2019-2020学年上海市崇明区高一下学期期末数学试卷 (解析版)
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2019-2020学年上海市崇明区高一第二学期期末数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．函数y＝sin2x的最小正周期是
．
2．已知{an}为等比数列，a2＝8，q＝，则a5＝ ．
3．如图所示，角α的终边与单位圆交于第二象限的点A（﹣，），则2cosα﹣sinα＝ ．
4．已知x＝π，那么sin（x+）+2sin（x﹣）﹣4cos2x+3tan（x+）＝ ．
5．函数y＝2cosx﹣1，x∈[0，]的值域为 ．
6．若1弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所在的扇形面积等于 ．
7．把函数y＝sin（x﹣）的图象向右平移个单位，得函数y＝sin（x+θ）（0≤θ≤2π）的图象，则θ的值等于 ．
8．已知等腰三角形底角的正弦值等于，则顶角的余弦值等于 ．
9．已知f（n）＝++…+，则f（k+1）＝f（k）+ （k∈N*）．
10．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝ ．
11．某纯净水制造厂通过过滤来达到净化的目的，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为 ．
12．已知互不相等的三个数之积为﹣8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可成为等差数列，则这三个数排
列成的等差数列是 ．
二、选择题
13．函数y＝sin（x﹣）﹣sinx（ ）
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
14．在数列{an}中，如果an＝41﹣2n（n∈N*），那么使这个数列的前n项和Sn取得最大值时n的值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
15．在各项均为正数的数列{an}中，Sn是其前n项和，nan+12＝（n+1）an2+anan+1且a3＝π，则tanS4的值等于（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|0＜a} B．{a|0＜a≤}
C．{a|a＝kπ+，k∈N*} D．{a|2kπ＜a≤2kπ+，k∈N*}
三、解答题
17．在等差数列{an}中，a2＝﹣1，2a1+a3＝﹣1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，若Sk＝﹣99，求k．
18．（1）已知cos（x﹣）＝，x∈[0，π]，求x；
（2）已知sinθ＝﹣，θ∈[π，]，求tan（θ﹣）的值．
19．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1，x∈R．
（1）将函数f（x）化简并表示成y＝Asin（ωx+φ）+k（其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π，k∈R）形式；
（2）用五点法列表并作出函数f（x）一个周期内的图象
20．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，且an+1＝（1+q）an﹣qan﹣1（n≥2，q≠0，1）．
（1）设bn＝an+1﹣an（n∈N*），证明{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项．
21．如图，我国的海监船在D岛海域例行维护巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东45°方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东14海里处．
（1）求此时该外国船只与D岛的距离；
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值．
参考答案
一、填空题
1．函数y＝sin2x的最小正周期是
π
．
【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．
解：函数y＝sin2x的最小正周期是＝π，
故答案为：π．
2．已知{an}为等比数列，a2＝8，q＝，则a5＝ 1 ．
【分析】直接根据等比数列的通项公式即可求出．
解：{an}为等比数列，a2＝8，q＝，则a5＝a2q3＝8×＝1，
故答案为：1．
3．如图所示，角α的终边与单位圆交于第二象限的点A（﹣，），则2cosα﹣sinα＝
．
【分析】根据三角函数的定义得出sinα和cosα的值，代入原式求解即可．
解：由三角函数的定义得，sinα＝，cosα＝﹣，故2cosα﹣sinα＝﹣﹣＝﹣．
故答案为：．
4．已知x＝π，那么sin（x+）+2sin（x﹣）﹣4cos2x+3tan（x+）＝ 2 ．
【分析】把x＝π代入sin（x+）+2sin（x﹣）﹣4cos2x+3tan（x+），整理后利用特殊角的三角函数值得答案． 解：∵x＝π，
∴sin（x+）+2sin（x﹣）﹣4cos2x+3tan（x+）
＝sin（）+2sin（）﹣4cos（2×）+3tan（）
＝sinπ+2sin﹣4cos+3tanπ
＝0+2×1﹣4×0+3×0
＝2．
故答案为：2．
5．函数y＝2cosx﹣1，x∈[0，]的值域为
[﹣1，1] ．
【分析】由已知结合余弦函数的性质即可求解．
解：由x∈[0，]可得cosx∈[0，1]，
故y∈[﹣1，1]即函数的值域[﹣1，1]，
故答案为：[﹣1，1]．
6．若1弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所在的扇形面积等于 2 ．
【分析】由弧度的定义可求得扇形的半径，再由扇形的面积公式求解即可．
解：由弧度定义得α＝，所以r＝2，所以S＝lr＝•2•2＝2．
故答案为：2．
7．把函数y＝sin（x﹣）的图象向右平移个单位，得函数y＝sin（x+θ）（0≤θ≤2π）的图象，则θ的值等于 ．
【分析】通过函数的图象平移变换结合函数的解析式可得答案，
解：把函数y＝sin（x﹣）的图象向右平移个单位，
得函数y1＝sin（x﹣﹣）＝sin（x﹣）＝sin（x﹣（2π﹣））＝sin（x+）的图象，
由题意所得函数图象为y＝sin（x+θ）（0≤θ≤2π）的图象可知，
则θ的值等于，
故答案为：， 8．已知等腰三角形底角的正弦值等于，则顶角的余弦值等于
．
【分析】先设出三个角，利用诱导公式求得cosA＝﹣cos2B，再利用余弦的二倍角公式求得答案．
解：设三角形的定角为A，底角为B，C，则sinB＝sinC＝，
cosA＝cos（π﹣2B）＝﹣cos2B＝﹣（1﹣2sin2B）＝﹣（1﹣2×）＝，
故答案为：．
9．已知f（n）＝++…+，则f（k+1）＝f（k）+ ﹣ （k∈N*）．
【分析】根据题意分别求出f（k），f（k+1），即可求出．
解：f（n）＝++…+，
∵f（k）＝++…+，
∴f（k+1）＝++…+++＝++…+++
则f（k+1）＝f（k）++﹣＝f（k）+﹣
故答案为：﹣．
10．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝ ．
【分析】用余弦定理求出边AC的值，再用面积公式求面积即可．
解：据题设条件由余弦定理得|BC|2＝|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cosA
即49＝25+|AC|2﹣2×5×|AC|×（﹣），
即AC|2+5×|AC|﹣24＝0解得|AC|＝3
故△ABC的面积S＝×5×3×sin120°＝
故应填
11．某纯净水制造厂通过过滤来达到净化的目的，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为 14 ．
【分析】先列出指数关系式，再两边取对数可得答案． 解：由题意列式（1﹣20%）n＜5%，两边取对数得n＞≈13.4．故n≥14．
故答案为：14．
12．已知互不相等的三个数之积为﹣8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可成为等差数列，则这三个数排
列成的等差数列是 4，1，﹣2或﹣2，1，4 ．
【分析】可设a，b，c互不相等，结合等差数列和等比数列的中项性质，解方程可得所求结论．
解：设a，b，c互不相等，
若a，b，c为等比数列，可得b2＝ac，又abc＝﹣8，
解得b＝﹣2，ac＝4，
又由等差数列的中项性质可得a﹣2＝2c或﹣2+c＝2a，
解得或（舍去），或，
则这三个数排列成的等差数列为4，1，﹣2或﹣2，1，4．
故答案为：4，1，﹣2或﹣2，1，4．
二、选择题
13．函数y＝sin（x﹣）﹣sinx（ ）
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
【分析】将函数化简，利用奇奇偶性的定义域判断即可．
解：函数y＝f（x）＝＝（sinx﹣cosx）﹣sinx＝﹣cosx，
∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣x）＝﹣cosx＝f（x），
∴函数y＝是偶函数．
故选：B．
14．在数列{an}中，如果an＝41﹣2n（n∈N*），那么使这个数列的前n项和Sn取得最大值时n的值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22 【分析】令an＝41﹣2n＞0解得n＜20.5，所以数列的前20项大于0，第21项小于0，21 项后面的小于0．所以数列的前20项的和最大．
解：令an＝41﹣2n＞0解得n＜20.5，
所以数列的前20项大于0，第20项后面的小于0．
所以数列的前20项和最大．
故选：B．
15．在各项均为正数的数列{an}中，Sn是其前n项和，nan+12＝（n+1）an2+anan+1且a3＝π，则tanS4的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】nan+12＝（n+1）an2+anan+1，化为：[nan+1﹣（n+1）an]（an+1+an）＝0，由数列{an}中各项均为正数，可得＝＝……＝＝，进而得出结论．
解：nan+12＝（n+1）an2+anan+1，
化为：[nan+1﹣（n+1）an]（an+1+an）＝0，
∵数列{an}中各项均为正数，
∴nan+1﹣（n+1）an＝0，
∴＝＝……＝＝，
解得an＝，
∴S4＝×（1+2+3+4）＝．
∴tanS4＝tan＝tan＝．
故选：D．
16．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|0＜a} B．{a|0＜a≤}
C．{a|a＝kπ+，k∈N*} D．{a|2kπ＜a≤2kπ+，k∈N*}
【分析】求出原函数的单调增区间，可得f（x）的一个增区间为[﹣，]，再由函数f（x）在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，可得a的取值范围．
