奥数新讲义-一元二次方程-高次分式方程组5师

一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项注意：1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。

专题一：一元二次方程定义及一般形式1、下列方程，是一元二次方程的是（）①3x 2+x=20，②2x 2-3xy+4=0，③x 2-1x=4，④x 2=0，⑤x 2-3x+3=0A．①②B ．①④⑤C ．①③④D ．①②④⑤2、方程2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A ．3、2、5B ．2、3、5C ．2、﹣3、﹣5D ．﹣2、3、5专题二：应用一元二次方程的定义求字母参数的方法3、若关于x 的方程()2m 110x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.4、若()2223a a x --=是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（）A ．0B ．2C ．-2D ．±2专题三：一元二次方程的根的应用方法韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c＝0（a ≠0，Δ≥）之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a，b，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝c a1、关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（）A ．74B ．75C ．76D ．02、已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（）A ．-7B ．0C ．7D ．113、若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（）A ．9B ．3C ．0D ．﹣3专题四：一元二次方程根的判别式的应用方法一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：24b ac∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点1、关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠2、已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（）A ．±B ．C ．2或3D3、关于x 的一元二次方程x 2-2x -（m -1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．0m >且1m ≠B ．0m >C ．0m ≥且1m ≠D ．0m ≥练习：1、下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（）A ．x ﹣1=0B ．x 2+3x ﹣5=0C ．x 3+x=3D ．ax 2+bx+c=02、若方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（）A ．0B ．±1C ．1D ．–13、关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x +m 2﹣3m +2＝0的常数项为0，则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．04、一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（）A ．10B ．9C ．8D ．75、若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为（）A ．－1或4B ．－1或－4C ．1或－4D ．1或46、若关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．k≥1B ．k ＞1C ．k ＜1D ．k≤17、方程(−2)2−3−B +14=0有两个实数根，则的取值范围（）A ．>52B ．≤52且≠2C ．≥3D ．≤3且≠2专题五：解一元二次方程1、直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。

讲义精品一元二次方程讲义精品(总9页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。

针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

第四讲 一元二次方程5：高次、分式方程解法一、 解方程的基础知识1．整式方程一般通过消元、降次等方法求解；在处理二元二次方程时，还常把方程看作关于一个未知数的含字母的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式及其它基本知识来各个击破。

特别地，对二元二次方程组，求解基本方法是“加减消元法”何“代入消元法”，在解二元二次方程组或特殊的方程组时，常把它们转化为对称方程组x y axy b+=⎧⎨=⎩求解；2．分式方程一般通过去分母、换元法等，化分式方程为整式方程； 3．无理方程一般通过两边平方、根式的定义性质、换元、构造等方法，化无理方程为有理方程.二、 例题部分1．高次方程例1解方程222(231)22331x x x x -+=-+例2解方程44(4)626x x +-=例3解方程222(32)3(32)2x x x x x =+-++--例4解方程4322316320x x x x +-++=2．分式方程 例5解方程21421242x x x x +=++--例6解方程2240()()119x x x x +=-+例7解方程2228140(9)x x x +=+例8解分式方程21919()8411x x xx x x --+=++例9解分式方程2248104033x x x x+=-例10解分式方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---例11解分式方程222212219116x x x x x x x +++++=+++3．无理方程 例12解方程13x x +-=例13215122x x x x +-+=-+例14解方程22215215199818x x x x ---+=-例15解方程2266220x x x x x --+--=例16在实数范围内，分别求解下面的三个方程： （1）21212x x x x +-+--=（2）21211x x x x +-+--=（3）21212x x x x +-+--=4．二元二次方程组例17解方程组54x y xy +=⎧⎨=⎩(1)(2)例8解方程组221x y xy z +=⎧⎨-=⎩(1)(2)例19（★★）解方程组221329xy x y x y ++=-⎧⎨+=⎩(1)(2)例20（★★）解方程组22(3)()40414x x x y x x y ⎧++=⎨++=⎩5．综合运用例21已知方程组221y xy kx ⎧=⎨=+⎩有两个不相等的实数解；（1）求k 的取值范围；（2）若方程组的两个实数解为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是否存在实数k ，使11221x x x x ++=，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.例22已知方程组22010x y a x y ⎧-++=⎨-+=⎩的两个解为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩，且1x 和2x 是两个不相等的实数，若222121238611x x x x a a +-=--；（1）求a 的值；（2）不解方程组，判断方程组的两个解能否都是正数，为什么？例23已知方程组2(21)402x k y y x ⎧-+-=⎨=-⎩（1）求证：不论k 为何值时，此方程组一定有实数解；（2）设等腰三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，其中c ＝4，且2x a y a =⎧⎨=-⎩和2x by b =⎧⎨=-⎩是该方程组的两个解，求三角形ABC 的周长.三、 练习题1、 填空题（1） 用换元法解分式方程22315132x x x x -+=-时，如果设231xy x =-，那么原方程可化为__________； （2） 若2282550251x x x x -+-=-+，则2251x x --的值为___________； （3） 方程组224321x y x y ⎧-=⎨+=⎩的解是_____________；2、 选择题 （1）解方程组42x y xy +=⎧⎨=⎩时，将x 、y 看成是一个一元二次方程的根，则这个一元二次方程是（ ）A ．2420z z ++=B ．2420z z +-=C ．2420z z -+=D ．2420z z --=（2）解方程223126135x x x x +-+=-+时，设231x y x +=-，则原方程化为（ ） A ．255260y y +-= B ．25260y y +-= C ．25260y y --=D ．252650y y -+=（3）方程组210230x y x x y +-=⎧⎨++-=⎩的解是（ ）A ．1110x y =⎧⎨=⎩，2212x y =-⎧⎨=⎩B ．1110x y =⎧⎨=⎩，2212x y =-⎧⎨=-⎩C ．1110x y =-⎧⎨=⎩，2212x y =⎧⎨=⎩D ．1110x y =-⎧⎨=⎩，2212x y =-⎧⎨=⎩3、 解方程（组）（1）2213211x x x x --=--（2）221(1)x x x -=+（3）2142321x x x x --=-（4）2221010x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩（5）22223327x y x y x xy y ⎧-=+⎨-+=⎩4、 解答题已知方程组2(21)402x k y y x ⎧-+-=⎨=-⎩（1） 求证：不论k 取何值，此方程组一定有实数解； （2）设等腰三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c ＝4，且2x a y a =⎧⎨=-⎩和2x by b =⎧⎨=-⎩是该方程组的两组解，求这个三角形的周长.。

一元二次方程基础知识1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。

2）计算式子b ac 24-的值。

3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理2一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a =，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m >③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑵ 2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。

九年级数学第23章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例1x 2x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ）Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法 基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。

联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 2x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x 2-2x-2=02、2x 23、x （2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x 2-4x+1=x 2+6x+95、（x-1）2-2（x 2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是△=b 2-4ac ， 1．△=b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x 2-（）、 x 2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2＋3a －4＝0有一个实数根是x ＝0．则a 的值为例3、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，•则△ABC 为例5、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0（a ≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-b a ab 的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根分别为x 1 x 2 x 1 + x 2= -b a x 1 x 2=c a例1.方程的x 2-2x-1=0的两个实数根分别为x 1，x 2, 则（x 1 -1）（x 2-1）=例2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根， （1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a； （2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用 步骤:①审 ②设 ③列 ④解 ⑤答 应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1(±]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。

编讲：向老师一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。

① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 － 43x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0； ④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2= －1；⑥（2x －1）2 = （x －1）（4x + 3）。

例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。

例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ）A 、1B 、－1C 、1或－1D 、21。

【夯实基础练】：一）、填空题：1、方程（x －4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______.3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mx m 是一元二次方程，则m 2 = 。

4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ．5、已知关于x 的方程ax 2 + bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。

初中数学《一元二次方程》全章讲义一元二次方程的解法包括四种：因式分解法、配方法、公式法和图像法。

1、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使每个一次因式等于0，从而求出方程的解。

2、配方法：通过加减平方完成方程的配方，将一元二次方程化为一个完全平方式的形式，从而求出方程的解。

3、公式法：利用求根公式求出一元二次方程的解，其中求根公式为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。

4、图像法：通过绘制一元二次方程的图像，找出方程在x轴上的根，从而求出方程的解。

例1、用因式分解法解方程x²-3x-10=0.解：将方程化为(x-5)(x+2)=0，得到x=5或x=-2.例2、用配方法解方程2x²+5x-3=0.解：将方程改写为2(x+5/4)²-121/16=0，得到x=-3/2或x=1/2.例3、用公式法解方程3x²+4x-1=0.解：根据求根公式，得到x=(-4±√52)/6，化简后得到x=-1/3或x=1/2.例4、用图像法解方程x²-2x-3=0.解：绘制出方程的图像，找到x轴上的两个根，得到x=-1和x=3.一元二次方程的常用解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法。

选择合适的解法可以按以下方法进行：当方程一边为完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法；当方程的一边为一次因式的乘积，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解；当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法；当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。

例如，对于方程$2x-8=\sqrt{x+2}$，可以使用直接开平方法求解；对于方程$(1-x)^2-9=0$，可以使用因式分解法求解；对于方程$2x(x-3)=5(x-3)$，可以使用配方法求解；对于方程$(4x+y)^2+3(4x+y)-4=0$，可以使用求根公式法求解。

一元二次方程一、主要知识点回顾：二、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0） 其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项；ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项。

一元一次方程与一元二次方程的区别：相同法1 它们的左右两边都是整式 2只含一个未知数 不同点 未知数的最高次数是2.例1：关于y 的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是___________ ,它的二次项系数是_____,一次项是_____, 常数项是_____例2：下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？（1） （2） （a 为常数） （3） （4） （5） （6）22(1)0m x mx m +-+=易错知识辨析判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a 0≠.典例剖析例1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） Ａ．()()12132+=+x xＢ．02112=-+xx Ｃ．02=++c bx axＤ．1222-=+x x x针对练习 1．方程(2)310mm x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） Ａ．2m =±Ｂ．2m =Ｃ．2m =-Ｄ．2m ≠±2．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则a 的值为（ ）一元二次方程一元二次方程的定义 一元二次方程的解法 一元二次方程的应用（增长率问题、成本利润与数量问题）把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程一般形式：ax ²+bx+c=0（a ≠0）直接开平方法：适应于形如（x-k ）² =h （h ≥0）型 配方法： 配方:方程两边同加一次项系数一半的平方公式法： 求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0) 因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程2(1)51x x x +=-260x ax +=243x y =230ax x -+=210x -=Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．1或1-Ｄ．21 3．将方程3x （x-1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）A ．4x2-4x+5=0B ．3x2-8x-10=0C ． 4x2+4x-5=0D ．3x2+8x+10=04．关于y 的方程是my （y-1）=ny （y+1）+2化成一般形式后为y2-y-2=0，则m ，n 的值依次是（ ）A ．1，0B ．0，1C ．-1，0D ．0，-1考点二、方程的解1．（2011年乐山市）已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．2． (2009年眉山市)关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______．三、一元二次方程的解法：1. 一元二次方程的解：满足一元二次方程成立的未知数的取值。

第三讲一元二次方程的整数根含有字母系数的一元二次方程整数根问题，一般要求待定字母值或整数根的值，这类问题涉及的知识面广，其解法灵活多样，技巧性强，需要较强的综合分析问题的能力，是最近纪念各地数学竞赛和中考的热门问题.一、基础知识1.一元二次方程的根为有理数对于有理系数的一元二次方程局+处+ c = 0 (心0),在△ =，一4仇：二0时，方程有实根，且：方程有有理根匚二a = b2—4ac为完全平方数2.一元二次方程的根为整数(1)对于整系数的一元二次方程处'+加0 «工0),如果有整数根，则必须满足以下两个条件：△ =，-4心为完全平方数；—b土J/—4皿是加的整数倍;(2)在首项系数为1的整系数方程疋+ /娥+ 0 = 0 (p、q为整数)的判别式△为一个完全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；(3)对于整系数的一元二次方程^'+/zv + c = O ShO),若小b是偶数，c是奇数，则该方程无整数根；(4)整系数的一元二次方程卅+加+=0 (QH O),若事匕、c都是奇数，且△=夕一4＜皿＞0, 则方程亦+分+ * = 0 (a h 0)无整数根二、例题部分例1 (★★)已知方程x2-4(m-l)x + 3m2-2m + 4k = 0对任意有理数m都有有理根，求k的值.1.整数根讨论：利用判别式例2 (★)不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：G)X2+3X-18=0；(2)X2+8X-59=0；(3)2x2+4x-5 = 0； @ 3x2+23x-87 = 0例3 (★)已知当m为何值时，方程%2 -2(2///-3)x + 4m2 -14m + 8 = 0有两个整数根?例4 (★)整数a取何值时，方程/一@一6)兀+。

= 0有两个整数根?例5 (★)设nu n为整数，证明方程F+10皿-5〃 + 3 = 0没有整数根;例6 (★★, 2000年中考)当m为什么整数时，关于x的一元二次方程皿2_力+ 4 = 0与x2一4机¥ + 4/n2一4/?z-5 = 0的根都是整数？2.整数根讨论：利用求根公式例7 (★★, 97年黄冈)若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程〃用-2x-〃? + 1= 0的根，m为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.例8 （★★, 2000年全国初中数学联赛）设关于x的二次方程伙2 一6« + 8庆+（2疋一6« 一4）兀+疋=4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.3.整数根讨论：利用韦达定理例9 （★★, 1998年全国初中数学联赛）求所有正实数■使得方程疋-俶+ 4“ = 0仅有整数根;例】（）（★★, 1994年福州）当m为什么整数时，关于x的方程x2+（m-l）x + m + \= 0的两根都是整数? 【解】:例11 （★★, 2002年全国联赛）求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程《疋+伙+ l）x + k-l = O的根都是整数；例12 （★★）试确定所有的有理数“使得关于x的方程加+（r + 2）x + 3一2 = 0有且只有整数根;4.整数根讨论：变换主元例13 (★,第3届祖冲之杯)试求所有这样的正整数a,使方程ax2+2a(2a-l)x + 4(a-3) = 0至少有一个整数根.例14 (★★★)设方程/”+心+1-7/= 0的两根都是整数，求所有正数a；5.整数根讨论：综合运用例^(★★★, 2000年全国初中数学联赛)求所有的正整数a、b、c,使得关于x的方程尤2_3似+ 2" = 0；x2-3bx + 2c = O； x2-3cx + 2a = 0的所有根都是正？例16 (★★★)若方程扌一〃皿+加+ 〃= 0有整数根，且叭n为自然数，则a n可以分别为多少?三、练习题1.（★, 96年全国理科实验班）b、c是整数，如果一元二次方程x2-2bx-c = 0有整数根，那么，必有（）A. b = c = OB. b2 +c = 0c. h2+c是整数的平方 D. b*c是偶数的平方2.（★）若x2+mx-6 = 0的两根都是整数，则m可以取值的个数是（）A. 2B. 4C. 6D.以上都不对3.设二次方程+2/x + 2q = 0有实根，其中p、q都是奇数，那么它的根一定是（）A.奇数B.偶数C.分数D.无理数4 （★★, 1991年希望杯）已知关于x的一元二次方程疋+ + 0 = O有两个不相等的整数根，p、q是自然数，且是质数，这个方程的根为_______ ;5.（★★,北京市初二数学竞赛）方程x2 + px + q = 0的两根都是正整数，且“ + § = 1992,则方程较大根与较小根的比等于_________ ;6.（★★,希望杯）已知p为质数，且方程+ 444/7 = 0有两个整数根，贝!Jp= ______ ；7.（★★）已知方程（/-1庆-2（5“ + l）x + 24 = 0有两个不等的负整数根，则a的值是多少？& （★★,全国初中联赛）方程（x_“）（x —8）—1 =0有两个整数根，求a的值;。

一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。

① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 －43x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0；④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2= －1；⑥（2x －1）2= （x －1）（4x + 3）。

例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。

例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、21。

【夯实基础练】： 一）、填空题：1、方程（x －4）2= 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______. 3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mxm 是一元二次方程，则m 2 = 。

4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ．5、已知关于x 的方程ax 2+ bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。