线性方程组解的结构解法一、齐次线性方程组的解法定义 rA = r <n ,若AX = 0A 为m n ⨯矩阵的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：1 ,,,n r -12ξξξ线性无关;2 AX = 0 的任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 ;其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.齐次线性方程组的关键问题就是求通解, 而求通解的关键问题是求基础解系. 定理 若齐次线性方程组AX = 0有解,则1 若齐次线性方程组AX = 0A 为m n ⨯矩阵满足()r A n =,则只有零解；2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.注：当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.注：1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组简称“导出组”为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组;由上述定理可知,若m 是系数矩阵的行数也即方程的个数,n 是未知量的个数,则有：（1） 当m n <时,()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；2当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； 3当m n =且()r A n =时,若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解； 4当m n >时,若()r A n ≤,则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >,则齐次线性方程组无解;1、求AX = 0A 为m n ⨯矩阵通解的三步骤1−−→A C 行行最简形; 写出同解方程组CX =0. 2 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;3 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.例题1 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解,即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数即m n =注意：方程组的个数不等于未知量的个数即m n ≠,不可以用行列式的方法来判断,从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---,知方程组仅有零解,即12340x x x x ====. 注：此法仅对n 较小时方便例题2 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩其中3x ,4x ,5x 为自由未知量令31x =,40x =,50x =,得121,2x x ==-； 令30x =,41x =,50x =,得121,2x x ==-； 令30x =,40x =,51x =,得125,6x x ==-, 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以,原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++1k ,2k ,3k R ∈. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解,()m n r r ⨯=A A用初等行变换求解,不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη,12,,,n r k k k -为任意常数;其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系,0η为AX = b 的特解,定理1 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解,α是其导出组AX=0的一个解,则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解;定理2如果0η是非齐次线性方程组的一个特解,α是其导出组的全部解,则αη+0是非齐次线性方程组的全部解;由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其导出组一定有非零解,且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解,r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系; 例题3判断下列命题是否正确, A 为m ⨯n 矩阵.1若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因rA =n , rA = n = rA |b2若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因rA <n , rA = rA |b3若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, rA = rA |b =n. 4若AX =0有非零解,则A TX=0也有非零解.答:错,A 为m ⨯n , rA =m <n , rA T=m , 这时A TX=0只有零解. 例如A 为3⨯4, RA =3 <4, rA T=3=m . 5若rA =r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,rA =r =m= rA |b .6若rA =r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m ⨯n ,当m >n 时, 可以rA |b =n +1. ⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例题4 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩ 解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦))332311(224(3r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 可见()()3r A r A ==,则方程组有唯一解,所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解或若阶梯形方程组出现100r d +=≠,则原方程组无解例题5解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可见()3()2r A r A =≠=,所以原方程组无解.⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例题6解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 2321221(1)101520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()24r A r A ==<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ 其中3x ,4x 为自由未知量令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩其中3x ,4x 为自由未知量令31x =,40x =,得121,2x x =-=；令30x =,41x =,得125,7x x ==-,于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;所以,原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++1k ,2k R ∈.例题7 求线性方程组：12341234123421,22,2 3.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 的全部解. 解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23r r ↔−−−→ 121120112103333-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 23212(3)(2)(1)r r r r r ⨯-+⨯-+⨯-−−−−→ 103340112100636⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦33331()3123()212r r r r ⨯-⨯⨯-⨯−−−−→310012301002100112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()34r A r A ==<,所以方程组有无穷多解,其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量 令40x =,可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令42x =-注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数,得1233,3,1x x x ==-=,于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以,原方程组的通解为 X k ηξ=+ k R ∈.例题8求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解;解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=421500421500421500312331515493111231203162312331A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→000000000000421500312331因为52)()(<==A r A r ,所以非齐次线性方程组有无穷多组解,取自由未知量为542,,x x x , 原方程组与方程组⎩⎨⎧-=-+-=+-++425323354354321x x x x x x x x 同解取自由未知量542,,x x x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000,得原方程组的一个特解： T ⎪⎭⎫⎝⎛=0,0,54,0,530η再求其导出组的基础解系,其导出组与方程组⎩⎨⎧=-+-=+-++025023354354321x x x x x x x x 同解对自由未知量542,,x x x 分别取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100,010,001,代入上式得到其导出组的一个基础解系为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100,010,0001352513515721ααα 则原方程组的全部解为：0332211ηααα+++=C C C X 三、证明与判断例题9已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,证明,,211ηηη+321ηηη++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系;证：由已知可得：齐次线性方程组AX ＝0的基础解系含有3个解向量,并且由齐次线性方程组解的性质可知321211,,ηηηηηη+++都是AX ＝0的解；因此只要证明321211,,ηηηηηη+++线性无关即可; 设存在数321,,k k k 使0)()(321321211=+++++ηηηηηηk k k 成立; 整理得： 0)()(332321321=+++++ηηηk k k k k k 1已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,即得321,,ηηη线性无关,则由1得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,解得：0321===k k k 所以321211,,ηηηηηη+++线性无关; 即321211,,ηηηηηη+++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系; 例题10已知,,,1234ξξξξ是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系,若,,,t t t =+=+=+112223334ξξξξξξηηη t =+441ξξη;讨论t 满足什么条件时,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系解：首先,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的解,只须证,,,1234ηηηη线性无关.由已知有：(,,,)(,,,)t tt t⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭12341234100100010001ξξξξηηηη 因为：,,,1234ηηηη线性无关0t tt t⇔≠100100010001, 即t t t t=100100010001t -≠041, 所以当t ≠ ±1时, ,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系例题11已知n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且rA =n -1,求线性方程组AX =0的通解. 解 ：由rA =n -1知AX =0的基础解系有一个非零解向量. 又0,,,,i i in a a a i n +++==1212, 即0i i in a a a ⋅+⋅++⋅=12111T (,,,),k ∴=111X k 为任意常数为所求通解.例题12设X 1,X 2,…, X t 是非齐次线性方程组 AX =b ≠0 的解向量,证明： 对于X 0=k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t当k 1 +k 2+…+k t =1时, X 0是AX =b 的解；当k 1 +k 2+…+k t =0时, X 0是AX =0的解. 证 ：AX 0=Ak 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t =k 1 AX 1+k 2 AX 2+…+k t AX t =k 1 b +k 2 b +…+k t b =k 1+k 2+…+k t b故：当k 1+k 2 +…+k t =1时, AX 0 =b 当k 1 +k 2+…+k t =0时, AX 0=0由此可见, 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解例题13已知,12ηη为=AX β的两个不同解,12,ξξ是0AX =的一个基础解系.12,k k 为任意常数. 则=AX β的通解为 答案B (A)().k k -+++12112122ξξξηη (B)().k k ++-+12112122ξξξηη(C)().k k -+++12112122ξηηηη (D)().k k ++-+12112122ξηηηη例题14设321,,ηηη是四元非齐次线性方程组AX ＝b 的三个解向量,且矩阵A 的秩为3,()()TT 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ηηη,求AX ＝b 的通解;解：因为A 的秩为3,则AX ＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量;由线性方程组解的性质得：)()(21312132ηηηηηηη-+-=-+是AX ＝0的解, 则解得AX ＝0的一个非零解为：()T5,4,3,22132----=-+ηηη;由此可得AX ＝b 的通解为：()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+;例题15设A 是4阶方阵, β≠0是4×1矩阵, 1234()2,,,,=r A ηηηη是AX =β的解,且满足 122334232401,2,3030831⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη试求方程组AX =β的通解.解：先求AX =β的一个特解12112()024*⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ηηη再求AX =β的一个基础解系112230112()(2)1233⎡⎤⎢⎥=+-+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ξηηηη,21234272()(3)015⎡⎤⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξηηηη因为124()2,,R -=A ξξ线性无关,所以12,ξξ是0AX =的一个基础解系.故方程组AX =β的通解是1122k k *=++=X ξξη121022*********k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 12,k k 为任意常数.例题16设矩阵A ＝()()s n ij nm ijb B a ⨯⨯=,;证明：AB ＝0的充分必要条件是矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解;证：把矩阵B 按列分块：()s B B B B ,,,21 =,其中i B 是矩阵B 的第i 列向量),2,1(s i =,零矩阵也按列分块()s s m O O O O ,,,21 =⨯ 则()s AB AB AB AB ,,,21 = 必要性：AB ＝0可得： ),,2,1(,s i O AB i i ==,即i B 是齐次方程组AX=0的解;充分性：矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解,即有 ),,2,1(,s i O AB i i ==得：()s AB AB AB AB ,,,21 =()s O O O ,,,21 =,即证;。
