人教版八年级数学下册期中考试压轴题

【压轴题】八年级数学下期中试卷带答案一、选择题1．下列函数中，是一次函数的是（ ）A ．11y x =+B ．y=﹣2xC ．y=x 2+2D ．y=kx+b （k 、b 是常数） 2．一次函数1y ax b =+与2y bx a =+在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．小明搬来一架 3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )A ．2.7 米B ．2.5 米C ．2.1 米D ．1.5 米4．如图，一个梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，测得4AO =米.若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子的底端也恰好外移1米，则梯子AB 的长度为 （ ）A ．5米B ．6米C ．3米D ．7米5．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，下列结论：①OA ＝OC ；②∠BAD ＝∠BCD ；③AC ⊥BD ；④∠BAD ＋∠ABC ＝180°中，正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟B ．公园离小丽家的距离为2000米C ．小丽在便利店时间为15分钟D ．便利店离小丽家的距离为1000米 7．若正比例函数y ＝mx （m 是常数，m≠0）的图象经过点A （m ，4），且y 的值随x 值的增大而减小，则m 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣48．已知点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（1，y 3）都在直线y ＝﹣x+b 上，则y 1，y 2，y 3的值的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 1＞y 29．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y （米）与甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图所示，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE EB =，3OE =，5AB =，▱ABCD 的周长（ ）A ．11B ．13C ．16D ．2211．下列运算正确的是（ ）A 235+=B 362=C 235=gD 1333=12．下列运算正确的是( )A ．532-=B ．822-=C ．114293=D ．()22525-=-二、填空题13．如图，已知在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝3，在△ABC 内作第1个内接正方形DEFG ；然后取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第2个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第3个内接正方形…，依次进行下去，则第2019个内接正方形的边长为_____．14．如图，直线510y x =+与x 轴、y 轴交于点A ，B ，则AOB V 的面积为___．15．将一个矩形 纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=____.16．已知菱形ABCD 的边长为5cm ，对角线AC ＝6cm ，则其面积为_____cm 2．17．如图在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD ＝_____，平行四边形CDEB 为菱形．18．计算2(2233)的结果等于_____．19．如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为________20．如图，矩形ABCD 中，15cm AB =，点E 在AD 上，且9cm AE =，连接EC ，将矩形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则'A C =____________cm ．三、解答题21．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E（1）证明：四边形ACDE 是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．22．如图，ABC V 是边长为1的等边三角形，BCD V 是等腰直角三角形，且90BDC ∠=︒．（1）求BD 的长．（2）连接AD 交BC 于点E ，求AD AE的值． 23．在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到A 、B 两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往A 、B 两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往A 、B 两城镇的运费分别为每辆400元和600元．（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A 城镇，其余货车前往B 城镇，设前往A 城镇的大货车为x 辆，前往A 、B 两城镇总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式．若运往A 城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用．24．实数,x y 在数轴上的位置如图所示，化简：2344x y y -+-+25．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，设小亮出发x 分后行走的路程为y 米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 随x 的变化关系.（1)小亮行走的总路程是_________米，他途中休息了___________分；（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】A 、y=1x+1不是一次函数，故错误；B 、y=-2x 是一次函数，故正确；C 、y=x 2+2是二次函数，故错误；D 、y=kx+b （k 、b 是常数），当k=0时不是一次函数，故本选项错误， 故选B ． 2．C解析：C【解析】【分析】可用排除法，对各选项中函数图象的特点逐一分析即可.【详解】A.由y 1的图象可知a< 0，b> 0；由y 2的图象可知a>0，b>0，两结论相矛盾，故错误；B.由y 1的图象可知a< 0，b> 0；由y 2的图象可知a=0，b<0，两结论相矛盾，故错误；C. 正确；D.由y 1的图象可知a> 0，b> 0；由y 2的图象可知a<0，b<0，两结论相矛盾，故错误； 故选：C.【点睛】此题考查一次函数的图象，熟记一次函数的图象与k 及b 值的关系是解题的关键.3．C解析：C【解析】【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【详解】=2.1（米）．故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于提取题目的信息是解题以及学好数学的关键．4．A解析：A【解析】【分析】设BO xm =，利用勾股定理依据AB 和CD 的长相等列方程，进而求出x 的值，即可求出AB 的长度．【详解】解：设BO xm =，依题意，得1AC =，1BD =，4AO =．在Rt AOB V 中，根据勾股定理得222224AB AO OB x =+=+，在Rt COD V 中，根据勾股定理22222(41)(1)CD CO OD x =+=-++，22224(41)(1)x x ∴+=-++，解得3x =，∴==，5AB答：梯子AB的长为5m．故选：A．【点睛】=利用勾股定理列方程是本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB CD解题的关键．5．C解析：C【解析】试题分析：根据平行四边形的性质依次分析各选项即可作出判断.∵平行四边形ABCD∴OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠BAD＋∠ABC＝180°，但无法得到AC⊥BD故选C.考点：平行四边形的性质点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6．C解析：C【解析】解：A．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；B．公园离小丽家的距离为2000米，正确；C．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；D．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．故选C．7．B解析：B【解析】【分析】利用待定系数法求出m，再结合函数的性质即可解决问题．【详解】解：∵y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），∴m2＝4，∴m＝±2，∵y的值随x值的增大而减小，∴m＜0，∴m＝﹣2，故选：B．【点睛】本题考查待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．A解析：A【解析】【分析】先根据直线y＝﹣x+b判断出函数图象,y随x的增加而减少，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．【详解】解：∵直线y＝﹣x+b，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣2＜﹣1＜1，∴y1＞y2＞y3．故选：A．【点睛】本题考查一次函数的图象性质：当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．9．A解析：A【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，故选A．【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键. 10．D解析：D【解析】【分析】根据平行四边形性质可得OE是三角形ABD的中位线，可进一步求解.【详解】因为▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE EB，所以OE是三角形ABD的中位线，所以AD=2OE=6所以▱ABCD的周长=2（AB+AD）=22故选D【点睛】本题考查了平行四边形性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.11．D解析：D【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】A、原式+=，故错误；B2C、原式，故C错误；=，正确；D3故选：D．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．12．B解析：B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A．≠A错误；B．=，故B正确；=，故C错误；C．3D．2=,故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．二、填空题13．3×122018【解析】【分析】首先根据勾股定理得出BC的长进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长再利用锐角三角函数的关系得出EIKI=PFEF=12即可得出正方形边长之间的变化规律得出答案即可【解析：【解析】【分析】首先根据勾股定理得出BC的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长，再利用锐角三角函数的关系得出，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可．【详解】∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝AB＝6，∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；∴EF＝EC＝DG＝BD，∴DE＝BC＝2，∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，∴，∴EI＝KI＝HI，∵DH＝EI，∴HI＝DE＝（）2﹣1×3，则第n个内接正方形的边长为：3×（）n﹣1．故第2019个内接正方形的边长为：3×（）2018．故答案是：3×（）2018．【点睛】考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题关键．14．10【解析】【分析】分别令x=0y=0可得AB坐标即可求出OAOB的长利用三角形面积公式即可得答案【详解】∵直线交x 轴于点A 交y 轴于点B∴令则；令则；∴∴∴的面积故答案为10【点睛】本题考查一次函数解析：10【解析】【分析】分别令x=0，y=0，可得A 、B 坐标，即可求出OA 、OB 的长，利用三角形面积公式即可得答案．【详解】∵直线510y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令0y =，则2x =-；令0x =，则10y =；∴()2,0A -，()0,10B ，∴2OA =，10OB =，∴AOB V 的面积1210102=⨯⨯=． 故答案为10【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0即可求出一次函数与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积． 15．128°【解析】【分析】如图延长DC 到F 根据折叠的性质可得∠ACB=∠BCF 继而根据平行线的性质可得∠BCF=∠ABC=26°从而可得∠ACF=52°再根据平角的定义即可求得答案【详解】如图延长DC解析：128°.【解析】【分析】如图，延长DC 到F ，根据折叠的性质可得∠ACB=∠BCF ，继而根据平行线的性质可得∠BCF=∠ABC=26°，从而可得∠ACF=52°，再根据平角的定义即可求得答案.【详解】如图，延长DC 到F ，∵矩形纸条折叠，∴∠ACB=∠BCF ，∵AB ∥CD ，∴∠BCF=∠ABC=26°，∴∠ACF=52°，∵∠ACF+∠ACD=180°，∴∠ACD=128°，故答案为128°. 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.16．24【解析】【分析】根据菱形的性质求出另一条对角线BD 的长然后再求面积即可【详解】如图所示：∵菱形ABCD 的边长为5cm 对角线AC ＝6cm ∴AC ⊥BD AO ＝CO ＝3cmBD=2BO ∴BO ＝＝4(cm解析：24【解析】【分析】根据菱形的性质求出另一条对角线BD 的长，然后再求面积即可.【详解】如图所示：∵菱形ABCD 的边长为5cm ，对角线AC ＝6cm ，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝3cm ，BD=2BO ，∴BO ＝22AB AO -＝4(cm)，∴BD ＝8cm ，∴S 菱形ABCD =12×6×8＝24(cm 2)， 故答案为24．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分以及菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键.17．【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分邻边相等推知OD=OBCD=CB ；最后Rt △BOC 中根据勾股定理得OB 的值则【详解】解：如图连接CE 交AB 于点O ∵Rt △解析：75【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AB =5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD =OB ，CD =CB ；最后Rt △BOC 中，根据勾股定理得，OB 的值，则2AD AB OB =-．【详解】解：如图,连接CE 交AB 于点O ．∵Rt △ABC 中,90ACB ∠=︒，AC =4，BC =3 ∴225AB AC BC =+= (勾股定理)若平行四边形CDEB 为菱形时，CE ⊥BD ，且OD =OB ，CD =CB ． ∵1122AB OC AC BC ⋅=⋅， ∴12.5OC = ∴在Rt △BOC 中,根据勾股定理得，2222129355OB BC OC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ∴725AD AB OB =-=故答案是：75． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法．18．35+12【解析】【分析】利用完全平方公式计算【详解】原式＝8+12+27＝35+12故答案为：35+12【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式然后进行二次根式的乘除解析：6【解析】【分析】利用完全平方公式计算．【详解】原式＝6+27＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．19．cm 【解析】∵平行四边形ABCD∴AD=BCAB=CDOA=OC∵EO⊥AC∴AE=EC∵AB+BC+CD+AD=16∴AD+DC=8cm∴△DCE 的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD解析：cm【解析】∵平行四边形ABCD ，∴AD=BC ，AB=CD ，OA=OC ，∵EO ⊥AC ，∴AE=EC ，∵AB+BC+CD+AD=16，∴AD+DC=8cm ，∴△DCE 的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8cm ，故答案为8cm.点睛：此题考查了平行四边形的性质以及线段的垂直平分线的性质，解答本题的关键是判断出EO 示线段BD 的中垂线.20．8【解析】【分析】设A′C=xcm 先根据已知利用AAS 证明△A′BC ≌△DCE 得出A′C=DE=xcm 则BC=AD=（9+x ）cmA′B=AB=15cm 然后在Rt △A′BC 中由勾股定理可得BC2=A解析：8【解析】【分析】设A ′C=xcm ，先根据已知利用AAS 证明△A ′BC ≌△DCE ，得出A ′C=DE= xcm ，则BC=AD=（9+x ）cm ，A ′B=AB=15cm ，然后在Rt △A ′BC 中，由勾股定理可得BC 2=A ′B 2+A ′C 2，即可得方程，解方程即可求得答案【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=15cm ，∠A=∠D=90°，AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠DEC=∠A ′CB ，由折叠的性质，得：A ′B=AB=15cm ，∠BA ′E=∠A=90°，∴A ′B=CD ，∠BA ′C=∠D=90°，在△A ′BC 和△DCE 中，BA C D A CB DEC A B CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=''⎨'⎪⎩∴△A ′BC ≌△DCE （AAS ），∴A ′C=DE ，设A ′C=xcm ，则BC=AD=DE+AE=x+9（cm ），在Rt △A ′BC 中，BC 2=A ′B 2+A ′C 2，即（x+9）2=x 2+152，解得：x=8，∴A ′C=8cm ．故答案为：8．【点睛】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）18．【解析】【分析】【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴AE ∥CD ，∠AOB=90°，∵DE ⊥BD ，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB ，∴DE ∥AC ，∴四边形ACDE 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE 的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．22．（1）2（2）3AD AE = 【解析】【分析】（1）已知BC=AB=AC=1，则在等腰直角△BCD 中，由勾股定理即可求BC（2）易证△ABD ≌△ACD ，从而得E 点BC 的中点，再根据等腰三角形的三线合一结合勾股定理即可求AE ，DE ，即可求得AD AE 的值 【详解】解：（1）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，∴BC=1∵△BCD 是等腰直角三角形，∠BDC=90°∴由勾股定理：BC 2=BD 2+DC 2，BD=DC 得，BC 2=2BD 2，则=故BD 的长为2（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，△BCD 是等腰直角三角形∴易证得△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAE=∠CEA∴E 为BC 中点，得BE=EC ，AE ⊥BC∴在Rt △AEC 中，由勾股定理得==同理得12== ∵AD=AE+ED∴11+3AD AE ED ED AE AE AE +==+=故AD AE =． 【点睛】此题主要考查等腰三角形“三线合一”性质，熟练运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键．23．(1) 大货车用8辆，小货车用7辆；(2) y 与x 的函数解析式为y=100x+9400；当运往A 城镇的防护用品不能少于100箱，最低费用为9900元．【解析】【分析】（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，然后根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设前往A 城镇的大货车为x 辆，则前往B 城镇的大货车为（8-x ）辆，前往A 城镇的小货车为（10-x ）辆，前往B 城镇的小货车为[7-（10-x ）]辆，然后根据题意即可确定y 与x 的函数关系式；再结合已知条件确定x 的取值范围,求出总费用的最小值即可．【详解】解：（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得：15128152x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：87x y =⎧⎨=⎩ 答：大货车用8辆，小货车用7辆；（2）设前往A 城镇的大货车为x 辆，则前往B 城镇的大货车为（8-x ）辆，前往A 城镇的小货车为（10-x ）辆，前往B 城镇的小货车为[7-（10-x ）]辆，根据题意得：y=800x+900（8-x ）+400（10-x ）+600[7-（10-x ）]=100x+9400由运往A 城镇的防护用品不能少于100箱,则12x+ 8 (10-x)≥100，解得x≥5且x 为整数；当x=5时,费用最低，则：100×5+9400=9900元. 答：y 与x 的函数解析式为y=100x+9400；当运往A 城镇的防护用品不能少于100箱，最低费用为9900元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，弄清题意列出二元一次方程组和一次函数解析式是解答本题的关键．24．5x y --【解析】【分析】由数轴可得2003y x -<<<<，，所以得到2030y x -<-<，，然后根据绝对值和二次根式的性质进行化简计算．【详解】解:由数轴,得:2003y x -<<<<，2030y x ∴-<-<，3332325x x x y x y x y ∴-+=-+-+-=-+-=--．【点睛】本题考查绝对值和二次根式的化简及完全平方公式，利用数形结合思想解题是关键．25．（1）3600 ，20；（2）65（米/分），55（米/分）；（3）1100（米）.【解析】【分析】(1)根据图象可知小亮走的总路程和中途休息的时间；(2)根据图象可知休息前走了30分钟，1950米，休息后走了30分钟，3600-1950米，由此根据速度公式进行求解即可；(3)先求出缆车到达终点所需时间，从而求出小亮行走的时间，最后根据题意求出当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程 ．【详解】(1)根据图象可知：小亮行驶的总路程为3600m ，中途休息时间为：50﹣30=20min ， 故答案为；3600，20；(2)观察图象可知小亮休息前走了30分钟，1950米，所以小亮休息前的速度为：19506530=(米/分)， 小亮休息后的速度为：36001950558050-=-(米/分)， 答：小亮休息前的速度为65米/分，休息后的速度为55米/分；(3)缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800米，缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟，小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，80－60＝20(分)，∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：20⨯55=1100(米)，答：当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是1100米.【点睛】本题考查了函数的图象，弄清题意，读懂图象，根据图象提供的信息进行解答是关键.。

勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得：a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠F AB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠F AC+∠BAC＝∠F AC+∠ABC＝90°，∴∠F AC＝∠ABC，在△F AM与△ABN中，，∴△F AM≌△ABN（ASA），∴S△F AM＝S△ABN，∴S△ABC＝S四边形FNCM，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得：AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4＝S Rt△ABC+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，则S△BMF+S△MBF＝S△BEF，即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，∴S△EMF＝S△EF A'＝m，∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，∴S正方形EFCH＝EF＝，故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接P A，当△ABP为等腰三角形时，t的值为．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当P A＝PB时，如图：设BP＝P A＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB 的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【答案】．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．故答案为：．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，P A2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵P A2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠P AC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠F AD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠F AE＝∠F AD+∠DAE＝∠F AD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠F AE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。

可编辑修改精选全文完整版专题03 勾股定理选填题压轴训练（原卷版）一．选择题（共25小题）1．如图，正方形ABCD的面积为100cm2，△ABP为直角三角形，∠P＝90°，且PB＝6cm，则AP的长为（）A．10cm B．6cm C．8cm D．无法确定2．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝10，∠ABC＝90°，AC⊥CD，则BD＝（）A．12B．10C．11D．23．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a＝，b＝，c＝C．（b+a）（b﹣a）＝c2D．∠A：∠B：∠C＝5：3：24．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，下列结论：①∠GOP＝∠BCP，②BC＝BP，③BG：PG＝+1，④DP ＝PO．正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③5．《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．104寸B．101寸C．52寸D．50.5寸6．已知点P（3m，4﹣4m）为平面直角坐标系中一点，若O为原点，则线段PO的最小值为（）A．2B．2.4C．2.5D．37．下列条件中，不能判断△ABC（a、b、c为三边，∠A、∠B、∠C为三内角）为直角三角形的是（）A．a2＝1，b2＝2，c2＝3B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：58．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．9．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形11．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形12．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP ＝5，则PN的最小值为（）A．2B．3C．4D．513．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为（）A．6B．9C．11D．1214．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（）A．169B．196C．392D．58815．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（）A．8cm2B．16cm2C．32cm2D．64ccm216．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的BC边的中线．若AB＝，BC＝2AC，则AD的长是（）A．1B．2C．D．417．如图，一棵高5米的树AB被强台风吹斜，与地面BC形成60°夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A 恰好落在BC边上的点E处，若BE＝2米，则BD的长是（）米A．2B．3C．D．18．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（）A．13cm2B．26cm2C．48cm2D．52cm219．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC 交于点E，则BE的长是（）A．3B．5C．D．620．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2B．C．D．21．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（m﹣1，﹣m﹣）（其中m为实数），当PM的长最小时，m的值为（）A．﹣B．﹣C．3D．422．如图，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为（）A．B．C．1或D．1或23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE交AD于点F，则以下结论：①AB＝2CE；②AC＝4CD；③CE⊥AD；④△DBE与△ABC的面积比是：1：（7+4）其中正确结论是（）A．①②B．②③C．③④D．①④24．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB′＝2，AD'＝，则AC的取值范围为（）A．﹣2＜AC＜5B．3＜AC＜+2C．3＜AC＜5D．﹣2＜AC＜+225．如图，P是等边△ABC形内一点，连接P A、PB、PC，P A：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C ≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（）A．△APP'是正三角形B．△PCP'是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题（共20小题）26．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝2，则阴影部分的面积是．27．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为米．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为．29．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为（用含a，b的式子表示）．30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠CAB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB ＝10，AC＝8，则OM＝．31．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为．32．如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝2，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是．33．将一副直角三角板按如图所示方式放置．∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝60°，∠ECD＝45°，AB边交直线DE于点M，设∠BMD＝α，∠BCE＝β，将直角三角板ABC绕点C旋转，在旋转过程中，点B始终位于直线DE 下方，则在变化过程中α与β的数量关系是．34．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为斜边作等腰直角三角形S1、S2，以AB为边作正方形S．若S1与S2的面积和为9，则正方形S的边长等于．35．在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE，且CE＜AC．若AD＝6，AB＝10，则CE＝．36．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是尺．37．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，点D在AC上连接BD，BD＝CD，BE为△DBC的角平分线，过AD的中点F作BE的垂线，点G为垂足，若∠BDC＝100°，EG＝2，则BC的长为．38．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE＝DF，∠BAG＝∠ABC＝45°，BC+AG＝20，AE＝2EF，则AF＝．39．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝．40．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为．41．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个论：①∠CBE＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE ＝EF．则其中正确的结论有．（填序号）42．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝，∠A＝30°，作△ABC关于直线l的轴对称图形△EBD，点F是BE的中点，若点A，C，F在同一直线上，则CD的长为．43．如图，在三角形△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是．44．如图，在直角坐标系中，点B（﹣8，8），点C（﹣2，0），若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒，当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值．45．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，则甲巡逻艇的航向为北偏东度．。

专题05 平行四边形选填题压轴训练（原卷版）一．选择题（共25小题）1．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（）A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（）A．2B．C．1D．3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，在平行四边形ABCD中，N是CD的中点，AB＝2BC，BN＝m，AN＝n，则CD的长为（）A．+n B．m+C．D．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是P A、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（）A．AD＝3B．AD＝4C．AD＝5D．AD＝66．已知矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，则所得任一多边形的内角和度数不可能是（）A．180°B．360°C．540°D．720°7．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD的面积为（）A．24B．24C．12D．128．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ 的值是（）A．B．3C．D．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.510．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（）A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠211．如图，在▱ABCD中，BC＝6，∠A＝135°，S▱ABCD＝12．若点E、F分别在边BC、AD上，且AF＝CE，∠EFD＝30°，则AF的长为（）A．﹣1B．2﹣1C．6﹣6D．4﹣212．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．413．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0），（0，4），OD＝5，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P有（）A．4个B．3个C．2个D．1个14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．215．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为（）A．B．5C．D．317．如图，P为菱形ABCD内一动点，连接P A，PB，PD，∠APD＝∠BAD＝60°，AB＝2，则PB+PD的最大值为（）A．B．C．D．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE ＝3DE．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．221．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，④CF＝BD＝2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④22．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P 为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．23．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（﹣，﹣），C（，）．任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2．作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（）A．B．C．D．125．如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DE＝DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是（）①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③；④若MH＝2，则S△CMD＝A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共20小题）26．在平面直角坐标系中，已知三点O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），若以A、B、C、O为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为．27．如图，矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF的延长线交CD于点H．过F作MN ∥DC，交AD于M，交BC于N．若AB＝6，则CH的长为．28．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为．29．如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD＝6，DE ＝，则OF的最小值为．30．正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF于点G，过点F作AE的平行线，交AD于点M，交BC的延长线于点N，CN＝3DM，AM＝，则FG的长为．31．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q 同时出发秒后其中一个新四边形为平行四边形．32．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN 交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF的长为．33．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝2DF，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为．34．如图是一个边长大于16cm的正方形，以距离正方形的四个顶点8cm处沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积．35．如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动，当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于．36．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有．（填序号）37．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC ＝4，则BC2+DF2的值为．38．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝BC＝a，点D在边AC上运动（不与点A，C重合），以BD为边作正方形BDEF，使点A在正方形BDEF内，连接EC，则下列结论：①△BCD≌△ECD；②当CD＝2AD时，∠ADE＝30°；③点F到直线AB的距离为a；④△CDE面积的最大值是a2．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）39．如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点E，且BE＝3DE，点F在AB的延长线上，连接EF，过点E作EG ⊥EF，交BC的延长线于点G，连接GF并延长，交DB的延长线于点P，若AB＝4，BF＝1，则线段EP的长是．40．在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点（与点A，D不重合），连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF．下列说法：①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；②当∠ABC＞90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；③当AB＜AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；④当∠ADB＝45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．所有正确说法的序号是．41．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为．42．如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝16，∠C＝90°，M是AC边上的中点，N是BC边上任意一点，且2CN＜BC，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上，则CN＝．43．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝时，△CMN为直角三角形．44．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为．45．已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为．。

期中选择填空必刷（压轴18考点53题）一．二次根式有意义的条件（共2小题）1．已知a、b满足，则＝（ ）A．4B．8C．2024D．4048【答案】A【解答】解：∵a、b满足，∴，∴c＝2025，∴|2023﹣a|+（2024﹣b）＝0，∴2023﹣a＝0，2024﹣b＝0，∴a＝2023，b＝2024，则＝＝＝4，故选：A．2．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ ．【答案】见试题解答内容z【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，∴m﹣2018≥0，m≥2018，由题意，得m﹣2017+＝m．化简，得＝2017，平方，得m﹣2018＝20172，m﹣20172＝2018．故答案为：2018．二．二次根式的性质与化简（共6小题）3．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n ﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C．z4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（ ）A．4B．2a C．2b D．2a﹣2b【答案】A【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．z故选：A ． 5．已知T 1＝＝＝，T 2＝＝＝，T 3＝＝＝，…T n ＝，其中n 为正整数．设S n ＝T 1+T 2+T 3+…+T n ，则S 2021值是（ ） A ．2021 B ．2022 C ．2021D ．2022【答案】A【解答】解：由T 1、T 2、T 3…的规律可得， T 1＝＝1+（1﹣）， T 2＝＝1+（﹣）， T 3＝＝1+（﹣），…… T 2021＝＝1+（﹣），所以S 2021＝T 1+T 2+T 3+…+T 2021＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2021+（1﹣）＝2021+ ＝2021，故选：A ． 6．化简﹣a 的结果是（ ） A ．﹣2aB ．﹣2aC ．0D ．2a【答案】Cz【解答】解：﹣a＝﹣a ﹣a 2•＝﹣a +a＝0． 故选：C ．7．已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则＝（ ）A ．2b ﹣2aB ．﹣2aC ．﹣2b ﹣2aD ．2a【答案】D【解答】解：观察数轴可知：a ＜0，b ＞0，|b |＞|a |， ∴a +b ＞0，a ﹣b ＜0， ∴＝a +b ﹣（b ﹣a ） ＝a +b ﹣b +a ＝2a ， 故选：D ．8．实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：|a ﹣2|+＝ 1 ．【答案】1．【解答】解：由数轴可知：a ﹣2＜0，a ﹣1＞0， 原式＝|a ﹣2|+＝|a ﹣2|+|a ﹣1|＝﹣（a ﹣2）+（a ﹣1） ＝﹣a +2+a ﹣1 ＝1，故答案为：1．9．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵是正整数，∴a是含有﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为含有2的代数式，∴a＝或．故答案为：或．10．利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当a＝+1时，移项得a﹣1＝，两边平方得，所以a2﹣2a+1＝3，即得到整系数方程：a2﹣2a﹣2＝0．仿照上述操作方法，完成下面的问题：当a＝时，（1）得到的整系数方程为；（2）计算：a3﹣2a+2024＝ ．【答案】（1）a2+a﹣1＝0；z（2）2023．【解答】解：（1）∵a＝，∴2a+1＝，∴（2a+1）2＝5，即4a2+4a+1＝5，∴a2+a﹣1＝0；故答案为：a2+a﹣1＝0；（2）∵a2+a﹣1＝0，∴a2＝﹣a+1，∴a3＝a（﹣a+1）＝﹣a2+a＝﹣（﹣a+1）+a＝2a﹣1，∴a3﹣2a+2024＝2a﹣1﹣2a+2024＝2023．故答案为：2023．11．因为，所以，的整数部分为2，小数部分为；设的小数部分为x，的整数部分为y，则＝ ．【答案】6．【解答】解：∵，∴得小数部分为，∴的小数部分为，即∵，∴的整数部分为3，即：y＝3，∴，故答案为：6．五．二次根式的应用（共1小题）12．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：S＝，其中p＝．①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），给出了著名的秦九韶公式：zS＝．②若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：S＝＝，故选：B．六．勾股定理（共8小题）13．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点A、B、C均在网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）zA ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：如图所示：S △ABC ＝×BC ×AE ＝×BD ×AC ， ∵AE ＝2，AC ＝，BC ＝2，即×2×2＝××BD ，解得：BD ＝．故选：C ．14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4．则S 1+S 2+S 3+S 4等于（ ）A ．16B ．18C ．20D ．22【答案】B【解答】解：连接PF ，过点F 作FD ⊥AM 于点D ，z∵AB ＝EB ，∠ACB ＝∠ENB ＝90°， 而∠CBA +∠CBE ＝∠EBN +∠CBE ＝90°， ∴∠CBA ＝∠EBN ， ∴△CBA ≌△NBE （AAS ）， 故S 4＝S △ABC ；又∵F A ＝AB ，∠FDA ＝∠ACB ＝90°， 而∠F AD +∠CAB ＝∠CAB +∠ABC ＝90°， ∴∠F AD ＝∠ABC ， ∴△F AD ≌△ABC （AAS ）， 同理可证△ACT ≌△FDK ， ∴S 2＝S △FDA ＝S △ABC ，同理可证△TPF ≌△KME ，△AQF ≌△ABC ，∴S 1+S 3＝S △ADF ＝S △ABC ，综上所证：S 1+S 2+S 3+S 4＝3S △ABC ＝3×＝18．故选：B ．15．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．AC ＝3，BC ＝4．以AB 、BC 、AC 为直径作半圆围成两月形，则阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解答】解：∵∠ACB ＝90°， ∴AB 2＝AC 2+CB 2，zS阴影＝直径为AC 的半圆的面积+直径为BC 的半圆的面积+S △ABC ﹣直径为AB 的半圆的面积， ＝π×+π×+AC ×CB ﹣π×（）2＝π（AC 2+BC 2﹣AB 2）+AC ×BC ＝×3×4 ＝6． 故选：B ．16．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝4，AB ＝8，P 为AC 边上的一个动点，D 为PB 上的一个动点，连接AD ，当∠CBP ＝∠BAD 时，线段CD 的最小值是（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】D【解答】解：∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABP +∠CBP ＝90°， ∵∠CBP ＝∠BAD ， ∴∠ABD +∠BAD ＝90°， ∴∠ADB ＝90°，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，z∴DE ＝AB ＝4， ∴EC ＝EB ＝4，∵CD ≥CE ﹣DE ， ∴CD 的最小值为4﹣4，故选：D ．17．图1叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图1中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图2），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图3）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为 ．【答案】31．【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），∴第四代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24＝31（个）． 故答案为：31．18．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝9，BC ＝5，点P 为△ABC 内一动点．过点P 作PD ⊥AC 于点D ，交AB 于点E ．若△BCP 为等腰三角形，且S △PBC ＝，则PD 的长为 ．【答案】1或．【解答】解：∵S，∴CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝6，∵∠ACB＝90°，PD⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，∴DE＝，过点P作PF⊥BC于点F，①当PB＝BC时，如图，z∴PF＝CD＝3，PB＝BC＝5，在Rt△PBF中，BF＝＝4，∴DP＝CF＝BC﹣BF＝1，∵DP＜DE，∴点P在线段DE上，符合题意；②当PC＝PB时，如图，∴DP＝CF＝，∵DP＜DE，∴点P在线段DE上，符合题意；③当PC＝BC时，如图，∴PF＝CD＝3，PC＝BC＝5，在Rt△CDP中，DP＝＝4，∵DP＞DE，∴点P不在线段DE上，舍去，综上，PD的长为1或，故答案为：1或．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方z形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是．【答案】．【解答】解：如图，∵四边形ABGF是正方形，∴∠F AB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠F AC+∠BAC＝∠F AC+∠ABC＝90°，∴∠F AC＝∠ABC，∴△F AH≌△ABN（ASA），∴S△F AH＝S△ABN，∴S△ABC＝S四边形FNCH，在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝7，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝49，∴AB2+2AC•BC＝49，z∵AB2﹣S△ABC＝16，∴AB2﹣AC•BC＝16，∴BC•AC＝，AB2＝，∴AC2+BC2＝，∴阴影部分的面积和＝AC2+BC2+2S△ABC﹣S白＝+2××﹣16＝．故答案为：．20．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ ．z【答案】2.5．【解答】解：∵△ABD 、△ACE 、△BCF 均是等腰直角三角形， ∴AB ＝BD ，AC ＝CE ，BC ＝CF ，设AB ＝BD ＝a ，AC ＝CE ＝b ，BC ＝CF ＝c ，S △ABG ＝m ，S △ACH ＝n ， ∵a 2+b 2＝c 2，∴S △ABD +S △ACE ＝S △BCF ， ∴S 1+m +n +S 4＝S 2+S 3+m +n ， ∴S 4＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5 故答案为：2.5．七．勾股定理的证明（共6小题）21．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD 与四边形EFGH 都是正方形．连结DG 并延长，交BC 于点P ，点P 为BC 的中点．若EF ＝2，则AE 的长为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：由题意，EF ＝HG ＝FG ＝2，AD ∥BC ，BG ⊥HC ，DH ⊥HG ，∠ADE ＝∠GBP ，z∴∠ADG ＝∠GPC ． ∵点P 为BC 的中点， ∴PB ＝PG ＝PC ．∴∠BGP ＝∠GBP ，∠GPC ＝2∠GBP ．∴∠GPC ﹣∠ADE ＝2∠GBP ﹣∠ADE ，即∠GDH ＝∠GBP ． ∴△GDH ∽△CBG ． ∴＝，即＝．设AE ＝BF ＝HD ＝x ， ∴＝．∴x ＝1+或x ＝1﹣（舍去）．故选：C ．22．如图，在四边形ABDE 中，AB ∥DE ，AB ⊥BD ，点C 是边BD 上一点，BC ＝DE ＝a ，CD ＝AB ＝b ，AC ＝CE ＝c ．下列结论：①△ABC ≌△CDE ；②∠ACE ＝90°；③ab ；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解答】解：在△ABC 和△CDE 中，，∴△ABC ≌△CDE （SSS ）， 故①正确； ∵△ABC ≌△CDE ， ∴∠BAC ＝∠DCE ， ∵AB ⊥BD ， ∴∠B ＝90°，∴∠BAC +∠ACB ＝90°，z∴∠ACB +∠DCE ＝90°， ∴∠ACE ＝90°， 故②正确；∵AB ∥DE ，AB ⊥BD ，∠ACE ＝90°， ∴S 四边形ABDE ＝（a +b ）（a +b ）＝（a +b ）2， S △ACE ＝c 2， S △ABC ＝S △CDE ＝ab ， ∴ab ，故③正确； ∵ab ，整理，得a 2+b 2＝c 2， 故④正确．正确的结论①②③④． 故选：A ．23．意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S 1，右图中空白部分的面积为S 2，则下列表示S 1，S 2的等式成立的是（ ）A ．S 1＝a 2+b 2+2abB ．S 1＝a 2+b 2+abC ．S 2＝c 2D ．S 2＝c 2+ab【答案】B【解答】解：观察图象可知：S 1＝S 2＝a 2+b 2+ab ＝c 2+ab ， 故选：B ．z24．如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC ＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若△BCD 的周长是30，则这个风车的外围周长是（ ）A ．76B ．57C ．38D ．19【答案】A【解答】解：设AC ＝AD ＝x ，则BD ＝30﹣5﹣2x ＝25﹣2x ， ∵BD 2＝BC 2+CD 2，∴52+（2x ）2＝（25﹣2x ）2， ∴x ＝6，∴BD ＝25﹣2x ＝13，AD ＝6，∴这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76． 故选：A ．25．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图（1）是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图（2）是由图（1）放入矩形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 、E 、F 、G 、H 、I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形的边LM 的长为（ ）A ．10B ．11C ．110D ．121【答案】B【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ， 则四边形OALP 是矩形．z∵∠CBF ＝90°， ∴∠ABC +∠OBF ＝90°，又∵直角△ABC 中，∠ABC +∠ACB ＝90°， ∴∠OBF ＝∠ACB ， 在△OBF 和△ACB 中，，∴△OBF ≌△ACB （AAS ）， ∴AC ＝OB ，同理：△ACB ≌△PGC ， ∴PC ＝AB ， ∴OA ＝AP ，∴矩形AOLP 是正方形， 边长AO ＝AB +AC ＝3+4＝7， ∴LM ＝4+7＝11， 故选：B ．26．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，若x ，y 表示直角三角形的两直角边长（x ＞y ），给出下列四个结论：①x 2+y 2＝25；②x ﹣y ＝2；③2xy ＝21；④x +y ＝7．其中正确的结论有 ．【答案】①②③．z【解答】解：给图形注上字母如下：①∵△ABC 为直角三角形， ∴根据勾股定理：x 2+y 2＝AB 2＝25， 故选项①正确； ②由图可知，x ﹣y ＝CE ＝＝2，故选项②正确；③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为4××xy +4＝25， 即2xy ＝21； 故选项③正确； ④由2xy ＝21①， 又∵x 2+y 2＝25②，∴①+②得，x 2+2xy +y 2＝25+21， 整理得，（x +y ）2＝46， x +y ＝≠7，故选项④错误． ∴正确结论有①②③． 故答案为：①②③．八．勾股定理的应用（共3小题）27．如图，高速公路上有A 、B 两点相距10km ，C 、D 为两村庄，已知DA ＝4km ，CB ＝6km ．DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个服务站E ，使得C 、D 两村庄到E 站的距离相等，则EA 的长是（ ）km ．zA ．4B ．5C ．6D ．【答案】C【解答】解：设BE ＝x ，则AE ＝（10﹣x ）km ， 由勾股定理得： 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2+AE 2＝42+（10﹣x ）2， 在Rt △BCE 中， CE 2＝BC 2+BE 2＝62+x 2， 由题意可知：DE ＝CE ， 所以：62+x 2＝42+（10﹣x ）2， 解得：x ＝4km ． 所以，EB 的长是4km ． 所以，EA ＝10﹣4＝6（km ）． 故选：C ．28．如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，D 在BC 边上，且BD ＝2，P 为三角形内一点，满足AP ⊥BP ，直线DP 交AC 于点E ，当AE 最大时，AP 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6z【答案】C【解答】解：∵P 为三角形内一点，满足AP ⊥BP ， ∴P 为动点，∠APB 始终为直角，∴点P 在以AB 为直径的圆上，取AB 的中点O ，连接OP 和OD ， 当AE 最大时，线段DP 与⊙O 相切， ∵∠ABC ＝90°，OP ＝OD ，∴BD ＝PD ，∠BDP ＝∠BOP ＝180°， ∵∠AOP +∠BOP ＝180°， ∴∠BDP ＝∠AOP ， ∵BD ＝2，AB ＝8，∴BD ＝PD ＝2，OA ＝OP ＝4， ∴△DBP ～△OAP ，∴PD ：OP ＝BP ：AP ＝2：4， ∴AP ＝2BP ，在Rt △ABP 中，BP 2+AP 2＝AB 2， ∴BP 2+（2BP ）2＝AB 2， 解得：BP ＝， ∴AP ＝2BP ＝．故选：C ．29．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），可以计算出两图孔中心B 和C 的距离为（ ）mm ．zA ．120B ．135C ．30D ．150【答案】D【解答】解：如图，在Rt △ABC 中，AC ＝180﹣60＝120（mm ），AB ＝150﹣60＝90（mm ）， ∴BC ＝＝150（mm ）， ∴两圆孔中心B 和C 的距离为150mm ． 故选：D ．九．平面展开-最短路径问题（共1小题）30．如图，长方体的高为9dm ，底面是边长为6dm 的正方形．一只蚂蚁从顶点A 开始爬向顶点B ，那么它爬行的最短路程为（ ）A ．10dmB ．12dmC ．15dmD ．20dm【答案】C【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD ＝6，BD ＝6+9＝15， AB ＝＝（dm ）；z②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC ＝6+6＝12，BC ＝9， AB ＝＝15（dm ），③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB ＝＝15（dm ），由于15＜3，所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm ． 故选：C ．十．三角形中位线定理（共1小题）31．如图，△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＞AB ＞6，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且BD ＝CE ＝6，连接DE ，点M 是DE 的中点，点N 是BC 的中点，线段MN 的长为 ．【答案】3．【解答】解：如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，作CJ ⊥EH 于J ．∵BD ∥CH ， ∴∠B ＝∠NCH ，∵BN ＝CN ，∠DNB ＝∠KNC ， ∵△DNB ≌△HNC （ASA ）， ∴BD ＝CH ，DN ＝NH ，z∴EC ＝CH ＝6，∵∠A +∠ACH ＝180°，∠A ＝60°， ∴∠ECH ＝120°， ∵CJ ⊥EH ，∴EJ ＝JH ＝EC •cos30°＝3，∴EH ＝2EJ ＝6，∵DM ＝ME ，DN ＝NH ， ∴MN ＝EH ＝3．故答案为：3．十一．平行四边形的性质（共2小题）32．如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠ADC ＝60°，，连接OE ，下列结论：①∠CAD ＝30°；②S ▱ABCD ＝AB •AC ；③OB ＝AB ；④；⑤∠AEO ＝60°．其中成立的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠BEA ， ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠DAE ＝∠BAE ， ∴∠BEA ＝∠BAE ， ∴AB ＝EB ，∵∠ABE ＝∠ADC ＝60°， ∴△ABE 是等边三角形，∵AB＝BC，∴BE＝BC，∴BE＝CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，∴∠ECA＝30°，∴∠CAD＝∠ECA＝30°，故①正确；∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确；AB⊥OA，∴OB＞AB，∴OB≠AB，z故③错误；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故④正确；∵△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵CE＝AE，OA＝OC，z∴∠AEO ＝∠CEO ＝∠AEC ＝60°， 故⑤正确． 故选：D ．33．如图，▱ABCD 中，AB ＝22cm ，BC ＝8cm ，∠A ＝45°，动点E 从A 出发，以2cm /s的速度沿AB 向点B 运动，动点F 从点C 出发，以1cm /s 的速度沿着CD 向D 运动，当点E 到达点B 时，两个点同时停止．则EF 的长为10cm 时点E 的运动时间是（ ）A ．6sB ．6s 或10sC ．8sD ．8s 或12s【答案】C【解答】解：在▱ABCD 中，CD ＝AB ＝22cm ，AD ＝BC ＝8cm ，如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G ， ∵∠A ＝45°，∴△ADG 是等腰直角三角形， ∴AG ＝DG ＝AD ＝8，过点F 作FH ⊥AB 于点H ， 得矩形DGHF ，∴DG ＝FH ＝8cm ，DF ＝GH ， ∵EF ＝10cm ， ∴EH ＝＝6cm ，由题意可知：AE ＝2t cm ，CF ＝t cm ，∴GE ＝AE ＝AG ＝（2t ﹣8）cm ，DF ＝CD ﹣CF ＝（22﹣t ）cm ， ∴GH ＝GE +EH ＝（2t ﹣8）+6＝（2t ﹣2）cm ， ∴2t ﹣2＝22﹣t ， 解得t ＝8，当F 点在E 点左侧时，z由题意可知：AE ＝2t cm ，CF ＝t cm ，∴GE ＝AE ﹣AG ＝（2t ﹣8）cm ，DF ＝CD ﹣CF ＝（22﹣t ）cm ， ∴GH ＝GE ﹣EH ＝（2t ﹣8）﹣6＝（2t ﹣14）cm ， ∴2t ﹣14＝22﹣t ， 解得t ＝12，∵点E 到达点B 时，两点同时停止运动， ∴2t ≤22，解得t ≤11． ∴t ＝12不符合题意，舍去，∴EF 的长为10cm 时点E 的运动时间是8s ， 故选：C ．十二．平行四边形的判定与性质（共1小题）34．如图，已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点D 是边BC 上的一点，且BD ＝1，以AD 为边作等边△ADE ，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，连接BF ，则下列结论中①△ABD ≌△BCF ；②四边形BDEF 是平行四边形；③S 四边形BDEF ＝；④S △AEF ＝．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解答】解：连接EC ，作CH ⊥EF 于H ． ∵△ABC ，△ADE 都是等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∴△BAD ≌△CAE ，z∴BD ＝EC ＝1，∠ACE ＝∠ABD ＝60°， ∵EF ∥BC ，∴∠EFC ＝∠ACB ＝60°， ∴△EFC 是等边三角形，CH ＝，∴EF ＝EC ＝BD ，∵EF ∥BD ，∴四边形BDEF 是平行四边形，故②正确， ∵BD ＝CF ＝1，BA ＝BC ，∠ABD ＝∠BCF ， ∴△ABD ≌△BCF ，故①正确， ∵S 平行四边形BDEF ＝BD •CH ＝，故③正确，∵CD ＝2BD ，AF ＝2CF ． ∴S △AEF ＝S △AEC ＝•S △ABD ＝， 故④错误， 故选：C ．十三．菱形的性质（共2小题）35．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，OH ＝4，若菱形ABCD 的面积为32，则CD 的长为（ ）A ．4B ．4C ．8D ．8【答案】Cz【解答】解：∵DH ⊥AB ， ∴∠BHD ＝90°， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴OB ＝OD ，OC ＝OA ＝，AC ⊥BD ，∴OH ＝OB ＝OD ＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），∴OD ＝4，BD ＝8， 由得：＝32，∴AC ＝8， ∴OC ＝＝4， ∴CD ＝＝8， 故选C ．36．如图，已知菱形ABCD 的边长为6，点M 是对角线AC 上的一动点，且∠ABC ＝120°，则MA +MB +MD 的最小值是（ ）A ．B ．3+3C ．6+D ．【答案】D【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接BD ，∵菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°， ∴∠DAB ＝60°，AD ＝AB ＝DC ＝BC ， ∴△ADB 是等边三角形， ∴∠MAE ＝30°， ∴AM ＝2ME ，z∵MD ＝MB ，∴MA +MB +MD ＝2ME +2DM ＝2DE ，根据垂线段最短，此时DE 最短，即MA +MB +MD 最小， ∵菱形ABCD 的边长为6， ∴DE ＝＝＝3，∴2DE ＝6．∴MA +MB +MD 的最小值是6．故选：D ．十四．矩形的性质（共4小题）37．如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 在∠MON 的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，AB ＝4，BC ＝2，则点D 到点O 的最大距离是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：如图，取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵∠MON ＝90°， ∴OE ＝AB ＝2． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝2，z∵点E 是AB 的中点， ∴AE ＝AB ＝2， 在Rt △DAE 中，DE ＝＝＝2，在△ODE 中，根据三角形三边关系可知DE +OE ＞OD ， ∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为OE +DE ＝2+2．故选：A ．38．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，连接EC ，FD ，点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，连接GH ，若AB ＝6，BC ＝10，则GH 的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】C【解答】解：连接CH 并延长交AD 于P ，连接PE ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝90°，AD ∥BC ，∵E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，AB ＝6，BC ＝10， ∴AE ＝AB ＝×6＝3，CF ＝BC ＝10＝5，∵AD ∥BC ， ∴∠DHP ＝∠FHC ， 在△PDH 与△CFH 中，，∴△PDH ≌△CFH （AAS ）， ∴PD ＝CF ＝5，CH ＝PH ， ∴AP ＝AD ﹣PD ＝5， ∴PE ＝＝＝， ∵点G 是EC 的中点，z∴GH ＝EP ＝，故选：C ．39．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（30，0）（0，12），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为 ．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP 是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况： （1）如答图①所示，PD ＝OD ＝15，点P 在点D 的左侧．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则PE ＝12． 在Rt △PDE 中，由勾股定理得：DE ＝＝＝9，∴OE ＝OD ﹣DE ＝15﹣9＝6， ∴此时点P 坐标为（6，12）；z（2）如答图②所示，OP ＝OD ＝15．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则PE ＝4． 在Rt △POE 中，由勾股定理得：OE ＝＝＝9，∴此时点P 坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD ＝OD ＝5，点P 在点D 的右侧．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则PE ＝4．在Rt △PDE 中，由勾股定理得：DE ＝＝＝9，∴OE ＝OD +DE ＝15+9＝24， ∴此时点P 坐标为（24，12）．综上所述，点P 的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）； 故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．40．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，E 为AD 的中点，F 为线段EC 上一动点，P 为BF 中点，连接PD ，则线段PD 长的取值范围是 ．【答案】2≤PD ≤．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在点P1处，CP1＝BP1，当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2＝BP2，∴P1P2∥EC且P1P2＝CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°，∵P1P2∥EC，∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°，∴∠P2P1D＝90°，z∴DP的长DP1最小，DP2最大，∵CD＝CP1＝DE＝2，∴DP1＝2，CE＝2，∴P1P2＝，∴DP2＝＝，故答案为：2≤PD≤．十五．矩形的判定与性质（共1小题）41．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（ ）zA ．5B ．4C ．D ．3【答案】C【解答】解：连接AP ，∵AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，∴AB 2+AC 2＝62+82＝100，BC 2＝102＝100， ∴AB 2+AC 2＝BC 2， ∴△ABC 是直角三角形， ∴∠BAC ＝90°， ∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ， ∴∠PEA ＝∠PF A ＝90°， ∴四边形AEPF 是矩形， ∴AP ＝EF ，∴当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，即EF 有最小值， ∵△ABC 的面积＝BC •AP ＝AB •AC ， ∴BC •AP ＝AB •AC ， ∴10AP ＝6×8， ∴AP ＝，∴AP ＝EF ＝，∴EF 的最小值为，故选：C ．z十六．正方形的性质（共10小题）42．青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；…由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（ ）A ．方程思想B ．分类讨论思想C ．模型思想D ．数形结合思想【答案】D【解答】解：将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；…由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了数形结合思想， 故选：D ．43．如图所示，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，过O 作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE ＝4，CF ＝3，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，AC ⊥BD ，z又∵OE ⊥OF ，∴∠EOB +∠BOF ＝90°＝∠BOF +∠COF ， ∴∠EOB ＝∠COF ， ∴△BEO ≌△CFO （ASA ）， ∴BE ＝CF ＝3， 又∵AB ＝BC ， ∴AE ＝BF ＝4， ∴Rt △BEF 中，EF ＝＝＝5．故选：C ．44．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，CE 交DF 于点G ，连接AG ．下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠EAG ＝30°；④∠AGE ＝∠CDF ．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①②③【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝90°， ∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴BE ＝AB ，CF ＝BC ， ∴BE ＝CF ，在△CBE 与△DCF 中，，∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠ECB ＝∠CDF ，CE ＝DF ，故①正确； ∵∠BCE +∠ECD ＝90°， ∴∠ECD +∠CDF ＝90°，z∴∠CGD ＝90°， ∴CE ⊥DF ，故②正确； ∵CF ＝BC ＝CD ， ∴∠CDF ≠30°， ∴∠ADG ≠60°， ∵AD ＝AG ，∴△ADG 不是等边三角形， ∴∠EAG ≠30°，故③错误； ∵CE ⊥DF ， ∴∠EGD ＝90°，延长CE 交DA 的延长线于H ，如图，∵点E 是AB 的中点， ∴AE ＝BE ，∵∠AHE ＝∠BCE ，∠AEH ＝∠CEB ，AE ＝BE ， ∴△AEH ≌△BEC （AAS ）， ∴BC ＝AH ＝AD ， ∵AG 是斜边的中线， ∴AG ＝DH ＝AD ， ∴∠ADG ＝∠AGD ，∵∠AGE +∠AGD ＝90°，∠CDF +∠ADG ＝90°， ∴∠AGE ＝∠CDF ．故④正确； 故选：C ．45．如图．正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON ⊥OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是4，则AB 的长为（ ）zA ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解答】解：过点O 作OE ⊥AD 于点E ，OF ⊥CD 于点F ， 则：∠OEM ＝∠OFN ＝∠OFD ＝90°，∵正方形ABCD ，∴OA ＝OD ＝OC ，∠ADC ＝90°， ∴，四边形OEDF 为矩形，∴四边形OEDF 为正方形， ∴OE ＝OF ，∠EOF ＝90°， ∵ON ⊥OM ，∴∠MON ＝90°＝∠EOF ， ∴∠EOM ＝∠FON ， ∴△OEM ≌△OFN （ASA ），∴正方形OFDE 的面积等于四边形MOND 的面积， ∴DE 2＝4，∴DE ＝2（负值已舍掉）； ∴AB ＝AD ＝2DE ＝4； 故选：A ．46．如图，正方形ABCD 的边长为2，点O 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别在AB 、AD 边上运动，且保持BE ＝AF ，连接OE ，OF ，EF 在此运动过程中，下列结论： ①OE ＝OF ；z②∠EOF ＝90°；③四边形AEOF 的面积保持不变； ④当EF ∥BD 时，EF ＝，其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③④【答案】D【解答】解：过O 作OG ⊥AB 于G ，OH ⊥AD 于H ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠OHA ＝∠OGA ＝90°， OH ∥AB ，OG ∥AD ， ∵点O 是对角线BD 的中点， ∴AH ＝DH ，AG ＝BG ， ∴OH ＝AB ，OG ＝AD ， ∵AD ＝BA ，∴OG ＝OH ，BG ＝AH ， ∴四边形AGOH 是正方形， ∴∠GOH ＝90°， ∵BE ＝AF ， ∴GE ＝FH ，在△OFH 与△OEG 中，，∴△OFH ≌△OEG （SAS ），∴OE ＝OF ，故①正确；∠EOG ＝∠FOH ， ∴∠EOG +∠GOF ＝∠GOF +∠FOH ＝90°， ∴∠EOF ＝90°，故②正确； ∵△OFH ≌△OEG ，z∴四边形AEOF 的面积＝正方形AOGH 的面积＝1×1＝2， ∴四边形AEOF 的面积保持不变；故③正确； ∵EF ∥BD ，∴∠AFE ＝∠ADB ＝45°，∠AEF ＝∠ABD ＝45°， ∴AE ＝AF ， ∵BE ＝AF ， ∴AE ＝BE ，∴AE ＝AF ＝AB ＝1， ∴EF ＝，故④正确；故选：D ．47．如图，正方形ABCD 边长为1，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BE ＝CF ，连接BF ，DE ，则BF +DE 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：连接AE ，如图1， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°． 又BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ）． ∴AE ＝BF ．z所以BF+DE 最小值等于AE+DE 最小值． 作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2， 连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点． 根据对称性可知AE ＝HE ， 所以AE+DE ＝DH ．在Rt △ADH 中，AD ＝1，AH ＝2， ∴DH ＝＝，∴BF+DE 最小值为．故选：C ．48．如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．在下列结论中： ①DE ＝EF ；②△DAE ≌△DCG ；③AC ⊥CG ；④CE ＝CF ．其中正确的是（ ）A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【解答】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，z在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；②∵矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；z③根据②得AE ＝CG ，∠DAE ＝∠DCG ＝45°， ∴∠ACG ＝90°， ∴AC ⊥CG ，故③正确；④当DE ⊥AC 时，点C 与点F 重合， ∴CE 不一定等于CF ，故④错误， 综上所述：①②③正确． 故选：B ．49．如图，正方形ABCD 边长为12，里面有2个小正方形，各边的顶点都在大正方形的边上的对角线或边上，它们的面积分别是S 1，S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．68B ．72C ．64D ．70【答案】A【解答】解：如图，由正方形的性质，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，z所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为12， ∴AC ＝12，∴两个小正方形的边长分别为×12＝4，×12＝6，∴S 1+S 2＝（4）2+62＝32+36＝68．故选：A ．50．如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别为边BC 、CD 上一点，且OE ⊥OF ，连接EF ．若，则EF 的长为（ ）A ．2B ．2+C ．+1 D ．3【答案】A【解答】解：在正方形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝90°，∠OBC ＝∠OCD ＝45°，OB ＝OC ， ∵∠AOE ＝150°， ∴∠BOE ＝60°； ∵OE ⊥OF ，∴∠EOF ＝∠BOC ＝90°， ∴∠BOE ＝∠COF ＝60°， ∴△BOE ≌△COF （ASA ）， ∴OE ＝OF ，∴△OEF 是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，如图，∴∠OGF＝∠DGF＝90°，∵∠ODC＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴GF＝DG＝DF＝，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°，∴∠DOF＝30°，∴OF＝2GF＝，∴EF＝OF＝2．故选：A．51．如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，P为CEz上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：过E点作EH⊥BC于H点，根据正方形的性质可知△BEH是等腰直角三角形，BE＝BC＝2，∴EH＝2．∴△BEC的面积为×BC×EH＝．连接BP，则△BPE面积+△BPC面积＝2，z即×BE ×PR +×BC ×PQ ＝2， ∴×（PR +PQ ）＝2，解得PR +PQ ＝2． 故答案为2．十七．正方形的判定与性质（共1小题）52．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作射线OM 、ON 分别交BC 、CD 于点E 、F ，且∠EOF ＝90°，OC 、EF 交于点G ，连接AF ，DE ．给出下列结论： ①△AOF ≌△DOE ； ②△OBE ≌△OCF ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的； ④DF 2+BE 2＝EF 2； ⑤AF ⊥DE ，其中正确的为（ ）A ．①②④⑤B ．①②③④⑤C ．①②③④D ．①②③⑤【答案】B【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴∠DOF＝∠COE，OF＝OE，∴∠AOF＝∠DOE，∵OA＝OD，∴△AOF≌△DOE（SAS），故①正确；②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正确；③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；④∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，故④正确；∵AD＝DC，∠ADF＝∠DCE，DF＝CE，∴△ADF≌△DCE，（SAS），∴∠DAF＝∠CDE，z∵∠ADF +∠CDE ＝90°， ∴∠ADF +∠DAF ＝90°， ∴AF ⊥DE ， 故⑤正确；综上所述，正确的是①②③④⑤， 故选：B ．十八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）53．如图，将▱ABCD 纸片折叠（折痕为BE ），使点A 落在BC 上，记作①；展平后再将▱ABCD 折叠（折痕为CF ），使点D 落在BC 上，记作②；展平后继续折叠▱ABCD ，使AD 落在直线BC 上，记作③；重新展平，记作④．若AB ＝4，BC ＝7，则图④中线段GH 的长度为（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】C【解答】解：如图④中，连接EH ，延长EH 交BC 于M ．由题意易知：AB＝AE＝4，CD＝DF＝4，GH是△EBM的中位线，∵AD＝BC＝7，∴AF＝DE＝3，EF＝1，∵EH＝HM，∠EFH＝∠MCH，∠EHF＝∠CHM，∴△EFH≌△MCH（AAS），∵EF＝CM＝1，BM＝BC﹣CM＝6，∵GH是△EBM的中位线，∴GH＝BM＝3，故选：C．z。

专题09期中选择填空必刷（压轴15考点51题）一．分式的基本性质（共1小题）1．若＝2，则＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．二．分式的加减法（共1小题）2．自然数a，b，c，d满足＝1，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：＝1，只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，即：a＝b＝c＝d＝2；将a、b、c、d结果代入＝．故选：D．三．分式的化简求值（共1小题）3．若＝＝，则＝或﹣5．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵＝，∴ac+a2＝b2+bc，∴若a﹣b≠0，那么﹣c＝a+b，∴原式＝＝＝；∵当a＝b＝c时，已知条件是成立的，∴原式＝＝﹣5．故答案是或﹣5．四．分式方程的解（共5小题）4．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（）A．1B．3C．4D．6【答案】C【解答】解：关于x的分式方程解为x＝2a﹣1，∵x解为正数，∴2a﹣1＞0，∴a＞，关于y的不等式组解为，∵y恰有三个整数解，∴0＜≤1，∴﹣1＜a≤3，分式方程中，x≠3，∴2a﹣1≠3，∴a≠2，综上所述：＜a≤3，∴满足条件的整数a为：1、3，则所有满足条件的整数a的和是4．故选：C．5．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m≤5且m≠﹣3B．m≥5且m≠﹣3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3【答案】C【解答】解：原分式方程可化为：﹣2＝，去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，解得x＝，∵分式方程解是非负数，∴≥0，且≠1，∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，故选：C．6．若关于x的分式方程无解，则m的值为（）A．﹣3或﹣B．﹣或﹣C．﹣3或﹣或﹣D．﹣3或﹣【答案】C【解答】解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3，原分式方程可化为：＝1﹣，去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2），整理得（3+m）x＝﹣7，∵分式方程无解，∴3+m＝0，∴m＝﹣3，把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7，得m＝﹣或m＝﹣，综上所述：m的值为m＝﹣或m＝﹣或m＝﹣3，故选：C．7．若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（）A．5B．4C．3D．2【答案】C【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，∴﹣1≤x＜，∵不等式组有解且至多3个整数解，∴﹣1＜≤2，∴﹣3＜m≤6，分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1），∴x＝，∵x﹣1≠0，∴x≠1，∴≠1，∴m≠5，∵方程有整数解，∴m﹣2＝±1，±3，解得：m＝3，1，5，﹣1，∵m≠5，﹣3＜m≤6，∴m＝3，1，﹣1，故选：C．8．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：方程的解为x＝，根据题意，得，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．∵不等式的解集为﹣5≤x＜，且只有3个整数解，∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，∴a＝﹣3，﹣1．∵﹣3﹣1＝﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4故答案为：﹣4．五．分式方程的增根（共1小题）9．若关于x的分式方程＝有增根，则实数m的值是5．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：3x+2＝m，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：3+2＝m，解得：m＝5，故答案为：5．六．三角形中位线定理（共2小题）10．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有4005个三角形，则n的值是（）A．1002B．1001C．1000D．999【答案】A【解答】解：分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1＝4×1﹣3；图②中三角形的个数为5＝4×2﹣3；图③中三角形的个数为9＝4×3﹣3；…可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．按照这个规律，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3，即4n﹣3＝4005，n＝1002，故选：A．11．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞6，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE＝6，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为3．【答案】3．【解答】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH 于J．∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，∵△DNB≌△HNC（ASA），∴BD＝CH，DN＝NH，∵BD＝EC＝6，∴EC＝CH＝6，∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，∴∠ECH＝120°，∵CJ⊥EH，∴EJ＝JH＝EC•cos30°＝3，∴EH＝2EJ＝6，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN＝EH＝3．故答案为：3．七．平行四边形的性质（共2小题）12．如图，将一个平行四边形（如图①）作如下操作：第一次，连接对边的中点（如图②），此时共有9个平行四边形；第二次，将图②中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图③），此时共有17个平行四边形；第三次，将图③中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图④），此时共有25个平行四边形……此后每一次部将左上角的平行四边形进行如上操作，第（）次操作后，共有4041个平行四边形．A．1010B．505C．705D．805【答案】B【解答】解：由n次可得（8n+1）个正方形，则：8n+1＝4041，解得n＝505；∴第505次划分后能有4041个正方形．故选：B．13．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为．【答案】．【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，过点A作AN⊥BC于点N，∴AM＝DM＝AD＝×8＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝AD＝×8＝4，∴AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠DMC＝×60°＝30°，∴∠ACD＝∠MCA+∠MCD＝30°+60°＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，在Rt△ACN中，∠ACN＝∠BCD﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，∴AN＝AC＝×4＝2，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AG，∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为4，最小值为2，∴EF的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为2﹣＝，故答案为：．八．矩形的性质（共6小题）14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（）A．2.5B．3C．2.4D．4.8【答案】C【解答】解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，∵AB＝3，AD＝4，＝AB•AD＝BD•AG，∴由勾股定理可得BD＝＝5，S△ABD即×3×4＝×5×AG，解得：AG＝，在矩形ABCD中，OA＝OD，＝OA•PE+OD•PF＝OD•AG，∵S△AOD∴PE+PF＝AG＝．故PE+PF＝＝2.4．故选：C．15．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s 的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（）A．2B．4C．4或D．2或【答案】D【解答】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS），∵AB＝10cm，AE＝6cm，∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm，∴BQ＝AP＝4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s，∴v的值为：4÷2＝2cm/s；②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS），∵AB＝10cm，AE＝6cm，∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm，∵5÷2＝2.5s，∴2.5v＝6，∴v＝．故选：D．16．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON 上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图，取AB中点E，连接OE、DE、OD，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝2，∵点E是AB的中点，∴AE＝AB＝2，在Rt△DAE中，DE＝＝＝2，在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2．故选：A．17．在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB＝°，则EF的长为（）A．2B．3C．D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形，∵∠DCF＝30°，∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CF，∵AB＝，∴CD＝AB＝，∵∠DCF＝30°，∴CF＝÷＝2，∴EF＝2．故选：A．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为（9，12）或（6，12）或（24，12）．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是2≤PD≤．【答案】2≤PD≤．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在点P1处，CP1＝BP1，当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2＝BP2，∴P1P2∥EC且P1P2＝CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°，∵P1P2∥EC，∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°，∴∠P2P1D＝90°，∴DP的长DP1最小，DP2最大，∵CD＝CP1＝DE＝2，∴DP1＝2，CE＝2，∴P1P2＝，∴DP2＝＝，故答案为：2≤PD≤．九．矩形的判定与性质（共1小题）20．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（）A．5B．4C．D．3【答案】C【解答】解：连接AP，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEA＝∠PFA＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，∵△ABC的面积＝BC•AP＝AB•AC，∴BC•AP＝AB•AC，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AP＝EF＝，∴EF的最小值为，故选：C．一十．正方形的性质（共14小题）21．青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；…由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（）A．方程思想B．分类讨论思想C．模型思想D．数形结合思想【答案】D【解答】解：将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；…由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了数形结合思想，故选：D．22．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（）A．cm2B．50cm2C．cm2D．25cm2【答案】D【解答】解：图1连接AC，∵菱形ABCD中，AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵对角线AC＝10cm，∴BC＝10cm，∴CE＝BC＝10cm，图3过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵△DCE是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ECH＝30°，∴EH＝CE＝5cm，∴△BCE的面积＝＝＝25（cm2），故选：D．23．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（）A．B．C．1D．【答案】D【解答】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，∵AH＝GH，∴AH＝HE＝GF＝EF．由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．∴BE＝EF＝GF＝FC．∵AE⊥BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠DCG＝∠FAE，∵AE∥GC，∴∠FAE＝∠GFK．∵∠GFK＝∠CFM，∴∠CFM＝∠DCG，∴MF＝MC，∵MN⊥FC，∴FN＝NC＝FC．延长BF交CD于点P，如图，∵PF∥MN，∴MN为△CFP的中位线，∴CM＝CP，同理：PF为△CGD的中位线，∴CP＝CD，∴CM＝CD，∴CM＝．解法二：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，∵AH＝GH，∴AH＝HE＝GF＝EF．由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．∴BE＝EF＝GF＝FC．∵AE⊥BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠DCG＝∠FAE，∵AE∥GC，∴∠FAE＝∠GFK．∵∠GFK＝∠CFM，∴∠CFM＝∠DCG，∴MF＝MC，设MF＝MC＝x，则AM＝5+x，DM＝5﹣x，在Rt△ADM中，由勾股定理得：52+（5﹣x）2＝（5+x）2，解得：x＝．∴CM＝．故选：D．24．如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，在凹四边形BCDP中，∵∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝45°，∴∠BPC+∠CPD＝360°﹣∠BCD﹣（∠PBC+∠PDC）＝225°，∴∠BPD＝360°﹣（∠BPC+∠CPD）＝135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD＝135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上，由图可得AP+CP≥AC，当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP，在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝1，∴AC＝＝，∵AP＝AB＝1，∴CP＝AC﹣AP＝．故选：D．25．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB的平分线交AB于点E，交AC 于点G．过点E作EF⊥BD于点F，∠EDM交AC于点M．下列结论：①AD＝（+1）AE；②四边形AEFG是菱形；③BE＝2OG；④若∠EDM＝45°，则GF＝CM．其中正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解答】解：∵DE平分∠ADB，EF⊥BD，AE⊥AD，∴AE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∴EF＝BF，设AE＝x，则BE＝x，∴AD＝AB＝AE+BE＝（+1）x＝（+1）AE，故①正确；在△AEG和△FEG中，，∴△AEG≌△FEG（SAS），∴AG＝FG，∠AEG＝∠FEG，∵AG∥EF，∴∠FEG＝∠AGE，∴∠AGE＝∠AEG，∴AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形，故②正确；由①②知，AG＝x，AB＝（+1）x，∴AO＝＝（+1）x，∴OG＝AO﹣AG＝x＝BE，故③正确；∵BD＝AC＝2OA＝（+2）x，EF＝BF＝AE＝x，∴DF＝（+1）x＝CD，∵四边形AEFG是菱形，∴∠EFG＝∠BAC＝45°，∴∠DFG＝45°＝∠DCM，∵∠EDM＝45°＝∠ODC，∴∠GDF＝∠MDC，∴△GDF≌△MDC（ASA），∴GF＝CM，故④正确．26．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于G，连结AH．以下四个结论中：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③；④△CEH的周长为12．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS）．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH+∠LAF＝90°，∴∠LHC+∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF，∴FH＜EH，∴AF＜EH，故①错误；∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°，故②正确；∵F是动点，∴FG的长度不是定值，不可能，故③错误；④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，如图2，则四边形LHCI为平行四边形，∴LI＝HC，∵HL⊥AE，CI∥HL，∴AE⊥CI，∴∠DIC+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠DIC＝∠AED，∵ED⊥AM，AD＝DM，∴EA＝EM，∴∠AED＝∠MED，∴∠DIC＝∠DEM，∴180°﹣∠DIC＝180°﹣∠DEM，∴∠CIM＝∠CEM，∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，∴△MEC≌△CIM（AAS），∵E，F，H共圆，∠HFE＝90°，∴HE为直径，∵∠HCF＝90°，∴点C在以HE为直径的圆上，∴∠FHE＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FHE，∵∠AFL＝∠HFE，AF＝HF，∴△AFL≌△FHE（ASA），∴AL＝HE，∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝12．故△CEH的周长为12，④正确．综上所述，②④正确．故选：B．27．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DF．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B+S△APB＝1+．其中正确结论的序号是（）到直线AE的距离为；④S△APDA．①②③B．①②④C．②③①D．①③④【答案】A【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项正确；②∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此选项正确；③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝＝＝，∴BF＝EF＝，∴点B到直线AE的距离为．故此选项正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP＝，又∵PB＝，∴BE＝，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝，+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣×∴S△ABP×＝+．故此选项不正确．∴正确的有①②③，故选：A．28．如图．正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是4，则AB的长为（）A．4B．2C．D．【答案】A【解答】解：过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥CD于点F，则：∠OEM＝∠OFN＝∠OFD＝90°，∵正方形ABCD，∴OA＝OD＝OC，∠ADC＝90°，∴，四边形OEDF为矩形，∴四边形OEDF为正方形，∴OE＝OF，∠EOF＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴正方形OFDE的面积等于四边形MOND的面积，∴DE2＝4，∴DE＝2（负值已舍掉）；∴AB＝AD＝2DE＝4；故选：A．29．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF ⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝2EC；②四边形PECF的周长为8；③AP⊥EF；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2．其中正确结论的序号为（）A．①②③⑤B．②③④C．②③④⑤D．②③⑤【答案】C【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∵PF⊥CD，∴PD＝PF．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠C＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PF＝EC，∴PD＝EC．∴①的结论不正确；②∵∠CDB＝∠CBD＝45°，PE⊥BC，PF⊥CD，∴△PBE和△PDF为等腰直角三角形，∴PE＝BE，PF＝DF∴四边形PECF的周长＝EC+CF+PF+PE＝EC+BE+CF+DF＝BC+CD＝4+4＝8，∴②的结论正确；③延长AP交EF于点H，延长FP交AB于点G，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°，∵PE⊥BC，PG⊥AB，∴四边形GBEP为正方形，∴PG＝PE＝BG，∠GPE＝90°，∴∠APG+∠EPH＝90°．∵FG＝BC，BC＝AB，∴FG＝AB．∴FG﹣PG＝AB﹣BG，∴AG＝PF．在△AGP和△FPE中，，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴∠APG＝∠FEP．∴∠FEP+∠HPE＝90°，∴∠PHE＝90°．∴AP⊥EF．∴③的结论正确；④连接PC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，AD＝BC，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS）．∴AP＝PC．由①知：四边形PECF为矩形，∴EF＝PC，∴AP＝EF．∴④的结论正确；⑤由④知：AP＝EF，∴当AP取最小值时，EF取得最小值，∵点P是对角线BD上一点，∴当AP⊥BD，即点P为对角线的中点时，AP的值最小，此时AP＝AB＝2，∴EF的最小值为2，∴⑤的结论正确，综上，正确结论的序号为：②③④⑤，故选：C．30．如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，AD＝1，AH＝2，∴DH＝＝，∴BF+DE最小值为．故选：C．31．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为2．其中正确结论的有①②③④．（填序号）【答案】①②③④．【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正确；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正确，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正确；∵E为对角线AC上的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4，∴DE＝AC＝2，由①知，FG＝DE，∴FG的最小值为2，即④正确，综上，①②③④正确，故答案为：①②③④．32．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上一个动点，点G 在射线CB上（不与点C重合），H是DF的中点，连接GH．若AD＝4，则GH的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，延长GH交DE于M，∵四边形CEFG是正方形，∴FG∥DE，FG＝CE，∴∠GFH＝∠CDH，∵H是DF的中点，∴DH＝FH，∵∠GHF＝∠DHM，∴△GHF≌△MHD（ASA），∴FG＝DM，GH＝MH，设正方形CEFG的边长为x，则DM＝x，CM＝4﹣x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴CG2+CM2＝GM2，∴x2+（4﹣x）2＝GM2，∴GM2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，∴GM的最小值是＝2，∴GH的最小值是．故答案为：．33．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都等于2，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为1．【答案】1．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAB＝∠OBC＝45°，∠AOB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵四边形A1OC1B1是正方形，∴∠A1OC1＝90°，∴∠A1OC1＝∠AOB＝90°，∴∠A1OC1﹣∠A1OB＝∠AOB﹣∠A1OB，∴∠BOF＝∠AOE，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴四边形EOFB的面积＝△EOB的面积+△BOF的面积＝△EOB的面积+△AOE的面积＝△AOB的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1，∴这两个正方形重叠部分的面积为1，故答案为：1．34．如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，P为CE 上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是2．【答案】见试题解答内容【解答】解：过E点作EH⊥BC于H点，根据正方形的性质可知△BEH是等腰直角三角形，BE＝BC＝2，∴EH＝2．∴△BEC的面积为×BC×EH＝．连接BP，则△BPE面积+△BPC面积＝2，即×BE×PR+×BC×PQ＝2，∴×（PR+PQ）＝2，解得PR+PQ＝2．故答案为2．一十一．旋转的性质（共7小题）35．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角线斜边上的两顶点旋转得到图2，则图2中阴影部分面积等于（）A．直角三角形的面积B．最小正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴阴影部分的面积＝较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．36．如图，在边长为的等边△ABC中，D为BC边的中点，E为直线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，连接DF，则线段DF长的最小值为（）A．2B．C．D．3【答案】B【解答】解：连接BF，如图：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，∴∠ECF＝60°，CE＝CF，∴∠ACB＝∠ECF，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠EAC＝∠FBC，∵D为BC边的中点，∴∠EAC＝∠BAC＝30°＝∠FBC，∴点F在BC下方，与BC成30°角的直线BF上，∴当DF⊥BF时，DF最小，∵BD＝BC＝2，∴DF＝BD＝，故选：B．37．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2B．2C．3D．【答案】C【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，∴∠GHF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，∴∠B＝∠GHF＝90°，由旋转得：EF＝FG，∠EFG＝90°，∴∠EFB+∠GFH＝90°，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF＝∠GFH，∴△EBF≌△FHG（AAS），∴BF＝GH＝1，∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，∴DG的最小值为3，故选：C．38．如图，点P是在正△ABC内一点．PA＝3，PB＝4，PC＝5，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP'，连结．P'P，P'C，下列结论中正确的是（）①△AP'C可以由△APB绕点A逆时针旋转60°得到；②线段PP'＝3；③四边形APCP'的面积为6+3；④S△APB+S△BPC＝6+4．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP'，∴AP＝AP′，∠PAP′＝60°，∴△AP'C可以由△APB绕点A逆时针旋转60°得到，所以①正确；∴△APP′为等边三角形，∴∠AP′P＝60°，PP′＝PA＝AP′＝3，所以②正确；∵△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C，∴CP′＝BP＝4，在△PP′C中，∵PP′＝3，CP′＝4，PC＝5，∴PP′2+CP′2＝CP2，∴△PP′C为直角三角形，∠CP′P＝90°，+S△PP′C，∵四边形APCP'的面积＝S△APP′∴四边形APCP'的面积＝×32+×3×4＝+6，所以③错误；过A点作AH⊥CP′于H点，如图，∵∠AP′C＝∠AP′P+∠CP′P＝60°+90°＝150°，∴∠AP′H＝30°，∴AH＝AP′＝，∴P′H＝AH＝，∴AC2＝AH2+CH2＝（）2+（4+）2＝25+12，＝AC2＝（25+12）＝+9，∴S△ABC＝AH•CP′＝××4＝3，∵S△ACP′＝四边形APCP'的面积﹣S△ACP′＝+6﹣3＝+3，∴S△APC+S△BPC＝S△ABC﹣S△APC＝+9﹣（+3）＝4+6，所以④正确．∴S△APB故选：B．39．如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3，以AC为边向上作等边△ACD，连接DB，当∠ABC＝120°时，BD最大，最大值为4．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，以点D为中心，将△BCD按顺时针旋转，使得DC与DA重合，得到△B'AD，连接BB'，∴DB'＝BD，AD＝CD，AB'＝BC＝1，∠BDC＝∠B'DA，∴∠ADC＝∠B'DB，∵△ACD为等边三角形，∴∠B'DB＝60°，∴△B'DB为等边三角形，∴BD＝BB'，在△ABB'中，AB＝3，AB'＝BC＝1，∴BB'＜3+1＝4，∴当A、B、B'三点共线时，∠ABC＝120°，BB'最大，最大值为4，即当∠ABC＝120°时，BD最大，最大值为4，故答案为：120°；4．40．如图，在矩形ABCD中、AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为旋转中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，，∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝5，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°＝×＝．根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为．故答案为：．41．如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为16．【答案】16．【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝8，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∵AD⊥A1B，∴AD＝AB＝4，∴S△A1BA＝×8×4＝16，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝16，故答案为：16．一十二．中心对称（共1小题）42．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形B．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形【答案】A【解答】解：画图如下，，由图可知最后会与原有矩形重合，∴四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，故选：A．一十三．频数（率）分布表（共1小题）43．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（）抽取件数（件）501001502005008001000合格频数4898144193489784981A．12B．24C．1188D．1176【答案】B【解答】解：1200×（1﹣）＝27，27比较接近24，故选：B．一十四．扇形统计图（共2小题）44．某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）．选修课A B C D E F人数4060100下列说法不正确的是（）A．这次被调查的学生人数为400人B．E对应扇形的圆心角为80°C．喜欢选修课F的人数为72人D．喜欢选修课A的人数最少【答案】B【解答】解：60÷15%＝400人，因此选项A正确，C对应的人数为400×12%＝48人，F对应的人数为400×18%＝72人，E对应的人数为400﹣40﹣60﹣100﹣48﹣72＝80人，因此C、D都正确；360°×＝72°，因此B是错误的，故选：B．45．如图所示是小刚一天中的作息时间分配的扇形统计图，如果小刚希望把自己每天的阅读时间调整为2.5小时，那么他的阅读时间需增加（）A．48分钟B．60分钟C．90分钟D．105分钟【答案】C【解答】解：24×＝1小时，2.5﹣1＝1.5小时＝90分钟，故选：C．一十五．利用频率估计概率（共6小题）46．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条B．1200条C．2200条D．3000条【答案】B【解答】解：30÷2.5%＝1200条故选：B．47．下列说法正确的是（）A．事件“在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”是确定事件B．如果一组数据为4、a、5、3、8，其平均数为a，那么这组数据的方差为C．事件“若△ABC的面积是12，则它的一边长a与这边上的高h的函数关系式为”是随机事件D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球符合如图所示的“用频率估计概率”的实验得出的频率分布折线图（如图）【答案】D【解答】解：A、错误．事件“在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”是随机事件．B、错误，由题意（4+a+5+3+8）＝a，解得a＝5，方差＝[（4﹣5）2+0+0+（5﹣3）2+（8﹣5）2]＝．C、错误．事件“若△ABC的面积是12，则它的一边长a与这边上的高h的函数关系式为”是不可能事件，因为a＝．D、正确．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是，符合题意．故选：D．48．在一个不透明的塑料袋中装有红色球、白色球共40个，除颜色外其他都相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在20%左右，则塑料袋中红色球可能有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解答】解：由题意知，塑料袋中红色球可能有40×20%＝8（个），故选：C．49．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷的次数501002003005001000200030005000正面朝上的次数2854106158264527105615872650正面朝上的频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的；②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在0.53左右摆动；③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为0.53．其中正确的推断有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【解答】解：①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的，正确；②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在0.53左右摆动，正确；③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为0.53，正确．故选：D ．50．某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：试验的麦粒数n 100200500100020005000发芽的粒数m 9318847395419064748发芽的频率0.930.940.9460.9540.9530.9496则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（）（结果精确到0.01）A ．0.93B ．0.94C ．0.95D ．0.96【答案】C【解答】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，故选：C ．51．一个不透明的口袋中装有n 个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入3个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n 的值为（）A ．27B ．30C ．33D ．36【答案】A【解答】解：由题意知，袋中球的总个数约为3÷10%＝30（个），所以袋中白球的个数n＝30﹣3＝27，故选：A．。

2021年八下期中考试金牌压轴题训练（一）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、单选题1．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n 的代数式表示）（）．A B C D2．如图，点A是y正半轴上一点，点B是x负半轴上一点，3AB=，点C（在B的右边）BC=，点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点在x轴上，且5E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（）A．（0，2）B．（0，2.4）C．（0，2.5）D．（0，1.8）3．如图，在△ABC中，△ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（）A ．12B ．4+C ．6D ．8+二、填空题4．已知|2||1|9x x ++-=x y +的最小值为__．5．如图，Rt △ABC 中，△BAC ＝90°，分别以△ABC 的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD 、△ACE 、△BCF ，若图中阴影部分的面积S 1＝6.5，S 2＝3.5，S 3＝5.5，则S 4＝_____．6．如图，矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，BC ＝6，DE 平分△ADC 交BC 于点E ，G 为AB 上一动点，H 、F 是AD 边上的两动点（点F 在点H 的右边），连接GH 、EF ，若△AGH ＝△FED ＝α，将△AGH 沿GH 翻折得到△A'GH ，若GA'的延长线恰好经过点F ，且GF 的长度为5，连接CF 、CA'，则△A'CF 的面积S △A'CF ＝_____．三、解答题7．阅读材料：一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如(231+=+其思考过程如下：设()2a m +=+（其中ab m n ，，，均为正整数）则有222a m n =++，△222a m n =+，2.b mn =请你解决问题：（1）当,,,a b m n 均为正整数时，若()2a m +=+，用含m n ，的式子分别表示a ，b 得：a =_____，b =____．（2）利用所探索的结论，找一组正整,,,a b m n 填空：=(2________+；（3）若()2a m +=+，且,,,ab m n 均为正整数，求a 的值．8．定义：若两个有公共底边的等腰三角形的顶角互补，且两个三角形在公共底边的两侧．则称这两个等腰三角形为“相关等腰三第形”．如图1，,AB AC DB DC ==且180A D +=︒∠∠，则ABC 与BCD △是“相关等腰三角形”概念理解（1）如图2，四边形ABCD 是正方形，则图中有 对“相关等腰三第形”．（2）如图3，,,30,AB AD BC CD ABD AB BC ==∠=︒⊥，试说明，ABD △与BCD △是“相关等腰三角形”探究应用（3）在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点,A C 的坐标分别为(5,0),(0,4)． △如图4，点E 在边OC 上，点F 在边BC 上，EFO △与AEO △是“相关等腰三第形”，求点,E F 的坐标△如图5，点M 是x 轴正半轴上的动点，点P 是平面直角坐标系内一点，PMO △与CPO △是“相关等腰三角形”，直线CP 与直线AB 交于点N ，当OM AN 时，请直接写出点M 的坐标：9．综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和FFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，将矩形FFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B 重合时停止，在此过程中开展探究活动．操作发现：（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是．（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN 时，如图3所示，四边形OMRN为菱形，请你证明这个结论．实践探究：（3）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化，若矩形纸片的长为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角△AOE为度时，四边形QMRN的面积最大，最大面积是．。

人教版八年级下册压轴题训练（含答案）压轴题训练01一．解答题（共3小题）1．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），把A（0，3）代入得：3＝3a，a＝1，∴抛物线的解析式；y＝x2﹣4x+3；（2）如图2，∵△AOE的面积是定值，所以当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y＝x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S四边形AOPE＝S△AOE+S△POE，＝×3×3+PG?AE，＝+×3×（﹣m2+5m﹣3），＝﹣+，＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，S有最大值是；（3）分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y 轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，如图3，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：x＝或（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍）P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．压轴题训练04一．解答题（共1小题）1．如图，已知直线l的解析式为y＝x﹣1，抛物线y＝ax2+bx+2 经过点A（m，0），B（2，0），D（1，）三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形P AFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．压轴题训练02参考答案与试题解析一．解答题（共1小题）1．如图，已知直线l的解析式为y＝x﹣1，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m，0），B（2，0），D（1，）三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形P AFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．【分析】（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式，再根据A （m，0）在抛物线上，得到0＝﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，从而得到A点的坐标；（2）根据四边形P AFB的面积S＝AB?PF，可得S＝﹣（x+2）2+12，根据函数的最值可得S的最大值是12，进一步得到点P的坐标为；（3）根据待定系数法得到PB所在直线的解析式为y＝﹣x+1，设Q（a，a﹣1）是y ＝x﹣1上的一点，则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣a），将（a，1﹣a）代入y ＝﹣x+1显然成立，依此即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点B（2，0），D（1，），∴，解得a＝﹣，b＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，∵A（m，0）在抛物线上，∴0＝﹣m2﹣m+2，解得：m1＝﹣4，m2＝2（舍去），∴A点的坐标为（﹣4，0）．如图所示：（2）∵直线l的解析式为y＝x﹣1，∴S＝AB?PF＝×6?PF＝3（﹣x2﹣x+2+1﹣x）＝﹣x2﹣3x+9＝﹣（x+2）2+12，其中﹣4＜x＜0，∴S的最大值是12，此时点P的坐标为（﹣2，2）；（3）∵直线PB经过点P（﹣2，2），B（2，0），∴PB所在直线的解析式为y＝﹣x+1，设Q（a，a﹣1）是y＝x﹣1上的一点，则Q点关于x轴的对称点为（a，1﹣a），将（a，1﹣a）代入y＝﹣x+1显然成立，∴直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，函数的最值问题，四边形的面积求法，以及关于x 轴的对称点的坐标特征．压轴题训练03姓名：班级；学号：一．解答题（共3小题）1．已知平面直角坐标系xOy（如图），双曲线y＝（k≠0）与直线y＝x+2都经过点A（2，m）．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B（n，2），过点B的直线BC与直线y ＝x+2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）若（2）的条件下，设直线y＝x+2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．2．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC 所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k ＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x＝﹣2，顶点为点C，点B关于直线x＝﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD 的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA＝∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共3小题）1．已知平面直角坐标系xOy（如图），双曲线y＝（k≠0）与直线y＝x+2都经过点A（2，m）．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B（n，2），过点B的直线BC与直线y ＝x+2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）若（2）的条件下，设直线y＝x+2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝x+2都经过点A（2，m），∴m＝2+2＝4，则A（2，4），∵双曲线y＝（k≠0）经过点A，∴k＝2×4＝8；（2）∵双曲线经过点B（n，2），∴2n＝8，解得n＝4，∴B（4，2），由题意可设直线BC解析式为y＝x+b，把B点坐标代入可得2＝4+b，解得b＝﹣2，∴直线BC解析式为y＝x﹣2，∴C（0，﹣2），∴AC＝＝＝2，BC＝＝＝4，AB＝＝＝2，∴BC2+AB2＝AC2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴S△ABC＝AB?BC＝×2×4＝8；（3）∵直线y＝x+2与y轴交于点D，∴D（0，2），∴AD＝＝2，且AC＝2如图所示，∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ACE，若∠ACD＝∠EAC，则AE∥CD，四边形AECD为平行四边形，此时△ADC≌△CEA，不满足条件，∴∠ACD＝∠AEC，∴△ACD∽△CAE，∴＝，即＝，解得CE＝10，∵E点在直线BC上，∴可设E（x，x﹣2）（x＞0），又∵C（0，﹣2），∴CE＝＝x，∴x＝10，解得x＝10，∴E点坐标为（10，8）．2．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC 所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k ＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝4；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接OE，如，图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k＝2×2＝4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，＝，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠BAC，∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD ＝x，BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即＝，∴B′F＝，∴OB′＝B′F+OF＝B′F+AE＝+＝，∴CB′＝OC﹣OB′＝5﹣，在Rt△B′CD中，CB′＝5﹣，CD＝x，B′D＝BD＝3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，解这个方程得，x1＝1.5（舍去），x2＝0.96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．3．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x＝﹣2，顶点为点C，点B关于直线x＝﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD 的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA＝∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x＝2，∴二次函数图象经过（2，0），设二次函数解析式为y＝a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6＝﹣12a，即a＝﹣，∴二次函数解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+2）2+8，则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如图1所示，由题意得：AB＝6，BC＝CD＝2，BD＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴∠DCB＝90°，∵直线AB的解析式为y＝x+6，直线DC解析式为y＝x+10，∴DC∥AB，∴四边形ABCD为直角梯形，若S梯形ABCD＝2S△ADE，即×2×（2+6）＝2××2×AE，解得：AE＝4；（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA＝∠BAC，直线CP与AB交于点G，可得GA＝GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y＝x+6，设G （x，x+6），∴＝，两边平方得：2x2+24x+72＝2x2+8，移项合并得：24x＝﹣64，解得：x＝﹣，经检验是原方程的根且符合题意，∴G（﹣，），设直线CG解析式为y＝kx+b，把C与G坐标代入得：，解得：，∴直线CG解析式为y＝7x+22，联立得：，解得：或（经检验不合题意，舍去），∴P坐标为（﹣16，﹣90）；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，此时P与D重合，即P（﹣4，6），综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．。