【人教A版】高中数学同步辅导与检测第二章2.2-2.2.2第1课时对数函数的图象及其性质

第二章基本初等函数（I ）2.2对数函数2.2.1对数与对数运算----------- 高效演练知能提升 -------------A 级基础巩一、选择题1-在 ” = 10g(a-2)(5 —d)中 实数4的取值范围是（D. 3vav45—a>0, 解析：由对数的定义知<。

一2>0, 。

一2工1, K.所以2<a<3或3sv5・答案：B2•方程2^3" = v 的解是4 A —丄 联一迈A ・兀一9B ・x- 3C ・兀=、/5D ・x=9解析：因为 2^0^3 JL =2_2,所以 log3X=—2,所以 X =3"2=|.答案:A3・有以下四个结论:®lg(lg 10)=0； (2)ln(ln e)=0；③若 10=lgA- a>5 或 a<2 B • 2<a<3 或 3SV5C. 2<a<5 a<59 即彳d>2,4工3,x,则兀=100；④若e=ln x,贝0 x=e2.其中正确的是（）A.①③B.②④C.①②D.③④解析：因为lg 10=1,所以lg(lg 10)=0,故①正确; 因为lne=l,所以ln(ln e)=0,故②正确； 由lg 兀=10,得1010=x,故兀工100,故③错误； 由e=ln x,得£=兀，故x^e 2,所以④错误.答案：CA. 2B.| C ・ 1 D.j答案：D 5.已知 lga=2.31, lg ft=1.31,贝!||=( )A •血B ・占C ・10D ・100解析:因为lg 仇=2.31, lg 〃=l ・31,所以 lg a-lg Z>=lg^=2.31-1.31 = l,所以彳=10•故选C.答案:c二、填空题6・已知加>0,且10v =lg (10/w)+lg^~,则兀= ____________ ・解析：因为 lg(10m)+lg-=lg 10/w- =lg 10=1,所以 10v =l,tn \得 X=0e 10為49 *og 7 的值是(解析: lo 為 49 log 7 10亞7 Iog 22 23三10型7=答案：07・方程lgx+lg (x-l) = l-lg5的根是 _____________ ・解析：方程变形为lg [x(x —l)]=lg 2,所以兀(x —1)=2,解得工 =2或x= —1.经检验兀=—1不合题意，舍去，所以原方程的根为兀 答案：221g4+lg9 2也12 3L l+lg 0.6+lg 2 l+lgV036+lgV8 lg (10X0.6X2)=2>答案:2 三、解答题lg 2_,g 8+l§ 12.5—10痂9><10莒34・解：法一：lg|—lg|+lg 12.5—log 89Xlog 34=Ig (捉 X 12・5)-鑑><酱=W法二:lg|-lg|+lg 12.5-log 89Xlog 34= ~lg 2-Ig 5+3居 2+(21g 5-lg 2)_鲁詮X 晋孑=4 4 1(ig 2+ig 5)_3=I _S =_3・ 10-已知 log fl 2=m, 10師3 =仏2 (Ig4+lg3) 解析：原式= lg4 lg8A lg3 9. +⑴求严-〃的值；(2)求logJ8.解:(1)因为log^2=/n, log fl3=n,所以a m=29 a n=3.所以严〃=严立=2?一3=壬(2)10缶18=logJ2 X 32) = log.2+log.32=log/+21og fl3=m^2n.B级能力提升1.计算log225 • 10疥2迈• log59的结果为( )A. 3 B・4 C・5 D・6解析:原“唸•嘗•阶静書•送= 答案：D2.已知logi47=a, logi45=ft,则用a,方表示Iog3514 =解析: 呃5吩器詈&唤7扎并=止・3•若a、b是方程2(lg x)2-lg川+1=0的两个实根，求lg(ab)• (log/+lo劭a)的值・解：原方程可化为2(lgx)2-41gx+l=0,设Z=lgx,则方程化为2”一4(+1=0,所以心 +『2 = 2, t\• ^2 = 2*又因为a、〃是方程2(Ig X)2-Ig x4+l=0的两个实根，所以(1 = lg伉，(2 = lg仇即lgtz+lg/>=2, lg6t*lgZ>=T.所以lg（血）・（10g#+10gM）= （lga+lg b）・lg2ft+lg2a . （lgtt+lg^）2-21g a\gbby Ig«-lgZ> =（，g a +，g仍.丽丽=2X^^~lg alg b2 = 12,即lg（血）・（10歸+10卿）=12.。

一、选择题1．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )A．{x|x>－1} B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1} D．∅解析：由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，则M∩N＝{x|－1<x<1}．答案：C2．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是( ) A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．不是奇函数又不是偶函数解析：∵3x＋3－x>0恒成立．∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．答案：B3．如图是三个对数函数的图像，则a、b、c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．a>c>b解析：由图可知a>1，而0<b<1,0<c<1，取y＝1，则可知c>b.∴a>c>b.答案：D4．已知函数f(x)＝|lg x|.若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：f(x)＝|lg x|的图像如图所示，由题可设0<a<1，b>1，∴|lg a|＝－lg a，|lg b|＝lg b，∴－lg a＝lg b.＝b，即1a∴a＋b＝a＋1a(0<a<1)．又∵函数y＝x＋1x(0<x<1)为减函数，∴a＋1a>2.答案：C二、填空题5．对数函数的图像过点(16,4)，则此函数的解析式为________．解析：设f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，则log a16＝4.∴a4＝16，又∵a>0且a≠1，∴a＝2.即f(x)＝log2x.答案：f(x)＝log2x6．已知函数y＝3＋log a(2x＋3)(a>0且a≠1)的图像必经过定点P，则P点坐标________．解析：∵当2x＋3＝1即x＝－1时，log a(2x＋3)＝0，y＝3，P(－1,3)．答案：(－1,3)7．方程x2＝log x解的个数是________．解析：函数y＝x2和y＝log x在同一坐标系内的图像大致为：答案：18．若实数a满足log a2>1，则a的取值范围为________．解析：当a>1时，log a2>1＝log a a.∴2>a.∴1<a<2；当0<a<1时，log a2<0.不满足题意． 答案：1<a <2 三、解答题9．(1)已知函数y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(2a＋1)x＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ， 所以x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以Δ＝4－4a <0， 所以 a >1.故a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)依题意(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时， 错误! 解得a <－54.当a 2－1＝0时，显然(2a ＋1)x ＋1>0，对x ∈R 不恒成立． 所以a 的取值范围是(－∞，－54)．10．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域： (2)判断函数的奇偶性．解：(1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1>0，，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1， 此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．。

2.2.2 对数函数及其性质一、A组1.y=2x与y=log2x的图象关于()A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称解析:函数y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.答案:B2.函数y=ln(1-x)的图象大致为()解析:函数的定义域为(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.答案:C3.函数f(x)=lo(5-4x-x2)的值域为()A.[2,+∞)B.(-∞,-2]C.[-2,+∞)D.(-∞,2]解析:令u=5-4x-x2=-(x+2)2+9,由题意知u∈(0,9],而y=lo u在(0,9]上为减函数,∴y≥lo9=-2.答案:C4.(2016·广东汕尾高二期末)函数y=的定义域为.解析:要使函数y=有意义,须解得x>0,且x≠1,所以函数y=的定义域为(0,1)∪(1,+∞).答案:(0,1)∪(1,+∞)5.若对数函数f(x)的图象经过点P(8,3),则f=.解析:设f(x)=log a x(a>0,a≠1),则log a8=3,∴a3=8,∴a=2.∴f(x)=log2x,故f=log2=-1.答案:-16.若函数f(x)=f·lg x+1,则f(10)=.解析:令x=10,得f(10)=f+1; ①令x=,得f=f(10)·(-1)+1.②由①②,得f(10)=1.答案:17.若函数f(x)=log a(x+1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为-1,则a=.解析:当a>1时,f(x)单调递增;当0<a<1时,f(x)单调递减,所以最大值与最小值的和均为f(0)+f(1)=log a1+log a2=log a2.所以log a2=-1,即a=.答案:8.已知函数f(x)=lg(x-1).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)证明f(x)在定义域上是增函数.(1)解:要使函数有意义,则x-1>0,解得x>1,即函数f(x)的定义域是(1,+∞).由于函数f(x)的定义域是(1,+∞),则有u=x-1的值域是(0,+∞),则函数f(x)的值域是R.(2)证明:设x1,x2为(1,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则有f(x1)-f(x2)=lg(x1-1)-lg(x2-1)=lg.∵1<x1<x2,∴0<x1-1<x2-1.∴0<<1.又当0<x<1时,y=lg x<0,∴lg<0.∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在定义域上是增函数.9y=|log2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.解:先作出函数y=log2x的图象,如图甲.再将y=log2x在x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图象不变),得函数y=|log2x|的图象,如图乙;然后将y=|log2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log2x|+2的图象,如图丙.由图丙得函数y=|log2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).二、B组1.函数y=log a(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点()A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)解析:令x+2=1,得x=-1,此时y=1.答案:D2.若函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x),且g(a)=,则a=()A.2B.-2C.D.-解析:由题意,得g(x)=2x.∵g(a)=,∴2a=,∴a=-2.答案:B3.(2016·山东高唐高一期末)已知ab=1,函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)与函数g(x)=-log b x(b>0,且b≠1)的图象可能是()解析:∵ab=1,∴g(x)=-log b x=log a x,∴函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)与g(x)=-log b x(b>0,且b≠1)互为反函数.∴函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)与g(x)=-log b x(b>0,且b≠1)的图象关于直线y=x对称,故选B.答案:B4.(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f(x)=+log3(x+2)的定义域是.解析:由题意得解得-2<x≤3,且x≠-1.答案:(-2,-1)∪(-1,3]5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是.解析:由已知条件可得函数f(x)的解析式为f(x)=其图象如图所示.由函数图象可得不等式f(x)>0时,x的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).答案:(-1,0)∪(1,+∞)6.已知函数f(x)=log2(1+x2).求证:(1)函数f(x)是偶函数;(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.证明:(1)函数f(x)的定义域是R,f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)设x1,x2为(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=log2(1+)-log2(1+)=log2.由于0<x1<x2,则0<,0<1+<1+,所以0<<1.又函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以log2<0.所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.7.已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1),g(x)=lo(x2-4x-5).(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;(3)求函数g(x)的递减区间.解:(1)若f(x)的定义域为R,则y=ax2+2x+1的图象恒在x轴的上方,∴∴a>1.(2)若f(x)的值域为R,则y=ax2+2x+1的图象一定要与x轴有交点,∴a=0或∴0≤a≤1.(3)由x2-4x-5>0,得x>5或x<-1,∴函数g(x)的定义域为{x|x<-1,或x>5}.令u=x2-4x-5,则它在(5,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,又y=lo u在u>0时单调递减,由复合函数单调性的“同增异减”法则可知函数g(x)的单调递减区间为(5,+∞).。

高中数学 2.2.2对数函数及其性质同步测控优化训练 新人教A 必修15分钟训练 (预习类训练，可用于课前) 1.函数f （x ）=|log 2x|的图象是( )思路解析：考查对数函数的图象及图象变换.注意到y=|log 2x|的图象应是将y=log 2x 的图象位于x 轴下方的部分翻折到x 轴的上方，故选A. 答案：A2.若log a 2＜log b 2＜0，则a 、b 满足的关系是( )A.1＜a ＜bB.1＜b ＜aC.0＜a ＜b ＜1D.0＜b ＜a ＜1思路解析：考查y= log a x 和y=log b x 的图象.当x=2时，又log a 2＜log b 2＜0，所以y= log a x 和y=log b x 为减函数.∴a 、b 均小于1.又由log a 2＜log b 2知y= log a x 的图象与y=log b x 的图象如下图所示.故0＜b ＜a ＜1.答案：D3.函数y= log a （x-2）+1（a ＞0且a ≠1）恒过定点_________.思路解析：若x-2=1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a=1，都有y=1. 答案：（3，1）4.函数f （x ）=log （a-1）x 是减函数，则a 的取值范围是_________.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a 的不等式求a.由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2. 答案：1＜a ＜210分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.（2006广东高考）函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.(-31,+∞) B.(- 31,1) C.(- 31,31) D.(-∞,- 31) 思路解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧>+>-,013,01x x 解得-31<x<1.答案：B2.若函数f （x ）= log a x （0<a<1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( )A.42 B. 22 C. 41 D. 21 思路解析：本题关键是利用f （x ）的单调性确定f （x ）在［a ，2a ］上的最大值与最小值.f （x ）= log a x （0<a<1）在（0，+∞）上是减函数，当x ∈［a ，2a ］时，f （x ）max =f （a ）=1，f （x ）min =f （2a ）= log a 2a.根据题意，3 log a 2a=1，即log a 2a=31，所以log a 2+1=31，即log a 2=-32.故由32-a =2得a=322-42=.答案：A3.右图是对数函数y= log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，101时所对应图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )A.3,34, 53,101 B. 3, 34,101, 53 C. 34,3 , 53,101 D. 34,3 , 101, 53思路解析：因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案：A4.比较大小：（1）log 0.27和log 0.29； （2）log 35和log 65；（3）（lgm ）1.9和（lgm ）2.1（m ＞1）； （4）log 85和lg4. 思路解析：本题大小比较代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择. （1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x 当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29.（2）考察函数y= log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x 在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1.若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x 在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1.若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9=（lgm ）2.1.（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8，所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4.答案：（1）log 0.27＞log 0.29.（2）log 35＞log 65.（3）m ＞10时，（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;m=10时，lgm=1，（lgm ）1.9=（lgm ）2.1;1＜m ＜10时，（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1.（4）log 85＞lg4. 5.已知函数y=lg （x x -+12），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 思路解析：注意到12+x +x=xx -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），从而f （-x ）=lg （12+x +x ）=-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性. 解：由题意12+x -x ＞0，解得x ∈R ，即定义域为R. 又f （-x ）=lg ［1)(2+-x -（-x ）］=lg （12+x +x ）=lgxx -+112=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ）=-f （x ）,∴y=lg （12+x -x ）是奇函数.任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则121+x ＜122+x ⇒121+x +x 1＜122+x +x 2⇒12111x x ++>22211x x ++，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0，∴lg（121+x -x 1）＞lg （122+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f （x ）在（0，+∞）上为减函数.又f （x ）是定义在R 上的奇函数，故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数. 6.作出下列函数的图象：（1）y=|log 4x|-1；（2）y=31log |x+1|.思路解析：（1）y=|log 4x|-1的图象可以看成由y=log 4x 的图象经过变换而得到：将函数y=log 4x 的图象在x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折上去，得到y=|log 4x|的图象，再将y=|log 4x|的图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到了y=|log 4x|-1的图象. （2）y=31log |x+1|的图象可以看成由y=31log x 的图象经过变换而得到：将函数y=31log x的图象作出右边部分关于y 轴的对称图象，即得到函数y=31log |x|的图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=31log |x+1|的图象.解：函数（1）的图象作法如图①～③所示.函数（2）的图象作法如图④～⑥所示.7.函数y=lg|x|( )A.是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增B.是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减C.是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增D.是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减 思路解析：画出函数y=lg|x|的草图即得答案.在画函数y=lg|x|的草图时，注意应用函数y=lg|x|是个偶函数，其图象关于y 轴对称.比如列表时，要先确定对称轴，然后在对称轴的两侧取值列表.答案：B8.已知f （x ）=1+log x 3，g （x ）=2log x 2，试比较f （x ）与g （x ）的大小. 思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f （x ）与g （x ）的正负不确定，所以采取作差比较法.解：f （x ）和g （x ）的定义域都是（0，1）∪（1，+∞）.f （x ）-g （x ）=1+log x 3-2log x 2=1+log x 3-log x 4=log x 43x. （1）当0＜x ＜1时，若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＞0，即0＜x ＜1时，f （x ）＞g （x ）；（2）当x ＞1时，若43x ＞1，即x ＞34，此时log x 43x ＞0，即x ＞34时，f （x ）＞g （x ）； 若43x=1，即x=34，此时log x 43x=0，即x=34时，f （x ）=g （x ）； 若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＜0，即1＜x ＜34时，f （x ）＜g （x ）.综上所述，当x ∈（0，1）∪（34，+∞）时，f （x ）＞g （x ）； 当x=34时，f （x ）=g （x ）； 当x ∈（1，34）时，f （x ）＜g （x ）.快乐时光 七个男人和一个女人朋友闲来无事，到街上遛达，看到有一录像点高挂着牌子，写着：今晚精彩录像——《七个男人与一个女人的故事》，莫失良机.朋友好奇心发作，买票进场.待人坐齐以后，开始放映.一开场屏幕上出现了真实片名《八仙过海》. 30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x与y= log a x 的图象是( )思路解析：首先把y=a -x化为y=（a 1）x ，∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=（a1）x ，即y=a -x的图象是下降的，y= log a x 的图象是上升的.答案：A2.（2006福建高考，文）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=lgx.设a=f(56),b=f(23),c=f(25),则( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 思路解析：由题意，a=f(56)=f(-54)=-f(54)=-lg 54=lg 45,b=f(23)=f(-21)=-f(21)=-lg 21=lg2, c=f(25)=f(21)=lg 21,由于f(x)=lgx 在实数范围内为增函数，所以有c<a<b.答案：D3.已知函数f （x ）=lg （x 2-3x+2）的定义域为F ，函数g （x ）=lg （x-1）+lg （x-2）的定义域为G ，那么( ) A.GF B.G=F C.F ⊆G D.F ∩G=∅思路解析：F={x|x 2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴G F. 答案：A4.已知函数f （x ）=log 2（x 2-ax+3a ）在［2，+∞］上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.（-∞，4） B.（-4，4] C.（-∞，-4）∪［2，+∞) D.［-4，4)思路解析：解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=2a . 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=.22,0324)2(a a a u解得-4<a ≤4.答案：B5.（2006福建高考，理） 函数y=log 21-x x(x>1)的反函数是( ) A.y=122-x x (x>0) B.y=122-x x(x<0)C.y=x x 212- (x>0)D.y=xx 212- (x<0)思路解析：求函数时一定不要忘记求反函数的定义域，也就是原函数的值域.原函数值域为y>0,由于y=log 21-x x(x>1)=log 21-x x =log 2(1+11-x ),所以1+11-x =2y,x=121-y +1=122-y y .将x,y 对调，可得反函数为y=122-x x (x>0).答案：A6.已知函数f （x ）=log abx bx -+（a ＞1且b ＞0）. （1）求f （x ）的定义域； （2）判断函数的奇偶性；（3）判断f （x ）的单调性，并用定义证明.思路解析：本题考查定义域、单调性的求法及判断方法，注意要利用定义求解.解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+,0,0b x b x bx 解得x ＜-b 或x ＞b.∴函数f （x ）的定义域为（-∞，-b ）∪（b ，+∞）. （2）由于f （-x ）= log a （b x b x --+-）= log a （b x b x +-）= log a （b x b x -+）-1=- log a （bx bx -+）=-f （x ），所以f （x ）为奇函数.（3）设x 1、x 2是区间（b ，+∞）上任意两个值，且x 1＜x 2.则b x b x -+22-b x b x -+11=))(()(2))(()(1221122121221212b x b x x x b b x b x b bx bx x x b bx bx x x ---=----+--+-. ∵b ＞0，x 1-x 2＜0，x 2-b ＞0，x 1-b ＞0， ∴b x b x -+22-bx bx -+11＜0.∴b x b x -+22＜bx bx -+11. 又a ＞1时，函数y= log a x 是增函数， ∴log ab x b x -+22＜log a bx bx -+11，即f （x 2）＜f （x 1）. ∴函数f （x ）在区间（b ，+∞）上是减函数.同理，可证f （x ）在（-∞，-b ）上也是减函数.7.已知f （x ）=log axx-+11（a>0且a ≠1）. （1）求函数的定义域； （2）讨论函数的单调性；（3）求使f （x ）>0的x 的取值范围. 解：（1）由xx-+11>0得-1<x<1. ∴函数的定义域为（-1，1）. （2）对任意-1<x 1<x 2<1，1111x x -+-2211x x -+=)1)(1()(22121x x x x ---<0，∴1111x x -+<2211x x -+.当a>1时，log a1111x x -+<log a 2211x x -+，即f （x 1）<f （x 2）； 当0<a<1时，log a2211x x -+>log a 2211x x -+，即f （x 1）>f （x 2）. ∴当a>1时，f （x ）为（-1，1）上的增函数；当0<a<1时，f （x ）为（-1，1）上的减函数.（3）log axx-+11>0= log a 1. ∴当a>1时，x x -+11>1，即x x -+11-1=xx-12>0.∴2x （x-1）<0.∴0<x<1.当0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+,111,011xx xx解得-1<x<0；当a>1时，f （x ）>0的解为（0，1）；当0<a<1时，f （x ）>0的解为（-1，0）.8.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1），求f （log 2x ）的最小值及对应的x 的值.思路解析：关键是利用已知的两个条件求出a 、b 的值.解：由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a即)2()1(.4,0)1(log log 222⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-b a a a a由①得log 2a=1，∴a=2. 代入②得b=2.∴f （x ）=x 2-x+2.∴f （log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x-21）2+47. ∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值47，此时x=2.9.设a ≠0，对于函数f （x ）=log 3（ax 2-x+a ），（1）若x ∈R ，求实数a 的取值范围； （2）若f （x ）∈R ，求实数a 的取值范围.思路解析：f （x ）的定义域是R ，等价于ax 2-x+a ＞0对一切实数都成立，而f （x ）的值域为R ，等价于其真数ax 2-x+a 能取遍大于0的所有实数值，（1）与（2）虽只有一字之差，但结果却大不相同.解：（1）f （x ）的定义域为R ，则ax 2-x+a ＞0对一切实数x 恒成立，其等价条件是⎩⎨⎧<-=∆>.041,02a a 解得a ＞21. （2）f （x ）的值域为R ，则真数ax 2-x+a 能取遍大于0的所有实数，其等价条件是⎩⎨⎧≥-=∆>.041,02a a 解得0＜a ≤21. 10.已知a>0且a ≠1，f （log a x ）=12-a a （x-x1）. （1）试证明函数y=f （x ）的单调性.（2）是否存在实数m 满足：当y=f （x ）的定义域为（-1，1）时，有f （1-m ）+f （1-m 2）<0?若存在，求出其取值范围；若不存在，请说明理由.（3）若函数f （x ）-4恰好在（-∞，2）上取负值，求a 的值. （1）证明：由f （log a x ）=12-a a （x-x 1），得f （x ）=12-a a （a x -a -x），x ∈R ，任取x 1<x 2，f （x 1）-f （x 2）=12-a a （1x a -2x a ）21211x x x x a a +++.a>1时，1x a <2x a ，a 2-1>0；0<a<1时，1x a >2x a ，a 2-1<0.综上可得f （x 1）<f （x 2），即函数为减函数.（2）解：因为f （-x ）=-12-a a （a x -a -x ）=-f （x ），即函数为奇函数，f （1-m ）+f （1-m 2）<0可转化为f （1-m ）<f （m 2-1），所以⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-.11,111,11122m m m m 解得1<m<2.（3）解：f （x ）-4恰好在（-∞，2）的值为负，即当x ∈（-∞，2）时，有f （x ）-4<f （2）-4=0，解得a=2±3.11.已知f （x ）=lg （a x-b x）（a>1>b>0）. （1）求y=f （x ）的定义域；（2）在函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于x 轴？ 思路解析：（2）的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题. 解：（1）由a x-b x>0，得（b a ）x >1=（ba ）0. ∵ba>1，∴x>0. ∴函数的定义域为（0，+∞）.（2）先证明f （x ）是增函数.对于任意x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴1xa >2xa ，1x b <2xb .∴1x a -1x b >2x a -2xb .∴lg （1xa -1x b ）>lg （2x a -2xb ）.∴f （x 1）>f （x 2）.∴f （x ）在（0，+∞）上为增函数.假设y=f （x ）上存在不同的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1=y 2，这与f （x ）是增函数矛盾.∴y=f （x ）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴. 12.2006年春节晚会的现场上无数次响起响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90.1分贝.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级（spl ）来描述声音的大小：把一很小的声压P 0=2×10-5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB ）.分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区.（1）根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式.（2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ 思路解析：由已知条件即可写出分贝y 与声压P 之间的函数关系式，然后由函数关系式求得当P=0.002帕时，分贝y 的值.由此可判断所在区. 解：（1）由已知y=（lg0P P ）×20=20·lg 0P P （其中P 0=2×10-5）. （2）将P=0.002代入函数关系y=20lg0P P ，则y=20lg 5102002.0-⨯=20lg102=40（分贝）. 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以在噪音无害区，环境优良.。

2.2.2 对数函数及其性质课后训练1．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )．A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)2．已知集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |log 2x ＞1}，则M ∩N 等于( )．A ．B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜3}3．函数y 12log (43)x -( )．A ．(0,1] B.3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ 4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )．A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2 5．小华同学作出的a ＝2,3，12时的对数函数y ＝log a x 的图象如图所示，则对应于C 1，C 2，C 3的a 的值分别为( )．A ．2,3，12 B ．3,2，12 C.12，2,3 D.12，3,2 6．不等式13log (5＋x )＜13log (1－x )的解集为______． 7．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.8．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝0，则不等式f (log 4x )＜0的解集是______．9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (4－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)求使函数f (x )－g (x )的值为正数的x 的取值范围．10．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式．(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)2011年春节联欢晚会中，赵本山、王小利、小沈阳等表演小品《同桌的你》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？参考答案1. 答案：C ∵x ≥1，∴log 2x ≥0，∴y ≥2.2. 答案：D 由log 2x ＞1，得x ＞2，∴M N ＝{x |2＜x ＜3}．3. 答案：D 由题意列不等式组12log (43)0,(1)430.(2)x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩ 对于①有12log (4x －3)≥12log 1，解得x ≤1；对于②有4x ＞3，解得x ＞34.所以34＜x ≤1. 4. 答案：A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x .5. 答案：C 直线y ＝1与函数y ＝log a x 的图象交点的横坐标是底数a ，则由图象得对应C 1的a 的值为12，对应C 3的a 的值为3，对应C 2的a 的值为2. 6. 答案：{x |－2＜x ＜1} 原不等式等价于50,10,51,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得－2＜x ＜1.7. 答案：4 由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，所以A ＝(0,4]．又A B ，则a ＞4，所以c ＝4.8. 答案：122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭由题意可知，f (log 4x )＜012-＜log 4x ＜12124log 4-＜log 4x ＜1241log 42⇔＜x ＜2. 9. 答案：解：(1)由题意可知，f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (4－2x )，要使函数f (x )－g (x )有意义，自变量x 的取值需满足10,420,x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜2. 故函数f (x )－g (x )的定义域是(－1,2)．(2)令f (x )－g (x )＞0，得f (x )＞g (x )，即log a (x ＋1)＞log a (4－2x )，当a ＞1时，可得x ＋1＞4－2x ，解得x ＞1.由(1)知－1＜x ＜2，∴1＜x ＜2；当0＜a ＜1时，可得x ＋1＜4－2x ，解得x ＜1，由(1)知－1＜x ＜2，∴－1＜x ＜1.综上所述，当a ＞1时，x 的取值范围是(1,2)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,1)．10. 答案：解：(1)由已知，得y ＝20lg 0p p .又P 0＝2×10－5，则y ＝20lg 5210p -⨯. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 50.002210-⨯＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区．(3)由题意，得90＝20lg0p p ，则0p p ＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．。

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第一课时对数【选题明细表】知识点、方法题号对数的概念1,11对数的性质7,10指对互化的应用2，3,4,5,6,13对数恒等式8,9，121.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④=—5成立.其中正确命题的个数为（ B ）（A）1 (B)2 (C)3 （D）4解析：②错误，如(—1)2=1，不能写成对数式；④错误，log3（—5)没有意义。

故正确命题的个数为2。

2.已知lo b=c,则有( B ）（A）a2b=c （B)a2c=b(C）b c=2a (D)c2a=b解析:因为lo b=c，所以(a2)c=b,所以a2c=b.故选B.3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ B ）（A）e0=1与ln 1=0(B）log39=2与=3(C）=与log8=-（D)log77=1与71=7解析：对于A,e0=1可化为0=log e1=ln 1,所以A正确;对于B,log39=2可化为32=9，所以B不正确；对于C,=可化为log8=—,所以C正确;对于D,log77=1可化为71=7,所以D正确.故选B.4。

2.2.2 对数函数及其性质 第一课时1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2和y ＝(x)2B ．|y|＝|x|和y 3＝x 3C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a xD ．y ＝x 和y ＝log a a x2．函数f(x)＝|log 3x|的图象是( )3．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是__________． 4．求下列函数的定义域． (1)y ＝log 2(x ＋1)；(2)y ＝log 311－3x.课堂巩固1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是 ( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝lgx ＋1C ．y ＝x 2＋1 D ．y ＝1x2．(2009浙江嘉兴一中一模，文8)函数y ＝e |lnx|－|x －1|的图象大致是( )3．函数y ＝log 2x 的定义域是( )A ．(0,1]B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 4．(2008湖南高考，文6)下面不等式成立的是 … ( )A ．log 32<log 23<log 25B ．log 32<log 25<log 23C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 325．(2008安徽高考，理2)集合A ＝{y∈R |y ＝lgx ，x>1}，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( )A ．A∩B＝{－2，－1}B ．(∁R A)∪B＝(－∞，0)C ．A∪B＝(0，＋∞)D ．(∁R A)∩B＝{－2，－1}6．函数y ＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为__________．7．函数y ＝log a (x －2)＋1(a ＞0且a≠1)恒过定点__________． 8．求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．1．(2009浙江台州一模，理2)下列四个数中最大的是( )A ．lg2B ．lg 2C ．(lg2)2D ．lg(lg2) 2．函数y ＝lg|x|( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减3．函数y ＝log 12(3x －2)的定义域是( )A ．[1，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[23，1]D ．(23，1]4．(2009福建厦门一中期末，文8)设a ＝π0.3，b ＝log π3，c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是 …( )A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>a>cD ．b>c>a5．若集合S ＝{y|y ＝(12)x－1，x∈R }，T ＝{y|y ＝log 2(x ＋1)，x>－1}，则S∩T 等于( )A ．{0}B ．{y|y≥0}C ．SD ．T6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x≤0，若f(a)＝12，则a ＝__________.7．(2008安徽高考，理13)函数f(x)＝|x －2|－1log 2(x －1)的定义域为__________．8．已知log 0.5(2m)<log 0.5(m ＋1)，求m 的取值范围．9．已知函数f(x)＝log 2(2x＋1)，求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．10．已知常数a>1，变数x 、y 有关系3log x a ＋log a x －log x y ＝3.(1)若x ＝a t(t≠0)，试以a 、t 表示y ；(2)若t 在[1，＋∞)内变化时，y 有最小值8，求此时a 和x 的值各为多少？答案与解析2．2.2 对数函数及其性质第一课时 课前预习1．D 只有定义域相同且对应关系也相同的两个函数才是相等的函数．2．A y ＝|log 3x|的图象是保留y ＝log 3x 的图象位于x 轴上半平面的部分(包括与x 轴的交点)，而把下半平面的部分沿x 轴翻折到上半平面而得到的．3．(1,2) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<3－a<1，0<a<1或⎩⎪⎨⎪⎧3－a>1，a>1，解得1<a<2. 4．解：(1)要使函数有意义，必须x ＋1>0，x>－1，即该函数的定义域是(－1，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须11－3x >0,1－3x>0，x<13，即该函数的定义域是(－∞，13)．课堂巩固1．D2．D 当0<x≤1时，lnx≤0，y ＝e|lnx|－|x －1|＝1x＋x －1；当x>1时，lnx>0，y ＝e|lnx|－|x －1|＝x －x ＋1＝1，易知D 成立．3．D 由⎩⎪⎨⎪⎧log 2x≥0，x>0，得x≥1.4．A 由log 32<1<log 23<log 25，知选项A 正确． 5．D A ＝{y∈R |y>0}，∁R A ＝{y|y≤0}． 又B ＝{－2，－1,1,2}， ∴(∁R A)∩B＝{－2，－1}．6．(－1,2] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x≥0，1＋x>0，得－1<x≤2，即其定义域为(－1,2]．7．(3,1) 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a≠1，都有y ＝1.8．解：(1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域为R . ∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.∴y＝log 2(x 2＋4)的值域为{y|y≥2}．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4， ∵u>0，∴0<u≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12u≥log 124＝－2.∴y＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为{y|y≥－2}．课后检测1．A 由0<lg2<1，lg 2＝12lg2，lg(lg2)<0，可知lg2最大．2．B 函数y ＝lg|x|是偶函数，其草图如下：3．D 要使函数有意义，只需log 12(3x －2)≥0,0<3x－2≤1，解得23<x≤1，即该函数的定义域是(23，1]．4．B ∵a＝π0.3>1，b ＝log π3<1，c ＝1， ∴a>c>b.5．C 由题意，得S ＝{y|y>－1}，T ＝{y|y∈R }，S∩T＝S.6.－1或 2 令log 2a ＝12，得a ＝2>0；令2a＝12，得a ＝－1<0.均满足条件．7．[3，＋∞) 由log 2(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1，即x∈(1,2)∪(2，＋∞)； 由|x －2|－1≥0，得x∈(－∞，1]∪[3，＋∞)． 综上可知，x∈[3，＋∞)．8．解：由题意，根据对数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，2m>m ＋1，2m>0，解得m>1.所以m 的取值范围是(1，＋∞)．9．证明：任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋1<2x 2＋1.∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，log 22x 1＋12x 2＋1<0，即f(x 1)<f(x 2)．∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．点评：函数y ＝log a f(x)可看做是y ＝log a t 与t ＝f(x)两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当a>1时，若t ＝f(x)为增函数，则y ＝log a f(x)为增函数；若f(x)为减函数，则y ＝log a f(x)为减函数；当0<a<1时，若t ＝f(x)为增函数，则y ＝log a f(x)为减函数；若t ＝f(x)为减函数，则y ＝log a f(x)为增函数．10．解：(1)∵x＝a t，∴3loga t a ＋log a a t －loga ty ＝3. ∴3t ＋t －1tlog a y ＝3. 由log a y ＝t 2－3t ＋3，得y ＝at 2－3t ＋3(t≠0)．(2)由(1)知y ＝a(t －32)2＋34，∵t＝32∈[1，＋∞)，∴t＝32时，y min ＝a 34.由a 34＝8＝23，得a ＝16.此时，x ＝1632＝64.。