地下水动力学-第五章

T = 0.183
Q i Q T
（5-19）
如利用晚期直线段求导水系数，则有：
T = 0.366
式中，i 为直线段斜率。 求贮水系数利用下式：
（5-20）
µ∗ =
2.25Tt 0 r2
（5-21）
在有补给边界影响的情况下，抽水一定时间以后达到稳定，在单对数纸上出现水平线 段。它和边界影响前的倾斜直线有个交点，交点的横坐标也以 ti 表示，倾斜直线在横坐标上
s=
Q R Q R Q R2 ln + ln = ln 2πT r1 2πT r2 2πT r1 r2
（5-5）
对于潜水含水层，有：
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H 02 − h 2 =
Q R2 ln πK r1 r2
（5-6）
为了便于计算，把研究点 p（x，y）移至抽水井井壁，则 r1 = rw , r2 ≅ 2a ，得承压水：.
（5-10）
对于潜水，当降深不大时，忽略三维流的影响，类似地可得：
H 02 − h 2 =
式中， u i =
Q [W (u1 ) − W (u 2 )] 2πK
（5-11）
ri 2 µ ∗ （i=1，2） ； µ 为给水度； T = Khm ，导水系数； hm 为平均厚度。当 4Tt
H 02 − h 2 = r Q ln 2 πK r1
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=
r Q ln 2 πK r1
（5-2）
为了便于计算，把研究点移至抽水井井壁， 即 r1 = rw , r2 ≅ 2a ，则得承压水
Q = 2π
KMs w 2a ln rw (2 H 0 − s w ) s w 2a ln rw
（5-3）
潜水：
Q = πK
（5-4）
o
如两边界一个是补给边界，一个是隔水边界，则 θ 角必须能整除 90 。如不满足这个
o
条件，应用镜像法的结果将出现矛盾。 θ 角为 120 时是一个特殊情况，只有当两条边界都
o
是隔水边界，而且抽水井位于 θ 角的平分线上时，才能应用镜像法。 当然，自然界中的扇形含水层不可能正好具有上述夹角。只要夹角相近，应用镜像法 不至于引起很大的误差，可以用来进行近似的计算。 下面列举几种常见的扇形含水层。 5.2.1 象限含水层 (θ为 90o) 象限含水层的几种情况如图 5-12 所示。下面分别讨论其稳定流和非稳定流计算。
0.183Q 2.25Tt lg 2 ∗ T r µ 0.183Q 单对数纸上的 s-t 曲线为直线，斜率为 。而在隔水边界影响的情况下，由（5-14） T Q ，增加了一倍，单对数纸上的 s-t 曲线出现二个斜率 式可知，s-t 直线的斜率为 0.366 T s=
相差一倍的直线段。早期直线在横轴上的截距为 t0，早期直线和晚期直线交点的横坐标为 ti 图（5-4 的曲线 b） 。如利用早期直线段求导水系数，则公式为：
r2 = ( x + a) 2 + y 2 ——研究点至虚井的距离。
相应的流网表示在图 5-1（d）中。
图 5-1 直线补给边界附近的稳定井流（据 J.Bear） 对于潜水含水层，s 不是线性函数，不能进行叠加。但
1 2 h 是线性函数，故有 2 Q R −Q R 2 ∆h 2 = H 02 − h 2 = ∆h12 + (− ∆h2 )= ln + ln πK r1 πK r2
o
θ 所整除。当含水层中有一口实井时，平面上的总井数为： 360 n= （5-22） θ
nim = 360 −1
（5-23）
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虚井数为：
θ
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（3） 实井和虚井在平面上位置的轨迹为一个圆，圆心在扇形的顶点，半径等于从水井至 扇形顶点的距离。 （4） 根据 J.G.Ferris 等人的研究，对扇形含水层应用镜像法时，其夹角和边界性质的组合 还必须满足一定的条件。如两边界都是补给边界或都是隔水边界时， θ 角必须能整 除 180
Q = 2πT sw R2 ln 2arw
（5-7）
潜水：
Q = πK (2 H 0 − s w ) s w R2 ln 2arw
（5-8）
式中符号同前。同理，以上各式也只适用于 a<R0/2 的情况。 2. 非稳定流 （1）直线补给边界附近的非稳定井流：和稳定流的情况相似，虚井是流量为-Q 的注水 井，利用叠加原理，对承压水井可得：.
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求仍保持原有的其它边界条件和水流状态。利用叠加原理，可求得原问题的解。数学上可 以证明这是合理的。这样，利用虚井把有界含水层的解和无界含水层的解联系起来，后者 有现成的解析解，因此有界含水层的求解就比较容易了。这种方法称为镜像法或映射法。 5.1.2 直线边界附近的井流 1.稳定流 （1）直线补给边界附近的稳定井流：先考虑承压水井。设抽水井的流量为 Q，井中心至 边界的垂直距离为 a，则在边界的另一侧-a 的位置上映出一口流量为-Q 的注水井(图 5-1)。 因为承压水的降深 s 为线性函数，故可进行叠加。
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已达稳定状态。有了标准曲线，即可应用配线法求参数。必须注意，图 5-3 的标准曲线是特 定的，当抽水井和观测孔的连线不垂直于边界时不能应用。
图 5-3 边界附近水井非稳定流抽水的标准曲线 不管观测孔的位置如何，只要抽水的时间足够长，都可用直线图解法求参数。 由前述可知，当边界尚未发生影响时，其情况和无限含水层相同，有公式：
§5.2
扇形含水层中的井流
两个会聚边界可组成扇形含水层。对扇形含水层使用镜像法时，除了要满足上面提到 的一般规则以外，还要满足下列条件： （1） 扇形含水层有两条边界，对于某一条边界而言，不仅映出井的像，而且也映出另一 条边界的像。这样就要连续映像，直到虚井和虚边界布满整个平面为止。 （2） 井必须是整数，所以在扇形含水层应用镜像法时，对其夹角有一定的要求，即 360 必须能被扇形的夹角
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的截距为 to （图 5-4 中的曲线 a） 。此时仍用（5-19）式和（5-21）式计算参数。
图 5-4 直线边界附近的 s-lgt 曲线 a- 补给边界附近的曲线；b-隔水边界附近的曲线 思考题： 1. 用镜像法求得的流网中，补给边界是流线还是等势线？隔水边界呢？ 2. 设补给边界附近有二口抽水井和一口注水井同时工作，试用镜像法映出它们 的像，并写出相应的计算公式。
u ≤ 0.01 时有：
（5-12）
式(5-10)和式(5-12)式都没有包含时间因素 t， 和稳定流公式 （5-1） 式和(5-2)式完全相同， 表示存在补给边界时，抽水一定时间以后降深能达到稳定。 (2) 直线隔水边界附近的非稳定井流：该情况下虚井是抽水井，对承压水井利用叠加原 理得：
s=
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§5.1 镜像原理及直线边界附近的井流
5.1.1 镜像法原理 如在平面镜前放一物体，镜中就有一虚像存在。物体和虚像的位置对镜子是对称的， 形状是相同的。为此，把直线边界想象成一面镜子，若边界附近存在工作的真实的井(称为 实井)，相应地在边界的另一侧会映出一口虚构的井（称为虚井） 。为了将有界井流问题化为 无界井流问题，且变化后保持原问题的边界性质不变，虚井应有下列特征： （1）虚井和实井的位置对边界是对称的； （2）虚井的流量和实井相等； （3）虚井性质取决于边界性质，对于定水头补给边界，虚井性质和实井相反；如实井为 抽水井，则虚井为注水井；对于隔水边界，虚井和实井性质相同，都是抽水井； （4）虚井的工作时间和实井相同； 边界的影响可用虚井的影响代替，把实际上有界的渗流区化为虚构的无限渗流区，把 求解边界附近的单井抽水问题，化为求解无限含水层中实井和虚井同时抽(注)水问题。但要
则计算隔水边界附近井流的(5-13)式变为：
s=
0.08Q Q r r φ (u1 , ) = φ (u1 , ) 4Tπ a T a
（5-17）
计算补给边界附近井流的（5-9）式变为：
0.08Q Q r r φ ′(u1 , ) = φ ′(u1 , ) （5-18） 4Tπ a T a 1 r 1 r r 和 φ (u , ) 及 φ ′(u , ) 的关系曲线(图 5-3)。 φ (u , ) − 曲线位于 Theis 我们可以作 u1 a u1 a a r 1 曲线位于 Theis 曲线的下部，曲线的右部出现水平段，表示抽水 曲线的上部。φ ′(u , ) − a u1 s=
s= ri 2 µ ∗ 式中： u i = 4Tt
Q [W (u1 ) − W (u 2 )] 4πT
（5-9）
当抽水时间 t 延长到一定程度，使 u1 和 u 2 均小于 0.01 时，则可利用 Jacob 近似公式， 于是（5-9）式变为：
s=
Q 4πT
⎡ 2.25Tt r 2.25Tt ⎤ Q ln 2 ⎢ln 2 ∗ − ln 2 ∗ ⎥ = r2 µ ⎦ 2πT r1 ⎣ r1 µ
地下水动Байду номын сангаас学
第五章 地下水向边界井及不完整井的运动
在自然界中，任何含水层的分布都是有限的。当边界距抽水井较远，且抽水时间较短， 在抽水过程中边界对抽水井不发生明显影响时，就可当作无限含水层来处理。但当井打在 边界附近，或在长期抽水情况下，边界对水流有明显影响时，就必须考虑边界的存在。边 界基本上分为补给边界（供水边界）和隔水边界（不透水边界）二类。属于哪一类边界， 要据具体水文地质条件来确定。实际的边界常常是弯曲的、不规则的。为便于计算，常把 它简化成直线，并把含水层的分布范围简化成规则的几何形状。 此外，前边讲的是含水层中的完整井流。实际上，由于天然含水层埋藏条件和技术经 济条件的不同，有很多情况下不需要建完整井，例如含水层厚度巨大时、取水量较小即能 满足需求时等等。这种情况下就需要研究地下水向不完整井的运动。