1+=n n a n 例3 设0<a <1，数列{a n }满足a n =1+a , a n -1=a +na 1，求证：对任意n ∈N +,有a n >1.【证明】 证明更强的结论：1<a n ≤1+a . 1)当n =1时，1<a 1=1+a ，①式成立；2)假设n =k 时，①式成立，即1<a n ≤1+a ，则当n =k +1时，有.11111111121=++>+++=++≥+=>++a a a a a a a a a a a kk由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。
2．迭代法。
数列的通项a n 或前n 项和S n 中的n 通常是对任意n ∈N 成立，因此可将其中的n 换成n +1或n -1等，这种办法通常称迭代或递推。
例4 数列{a n }满足a n +pa n -1+qa n -2=0, n ≥3，q ≠0，求证：存在常数c ，使得121+++n n pa a ·a n +.02=+n n cq qa【证明】121+++n n pa a ·a n+1+221++=n n a qa (pa n +1+a n +2)+21+n qa =a n +2·(-qa n )+21+n qa =21221[)(+++=-n n n n a q a a a q +a n (pq n +1+qa n )]=q (2121n n n n qa a pa a ++++).若211222qa a pa a ++=0，则对任意n , n n n a pa a 121++++2n qa =0，取c =0即可.若211222qa a pa a ++≠0，则{n n n a pa a 121++++2n qa }是首项为211222qa a pa a ++，公式为q 的等比数列。
所以n n n a pa a 121++++2n qa =)(211222qa a pa a ++·q n . 取)(212122qa a pa a c ++-=·q1即可. 综上，结论成立。
例5 已知a 1=0, a n +1=5a n +1242+na ，求证：a n 都是整数，n ∈N +. 【证明】 因为a 1=0, a 2=1，所以由题设知当n ≥1时a n +1>a n .又由a n +1=5a n +1242+na 移项、平方得 .01102121=-+-++n n n n a a a a ①当n ≥2时，把①式中的n 换成n -1得01102112=-+---n n n n a a a a ，即.01102121=-+-++n n n n a a a a ②因为a n -1<a n +1，所以①式和②式说明a n -1, a n +1是方程x 2-10a n x +2n a -1=0的两个不等根。
由韦达定理得a n +1+ a n -1=10a n (n ≥2). 再由a 1=0, a 2=1及③式可知，当n ∈N +时，a n 都是整数。
3．数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例6 已知a n =100241+n (n =1, 2, …)，求S 99=a 1+a 2+…+a 99. 【解】 因为a n +a 100-n =100241+n +100100241+-n =10010010010010010021)44(2244422=++⨯++⨯--n n n n ， 所以S 99=.29929921)(21101100991100=⨯=+∑=-n n n a a例7 求和：43213211⨯⨯+⨯⨯=n S +…+.)2)(1(1++n n n 【解】 一般地，)2)(1(22)2)(1(1++-+=++k k k kk k k k⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=)2)(1(1)1(121k k k k ， 所以S n =∑=++nk k k k 1)2)(1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=)2)(1(1)1(143132132121121n n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)2)(1(12121n n .)2)(1(2141++-=n n 例8 已知数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n , S n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2的前n 项和，求证：S n <2。
【证明】 由递推公式可知，数列{a n }前几项为1，1，2，3，5，8，13。
因为nn n a S 228252322212165432+++++++= ， ① 所以1543222523222121++++++=n n n a S 。
② 由①-②得12222222121212121+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n nn n n a a S ， 所以122412121+--+=n nn n a S S 。
又因为S n -2<S n 且12+n na >0,所以412121+<n S S n , 所以2141<n S ， 所以S n <2，得证。
4．特征方程法。
例9 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=4n +1-4a n ，求a n . 【解】 由特征方程x 2=4x -4得x 1=x 2=2.故设a n =(α+βn )·2n -1，其中⎩⎨⎧⨯+=+=2)2(63βαβα，所以α=3，β=0， 所以a n =3·2n -1.例10 已知数列{a n }满足a 1=3, a 2=6, a n +2=2a n +1+3a n ，求通项a n . 【解】 由特征方程x 2=2x +3得x 1=3, x 2=-1,所以a n =α·3n +β·(-1)n ，其中⎩⎨⎧+=-=βαβα9633，解得α=43，β43-=， 所以11)1(3[41++-+=n n n a ·3]。
