功和能_第3讲_保守力和势能

保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系是一个基本的物理原理，它描述了一个物体在受到保守力作用下，其势能的变化与所受的保守力所做的功之间的关系。

首先，我们来定义保守力。

保守力是一个与路径无关的力，它只与物体的位置有关。

这意味着，如果一个物体沿着一个闭合回路运动，受到的保守力所做的总功为零。

常见的保守力有重力和弹性力。

当一个物体受到保守力作用时，它的势能会发生变化。

势能是描述物体位置所具有的能量。

根据势能的定义，势能的变化可以通过将物体从一个位置移动到另一个位置时保守力所做的功来计算。

根据物体在保守力作用下的势能变化，我们可以得出以下关系：
势能变化 = -保守力所做的功
这个关系可以解释为，当保守力对物体做正功时，物体的势能减少；反之，当保守力对物体做负功时，物体的势能增加。

这个关系也可以用数学公式来表示。

假设物体在从位置A移动到位置B时，保守力所做的功为W_AB，物体在位置A的势能为U_A，位置B
的势能为U_B，则势能变化为：
ΔU = U_B - U_A = -W_AB
其中，ΔU表示势能变化。

需要注意的是，这个关系只适用于保守力。

非保守力所做的功不能简单地与势能变化相联系。

非保守力所做的功还需要考虑其他能量转化形式，比如热能、摩擦力等。

总结起来，保守力做功和势能变化之间存在着简单的关系。

势能变化等于保守力所做的功的负值。

这个关系对于理解物体在保守力作用下的运动和能量转化非常重要。

保守力的功势能（1）重力的功XYZOa b∙∙∙gm rd m 在重力作用下由a 运动到b ，取地面为坐标原点⎰⋅=bard g m W ⎰++⋅-=ba )k dz j dy i dx (k )mg (⎰-=b az z mgdza b mgz mgz =-=初态量-末态量（2）万有引力的功rdr rMm G Wbar r ∙-=⎰3rdrr Mm G b ar r 3⎰-=)()(ba r Mm G r Mm G ---==初态量-末态量两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M 所在处为原点, M 指向m 的方向为位矢的正方向。

m 受的引力方向与位矢方向相反。

rdr r d r r d r ==∙θcos rrMm G F3-=Mr abm（3）弹力的功∙∙∙弹簧振子ikx F-=221122()b ax x b a W kxi dxikx kx=-∙=--⎰222121b a kx kx -==初态量-末态量某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关,而与路径无关,这种力称为保守力。

典型的保守力：重力、万有引力、弹性力、电场力与保守力相对应的是耗散力典型的耗散力：摩擦力、粘滞阻力、磁力势能AB功是能的量度，给定两点A 、B ，保守力所做的功是一定的，即对应能量差是一定的，对应的这种能定义为势能，只与质点的位置有关。

)()(b E a E W P P ab -=定义了势能差保守力做正功等于相应势能的减少保守力做负功等于相应势能的增加选择b 点为势能为零,则0)(=b E P ab P W E (a)=质点在某一点a 的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点a 移动到零势能点时保守力所做的功rd F a E ar p∙=⎰零势能点保)(mgh E =重力2kx 21E =弹性rMm GE -=引力说明：（1）只有保守力的系统，才可引入相应的势能（2）计算势能必须规定零势能参考点（3）势能仅有相对意义，它与零势能点的选取有关，但两点间势能差与零势能点选取无关（4）势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不为单个物体所具有保守力与势能函数的关系一般说来，势能是位置的函数，若用E P (x,y,z)表示，那么zE F y E F x E F pz p y p x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=++=k z E j y E i x E k F j F i F F p p p z y x p E k z j yi x )( ∂∂+∂∂+∂∂-=pp E grdE -∇=-=质点所受保守力等于质点势能梯度的负值。

１６第三章 功和能【基本内容】一、功、功率1、功功的定义：力对空间的累积。

变力F使物体发生位移r d所作的功dsF r d F dW θcos =⋅=使物体由A 沿路径L 运动到B 点作功：⎰⋅=BAr d F dW合力的功：合力之功等于各分力沿同一路径所作功的代数和。

nW W W W +++= 212、一对力的功一对相互作用力2112F F -=，两物体的元位移分别为1r d 和2r d，则⎰⋅=⇒⋅=-⋅=⋅+⋅=121212122112221112)(r d F A r d F r r d F r d F r d F dW任何一对力所做的总功只依赖于两物体之间的相对位移，与参照系的选择无关。

3、功率——描述物体作功的快慢程度。

平均功率：力F在tt t∆+→时间内所作的功W ∆与时间t ∆的比值。

tW P ∆∆=瞬时功率：功对时间的一阶导数。

dtdW P =推论：θcos Fv v F P =⋅=１７功率的单位：焦耳/秒（J/S ）二、保守力、势能1、保守力：作功只与始末位置有关，与路径无关的力叫保守力。

其数学表达式为 0=⋅⎰lr d f2、势能（1）势能的引入：保守力所的功等于势能增量的负值。

P PA PB BAE E E r d f W ∆-=--=⋅=⎰)(（2）几种常见的势能表达式重力势能：mgh E P = 零点：h 为0处。

万有引力势能：rmM G E P -= 零点：r 为∞处。

弹性势能：221kx E P -= 零点：x 为0处（自然状态自由端位置）。

3、保守力与势能的关系保守力等于势能函数梯度的负值。

PE f -∇=，梯度算符：k zj yi x∂∂+∂∂+∂∂=∇三、动能、动能定律1、质点的动能定理：合力对质点所作的功等于质点动能的增量。

E E E W K A K B AB ∆=-=2、质点系的动能定理外力对质点系所作的功与内力对质点系所作的功之和等于质点系动能的增量。