八年级下数学压轴题与答案

八年级下册期末压轴题一．填空题（共1小题）1．（2018春•西城区期末）在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形﹣﹣同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．（1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整：①如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEC，四边形BCFG，四边形ABPQ都是正方形．延长QA交DE于点M，过点C作CN∥AM交DE的延长线于点N，可得四边形AMNC的形状是；②在图1中利用“等积变形”可得S正方形ADEC＝；③如图2，将图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形A′M′N′C′，即四边形QACC′；④设CC′交AB于点T，延长CC′交QP于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得S四边形QACC'＝，则有S正方形ADEC＝；⑤同理可证S正方形BCFG＝S四边形HTBP，因此得到S正方形ADEC+S正方形BCFG＝S正方形ABPQ，进而证明了勾股定理．（2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整：图1中△≌△，则有＝AB＝AQ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形QACC′．二．解答题（共42小题）2．（2020春•海淀区校级期末）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，且点B的对应点为D，点N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB的中点时．①依据题意补全图1；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM，若AB＝4，写出一个BN的值，使得EM＝EA成立，并证明．3．（2020春•海淀区校级期末）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．（1）如图，若OA＝1，OP＝，依题意补全图形；（2）若OP＝，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围．（要写过程）4．（2019•都江堰市模拟）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M 向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M 始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．5．（2020春•海淀区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．（1）当DM＝2时，依题意补全图1；（2）在（1）的条件下，求线段EF的长；（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD 的数量关系．6．（2019春•朝阳区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M 的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．（1）在点P₁（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（3，3）中，矩形ABCD的和谐点是；（2）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t的取值范围；（3）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是矩形ABCD的和谐点，且EF，直接写出b的取值范围．7．（2017春•昌平区期末）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．①如果AD＝4，BD＝9，那么CD＝；②如果以CD的长为边长作一个正方形，其面积为S1，以BD，AD的长为邻边长作一个矩形，其面积为S2，则S1S2（填“＞”、“＝”或“＜”）．（2）基于上述思考，小泽进行了如下探究：①如图2，点C在线段AB上，正方形FGBC，ACDE和EDMN，其面积比为1：4：4，连接AF，AM，求证AF⊥AM；②如图3，点C在线段AB上，点D是线段CF的黄金分割点，正方形ACDE和矩形CBGF的面积相等，连接AF交ED于点M，连接BF交ED延长线于点N，当CF＝a时，直接写出线段MN的长为．8．（2018春•浉河区期末）如图1，点A（a，b）在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．（1）在点P（1，2），Q（2，﹣2），N（，﹣1）中，是“垂点”的点为；（2）点M（﹣4，m）是第三象限的“垂点”，直接写出m的值；（3）如果“垂点矩形”的面积是，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标；（4）如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG 的边上存在“垂点”时，GE的最小值为．9．（2018春•丰台区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AD交对角线AC于点E，连接BE，取BE的中点F，连接DF．（1）请你根据题意补全图形；（2）请用等式表示线段DF、AE、BC之间的数量关系，并证明．10．（2018春•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，M为直线l：x＝a上一点，N是直线l外一点，且直线MN与x轴不平行，若MN为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为直线l的“伴随矩形”．如图为直线l的“伴随矩形”的示意图．（1）已知点A在直线l：x＝2上，点B的坐标为（3，﹣2）①若点A的纵坐标为0，则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是；②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形，求直线AB的表达；（2）点P在直线l：x＝m上，且点P的纵坐标为4，若在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形，直接写出m的取值范围．11．（2019春•海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+7与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）（1）求k，m的值；（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣2交于点M，过点P 作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+7交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．12．（2019春•海淀区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得AE＝OA，连按OC，过点B作BD与OC平行，并使∠DBC＝∠OCB，且BD＝OC，连按DE．（1）如图一，当点O在Rt△ABC内部时，①按题意补全图形；②猜想DE与BC的数量关系，并证明．（2）若AB＝AC（如图二），且∠OCB＝30°，∠OBC＝15°，求∠AED的大小．13．（2017春•西城区期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B，C两点的坐标分别为B（4，0），C（4，4），CD⊥y轴于点D，直线l经过点D．（1）直接写出点D的坐标；（2）作CE⊥直线l于点E，将直线CE绕点C逆时针旋转45°，交直线l于点F，连接BF．①依题意补全图形；②通过观察、测量，同学们得到了关于直线BF与直线l的位置关系的猜想，请写出你的猜想；③通过思考、讨论，同学们形成了证明该猜想的几种思路：思路1：作CM⊥CF，交直线l于点M，可证△CBF≌△CDM，进而可以得出∠CFB＝45°，从而证明结论．思路2：作BN⊥CE，交直线CE于点N，可证△BCN≌△CDE，进而证明四边形BFEN 为矩形，从而证明结论．…请你参考上面的思路完成证明过程．（一种方法即可）解：（1）点D的坐标为，（2）①补全图形，②直线BF与直线l的位置关系是，③证明：14．（2017春•西城区期末）如图，在由边长都为1个单位长度的小正方形组成的6×6正方形网格中，点A，B，P都在格点上请画出以AB为边的格点四边形（四个顶点都在格点的四边形），要求同时满足以下条件：条件1：点P到四边形的两个顶点的距离相等；条件2：点P在四边形的内部或其边上；条件3：四边形至少一组对边平行．（1）在图①中画出符合条件的一个▱ABCD，使点P在所画四边形的内部；（2）在图②中画出符合条件的一个四边形ABCD，使点P在所画四边形的边上；（3）在图③中画出符合条件的一个四边形ABCD，使∠D＝90°，且∠A≠90°．15．（2017春•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，动点A（a，0）在x轴的正半轴上，定点B（m，n）在第一象限内（m＜2≤a），在△OAB外作正方形ABCD和正方形OBEF，连接FD，点M为线段FD的中点，作BB1⊥x轴于点B1，作FF1⊥x轴于点F1．（1）填空：由≌△，及B（m，n）可得点F的坐标为，同理可得点D的坐标为；（说明：点F，点D的坐标用含m，n，a的式子表示）（2）直接利用（1）的结论解决下列问题：①当点A在x轴的正半轴上指定范围内运动时，点M总落在一个函数图象上，求该函数的解析式（不必写出自变量x的取值范围）；②当点A在x轴的正半轴上运动且满足2≤a≤8时，求点M所经过的路径的长．16．（2019春•西城区期末）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且CE＜BC，过点C作FC⊥CE，且CF＝CE．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM 交AE于点N．（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．求证：①∠BAE＝∠DAF；②DN⊥AE；（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求∠EAC与∠ADN 的和的度数．17．（2019春•西城区期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝2cm，E，F分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP ＝xcm，PE＝y1cm，PF＝y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数y1的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1与x的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y1/cm 1.120.50.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1的图象；（2）画函数y2的图象，在同一坐标系中，画出函数y2的图象；（3）根据画出的函数y1的图象、函数y2的图象，解决问题①函数y1的最小值是；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是；③若PE＝PC，AP的长约为cm18．（2019春•西城区期末）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”．对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A（1，0），点C（2，1），①下列四个点P1（0，1），P2（2，2），P3（﹣，0），P4（﹣，﹣）中，与点A是“中心轴对称”的是；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围；（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G（﹣2，2），H（2，2），J（2，﹣2），K （﹣2，﹣2），一次函数y＝x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN 与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．19．（2019春•大兴区期末）有这样一个问题：探究函数y＝+1的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是；（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣112345…y…393m…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．20．（2019春•大兴区期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，A，B是直线l上的两点，点B关于AD的对称点为M，连接CM交AD于F点．（1）若∠ABC＝90°，如图1，①依题意补全图形；②判断MF与FC的数量关系是；（2）如图2，当∠ABC＝135°时，AM，CD的延长线相交于点E，取ME的中点H，连结HF．用等式表示线段CE与AF的数量关系，并证明．21．（2019春•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，记y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n （m≠0，n≠0）的图象为图形G，已知图形G与y轴交于点A，当x＝m时，函数y＝a （x﹣m）2+n有最小（或最大）值n，点B的坐标为（m，n），点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，且对角线AC，BD的交点与原点O重合，则称四边形ABCD为图形G的伴随四边形，直线AB为图形G的伴随直线．（1）如图1，若函数y＝（x﹣2）2+1的图象记为图形G，求图形G的伴随直线的表达式；（2）如图2，若图形G的伴随直线的表达式是y＝x﹣3，且伴随四边形的面积为12，求y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n（m＞0，n＜0）的表达式；（3）如图3，若图形G的伴随直线是y＝﹣2x+4，且伴随四边形ABCD是矩形，求点B 的坐标．22．（2019春•石景山区期末）正方形ABCD中，点P是直线AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE．（1）如图1，若点P在线段AC上，①直接写出∠ACE的度数为°；②求证：P A2+PC2＝2PB2；（2）如图2，若点P在CA的延长线上，P A＝1，PB＝，①依题意补全图2；②直接写出线段AC的长度为．23．（2020春•浦东新区期末）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式；（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．24．（2016春•无锡期末）已知：如图1，在平面直角坐标中，A（12，0），B（6，6），点C 为线段AB的中点，点D与原点O关于点C对称．（1）利用直尺和圆规在图1中作出点D的位置（保留作图痕迹），判断四边形OBDA的形状，并说明理由；（2）在图1中，动点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到达点A 时停止；同时，动点F从点O出发，以每秒a个单位的速度沿OB→BD→DA运动，到达点A时停止．设运动的时间为t（秒）．①当t＝4时，直线EF恰好平分四边形OBDA的面积，求a的值；②当t＝5时，CE＝CF，请直接写出a的值．25．（2019春•东城区期末）有这样一个问题：探究函数y＝﹣3的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对y＝﹣3的图象与性质进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝3中自变量x的取值范围是（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣102345…y…﹣﹣﹣4﹣5﹣7m﹣1﹣2﹣﹣…求m的值；（1）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与直线x＝1越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．26．（2019春•东城区期末）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD 外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；（3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数．（直接写出结果即可）27．（2019春•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形．当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点．（1）当原点正方形边长为4时，①在点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（3，2）中，原点正方形的友好点是；②点P在直线y＝x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围．28．（2019春•昌平区期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，点P从顶点B出发，沿B→C→A以每秒1cm的速度匀速运动到A点，设运动时间为x秒，BP长度为ycm．某学习小组对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是他们的探究过程，请补充完整：（1）通过取点，画图，测量，得到了x（秒）与y（cm）的几组对应值：x01234567891011y0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 4.14 4.5 5.0要求：补全表格中相关数值（保留一位小数）；（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当x约为时，BP＝CP．29．（2019春•昌平区期末）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是射线DA上一点，连接EB，以点E为圆心EB长为半径画弧，交射线CB于点F，作射线FE与CD延长线交于点G．（1）如图1，若DE＝5，则∠DEG＝°；（2）若∠BEF＝60°，请在图2中补全图形，并求EG的长；（3）若以E，F，B，D为顶点的四边形是平行四边形，此时EG的长为．30．（2019春•昌平区期末）在平面直角坐标系中，过一点分别作x轴，y轴的垂线，如果由这点、原点及两个垂足为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点是平面直角坐标系中的“巧点”．例如，图1中过点P（4，4）分別作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是巧点．请根据以上材料回答下列问题：（1）已知点C（1，3），D（﹣4，﹣4），E（5，﹣），其中是平面直角坐标系中的巧点的是；（2）已知巧点M（m，10）（m＞0）在双曲线y＝（k为常数）上，求m，k的值；（3）已知点N为巧点，且在直线y＝x+3上，求所有满足条件的N点坐标．31．（2019春•延庆区期末）已知：在正方形ABCD中，点H在对角线BD上运动（不与B，D重合）连接AH，过H点作HP⊥AH于H交直线CD于点P，作HQ⊥BD于H交直线CD于点Q．（1）当点H在对角线BD上运动到图1位置时，则CQ与PD的数量关系是．（2）当H点运动到图2所示位置时①依据题意补全图形．②上述结论还成立吗？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．（3）若正方形边长为，∠PHD＝30°，直接写出PC长．32．（2019春•延庆区期末）对于一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数y[m]＝为它的m分函数（其中m为常数）．例如，y＝3x+2的4分函数为：当x≤4时，y[4]＝3x+2；当x＞4时，y[4]＝﹣3x﹣2．（1）如果y＝x+1的﹣1分函数为y[﹣1]，①当x＝4时，y[﹣1]；当y[﹣1]＝﹣3时，x＝．②求双曲线y＝与y[﹣1]的图象的交点坐标；（2）如果y＝﹣x+2的0分函数为y[0]，正比例函数y＝kx（k≠0）与y＝﹣x+2的0分函数y[0]的图象无交点时，直接写出k的取值范围．33．（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．34．（2017春•西城区校级期末）某学习小组有a个男生，b个女生，其中a和b同时满足以下三个条件：①男生人数不少于女生人数；②a，b是一元二次方程mx2﹣（3m+8）x+24＝0的两个实数根；③男生和女生的总人数不超过10人．请根据以上信息，回答下面两个问题：（1）求整数m的值？（2）若T＝ma+b，求T的所有可能的值？35．（2017春•西城区校级期末）设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：如果变量x的取值范围为p≤x≤q，则把实数L＝q﹣p叫做变量x的取值宽度．如果反比例函数y＝在p ≤x≤q的函数值y的取值宽度与自变量x的取值宽度相等，则称此函数在p≤x≤q上具有“等宽性”．例如：函数y＝的函数值y的取值范围为≤y≤2，故而函数y＝具有“等宽性”．（1）下列函数哪些函数具有“等宽性”：（填序号）①y＝（1≤x≤2）；②y＝﹣（﹣2≤x≤﹣1）；③y＝﹣（1≤x≤6）；④y＝﹣（﹣4≤x≤﹣1）；（2）已知函数y＝﹣在a≤x≤﹣1上具有“等宽性”，求a的值；（3）已知直线y＝kx+b与函数y＝﹣交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且函数y＝﹣在x1≤x≤x2上具有“等宽性”，则k＝．36．（2018春•海淀区期末）在正方形ABCD中，连接BD，P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接AP，AP的垂直平分线交线段BD于点E，连接AE，PE．提出问题：当点P运动时，∠APE的度数，DE与CP的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点P的两个特殊位置：①当点P与点B重合时，如图1﹣1所示，∠APE＝°，用等式表示线段DE与CP之间的数量关系：；②当BP＝BC时，如图1﹣2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图2﹣1，2﹣2，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图2﹣1和图2﹣2中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由．37．（2018春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（O，2），B（4，2），C（4，0）．P 为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P 为矩形ABCO的矩宽点．例如：下图中的为矩形ABCO的一个矩宽点．（1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是；（2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值；（3）若一次函数y＝k（x﹣2）﹣1（k≠0）的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是．38．（2019春•曲阜市期末）如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别延长DC，CF至点G，H，使FH＝CG，连接AG，DH交于点P．（1）依题意补全图1；（2）猜想AG和DH的数量关系并证明；（3）若∠DAB＝70°，是否存在点G，使得△ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由．39．（2018春•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于与坐标轴不平行的直线l和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，若PM+PN≤4，则称P为直线l的近距点，特别地，直线上l所有的点都是直线l的近距点．已知点A（﹣，0），B（0，2），C（﹣2，2）．（1）当直线l的表达式为y＝x时，①在点A，B，C中，直线l的近距点是；②若以OA为边的矩形OAEF上所有的点都是直线l的近距点，求点E的纵坐标n的取值范围；（2）当直线l的表达式为y＝kx时，若点C是直线l的近距点，直接写出k的取值范围．40．（2018春•昌平区期末）如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）OP＝，OQ＝；（用含t的代数式表示）（2）当t＝1时，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处．①求点D的坐标；②如果直线y＝kx+b与直线AD平行，那么当直线y＝kx+b与四边形P ABD有交点时，求b的取值范围．41．（2018春•昌平区期末）在四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE，AF．（1）如图1，若四边形ABCD的面积为5，则四边形AECF的面积为；（2）如图2，延长AE至G，使EG＝AE，延长AF至H，使FH＝AF，连接BG、GH、HD、DB．求证：四边形BGHD是平行四边形；（3）如图3，对角线AC、BD相交于点M，AE与BD交于点P，AF与BD交于点N．直接写出BP、PM、MN、ND的数量关系．42．（2018春•西城区期末）在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC 边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC＝°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB＝4，AH＝2，求NE的长．43．（2018春•西城区期末）在△ABC中，M是BC边的中点．（1）如图1，BD，CE分别是△ABC的两条高，连接MD，ME，则MD与ME的数量关系是；若∠A＝70°，则∠DME＝°；（2）如图2，点D，E在∠BAC的外部，△ABD和△ACE分别是以AB，AC为斜边的直角三角形，且∠BAD＝∠CAE＝30°，连接MD，ME．①判断（1）中MD与ME的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；②求∠DME的度数；（3）如图3，点D，E在∠BAC的内部，△ABD和△ACE分别是以AB，AC为斜边的直角三角形，且∠BAD＝∠CAE＝α，连接MD，ME．直接写出∠DME的度数（用含α的式子表示）．八年级下册期末压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．（2018春•西城区期末）在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形﹣﹣同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．（1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整：①如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEC，四边形BCFG，四边形ABPQ都是正方形．延长QA交DE于点M，过点C作CN∥AM交DE的延长线于点N，可得四边形AMNC的形状是平行四边形；②在图1中利用“等积变形”可得S正方形ADEC＝S四边形AMNC；③如图2，将图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形A′M′N′C′，即四边形QACC′；④设CC′交AB于点T，延长CC′交QP于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得S四边形QACC'＝S四边形QATH，则有S正方形ADEC＝S四边形QATH；⑤同理可证S正方形BCFG＝S四边形HTBP，因此得到S正方形ADEC+S正方形BCFG＝S正方形ABPQ，进而证明了勾股定理．（2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整：图1中△ADM≌△ABC，则有AM＝AB＝AQ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形QACC′．【分析】根据平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等高模型即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ACED是正方形，∴AC∥MN，∵AM∥CN，∴四边形AMNC是平行四边形，∴S正方形ADEC＝S平行四边形AMNC，∵AD＝AC，∠D＝∠ACB，∠DAC＝∠MAB，∴∠DAM＝∠CAB，∴△ADM≌△ACB，∴AM＝AB＝AQ，∴图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形A′M′N′C′，即四边形QACC′，∴S四边形QACC′＝S四边形QATH，则有S正方形ADEC＝S四边形QATH，∴同理可证S正方形BCFG＝S四边形HTBP，因此得到S正方形ADEC+S正方形BCFG＝S正方形ABPQ；故答案为平行四边形，S四边形AMNC，S四边形QATH，S四边形QATH；（2）由（1）可知：△ADM≌△ACB，∴AM＝AB＝AQ，故答案为ADM，ACB，AM；【点评】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考创新题目．二．解答题（共42小题）2．（2020春•海淀区校级期末）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN 逆时针旋转90°得到△DPE，且点B的对应点为D，点N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB的中点时．①依据题意补全图1；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM，若AB＝4，写出一个BN的值，使得EM＝EA成立，并证。

八年级下册数学难题压轴题一、选择题（每题3分，共30分）1. 若关于x的分式方程(m)/(x - 1)+(3)/(1 - x)=1的解为正数，则m的取值范围是（）- A. m>2- B. m<2- C. m>2且m≠3- D. m<2且m≠ - 3解析：首先将分式方程(m)/(x - 1)+(3)/(1 - x)=1化简，方程变形为(m)/(x - 1)-(3)/(x - 1)=1。

两边同乘以(x - 1)得：m-3=x - 1，解得x=m - 2。

因为方程的解为正数，所以x=m - 2>0，即m>2。

又因为分母不能为0，即x-1≠0，m - 2-1≠0，m≠3。

所以m的取值范围是m>2且m≠3，答案为C。

2. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）- A. 当AB = BC时，四边形ABCD是菱形。

- B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形。

- C. 当∠ ABC = 90^∘时，四边形ABCD是矩形。

- D. 当AC = BD时，四边形ABCD是正方形。

解析：- 选项A：一组邻边相等的平行四边形是菱形，当AB = BC时，四边形ABCD 是菱形，该选项正确。

- 选项B：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，该选项正确。

- 选项C：一个角是直角的平行四边形是矩形，当∠ ABC=90^∘时，四边形ABCD是矩形，该选项正确。

- 选项D：对角线相等的平行四边形是矩形，当AC = BD时，四边形ABCD是矩形，而不是正方形，该选项错误。

答案为D。

二、填空题（每题3分，共15分）1. 化简frac{x^2-1}{x^2+2x + 1}的结果是______。

解析：先对分子分母进行因式分解，分子x^2-1=(x + 1)(x - 1)，分母x^2+2x + 1=(x + 1)^2。

所以frac{x^2-1}{x^2+2x + 1}=((x + 1)(x - 1))/((x + 1)^2)=(x - 1)/(x + 1)。

填空题压轴题【答案】145【详解】解：如图以DAB V 和FAQ △中：DA =∴()SAS DAB FAQ V V ≌，【答案】①②③④⑤⑥【详解】解：如图，过点∵四边形ABCD 是正方形，∴A C D ÐÐÐ==∴AEB EBC ÐÐ=∵FEB EBC ÐÐ=∴AEB BEF ÐÐ=5．如图，已知在△ABC中，AB 作平行四边形MCNB，连接MN【答案】24 5【详解】如图，设MN、BC交于点6．如图，在平面直角坐标系xoyAB AD为边作使2DP AP=，以,【答案】49【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB//CD∴∠E=∠DAE，又∵AE平分∠BAD，【答案】①④⑤【详解】解：∵四边形ABCD ∴AB CD =，AD BC =．设点P 到AB ，BC ，CD ，DA【答案】()453，【详解】解：从正方形的观点考虑，右下角对应的横坐标为1时，共有右下角对应的横坐标为2时，共有右下角对应的横坐标为3时，共有右下角对应的横坐标为4时，共有【答案】10 21【详解】解：设1A，2A，3A【答案】（10112-，10112）【详解】解：∵过点（1，0）作∴1A （1，2），把2y =代入y x =-得2x =-，即把2x =-代入2y x =得4y =-，即同理可得4A （4，4-），5A （32），…直线21y kx k =+-与直线(1)2y k x k =+++那么，COD ABDC S S =V 四边形【答案】22n+【详解】解：对于直线y=x+1∵A0B1∥x轴，∴B1的纵坐标为将y=1代入1122y x=+中得：∴A0B1=1=20，∵A1B1∥y轴，∴A1的横坐标为【答案】404432æöç÷èø【详解】解：∵直线1l ：112y x =-+与直线2l ：332y x =-+与y 轴交于点B ，∴AB 2\=，112BC AB ==，∵BC ⊥AB ，∴()1,3C -，∴四边形PECF 是矩形，∴PC=EF，∴PA=EF，故②正确；∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，∵∠PFC=∠BCD=90°，∴PF∥BC，∴∠DPF=45°，∵∠DFP=90°，∴△FPD 是等腰直角三角形，故①正确；在△PAB 和△PCB 中，AB CB ABP CBP BP BP ìïÐÐíïî＝＝＝ , ∴△PAB≌△PCB，∴∠BAP=∠BCP，在矩形PECF 中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，∴∠PFE=∠BAP．故④正确；∵点P 是正方形对角线BD 上任意一点，∴AD 不一定等于PD ，只有∠BAP=22.5°时，AD=PD ，故③错误，故答案为①②④．38．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，P 是矩形ABCD 内一点，沿PA 、PB 、PC 、PD 把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为_________；这个四边形周长的最小值为________.【答案】 30 26【详解】如解图①，过点P 作PE AB ^于点E ，延长EP 交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC BCD Ð=Ð=°，5CD AB ==.∴四边形EBCF 是矩形.∴EF BC =.又∵12BC =，故答案为：30，26.39．如图，在△ABC 中，Ð，90BAC Ð=°，点A 为(3P 、A 、C 为顶点的三角形和△全等，则P 点坐标为___________【答案】(6)2-，或(81)，或则90AOB AMP Ð=Ð=°，在AOB V 和V AMP 中，AOB OAB AB ÐìïÐíïî∴(AAS)AOB AMP V V ≌，∴3AM AO ==，2MP OB == ，∴此时点P 的坐标为(6)2-，；②如图，过点C 作CP AC ^，使CP AB =，则(HL)ABC CPA V V ≌．过P 作PF x ^轴于F ，过点C 作CE x ^轴于点E ，作CD y ^轴于点D ．∵90OBA OAB Ð+Ð=°，90EAC OAB Ð+Ð=°，∴OBA EAC Ð=Ð．又∵90BOA AEC Ð=Ð=°，AB AC =，∴(AAS)BOA AEC V V ≌，∴3OD CE OA ===，2AE OB ==，∴5CD OE ==．∵CD x ∥轴，∴DCA FAC Ð=Ð．∵45BCA PAC Ð=Ð=°，∴DCA BCA FAC PAC Ð-Ð=Ð-Ð，即DCB FAP Ð=Ð．又∵90CDB AFP Ð=Ð=°，CB AP =，∴(AAS)CDB AFP V V ≌，∴321PF BD OD OB ==-=-=，5AF CD ==,∴358OF OA AF =+=+=，∴此时点P 的坐标为(81)，；③如图，作CP AC ^，使CP AB =，连接BP ，则(SAS)ABC CPA V V ≌，∵90BAC PCA Ð=Ð=°，且CP AB = ，∴四边形ABPC 是矩形，∴90AB BP ABP =Ð=°， ，即90ABO PBM Ð+Ð=°，过点P 作PM y ^轴，则90BPM PBM Ð+Ð=°，∴ABO BPM Ð=Ð，在△AOB 和△BMP 中，AOB BMP ABO BPM AB BP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AOB BMP AAS V V ≌，∴3BM OA ==，2PM OB == ，∴此时点P 的坐标为(25)，；④当点P 与点B 重合时，点P 的坐标为(0)2，．综上可知，点P 的坐标为(6)2-，或(81)，或(25)，或(0)2，．。

最新北师大版八年级下册数学期末复习压轴题练习试题以及答案八年级下册数学期末压轴题1.在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．1) 证明四边形ABCD是平行四边形；2) 若AB=3cm，BC=5cm，AE=1/3 AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，使△BEP为等腰三角形？2.△XXX的XXX在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与XXX重合，且DF=EF．1) 观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；2) 将△DEF沿直线m向左平移到图（2）的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG．猜想△BCG与△XXX能否通过旋转重合？请证明你的猜想．3.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．1) 观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；2) 当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；3) 当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）4.图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．1) 操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连结AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；2) 操作：若将图1中的△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD，BE，如图3；在图3中，线段BE 与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；3) 根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？（不要求证明）之间的数量关系，并说明理由；2）证明你所得到的猜想；3）若平行四边形ABCD的周长为20且a+b+c+d=10求平行四边形ABCD的面积．5、在△ACB和△AED中，已知AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE。

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为 ，当A F AC '⊥时，AF 的长为 ．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒， 由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭； 当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为 ；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是 ．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−， 解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54， 故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为 ．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为 ．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为 ．【答案】 或 【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可 【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为 ．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是 ．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2． 【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ， 由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+， 解得52x =，52CD ∴=， 当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。

浙教版八下数学期末压轴题1 如图，梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=Rt Z, AD=21cm , BC=24cm，动点P 从点A 出发沿AD 边向D以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/sP运动时间为t.的速度运动(运动到点B时，P、Q同时停止运动).设点(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？2、如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD , / BCD=Rt /, AB=AD=10cm , BC=8cm .点P 从点A 出发，以每秒2cm的速度沿线段AB方向向点B运动，点Q从点D出发，以每秒3cm的速度沿线段DC 方向向点C运动.已知动点P、Q同时发，当点P运动到点B时，P、Q运动停止，设运动时间为t.(1 )求CD的长；(2)当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；(3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2?若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.3、如图，在梯形ABCD 中，AD // BC，/ B= 90 ° ,AD = 16cm, AB = 12cm, BC = 21cm,动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD 上以每秒1cm的速度向点D运动，点P, Q分别从点B, A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t(秒).(1 )当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形•(2)当t为何值时，以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2?(3)是否存在点卩，使厶PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由•4、如图，四边形ABCD 中，AD // BC , AD=15 , BC=25, AB=DC=10，动点P从点D 出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动。

z根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax !+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根是，那么，. 注意：它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0有两个实数根x "，x !．（1）若|x "|+|x !|=2√2，求k 的值； （2）当k 取哪些整数时，x "，x !均为整数； （3）当k 取哪些有理数时，x "，x !均为整数． 【思路点拨】（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可； （2）根据根与系数的关系可得若x "+x !=−!#为整数，可得整数k =±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k =−1时，符合题意；由两根之积可得k 应该是整数的倒数，不妨设k ="$，则方程可变形21x x ㄑa b x x -=+21ac x x =21◆思想方法◆典例分析◆知识点总结z为x !+2mx +m −2=0，即为(x +m )!=m !−m +2，再结合整数的意义即可解答． 解：（1）∵Δ=2!−4k (1−2k )=4−4k +8k !=88k !−"!k +"!9=88k −"%9!+&!>0， ∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0都有两个实数根x "，x !， ∵关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0有两个实数根x "，x !， ∴x "+x !=−!#,x "x !="'!##，分两种情况：①若两根同号，由|x "|+|x !|=2√2可得：x "+x !=2√2，或x "+x !=−2√2， 当x "+x !=2√2时，则−!#=2√2，解得k =−√!!； 当x "+x !=−2√2时，则−!#=−2√2，解得k =√!!； ②若两根异号，由|x "|+|x !|=2√2可得：(x "−x !)!=8， 即(x "+x !)!−4x "x !=8， ∴8−!#9!−4×"'!##=8，解得：k =1， 综上，k 的值为1或 ±√!!； （2）∵关于x 的一元二次方程kx !+2x +1−2k =0有两个实数根x "，x !， ∴x "+x !=−!#,x "x !="'!##，若x "，x !均为整数， 则x "+x !=−!#为整数， ∴整数k =±1,±2， 当k =±2时，x "x !="'!##不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x !+2x −1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =−1时，此时方程为−x !+2x +3=0，方程的两个根为x "=−1,x !=3，都是整数，符合题意； 综上，当k 取−1时，x "，x !均为整数； （3）显然，当k =−1时，符合题意； 当k 为有理数时，由于x "x !="'!##="#−2为整数，zxx∴k 应该是整数的倒数，不妨设k ="$ (m ≠0)，m 为整数， 则方程kx !+2x +1−2k =0即为x !+2mx +m −2=0， 配方得：(x +m )!=m !−m +2， 即x =−m ±√m !−m +2，当m =2即k ="!时，方程的两根为x "=0,x !=−4，都是整数，符合题意；当m ≠2时，m !−m +2=(m −"!)!+&%不是完全平方数，故不存在其它整数m 的值使上式成立； 综上，k =−1或"!．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax !+bx +c =0(a ≠0)有两个根x "和x !，且1<x "<2<x !<4，那么方程cx !−bx +a =0的较小根x )的范围为( ) A ．"!<x )<1 B ．−4<x )<−2C ．−"!<x )<−"%D ．−1<x )<−"!【思路点拨】由根与系数的关系得出x "+x !=−*+，x "⋅x !=,+，再设方程cx !−bx +a =0的为m ，n ，根据根与系数的关系得出m +n =−("-!+"-")，mn ="-"⋅-!，从而得出方程cx !−bx +a =0的两根为−"-"，−"-!，然后由1<x "<2<x !<4，求出−"-"，−"-!的取值范围，从而得出结论．【解题过程】解：∵方程ax !+bx +c =0(a ≠0)有两个根x "和x !， ∴x "+x !=−*+，x "⋅x !=,+，设方程cx !−bx +a =0的两根为m ，n ， 则m +n =*,，mn =+,，∵m +n =*,=−*+⋅(−+,)，mn ="-"⋅-!，∴m +n =−(x "+x !)⋅"-"⋅-!=−-"/-!-"⋅-!=−("-!+"-")，∴方程cx !−bx +a =0的两根为−"-"，−"-!，◆学霸必刷∵1<x"<2，2<x!<4，∴"!<"-"<1，"%<"-!<"!，∴−1<−"-"<−"!，−"!<−"-!<−"%，∵−"-"<−"-!，∴方程cx!−bx+a=0的较小根x)的范围为−1<x)<−"!．故选：D．2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x!+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x"、x!满足x"!+x")=4−(x!!+x!))，则实数p的所有值之和为（）A．0 B．−)%C．−1D．−0%【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x"!+2px"−3p−2=0，x"+x!=−2p，进而推出x")=3px"+2x"−2px"!，则x")+x"!=3px"+2x"−2px"!+x"!，x!)+x!!=3px!+2x!−2px!!+ x!!，即可推出(3p+2)(x"+x!)+(1−2p)(x"!+x!!)=4，然后代入x"+x!=−2p，x"!+x!!= (x"+x!)!−4p得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x"、x!是方程x!+2px−3p−2=0的两个相等的实数根，∴x"!+2px"−3p−2=0，x"+x!=−2p，x"x!=−3p−2，∴x"!+2px"=3p+2，∴x")+2px"!=3px"+2x"，∴x")=3px"+2x"−2px"!，∴x")+x"!=3px"+2x"−2px"!+x"!，同理得x!)+x!!=3px!+2x!−2px!!+x!!，∵x"!＋x")=4−(x!!+x!))，∴x"!+x")+(x!!+x!))=4，∴3px"+2x"−2px"!+x"!+3px!+2x!−2px!!+x!!=4，∴(3p+2)(x"+x!)+(1−2p)(x"!+x!!)=4，∴(3p+2)(−2p)+(1−2p)[(−2p)!−2(−3p−2)]=4，∴−6p!−4p+(1−2p)(4p!+6p+4)=4，∴−6p!−4p+4p!+6p+4−2p(4p!+6p+4)=4，∴−2p!+2p−2p(4p!+6p+4)=0，∴−2p(4p!+6p+4+p−1)=0，∴2p(4p!+7p+3)=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，解得p"=0，p!=−1，p)=−)%，∵Δ=(2p)!+4(3p+2)>0，∴p!+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=−1不符合题意，∴p"+p)=−)%∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x!−2x+a!+b!+ab=0的两个根为x"=m，x!=n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（ ）①m·n＞0；②m>0，n>0；③a!≥a；④关于x的一元二次方程(x+1)!+a!−a=0的两个根为x"= m−2，x!=n−2．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x"x!=mn=a!+b!+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a!−a+1=8a−"!9! +)%>0，从而即可对①进行判断；由于x"+x!=m+n=2>0，x"x!=mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ=4−4(a!+b!+ab)≥0，即4−4(a!−a+1)≥0，则可对③进行判断；利用a!+b!+ab=a!−a+1把方程x!−2x+a!+b!+ab=0化为(x−1)!+a!−a+1=0，由于方程(x−1)!+a!−a=0可变形为[(x+2)−1]!+a!−a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．【解题过程】解：根据根与系数的关系得x"x!=mn=a!+b!+ab，∵a+b=1，∴b=1−a，∴mn=a!+(1−a)!+a(1−a)=a!−a+1=8a−"!9!+)%>0，所以①正确；∵x"+x!=m+n=2>0，x"x!=mn>0，∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0，∴4−4(a!+b!+ab)≥0，即4−4(a!−a+1)≥0，∴a≥a!，所以③错误；∵a!+b!+ab=a!−a+1，∴方程x!−2x+a!+b!+ab=0化为(x−1)!+a!−a+1=0，即(x−1)!+a!−a=0，∵方程(x+1)!+a!−a=0可变形为[(x+2)−1]!+a!−a=0，∴x+2=m或x+2=n，解得x"=m−2，x!=n−2，所以④正确．故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x!−8cx−9d=0的解，c、d是方程x!−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为．【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a!−8ac−9d= 0，代入可得a!−72a+9c−8ac=0，同理可得c!−72c+9a−8ac=0，两式相减即可得a+c的值，进而可得a+b+c+d的值．【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．因为a是方程x!−8cx−9d=0的根，所以a!−8ac−9d=0，又d=8a−c，所以a!−72a+9c−8ac=0①同理可得c!−72c+9a−8ac=0②①-②得(a−c)(a+c−81)=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a|+|b|+|c|的最小值【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，，且b+c=2−a，bc=%+=0的两实根，于是b，c是一元二次方程x!−(2−a)x+%+≥0，即(a!+4)(a−4)≥0，∴Δ=(2−a)!−4×%+所以a≥4．又当a=4，b=c=−1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则|a|+|b|+|c|=a−b−c=a−(2−a)=2a−2，∵a≥4，故2a−2≥6，当a=4，b=c=−1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)!+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax!+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)!−2=0是“同源二次方程”，且方程ax!+ bx+c=0（a≠0）有两个根为x"、x!，则b－2c＝，ax"+x"x!+ax!的最大值是．【思路点拨】利用ax!+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)!−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x"+x!=−2，x"x!=+'!+，进而得出ax"+x"x!+ax!=−28a+"+9+1，设a+"+=t（t>0），得a!−t⋅a+1=0，根据方程a!−t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t!−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax"+x"x!+ax!的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax!+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)!−2=0，∴a(x+1)!−2=ax!+bx+c，展开，ax!+2ax+a−2=ax!+bx+c，可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2(a−2)=4；∵x"+x!=−2，x"x!=+'!+，∴ax"+x"x!+ax!=a(x"+x!)+x"x!=−2a++'!+=−28a+"+9+1，∵方程ax!+bx+c=0（a≠0）有两个根为x"、x!，∴Δ=b!−4ac=(2a)!−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，∴a>0，设a+"+=t（t>0），得a!−t⋅a+1=0，∵方程a!−t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t!−4≥0，解得t≥2，即a+"+≥2，∴ax"+x"x!+ax!=−28a+"+9+1≤−3．故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x!y+xy!=484，求x)+y)．【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn，则m、n为t!−44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x)+y)变形后将m=n=22代入计算即可．【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x!y+xy!=xy(x+y)=mn，∴m、n为t!−44t+484=0的根，∴m=n=22，∴x)+y)=(x+y)(x!+y!−xy)=(x+y)[(x+y)!−3xy]=n[n!−3m]=n)−3mn=9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x!+3x−5=0的两根分别为x"、x!．（1）求"-"'"+"-!'"的值；（2）求3x"!+6x"+x!!的值．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x"⋅x!=,+，x"+x!=−*+时，需要弄清楚a、b、c的意义．（1）利用根与系数的关系求得求"-"'"+"-!'"的值的值；（2）由一元二次方程的解可得x"!+3x"−5=0,再利用根与系数的关系求解即可．【解题过程】（1）∵x"+x!=−3,x"x!=−5，∴1x"−1+1x!−1=x!−1+x"−1 (x"−1)(x!−1)=x"+x!−2 x"x!−(x"+x!)+1=−3−2−5−(−3)+1=5；（2）∵x"是一元二次方程x!+3x−5=0的根，∴x"!+3x"−5=0,∴x"!+3x"=5，又∵x"+x!=−3,x"x!=−5，∴3x"!+6x"+x!!=2(x"!+3x")+(x"+x!)!−2x"x!=29．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x!−2mx+m!−n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax!+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x"、x!，则x"+x!=−*+，x"⋅x!=,+．（1）根据方程x!−2mx+m!−n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x!−2mx+m!−n=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−2m)!−4(m!−n)>0，解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x"、x!，且x">x!，∴x"+x!=2m，x"⋅x!=m!−n，由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x"=3x!，∴4x!=2m，3x!!=m!−1，∴3×$!%=m!−1，解得：m"=−2，m!=2．当m=2时，x!=1，则x"=3x!=3，符合题意，当m=−2时，x!=−1，则x"=3x!=−3<x!，与x">x!不符，舍去，∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x!+2x−m!−m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α"、β"，α!、β!，⋅⋅⋅，α!1!%、β!1!%，求"2"+"3"+"2!+"3!+⋯+"2!#!$+"3!#!$的值．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x"+x!=−*+,x"⋅x!=,+可得："-"+"-!=-"/-!-"⋅-!=!$!/$，进一步可寻找"2!#!$+"3!#!$的规律，即可求解．【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x!+2x−m!−m=0，α和β分别是该方程的两个根，∴αβ=−m!−m∵αβ=−2，∴−2=−m!−m∴m=1或m=−2；（2）解：设方程x!+2x−m!−m=0的两个根为：x",x!则x"+x!=−*+=−2,x"⋅x!=,+=−m!−m，∴" -"+"-!=-"/-!-"·-!=!$!/$=!$($/")∴" 2"+"3"=!"×!，"2!+"3!=!!×)，"2%+"3%=!)×%…．．1α!1!%+1β!1!%=22024×2025∴" 2"+"3"+"2!+"3!+⋯+"2!#!$+"3!#!$=2×8""×!+"!×)+...+"!1!%×!1!09=2×X1−12+12−13+...+12024−12025Y=2×X1−1 2025Y=4048 202511．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x!+(2m+3)x+m!=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m的取值范围（2）若满足"2+"3=−1，求m的值．（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x!+(2m+3)x+m!=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=−(2m+3)和αβ=m!，因为"2+"3=−1，所以!$/)$!=1，解得m"=3，m2=−1，结合m>−)%，即可作答；（3）因为(α−2)(β−2)=αβ−2(α+β)+4，结合α+β=−(2m+3)和αβ=m!，得m!+2(2m+3)+ 4=(m+2)!+6，则(α−2)(β−2)≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x!+(2m+3)x+m!=0的两个不相等的实数根∴Δ=b!−4ac=(2m+3)!−4×1×m!=4m!+12m+9−4m!=12m+9>0，即m>−)%；（2）解：∵"2+"3=323+223=2/323=−1，且α+β=−*+=−(2m+3)，αβ=,+=m!∴!$/)$!=1整理得m!−2m−3=0，解得：m"=3，m2=−1∵由（1）知m>−)%，∴m=3检验：当m=3时，m!≠0，即m=3；（3）证明：因为(α−2)(β−2)=αβ−2(α+β)+4，把α+β=−(2m+3)和αβ=m!代入上式，得m!+2(2m+3)+4=m!+4m+10=(m+2)!+6，∵(m +2)!≥0， ∴(m +2)!+6≥6 ∴(α−2)(β−2)≥6>0 ∵α>2， ∴α−2>0， ∴β−2>0， 即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x !+4x +1=0的两根是α、β． （1）求|α−β|的值； （2）求Z 23+Z 32的值；（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x )+y )=(x +y)(x !+y !−xy )． 【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β)!的值，进而求得|α−β|的值．（2）先根据二次根式的性质将Z 23+Z 32化为√293+93√2，然后通分化简可得2/3923，最后将α+β=−4,αβ=1代入计算即可；（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为8"29)和8"39)，然后求得8"29)+8"39)和8"29)8"39)的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【解题过程】（1）解：∵方程x !+4x +1=0的两根是α、β ∴α+β=−4,αβ=1∴(α−β)!=(α+β)!−4αβ=12 ∴|α−β|=2√3；（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵[\αβ+\βα]!=αβ+βα+2=α!+β!αβ+2=(α+β)!−2αβαβ+2=16，∴Z23+Z32=4（负值舍去）；（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为8"29)和8"39)则8"29)+8"39)=(1α+1β)^X1αY!+X1βY!−1αβ_=α+βαβ^α!+β!α!β!−1αβ_=α+βαβ^(α+β)!−2αβα!β!−1αβ_=−41`16−21!−1a=−52X 1αY)X1βY)=X1αβY)=1所以新的一元二次方程x!+52x+1=0．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x"+x!=$'"$，若方程的两根之和为整数，即$'"$为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0可有x=($'")±√$!'"1$/"!$，若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m!−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx!−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m ≠0，且Δ=[−(m −1)]!−4m ×2=m !−10m +1≥0， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x "+x !=−'($'")$=$'"$，若方程的两根之和为整数，即$'"$为整数，∵$'"$=1−"$，∴"$是整数， ∴m =±1，当m =1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意； 当m =−1时，Δ=1+10+1=12>0，$'"$='"'"'"=2，为整数，符合题意；∴m 的值为−1；（2）当m =0时，此时关于x 的方程为x +2=0，解得x =−2； 当m ≠0时，对于关于x 的方程mx !−(m −1)x +2=0的根为：x =($'")±√$!'"1$/"!$，若方程的根为有理根，且m 为整数， 则Δ=m !−10m +1为完全平方数， 设m !−10m +1=k !（k 为正整数）， 则：m ="1±√"11'%/%#!!=5±√24+k !，∵m 为整数，设24+k !=n !（n 为正整数）， ∴(k +n )(n −k )=24，∴b k +n =12n −k =2 或b k +n =6n −k =4 或b k +n =8n −k =3 或b k +n =24n −k =1 ， 解得：bk =5n =7 或b k =1n =5 或d k =0!n =""!（不合题意，舍去）或d k =!)!n =!0!（不合题意，舍去） ∴m !−10m +1=1!=1或m !−10m +1=5!=25； 当m !−10m +1=1时，解得m =10或m =0（舍去）； 当m !−10m +1=25时，解得m =−2或m =12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m 的值为0或10或−2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m 为整数，关于x 的方程(m !+m −2)x !−(7m +2)x +12=0有两个整数实根． （1）求m 的值．（2）设△ABC 的三边长a,b,c 满足c =4√2,m !+a !m −12a =0,m !+b !m −12b =0．求△ABC 的面积． 【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x ",x !，根据两个整数实根，则x "+x !=&$/!$!/$'!,x "x !="!$!/$'!都是整数，进而分类讨论，即可求解；（2）由（1）得出的m 的值，然后代入将m !+a !m −12a =0，m !+b !m −12b =0进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积． 【解题过程】（1）解：∵m !+m −2≠0， ∴m ≠−2或m =1， ∵方程有两个实数根，∴Δ=b !−4ac =[−(7m +2)]!−4×12×(m !+m −12) =m !−20m +580=(m −10)!+480>0 设原方程的两个解分别为x ",x !∴x "+x !=&$/!$!/$'!,x "x !=∴m !+m −2=1,2,3,4,6,12 m !+m −2=1，解得：m ='"±√")!（舍去） m !+m −2=2，解得：m ='"±√"&!（舍去） m !+m −2=3，解得：m ='"±√!"!（舍去）m !+m −2=4，解得：m =−3或m =2 m !+m −2=6，解得：m ='"±√))!（舍去）m !+m −2=12，解得：m ='"±√"!;!（舍去） 当m =−3时，&$/!$!/$'!='!"/!%=−";%不是整数，舍去当m =2时，&$/!$!/$'!="%/!%=4符合题意，综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a!−6a+2=0，b!−6b+2=0，当a=b时，a=b=3±√7，当a≠b时，a、b是方程x!−6x+2=0的两根，而Δ>0，根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=4√2时，由于a!+b!=(a+b)!−2ab=36−4=32=c!，故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S<=>?="!ab=1；②a=b=3−√7，c=4√2时，因2(3−√7)<4√2，故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3+√7，c=4√2时，因2(3+√7)>4√2，故能构成三角形，S<=>?="!×4√2×Z l3+√7m!−l2√2m!=4n4+3√7；综上，△ABC的面积为1或4n4+3√7．15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax!+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x"+x!=−*+，x"x!=,+．材料2：已知一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m!n+mn!的值．解：∵一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m!n+mn!=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x!−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x"+x!=___________，x"x!=___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x!−3x−1=0的两根分别为m、n，求A$+$A的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s!−3s−1=0，t!−3t−1=0，且s≠t，求"B −"C的值．【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=−*+=3，mn=,+=−1，再根据A$+$A=$!/A!$A=($/A)!'!$A$A，最后代入求值即可；（3）由题意可将s、t可以看作方程x!−3x−1=0的两个根，即得出s+t=−*+=3，s⋅t=,+=−1，从而可求出(t−s)!=(t+s)!−4st=13，即t−s=√13或t−s=−√13，最后分类讨论分别代入求值即可．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x!−3x−1=0的两个根为x1，x2，∴x"+x!=−*+=−')"=3，x"⋅x!=,+=−""=−1．故答案为：3，−1；（2）∵一元二次方程x!−3x−1=0的两根分别为m、n，∴m+n=−*+=3，mn=,+=−1，∴A $+$A=$!/A!$A=(m+n)!−2mnmn=3!−2×(−1)−1=−11；（3）∵实数s、t满足s!−3s−1=0，t!−3t−1=0，∴s、t可以看作方程x!−3x−1=0的两个根，∴s+t=−*+=3，st=,+=−1，∵(t−s)!=(t+s)!−4st=3!−4×(−1)=13∴t−s=√13或t−s=−√13，当t−s=√13时，" B −"C=C'BBC=√")'"=−√13，当t−s=−√13时，" B −"C=C'BBC='√")'"=√13，综上分析可知，"B −"C的值为√13或−√13．16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx +n =0或px +q =0时，多项式A =(mx +n )(px +q )=mpx !+(mq +np )x +nq 的值为0，把此时x 的值称为多项式A 的零点．（1）已知多项式(3x +1)(x −2)，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B =(x −1)(bx +c )=ax !−(a −1)x −+!有一个零点为1，求多项式B 的另一个零点； （3）小聪继续研究(x −3)(x −1)，x (x −4)及8x −0!98x −)!9等，发现在x 轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x =2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M =(2ax +b )(cx −5c )=bx !−4cx −2a −4是“2系多项式”，求a 与c 的值． 【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x =1代入ax !−(a −1)x −+!=0，求得a =2，再解一元二次方程即可求解；（3）令cx −5c =0，求得M 的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx !−4cx −2a −4=0的两个根为x "=−1，x !=5，再利用根与系数的关系即可求解． 【解题过程】（1）解：令(3x +1)(x −2)=0， ∴3x +1=0或x −2=0， ∴x =−")或x =2，则此多项式的零点为−")或2； 故答案为：−")或2；（2）解：∵多项式B =(x −1)(bx +c )=ax !−(a −1)x −+!有一个零点为1，∴将x =1代入ax !−(a −1)x −+!=0，得a −(a −1)−+!=0，解得a =2，∴B =2x !−x −1=(x −1)(2x +1)， 令2x +1=0，解得x =−"!， ∴多项式B 的另一个零点为−"!；（3）解：∵M=(2ax+b)(cx−5c)=bx!−4cx−2a−4是“2系多项式”，令cx−5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则D/0!=2，解得y=−1，即2ax+b=0时，x=−1，则−2a+b=0①，令M=bx!−4cx−2a−4=0，根据题意，方程bx!−4cx−2a−4=0的两个根为x"=−1，x!=5，∴x"+x!=−'%,*=5+(−1)=4，x"⋅x!='!+'%*=5×(−1)=−5，∴c=b②，5b−2a−4=0③，解①②③得c=b=1，a="!，∴a="!，c=1．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x"，x!是关于x的一元二次方程x!−2(k+1)x+k!+2=0的两实根，且(x"+1)⋅(x!+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)是一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根，设s"=α+β，s!=α!+β!，…，s A=αA+βA．根据根的定义，有α!−α−1=0，β!−β−1=0，将两式相加，得(α!+β!)−(α+β)−2= 0，于是，得s!−s"−2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s"，s!的值．②经计算可得：s)=4，s%=7，s0=11，当n≥3时，请猜想s A，s A'"，s A'!之间满足的数量关系，并给出证明．【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x"+x!=2(k+1)，x"x!=k!+2．由(x"+1)(x!+1)=8，可得x"x!+(x"+x!)+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=−*+=1，αβ=,+=−1，进而可求出s"=α+β=1，s!=α!+β!=(α+β)!−2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α!−α−1=0，两边都乘以αA'!，得：αA−αA'"−αA'!=0①，同理可得：βA−βA'"−βA'!=0②，再由①+②，得：(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0．最后结合题意即可得出s A−s A'"−s A'!=(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0，即s A=s A'"+s A'!．【解题过程】解：（1）∵x"，x!是关于x的一元二次方程x!−2(k+1)x+k!+2=0的两实根，∴x"+x!=−*+=−'!(#/")"=2(k+1)，x"x!=,+=#!/!"=k!+2，∴(x"+1)(x!+1)=x"x!+(x"+x!)+1=k!+2+2(k+1)+1=8，整理，得：k!+2k−3=0，解得：k"=−3，k!=1．当k=−3时，Δ=b!−4ac=[−2(k+1)]!−4(k!+2)=[−2(−3+1)]!−4[(−3!)+2]=−28<0，∴此时原方程没有实数根，∴k=−3不符合题意；当k=1时，Δ=b!−4ac=[−2(k+1)]!−4(k!+2)=[−2×(1+1)]!−4(1!+2)=4>0，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1；（2）①∵x!−x−1=0，∴a=1，b=−1，c=−1．∵α，β(α>β)是一元二次方程x!−x−1=0的两个实数根，∴α+β=−*+=1，αβ=,+=−1，∴s"=α+β=1，s!=α!+β!=(α+β)!−2αβ=1!−2×(−1)=3；②猜想：s A=s A'"+s A'!．证明：根据一元二次方程根的定义可得出α!−α−1=0，两边都乘以αA'!，得：αA−αA'"−αA'!=0①，同理可得：βA−βA'"−βA'!=0②，由①+②，得：(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0，∵s A=αA+βA，s A'"=αA'"+βA'"，s A'!=αA'!+βA'!，∴s A−s A'"−s A'!=(αA+βA)−(αA'"+βA'")−(αA'!+βA'!)=0，即s A=s A'"+s A'!．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x!−(m+2)x+4m=0有两个实数根x",x!，其中x"<x!．（1）若m=−1，求x"!+x!!的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x",y"),B(x!,y!)，若AB=√10，求m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x"和x!，求该直角三角形的面积．【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b!−4ac”，根与系数关系“x"+x!=−*+，x"⋅x!=,+”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；（1）将m=−1代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到x"+x!=−*+=1，x"⋅x!=,+=−4，将x"!+x!!转化即可求解；（2）根据点A(x",y"),B(x!,y!)在函数图像上，得出Alx"，3x"+1m，Blx!，3x!+1m，再根据根与系数关系得到x"+x!=m+2,x"⋅x!=4m，根据AB=√10即可求解；（3）根据直角三角形两直角边x",x!为整数，得出Δ=b!−4ac=m!−12m+4，令m!−12m+4=k!(k为正整数)，得出(m+k−6)(m−k−6)=32，又m+k−6>m−k−6，然后分三种情况取值即可解答；【解题过程】（1）当m=−1时，方程为x!−x−4=0，Δ=b!−4ac=(−1)!−4×1×(−4)=17>0，∴x"+x!=−*+=1，x"⋅x!=,+=−4，即x"!+x!!=(x"+x!)!−2x"x!=1!−2×(−4)=9；（2）将A(x",y"),B(x!,y!)代入y=3x+1可得Alx"，3x"+1m，Blx!，3x!+1m，又Δ=(m+2)!−4×4m>0，故x"+x!=m+2,x"⋅x!=4m，AB!=(x"−x!)!+(y"−y!)!=10(x"−x!)!，即10(x"−x!)!=10，(x"−x!)!=1，(x"−x!)!=(x"+x!)!−4x"x!=1，(m+2)!−4×4m=1，(m−6)!=33，m"=6+√33,m!=6−√33；（3）∵直角三角形两直角边x ",x !为整数，∴Δ=b !−4ac =(m +2)!−4×4m =m !−12m +4为平方数， 不妨令m !−12m +4=k !(k 为正整数)， (m −6)!−32=k !，(m +k −6)(m −k −6)=32， m +k −6>m −k −6，当①∴m +k −6=32,m −k −6=1， 解得m =%0!（不合题意舍去）；当②m +k −6=16,m −k −6=2， 解得m =15，∴方程x !−17x +60=0， x "=12,x !=5，则斜边为13， 即S =-"⋅-!!=30；当③m +k −6=8,m −k −6=4， 解得m =12，∴方程x !−14x +48=0，x "=6,x !=8，则斜边为10， 即S =-"⋅-!!=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x !+px +q =0有两个实数根x "，x !，那么x "+x !=−p ，x "x !=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a ，b 是方程x !+15x +5=0的二根，则+*+*+=?（2）已知a 、b 、c 满足a +b +c =0，abc =16，求正数c 的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知b x =x "y =y "和b x =x !y =y !是关于x ，y 的方程组t x !−y +k =0x −y =1 的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y "y !−-"-!−-!-"=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a ，b 是方程x !+15x +5=0的二根，求出a +b ，ab 的值，即可求出+*+*+的值； （2）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =−c ，ab ="E,，a 、b 是方程x !+cx +"E ,=0的解，再根据c !−4×"E ,≥0，即可求出c 的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x "+x !=1，x "x !=k +1，再解y "y !−-"-!−-!-"=2，即可求出k 的值．【解题过程】（1）解：∵a ，b 是方程x !+15x +5=0的二根， ∴a +b =−15，ab =5， ∴+*+*+=(+/*)!'!+*+*=('"0)!'!×0=43，∴+*+*+=43；（2）∵a +b +c =0，abc =16， ∴a +b =−c ，ab ="E ,，∴a 、b 是方程x !+cx +"E ,=0的解，∴c !−4×"E ,≥0，∴c !−%%,≥0，∵c 是正数，∴c )−4)≥0， ∴c )≥4)， ∴c ≥4，∴正数c 的最小值是4；（3）存在，当k =−2时，y "y !−-"-!−-!-"=2．理由如下： ∵u x !−y +k =0①x −y =1② ，由①得：y =x !+k ， 由②得：y =x −1，∴x !+k =x −1，即x !−x +k +1=0，由题意思可知，x "，x !是方程x !−x +k +1=0的两个不相等的实数根， ∴d (−1)!−4(k +1)>0x "+x !=1x "x !=k +1 ， 则k <−)%，∵b x =x "y =y " 和b x =x !y =y ! 是关于x ，y 的方程组t x !−y +k =0x −y =1 的两个不相等的实数解，∴y "y !=(x "−1)(x !−1)， ∴y "y !−-"-!−-!-"=(x "−1)(x !−1)−(-"/-!)!'!-"-!-"-!=2，∴x "x !−(x "+x !)+1−(-"/-!)!'!-"-!-"-!=2，∴k +1−1+1−"'!(#/")#/"=2，整理得：k !+2k =0，解得：k "=−2，k !=0（舍去）， ∴k 的值为−2．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x "，x !是关于x 的一元二次方程ax !+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根，若x "<x !<0，且3<-"-!<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x !+13x +30=0的两根为x "=−10，x !=−3，因−10<−3<0，3<'"1')<4，所以一元二次方程x !+13x +30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x !+9x +14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x 的一元二次方程2x !+(k +7)x +k !+3=0是“限根方程”，且两根x "、x !满足x "+x !+x "x !=−1，求k 的值；（3）若关于x 的一元二次方程x !+(1−m )x −m =0是“限根方程”，求m 的取值范围． 【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x "=−7，x !=−2，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x "+x !=−#/&!，x "x !=#!/)!，代入x "+x !+x "x !=−1，即可求出k "=2，k !=−1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x"=−1，x!=m或x"=m，x!=−1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m<0且m≠−1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x!+9x+14=0，(x+2)(x+7)=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x"=−7，x!=−2．∵−7<−2，3<'&'!=&!<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x!+(k+7)x+k!+3=0的两个根分比为x"、x!，∴x"+x!=−#/&!，x"x!=#!/)!．∵x"+x!+x"x!=−1，∴−#/&!+#!/)!=−1，解得：k"=2，k!=−1．分类讨论：①当k=2时，原方程为2x!+9x+7=0，∴x"=−&!，x!=−1，∴x"<x!<0，3<-"-!=&!<4，∴此时方程2x!+(k+7)x+k!+3=0是“限根方程”，∴k=2符合题意；②当k=−1时，原方程为2x!+6x+4=0，∴x"=−2，x!=−1，∴x"<x!<0，-"-!=2<3，∴此时方程2x!+(k+7)x+k!+3=0不是“限根方程”，∴k=−1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x!+(1−m)x−m=0，(x+1)(x−m)=0，∴x+1=0或x−m=0，∴x"=−1，x!=m或x"=m，x!=−1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠−1，∴(1−m)!+4m>0，即(1+m)!>0，∴m<0且m≠−1．分类讨论：①当−1<m<0时，∴x"=−1，x!=m，∵3<-"-!<4，∴3<'"$<4，解得：−")<m<−"%；②当m<−1时，∴x"=m，x!=−1，∵3<-"-!<4，∴3<$'"<4，解得：−4<m<−3．综上所述，m的取值范围为−")<m<−"%或−4<m<−3．。

专题04勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ABC，在△FAM与△ABN中，，∴△FAM≌△ABN（ASA），＝S△ABN，∴S△F AM＝S四边形FNCM，∴S△ABC∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，＝10.5，∵AB2﹣2S△ABC∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得，AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝S Rt△ABC＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，+S△MBF＝S△BEF，则S△BMF即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，＝S△EF A'＝m，∴S△EMF∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，＝EF＝，∴S正方形EFCH故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为16或10或．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝136．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为（9，12）或（3，12）或（24，12）．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为101寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为80．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A10千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为2．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠PAC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。

人教版八年级数学下册经典压轴题考点及例题解析例题1古希腊数学家把数 1 ， 3 ， 6 ， 10 ，15 ， 21 ，...... 叫做三角形数，它有一定的规律性。

若把第一个三角形数记为 a1 ，第二个三角形数记为 a2 ，......，第 n 个三角形数记为 an ，则 an + a(n+1) = ?答案：（n + 1）^2 。

例题2在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点 P（a , b）若规定以下三种变换：① f（a , b）= （-a , b），如 f（2 , 5）= （-2 , 5）；② g（a , b） = （b , a）, 如 g（2 , 5）= （5 , 2）；③ h（a , b）= （-a , -b），如 h（2 , 5）= （-2 , -5）。

根据以上变换，那么 f（h（5 ， -3））等于多少？答案：（5,3）。

例题3如图，已知等腰直角△ABC 的直角边长为 1 ，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD ，在以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE ， ... ，依次类推到第五个等腰 Rt△AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积是多少？答案：31/2 。

例题4如图所示，直线 OP 经过点 P（4,4√3），过 x 轴上的点 1、3、5、7、9、11 ......分别作 x 轴的垂线，与直线 OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为 S1 , S2 , S3 , ... , Sn , 则 Sn 关于 n 的函数关系式是？答案：Sn = 4√3 （2n - 1）。

例题5现将 1、√2、√3、√6 四个数按下列方式排列。

若规定（m , n）表示第 m 排从左到右第 n 个数，则（5 ， 4）与（15 ， 7）表示的两数之积是多少？答案：2√3 。

例题6现将一块直角三角形的花圃进行改造，已知两直角边长分别为 6 m 、8 m 。