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,解得n=8.
设第r+1项为有理项， r 1 T
C8
r
1 2
r
1 6 -3 r
x
4
，
则r是4的倍数，所以r=0，4，8.
所以展开式中的有理项为T1=x4，
T5 35 8 x , T9 1 256 x
2
.
点评：熟记二项展开式的通项公式是求 指定项的基础，求解过程中注意项的符号、 系数、字母、字母指数四个方面.
1 |x|
) ( | x |)
r 6-2 r
6-r
C 6 (-1) ( | x | )
,
令6-2r=0，得r=3.
所以展开式中常数项为 T 4 C 6 (-1) -20 .
3 3
题型3 求展开式中的系数和 3. (1)求(1-3x)8的展开式中各项系数的绝对 值之和. (2)求(1+2x)12· 8的展开式中x的奇次幂的 (2-x) 系数之和. 解:(1)设(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.其中a0, a2, a4, a6, a8＞0, a1, a3, a5, a7＜0. 取x=-1，则 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|=a0-a1+a2- a3+…+a8 =(1+3)8=48.
所以展开式中合并同类项后x4的系数是
C 10 - 2 C 10 - C 10 -75 .
4 3 2
(2)原式=
4
15 (1 x ) (1 x ) - 1
x x 因为(1+x)16的二项展开式中x4的系数是
(1 x ) - 1
(1 x )
16
-
1
-1.
C 1 6 =1820，所以原式的展开式中x3的系数是1820.
3. 有关求二项展开式中的项、系数、 参数值或取值范围等，一般要利用通项公 式求解，结合方程思想进行求值，通过解 不等式求取值范围.
4. 求展开式中的系数和，一般通过对a、 b适当赋值来求解；对求非二项式的展开式 系数和，可先确定其展开式中的最高次数， 按多项式形式设出其展开式，再赋值求系 数和.
拓展练习 求(| x | | x | - 2 ) 的展开式中的常数 项.
3
1
解法1：x | (|
1 |x|
- 2) (| x |
3
1 |x|
- 2)(| x |
1 |x|
- 2) (| x |
1 |x|
- 2)
.
得到常数项的情况有：
①三个括号中全取-2，得(-2)3；
②一个括号中取|x|，一个括号中取
所以x的取值范围是(
,
12
).
(2)因为 (1 x m x ) 1 x ( m x 1)
2 10
1 2 2 2 3 3
10
1 C 1 0 x ( m x 1) C 1 0 x ( m x 1) C 1 0 x ( m x 1) C 1 0 x ( m x 1) L C 1 0 x ( m x 1)
4 4 4 10 10
3
.
由此可知,上式中只有第三、四、五项的展 开式中含有x4项,其系数分别为：
C 10 m , C 10 C 3 m , C 10 .
4 由已知, C 120 m 2 C 130 C 32 m C 1＞-330. 0 化简整理,得m2+8m+12>0,即(m+2)(m+6)>0.
盘点指南: ①C n0 a n C n1 a n -1b C nn -1 ab n -1 C nn b n ； ②二项展开式； ③二项式系数；
④ C nr a n - r b r ( r 0,1, 2, n ) ； ⑤等距离; ⑥递增的； ⑦递减的；
n
⑧最大值；
2
2
3
2
4
所以m＞-2或m＜-6,故m的取值范围是 (-∞，-6)∪(-2，+∞).
1. 展开式中常数项、有理项的特征是通 项式中未知数的指数分别为零和整数，解决这 类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数， 再根据上述特征进行分析.
2. 二项展开式中各项的系数与二项式系 数是不同的概念.一般地，某一项的系数是指 该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它 与a、b的取值有关，而二项式系数与a、b的取 值无关.
点评:多个二项式运算结果中的指定项的系数 求解问题,涉及到多个项的搭配,在配凑过程中,一 是注意不要遗漏某些对应项,如第(1)问中的第一个 式子中的常数项、一次项、二次项分别对应第二 个式子中的四次项、三次项、二次项;二是注意一 些公式的转化变形;如第(2)问中的多个求和式子可 利用求和公式将其转化.
3
-1
6 3 -1 1 r
6 3 - 1 1r 6
5
,
第一课时
题型1
(
求二项展开式中的项
x 1
4
1. 如果在 的展开式中,前三项 2 x 系数成等差数列,求展开式中的有理项.
)
n
解：展开式中前三项的系数分别为1，
n 2 , n ( n - 1) 8
,由题意得 2
n 2
1
n ( n - 1) 8
一个括号中取-2，得 C 3 C 2 (-2 ) -1 2 ，
1 1
, |x|
1
所以展开式中的常数项为(-2)3+(-12)=-20.
(| 解法2： x |
1 |x|
- 2) ( | x | 3
1 |x|
)
6
.
设第r+1项为常数项，
则 Tr 1
C 6 (-1) (
r r r r
点评:求展开式中的系数和问题, 一般采用赋值法:即把式子看成某字母 的函数,再结合所求系数式子的特点, 分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可 求得系数和.
拓展练习已知
(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a0+a1x+a2 x2+a3x3+…+a8x8，则 a1+a2+a3+…+a8=_____. 502
解：(1)因为 T1 C 6 1, T 2 C 6 2 x ,
0 1
T3 C 6 (2 x ) 6 0 x ，
2 2 2
由已知
即
x 1 12
T 2 T1
T 2 T3
，所以
1 12
1
1 2 x 1 12 x60 x
x
1 5
2
，
，解得
1 5
，
x (5 x - 1) 0
第 十 章
排列、组合、二 项式定理和概率
10.4
二项式定理
●二项式定理，二项展开式及其通 考点 项公式 搜索 ●二项式系数及其性质
1.利用通项公式解决二项展开式中 高考 的项与系数问题. 猜想 2.利用二项式定理求近似值、求余 数、证明不等式等.
1.对于n∈N*，(a+b)n= ①_______________________，这个公式所 表示的定理叫做二项式定理，等式右边的多 C a C a b C ab C b 二项展开式 项式叫做(a+b)n的②___________. 2.二项展开式中各项的系数 C r (r=0，1， n 二项式系数 2，…，n)叫做③___________；二项展开式 的第r+1项叫做二项展开式的通项，用Tr+1表 r n-r r Cn a b (r 0,1, 2, n) 示，Tr+1=④____________________. 等距离 3.与首末两端⑤_______的两个二项式 系数相等.
Tr 1 C 1 0 x
r
2
(3 x )
0
2
-r
C10 x
r
2
3
-r
.
C10 3
2 -2
令1 0 - 5 r
2
, 得r=2.
3
故展开式中的常数项为第三项,且T
5
.
题型2 求二项展开式中指定项的系数 2. (1)求(1+2x-x2)(1-x)10的展开式中x4的系
数.
(2)求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)15的展开式中 x3的系数. 解：(1)因为(1-x)10展开式中x4，x3，x2的 系数分别为C 140 , - C 130 , C 120 ，
(-
1 x
) C7 2
(-1) x
r
r - 3(7 -r ) 2
，
当-
r 2
3(7 - r ) 0
，即r=6时，它为常数项，
14 .
所以常数项为 C 76 (-1) 6 2 1
已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|等于( B ) A. 29
3 2 -1
3
-1
x3)
n
的展开式中各项系数和
所以令x=1，即得所有项系数和为2n=128， 所以n=7. 设该二项展开式中的第r+1项为
，令 Tr 1 C ( x ) ( x ) C x 5项的系数为 C 3 =35. 即r=3时，x 7
