2012年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷(数学文)
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2012年普通高等学校招生统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
（1）命题“若p则q”的逆命题是
（A）若q则p （B）若p则 q
（C）若q则p （D）若p则q
（2）不等式102xx 的解集是为
（A）(1,) （B） (,2) （C）（-2，1）（D）(,2)∪(1,)
【答案】：C
【解析】：10(1)(2)0212xxxxx
【考点定位】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解．
（3）设A，B为直线yx与圆221xy 的两个交点，则||AB
（A）1 （B）2 （C）3 （D）2
【答案】：D
【解析】：直线yx过圆221xy的圆心(0,0)C 则||AB2
【考点定位】本题考查圆的性质，属于基础题．
（4）5(13)x 的展开式中3x的系数为
（A）-270 （B）-90 （C）90 （D）270
（5）sin47sin17cos30cos17
（A）32（B）12（C）12 （D）32
【答案】：C
【解析】：sin47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17
sin30cos17cos30sin17sin17cos30sin30cos171sin30cos17cos172
【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用473017
（6）设xR ，向量(,1),(1,2),axb且ab ，则||ab
（A）5 （B）10 （C）25 （D）10
【答案】：B
（7）已知22log3log3a，22log9log3b，3log2c则a,b,c的大小关系是
（A） abc （B）abc （C）abc （D）abc
【答案】：B
【解析】：2222213log3log3log3log3log322a，
2222213log9log32log3log3log322b，2322log21log2log3log3c则abc
【考点定位】本题考查对数函数运算．
（8）设函数()fx在R上可导，其导函数()fx，且函数()fx在2x处取得极小值，则函数()yxfx的图象可能是
【答案】：C
【解析】：由函数()fx在2x处取得极小值可知2x，()0fx，则()0xfx；2x，()0fx则20x时()0xfx，0x时()0xfx
【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．
（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是
（A）(0,2) （B）(0,3) （C）(1,2)（D）(1,3)
【答案】：A
【解析】：2221()22BE，BFBE，22ABBF，
【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．．
（10）设函数2()43,()32,xfxxxgx集合{|(())MxRfgx
{|()2},NxRgx则MN为
（A）(1,) （B）（0，1） （C）（-1，1） （D）(,1)
【答案】：D
【解析】：由(())0fgx得2()4()30gxgx则()1gx或()3gx即321x或323x
所以1x或3log5x；由()2gx得322x即34x所以3log4x故(,1)MN
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
（11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S
【答案】：15
【解析】：44121512S
【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式
（12）函数()()(4)fxxax 为偶函数，则实数a
（13）设△ABC的内角ABC、、 的对边分别为abc、、，且1cos4abC=1，=2，，则sinB
【答案】：154
（14）设P为直线3byxa与双曲线22221(0,0)xyabab 左支的交点，1F是左焦点，1PF垂直于x轴，则双曲线的离心率e
（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）。
【答案】：15
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知{}na为等差数列，且13248,12,aaaa（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）记{}na的前n项和为nS，若12,,kkaaS成等比数列，求正整数k的值。
【答案】：（Ⅰ）na2n（Ⅱ）6k
【解析】：：（Ⅰ）设数列{}na 的公差为d,由题意知112282412adad 解得12,2ad
所以1(1)22(1)2naandnn
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1()(22)(1)22nnaannnSnn 因12,,kkaaS 成等比数列，所以212kkaaS 从而2(2)2(2)(3)kkk ，即 2560kk
解得6k 或1k（舍去），因此6k 。
17．（本小题满分13分）已知函数3()fxaxbxc在2x处取得极值为16c
（1）求a、b的值；（2）若()fx有极大值28，求()fx在[3,3]上的最大值．
【答案】：（Ⅰ）1327（Ⅱ）427
【解析】：：（Ⅰ）因3()fxaxbxc 故2()3fxaxb 由于()fx 在点2x 处取得极值
故有(2)0(2)16ffc即1208216ababcc ，化简得12048abab解得112ab
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 3()12fxxxc，2()312fxx
令()0fx ，得122,2xx当(,2)x时，()0fx故()fx在(,2)上为增函数；
当(2,2)x 时，()0fx 故()fx在(2,2) 上为减函数
当(2,)x 时()0fx ，故()fx在(2,) 上为增函数。
由此可知()fx 在12x 处取得极大值(2)16fc，()fx 在22x 处取得极小值(2)16fc由题设条件知1628c 得12c此时(3)921,(3)9fcfc，(2)164fc因此()fx 上[3,3]的最小值为(2)4f
【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数()fx进行求导，根据(2)0f=0，(2)16fc，求出a，b的值．（1）根据函数()fx=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。
【答案】：（Ⅰ）1327（Ⅱ）427
独立事件同时发生的概率计算公式知112211223()()()pDpABABpABABA
112211223()()()()()()()()()pApBPAPBpApBPAPBpA2222212114()()()()3232327
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数()sin()fxAx（其中0,0,A ）在6x处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为2（I）求()fx的解析式； （II）求函数426cossin1()()6xxgxfx的值域。
【答案】：（Ⅰ）6（Ⅱ）775[1,)(,]442
2231cos1(cos)22xx因2cos[0,1]x，且21cos2x
故()gx 的值域为775[1,)(,]442
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱111ABCABC中，4AB，3ACBC，D为AB的中点。（Ⅰ）求异面直线1CC和AB的距离；（Ⅱ）若11ABAC，求二面角11ACDB的
平面角的余弦值。
【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）13
【解析】：（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中，1CC 面ABC ，故1CDCC ，所以异面直线1CC 和AB的距离为22CD=5BCBD
（Ⅱ）：由1CD,CD,ABBB故CD 面11AABB ，从而1CDDA ，1CDDB故11ADB
为所求的二面角11ACDB的平面角。
因1AD是1AC在面11AABB上的射影，又已知11C,ABA 由三垂线定理的逆定理得11D,ABA从而11AAB，1ADA都与1BAB互余，因此111AABADA，所以1RtAAD≌11RtBAA，因此1111AAABADAA得21118AAADAB
从而221111=23,23ADAAADBDAD
所以在11ADB中，由余弦定理得222111111111cos23ADDBABADBADDB
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为12,FF ，线段12,OFOF
的中点分别为12,BB ，且△12ABB是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过1B 作直线交椭圆于,PQ，22PBQB，求△2PBQ的面积
【答案】：（Ⅰ）220x+24y=1（Ⅱ）16109
