北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_2
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模拟方法——概率的应用
一．教学目标：
1．通过试验初步体会几何概型及其基本特征；
2．会把一些简单的实际问题转化为几何概型，会运用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率问题；
3．通过亲身试验，感受数学不仅仅是抽象的符号，还和我们的生活密切相关。通过试验体会辩证的唯物主义思想，和实事求是的科学作风。
二．教学重点、难点：
重点: 将实际问题转化为几何概型求概率的问题
难点:如何实际问题转化为几何概型求概率的问题
三．教学方法与教学手段：
自主探究、数学试验
四．教学过程：
（一、）复习巩固
1．请同学们回忆下求随机事件的概率的方法有哪些呢?
2．古典概型的基本特点是什么呢？
（二、）创设情景，引入新课：
问题1：取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
问题2：取一个边长为2a的正方形及其内
图1 切圆（如图1）
随机地向正方形内射箭,假设射箭都能中靶,求射中圆内的概率为多少？
问题3: 有一杯1 L的水,其中有1个微生物,用一个容器从这杯水中取出10ml,求容器中的水含有这个微生物的概率.
归纳上述三个问题的特点，引入几何概型。
问 题 剪绳子 射 箭 微生物
基 本 事 件
基本事件的特点
同时让学生思考古典概型的方法还能用吗？如何几何概率计算呢？进一步分析上述三个概率问题的求法。
问题1分析：剪刀落在中点的时候，显然能够得到符合要求的两段绳子，我继续剪可以么？到什么时候为止？落在中间的点有无穷多，我把这些点全取出。总基本事件也有无穷多，古典概型的方法还能用吗？怎么处理？
练习:取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？
问题2分析:由于靶点随机的落在正方形内,而靶点落在圆内时,事件A发生
解：记“射中圆内”为事件A， 正方形的面积圆的面积)(AP=4
答：射中圆内的概率为4
由于问题2的可操作性，下面通过试验“用频率估计概率的方法”来研究它的概率问题。
两人一组合作试验，用扎针来模拟射箭，用针孔代替射箭的靶点。为了保证试验的随机性，一人持矩形卡片（图2），使印有图形的一面朝下。另一人用针在卡片的背面任意扎针。要求不少于100针。然后分别统计落在正方形内的靶点数和落在圆内的靶点数。
统计试验的结果，在电子表格中呈现，然后再利用计算机模拟试验。通过观察频率来估计概率
利用这样的结论)(4)(很大时nnmAP，进而可得到π的近似值，nm4，这是多么有趣的求近似值的方法啊！
下面两个箭靶都是边长为2a的正方形,左图红色区域为边长为a的正方形,在同样的随机环境下,猜想：命中红色区域的概率是否相等?
图2
这说明了什么呢？（引导学生思考）
问题3分析：记“取出10ml水中含有这个微生物”为事件A，微生物的分布可以看做是随机的，有无数种可能情况，每种情况的发生都是等可能的。
所以1001)(所有水的体积取出水的体积AP
下面我们一起梳理总结一下上述概率问题。
（三）建构数学
问 题 剪绳子 射 箭 微生物
基本事件 从每一个位置剪断 射中正方形靶面上每一点 微生物出现在水中的每一点
测度 长度 面积 体积
概率 长度比 面积比 体积比
设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）。每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；
随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区
图 3 域d中的点。这时，事件A的发生的概率与区域d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关。我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型。
一般地，你能说说几何概型中事件A的概率公式吗？
生：几何概型中，事件A发生的概率计算公式为：的测度的测度D)(dAP
（四）数学应用
例：在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率
分析：点M随机地落在线段AB上，故可以认为点M落在线段AB上是等可能的，将线段AB看作区域D。在线段AB上截取AD=AC，当点M位于线段AD上时，AM （板书）解：记：“AM 令AD=AC P（A）=22ABACABAD 答：AM (五)巩固练习： 1. 10000平方公里的海域中内有40平方公里的大陆架储藏着石油,假如在上述海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少? 2.某交叉路口东西方向红灯亮的时间是35秒,绿灯亮的时间是22秒 ,黄灯亮的时间是3秒, 某人由东向西直行,假设到达该路口的时间是随机的,求他遇到红灯的概率 D A B C 适时介绍数学史，激发学生学习兴趣，培养追求真理的执着精神。 1777年,法国数学家布丰(Buffon)邀请许多宾朋来家做了一个奇特的试验.他事先在白纸上画好一条条等间距的平行线，铺在桌上,又拿出一些质量均匀长度为平行线间距一半的小针,请客人把针一根根随便扔到纸上,布丰则在一旁计数,结果共投了2212次,其中与任一平行线相交的有704次,布丰又做了一个简单的除法 (请大家先不要计算,猜一猜结果是多少?) 计算的结果是3.142,然后他宣布这就是圆周率π的近似值,并且投的次数越多越精确.这个结果使人非常惊讶,π竟然和一个风马牛不相及的投针试验联系在一起.然而,这个试验被认为是几何概型的第一个试验,以后又有多位数学家重复做过投针试验,得到了类似结果. 实验者 年 代 投掷次数 相交次数 圆周率估计值 沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596 史密斯 1855 3204 1219 3.1554 德摩根 1680 600 383 3.137 福克斯 1884 1030 489 3.1595 拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929 赖 纳 1925 2520 859 3.1795 (六)小结： 1.计算随机事件概率的方法有哪些呢？ (1)是通过做实验或者用计算机模拟实验等方法得到事件发生的频率,以此近似估计概率； (2)用古典概型的公式nmAP)(来计算事件发生的概率。 (3)用几何概型的公式的测度的测度D)(dAP 2.古典概型与几何概型有何相同点和不同点? 相同点：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同点：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个. (七)布置作业： 1.书P103-1，2，3，4 2.请你设计一个模拟试验，得到π的近似值。
