沪教版高中数学第11章 坐标平面上的直线(1)

第11章坐标平面上的直线11.1 直线方程、直线l叫做方程、与直线l平行的向量叫做直线=(,)d u vd11.2 直线的倾斜角和斜率(,)d u v =、方向向量α=），不存在（趋向于无穷大k tan ),d (cos ,sin )αα==，那么d (1,k)=求得，的倾斜角。

⎩不d =(,)u vαtan=k tan αα=，(d (1,k)=（二）知识延续1、直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程均可化为一般式不同时为零）b ac by ax ,(0=++2、直角坐标平面上的直线、一次函数、二元一次方程表示同样的对象。

11.3 两条直线的位置关系( 第一课时 ) 1. 两条直线的相交、平行与重合2. 两条直线的夹角2d l 2d 11.4 点到直线的距离应化为一般补充：解析几何中对称问题的常见求解方法解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。

对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。

这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。

使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。

一、关于点对称1、点关于点对称。

①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。

公式法：进一步,利用中点公式可以得到点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P1(x1,y1)的坐标公式为:2、直线关于点对称。

① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。

设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。

第十一章 坐标平面上的直线复习学习要点：一、直线的方程1． 假如直线l 经过点00(,)P x y ，方向向量为(,)d u v =且0,0u v ≠≠，那么直线l 的点方向式 方程为00x x y y u v--=．特殊地，当0u =时的直线方程为00x x -=；当0v =时直线的方程为00y y -=． 假如直线l 经过点00(,)P x y ，法向量为(,)n a b =，那么直线l 的点法向式方程为00()()0a x x b y y -+-=． 直线的一般式方程为0ax by c ++=，其中(,)n a b =可以是直线的一个法向量，而向量(,)b a -可以是直线的一个方向向量．2． 设α为直线l 的倾斜角，当2πα≠时，tan k α=是直线的斜率； 当2πα=时，直线l 的斜率不存在．若直线l 的方向向量为(,)d u v =，当0u ≠时，vk u=；当0u =时，k 不存在． 若直线l 的斜率为k ，则它的一个方向向量可以为(1,)d k =．若直线l 的倾斜角为α，则它的一个方向向量可以是(cos ,sin )d αα=．若直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的点斜式方程为00()y y k x x -=-． 二、两条直线的位置关系1． 设直线1l 的方程为1110a x b y c ++=，直线2l 的方程为2220a x b y c ++=，1122a b D a b =， 1122x c b D c b -=-，1122y a c D a c -=-．若0D ≠，则直线1l 与2l 的交点坐标为(,)y x DD D D； 若0D =且x D 和y D 至少有一个不为零，则直线1l 与2l 平行； 若0x y D D D ===，则直线1l 与2l 重合．2． 设直线1l 的方程为110a x b y c ++=，直线2l 的方程为2220a x b y c ++=，且两条直线的夹角为α，则cos α=特殊地，两条直线1l ，2l 垂直的充要条件是12120a a b b +=． 三、点到直线距离1． 直线l ：0ax by c ++=外一点00(,)P x y 到直线l距离为d =．例题选讲：1． 若直线l 过点(0,2)P ，它的一个方向向量为(1,1)，则直线l 的方程是 ． 2． 若直线l 过点(3,1)，且l 的法向量(1,3)n =，则直线l 的方程是 ． 3． 假如直线cos 20()x y θθ+-=∈R 的倾斜角为α，那么α的取值范围是 ．4． 若直线1l ：1120a x b y ++=（实数11,a b 不同时为0）与直线2l ：2220a x b y ++=（实数22,a b 不同时为0）的交点为(1,2)，则经过11(,)P a b 、22(,)Q a b 两点的直线的 方程为．5． 已知直线40x ay --=与直线24y x =-+的夹角θ=， 求实数a 的值．6． 已知直线直线l 经过点(5,10)，且它与原点的距离为5，求直线l 的方程．7． 已知直线0(0)x ay a -=≥，求这条直线l 的倾斜角．8．是否存在实数m ，使直线1:(3)553l m x y m ++=-与直线2:2(6)8l x m y ++= 分别相交、平行、重合、垂直？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．9．已知ABC 的AB 、AC 边上的高所在直线的方程分别为2310x y -+=和0x y +=， 点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．10．已知直线l 垂直于直线3490x y +-=，且点(2,3)A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．11．已知直线21:10l x a y ++=的方向向量与直线22:(1)30l a x by +-+=的法向量平行，且0a b ⋅≠，求ab 的最小值．12．求证：三条互不平行的直线1111:0l a x b y c ++=，直线2222:0l a x b y c ++=，直线3333:0l a x b y c ++=共点的充要条件是1112223330a b c a b c a b c =．13．求直线1:3260l x y --=关于直线:2310l x y -+=对称的直线2l 的方程．14．已知两条平行直线分别过点(2,2)P --、(1,3)Q ，当这两条直线之间的距离最大时，求它们的方程．。

沪教版高中数学第11章坐标平面上的直线（1）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交于y轴于M、N两点，则|MN|=()A. 2√6B. 8C. 4√6D. 102.函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是()A. {3,4}B. {2,3，4}C. {3,4，5}D. {2,3}3.函数y=f(x)的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,.....,x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=......=f(x n)x n，则n的取值范围为()A. {3,4}B. {2,3，4}C. {3,4，5}D. {2,3}4.过点(−1,2)且与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程为()A. 3x+2y−1=0B. 3x+2y+7=0C. 2x−3y+5=0D. 2x−3y+8=05.直线x+y+1=0关于点(1,2)对称的直线方程为()A. x+y−7=0B. x−y+7=0C. x+y+6=0D. x−y−6=06.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x−y+3=0的距离为1，则a等于()A. √2B. 2−√2C. √2+1D. √2−17.若AC<0，BC<0，则直线Ax+By+C=0不通过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.已知点A(−1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A. (0,1)B. (1−√22,12) C. (1−√22,13] D. [13,12)9. 设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx −y −m +3=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是( )A. [√5,2√5]B. [√10,2√5]C. [√10,4√5]D. [2√5,4√5]10. 在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图).若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A. 2B. 1C. 83D. 4311. 已知的顶点A(1,2)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为x +2y −1=0，的平分线BH 所在直线方程为y =x ，则直线BC 的方程为( )A. 2x −3y −1=0B. 2x +3y −1=0C. 3x −2y −1=0D. 3x −2y +1=012. 正方形ABCD 的边长为3，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE =BF =1，动点P 从点E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到点E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A. 8B. 6C. 4D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线l 1：{x =1−2t,y =2+kt(t 为参数)，l 2：{x =s,y =1−2s (s 为参数)，若l 1//l 2，则k =______；若l 1⊥l 2，则k =________．14. 设λ∈R ，动直线l 1：λx −y +λ=0过定点A ，动直线l 2：x +λy −3−2λ=0过定点B ，若P为l 1与l 2的交点，则|PA|·|PB|的最大值为_______．15. 已知圆O:x 2+y 2=1和点A(−2,0)，若定点B(b,0)(b ≠−2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |=λ|MA |，则λ−b =_____(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为√7，则满足条16.设定点A(a,a)，P是函数y=1x件的实数a的所有值为 ________三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知三条直线l1：(m+2)x−y+m=0，l2：x+y−2=0；l3：y=0相交于同一点，求实数m的值．18.在2x+y−8=0上求一点P，使它到两直线l1：√3x−3y−3=0，l2：√3x−y−1=0的距离相等．19.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．当α=135∘时，求线段AB长度；设过点P的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．20.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点y2=2px(p>0)记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)若η<0，则称点P1,P2被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1,P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．(1)求证：点A(1,2)，B(−1,0)被直线x+y−1=0分隔；(2)若直线y=kx是曲线x2−4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分割线．21.已知点P(2,−1)，求：(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程；(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了圆的方程，属于基础题．设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，代入点的坐标，求出D ，E ，F ，令x =0，即可得出结论． 解：设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 则{1+9+D +3E +F =016+4+4D +2E +F =01+49+D −7E +F =0， ∴D =−2，E =4，F =−20， ∴x 2+y 2−2x +4y −20=0， 令x =0，可得y 2+4y −20=0， ∴y =−2±2√6， ∴|MN|=4√6． 故选C ．2.答案：B解析：本题考查的知识点是函数图象的应用，属于中档题． 由f(x)x表示(x,f(x))点与原点连线的斜率，结合函数y =f(x)的图象，数形结合分析可得答案．解：作直线y =kx ，与y =f(x)可以得出2，3，4个交点， 故k =f(x)x(x >0)可分别有2，3，4个解．故n 的取值范围为{2,3，4}． 故选：B ．解析：本题考查的知识点是函数零点与方程根的关系，n的值为函数f(x)与y=kx图象的交点个数，结合函数y=f(x)的图象，数形结合分析可得答案．解：令f(x1)x1=f(x2)x2=......=f(x n)x n=k，则n的值为函数y=f(x)与y=kx图象的交点个数，作直线y=kx，当k值变化时，y=f(x)与y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=f(x)x可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为{2,3，4}．故选：B．4.答案：A解析：本题考查了两条直线垂直的判定，与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程可设为3x+2y+c=0，将点(−1,2)代入即可得出结果．解：与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程可设为3x+2y+c=0，将点(−1,2)代入得3×(−1)+2×2+c=0，得c=−1，所以与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程为3x+2y−1=0，故选A．5.答案：A解析：本题考查求一个点关于另一个点的对称点的方法，考查直线的方程，属于基础题．解：在所求直线上取点(x,y)，关于点(1,2)对称的点的坐标为(2−x,4−y)，代入直线x+y+1=0，可得2−x+4−y+1=0，即x+y−7=0，故选A．解析：解：∵点(a,2)(a >0)到直线l ：x −y +3=0的距离为1， ∴√2=1，化为a +1=±√2， ∵a >0， ∴a =√2−1， 故选：D ．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．7.答案：C解析：将直线化为斜截式方程为y =−AB x −CB ，又AC <0，BC <0，∴AB >0，故−AB <0，−CB >0，故直线通过一、二、四象限，故选C ．8.答案：B解析：本题考查了直线方程的综合应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．根据题意可得，△ABC 面积为1，分若点M 和点A 重合、若点M 在点O 和点A 之间则点N 在点B 和点C 之间和若点M 在点A 的左侧，三种情况，进行讨论，即可得出结果． 解：根据题意可得，△ABC 面积为1，因为直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba ,0)， 由−ba ≤0可得点M 在射线OA 上， 设直线和BC 的交点为N ，则由{y =ax +bx +y =1, 可得点N 的坐标为(1−b a+1,a+ba+1)，(1)若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点， 则−ba =−1且a+ba+1=12，解得a =b =13；(2)若点M 在点O 和点A 之间则点N 在点B 和点C 之间， 根据题意可得三角形NMB 的面积等于12， 即12·MB ·y N =12，即12·(1+ba )·a+ba+1=12， 计算得出a =b 21−2b>0，故b <12；(3)若点M 在点A 的左侧，则−ba <−1,b >a ， 设直线y =ax +b 和AC 的交点为P ，则{y =ax +by =x +1，求得点P 的坐标为(1−b a−1,a−ba−1)，此时，NP =√(1−ba+1−1−ba−1)2+(a+ba−1−a−ba−1)2 =√4(1+a 2)(1−b)2(a+1)2(a−1)2=2|1−b||(a+1)(a−1)|√1+a 2，此时，点C(0,1)到直线y =ax +b 的距离等于√1+a 2， 根据题意可得，△CPN 的面积等于12， 即12·2|1−b||(a+1)(a−1)|√1+a 2√1+a 2=12，化简得√2(1−b)=√1−a 2<1， 则b >1−√22，综上所述，b 的取值范围是(1−√22,12)．故选B ．9.答案：B解析：本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属于中档题．可得两动直线分别过定点(0,0)和(1,3)且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10.三角换元后，由三角函数的知识可得．解：由题意可知，动直线x +my =0经过定点A(0,0)，动直线mx −y −m +3=0即m(x −1)−y +3=0，经过点定点B(1,3)，当m =0时，显然两直线垂直； 当m ≠0时，∵动直线x +my =0和动直线mx −y −m +3=0的斜率之积为−1，所以两直线始终垂直， P 又是两条直线的交点，∴PA ⊥PB ，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10． 设∠ABP =θ，则|PA|=√10sinθ，|PB|=√10cosθ， 由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0,π2]∴|PA|+|PB|=√10(sinθ+cosθ)=2√5sin(θ+π4)，∵θ∈[0,π2]，∴θ+π4∈[π4,3π4]，∴sin(θ+π4)∈[√22,1]，∴2√5sin(θ+π4)∈[√10,2√5]，即|PA|+|PB|的取值范围是[√10,2√5]， 故选B ．10.答案：D解析：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标，和P 关于y 轴的对称点P 2的坐标，由P 1，Q ，R ，P 2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值． 解：建立如图所示的坐标系：可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC 的方程为x +y =4， △ABC 的重心为(0+0+43,0+4+03)，即(43,43)，设P(a,0)，其中0<a <4，则点P 关于直线BC 的对称点P 1(x,y)，满足{a+x2+y+02=4y−0x−a⋅(−1)=−1，解得{x =4y =4−a ，即P 1(4,4−a)，易得P 关于y 轴的对称点P 2(−a,0)，由光的反射原理可知P 1，Q ，R ，P 2四点共线，直线QR 的斜率为k =4−a−04−(−a)=4−a 4+a ，故直线QR 的方程为y =4−a4+a (x +a)， 由于直线QR 过△ABC 的重心(43,43)，代入化简可得3a 2−4a =0， 解得a =43，或a =0(舍去)，故P(43,0)，故A P =43． 故选D ．11.答案：A解析：本题主要考查点关于直线对称的性质，三角形的中线、高线的性质，属于中档题．先设出B 的坐标，代入直线CM ，求出m 的值，从而求出B 的坐标即可，设出A 关于y =x 的对称点，表示出A′B 的方程，即BC 的方程，整理即可．解：：(1)由题意可知，点B 在角平分线y =x 上，可设点B 的坐标是(m,m)， 则AB 的中点(m+12,m+22)在直线CM 上，∴m+12+2⋅m+22−1=0，解得：m =−1，故点B(−1,−1)．设A 关于y =x 的对称点为A′(x 0,y 0)，则有{y 0−2x 0−1=−1y 0+22=x 0+12，{x 0=2y 0=1，即A′(2,1) 则由A′在直线BC 上，可得BC 的方程为y+11+1=x+12+1，即3(y +1)=2(x +1)，即2x −3y −1=0， 故选：A ．12.答案：B解析：解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值tan∠FEB=1，2第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，DA，第二次碰撞点为G，在DA上，且DG=16DC，第三次碰撞点为H，在DC上，且DH=13BC，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=13AD，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=16AB．第六次回到E点，AE=13故P与正方形的边碰撞的次数为6，故选：B．，通过相似三角形，来确定反射后的点的位根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为12置，从而可得反射的次数．本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于中档题．13.答案：4；−1解析：本题考查两直线平行、垂直的性质，属于基础题型．先把直线的方程化为普通方程，再利用两直线平行，斜率相等，两直线垂直，斜率之积等于−1，分别求出k值．解：直线l1的方程即kx+2y−k−4=0，直线l2的方程即2x+y−1=0．，k=4，若l1//l2，则−2=−k2=−1，k=−1．若l1⊥l2，则−2·k−2故答案为4；−1．14.答案：10解析：本题主要考查恒过定点的直线方程的求解，基本不等式的应用，属于中档题．由题意可得A(−1,0)，B(3,2)，且两直线始终垂直，可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=20，由基本不等式可得|PA|⋅|PB|≤|PA|2+|PB|22=10，验证等号成立即可．解：由题意可知动直线l1:λx−y+λ=0过定点A(−1,0)，动直线l2:x+λy−3−2λ=0，即(x−3)+λ(y−2)=0，过定点B(3,2)，且可知两直线始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=20，故|PA|⋅|PB|≤|PA|2+|PB|22=10(当且仅当|PA|=|PB|=√10时，取“=”)，故答案为10．15.答案：1解析：本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．利用|MB|=λ|MA|，可得(x−b)2+y2=λ2(x+2)2+λ2y2，由题意，取(1,0)、(−1,0)分别代入，即可求得b、λ，可得结论．解：设M(x,y)，则∵|MB|=λ|MA|，∴(x−b)2+y2=λ2(x+2)2+λ2y2，由题意，取(1,0)、(−1,0)分别代入可得(1−b)2=λ2(1+2)2，(−1−b)2=λ2(−1+2)2，∴b=−12,λ=12．∴λ−b=1，故答案为1．16.答案：3或1−√142.解析：本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．设点P(x,1x)(x>0)，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．解：设点P(x,1x )(x>0)，则|PA|=√(x−a)2+(1x−a)2=√x2+1x2−2a(x+1x)+2a2=√(x+1x )2−2a(x+1x)+2a2−2，令t=x+1x，∵x>0，∴t≥2，令g(t)=t2−2at+2a2−2=(t−a)2+a2−2，①当a≤2时，t=2时g(t)取得最小值g(2)=2−4a+2a2=(√7)2，解得a=1−√142；②当a>2时，g(t)在区间[2,a)上单调递减，在(a,+∞)单调递增，∴t=a，g(t)取得最小值g(a)=a2−2，∴a2−2=(√7)2，解得a=3.综上可知：a=3或1−√142.故答案为3或1−√142.17.答案：解：直线l2，l3的交点为(2,0)，所以直线l1过点(2,0)，则2(m+2)+m=0，解得m=−43．解析：先求出l 2，l 3的交点代入l 1的方程，即可得出m 的值．18.答案：解：设P(x,8−2x)，则|√3x−3(8−2x)−3|√3+9=|√3x−(8−2x)−1|√3+1，即|(6+√3)x −27|=|(3+2√3)x −9√3|．∴(6+√3)x −27=(3+2√3)x −9√3或(6+√3)x −27=−(3+2√3)x +9√3． ∴x =9或x =3．故所求的点P 的坐标为(9,−10)或(3,2)．解析：本题考查了两点间的距离，考查了数学转化思想方法和方程的解法，是基础题． 设出P 点坐标，由点到直线的距离公式得出关系式求出P 点坐标即可．19.答案：【小题1】解：过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α=135°时，直线AB 的斜率为−1， 故直线AB 的方程x +y −1=0， ∴|OG|=√2=√22， ∵r =2√2， ∴|AG|=√8−12=√302， ∴|AB|=2|AG|=√30；【小题2】解：设AB 的中点为M(x,y)，AB 的斜率为k ，OM ⊥AB ， 则{y −2=k(x +1)y =−1k x消去k ，得x 2+y 2+x −2y =0，当AB 的斜率k 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点的轨迹方程为x 2+y 2+x −2y =0．解析：1.本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，依题意可知直线AB 的斜率，求得AB 的方程，利用点到直线的距离求得OG ，则|AB|可求得．2.本题考查求轨迹的方程问题，设出AB 的中点的坐标，依据题意联立方程组，消去k 求得x 和y 的关系式，即P 的轨迹方程．20.答案：解：(1)把点(1,2)、(−1,0)分别代入x +y −1可得η=(1+2−1)(−1−1)=−4<0，∴点(1,2)、(−1,0)被直线x +y −1=0分隔．(2)联立{x 2−4y 2=1y =kx 可得(1−4k 2)x 2=1，根据题意，此方程无解，故有1−4k 2≤0，∴|k|≥12.当|k|≥12时，对于直线y =kx ，曲线x 2−4y 2=1上的点(−1,0)和(1,0)满足η=−k 2<0，即点(−1,0)和(1,0)被y =kx 分隔．故实数k 的取值范围是(−∞,−12]∪[12,+∞)．(3)设点M(x,y)，则√x 2+(y −2)2⋅|x|=1，故曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2=1 ①． 对任意的y 0，(0,y 0)不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点(1,2)、(−1,2)对于y 轴(x =0)满足η=1×(−1)=−1<0，即点(−1,2)和(1,2)被y 轴分隔，所以y 轴为曲线E 的分隔线．解析：本题考查了创新问题专题，直线的一般式方程和动点的轨迹方程．(1)把A 、B 两点的坐标代入η=(ax 1+by 1+c)(ax 2+by 2+c)，再根据η<0，得出结论． (2)联立{x 2−4y 2=1y =kx 可得(1−4k 2)x 2=1，根据此方程无解，可得1−4k 2≤0，从而求得k 的范围．(3)设点M(x,y)，与条件求得曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2=1①.由于y 轴为x =0，显然与方程①联立无解．把P 1、P 2的坐标代入x =0，由η=1×(−1)=−1<0，可得x =0是一条分隔线．21.答案：解：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2,−1)，可见，过P(2,−1)垂直于x 轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x=2．若斜率存在，设l的方程为y+1=k(x−2)，即kx−y−2k−1=0．由已知，过P点与原点距离为2，得√k2+1=2，解之得k=34．此时l的方程为3x−4y−10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x−4y−10=0．(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k l⋅k OP=−1，所以k l=−1kOP=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x−2)，即2x−y−5=0，即直线2x−y−5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为√5=√5．(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过√5的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．解析：(1)直线已过一点，考虑斜率不存在时是否满足条件，在利用待定系数法根据点到直线的距离公式建立等量关系，求出斜率；(2)过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离即可；(3)只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．本题主要考查了直线的一般方程，以及两点之间的距离公式的应用，属于基础题．。

高二下册第11章《坐标平面上的直线》知识点梳理高二下册第11章《坐标平面上的直线》知识点梳理第11章坐标平面上的直线1、内容要目：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。

点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。

2、基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。

熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

3、重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。

根据两个独立条件求出直线方程。

熟练运用待定系数法。

（1）图形与方程图形方程直线l(不同时为零)①（2）直线的几何特征与二元一次方程的代数特征几何特征代数特征点A在直线上点A的坐标（x,y）是方程①的解。

直线l的方向法向量直线l平行的向量方向向量（u,v）倾斜角斜率k=（3）直线的已知条件与所选直线方程的形式直线的已知条件所选择直线方程的形式已知直线经过点且与向量=（u,v）平行点方向式方程已知直线经过点且与向量=（a,b）垂直点法向式方程已知直线经过点和点一般式方程已知直线的斜率为k,且经过点点斜式方程（4）两直线的位置关系：位置关系系数关系相交平行且重合且垂直（5）点到直线的距离公式（6）两直线的夹角公式（7）直线的倾斜角的范围是<,当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为。

沪教版(上海某校高二第二学期新高考辅导与训练第11章坐标平面上的直线 11.3（2）两条直线的夹角一、解答题1. 如图所示，已知：△三个顶点的坐标分别为的角平分线与边交于点，求所在直线的方程．二、填空题直线和直线的夹角是________．直线与直线的夹角是，则实数的值为________．过点且与直线相交成角的直线方程是________．直线y=x关于直线x＝1对称的直线方程是________；点关于直线的对称点的坐标是________．三、单选题已知两条直线，其中为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是（）A. B.C. D.两直线与夹角的平分线方程是()．A.B.C.或D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高二第二学期新高考辅导与训练第11章坐标平面上的直线 11.3（2）两条直线的夹角一、解答题1.【答案】此题暂无答案【考点】直线的三般式方疫直线的都特式方程两条直验立交点坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】终边常同占角平行三度的性质单体向白【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直体的氯率直线于倾斜落伪代码【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】与直线表于抛制直线析称的直线方程关于射、从递对称高圆的方程直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】与直线表于抛制直线析称的直线方程直线的验我式方程空间中水三的坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、单选题【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着直线于倾斜落基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。