高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题1 三角函数 第1讲 三角函数问题教学案 理-人教版高

word

1 / 15 第1讲 三角函数问题

题型1 三角函数的图象问题

(对应学生用书第1页)

■核心知识储备………………………………………………………………………·

1．“五点法〞作图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下：

x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

2．图象变换

■典题试解寻法………………………………………………………………………

[典题1] (考查三角函数图象的平移变换)

(2017·全国Ⅰ卷)曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋2π3，那么下面结论正确的选项是( ) word

2 / 15 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

[思路分析] 异名三角函数――――――→诱导公式同名三角函数――――――――――→图象的伸缩和平移变换得结论．

[解析] 因为y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos2x＋π6，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移π12个单位长度，得到曲线y＝cos 2x＋π12＝cos2x＋π6.应选D.

[答案] D

[典题2] (考查三角函数的图象求解析式)(2017·某某模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图1­1所示，图象经过点A(0,1)，Bπ3，－1，那么f(x)＝________.

[导学号：07804000]

图1­1 word

3 / 15 [思路分析]

由图象得周期T，利用T＝2πω得ω→由特殊点A(0,1)得关于φ的三角方程→利用φ的X围确定φ的值→f(x)．

[解析] 由得T2＝π3，∴T＝2π3，又T＝2πω，∴ω＝3.

∵f(0)＝1，∴sin φ＝12，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，

∴f(x)＝2sin3x＋π6(经检验满足题意)．

[答案] 2sin 3x＋π6

[类题通法]

1当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，将y＝sin ωxω＞0的图象变换成y＝sinωx＋φ的图象时，只需进行平移变换，应把ωx＋φ变换成ωx＋φω，根据φω确定平移量的大小，根据φω的符号确定平移的方向.

2函数y＝Asinωx＋φ的解析式的确定

①A由最值确定，A＝最大值－最小值2；

②ω由周期确定；

3φ由图象上的特殊点确定.

通常利用峰点、谷点或零点列出关于φ的方程，结合φ的X围解得φ的值，所列方程如下：

峰点：ωx＋φ＝π2＋2kπ；谷点：ωx＋φ＝－π2＋2kπ.,利用零点时，要区分该零点是升零点，还是降零点.

升零点图象上升时与x轴的交点：ωx＋φ＝2kπ；

降零点图象下降时与x轴的交点：ωx＋φ＝π＋2kπ.以上k∈Z

■对点即时训练………………………………………………………………………·

1．函数f(x)＝sin2(ωx)－12(ω＞0)的最小正周期为π2，假设将其图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位，所得图象关于原点对称，那么实数a的最小值为( ) word

4 / 15 A．π4B．3π4

C．π2 D．π8

D [依题意得f(x)＝1－cos 2ωx2－12＝－12cos 2ωx，最小正周期T＝2π2ω＝π2，ω＝2，所以f(x)＝－12cos 4x，将f(x)＝－12cos 4x的图象向右平移a个单位后得到函数g(x)＝－12cos[4(x－a)]的图象．又函数g(x)的图象关于原点对称．

因此有g(0)＝－12cos 4a＝0,4a＝kπ＋π2，k∈Z，即a＝kπ4＋π8，k∈Z，因此正实数a的最小值是π8，选D.]

2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象如图1­2所示，那么fπ3的值为________．

图1­2

1 [根据图象可知，A＝2，3T4＝11π12－π6，所以周期T＝π，ω＝2πT＝2.

又函数过点π6，2，

所以有sin2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，

所以φ＝π6，那么f(x)＝2sin2x＋π6，

因此fπ3＝2sin2π3＋π6＝1.]

■题型强化集训………………………………………………………………………·

(见专题限时集训T3、T5、T11)

题型2 三角函数的性质问题 word

5 / 15 (对应学生用书第2页)

■核心知识储备………………………………………………………………………

1．三角函数的单调区间：

y＝sin x的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的单调递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．

2．三角函数的对称性

y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．

y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．

y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．

3．三角函数的最值

(1)y＝asin x＋bcos x＋c型函数的最值：

通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)＋c其中tan φ＝ba的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．

(2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值：可利用降幂公式sin2x＝1－cos 2x2，sin xcos x＝sin 2x2，cos2x＝1＋cos 2x2，将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x转化为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值．

■典题试解寻法………………………………………………………………………·

[典题1] (考查三角函数图象的对称性)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移π4个单位后得到函数g(x)的图象，那么g(x)具有性质( )

A．最大值为1，图象关于直线x＝π2对称 word

6 / 15 B．在0，π4上单调递增，为奇函数

C．在－3π8，π8上单调递增，为偶函数

D．周期为π，图象关于点3π8，0对称

[解析] 由题意可得将f(x)＝cos 2x的图象向右平移π4个单位得到g(x)＝cos2x－π4＝cosπ2－2x＝sin 2x的图象，因为函数g(x)为奇函数，所以排除C，又当x＝π2时函数值为0，当x＝3π8时，函数值为22，所以A和D中对称的说法不正确，选B.

[答案] B

[典题2] (考查三角函数的值域问题)(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－34x∈0，π2的最大值是________．

[解析]f(x)＝1－cos2x＋3cos x－34＝－cos x－322＋1.

∵x∈0，π2，

∴cos x∈[0,1]，

∴当cos x＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.

[答案] 1

[典题3] (考查三角函数的定义域、周期性及单调性的判断)函数f(x)＝4tan

x·sinπ2－x·cosx－π3－3.

[导学号：07804001]

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．

[解] (1)f(x)的定义域为x x≠π2＋kπ，k∈Z. word

7 / 15 f(x)＝4tan xcos xcosx－π3－3＝4sin xcosx－π3－3

＝4sin x12cos x＋32sin x－3＝2sin xcos x＋23sin2x－3

＝sin 2x＋3(1－cos 2x)－3＝sin 2x－3cos 2x＝2sin2x－π3.

所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.

(2)令z＝2x－π3，那么函数y＝2sin z的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.

由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.

设A＝－π4，π4，B＝x －π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4.

所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减．

[类题通法]

函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路

第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；

第二步：把“ωx＋φ〞视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．

■对点即时训练………………………………………………………………………·

1．函数f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sin φcos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)在π，3π2上单调递减，那么ω的取值X围是( )

A．(0,2] B．0，12

C．12，1 D．12，54

C [f(x)＝sin(ωx＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx＋φ)＝cos φsin(ωx＋φ)－sin