考研高数总复习Laplace变换(讲义)

一、问题的提出 二、Laplace变换的概念
三、Laplace变换的存在定理
四、周期函数的Laplace变换 五、小结
拉普拉（place，1749-1827）， 法国著名的天文学家和数学家，天体力 学的集大成者.
法国的3L: 拉普拉斯和拉格朗日、勒让德.
一、 问题的提出 • 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足Fourier变换
- st
k 2 Re s 0 2 s k
同理得余弦函数的Laplace变换
s L [cos kt ] 2 Re s 0 2 s k
求周期性三角波
0t b t, f (t ) 2b - t , b t 2b
且 f(t+2b)=f (t)的Laplace变换.
0


0
f
- st

- st ,有 t e dt
L [ f ( t )]
f (t )e d t
[e- b t (t ) - b e- b t u( t )]e- st d t
0


0
δ(t )e
-( s b )t
d t - b e- ( s b ) t d t
0
1 s-k
1 所以 L [e ] (Re( s ) k ). s-k
kt
练习: 试求指数函数 f ( t ) e (k为实数)
- kt
的Laplace变换.
三、Laplace变换的存在定理 Laplace变换的存在定理: 若函数 f (t) 满足: 1)在t 0的任一有限区间上分段连续; 2)当t时, f ( t ) 的增长速度不超过某一 指数函数, 即存在常数 M 0 及 c 0 , 使得
0

e
-( s b )t
t 0
be
- ( s b ) t
sb
0
s 1 sb sb
b
求
Laplace f (t ) sin 2t的 sin 3t 变换.
根据附录,得到
12s L [sin 2t sin 3t ] 2 ( s 52 )( s 2 12 )
2s 2 s 2 2bs 2b 2
五、小结
注意类比于Fourier变换.
思考总结Laplace变换与Fourier变换的异同点.
思考复习:
Laplace变换的定义是什么?存在条件是什么?
kt
根据 F s



0
f t e - st dt , 有
-( s- k )t
L [ f (t )] e e d t e
kt - st 0 0
dt
Re s k时收敛, 而且有 这个积分在


0
e
-( s- k )t
1 - ( s- k )t dt e s-k
L [ u( t )]
这个积分在 Re s 0时收敛, 而且有 1 - st 1 - st 0 e d t - s e s 0


0
e dt
- st
1 所以 L [u( t )] s
(Re(s ) 0).
求指数函数 f (t ) e 的Laplace变换(k为实数).
) 时有定义 t0 •设函数 f ( t当 , 而且积分


0
f (t )e- st d t
(s为一个复参量)
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数 可写为
F (s)
0
f (t )e d t
- st
函数 f ( t ) 的Laplace变换式
二、Laplace变换的概念
•记 F ( s ) L [ f (t )], F ( s) 称为 f ( t ) 作: 的Laplace变换.
若 F ( s)是 f ( t ) 的Laplace变换,则称 f ( t ) 为 F ( s)的Laplace逆变换. 记作:
f (t ) L -1 [F ( s)] .
0，t 0 求单位阶跃函数 u(t ) 的Laplace变换. 1，t 0
根据Laplace变换的定义, 有

T
0
f ( t )e d t Re s 0
- st
周期函数的Laplace变换公式
注意:
满足Laplace变换存在定理条件的函数 f ( t ) 在t 0处有界时, 积分
L [ f ( t )]

0
f (t )e d t
- st
的下限取 0 或 0- 不会影响其结果. 证明:函数 f ( t ) 在t 0处有界时, 积分
注意:
但当 f ( t ) 在t 0 处包含脉冲函数时,Laplace 变换的积分下限必须明确指出是0 还是0 , 因为
L [ f (t )] f (t )e- st d t

0
-
0
f (t )e d t 0
0
- st
L - [ f ( t )] - f (t )e d t
0

0-
f (t )e- st d t 0
注意:
L [ f ( t )] f (t )e d t
- st 0

L - [ f ( t )]

0

-
0
f ( t )e
- st
dt
- f (t )e- st d t L [ f (t )]
为零
故
0
L [ f (t )] L- [ f (t )].
求正弦函数 f (t ) sin kt (k为实数) 的Laplace变换. 根据 F s
L [sin kt ]

0

f t e - st dt , 有
- st
0
sin kt e d t
e 2 - s sin kt - k cos kt 2 s k 0
L [ f ( t )]
应为
0

L- [ f (t )] - f (t )e d t .
- st
0
f (t )e d t
- st
求函数
f (t ) e t - b e
-b t
-b t
u t b 0
的Laplace变换.
根据
F s
- st
当
Re( s ) 0 时
e
k 0

-2 kbs
1 1 - e-2bs
从而
2b 1 - st L [ f (t )] f (t )e d t -2 bs 0 1- e 1 - bs 2 1 (1 - e ) 2 -2 bs 1- e s - bs 1 1-e 1 bs 2 2 tanh - bs s 1 e s 2
求单位脉冲函数 δ(t ) 的Laplace变换.
根据 F s




0
f t e dt , 利用性质:
- st
-
f t δ t dt f 0 ， 有
0
L [ (t )]
δ(t )e- st d t


-

0
-
δ( t )e d t
根据
F s
0
2b

0
,有 f t e - st dt
L [ f (t )]
f (t )e d t
f (t )e d t
- st 4b 2b
- st

0
f ( t )e d t
- st

2 kb
k 0
2( k 1) b
f (t )e- st d t
- ( b j ) t
dt
f (t )e- st d t
其中 s b j , f ( t ) j ( t )u( t ).
s-b 若再设 F ( s) Gb j , 则得
F ( s)

0
f ( t )e- st d t
二、Laplace变换的概念 定义:
12 s 2 ( s 25)( s 2 1)
根据定义,由欧拉公式有
1 j2 t - j2 t j3 t - j3 t sin 2t sin 3t - (e - e )(e - e ) 4
从而得
1 j5 t - j t j t - j5 t (e - e - e e ) 4
1 2s 2s L [sin 2 t sin 3 t ] 2 - 2 4 s 25 s 1 12 s 2 ( s 25)( s 2 1)
δ( t )e d t e
- st
- st t 0
- st
1
四、周期函数的Laplace变换
) 设函数 f ( t的周期为 , T,即 f (t T ) f (t ) t 0 当 f ( t ) 在一个周期上是分段连续的,则
1 L [ f ( t )] - sT 1- e
的j(t)u(t)e-bt的Fourier变换都存在.
二、Laplace变换的概念
-b t j (t )u(t )e •对函数 取 Fourier b 0 变换, 可得
Gb ( ) j ( t )u( t )e
-

- b t - j t
e
dt
0


0
f (t )e