2020学年人教A版高中数学必修四课件：第二章 2.5 平面向量应用举例 (共54张PPT).ppt

1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，

• You have to believe in yoursess. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 4:02:34 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021

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2.5.1
2．5.1
平面几何中的向量方法
本 课 时 栏 目 开 关
【学习要求】 1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际 问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具． 3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力． 【学法指导】 由于向量涉及共线、夹角、垂直、长度等基本问题，而这些问题 正是平面几何研究的对象，因此可以用向量来处理平面几何问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5.1
探究点三
平面向量在几何中的应用
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线 共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁 直观．其基本方法是：
当 v1⊥v2，即 v1· v2＝1＋k1k2＝0 时，l1⊥l2，夹角为直角；当 k1k2≠－1 时，v1· v2≠0，直线 l1 与 l2 的夹角为 θ(0° <θ<90° )．不 难推导利用 k1、k2 表示 cos θ 的夹角公式： |1＋k1k2| |v1· v2 | cos θ＝ ＝ 2 2. |v1||v2| 1＋k1· 1＋k2
填一填·知识要点、记下疑难点
2.5.1
1．向量方法在几何中的应用
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(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共
a＝λb ⇔ x1y2－x2y1＝0 线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔_____
.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用

1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以


OA＝ 2 3,6 .


【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算

第二章
2.5
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(4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题． (5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问 题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面 直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．
第二章
2.5
3．已知a＝(5,10)，b＝(－3，－4)，c＝(2,3)，且c＝la＋ kb，则l＝________，k＝________.
1 1 [答案] 10 －2
第二章
2.5
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新课引入 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个 旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂 的夹角越小越省力．把上面的问题抽象为数学模型，可以从 理论上解释其原因．本节课我们来研究向量在几何与物理中 的应用．
[答案] 2 39km
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2.5
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课堂典例讲练
第二章
2.5
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思路方法技巧
命题方向1 向量在平面几何中的应用
求证：直径所对的圆周角为直角． [分析] → → 本题实质就是证明AB· ＝0. BC
的合力
．
第二章
2.5
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(2)速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量，因而 可用求向量和
的平行四边形法则，求两个速度的合速度
．
第二章
2.5
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错解二:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c.同 理由b·c=c·a得到a=b.所以a=b=c,故三角形ABC是等边三角形. 错解三:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,而b≠0,所以a=c.同理可得a=b.所以 a=b=c,故三角形ABC是等边三角形. 纠错:以上三种解法都犯了推理不严谨的错误.解法一中,只有在a,b同向共线时,才有 a·b=|a||b|成立;解法二错在“即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c”,这里由(ac)·b=0只能得出(a-c)⊥b,而不能得到a=c;解法三错在“a·b=b·c,而b≠0,所以 a=c”,向量具有方向,不能像数量那样,在进行计算时可以约分. 正解:因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知a+b+c=0,所以 b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就 是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以
[备用例 2] 已知向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(10,k),且 A,B,C 三点共
线,当 k<0 时,若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为
.
解析:因为 AB = OB - OA =(4-k,-7), BC = OC - OB =(6,k-5),且 AB ∥ BC , 所以(4-k)(k-5)+6×7=0,
第十二页，编辑于星期日：一点 十四分。
P( 2 λ, 2 λ),E(1, 2 λ),F( 2 λ,0),
2
2
2

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题型一 题型二 题型三 题型四
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型三
【例 3】
长度问题
如图,已知在▱ABCD
中,AB=3,AD=1,∠DAB=
π 3
,
求对角线������������和������������的长.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.5 平面向量应用举例
-2-
2.5.1 平面几何中的向量方法
-3-
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1.会用向量方法解决平面几何问题. 2.掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
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题型二
垂直问题
【例 2】 在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,用向量方法证明 AD⊥BC.
分析:转化为证明������������ ⊥ ������������.
12
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2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: 第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的 几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系; 第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.

孤独并不可怕，每个人都是孤独的，可怕的是害怕孤独。 知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。——《论语》 不要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 当你能梦的时候就不要放弃梦。 人生，不可能一帆风顺，有得就有失，有爱就有恨，有快乐就会有苦恼，有生就有死，生活就是这样。 自己选择的路，跪着也要把它走完。 征服自己，就能征服一切。 按照自己的活法，快乐的生活，活得像自己就好了，何必在意那么多，勇敢地走自己的路，让别人说去吧。 静以修身，俭以养德。——诸葛亮 高尚的语言包含着真诚的动机。 命运是不存在的，它不过是失败者拿来逃避现实的借口。 自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 遇到困难时不要抱Байду номын сангаас，既然改变不了过去，那么就努力改变未来。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 进取用汗水谱写着自己奋斗和希望之歌。 有人将你从高处推下的时候恰恰是你展翅高飞的最佳时机。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 静以修身，俭以养德。——诸葛亮 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。

(1)字母表示下的运算． 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与 向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】 本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐 标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10， 求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10， 解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝ ＝－ －24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入 坐标运算表达式求解．