2019 2020高中数学第一章计数原理122组合第2课时组合的综合应用习题课练习含解析新人教A版

第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三 分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 B解析 先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B解析 由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B 解析 分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法． 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法． 由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 A解析 首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 D解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法． 二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法． 共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．。

1.2.2 组合课时过关·能力提升基础巩固1C 62+C 75的值为( )A.72B.36C.30D.4262+C 75=6×52×1+7×62×1=15+21=36.2某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有( ) A.16种B.36种C.42种D.60种2个城市,则有C 42C 32A 22=36种投资方案;若选择了3个城市,则有C 43A 33=24种投资方案,因此共有36+24=60种投资方案.3某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( ) A.45种 B.56种C.90种D.120种,不同的选法种数为C 83−C 53−C 33=45.4氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的排列顺序,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为( ) A.210B.126C.70D.357种中取出3种有C 73=35种取法,比如选出a ,b ,c 3种,再都改变位置有b ,c ,a 和c ,a ,b 两种改变方法,故不同的改变方法有2×35=70种.5某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分配方法有( ) A.80种B.90种C.120种D.150种:(1)其中一所学校3名教师,另两所学校各1名教师的分法有C 53A 33=60种;(2)其中一所学校1名教师,另两所学校各2名教师的分法有C 51C 422A 33=90种,故共有150种不同的分配方法.6在直角坐标系xOy 平面上,平行于x 轴和平行于y 轴的直线各有6条,则由这12条直线组成的图形中,矩形共有 个.x 轴的6条直线中任取两条,再从平行于y 轴的6条直线中任取两条,就能组成一个矩形,所以共有矩形C 62·C 62=225个.7某书店有11种杂志,2元1本的有8种,1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志(每种至多买1本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数为 .(用数字作答): (1)买5本2元的买法种数为C 85.(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 84·C 32. 故不同的买法种数为C 85+C 84·C 32=266.8从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 种.(用数字作答)73种方法,第二步安排周日有C 43种方法,故不同的安排方案共有C 73C 43=140种.9用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个.(用数字作答):第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有C 31A 33+C 32A 33C 41=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有C 32A 33C 41+C 31C 32A 33C 31=234个,共有90+234=324个.108人排成一排,其中甲、乙、丙3人中有2人相邻,则这3人不同时排在一起的排法有多少种?5人有A 55种排法;再从甲、乙、丙3人中选2人排在一起并插入已排好的5人的6个间隔中有C 61A 32种排法,余下的1人可以插入另外5个间隔中有C 51种排法,由分步乘法计数原理知,共有A 55C 61A 32C 51=21600种排法.11(1)求证:C 1+21=C 11+2C 11-1+C 11-2; (2)解方程:3C 1-31-7=5A 1-42.1+11=C 11+C 11-1可知,右边=(C 11+C 11-1)+(C 11-1+C 11-2)=C 1+11+C 1+11-1=C 1+21=左边.右边=左边,所以原式成立.3C 1-34=5A 1-42,即3(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)4×3×2×1=5(1−4)(1−5),所以(x-3)(x-6)=5×4×2=8×5. 所以x=11或x=-2(舍去负根).经检验,x=11符合题意,所以方程的解为x=11.能力提升15个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A 盒,则不同的放法种数是( ) A.120B.72C.60D.36A 盒后分两类:一类是除甲球外,A 盒还放其他球,共A 44=24种放法;另一类是A 盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有C 42·A 33=36种放法.故总的放法有24+36=60种.2某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( ) A.2B.3C.4D.5x 人,则女生有(6-x )人.依题意得C 63−C 13=16,即x (x-1)(x-2)+16×6=6×5×4. 解得x=4,故女生有2人.3考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) A .4225B .2225C .275D .47562=15条直线,如图,其中有6对平行线,所求概率P =12×115×15=475.故选D .113+11+1,其中1为2,4,6,8中的任意一个,1为1,3,5,7中的任意一个4已知一组曲线y=13.现从这些曲线中任取两条,它们在1=1处的切线相互平行的组数为()A.9B.10C.12D.142+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有C22组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有C32组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有C42组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有C32组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有C22组.故共有C22+C32+C42+C32+C22=14组曲线,它们在x=1处的切线相互平行.5如图,一只电子蚂蚁在网格线上由原点O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,n∈N*),记可能的爬行方法总数为f(m,n),则f(m,n)=.O出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为1,向右为0,则爬到点(m,n)需m个0和n 个1.这样爬行方法总数f(m,n)是m个0和n个1的不同排列方法数.m个0和n个1共占(m+n)个1.位置,只要从中选取m个放0即可.故f(m,n)=C1+116如图,工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的两个螺丝.则不同的固定方式有种.(用数字作答),先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有C61种方法,再随意拧第三个螺丝,和其对角线上的,有C41种方法,然后随意拧第五个螺丝,和其对角线上的,有C21种方法;第二阶段,先随意拧一个螺丝,有C61种方法,再随意拧不相邻的,若拧的是对角线上的,则还有4种拧法,若拧的是不相邻斜对角线上的,则还有6种拧法.所以总共的固定方式有C61C41C21C61×(4+6)=2880种.7在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为.(用数字作答):第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4C53种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2C43种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4C21种取法.因此,满足题意的不同取法共有4C53+2C43+4C21=56种.★8在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有C42=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有C41=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有C40=1个信息.由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.★9在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.先选内科医生有C63种选法,再选外科医生有C42种选法,故选派方法的种数为C63·C42=120. (2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为C61·C44+C62·C43+C63·C42+C64·C41=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为C105−C65=246.(3)分两类:一是选1名主任有C21·C84种方法;二是选2名主任有C22·C83种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为C21·C84+C22·C83=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为C105−C85=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有C94种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有C84−C54种选法.故有选派方法的种数为C94+C84−C54=191.。

1-2-2-2 组合的综合应用[综合训练·能力提升]一、选择题（每小题5分，共30分）1．编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏灯不相邻，则不同的亮灯方案有A．60种B．20种 C．10种D．8种解析四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，有C35＝10种方案．答案 C2．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A．140种 B．120种 C．35种 D．34种解析分三种情况：①1男3女共有C14C33种选法．②2男2女共有C24C23种选法．③3男1女共有C34C13种选法，则共有C14C33＋C24C23＋C34C13＝34种选法．答案 D3．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有A．120种 B．48种 C．36种 D．18种解析最后必须播放奥运广告有C12种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C13种，故共有C12C13A33＝36种不同的播放方式．答案 C4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种 B．63种 C．65种 D．66种解析和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数有C44＝1种取法，取2个奇数2偶数有C24·C25＝60种取法，取4个数均为奇数有C45＝5种取法，故共有1＋60＋5＝66种不同的取法．答案 D5．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A．144 B．120 C．72 D．24解析三人全相邻的坐法，采用捆绑法，将三人“绑在一起”，相当于一个元素在四个位置中选一个，而三人要全排列，共有C14A33＝24种；只有2人相邻的坐法，从三人中任选两人，将这两人“绑在一起”，分类讨论：①若这两人坐(12)位，则第三人只能在4，5，6位中选一个位置，有3种坐法；②若这两人坐(23)位，则第三人只能在5，6位中选一个位置，有2种坐法；③若这两人坐(34)位，则第三人只能在1，6位中选一个位置，有2种坐法；④若这两人坐(45)位，则第三人只能在1，2位中选一个位置，有2种坐法；⑤若这两人坐(56)位，则第三人只能在1，2，3位中选一个位置，有3种坐法；这样只有2人相邻的坐法(这两人要全排列)共有C23A22(3＋2＋2＋2＋3)＝72种坐法；3人的所有可能的坐法为A36＝120种；综上可知，任何2人不相邻的坐法种数为120－24－72＝24(种)．答案 D6．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有A．120种 B．5种 C．240种 D．180种解析先从5本中选出2本，有C25种选法，再与其他三本一起分给4人，有A44种分法，故共有C25·A44＝240种不同的分法．答案 C二、填空题（每小题5分，共15分）7．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案(用数字作答)．解析这里A，B，C三门课程“至多选一门”，即A，B，C三门课程都不选，或A，B，C这三门课程恰好选一门，所以分两类完成：第1类，A，B，C三门课程都不选，有C46种不同选修方案；第2类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C13·C36种不同选修方案．故共有C46＋C13·C36＝75种不同的选修方案．答案758．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析两老一新时，有C13×C12A22＝12种排法；两新一老时，有C12×C23A33＝36种排法，故共有48种排法．答案489．从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每天只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有________种．解析当所选4人中没有甲乙时，方案有A44种；当所选4人中只有甲乙中一人时，方案有C12C34C13A33种；当所选4人中有甲乙两人时，方案有C24A23A22种，所以总的方案有240种．答案240三、解答题（本大题共3小题，共35分）10．（10分）从－11，－7，0，1，2，3，4，5八个数中，每次选出三个不重复的数作为直线Ax＋By＋C＝0中的字母A，B，C的值．问斜率k小于零的不同直线有多少条？解析(1)从－11，－7中选出两个安排A，B，从0，1，2，3，4，5中选出一个安排C，则有C16A22种方法；(2)从1，2，3，4，5中选出两个安排A，B，从余下的6个数中选出一个安排C，则有C25A22C16种方法．但在(2)中，当A＝1，B＝2，C＝0和A＝2，B＝4，C＝0时两条直线相同，同理，当A ＝2，B＝1，C＝0时和A＝4，B＝2，C＝0时两条直线也相同，所以，一共可以组成C16A22＋C25 A22C16－2＝130条斜率k小于零的直线．答案13011．（12分）一个质点从平面直角坐标系的原点O出发，每次沿坐标轴正方向或负方向移动1个单位，若经过8次移动，质点落在点(1，5)处，则质点做的不同运动方式共有多少种？解析由题意知，有两种情形：①沿x轴方向移动3次(2次正方向，1次负方向)，沿y轴正方向移动5次，共有C38C13C55＝168种；②沿x轴正方向移动1次，沿y轴方向移动7次(6次正方向，1次负方向)，共有C18C77C17＝56种，于是共有224种．答案22412．（13分）从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？解析(1)分步完成：第1步，在4个偶数中取3个，可有C34种情况；第2步，在5个奇数中取4个，可有C45种情况；第3步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以有C34·C45·A77＝100 800个符合题意的七位数．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的个数共有C34·C45·A55·A33＝14 400.(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的个数共有C34·C45·A33·A44·A22＝5 760.(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空的当中，共有C34·C45·A44·A35＝28 800个符合题意的七位数．答案(1)100 800 (2)14 400 (3)5 760 (4)28 800。

2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式1学案新人教A版选修[学习目标]1．理解组合及组合数的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．[知识链接]1．排列与组合有什么联系和区别？答排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果．2．两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？答两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．[预习导引]1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．3．组合数公式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，m≤n).要点一组合概念的理解例1判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解 (1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C 210＝45.(2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C 210＝45.(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C 310＝120.(4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A 310＝720. 规律方法 排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪演练1 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来． (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解 (1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C 37个．(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了A 28个电子邮件．(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A 24种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C 24种票价． 要点二 组合数公式的应用例2 (1)计算：C 9799＋C 9899＋C 99100； (2)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1； (3)解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218. 解 (1)C 9798＋C 9899＋C 99100＝C 98100＋C 99100＝C 99101＝C 2101＝5 050； (2)由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，∴4≤n ≤5，又∵n ∈N *，∴n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16.(3)由原方程及组合数性质可知3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， ∴n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2. 规律方法 (1)公式C mn ＝A m n A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！，一般用于求值计算；(2)公式C m n ＝n ！m ！（n －m ）！(m ，n ∈N *，且m ≤n )，一般用于化简证明．在具体选择公式时要根据题目特点正确选择．(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质C m n ＝C n －mn，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n，能起到简化运算的作用，需熟练掌握．跟踪演练2 (1)计算：C 98100＋C 199200； (2)求C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n 的值；(3)证明：C m n ＝nn －m C m n －1. (1)解 C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150. (2)解 由组合数定义知： ⎩⎪⎨⎪⎧0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n .即⎩⎨⎧192≤n ≤38，0≤n ≤212.∴192≤n ≤212，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466. (3)证明n n －m C m n －1＝nn －m ·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝ n ！m ！（n －m ）！＝C mn .要点三 组合的简单应用例3 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球． (1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？解 (1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C 58＝C 38＝8×7×63×2×1＝56. (2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成： 第一步，从7个白球中任取4个白球，有C 47种取法；第二步，把1个红球取出，有C 11种取法． 故不同取法的种数是：C 47·C 11＝C 47＝C 37＝35. (3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球 中任取5个白球即可，不同取法的种数是C 57＝C 27＝7×62×1＝21. 规律方法 基本组合问题的解法： (1)判断是否为组合问题； (2)是否分类或分步；(3)根据组合相关知识进行求解．跟踪演练3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45(种)． (2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第二类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90(种).1．已知C 2n ＝10，则n 的值等于( )A ．10B ．5C ．3D ．2 答案 B2．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中是组合问题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C3．下列等式不正确的是( ) A ．C m n ＝n ！m ！（n －m ）！B ．C m n ＝C n －m nC ．C m n＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1D ．C m n ＝C m ＋1n ＋1答案 D4．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．(结果用数值表示) 答案 7解析 设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C 2x ≥20.即x (x －1)≥40. 又x ≥2，所以x 的最小值为7.1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．关于组合数的计算：(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！（n－m）！计算；(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算.一、基础达标1．下列计算结果为21的是()A．A24＋C26B．C77C．A27D．C27答案D2．下面几个问题中属于组合问题的是()①由1，2，3，4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组合无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④答案C3．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为()A．3 B．4 C．12 D．24答案B解析C34＝4.4．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()A．A310种B．C310种C．C310A310种D．30种答案B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.5．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．答案96解析甲选2门有C24种选法，乙选3门有C34种选法，丙选3门有C34种选法．∴共有C24·C34·C34＝96(种)选法．6．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．答案70解析根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C24·C15＝30；第二类，两台乙型机，有C14·C25＝40.根据分类加法计数原理，共有C24·C15＋C14·C23＝70. 7．直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解第1步，涂A区域有C15种方法；第2步，涂B区域有C14种方法；第3步，涂C区域和D区域；若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，则D区域有C13种涂法．故共有C15·C14·(4＋C13·C13)＝260种不同的涂色方法．二、能力提升8．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有()A．35 B．70 C．210 D．105答案B解析先从7人中选出3人有C37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C37＝70.9．(xx·山东)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．279答案B解析 所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C 19A 29＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.10．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________. 答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2. 11．设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值．解 由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4，∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4.当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7； 当x ＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.12．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止． (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 解 (1)先排前4次测试，只能取正品，有A 46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C 24·A 22＝A 24种测法，再排余下4件的测试位置，有A 44种测法．所以共有不同测试方法A 46·A 24·A 44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法C 14·(C 16·C 33)A 44＝576(种)．三、探究与创新13．第21届世界杯足球赛于xx 年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。

1-2-2-2 组合的综合应用1．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A．16 B．21 C．24 D．90[解析]分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C24＝6种选取方法．第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C26＝15种选取方法．由分类加法计数原理得，共有C24＋C26＝6＋15＝21(种)选取方法．[答案] B2．把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有( )A．80种 B．120种 C．140种 D．50种[解析]当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有C35C12＝20(种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有C25C23＝30(种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有C25C13＝30(种)不同的分配方案；由分类加法计数原理共有C35C12＋C25C23＋C25C13＝80(种)不同的分配方案．[答案] A3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种 B．63种 C．65种 D．66种[解析]从1,2,3，…9这9个数中取出4个不同的数，其和为偶数的情况包括：①取出的4个数都是偶数，取法有C44＝1(种)；②取出的4个数中有2个偶数、2个奇数，取法有C24C25＝60(种)；③取出的4个数都是奇数，取法有C45＝5(种)．根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有1＋60＋5＝66(种)．[答案] D4．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．[解析]把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60(种)．[答案]60课内拓展课外探究1．几何组合应用问题(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．如平面上不共线的m个点构成多少个三角形，即在m个元素中取出3个元素的组合数(除去共线的情况)就是三角形的个数．空间由不共面的n个点构成多少个四面体，即与在n个元素中取出4个元素的组合数(除去共面的情况)相等，如求组成多少对异面直线问题，也可以构造四面体模型加以处理．此外，解决几何问题，必须注意几何问题本身的限制条件．如共线、共面、交点等要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等等，解题时可借助图形来帮助思考，并善于将几何性质用于解题之中．(2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；②要使用分类方法，至于怎样确定分类的标准，这是一个难点，要具体问题具体分析；③常用间接法解决该类问题．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝________(答案用数字或n的解析式表示)．[解析]n棱锥共n＋1个顶点，依两点确定一条直线，有C2n＋1＝n n＋2条直线．f(4)表示四棱锥中的异面直线的对数，如图，每条侧棱和底面上不共顶点的两条底边、一条对角线共形成3对异面直线，即f(4)＝4×3＝12对；同理，一条侧棱与底面上n －2条底边异面，又与C 2n －1－(n －1)＋1条底面对角线异面，即与这条侧棱异面的直线有C 2n －1－(n －1)＋1＋(n －2)＝C 2n －1＝n －n －2条，故n 条侧棱形成的异面直线的对数f (n )＝n n －n －2. [答案] n n ＋2 12 n n －n －2[点评] 这里是用组合知识来解答立体几何中的问题，其中由简单到复杂，由特例到一般的推理方法及用特例来检验一般的方法都要注意掌握．在∠MON 的边OM 上有5个异于点O 的点，在边ON 上有4个异于点O 的点，以这10个点(含O )为顶点，可以得到多少个三角形？[解] 解法一：(直接法)分几种情况考虑：O 为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM 、ON 上，所以有C 15·C 14个，O 不为顶点的三角形中，两个顶点在OM 上，一个顶点在ON 上的有C 25C 14个，一个顶点在OM 上，两个顶点在ON 上的有C 15·C 24个．因为这是分类问题，所以用分类计数原理，共有C 15·C 14＋C 25·C 14＋C 15·C 24＝5×4＋10×4＋5×6＝90(个)．解法二：(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三个的组合数是C 310，但其中OM 上的6个点(含O )中任取三点不能得到三角形，ON 上的5个点(含O )中任取3点也不能得到三角形，所以共可以得到C 310－C 36－C 35个三角形，即C 310－C 36－C 35＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×4×31×2×3＝120－20－10＝90(个)． [点评] 解答几何组合应用问题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形中隐含的条件视为有限制条件的组合应用题即可．计算时可用直接法，也可用间接法．要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．2．构造组合模型排列、组合应用题的背景丰富、千奇百怪、情景陌生、无特定的模式和规律可循，因此必须认真审题，把握问题的本质特征，化归为排列、组合的常规模型进而求解．某城市一条道路上有12盏路灯，为了节约用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有( )A ．C 38种B ．A 38种C ．C 39种D ．A 39种[解析] “亮灯”“灭灯”元素之间互异，可视为互异的元素，不考虑顺序，属于组合问题．“灭灯”不相邻，应采取“插空法”．分两步完成：第一步，安排9盏亮灯，因为亮灯相同，只是位置不同，共有C99种；第二步，将3盏熄灭的灯插到8个空里，有C38种；根据分步乘法计数原理，共有C99·C38＝C38种熄灯方法．故选择A.[答案] A[点评] 本题通过构造组合模型，利用“插空法”，使问题顺利地解决．设集合A＝{1,2,3,4,5,6,7}，映射f：A→A满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4)，则这样的映射f的个数为( )A．C47A33 B．C47 C．77 D．C4773[解析]先从集合A中任取4个不同的元素作为一个组合，并按从小到大的顺序赋为1,2,3,4在映射f下的象，有C47种方法，再依次为5,6,7确定象，有73种方法，故满足题意的映射f的个数为C47·73.故选D.[答案] D。

1.2 排列与组合1.2.2 组合第2课时组合的综合应用A级基础巩固一、选择题1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有 ( ) A．72种B．84种C．120种D．168种解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C310＝120(种)．故选C.答案：C2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种 B．24种 C．30种 D．36种解析：依题意，满足题意的选法共有C24×2×2＝24(种)．答案：B3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( ) A．24种 B．18种 C．12种 D．96种解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有C13种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A23种方法，所以所求方法有C13A23＝18(种)．答案：B4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A．10种 B．20种 C．36种 D．52种解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C24种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C34种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C24＋C34＝10(种)．答案：A5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种解析：依题意，所求播放方式的种数为C 12C 13A 33＝2×3×6＝36.答案：C二、填空题6．教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，方法有C 26C 24C 22A 33(种)，再将3组毕业生分到3所学校，方法有A 33＝6(种)，故6个毕业生平均分到3所学校，分派方法共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)． 答案：907．50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法有C 44C 146种，有3件次品的抽法有C 34C 246种，所以不同的抽法共有C 44C 146＋C 34C 246＝4 186(种)．答案：4 1868．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．解析：先从8个顶点中任取4个的取法为C 48种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C 48－12＝58(个)．答案：58三、解答题9．为了提高学生参加体育锻炼的热情，光明中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有C 26场比赛，4个组共计4C 26场．第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛C 28场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮的比赛应进行C 28＝4(场)．综上，两轮比赛共进行4C 26＋C 28－4＝84(场)．10．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．解：(1)(C25C24)A44＝1 440.所以男、女同学各2名共有1 440种选法．(2)(C15C34＋C25C24＋C35C14)A44＝2 880，所以男、女同学分别至少有1名共有2 880种选法．(3)[120－(C23＋C14C13＋C24)]A44＝2 376，所以在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2 376 种选法．B级能力提升1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )A．C25C26B．C25A26C．C25A22C26A22D．A25A26解析：分两步进行．第一步，选出两名男选手，有C25种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26种组合方法．答案：B2．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，则6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4.即女生有2人．答案：23．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一依0与1两个特殊值分析，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位；有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同三位数C34·23·A33个．综上所述，不同的三位数共有C14C12C13·22＋C24·22·A23＋C34·23·A33＝432(个)．法二任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故可组成的不同三位数共有C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．。