北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》培优课课件_3

1 高中数学 第三章 概率 3 模拟方法——概率的应用备课资料 北师大版必修3

几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.

1.与长度有关的几何概型

例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？

分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.

解：记两段木棍都不小于3米为事件A,

则P(A)=52103310.

2.与面积有关的几何概型

这里有一道十分有趣的题目：

例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？

分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.

图10

解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个41×41的小正方形内(如图10),这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的83.

整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为41×41=161,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为1611161.

例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？ 2

图11

解：设甲到的时间为(9+x)小时,乙到的时间为(9+y)小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.

【北师大版】高中数学必修三

模拟方法-概率的应用 教学设计

一、教学目标

1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；

2．使学生能够运用模拟方法估计概率．

二、设计思路与教学建议

1． 教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现．由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性．教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法．

2． 教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积．

图1

求图1中区域A的近似面积通常有两种方法．

一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1 000×1 000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.

另一种方法就是概率的方法，向图1的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：

（1） 正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个．

（2） 正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关．

这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)．

在上述几何概型中，

P(芝麻落在A内)=区域A的面积/正方形的面积.

我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．

3模拟方法——概率的应用

一、教学分析

这部分介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的。随机模拟部分是本节的重点内容。几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。

如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件。

二、教学建议

1、本节的教学需要一些事物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果。在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精确度会越来越高。

2、注意与古典概型的对比。

三、教学目标

1、知识与技能

（1）正确理解几何概型的概念；

（2）掌握几何概型的计算公式。

2、过程与方法

通过师生共同探究，体会几何概型知识的形成过程，提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度价值观

通过本节的教学，进一步培养学生用随机的观点认识世界，体会数学在实际生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣。

四、教学重点、难点 教学重点：理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率。

教学难点:等可能事件的判断与几何概型和古典概型的区别。

（一）课题引入

复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的。那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢？比如：一个人到单位的时间可能是8:00至9:00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。这就是我们今天要学习的几何概型。

- 1 - 课时作业50 随机模拟

知识点一 随机数产生的方法

1.下列不能产生随机数的是( )

A．抛掷骰子试验

B．抛硬币

C．利用计算器

D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体

答案 D

解析 D项中，出现2的概率为13，出现1,3,4,5的概率均是16，故不能产生随机数．

2．试用随机数把a，b，c，d，e五位同学排成一排．

解 用计算器的随机函数RANDI(1,5)或计算机的RANDBETWEEN(1,5)产生5个不同的1到5之间的取整数值的随机数，即依次为a，b，c，d，e五位同学的座位号.

知识点二 随机模拟法估计概率

3.一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．

解 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：

330130 302220 133020 022011 313121

222330 231022 001003 213322 030032

100211 022210 231330 321202 031210

232111 210010 212020 230331 112000

102330 200313 303321 012033 321230

就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，共有4组数，由此可得该同学6道选择题至少答对3道的概率近似为425＝0.16.

易错点 用随机模拟估计概率时审题不清致误