北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_4

1 高中数学 第三章 概率 3 模拟方法——概率的应用备课资料 北师大版必修3

几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.

1.与长度有关的几何概型

例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？

分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.

解：记两段木棍都不小于3米为事件A,

则P(A)=52103310.

2.与面积有关的几何概型

这里有一道十分有趣的题目：

例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？

分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.

图10

解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个41×41的小正方形内(如图10),这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的83.

整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为41×41=161,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为1611161.

例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？ 2

图11

解：设甲到的时间为(9+x)小时,乙到的时间为(9+y)小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.

【北师大版】高中数学必修三

模拟方法-概率的应用 教学设计

一、教学目标

1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；

2．使学生能够运用模拟方法估计概率．

二、设计思路与教学建议

1． 教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现．由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性．教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法．

2． 教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积．

图1

求图1中区域A的近似面积通常有两种方法．

一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1 000×1 000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.

另一种方法就是概率的方法，向图1的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：

（1） 正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个．

（2） 正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关．

这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)．

在上述几何概型中，

P(芝麻落在A内)=区域A的面积/正方形的面积.

我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．

- 1 - 课时作业50 随机模拟

知识点一 随机数产生的方法

1.下列不能产生随机数的是( )

A．抛掷骰子试验

B．抛硬币

C．利用计算器

D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体

答案 D

解析 D项中，出现2的概率为13，出现1,3,4,5的概率均是16，故不能产生随机数．

2．试用随机数把a，b，c，d，e五位同学排成一排．

解 用计算器的随机函数RANDI(1,5)或计算机的RANDBETWEEN(1,5)产生5个不同的1到5之间的取整数值的随机数，即依次为a，b，c，d，e五位同学的座位号.

知识点二 随机模拟法估计概率

3.一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．

解 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：

330130 302220 133020 022011 313121

222330 231022 001003 213322 030032

100211 022210 231330 321202 031210

232111 210010 212020 230331 112000

102330 200313 303321 012033 321230

就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，共有4组数，由此可得该同学6道选择题至少答对3道的概率近似为425＝0.16.

易错点 用随机模拟估计概率时审题不清致误

1 §3 模拟方法——概率的应用

整体设计

教学分析

这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.

本节的教学需要一些实物模型为教具,教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.

几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.

三维目标

1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：

P(A)=)(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度构成事件A,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.

2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.

重点难点

教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.

教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.