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向量的概念教学目标：1.理解向量的概念，向量是既有大小又有方向的量，向量的几何表示；2.了解向量的模、零向量、单位向量、负向量、平行向量、相等向量等概念；3.向量的模是刻画向量的长度的，所以是非负实数.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解一、引入：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.二、新课：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的。
注意0与0的区别。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：单位向量的方向与其相应的向量的方向相同。
4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②0可根据需要确定其方向，因此我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a//b//c5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的．．．．．．起点无关．．．．。
单位向量的所有高中知识点及公式单位向量是指长度为1的向量，通常用“u”表示。
在高中数学中，我们学习到了一些与单位向量相关的知识点和公式。
下面是一些重要的内容：1. 向量的模：向量的模（或长度）是指从向量的起点到终点的距离，通常用|v|或∥v∥表示。
对于向量v = (x, y)，它的模可以通过以下公式计算：|v| = √(x^2 + y^2)。
2. 单位向量的定义：一个非零向量v除以它本身的模，得到的新向量就是单位向量。
单位向量的模始终为1。
如果向量v = (x, y)的模为|v|，那么它的单位向量可以表示为：u = v/|v| = (x/|v|, y/|v|)。
3. 求单位向量的步骤：步骤1：计算向量v的模|v|。
步骤2：将向量v的坐标除以|v|，得到单位向量的坐标。
4. 性质和应用：- 单位向量的模为1，因此它们可以用来表示方向。
- 单位向量在物理学中经常用于表示力的方向和速度的方向。
- 单位向量可用于计算向量的标准方向角度。
5. 示例和练习：示例1：考虑向量v = (3, 4)。
首先计算它的模：|v| = √(3^2 + 4^2) = 5。
然后，将v的坐标除以5，得到单位向量u = (3/5, 4/5)。
示例2：现在考虑向量w = (-2, 2, -2)。
计算w的模：|w| = √((-2)^2 + 2^2+ (-2)^2) = 2√3。
将w的坐标除以2√3，得到单位向量u = (-1/√3, 1/√3, -1/√3)。
单位向量的知识点包括向量的模、单位向量的定义和求解方法，以及单位向量的性质和应用。
通过掌握这些知识，我们可以在数学和物理领域中更好地理解和运用单位向量的概念。
单位向量的概念单位向量的概念概述单位向量是指长度为1的向量，它在数学、物理、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
单位向量可以表示方向，也可以用来计算夹角和距离等。
本文将从定义、性质、求解方法和应用四个方面详细介绍单位向量。
定义在三维空间中，一个非零向量v的单位向量u是指满足以下条件的向量：1. u与v方向相同或相反；2. u的长度为1，即||u||=1。
性质1. 任何非零向量都有唯一的一个与之方向相同或相反的单位向量；2. 零向量没有单位向量；3. 对于任意非零向量v和它的单位向量u，有v=||v||u；4. 两个非零向量v和w平行当且仅当它们的单位向量相同或相反。
求解方法设一个三维空间中的非零向量为v=(x,y,z)，则其长度为||v||=√(x^2+y^2+z^2)。
则该非零向量对应的单位向量可表示为：u=(x/||v||, y/||v||, z/||v||)。
应用1. 表示方向：例如，在物理学中，速度、加速度等量都可以用单位向量表示方向；2. 计算夹角：两个非零向量v和w的夹角θ可用它们的单位向量u和v计算，即cosθ=u·v；3. 计算距离：在三维空间中，两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离d可用它们对应的向量v=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)和单位向量u计算，即d=||v||=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
总结本文详细介绍了单位向量的定义、性质、求解方法和应用。
在实际问题中，熟练掌握单位向量的相关知识对于解决问题有着重要的作用。
向 量一、向量的概念1.向量的表示： a 或者 AB 或(,)=a x y2.向量的模：||== a ||||||||||||-≤±≤+ a b a b a b (注意等号成立的条件)3.向量的相等：+=xa yb c (其中,,a b c 是已知向量)可以求两个未知数,x y 的确定值。
类似的知识还有 .4.单位向量：非零 a 的单位向量0||=aa a ，它与 a 方向相同。
5.零向量：大小为0，方向任意的向量。
在判断两个向量的关系时，往往把它单独考虑。
6.向量的平行：方向相同或相反的两个向量。
若非零向量a b ，那么它们所在的直线平行或重合，也叫它们为共线向量。
7.向量的夹角：两个非零向量的夹角范围：[0,]π且必需在二者共始点的前提下度量. 二、向量的运算1.几个重要的结论：①应注意到,,,+-a b a b a b 通常组成的图形是平行四边形，常用于解选择题或填空题；②||||cos ⋅=⋅a b a b θ，据此求两条直线夹角的大小；③两个非零向量1221||0||||||a b a b x y x y a b a b λ⇔=⇔-=⇔⋅=⋅ ；④两个非零向量0⊥⇔⋅=a b a b12120||||⇔+=⇔+=- x x y y a b a b ；⑤,,OA OB OC 的终点共线的充要条件为：存在非零实数x ，使等式(1)=+-OA xOB x OC 成立.例1.非零向量, a b 满足：||||||==+a b a b ，求① a 与 b 的夹角② a 与+ a b 的夹角.例2.O 为凸四边形ABCD 所在平面内任意一点，若+=+OA OC OB OD 恒成立，判断四边形ABCD 的形状.例3.设00,a b 分别为, a b 的单位向量，且 a 和 b 的夹角为60，求向量002=- m a b 与向量0023=-+n a b 的夹角θ.例4.已知 a 与 b 是非零向量，且满足(3)(75),(4)(72)+⊥--⊥-a b a b a b a b ，求 a 与 b 的夹角的大小.例5.在∆ABC 中，记,,===AB c BC a CA b ①若∆ABC 为等边三角形，求⋅+⋅+⋅ a b b c c a 的值；②若3,4,5===AB AC BC ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值；③若,==AB c AC b ，=BC a 求⋅+⋅+⋅a b b c c a 的值.例6.已知||10= a ，(3,4)=b ，且⊥ a b ，求 a .例7.已知|||3== a b ， a 和 b 的夹角为45，求使向量+ a b λ与+ a b λ的夹角为锐角时λ的取值范围.例8.O 为∆ABC 所在平面内任意一点，且OP 分别满足下列条件，则P 点一定经过∆ABC的()A 重心()B 外心()C 垂心()D 内心。
平面向量的单位向量和零向量平面向量在数学和物理学中是一种重要的概念。
它们可以描述平面上的位移和方向，并在许多问题中发挥着重要的作用。
在平面向量的研究中，单位向量和零向量是两个必不可少的概念。
本文将探讨平面向量的单位向量和零向量的定义、性质和应用。
一、单位向量的定义和性质单位向量是指模长为1的向量。
在平面向量中，单位向量通常表示方向向量。
对于一个非零向量a，它的单位向量通常表示为a/|a|，其中|a|表示a的模长。
同方向向量的单位向量是相同的，即不同的非零向量可以有相同的单位向量。
对于给定的向量a，我们可以通过将它除以其模长来求得单位向量。
通过这个操作，我们将向量的模长归一化为1，从而只关注其方向信息。
单位向量有以下几个重要性质：1. 单位向量的模长为1，即|a/|a||| = 1；2. 单位向量与原向量有相同的方向；3. 任何非零向量都可以表示为它的模长乘以单位向量的形式。
单位向量在几何学中经常被用来表示方向，例如计算两个向量的夹角、向量的投影等。
在物理学中，单位向量还可以表示力、速度、加速度等具有方向的物理量。
二、零向量的定义和性质零向量是指所有分量都为0的向量，通常表示为0。
零向量不具有方向，它在平面上的位置是任意的。
零向量具有以下几个重要性质：1. 零向量与任何向量的和仍为该向量本身，即a + 0 = a；2. 零向量与任何向量的差仍为该向量的相反向量，即a - 0 = a；3. 零向量与标量的乘积仍为零向量，即k * 0 = 0，其中k为任意实数。
零向量在向量的线性运算中起着重要的作用。
它相当于向量空间中的原点，为向量的加法提供了基准点。
三、单位向量和零向量的应用单位向量和零向量在实际问题中有广泛的应用。
以下举几个例子：1. 在物理学中，力是一种矢量量，具有大小和方向。
通过将力向量归一化为单位向量，我们可以方便地计算力的分量和方向，从而解决力的合成、分解和平衡等问题。
2. 在计算机图形学中，单位向量常用于表达光照、法线和纹理等信息。
第30讲 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB →的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB →|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a ，b 平行，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法 求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .➢考点1 平面向量的概念[名师点睛]平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,a b b c==，则a c=D．共线向量是在一条直线上的向量2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若a，b满足||||a b>且a与b同向，则a b>D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且AB DC=”⇔“四边形ABCD是平行四边形”[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A．若a，b都是单位向量，则a b=B．若向量a b∥，b c∥，则a c∥C．与非零向量a共线的单位向量是唯一的D．已知,λμ为非零实数，若a ubλ=，则a与b共线2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量 C ．零向量与任一向量共线 D ．两平行向量所在直线平行3．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 都是非零向量，||||a b a b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．2a b =C ．//a bD ．//a b 且||||a b =4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题： ①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______．➢考点2 向量的线性运算[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题： ①若,a b 同向，则有b a b a +=+； ②a b +与a b +表示的意义相同； ③若,a b 不共线，则有a b a b +>+； ④a a b <+恒成立；⑤对任意两个向量,a b ，总有a b a b +≤+；⑥若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，则此三向量围成一个三角形． 其中正确的命题是__________(填序号)2．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，若AB a =，AD b =，则EF =（ ）A ．53124a b - B ．115124a b - C ．133124a b - D ．195124a b - 3.如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A.1B.2C.3D.4[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且ED AE 3=，则AE 等于（ ）A ．1122AB AC +B ．1328AB AC + C ．3388AB AC +D ．3182AB AC +2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -4．（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，3,3AD AE BC BF ==，则EF 可表示为（ ）A ．1133AB DC +B ．2233AB DC + C ．1233AB DC +D ．2133AB DC +➢考点3 共线向量定理的应用1．（2021·北京通州·一模）设向量12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e e =-，123AC e e =+，122BD e ke =-，且B ，C ，D 三点共线，则BC =______（用12,e e 表示）；实数k =______．2．（2022·全国·高三专题练习）设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +和k +a b 共线．[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）已知5AB a b =+，36BC a b =-+，4CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线2．（2023·全国·高三专题练习）设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．354．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量,a b ，()R AB ta b t =-∈，23AC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数t = __________.5．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，B ，M ，G 三点共线.若(62)AM a AE a AF =+-，则实数a 的值为______. 6．（2022·全国·高三专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1第30讲 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB →的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB →|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a ，b 平行，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法 求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .➢考点1 平面向量的概念[名师点睛]平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,a b b c==，则a c=D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量//AB CD就是AB所在的直线与CD所在的直线平行或重合，故选项A不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；对于C：若,a b b c==，则a c=，故选项C正确；对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选：C.2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若a，b满足||||a b>且a与b同向，则a b>D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【答案】AD 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A ，由相反向量的概念可知A 正确；对于B ，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B 错误； 对于C ，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C 错误； 对于D ，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =， 可得//AB DC ，且AB DC =，故四边形ABCD 是平行四边形； 若四边形ABCD 是平行四边形，可知//AB DC ，且AB DC =， 此时A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =，故D 正确.故选：AD. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）A ．若a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a b ∥，b c ∥，则a c ∥C ．与非零向量a 共线的单位向量是唯一的D ．已知,λμ为非零实数，若a ub λ=，则a 与b 共线【答案】D 【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果. 【详解】单位向量的方向不一定相同，故A 错误； 当0b =时，显然a 与c 不一定平行，故B 错误； 非零向量a 共线的单位向量有a a±，故C 错误；由共线定理可知，若存在非零实数,λμ，使得a ub λ=，则a 与b 共线，故D 正确.故选：D. 2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量 C ．零向量与任一向量共线 D ．两平行向量所在直线平行 【答案】C 【分析】根据向量相等和 平行的定义逐项分析可以求解. 【详解】对于A ，AB BA =- ，故A 错误；对于B ，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B 错误； 对于C ，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C 正确； 对于D ，两个平行向量所在的直线可能重合，故D 错误；故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 都是非零向量，||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．2a b =C ．//a bD ．//a b 且||||a b =【答案】B 【分析】由题意，利用a 、b 上的单位向量相等的条件，得出结论． 【详解】解：因为||a a 表示与a 同向的单位向量，||bb 表示与b 同向的单位向量，所以要使||||a b a b =成立，即a 、b 方向上的单位向量相等，则必需保证a 、b 的方向相同， 故||||a b a b =成立的充分条件可以是2a b =；故选：B ． 4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题： ①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______． 【答案】3【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确； 对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确； 对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误； 则正确的命题个数为3个. 故答案为：3.➢考点2 向量的线性运算1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：+=+；①若,a b同向，则有b a b a+表示的意义相同；②a b+与a b+>+；③若,a b不共线，则有a b a b<+恒成立；④a a b+≤+；⑤对任意两个向量,a b，总有a b a b⑥若三向量,,a b c满足0++=，则此三向量围成一个三角形．a b c其中正确的命题是__________(填序号)【答案】①⑤+=+，故①正确；【详解】对于①，若,a b同向，则+b a与,a b同向，所以b a b a+前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不对于②，a b+与a b正确；+<+，故③不正确；对于③，若,a b不共线，则有a b a b=+，故④不正确；对于④，若0b=，则a a b+≤+，故⑤正确；对于⑤，对任意两个向量,a b，总有a b a b对于⑥，若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，若,,a b c 中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．故答案为：①⑤．2．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，若AB a =，AD b =，则EF =（ ）A ．53124a b - B ．115124a b - C ．133124a b - D ．195124a b - 【答案】A 【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可. 【详解】解：因为在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，所以()()EF AF AE AB BF AD DE =-=+-+，()()111444BF BD AD AB b a ==-=-，所以()115343124a b a b EF a a b ⎡⎤⎛⎫=+--+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．故选：A3.如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析 法一 由题图可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →＝12AB →＋23AD →. 因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二 因为BE →＝2EC →， 所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一.法三 如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0. 由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3.[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且ED AE 3=，则AE 等于（ ） A ．1122AB AC +B ．1328AB AC + C ．3388AB AC +D ．3182AB AC +【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：在ABC 中，D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， 又ED AE 3=，所以34AE AD =， 所以()3313344288AE AD AB AC AB AC ==⨯+=+；故选：C 2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-.故选：C. 3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -【答案】B 【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭． 4．（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，3,3AD AE BC BF ==，则EF 可表示为（ ）A ．1133AB DC +B ．2233AB DC + C ．1233AB DC +D ．2133AB DC +【答案】D 【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.【详解】∵3,3AD AE BC BF ==，∴20,20EA ED BF CF +=+=， ∵,2222EF EA AB BF EF EA AB BF =++=++， 又EF ED DC CF =++，∴32222EF EA AB BF ED DC CF AB DC =+++++=+，即2133EF AB DC =+.故选：D.➢考点3 共线向量定理的应用1．（2021·北京通州·一模）设向量12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e e =-，123AC e e =+，122BD e ke =-，且B ，C ，D 三点共线，则BC =______（用12,e e 表示）；实数k =______．【答案】 124e e -+ 8【分析】由向量减法法则得BC AC AB =-即可得答案，再根据B ，C ，D 三点共线，得BD BC λ=即可得答案.【详解】由向量减法法则得：124BC AC AB e e =-=-+， 由于B ，C ，D 三点共线，所以BD BC λ=，即：()121224e ke e e λ-=-+，所以24k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得：28k λ=-⎧⎨=⎩.故答案为：124e e -+；82．（2022·全国·高三专题练习）设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +和k +a b 共线． 【解】（1）证明：AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，()283BD BC CD a b a b ∴=+=++- ()283355a b a b a b AB =++-=+= AB ∴，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．（2）ka b +和k +a b 共线，∴存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+， 即ka b a kb λλ+=+，()()1k a k b λλ∴-=-.a ，b 是两个不共线的非零向量，10k k λλ∴-=-= 210k ∴-=，1k ∴=±.[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）已知5AB a b =+，36BC a b =-+，4CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】A 【详解】由题意得5BD BC CD a b AB =+=+=，又,BD AB 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A 【分析】根据向量共线定理得到21a b +=，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以向量AB 、AC 共线， 所以存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()121a e e -+()122be e λ=-，即()121a e e -+122be e λλ=-，因为1e 、2e 不共线，所以121a b λλ-=⎧⎨=-⎩，消去λ，得21a b +=，因为0a >，0b >，所以21a b +=()212a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭44a b b a =++44228≥+=+⨯=，当且仅当12a =，14b =时，等号成立.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．35【答案】A【分析】根据O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥，R λ∃∈，OB OA λ=，代入整理． 【详解】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=-整理得：()()531x m n λλ-=+ 又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =-故选：A ．4．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量,a b ，()R AB ta b t =-∈，23AC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数t = __________.【答案】23-【分析】根据三点共线的向量表达可得AB k AC =，再根据平面向量的线性运算与基本定理求解即可【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB k AC =， 所以()2323ta b k a b ka kb -=+=+，即()()231t k a k b -=+，因为,a b 不共线，所以20,310t k k -=+=，解得12,33k t =-=-故答案为：23-5．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，B ，M ，G 三点共线.若(62)AM a AE a AF =+-，则实数a 的值为______. 【答案】143【分析】将AM 化为以,AB AG 为基底可得()3123AM AB a AG =+-，由B ，M ，G 三点共线可知()3+1231a -=，计算即可. 【详解】(62)AM a AE a AF =+-，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，()()1(62)231232AM a AB AG a AB AG AB a AG ⎛⎫∴=++-+=+- ⎪⎝⎭,B ，M ，G 三点共线，3+1231a -=，解得：143a =. 故答案为：143.6．（2022·全国·高三专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1. 【解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+-，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦， 故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+-，即()()()1m OP OA m OB OP -=--，()1mAP m PB =-，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ=，变形得()OP OA OB OPλ-=-，即()1OP OB OAλλ+=+，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++，又OP mOA nOB =+，1111λλλ+=++，故1m n +=。
单位向量的定义和公式单位向量是一个长度为1的向量，其方向与原向量相同。
单位向量可以用来表示方向，而无需关心向量的大小。
在3D空间中，单位向量常常用来表示坐标轴的方向。
设向量a是一个非零向量，单位向量u是一个与a方向相同的向量，且长度为1，称u为a的单位向量。
记为u=a/，a，其中，a，表示向量a的模长。
1.对于二维向量：设向量a=(x,y)，其模长为，a，=√(x²+y²)。
那么，a的单位向量u=(x/，a，,y/，a，)。
2.对于三维向量：设向量a=(x,y,z)，其模长为，a，=√(x²+y²+z²)。
那么，a的单位向量u=(x/，a，,y/，a，,z/，a，)。
1.求出向量a的模长，a。
2.将向量a的坐标分量都除以模长，a，得到u的坐标分量。
举例说明：1.二维向量的单位向量：设向量a=(3,4)。
首先求出向量a的模长，a，=√(3²+4²)=5然后将向量a的坐标分量(3,4)都除以模长5，得到单位向量u=(3/5,4/5)。
2.三维向量的单位向量：设向量a=(1,-2,2)。
首先求出向量a的模长，a，=√(1²+(-2)²+2²)=√9=3然后将向量a的坐标分量(1,-2,2)都除以模长3，得到单位向量u=(1/3,-2/3,2/3)。
1.单位向量的长度永远为1，即，u，=12.单位向量与原向量的方向相同，但大小不同。
3.任何非零向量都可以乘以一个常数，得到一个与之相同方向的单位向量。
应用场景：单位向量在计算机图形学、物理学、工程学等领域中得到广泛应用，用来表示方向、角度、位移等概念。
例如：1.在计算机图形学中，单位向量可以用来表示光线方向、法线方向等。
2.在物理学中，单位向量可以用来表示速度、加速度、力等的方向。
3.在工程学中，单位向量可以用来表示电场强度、磁场强度等的方向。
通过使用单位向量，我们可以更方便地进行向量运算和描述物理现象，同时减少与向量大小相关的复杂性，提高计算效率。
非零向量的单位向量是向量学中的一个基本概念，它在几何、物理和工程等多个领域都有广泛的应用。
单位向量是一个特殊的向量，其模长（即大小或长度）等于1，而方向则与原向量相同。
单位向量的定义不仅仅是一个数学概念，它在实际应用中发挥着重要的作用。
首先，单位向量的定义基于非零向量。
非零向量是指在空间中有方向和大小（非零长度）的向量。
与之相对，零向量没有方向也没有大小，因此不能作为单位向量的基础。
单位向量是非零向量的一个标准化形式，它保留了原向量的方向，但模长被归一化为1。
单位向量的定义可以用数学公式表示为：若向量a是非零向量，那么向量a的单位向量u可以定义为u = a / |a|，其中|a|表示向量a的模长。
这个公式通过将原向量除以其模长，得到了一个与原向量方向相同但模长为1的向量。
单位向量在几何和物理中有许多应用。
例如，在描述物体的运动方向时，使用单位向量可以方便地表示物体的速度或加速度的方向，而不受速度或加速度大小的影响。
在图形学中，单位向量常用于表示表面的法线方向或光线的方向。
此外，单位向量还在计算向量的点积、叉积等运算中发挥着重要作用。
单位向量的引入使得向量运算更加简洁和方便。
由于单位向量的模长为1，许多涉及向量模长的复杂运算可以被简化。
例如，在计算向量的夹角时，可以直接使用点积公式cosθ = u·v，其中u和v是两个单位向量，而不需要考虑它们的模长。
总之，非零向量的单位向量是一种重要的数学概念，它在几何、物理和工程等多个领域都有广泛的应用。
通过引入单位向量，我们可以更加方便地描述和计算向量的方向和性质。
