下载文档原格式
复变函数级数收敛性复变函数级数是指形如$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$的级数，其中$a_n$为复数系数，$z$为复变量，$z_0$为复常数。
研究复变函数级数的收敛性是复分析中的一个重要课题。
本文将讨论复变函数级数的收敛条件及其在复平面上的收敛域。
一、幂级数的收敛性幂级数是复变函数级数的一种特殊情况，其系数$a_n$为常数。
对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$，其在某个复数$z_0$附近的收敛性由收敛半径$R$决定。
收敛半径$R$的计算公式为：$$R = \frac{1}{\lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.$$当$|z-z_0| < R$时，幂级数绝对收敛；当$|z-z_0| > R$时，幂级数发散；当$|z-z_0| = R$时，幂级数可能收敛也可能发散。
收敛半径$R$可用来确定幂级数的收敛域，即收敛的$z$的取值范围。
二、复变函数级数的收敛性对于一般的复变函数级数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$，其中系数$a_n$为复数，我们可以通过Cauchy-Hadamard公式求解其收敛半径$R$。
公式如下：$$\frac{1}{R} = \lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$类似于幂级数的情况，当$|z-z_0| < R$时，级数绝对收敛；当$|z-z_0| > R$时，级数发散；当$|z-z_0| = R$时，级数可能收敛也可能发散。
三、收敛域的性质1. 收敛域是开集：对于给定的收敛半径$R$，收敛域是以$z_0$为中心、半径为$R$的开圆盘，即$\{z\in\mathbb{C}: |z-z_0| < R\}$。
2. 边界上的收敛性：当$|z-z_0| = R$时，级数可能收敛也可能发散。
第三章 复变函数的级数无穷级数：一系列无穷多个数写成就称为无穷级数，记为 。
这仅仅是一种形式上的相加。
这种加法是不是具有‘和数’呢？这个‘和数’的确切意义是什么呢？若级数 收敛于S ，也称此值S 为级数的‘和数’。
n u u u u ,,,321+++++n u u u u 321∑∞=1n n u ∑∞=1n n u为什么要研究级数？(1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2) 常微分方程的级数解。
以下问题值得关心：()⑴级数的敛散性；(2) 级数收敛的定义、条件、判据；(3) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。
四、一致收敛级数的性质性质1 若级数 在D 内一致收敛于S (z )，且其各项均为D 内的连续函数，则S (z )也是D 内的连续函数。
性质2 若级数在曲线L 上一致收敛于S (z )，且各项 均为L 上的连续函数，则级数可沿L 逐项积分：∞=∑∫∫kLLk=0s(z)dz w (z)dz∑∞=0)(k k z w )(z w k ∑∞=0)(k k z w3.2 幂级数幂级数：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广幂级数的一般形式：010()()...()...k kk k k a z b a a z b a z b ∞=−=+−++−+∑(只有正幂项):复常数，b :幂级数的中心， ：幂级数的系数一、幂级数的敛散性由于发散的幂级数没有多大用处，故首先必须研究幂 级数的敛散性。
b a k ,ka综合阿贝尔定理和推论，对于幂级数()k kka zb ∞=−∑有：若幂级数在某点收敛，则必在离展开中心b更近的点收敛。
若幂级数在某点发散，则必在离展开中心b更远的点发散。
——幂级数的收敛区域与发散区域不会交错出现。
结论：必然存在一个以展开中心b为圆心的圆，在圆内级数收敛，而在圆外发散。
这个圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径R称为收敛半径。
三、幂级数在收敛圆内的性质性质1. 0()()kk k s z a z b ∞==−∑在收敛圆内解析，且可逐项求导任意多次。
第3章复变函数级数Anhui University第一章采用微分研究解析函数，第二章采用积分研究解析函数。
级数也是研究解析函数的重要工具，从另外一个侧面揭示解析函数的本质,从而进一步认识解析函数。
中心目标：解析函数与无穷级数的关系。
具体内容：1.有关复级数的概念、性质、定理；2. taylor级数与解析函数的关系及展开方法；3. 洛朗级数和奇点存在的关系及展开方法；4. 孤立奇点的分类3.1 复级数一. 复数项级数1. 复数项级数定义：2. 复数项级数收敛：lim Re lim Re ,Im lim Im .n n n n n n S S S S S S →∞→∞→∞=⇔==注意：复级数可归结为两个实级数的研究。
3. 复数项级数收敛的充要条件：4. 收敛的必要条件：二. 复变函数项级数1.定义：2.收敛与发散：3.一致收敛：4.一致收敛级数的主要性质及判别法则：（1）和函数连续；（2）逐项积分；（3）逐项可导；（4）判别法则；3.2 幂级数一. 幂级数的定义二. 幂级数的敛散性1. 阿贝尔（Abel）定理：2. 推论：3. 收敛圆与收敛半径：4. 收敛半径的计算方法：(1).比值法：1lim ||k k k a R a →∞+=(2).根式法：(3).奇点法：1lim ||k k k R a →∞=0kk z∞=∑求下列幂函数的收敛半径例1. 31k k z k ∞=∑例2. 311lim lim 1k k k k a k a k →∞→∞++⎛⎞==⎜⎟⎝⎠解：注：收敛半径R =1, 也就是级数在圆|z |<1内收敛, 在圆周外发散。
在圆周上发散注：所以收敛半径R =1, 也就是原级数在圆|z |=1内收敛。
在圆周|z |=1上, 级数是收敛的, 因为这是一个p 级数, p =3>1,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的。
ln 1k k k kz ∞=∑例3. 2ln 1ln 1ln()(ln )ln ln()01lim ||lim()lim lim lim 1.||k k k k k k k k k k k k k k k k k R k e e e e a −−−−→∞→∞→∞→∞→∞=======解：由根式法：,61)(02∑∞==−+=n nn z C z z z f 2;R =解：由奇点法可锝（1）的收敛半径,)(61)(02∑∞=−=−+=n nn i z C z z z f 例4. 5R =解：由奇点法可锝（2）的收敛半径 即（0,0）到（2,0）之间距离。
