高中数学专题讲义：如何破解集合间的关系类问题

求解含参数的两个集合的关系常用五法判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点内容之一。

其中，含参数的两个集合的关系更是许多同学解题的难点。

怎样求解含参数的两个集合的关系题呢？本文将结合例题介绍五种破解术，供大家参考：法一：借助数轴或韦恩图寻找关系例1：已知全集+=N U ，集合},3{+∈==N n n x x P ，},6{+∈==N n n x x Q , 则=U ( )A Q P ⋃B Q PC U ⋃ C Q C P U ⋃D Q C P C U U ⋃ 解：依题意得，P Q ⊂,则其韦恩图如下：由韦恩图可知，=U Q C P U ⋃，即选C法二：列举对比法例2：数集},)12{(Z m m M ∈+=π与数集},)14{(Z n n N ∈±=π之间的关系是（ ） A N M ⊂ B N M = C M N ⊂ D N M ≠ 解：取 ,2,1,0,1,-=m ，则},5,3,,,{ ππππ-=M ;取 ,1,0,=n ，则},5,3,,,{ ππππ-=N . N M =∴即选B法三：合理分类讨论，利用集合有关定义准确判断例3：已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5154{Z k k x x N ∈±==,则集合N M ,之间的关系为（ ）A N M ⊂B M N ⊂C N M =D N M ≠解：设M x ∈1，则有Z k k x ∈+=111),12(51 当Z n n k ∈=,21时，5154)14(511+=+=n n x N x ∈∴1 当Z n n k ∈-=,121时，5154)124(511-=+-=n n x N x ∈∴1 从而有N M ⊂又设N x ∈2,则Z k k k x ∈±=±=2222),14(515154 )(1422Z k k ∈± 表示奇数，)(12Z n n ∈+也表示奇数Z n n k x ∈+=±=∴),12(51)14(5122 M x ∈∴2从而有M N ⊂ 综上可得，N M =法四：挖掘元素的限制条件，利用它们的差异特征解题例4（2002年全国高考题）设集合},412{Z k k x x M ∈+==，},214{Z k k x x N ∈+==,则( ) A N M = B N M ⊂C N M ⊃D Φ=⋂N M解：集合M 的元素为)(,412412Z k k k x ∈+=+=， 集合N 的元素为)(,42214Z k k k x ∈+=+= 12+k 为奇数，2+k 为整数 }{}{整数奇数⊂∴则N M ⊂故选B法五：类比不等式的传递性速判断例5：已知集合B A ⊆，},)412({Z k k x x B ∈+==π,},)214({Z k k x x C ∈+==π,那么集合A 与C 的关系为_____解：将B ，C 分别变形得},412{Z k k x x B ∈+==π，},42{Z k k x x C ∈+==π 在集合B 中，x 为π412+k ，分子为π的奇数倍； 在集合C 中，x 为π42+k ，分子为π的整数倍 C B ⊂∴ 又B A ⊆ C B A ⊂⊆∴则有C A ⊂ 综上可见，求解含参数的两个集合关系题的策略是多种多样的。

集合间基本关系及运算（讲义及答案）集合间基本关系及运算（讲义）知识点睛⼀、元素与集合的关系集合具有两⽅⾯含义：凡是符合条件的对象都是它的元素，只要是它的元素必须符合条件．因此运⽤元素与集合关系处理问题的关键是确定元素应满⾜的条件及元素间对应关系（互异性）．⼆、集合间的基本关系1.判断集合间关系的常⽤⽅法：（1）⽤列举法将集合表⽰出来，通过⽐较集合中元素来判断集合间的关系；（2）根据集合中元素所满⾜的性质之间的关系判断.2.常⽤结论：（1）A∪B=B ?A?B；A∩B=B ?B?A．（2）( A B) ?A ?( A B) ；（3）A B =A B ?A =B ；（4）U(A∪B)= ( U A)∩( U B)，U(A∩B)= ( U A)∪( U B)．三、集合间基本关系的证明1.集合相等，即A=B（1）?x∈A，都有x∈B，得A?B；（2）?x∈B，都有x∈A，得B?A；（3）A=B．2.集合间的包含或真包含关系（1）A?B??x∈A，都有x∈B．（2）A ?≠B??x∈A，都有x∈B；?x0∈B，且x0?A．1精讲精练1. 已知集合A = {a2，a +1，- 3} ，B = {a - 3，2a -1，a 2 +1} ，若A B = {-3}，则实数a 的值为（）A．0 B．1 C．-1 D．0 或-12. 已知集合M = {x，xy，N = {0，| x |，y} ，若M=N，则(x +y) + (x2 +y 2 ) + + (x100 +y100 ) =（）A．-200 B．200 C．-100 D．03. 设U =R ，集合A={x| x2+3x+2=0}，B={x| x2+(m+1)x+m=0}，若U A∩B=?，则m 的值为.4. 设集合A={x|x=3k，k∈Z}，B={x|x=3k+1，k∈Z}，C={x| x=3k-1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，c∈C，则a+b-c∈（）A．A B．B C．C D．A∪B5. 设集合P = {x | x =k+1，k ∈Z}，Q = {x | x =k+1，k∈Z} ，则3 6 6 3P Q.（填“=”、“?”或“ ?≠”）6. 已知集合A={x|x=m+1，m∈Z}，B={x|x=n-1，n∈Z}，6 2 3C = {x |x = p+1，p∈Z}，则A，B，C 的关系为（）2 6A．A=B ?≠C B．A ?≠B=C C．A ?≠B ?≠C D．B ?≠C ?≠A7. 若A = {x | x =a 2 +1，a ∈N } ，B = {x | x =b2 - 4b + 5，b ∈N } ，+则下列关系式成⽴的是（）A．A=B B．A ?≠B C．A?B+D．A ≠?B8. 设全集U = {(x，y) x，y ∈R} ,集合M = {(x，y) | y + 2=1} ，x - 2N = {(x，y) y ≠x - 4} ,那么( U M)∩( U N)等于.9. 设全集U=R，集合A={x|x2+ax-12=0}，B={x|x2+bx+b2-28=0}，若A∩( U B)={2}，求a，b 的值．10. 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2+ax+b=0}，B={x|x2+cx+6=0}，U(A∪B)={1，4，5}，A∩B={2}，求a，b，11. 已知集合A ={x | x2 +px - 2 = 0}，B ={x | x2 -x +q = 0}，且A B ={-2，0，1} ，求A B．12. 设M={a|a=x2-y2，x，y∈Z}．（1）求证：2k+1∈M（其中k∈Z）；（2）属于M 的两个整数，其积是否仍属于M？13. 已知集合A={x|x=8m+14n，m，n∈Z}，B={x|x＝2k，k∈Z}，求证：A=B．14. 设集合M={x|x=n2，n∈N}，T={x|x=4k 或x=4k+1，k∈N}，求证：M ?≠T．阅读材料常见不等式的解法⼀、绝对值不等式1.绝对值的⼏何意义在数轴上，⼀个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．在数轴上，表⽰互为相反数的两个点，到原点的距离相等．2.解下列不等式．（1）| x | ≤3 ．解：不等式表⽰数x 对应的点到原点的距离⼩于等于3，如图∴不等式的解集为{x | -3 ≤ x ≤ 3} ．（2）| 2m -3 | ≤5 ．解：令2m - 3 =x ，不等式可化为| x | ≤ 5 ，∴ -5 ≤ x ≤ 5 ，即-5 ≤ 2m - 3 ≤ 5 ，∴-1≤m ≤4 ，∴不等式的解集为{m | -1≤ m ≤ 4}．（3）| x |> 3 ．解：不等式表⽰数x 对应的点到原点的距离⼤于3，如图∴不等式的解集为{x | x > 3 或x <-3} ．（4）| -2x + 5 |>3 ．解：令-2x + 5 =t ，不等式可化为| t∴t > 3 或t <-3 ，即-2x + 5 > 3 或- 2x + 5 <-3 ，∴ x <-1 或x >-4 ．∴不等式的解集为{x | x <-1 或x >-4} ．3.（1）| ax +b |（2）|ax +b | ≤c 可化为-c ≤ax +b ≤c ；（3）|ax +b | >c 可化为ax +b >c 或ax +b <-c ；5}⼆、⼀元⼆次不等式及其解法 1.解形如 ax 2+bx +c >0（≥0）或 ax 2+bx +c <0（≤0）的⼀元⼆次不等式，⼀般可分为三步：（1）确定对应⽅程ax 2 + bx + c = 0 的解．（2）画出对应函数 y = ax 2+ bx + c 的图象（简图）．（3）由图象得出不等式的解集．2. 解下列不等式．（1） x 2 - x - 2 ≤ 0 ；解：①⽅程 x 2- x - 2 = 0 的解为 x = -1，x = 2 ．12②函数 y = x 2 - x - 2 的图象为：③观察图象可知， x 2 - x - 2 ≤ 0 的解集为{x | -1≤ x ≤ 2} ．（2） 2x 2 - x -1 > 0 ．解：①⽅程2x 2 - x -1 = 0 的解为 x = - 1 ，x = 1．12 2②函数 y = 2x 2 - x -1 的图象为：③观察图象可知不等式的解集为{x | x > 1或x < - 1．2三、分式不等式的解法1. 解分式不等式要先通过移项、通分转化为以下类型再进⾏求解：（2） f (x ) > 0 型， g (x ) f (x ) < 0 型， g (x ) f (x ) > 0 ?g (x )f (x ) < 0 ?g (x )f ( x )g ( x ) > 0 ；f ( x )g ( x ) < 0 ；（3） f (x ) ≥ 0 型，f (x ) ? f (x )g (x ) ≥ 0 ≥ 0 ? ；g (x ) g (x ) ?g (x ) ≠ 0（4） f (x ) ≤ 0 型， f (x ) ? f (x )g (x ) ≤0 ≤ 0 ? ．g (x ) 2. 解下列不等式．g (x ) ?g (x ) ≠ 0（1）x +12x -1> 0 ．解：原不等式可化为(x +1)(2x -1) > 0 ，即2(x +1)(x - 1 ) > 0 ，2∴ x > 1或 x < -1，2∴原不等式的解集为{x | x > 1或 x < -1} ．2（2） x -13x + 5≤ 0 ．3(x -1)(x + 5) ≤ 0解：原不等式可化为?3， ??3x + 5 ≠ 0- 5 ≤ x ≤13，即- 5 < x ≤1 ． 5 3 ?x ≠ - ? 3∴原不等式的解集为{x | - 5< x ≤1} ．3∴ ?【参考答案】1. C2. D3. 1 或24. C5. ?≠6. B7. B8. {(2，-2)}9. a=4，b=210. a=-4，b=4，c=-511. {1}12. （1）略（2）属于13.略14.略。

【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第01讲如何破解集合间的关系类问题考纲要求:1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系1．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A．应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例1】【2017湖南省长沙市长郡中学高三入学考试】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x |x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解析：∵B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．答案：{－1，4} 【例2】【2017广东省珠海市高三9月摸底考试】设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________．【例3】【2017天津市耀华中学高三开学考试】全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cosx ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ≤1}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.阴影部分表示的集合是A ∩B .依题意知，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |－1≤y ≤1}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}，故选D.招数二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【例4】【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |a ＋1<x <2a －1}，若错误!未找到引用源。

高一数学-集合突破点（二）集合间的基本关系
突破点(二)集合间的基本关系
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
易错提醒
(1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
方法技巧
判断集合间关系的三种方法
(1)列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．
(2)结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．
(3)数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．
[提醒]在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．
易错提醒
将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数
所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．
考点一集合子集个数的判定
考点二集合间的关系。

专题16集合间的基本关系学习目标1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解空集的含义3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用知识精讲高中必备知识点1：Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．高中必备知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念[知识点拨](1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A⊆B，且A≠B，则AÜB．高中必备知识点3：空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．高中必备知识点4：集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．(3)若A⊆B，A≠B，则AÜB．典例剖析高中必会题型1：确定集合的子集、真子集1．（1）已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．（2）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．【答案】（1）{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；（2）{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．（1）因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M，又因为M⊆{1，2，3，4，5}，所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．（2）若M只含1个元素，则M={3}；若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}；若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；若M 含5个元素，则M ={1，2，3，4，5}．所以M 可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．2．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.【答案】见解析集合{0,1,2}的所有子集为∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.真子集为∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.3．已知{},,A a b c =，则求：（1）集合A 的子集的个数，并判断∅与集合A 的关系（2）请写出集合A 的所有非空真子集【答案】（1）8，∅A （2）{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c （1）{},,A a b c =的子集有∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c 共8个，其中∅A .（2）集合A 的所有非空真子集有{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c .4．（1）写出集合{a ，b ，c ，d }的所有子集；（2）若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？【答案】（1）见解析；（2）有2n 个子集，21n -个真子集.（1）集合{},,,a b c d 的所有子集有：∅、{}a 、{}b 、{}c 、{}d 、{},a b 、{},a c 、{},a d 、{},b c 、{},b d 、{},c d 、{},,a b c 、{},,a b d 、{},,a c d 、{},,b c d 、{},,,a b c d ；（2）若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，21n -个真子集.5．举出下列各集合的一个子集：（1）A ={|x x 是立德中学的学生}；（2）B ={|x x 是三角形}；（3）{0}C =；（4）{|330}D x Z x =∈<<.【答案】（1）{|x x是立德中学的女生}（2）{|x x是直角三角形}（3）{0}（4）{4,5,6}（1）{|x x是立德中学的女生}（2）{|x x是直角三角形}（3）{0}（4）{4,5,6}高中必会题型2：集合间关系的判断1．判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．【答案】(1)A B(2)B A.(1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥5 2}，∴利用数轴判断A、B的关系．如图所示，A B.(2)∵A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A，∴B＝{0,1,2}，∴B A. 2．判断下列各组中集合之间的关系：（1）A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；（2）A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；（3）A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <5}.【答案】（1）A B ；（2）D B A C ；（3）A B .（1）因为若x 是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB .（2）由图形的特点可画出Venn 图如图所示，从而D B AC .（3）易知A 中的元素都是B 中的元素，但存在元素，如－2∈B ，但－2∉A ，故AB .3．指出下列集合之间的关系：{(,)|1,}A x y y x x ==-∈N ，{(,)|1,}B x y y x x ==-∈R ．【答案】A B集合{(,)|1,}A x y y x x ==-∈N 表示的是直线1y x =-上的一些孤立的点的集合，而集合{(,)|1,}B x y y x x ==-∈R 表示的是直线1y x =-上所有的点的集合，因此A B .4．写出下列每对集合之间的关系：（1）{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5}B =；（2）2{|1}C x x ==，{|||1}D x x ==；（3）(,3)E =-∞，(1,2]F =-；（4）{|G x x =是对角线相等且互相平分的四边形}，{|H x x =是有一个内角为直角的平行四边形}．【答案】（1）B A ；（2）C D =；（3）F E ；（4）G H =．（1）因为B 的每个元素都属于A ，而4A ∈且4B ∉，所以BA ．（2）不难看出，C 和D 包含的元素都是1和1-，所以C D =．（3）在数轴上表示出区间E 和F ，如图所示．由图可知F E ．（4）如果x G ∈，则x 是对角线相等且互相平分的四边形，所以x 是矩形，从而可知x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x H ∈，因此G H ⊆．反之，如果x H ∈，则x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x 是矩形，从而可知是x 对角线相等且互相平分的四边形，所以x G ∈，因此H G ⊆．综上可知，G H =．5．已知集合{|}A p p a R ==-∈，集合{|||2,}B p p p R =∈，试判断A 与B 之间的关系，并说明理由．【答案】A 是B 的真子集.，理由见解析因为p ==-则p 的几何意义是x 轴上的点(,0)P a 到定点13,22A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭与点13,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的距离之差．即p PA PB =-．∵三角形两边之差的绝对值小于第三边，∴||PA PB AB -<且P ，A ，B 三点不共线，即||1p <．∴11p -<<．即{|11}A p p =-<<；又{|||2,}{|22}B p p p R p p =∈=-≤，∴A 是B 的真子集.高中必会题型3：由集合间的关系求参数问题1．设集合{}12,A x a x a a =-<<∈R ，不等式2280x x --<的解集为B .（1）当0a =时，求集合A ，B .（2）当A B ⊆时，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}10A x x =-<<，{}24B x x =-<<；（2）}{2a a ≤.（1）解：当0a =时，{}10A x x =-<<，解不等式2280x x --<得：24x -<<，即{}24B x x =-<<.（2）解：若A B ⊆，则有：①A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-，符合题意，②A ≠∅，有211224a a a a >-⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得：12a -<≤.综合①②得：}{2a a ≤.2．设集合{}2=40A x R x x ∈+=，{}22=2(1)10,B x R x a x a a R ∈+++-=∈，若B A ⊆，求实数a 的值．【答案】a ≤－1或a ＝1.∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1.(2)当B A ≠时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1；当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B =∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.3．设集合A ={x |﹣x 2+3x +10≥0}，B ={x |x 2﹣3ax +2a 2＜0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围【答案】[﹣1，52]∵集合A ={x |﹣x 2+3x +10≥0}={x |﹣2≤x ≤5}，B ={x |x 2﹣3ax +2a 2＜0}={x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0}，B ⊆A ，∴当a =0时，B =∅，成立；当a ＜0时，B ={x |2a ＜x ＜a }，由B ⊆A ，得225a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得﹣1≤a ＜0，当a ＞0时，B ={x |a ＜x ＜2a }，由B ⊆A ，得225a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得0＜a 52≤，综上，实数a 的取值范围是[﹣1，52].4．已知集合A ＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |﹣m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，求m 的取值范围．【答案】m ≤1．∵B ⊆A ，若B ＝∅，则m ≤0，满足B ⊆A ，若B ≠∅，则m ＞0，由B ⊆A ，得m ≤1，解得，0＜m ≤1．综上所述：实数m 的取值范围为m ≤1．5．设A ={﹣3，4}，B ={x |x 2﹣2ax +b =0}，B ≠∅且B ⊆A ，求a ，b .【答案】答案见解析因为B ≠∅，B ⊆A ，所以B ={﹣3}或{4}或{﹣3，4}.当B ={﹣3}时，2960440a b a b ++=⎧⎨∆=-=⎩，解得a =﹣3，b =9；当B ={4}时，21680440a b a b -+=⎧⎨∆=-=⎩，解得a =4，b =16；当B ={﹣3，4}时，29601680440a b a b a b ++=⎧⎪-+=⎨⎪∆=->⎩，解得a =12，b =﹣12.对点精练1．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解析由B ⊆A ，知x 2=3或x 2=x ，解得x ，或x =0，或x =1，当x =1时，集合A ，B 都不满足元素的互异性，故x =1舍去.故选：C2．以下四个关系：∅∈{0}，0∈∅，{∅}⊆{0}，∅≠⊂{0}，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A集合与集合间的关系是⊆，因此∅∈{0}错误；{∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合，所以{∅}⊆{0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈∅错误；∅≠⊂{0}正确．因此正确的只有1个．故选：A.3．设集合A ={1，x 2}，B ={x }，且B ⊆A ，则实数x 为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或-1【答案】A因为B ⊆A ，所以x ∈A ，所以x =1或x =x 2，x 2≠1，解得x =0．故选：A.4．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（）A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】A因为A B =，所以集合B 为双元素集，即()(){}{}{}|10,1,1,2B x x x a a R a =--=∈==所以2a =.故选：A.5．下列集合与集合{}2,3A =相等的是（）A ．(){}2,3B ．(){},2,3x y x y ==C ．{}2560x x x -+=D ．{}2,3x y ==【答案】C集合A 表示数字2和3的集合.对于A ：集合中的元素代表点()2,3，与集合A 不同，A 错误；对于B ：集合中的元素代表点()2,3，与集合A 不同，B 错误；对于C ：由2560x x -+=得：2x =或3x =，与集合A 元素相同，C 正确；对于D ：表示两个代数式的集合，与集合A 不同，D 错误.故选：C.6．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（）A ．16B ．8C ．7D ．4【答案】C解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个．故选：C ．7．设A ＝{1，4，x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x 等于（）A ．0B ．﹣2C ．0或﹣2D ．0或±2【答案】D因为A ＝{1，4，x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x 2＝4或x 2＝x ，解得x ＝2或﹣2或1或0．①当x ＝0，集合A ＝{1，4，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A ．②当x ＝1，集合A ＝{1，4，1}不满足元素的互异性．③当x ＝2，集合A ＝{1，4，2}，B ＝{1，4}，满足B ⊆A ．④当x ＝﹣2，集合A ＝{1，4，﹣2}，B ＝{1，4}，满足B ⊆A ．综上，x ＝2或﹣2或0．故选：D ．8．设集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝4n ±2，n ∈Z }，则（）A ．M ⫋NB ．M ⫌NC ．M ＝ND ．以上都不正确【答案】B 集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，故集合M 中的元素是2与整数的乘积的集合，N ＝{x |x ＝4n ±2，n ∈Z }＝{x |x ＝2（2n ±1），n ∈Z }，故集合N 的元素是2与奇数的乘积的集合，故N ⫋M ，故选：B ．9．对于两个非空数集A 、B ，定义点集如下：A ×B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈B }，若A ＝{1，3}，B ＝{2，4}，则点集A ×B 的非空真子集的个数是（）个.A ．14B ．12C ．13D ．11【答案】A∵A ×B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈B }，且A ＝{1，3}，B ＝{2，4}，所以A ×B ＝{（1，2），（1，4），（3，2），（3，4）}，共有四个元素，则点集A ×B 的非空真子集的个数是：24﹣2＝14.故选：A.10．设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（）A ．}{2a a ≥B ．}{1a a ≤C ．}{1a a ≥D ．}{2a a ≤【答案】A }{12A x x =<< ，}{B x x a =<，由数轴表示集合，作图如下：由图可知2a ≥，即a 的取值范围是}{2a a ≥故选：A11．已知集合{}2|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C因为2{|10}A x x =-=，{1A ∴=-，1}，对于①，1A ∈显然正确；对于②，{1}A -∈，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；对于③，A ∅⊆，根据空集是任何集合的子集知正确；对于④，{1，1}A -⊆．根据子集的定义知正确．故选：C ．12．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a 等于A ．1B ．0C ．－2D ．－3【答案】C【解析】由题意得31,2a a +==-，选C.13．当集合{}1,0,1,,1a c b ⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭时，a =___________，b =___________，c =___________.【答案】11-0详解：由已知{}1,0,1,,1a c b ⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭，所以10,,1c b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，∴0c =，，从而11b =-，即1b =-，∴1a =．故答案为1，－1，0．14．已知A =(,]m -∞，B =(1,2]，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为___．【答案】[2,)+∞∵A =(,]m -∞，B =(1,2]，B ⊆A ，∴m ≥2，∴实数m 的取值范围为[2,)+∞．故答案为：[2,)+∞．15．已知集合A ={x |ax 2+2x +a =0，a ∈R }，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是________.【答案】0或±1因为A 有且仅有两个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2+2x +a =0仅有一根，当a =0时，方程化为2x =0，A ={0}，符合题意；当a ≠0时，Δ=4-4a 2=0，解得a =±1.此时A ={-1}或{1}，符合题意.综上所述a =0或a =±1.故答案为：0或±1.16．已知集合2={320}A x ax x -+=，若A ≠∅，则实数a 的取值范围为___．【答案】9(,]8-∞．当0a =时，方程2320ax x -+=化为320x -+=，解得23x =，此时2{}3A =≠∅，满足题意，当0a ≠时，要使A ≠∅，则2(3)420a ∆=--⨯≥，解得98a ≤且0a ≠，所以使A ≠∅的实数a 的取值范围为9(,]8-∞．故答案为：9(,8-∞．17．已知集合{,,2}A a b =，2{2,,2}B b a =，若A B =，求实数a ，b 的值.【答案】01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.解：由已知A B =，得22a a b b =⎧⎨=⎩（1）或22a b b a⎧=⎨=⎩.（2）解（1）得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩，解（2）得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又由集合中元素的互异性得1ab=⎧⎨=⎩或1412ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.18．已知A＝{1，1+a，1+2a}，B＝{1，b，b2}，若A＝B，求a，b．【答案】a＝34-，b＝12-因为A＝B，则b＝1+a，b2＝1+2a，或b＝1+2a，b2＝1+a ①若b＝1+a，b2＝1+2a，∴（1+a）2＝1+2a，∴a＝0.此时A中三个都是1，不符合集合元素的互异性.②若b＝1+2a，b2＝1+a，∴（1+2a）2＝1+a，∴4a2+3a＝0，由①知a＝0不成立，∴a＝34-，b＝1+2a＝12-．19．已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．因为B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B⊆A，①当B中有一个元素时，B＝{1}或B＝{﹣1}当B＝{1}时，2()4010a ba b⎧∆=--=⎨-+=⎩，解得a＝2，b＝1；当B＝{﹣1}时，2()4010a ba b⎧∆=--=⎨++=⎩，解得a＝﹣2，b＝1；②当B中有两个元素时，B＝A，即B＝{﹣1，1}，1+1=1(1)11ab-⎧--⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得a＝0，b＝﹣1；③当B=∅时，只需满足a2﹣4b＜0，综上所述，a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．20．已知P ＝{x |2≤x ≤6}，Q ＝{x |a ≤x ≤a +1}若Q ⊆P ，求a 的范围.【答案】[2，5]因为P ＝{x |2≤x ≤6}，Q ＝{x |a ≤x ≤a +1}，且Q ⊆P ，所以216a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得2≤a ≤5所以a 的取值范围是[2，5]21．已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈，且C B ⊆,求a 的取值范围.【答案】()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦若A=∅，则a ＜-2，故B=C=∅，满足C ⊆B ；若A ≠∅，即a ≥-2，由23y x =+在[]2,a -上是增函数，得123y a -≤≤+，即{}123B y y a =-≤≤+①当20a -≤≤时，函数2z x =在[]2,a -上单调递减，则24a z ≤≤，即{}24C z a z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需234a +≥，解得12a ≥，这与20a -≤<矛盾；②当02a ≤≤时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则04z ≤≤，即{}04C z z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需23402a a +≥⎧⎨≤≤⎩，解得122a ≤≤；③当2a >时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则20z a ≤≤，即{}20C z z a =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需2232a a a ⎧≤+⎨>⎩，解得23a <≤；综上所述，a 的取值范围是()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.22．已知集合{}21,A x x a a ==+∈R ，{}245,B y y a a a ==-+∈R ，判断这两个集合之间的关系.【答案】A B=因为21x a =+，a ∈R ，所以1≥x .因为()224521y a a a =-+=-+，a ∈R ，所以1y ≥.故{}1A x x =≥，{}1B y y =≥，所以A B =.。

第01讲集合的概念及基本关系（3大考点10种解题方法）考点考向1．集合的概念把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。

任何一个对象α对于某一个集合A 来说，或是属于该集合)(A ∈α即，或是不属于该集合)A (∉α即。

2.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

3.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．4.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法．5.常见的数集及其表示符号名称自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集表示符号N*N 或+N ZQR6.集合的分类：有限集，无限集，空集；7.子集与真子集子集：若集合A 中任何一个元素都属于集合B ，则集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇；真子集：对于集合A 和B ，若B A ⊆,且B 中至少有一个元素不属于A ，则集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B8.相等的集合：对于两个集合A 和B ，若B A ⊆，且A B ⊇，则叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =；【要点注意】（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆∅，空集是任何非空集合的真子集；（2）任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆；（3）子集的传递性：若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；（4）若B A ⊆，则AB 或B A =；（5）相等的集合中的所含元素完全相同；（6）连接元素与集合的符号有：∈和∉；（7）连接集合与集合的符号有：⊆，，≠=,等；（8）含有n 个元素的集合的子集共有n2个,真子集有12-n个。

（9）子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.方法技巧1.与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．3.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．4.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．考点精讲考点一：集合的概念及其表示题型一：集合的确定性1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能组成集合．故选：D ．2.（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是()A.中国各地最美的乡村； B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数； D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD题型二：集合的互异性3.在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是()A．0B．1C．2D．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2，由集合中元素的互异性知：选A ．4.若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a =)A．1-B．0C．1D．0或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1，a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0；②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ．题型三：集合常见表示方法5.（2021·全国高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于5的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式217x +>的整数解．【答案】（1）能，集合为{}0,1,2,3,4；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为{}3,x x x Z >∈.【分析】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.【详解】（1）小于5的自然数为0、1、2、3、4，元素确定，所以能构成集合，且集合为{}0,1,2,3,4；（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；（3）由217x +>得3x >，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{}3,x x x Z >∈.题型四：数集及其表示符号6．（2021·全国高一专题练习）填空：集合N 表示________集合；集合*Z 表示________集合；集合*R 表示________集合.【答案】自然数正整数正实数【分析】利用数集的表示直接求解【详解】集合N 表示自然数集合；集合*Z 表示正整数集合；集合*R 表示正实数集合，故答案为：自然数，正整数，正实数考点二：元素与集合的关系题型五：元素与集合之间的关系1.（多选题）下列关系中，正确的有（）A．∅∪ th B．13Q∈C．Q Z⊆D．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的；选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D;由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.2.下列关系中，正确的个数为()R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A．6B．5C．4D．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中， ∈R ，故①正确；在②中，，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．题型六：元素个数问题3.集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为()A．4B．5C．10D．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且噸 是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y噸 ∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x 共有12个，故选：D ．4.已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }，当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3；所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用．题型七：单元素集合5.若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值．【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.题型八：二次函数与集合6.设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }（1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1，∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．考点三：集合间的基本关系题型九：空集1.如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为()A．04a <<B．40<≤a C．40≤<a D．40≤≤a 【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则 ＞t△ − t，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．2.已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.题型十：子集与真子集1.已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则()A．M N=B．M ⊊N C．N ⊊M D．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论．【答案】M ＝{x |x噸，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，N ＝{x |x 噸 ，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．2.若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是()A．(,1)-∞-B．(,1)-∞C．(1,)+∞D．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0，解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．3.已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1-8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.巩固提升一、单选题1．（2022·全国·高一）下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确.故选：B.2．（2022·全国·高一）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】通过解方程进行求解即可.【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =，所以{}1,0,1A =-，故选：D4．（2022·全国·高一）给出下列四个关系：π∈R ，0∉Q ，0.7∈N ，0∈∅，其中正确的关系个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集，∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅，∴正确的个数为1.故选:D .5．（2021·山东聊城一中高一期中）若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a 的可能取值.【详解】0a =，则{}1,3,0a ∈，符合题设；1a =时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a =时，则{}1,3,9a ∈，符合题设；∴0a =或3a =均可以.故选：C6．（2022·全国·高一专题练习）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ，b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ，c ，a }；正确的有（）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.【详解】①中，a 是集合{a }中的一个元素，{}a a ∈，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确；{}a 是{},a b 的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确；a 是{},,b c a 的元素，所以⑤正确.故选：A.7．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（）A ．{}1,2,3是不大于3的自然数组成的集合B ．由1，3，1-，13，32，647个元素C ．{}1,2,3,4,5,6和{}6,5,4,3,2,1表示相同的集合D ．{}∅表示空集【答案】C【分析】由自然数集可判断A ；由集合元素的互异性可判断B ；由集合元素的无序性可判断C ；由{}∅表示以空集为元素的集合可判断D.【详解】对于A ，不大于3的自然数组成的集合是{}0,1,2,3，故A 错误；对于B ，由3624=31=结合集合元素的互异性，可知由1，3，1-，13，32，64成的集合有5个元素，故B 错误；对于C ，由集合元素的无序性可知两个集合相等，故C 正确；对于D ，∅表示空集，{}∅表示以空集为元素的集合，故D 错误；故选：C 二、多选题8．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．E 由3x <-所有实数组成集合，F 由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.E F 、均不存在.B ．2{|440}E x x x =-+=，F 由5个2组成的集合.则{}2E F ==C ．{|E x Z =∈32x -}Z ∈，{}1,1-⊆F ⊆E ，则F 可能有4个.D ．(){,|2,1,}E x y y x x x Z ==≤∈，用列举法表示集合E 为()(){}1,2,1,2--.【答案】BC【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由3x <-所有实数组成的集合E 是空集，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是F ，,E F 都存在，故A 错误；对B ：{}{}2|4402E x x x =-+==，F 由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，故{}2F E ==，故B 正确；对C ：{|E x Z =∈32x -{}}1,1,3,5Z ∈=-，因为{}1,1-⊆F ⊆E ，故F 为含有1,1-且是{}1,1,3,5-的子集{}{}{}{}1,1,1,1,3,1,1,5,1,1,3,5----，共有4个，故C 正确；对D ：(){}()()(){},|2,1,1,2,0,0,1,2E x y y x x x Z ==≤∈=--，故D 错误.故选：BC .9．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一阶段练习）下列叙述正确的是（）A ．若{(1,2)}P =，则P∅∈B ．{|1}{|1}x x y y >⊆C ．{(,)|1}M x y x y =+=，1{|}N y x y =+=，则M N =D ．{2,4}有3个非空子集【答案】BD【分析】A 选项：集合与集合的关系是包含与否；B 选项：直接判断即可；C 选项：点集和数集之间没有关系；D 选项：一个集合中有n 个元素，则它的非空子集的个数为21n -.【详解】∅是个集合，所以P ∅⊆，A 错误；{|1}x x >是{|1}y y 的一个子集，所以{|1}{|1}x x y y >⊆，B 正确；M 是点集，N 是数集，所以集合M 与集合N 没有关系，C 错误；{2,4}的非空子集有{2}，{4}与{2,4}，共3个，D 正确.故选：BD 三、填空题10．（2020·四川·双流中学高一阶段练习）已知集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则实数x =__________．【答案】2【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.【详解】因为集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则242x x ⎧=⎨=⎩，解得2x =．故答案为：2.11．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合{}**(,)|3,N ,N A x y x y x y =+=∈∈，则用列举法表示集合A 为______．【答案】{(1,2),(2,1)}【分析】根据题意可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<，对1,2x =代入检验，注意集合的元素为坐标．【详解】∵**3,N ,N x y x y +=∈∈，则可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<又∵*N x ∈，则当1,2x y ==成立，当2,1x y ==成立，∴{(1,2),(2,1)}A =故答案为：{(1,2),(2,1)}．12．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号).①{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x |x 2＝0}⊆{0}；④{(0，1)}⊆{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥{}|2x x ≥{}|1x x >.【答案】①③⑥【分析】根据集合间的基本关系中的子集、真子集的定义及元素与集合的关系即可求解.【详解】对于①，2，4，6}{2,3,4,5,6∈，则{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}，故①正确；对于②，菱形不属于矩形，则{菱形}{矩形}，故②不正确；对于③，由20x =，解得0x =，则{x |x 2＝0}⊆{0}，故③正确；对于④，()}{0,10,1∉，则{(0，1)}⊆{0，1}，故④不正确；对于⑤，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正确；对于⑥，{}|2x x ≥{}|1x x >，故⑥正确.故答案为：①③⑥.13．（2022·湖南·高一课时练习）用适当的符号填空：（1）{}0______()2,3-；（2）{},,a c b ______{},,a b c ；（3）R______(],3-∞-；（4）{}1,2,4______{}8x x 是的约数．【答案】⊆=⊇⊆【分析】根据集合子集的定义及集合相等的概念求解.【详解】由集合的子集、集合的相等可知（1）⊆，（2）=，（3）⊇，（4）⊆故答案为：⊆，=，⊇，⊆14．（2021·浙江省青田县中学高一期中）设全集{2,3,5,6,9}U =，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是___________.【答案】{}3,5,9【分析】写出包含元素个数从小到大的子集个数，发现含有小于等于2个元素的子集的个数为16个，含有小于等于3个元素的子集的个数为26个，故判断出第23位的子集在含有3个元素的子集中，由于第23位离第26位较近，所以从后面往前找，最终求得结果【详解】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第23位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为{}5,6,9，第25位的子集为{}3,6,9，第24位的子集为{}2,6,9，第23位的子集为{}3,5,9故答案为：{}3,5,915．（2021·江苏·高一课时练习）有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈；③{0,1,2}{1,2,0}⊆.其中，正确的有_________.（填序号）【答案】②③【分析】根据空集不是本身的真子集即可判断①，根据子集的概念即可判断②③.【详解】解：空集不是空集的真子集，故①错误；由子集的概念可得，设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈，故②正确；由子集的概念可得{0,1,2}{1,2,0}⊆，故③正确.故答案为：②③.四、解答题16．（2022·湖南·高一课时练习）只有一个元素的集合，例如{}孙悟空，它有两个子集：空集∅和{}孙悟空．两个或三个元素组成的集合各有多少个子集？你能找出一般规律吗？【分析】利用子集的定义及集合的表示即得.【详解】对于两个元素组成的集合{},A a b =，它有4个子集：{}{}{},,,,a b a b ∅；对于三个元素组成的集合{},,B a b c =，它有8个子集：{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c ∅；规律：一般地对于有n 个元素的集合{}12,,,n a a a ，共有2n 个子集.17．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合{}22,,A xx m n m n ==+∈∈Z Z ∣.(1)判断2,5,25是否属于集合A ；(2)若正整数y 能表示为某个整数的平方，z A ∈，证明：yz A ∈；(3)若集合{}43,B xx k k ==+∈Z ∣，证明：A B =∅.【答案】(1)2,5,25属于集合A ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)将2，5，25拆成两个整数平方和即可；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，由此即可证明yz A ∈；(3)根据m 与n 的奇偶分类讨论即可.(1)由222222211,512,2534=+=+=+，可知2,5,25属于集合A ；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，又由z A ∈，设()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，有()22222()()yz a b c ab ac =+=+，由,,a b c ∈∈∈Z Z Z ，有,ab ac ∈∈Z Z ，故有yz A ∈；(3)①当,m n 都为偶数时，不妨设()()11222,2m k k n k k =∈=∈Z Z ，有()2222221212444x m n k k k k =+=+=+，此时x 为4的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；②当,m n 都为奇数时，不妨设()()112221,21m k k n k k =+∈=+∈Z Z ，有()()()222222121212212142x m n k k k k k k =+=+++=++++，此时x 为2的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；③当,m n 一奇一偶时，不妨设()()112221,2m k k n k k =+∈=∈Z Z ，有()()2222221212121441x m n k k k k k =+=++=+++，此时x 被4整除余1，而集合B 中的元素被4整除余3，此时A B =∅.由①②③可知，A B =∅.18．（2021·全国·高一专题练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.①求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M ∀∈，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k ，可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.②求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）①672，②192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M 中各数字出现的次数，即可得答案.②分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n 个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次，所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.②设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ，集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=，集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.19．（2021·全国·高一专题练习）设N n ∈且3n ≥，有限集合12{,,}n M a a a =⋯，，其中12310n n a a a a a -≤<<<⋯<<，若对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a M -∈，则称集合M 为“含差集合”.（1）分别判断集合{0,2,4}A =和集合{1,2,3}B =是否是“含差集合”，并说明理由；（2）已知集合12345{,,,,}C a a a a a =，集合2{|,,4}D x x ka k N k ==∈≤，若集合C 是“含差集合”，试判断集合C 与集合D 的关系，并加以证明.【答案】（1）A 是，B 不是；（2）C D =，证明见解析.【分析】（1）根据含差集合的定义判断即可；（2）根据“含差集合”的定义，可求出集合C ，再与集合D 比较即可.【详解】（1）由{0,2,4}A =，可知0j i a a -=或2或4，因为0,2,4A ∈，所以集合{0,2,4}A =是“含差集合”，由{1,2,3}B =，可知0j i a a -=或1或2，因为0B ∉，所以{1,2,3}B =不是“含差集合”，（2）因为12345{,,,,}C a a a a a =是含差集合，所以123450a a a a a ≤<<<<，且对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a C -∈，因为1a 最小，所以10a =，因为32323a a C a a a -∈⎧⎨-<⎩，所以322a a a -=或321a a a -=（舍）所以322a a =，又4342a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且234a a a <<，10a =，可得43a a -=2a ，3a ；42a a -=2a ，3a ；当433a a a -=时，43224a a a ==；当432a a a -=时，423a a =；当422a a a -=时，422a a =；因为322a a =，43a a >，此种情况不成立，当423a a a -=时，423a a =；所以423a a =，又5453a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且345a a a <<，10a =，322a a =，423a a =，可得54a a -=2a ，3a ，4a ；53a a -=2a ，3a ，4a ；当542a a a -=时，524a a =；当543a a a -=时，525a a =；当544a a a -=时，526a a =；当53a a -=2a 时，5243a a a ==，因为54a a >，此种情况不成立，当53a a -=3a 时，524a a =；当53a a -=4a 时，525a a =；所以10a =，322a a =，423a a =，524a a =或525a a =，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =或2222{0,,2,3,5}C a a a a =此种情况225a a C -∉，不成立，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =，而22222{|,N,4}{0,,2,3,4}D x x ka k k a a a a ==∈≤=，所以C D =.。

1.2集合间的基本关系1.子集一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集，记作 A B B A 或.读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”).2.真子集如果集合B A ,但存在元素A x B x 且,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作BA或A B，读作“A 真含于B 或（B 真包含A ）”3.集合相等如果集合A 是集合B 的子集 B A ,且集合B 是集合A 的子集 A B ,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A =B .4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5.集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234n例1．已知集合 |05,A x x 且 N x ，则集合A 的子集的个数为（）A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】D【分析】先求出集合A 中元素的个数，再利用含有n 个元素的集合的子集个数为2n ，即可求出结果.【详解】因为 |05,A x x 且 N 0,1,2,3,4x ，可知，集合A 中含有5个元素，所以集合A 的子集个数为5232 .故选：D.变式1-1．集合 1，3，7的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．3D ．5【答案】B【分析】根据公式，直接求真子集个数.【详解】集合 1,3,7中有3个元素，所以集合的真子集个数为3217 个.故选：B变式1-2．已知集合 0,1,2,3A ，则含有元素0的A 的子集个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A 的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A 的子集有 0， 0,1， 0,2， 0,3， 0,1,2， 0,1,3， 0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A 的子集个数为8.故选：D.变式1-3．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B例2．符合 ,a b A ,,,a b c d 的集合的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由 ,a b A ,,,a b c d ，设 ,A a b B ，B ,c d ，故B 有3个.故选：A.变式2-1．已知集合M 满足 2,31,2,3,4,5M ，那么这样的集合M 的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C.【详解】因为 2,31,2,3,4,5M ，所以集合M 可以为： 2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，故选：C.变式2-2．满足条件 1,2,3,41,2,3,4,5,6M 的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合M 的个数即为{}5,6的子集个数，求解即可.【详解】因为 1,2,3,41,2,3,4,5,6M ，所以集合M 的个数即为{}5,6的子集个数.因为集合{}5,6的子集个数为224 ，所以满足条件的集合M 的个数是4.故选:D.例3．写出集合 3,5,8的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合 3,5,8的所有子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8,3,5,8 ；集合 3,5,8的所有真子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8 .变式3-1．写出下列集合的所有子集：(1) 1；(2) 1,2；(3) 1,2,3．【答案】(1),{1} ；(2),{1},{2},{1,2} ；(3),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}.【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.（1）解：由题得所有子集有,{1} ..（2）解：由题得所有子集有,{1},{2},{1,2}. （3）解：由题得所有子集有,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}. 变式3-2．设集合 N|22A x x ，列出集合A 的子集.【答案】A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 【分析】先由条件确定集合A 的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由 N|22A x x 化简可得 0,1,2A ，所以A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 变式3-3．求集合2{|20}A x x x 的子集和真子集.【答案】子集是 1212 ，，，，，真子集是12 ，，【分析】根据二次方程的解法可得 1,2A ，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合2|201,2A x x x ，集合 12A ，的子集是 1212 ，，，，，共4个；集合 12A ，的真子集是 12 ，，，共3个.例4．已知集合21,21A a a a ，且2A ；(1)求实数a ；(2)写出A 的所有真子集.【答案】(1)3a (2) ，{2} ，{2}【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；（2）根据真子集的定义写出A 的所有真子集即可.【详解】（1）因为2A ，所以12a 或2212a a ，当12a ，即1a 时，2212a a 不满足集合元素的互异性；当2212a a 时，解得1a （不满足集合元素互异性舍去）或3，所以当3a 时12a ，{2,2}A ，综上实数3a .（2）由（1）得{2,2}A ，所以A 的所有真子集为 ，{2} ，{2}.变式4-1．已知集合22,25A a a a ，且3A .（1）求a ；（2）写出集合A 的所有子集.【答案】（1）32a ；（2） ，72， 3 ，7,32.【解析】（1）由3A ，求得1a 或32a ，结合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合7,32A，根据集合子集的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，集合22,25A a a a ，且3A ，可得32a 或2325a a ，解得1a 或32a ，当1a 时，22325a a ，集合A 不满足互异性，所以1a 舍去；当32a 时，经检验，符合题意，故32a .（2）由（1）知集合7,32A，所以集合A 的子集是 ，72， 3 ，7,32.【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.变式4-2．已知集合23,25,0A a a a ，且3A .(1)求实数a 的取值的集合M ；(2)写出（1）中集合M 的所有子集.【答案】(1)31,2M；(2), 1, 3,2 31,2【分析】（1）利用3A 可求出a ，再验证合理性，进一步确定a 值；（2）利用子集的概念作答即可【详解】（1）因为3A ，且23,25,0A a a a ，所以33a 或2253a a ，解得=0a 或1a 或32a ，当=0a 时，2250a a ，集合中出现两个0，故舍去；当1a 时，}4,,{30A ，符合题意；当32a 时，9,3,02A，符合题意；∴实数a 的取值的集合31,2M（2）因为31,2M ，所以集合M 的子集有：, 1, 3,2 31,2例5．已知 ,,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C 求A ．【答案】 2或【分析】,A B A C ，则A B C ∩，可得集合A ．【详解】 1,2,3,5,0,2,4,8B C ，则 2B C ，则 2A 或A ．变式5-1．已知集合M 满足关系 ,,,,,a b M a b c d e ，写出所有的集合M ．【答案】答案见解析【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可【详解】满足条件的集合M 可以是以下集合： ,a b ， ,,a b c ， ,.a b d ， ,,a b e ， ,,,a b c d ，,,,a b c e ， ,,,a b d e ， ,,,,a b c d e ，共8个例6．设22}-}320-20{|{|A x x x B x x ax ，，B A ．(1)写出集合A 的所有子集；(2)若B 为非空集合，求a 的值．【答案】(1) }1212{ ，，，，；(2)3【分析】（1）求解2320x x -即可得{1,2}A ；（2）由B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，分别将元素代入2-20x ax 解出a 即可.【详解】（1）由2320x x -解得1x 或2x ，则{1,2}A ，故集合A 的子集为： 121,2 ，，，；（2）B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，由1x 或2x 代入2-20x ax 可得3a ，故a 的值为3.变式6-1．已知2560A x x x ， 6B x ax ，若B A ，求实数a 所构成的集合C ，并写出C 的所有非空真子集．【答案】答案见解析．【分析】求出集合A ，根据包含关系确定集合B ，再由非空真子集定义写出结论．【详解】由已知{2,3}A ，0a 时，B A ，B 时，{2}B 时，26a ，3a {3} B 时，36a ，2a ，综上{0,2,3}C ，C 的所有非空真子集有{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．变式6-2．已知{|15},{|1},R A x x B x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a ，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．变式6-3．已知2560A x x x ，20B x x px q ，B A ，且B 不是空集，（1）求集合B 的所有可能情况；（2）求p 、q 的值.【答案】（1） 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）1236p q 或21p q 或56p q .【解析】（1）解出集合A ，根据B A 且B 可得出所有可能的集合B ；（2）根据（1）中集合B 所有可能的情况，结合韦达定理可求得p 、q 的值.【详解】（1）25606,1A x x x ∵，B A 且B ，则 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）若 6B ，由韦达定理可得2266p q ，解得1236p q ；若 1B ，由韦达定理可得2211p q，解得21p q ；若 6,1B ，由韦达定理可得 6161p q，解得56p q .综上所述，1236p q 或21p q 或56p q .变式6-4．已知集合 1,2,3A ．(1)若M 是A 的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M ；(2)若 30B x ax ，且B A ，求实数a 的取值集合．【答案】(1) 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；(2)30,1,,32.【分析】（1）根据集合包含关系和3M 可直接得到结果；（2）分别在0a 和0a 两种情况下，根据B A 构造方程可求得结果.（1）M A ∵，3M ， M 可能的集合为： 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；（2）当0a 时，B ，满足B A ；当0a 时，3a B；若B A ，则31a 或32a 或33a ，解得：3a 或32a或1a ；综上所述：实数a 的取值集合为30,1,,32.例7．判断下列每对集合之间的关系：(1) 2,N A x x k k ， 4,N B y y m m ；(2) 1,2,3,4C ，D ={x x 是12的约数}；(3) 32,N E x x x ， 1,2,3,4,5F .【答案】(1)B A(2)C D (3)EF【分析】（1）分析A ，B 集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D ，即得解；（3）列举法表示集合E ，即得解(1)由题意，任取4y m B ，有2(2),2y m m N ，故y A Î且6,6A B ，故B A(2)由于D ={x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12} 故C D(3)由于 32,N E x x x {|5,}{1,2,3,4}x x x N 故EF 变式7-1．指出下列各组集合A 与B 之间的关系：1 1,1A ，Z B ；2 1,0,1A ，210B x x ；3 1,3,5,15A ， B x x 是15的正约数 ；4*N A ，B N ．【答案】 1A B Ü； 2B A Ü； 3A B ； 4A B Ü.【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.【详解】解： 11B ，1B ，但集合B 中的某些元素不属于集合A .所以A B Ü.2由 210B x x ，可求得 1,1B .又由 1,0,1A ，可知B A Ü.3由集合 B x x 是15的正约数 ，可求得 1,3,5,15B ，由于 1,3,5,15A ，则A B .4因为集合A 表示正整数集，集合B 表示自然数集，所以A B Ü.变式7-2．如图，试说明集合A ，B ，C 之间有什么包含关系．【答案】A B C【分析】由图可得答案.【详解】由图可得AB C 故答案为：A B C变式7-3．已知集合 31,A x x m m Z ，集合 32,B x x m m Z ，试证明A B ．【答案】证明见解析【分析】证明A B 且B A ，即得证.【详解】证明：设a A ，则存在1m Z ，使得 1131312a m m ，因为1m Z ，所以11m Z ，因此 1312a m B ，故A B ．设b B ，则存在2m Z ，使得 2232311b m m ，因为2m Z ，所以21m Z ，因此 2311b m A ，故B A ．综上，A B ．变式7-4．指出下列各组中的两个集合A 与B 的关系．（1） 05,N A a a a ， 0123,,,,5,4B ；（2）102,A ，sin 30s90,co B ；（3）{|A x x 是等腰三角形}，{|B x x 是等边三角形}；（4） 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ．【答案】（1）A B ；（2）A B ；（3）B A ；（4）A B ．【分析】（1）求出集合A 与集合B 比较即可求解；（2）求出集合B 与集合A 比较即可求解；（3）根据包含关系的定义即可判断；（4）出集合A 与集合B 中的元素即可求解；【详解】（1）因为 05,N 0,1,2,3,4A a a a ， 0123,,,,5,4B ，所以A B ；（2）因为1,1s ,2in 30cos9002B A ，所以A B ；（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以B 中的元素都在A 中，A 中有元素不在B 中，所以B A ；（4）因为 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ，所以集合A 与集合B 中的元素都是全体奇数，所以A B .变式7-5．已知集合{|,}2k A x x kZ ，{|,}2B x x n n Ζ.(1)分别判断元素2 ，20212与集合A ，B 的关系；(2)判断集合A 与集合B 的关系并说明理由.【答案】(1)2A ，2B ，20212A ，20212B ；(2)B A Ü，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在,Z k n 使2 ，20212属于集合A ，B 即可.（2）法一：由（1）结论，并判断x B 是否有x A ，即知A 与B 的关系；法二：A ={x |x 是2 的整数倍}，B ={x |x 是2的奇数倍}，即知A 与B 的关系；【详解】（1）法一：令22k，得4k Z ，故2A ；令22n ，得52n Z ，故2B .同理，令202122k ，得2021k Z ，故20212A ；令202122n ，得1010n Z ，故20212B .法二：由题意得：{|,}2k A x x kZ ，(21){|,}2n B x x n Ζ又422，故2A ，2B ；20212A ，(210101)2B .（2）法一：由（1）得：2A ，2B ，故A B ；又x B ，00(21)22n x n，由0n Z ，得021k n Z ，故x A ，所以x B ，都有x A ，即B A ，又A B ，所以B A.法二：由题意得{|,}2k A x x kZ ={x |x 是2 的整数倍}，(21){|,}2n B x x n Ζ={x |x 是2的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B 是集合A 的真子集，即B A.例8．已知集合240A x x ax ， 1,4B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【答案】{44aa ∣或5}a 【分析】根据题意分A 和A 讨论，在A 时分集合A 为单元素集和双元素集两种讨论即可.【详解】由题意知A B ∵，若A ，则2440a ，解得44a ，若A ，2160a ，解得4a 或4 ，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，此时{2}A ，不合题意，舍去，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，{2}A ，不合题意，舍去，当0 ，即2160a ，解得4a 或4a <-，则由题意知{1,4}A ，则1,4为方程240x ax 两根，根据韦达定理得145a ，综上所述a 的范围是{44aa ∣或5}a .变式8-1．已知集合 2|260,|20M x x x N x ax ，且N M ，求实数a 的值.【答案】40,,13【分析】根据题意分0a 与0a ，结合N M ，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为N M ，当0a 时，N ，符合题意；当0a 时，2N a，而 23|260,22M x x x ，所以232a 或22a ，解得43a 或1a .所以a 的取值为40,,13变式8-2．已知集合22|10,|20A x x B x x ax b ，若B ，且A B ，求实数,a b 的值．【答案】11a b 或11a b 或01a b 【分析】先求得集合A ，然后根据A B 进行分类讨论，由此求得,a b 的值.【详解】210x -=，解得1x 或=1x ，所以 1,1A ，依题意B ，且A B ，22440,a b a b .①当 1B 时，1(1)21(1)a b ，∴11a b；②当 1B 时，11211a b ，∴11a b；③当 1,1B 时，11211a b ，∴01a b．综合得11a b 或11a b 或01a b ．变式8-3．若集合 2|60A x x x ，{|10}B x mx ，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m 或12m 或0m 【分析】分0m 和0m 两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】2|603,2A x x x ，当0m 时，B A ，当0m 时，1{|10}B x mx m，因为B A ，所以13m 或12m，所以13m 或12，综上所述，13m 或12m 或0m .变式8-4．已知集合 2|560A x x x ，2|50B x x x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】6a 或254a .【分析】由题意，求得 2,3A ，再根据B A ，结合韦达定理分B 和B 两种情况讨论即可求出答案．【详解】由2|560A x x x ，则 2,3A .2|50B x x x a ∵，B 为方程250x x a 的解集.①若B ，则B A ，2B 或 3B 或 2,3B ，当 2B 时250x x a 有两个相等实根，即12122,45x x x x 不合题意，同理3B ，当 2,3B 时，235,236,a 符合题意；②若,B 则Δ2540a ，即254a ，综上所述，实数a 的取值范围为6a 或25.4a变式8-5．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a ，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .变式8-6．已知m 为实数，210A x x m x m ， 10B x mx ．(1)当A B 时，求m 的取值集合；(2)当B A 时，求m 的取值集合.【答案】(1)1(2)0,1 【分析】（1）分1m 、1m 两种情况讨论，求出集合A ，根据A B 可得出关于m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）分1m 、0m 、1m 且0m 三种情况，求出集合A 、B ，根据BA 可得出关于m的等式，即可解得实数m 的值.【详解】（1）解：因为 211x m x m x x m ，所以当1m 时， 1A ，当1m 时， 1,A m ．又A B ，所以1m ，此时 1B ，满足A B ．所以当A B 时，m 的取值集合为 1．（2）解：当1m 时， 1A B ，BA 不成立；当0m 时， 1,0A ，B ，B A 成立；当1m 且0m 时，1B m ， 1,A m ，由B A ，得1 m m，所以1m ．综上，m 的取值集合为 0,1 ．变式8-7．已知集合2320A x x x ，集合 10B x mx .(1)求A ；(2)若B A ，求实数m 的取值集合.【答案】(1)1,2A (2)10,,12【分析】（1）解A 中的一元二次方程即可；（2）分B 和B ，即分0m 和0m 讨论即可.【详解】（1）2320x x ，解得1x 或2，故 1,2A .（2）①当B 时，0m 符合；②当B 即0m 时，则1B m，由B A 可得11m 或2，解得12m 或1综上m 的取值集合为10,,12.变式8-8．设集合2{|320}A x x x ， 2{|10}B x x m x m .(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A 求实数m 的值.【答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2.【详解】（1）解法一：因为 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，又B 中只有一个元素，故1m .解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程 2 10x m x m 有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ，所以m ＝1.（2）由2320x x ，解得=1x 或2x ，由 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.例9．已知集合 22A x x ， 21C x a x a ，若C A ，求a 的取值范围．【分析】分C 和C 两种情况讨论，当C 时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当C 时，21a a ，解得1a ，当C 时，因为C A ，则212212a a a a，解得11a ，综上1a .变式9-1．已知R,{|17},{|23}U A x x B x a x a ，若B A ，求满足条件的a 的取值范围．【答案】,31,2 【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当B 时，满足B A ，此时，有23a a ，解得：3a ；当B 时，要使B A ，只需231237a a a a，解得：12a .所以实数a 的取值范围为 ,31,2 .变式9-2．已知集合24}|A x x｛，{|23}B x a x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】4,3【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.【详解】因为B A ，所以分B 和B 两种情况：①当B 时，则23a a ，解得：1a ，②当B 时，则232234a a a a ，解得：413a ，综上，实数a 的取值范围为4,3．变式9-3．设集合 116,11A x x B x m x m .(1)当x Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B A ，求m 的取值范围.(2)1,4 【分析】（1）由题得 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 即可解决.（2）根据B A 得，1512m m 即可解决.【详解】（1）由题知， 25A x x ，当x Z 时， 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 共8个元素，A 的非空真子集的个数为822254 个；（2）由题知， 116,11A x x B x m x m 显然11m m ，因为B A ，所以1512m m，解得14m ，所以实数m 的取值范围是 1,4 .变式9-4．已知集合 |4228A x k k ， |B x k x k ，(1)若A B ，求实数k 的取值范围；(2)若B A ，求实数k 的取值范围.【答案】(1)4k (2)8k 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为A B ，①当A 时：4228k k ，即3k 符合题意；②当A 时，42282842k k k k k k，34k ，综上所述：4k .（2）因为B A ，①当B 时，A ，4228k k k k ，解得0 3k k，无解，②当B 时，2842k k k k k k 或2842k k k k k k，888k k k 或，，综上所述：8k .变式9-5．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}．(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3](2)[3,4](3)m【分析】（1）根据B ⊆A 分B 或 两种情况进行解答即可；（2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m 的范围；（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m 的范围．（1）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，由B ⊆A 得21512121m m m m或B ，即21512121m m m m或m +1＞2m ﹣1，解得2≤m ≤3或m ＜2，所以实数m 的取值范围是(,3] ；（2）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ⊆B 得62215621m m m m，解得3≤m ≤4，所以实数m 的取值范围是[3，4]；（3）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ＝B 得62215m m ，无解，所以实数m ．变式9-6．设全集U R ，集合 |15A x x ，集合 |212B x a x a ，其中a R ．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围【答案】(1) 2,a ；(2) ,1a ．【分析】（1）根据A B .（2）根据B A ，分B 与B 进行讨论，列出不等式，即可得到结果.（1）因为A B ，所以21121252a a a a a，即a 的取值范围是 2,a ；（2）因为B A ，若B ，则11223a a a ；若B ，则125212111312213a aa a aa a a，综上所述： ,1a ．。

高一数学集合之间的关系与运算【本讲主要内容】集合之间的关系与运算子集、全集、补集、交集、并集等概念，集合的运算性质。

【知识掌握】 【知识点精析】1. （1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。

记作：A B B A ⊇⊆或，A ⊂B 或B ⊃A当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能： （1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。

（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B 或B A ，读作A 真包含于B 或B 真包含A 。

注：空集是任何集合的子集。

Φ⊆A空集是任何非空集合的真子集。

Φ A 若A ≠Φ，则Φ A任何一个集合是它本身的子集。

A A ⊆ 易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。

如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。

如Φ⊆{0}。

不能写成Φ＝{0}，Φ∈{0}2. 全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。

3. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，即C S A ＝},|{A x S x x ∉∈且4. 交集：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集。

第4讲：集合之间的关系（二）【学习目标】1．能用子集和真子集的概念，判断集合之间的关系，并用符号或Venn 图表示；2.根据集合之间的关系，求解出参数的取值范围.【基础知识】一、子集、真子集、集合相等子集、真子集、集合相等的相关概念定义符号表示图形表示子集如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集A BÜ(或B A ß)集合相等如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等A ＝B 二、利用集合关系求参数的关注点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．【考点剖析】考点一：集合之间的关系（求参一）例1．已知集合 |0=|12A x x a B x x ，，若B A ，则实数a 的取值范围为（）A．0a B．01a C．12a D．2a 【答案】D【详解】因为集合 |0=|12A x x a B x x ，，B A ，所以2a .故选：D变式训练1：已知集合,1,,A B m B A ，则m =（）A．0B．0或3C．1D．1或3【答案】B 【详解】因为集合 A ， 1,B m ，且B A ，所以3m 或m ，若3m ，则 ,1,3A B ，满足B A ；若m，则0m 或1m ，当0m 时， 1,3,0,1,0A B ，满足B A ；当1m 时，集合A 中元素不满足互异性，舍去，故选：B.变式训练2：已知集合22,4,A a， 2,6B a ，若B A ，则a （）A．-3B．-2C．3D．-2或3【答案】C 【详解】因为B A ，若64a ，则2a ，24a ，集合A 中的元素不满足互异性，舍去；若26a a ，则3a 或-2，因为2a ，所以3a .故选C.变式训练3：已知224,1A x x B x x b ，若A B ，则实数b 的取值范围（）A．12b B．12b C．2b D．2b 【答案】D 【详解】由题意{|12}A x x ，∵A B ，∴2b ．故选：D．考点二：集合之间的关系（求参二）例2．已知2320A x x x ，1B x ax ，若B A ，则实数a 取值的集合为（）A．1{0,1,}2B．1{1,}2C．1{0,2,}2D．1{2,}2【答案】A 【详解】因为23201201,2A x x x x x x ，又1B x ax ，当B 时，方程1ax 无解，则0a ，此时满足B A ；当B 时，0a ，此时11B x ax a ，为使B A ，只需11a或12a ，解得1a 或12a，综上，实数a 取值的集合为10,1,2.故选：A.变式训练1：已知集合240A x x ，集合1B x ax ，若B A ，则实数a 的值是（）A．0B．12C．0或12D．0或12【答案】C 【详解】2|42,2A x x ，B A ，当 2B 时，21a ，12a ；当 2B 时，21a ，12a ；当B 时，0a .即0a 或12a 或12a .故选：C.变式训练2：若集合 1,1A ，{|1}B x ax ，且B A ，则实数a 取值的集合为（）A． 1 B． 1C． 1,1 D．1,1,0 【答案】D 【详解】因为 11A ，，{|1}B x ax ，B A ，若B ，则方程1ax 无解，所以0a 满足题意；若B ，则1{|1}B x ax x x a，因为B A ，所以11a，则满足题意1a ；故实数a 取值的集合为 110 ，，.故选：D.变式训练3：当两个集合中有一个集合为另一一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合11{1,,,1}22A，210,0B x ax a ，若A 与B 构成“全食”，或构成“偏食”，则a 的取值集合为___________.【答案】 0,1,4 【详解】解：当B 时，0a ，符合条件；当B 时，即0a 时，B ，1 或12；解得：1a 或4 ；综上所述：a 的取值集合为 0,1,4 .故答案为： 0,1,4 .考点三：集合之间的关系（求参三）例3．已知集合2{0}23x A xx ，集合 121B x m x m ，若B A ，则m 的取值范围为（）A．11{|}22m mB．11{|2}22m m m或C．11{|2}22m m m 或D．11{|2}22m m m 或【答案】D 【详解】解不等式2023x x 得322x ，要使B A ，当集合B 时，121m m ，解得2m ；当集合B 时，121312212m m m m，解得1122m .综上：11{|2}22m m m 或.故选：D.变式训练1：已知集合{|1A x x 或5}x ，{|4}B x a x a ，且B A ，则实数a 的取值范围为（）A．{|55}a a a 或B．{|55}a a a 或C．{|55}a a a 或D．{|55}a a a 或【答案】D 【详解】因为{|1A x x 或5}x ，{|4}B x a x a ，且B A ，所以41a 或5a ，解得：5a 或5a ，所以实数a 的取值范围为{|55}a a a 或，故选：D变式训练2：设25A x x ，23B x a x a ，若A B ，则实数a 的取值范围是（）A．{|1223}a a a 或B．{|1}a aC．{|23}a a D．【答案】D 【详解】解：25A x x ∵，23B x a x a 且A B ，232235a a a a，此不等式组无解.故选：D.变式训练3：已知集合11A x x ，23B x a x a ，若A B ，则实数a 的取值范围是________．【答案】1{|2}2a a 【详解】已知集合11A x x ，23B x a x a ，且A B ，所以，2131a a ，解得122a .因此，实数a 的取值范围是1{|2}2a a .故答案为：1{|2}2a a .【过关检测】1、已知集合21A x x ，2,B y y x a x A ，若A B ，则实数a 的取值范围是（）A．54a B．45a C．36a D．36a 【答案】A 【详解】由题知2,[2,4]B y y x a x A a a ，又A B ，则2241a a，解得54a 故选：A2、已知集合 0,2A ，10B x ax ，若B A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（）A．12B．12C．10,2D．10,2【答案】D 【详解】当0a 时，方程10ax 没有实数根，故B ，显然符合B A ，当0a 时，由110ax x a，显然0x ，因此要想B A ，只有1122a a，因此实数a 的所有可能的取值组成的集合为10,2.故选：D3、已知集合28150A x x x ，10B x ax ，若B A ，则实数a ________.【答案】0或15或13【详解】281503,5A x x x ∵，且 10B x ax ，B A .①若0a ，则B A ；②若0a ，则1B A a ，13a或15a ，解得13a 或15a .综上所述，0a 或15或13.故答案为：0或15或13.4、若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合{}1,2A =-， 2|2,0B x ax a，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为______．【答案】10,,22【详解】解：当0a 时，B ，此时满足B A ，当0a 时，B ，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B集合有公共元素1 时，解得2a ，当,A B集合有公共元素2 时，解得12a ，故a 的取值集合为10,,22.故答案为：10,,225、已知 25A xx ∣，121B x m x m ∣，B A ，则m 范围____________.【答案】 3|m m 【详解】(1)当=B 有B A ，此时121m m ，解得2m ，符合题意；(2)当B 要使B A ，只需21112215m m m m，解得23m 综上所述，实数m 的范围是3m ．故答案为： 3|m m ．6、已知集合-11,121A x x B x m x m .若B A ，则实数m 的取值范围为_________.【答案】{|1}m m 【详解】已知集合-11,121A x x B x m x m ，且B A ，当B 时，121m m ，解得0m ，符合题意；当B 时，则011211m m m，解得01m ，综上：实数m 的取值范围为{|1}m m .故答案为：{|1}m m 7、已知集合2{|30}A x x x n ，且1A .（1）求集合A ；（2）如果集合{|10}B x mx ，且B A ，求m 的值组成的集合.【答案】（1） 12，；（2）1012，，.【详解】（1）因为1A ，直接将1代入方程：230x x n 得，2n ，所以，方程为2320x x ，即 120x x ，解得1x 或2x ，所以，集合 12A ，；（2）因为B 是A 的子集，分两类讨论：①当B 时，0m ，由于空集是任何集合的子集，所以，B ，符合题意；②当B ，则 1B 或 2B ，代入解得，1m 或12，综合以上讨论得，m 的取值集合为：1012，，.8、已知集合{|25}A x x .（1）若B A ，{|121}B x m x m ，求实数m 的取值范围；（2）若A B ，}1{2|6B x m x m ，求实数m 的取值范围；【答案】（1） 3|m m ；（2） |34m m 【详解】（1）因为{|25}A x x ，{|121}B x m x m ，若B A ，当B 时，121m m ，解得2m ，满足B A ，当B 时，12112215m m m m，解得23m ，综上所述：实数m 的取值范围是 3|m m .（2）若A B ，则21662215m m m m ，解得543m m m，即34m ≤≤，所以实数m 的取值范围是|34m m。

【备战2016年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第01讲 如何破解集合间的关系类问题考纲要求:1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系(1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B(或B ⊇A)． (2)真子集：若A ⊆B ，且A≠B，则A ÜB(或B ÜA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，即∅⊆A ，空集是任何非空集合的真子集，即∅ÜB(B≠∅)． (4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有2n个，A 的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B.应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn 图求解．【例1】设集合A ，B 都是U ＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁U A )∩(∁U B )＝{2}，(∁U A )∩B ＝{1}，则A 等于( ) A ．{1,2} B ．{2,3} C ．{3,4} D ．{1,4}解析：如图1所示．由于(∁U A )∩(∁U B )＝{2}，(∁U A )∩B ＝{1}，则有∁U A ＝{1,2}．∴A ＝{3,4}．答案：C【例2】设全集U ＝R ，集合N ＝{y |y ＝3－2x},}33{x y x M -==，，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．}31{≤<x xB ．}31{<<x xC ．}31{<≤x xD ．}31{≤≤x x解析：由033≥-x 得1≤x ，即}1{≤=x x M ，故∁R M }1{>=x x ．由02>x ，得323<-x，即}3{<=y y N ．因此题图中阴影部分表示的集合是(∁R M )∩N ＝}31{<<x x ，故选B.招数二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【例3】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．【例4】已知集合}3{+≤≤=a x a x A ,1{-<=x x B 或}5>x 。