2012年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科数学(2012年重庆市高考理科数学)

2012年普通高等学校招生全国统一考试

重庆卷理科数学

1.在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( ).

A．7 B．15 C．20 D．25

B 设数列{an}的首项为a1，公差为d，则a2＝a1＋d＝1，a4＝a1＋3d＝5，解得a1＝﹣1，d＝2，所以Sn＝n2﹣2n，S5＝15，故选B．

2.不等式121xx≤0的解集为( ).

A．1,12

B．1,12

C．1,-2∪[1，＋∞)

D．1,-2∪[1，＋∞)

A 不等式可化为(1)(21)0,210,xxx解不等式组得﹣12

3.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( ).

A．相离 B．相切

C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心

C 直线y＝kx＋1过定点(0，1)，而02＋12<2，所以点(0，1)在圆x2＋y2＝2内部，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2相交且直线不经过圆心，故选C．

4.812xx的展开式中常数项为( ).

A．3516 B．358 C．354 D．105

B 二项式812xx的通项为Tr＋1＝8Cr(x)8﹣r(2x)﹣r＝2﹣r8228Crrx，令822r＝0得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝2﹣448C＝358，故选B．

5.设tanα，tanβ是方程x2﹣3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ).

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

A 因为tanα，tanβ是方程x2﹣3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝tantan1tan?tan＝312＝﹣3，故选A．

6.设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，﹣4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( ).

A．5 B．10 C．25 D．10

B 由a⊥c，得a·c＝2x﹣4＝0，解得x＝2.由b∥c得12＝y4，解得y＝﹣2，所以a＝(2，1)，b＝(1，﹣2)，a＋b＝(3，﹣1)，|a＋b|＝10，故选B．

7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的( ).

A．既不充分也不必要的条件

B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件

D．充要条件

D 若f(x)为[0，1]上的增函数，则f(x)在[﹣1，0]上为减函数，根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3，4]上的减函数;若f(x)为[3，4]上的减函数，则f(x)在[﹣1，0]上也为减函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数，故选D．

8.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y＝(1﹣x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ).

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(﹣2)

D．函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(2)

D 由图可得函数y＝(1﹣x)f'(x)的零点为﹣2，1，2，则当x<1时，1﹣x>0，此时在(﹣∞，﹣2)上f(x)>0，f'(x)>0，在(﹣2，1)上f(x)<0，f'(x)<0;当x>1时，1﹣x<0，此时在(1，2)上f(x)>0，f'(x)<0，在(2，＋∞)上f(x)<0，f'(x)>0.所以f(x)在(﹣∞，﹣2)为增函数，在(﹣2，2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f(x)有极大值f(﹣2)，极小值f(2)，故选D．

9.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是( ).

A．(0，2) B．(0，3)

C．(1，2) D．(1，3)

A 四面体如图1所示，设AB＝AC＝BD＝CD＝1，AD＝2，BC＝a，则a>0.当A，B，C，D四点共面时，BC＝2(如图2所示).而此时A，B，C，D四点不能构成四面体，所以a<2，故选A．

图1

图2

10.设平面点集A＝1(x,y)(yx)y0x，B＝{(x，y)|(x﹣1)2＋(y﹣1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为( ).

A．34π B．35π C．47π D．2

D 不等式(y﹣x)1yx≥0可化为yx0,1y0x或yx0,1y0.x集合B表示圆(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图所示.由线y＝1x，圆(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D．

11.若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝__________.

4 (1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，所以a＝1，b＝3，a＋b＝4.

12.2n1n5nnlim＝__________.

25

2n1n5nnlim＝2nn5nn5nlim

＝n511n5lim＝115＝25.

13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝__________.

145 由已知条件可得sinA＝45，sinB＝1213，而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5665，根据正弦定理bBsin＝cCsin得c＝145.

14.过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝2512，|AF|<|BF|，则|AF|＝__________.

56 F点坐标为1,02，设A，B两点的横坐标为x1，x2.因|AF|<|BF|，故直线AB不垂直于x轴.设直线AB为y＝k1x2，联立直线与抛物线的方程得k2x2﹣(k2＋2)x＋2k4＝0 ①，则x1＋x2＝22k2k，又|AB|＝x1＋x2＋1＝2512，可解得k2＝24，代入①式得12x2﹣13x＋3＝0，即(3x﹣1)(4x﹣3)＝0.而|AF|<|BF|，所以x1＝13，由抛物线的定义得|AF|＝x1＋12＝56.

15.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答).

35 基本事件总数为66A＝720，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类，第一类：三节艺术课各不相邻有3334AA＝144;第二类：有两节艺术课相邻有3221133223ACACC＝216;第三类：三节艺术课相邻有133233CAA＝72.由古典概型概率公式得概率为14421672720＝35.

16.设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.

(1)求a的值;

(2)求函数f(x)的极值.

解：(1)因f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，故f'(x)＝ax﹣212x＋32.

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f'(1)＝0，从而a﹣12＋32＝0，解得a＝﹣1.

(2)由(1)知f(x)＝﹣lnx＋12x＋32x＋1(x>0)，

f'(x)＝﹣1x﹣212x＋32＝223x2x12x＝2(3x1)(x1)2x.

令f'(x)＝0，解得x1＝1，

x2＝﹣211x,33因不在定义域内舍去.

当x∈(0，1)时，f'(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数;

当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数.

故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.

17.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.

(1)求甲获胜的概率;

(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望.

解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12(k＝1，2，3).

(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(11ABAA2)＋P(1122ABABAA3)＝P(A1)＋P(1AA)P(1BA)P(A2)＋P(1AA)P(1BA)P(2AA)P(2BA)P(A3)＝13＋23×12×13＋223×212×13＝13＋19＋127＝1327.

(2)ξ的所有可能值为1，2，3.

由独立性知

P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(1AB1)＝13＋23×12＝23，

P(ξ＝2)＝P(11ABA2)＋P(112ABAB2)＝23×12×13＋223×212＝29，

P(ξ＝3)＝P(1122AB?A?B)＝223×212＝19.

综上知，ξ有分布列

ξ 1 2 3

P 23 29 19 从而，Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝139(次).

18.设f(x)＝4cosωx6sinωx﹣cos(2ωx＋π)，其中ω>0.

(1)求函数y＝f(x)的值域;

(2)若f(x)在区间3,22上为增函数，求ω的最大值.

解：(1)f(x)＝431ωxωx22cossinsinωx＋cos2ωx

＝23sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx﹣sin2ωx

＝3sin2ωx＋1.

因﹣1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[1﹣3，1＋3].

(2)因y＝sinx在每个闭区间2k,2k22(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝3sin2ωx＋1(ω>0)在每个闭区间kk,ω4ωω4ω(k∈Z)上为增函数.

依题意知3,22⊆kk,ω4ωω4ω对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是3,24ω.24ω

解得ω≤16，故ω的最大值为16.

19.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.

(1)求点C到平面A1ABB1的距离;

(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值.

解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1.故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝22BCBD＝5.

(2)解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角.