上海市徐汇、松江、金山区高三数学二模试题 理(含解析)沪教版

2022年上海市金山区高考数学二模试卷1.已知集合，，若，则实数m的值为______.2. 已知为虚数单位，则______.3. 已知等比数列各项均为正数，其中，，则的公比为______.4. 的二项展开式中项的系数为______结果用数字作答5. 若正方体的棱长为2，则顶点A到平面的距离为______.6. 不等式组表示的平面区域的面积等于______.7. 已知向量，，则函数，的单调递增区间为______.8. 将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为______结果用最简分数表示9. 过抛物线的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，，则p的值为______.10.已知平面向量、满足，若关于x的方程有实数解，则面积的最大值为______.11. 已知数列的前n项和为，满足，函数定义域为R，对任意都有若，则的值为______. 12. 设，若存在，使成立的最大正整数n为9，则实数a的取值范围是______.13. 设，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的.( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为.( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则15. 某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中不正确的是( )A. 所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业B. 该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为C. 估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过小时D. 估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间16. 对于定义在D上的函数，若同时满足：对任意的，均有；对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 417. 如图，已知四棱锥的底面ABCD是梯形，，，平面ABCD，，，求四棱锥的体积；求直线BS与平面SCD所成角的大小．18. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、已知，且B 为锐角．求角B的大小；若，证明是直角三角形．19. 经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月天内的日销售量百件与时间第t天的关系如表所示：第t天1310 (30)日销售量百件23…未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润元与时间第t天的函数关系式为且t为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第t天的函数关系式为且t为整数现给出以下两类函数模型：①、b为常数；②、b为常数，且分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型．请判断该公司是否需要转型？并说明理由．20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，设P是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点求的周长；当垂直于x轴时，求直线的方程；记与的面积分别为、，求的最大值．21.对于集合，且，定义且集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质判断集合，是否具有性质，并说明理由；设集合且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求p、q的值；若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】0【解析】解：集合，，且，，舍，解得：故答案为：根据集合间的关系确定m值，求解即可．本题考查的知识点是集合的包含关的应用，集合关系中的参数问题，是基础题．2.【答案】【解析】解：，故答案为：根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】3【解析】解：等比数列各项均为正数，其中，设它的公比为q，则，，则的公比，或舍去，故答案为：由题意，根据等比数列的通项公式，求出公比．本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．4.【答案】24【解析】解：展开式中含项为，所以项的系数为24，故答案为：根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：如图，在正方体中，由正方体的结构特征可知平面平面ABCD，且平面平面，连接AC、BD，设，则，可得平面，即为顶点A到平面的距离为故答案为：连接AC、BD，设，则，可得平面，由已知棱长求得AO，则答案可求．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】25【解析】解：先作出不等式组的对应的平面区域如图：由，可得，由，可得，由，可得，故答案为：作出不等式组对应的平面区域，求面积即可．本题主要考查线性规划的应用，属于基础题，注意利用数形结合．7.【答案】【解析】解：，要求的单调递增区间，只需，，解得，，又因为，当时，可得的单调递增区间为故答案为：先求出的解析式，并化简，然后再结合正余弦函数的单调性求解．本题考查了数量积的运算以及三角函数的性质，属于中档题．8.【答案】【解析】解：由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次，所有36种结果是等可能出现的，其中向上的点数之积是12的结果有、、、共4个，所以，其概率是故答案为：利用古典概型公式计算即可．本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．9.【答案】2【解析】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，直线AB的方程为代入可得，，由抛物线的定义可知，，，，解得故答案为：设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可得到本题考查了抛物线的定义、性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题10.【答案】【解析】解：设、的夹角为，由，，得，，由题意可得：，解得或当时，，此时面积的最大值为故答案为：设、的夹角为，把两边平方，可得关于x的一元二次方程，利用判别式大于等于0求得的范围，进一步得到的最大值，则答案可求．本题考查数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】【解析】解：，，，，⋯易得周期为4，又由，得，两式相减得，即，又当时，，解得，故数列是以为首项，3为公比的等比数列，故，，又，故除以4的余数为，故故答案为：可得周期为4，由，可得，，题考查由数列的递推式求数列的通项公式，以及函数的性质，属中档题．12.【答案】【解析】解：依题意，，而当时，，，解得故答案为：依题意，，且，然后分以及解不等式即可．本题主要考查函数的最值以及恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】C【解析】解：当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，故选：根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，平行于同一个平面的两条直线可以平行、异面或相交，A错误；对于B，垂直于同一个平面的两条直线平行，B正确；对于C，平行于同一直线的两个平面可能相交，C错误；对于D，若，，则或，D错误；故选：根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直、平行的判断和性质，属于基础题．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查由频率分布直方图求频数、频率、平均数，属于基础题．计算在小时的频数可判断A，计算超过3小时的频率可判断B；求出平均数与比较，可判断C；计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断【解答】解：A选项，在2小时至小时之间完成作业的人数为，A正确；B选项，完成作业的时间超过3小时的频率为，则该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为，B正确；C选项，可估计学生做作业的时间的平均数为，所以平均数大于，所以C正确；做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误．故选：16.【答案】B【解析】解：由知，是定义域上的奇函数；由知，对任意的，存在，且，使得成立；对于①，，是定义域R上的奇函数，满足，对任意的，，时，，所以对任意的，存在，且，使得成立，满足；是“均等”函数．对于②，，所以的定义域是；当时，，此时不存在，所以不满足，所以不是“均等”函数；对于③，是定义域为上的奇函数，满足；任取，，，若满足，则有，所以，因为，所以，所以对任意的，存在，且，使得成立，满足；是“均等”函数．对于④，是定义域R上的奇函数，所以满足；对任意的，，，若满足，则有，设，，所以是R上的单调减函数，所以，此时不满足；所以不是“均等”函数．综上知，以上为“等均”函数的序号是①③，共2个．故选：分析函数满足的两个条件，再分别判断所给的函数是否同时满足这两个条件即可．本题考查了函数的概念与应用问题，也考查了推理与判断能力，是难题．17.【答案】解：底面ABCD是梯形，，，，，，又平面ABCD，，四棱锥的体积为；以A为坐标原点，AB，AD，AS为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面SCD的一个法向量为，则，令，则，，平面SCD的一个法向量为，直线BS与平面SCD所成角为，，所以直线BS与平面SCD所成角的大小为【解析】由已知易求四棱锥的体积；以A为坐标原点，AB，AD，AS为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求直线BS与平面SCD所成角的大小．本题考查空间几何体的体积的求法，考查线面角的求法，属中档题．18.【答案】解：由正弦定理知，，，，又在中，，，即为锐角，证明：由正弦定理知，，，，，即，即，，又，，，即，故是直角三角形．【解析】利用正弦定理化边为角，可得的值，从而得解；利用正弦定理化边为角，再结合正弦的两角和公式、辅助角公式，即可得证．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、两角和差公式与辅助角公式等基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：若选择模型①，将以及代入可得，解得，即，经验证，符合题意；若选择模型②，将以及代入可得，解得，即，当时，，故此函数模型不符题意，因此选择函数模型①，其解析式为且t为整数；记日销售利润为y，当且t为整数时，对称轴，故当时，利润y取得最大值，且最大值为百元当且t为整数时，，当时，利润y单调递减，故当时取得最大值，且最大值为百元所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型．【解析】将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可；记日销售利润为y，根据一次函数与二次函数的单调性分析y的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可本题考查函数模型的运用，考查二次函数及双勾函数的性质，了考查了学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：由椭圆的方程可得，，可得，可得，，由椭圆的定义可得：的周长为，所以的周长为8；由可得，，当垂直于x轴时，则的纵坐标为，所以，，，直线的方程为：，联立，解得或，则，，直线的方程为，即；设，，，设直线的方程为，其中，联立，消去x并整理可得，，由韦达定理可得，，又，则，，同理可得，，令，则，当且仅当时等号成立，的最大值为【解析】根据椭圆的定义直接可以得出答案；根据题意可得P，的坐标，进而得到直线的方程，与椭圆方程联立，可求得的坐标，进而得到直线的方程；设，直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理可将，的纵坐标用，表示，进而可得，然后利用三角换元，结合基本不等式即可求得最值．本题考查椭圆的定义及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，同时还涉及了基本不等式的运用，考查换元思想，转化思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．21.【答案】解：，，故集合具有性质「.，故集合不具有性质因集合B具有性质，故，若，则，解得，经检验，符合题意，故p，q的值分别为4，若，则，解得，经检验，符合题意，故p，q的值分别为5，不妨设，则在集合中，又中的所有元素能构成等差数列，设公差为d，则，即，故从而，与集合A具有性质矛盾．当时，，即，，成等差数列，且公差也为d，故中的元素从小到大的前三项为，，，且第四项只能是或若第四项为，则，从而，于是，故，与集合A具有性质矛盾．若第四项为，则，故另一方面，，即于是，故，与集合A具有性质矛盾．因此，由知，时，存在集合A具有性质，故集合A中的元素个数存在最大值，最大值为【解析】根据集合A具有性质的定义进行判断，可得答案；写出中的所有元素，分类讨论，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，解得答案；一数列新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案．本题考査了数列的新定义问题，综合考查了学生的阅读理解接受并理解新信息的能力，属于难题．。

上海市金山区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.集合{}{}|0<x<3,|2A x B x x ==<，则A B =2.函数12y x-=的定义域是3.i 是虚数单位，则1ii-的值为 4.已知线性方程组的增广矩阵为11302a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =5.已知函数21()11x f x =，则1(0)=f -6.已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7.已知函数1()logsin 11xf x x x-=+++，若()4f m =，则()f m -= 8.数列{}n a 通的项公式*11,2132n nn na n N n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎪≥⎪⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= 9.甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 (结果用最简分数表示)10. 若点集{}{}22(,)|1=(,)|22,11A x y x y B x y x y =+≤-≤≤-≤≤，，则点集{}12121122(,)|+,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ===+∈∈所表示的区域的面积是11.我们把一系列向量(1,2,,)i a i n =⋅⋅⋅按次序排成一列，称之为向量列，记作{}i a ，已知向量列{}i a 满足111111(1,1),(,)(,)(2)2n n n n n n n a a x y x y x y n ----===-+≥，设n θ表示向量n a 与1n a -的夹角，若2n n n b θπ=对任意正整数n ，不等式122111log (12)a n n na b b b ++++⋅⋅⋅+>-恒成立，则实数a 的取值范围是12.设*,n n N a ∈为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，16,2m t t R =-+∈，1112333n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b m -+-的最小值为二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0l a x b y c l a x b y c ++=++=，那么“11220a b a b =”是“两直线12,l l 平行”的（ ） (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 14.如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）(A)222+ (B)122+ (C)22+ (D)12+15.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（ ）(A)221111111()3A A A D A B A B ++= (B)1111()0A C A B A A ⋅-=(C)向量1AD 与1A B 的夹角是0120(D)正方体1111ABCD A B C D -的体积为1AB AA AD ⋅⋅16，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）(A)11(,)44- (B)(12,21)--(C)11(4,4)()44k k k Z -+∈(D)(412,421)()k k k Z +-+-∈三、解答题(本大满分76分)本天题共有5题，下列必频在答题纸相应编号的规定区城内写出必要的步骤，17. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，1PA =，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为6π(1)求四棱锥P ABCD -的体积(2)求异面直线AE 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示)18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数2()2cos 3sin 2xf x x =+ (1)求函数()f x 在区间[]0,π上的单调增区间: (2)当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放。

第12题图上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合22A y y x ，集合2430B x x x ，那么A B ．2.已知复数1iz i（i 为虚数单位），则z z ．3.在ABC 中，1AC ，2C ，A，则ABC 的外接圆半径为．4.5.6.7.8.9.10.11.不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ，则OAP 面积的取值范围是．12.如图所示，已知ABC 满足8BC ，3AC AB ，P 为ABC 所在平面内一点．定义点集13,3P AP AB AC R D．若存在点0P D ，使得对任意P D ，满足0AP AP恒成立，则0AP的最大值为．第11题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（）.A 13y x ；.B lg y x ；.C x x y e e ；.D 3cos y x x ．14.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：.A ˆa.B 当x .C .D 15.）.A 若 .B 若 .C .D 若16.三棱锥90 ，二面角P BC A 的大小为45 ，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥O ABC 的体积为83；②点P 形成的轨迹长度为．.A ①②都是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①②都是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 122log 2xf x x ．（1）求证： y f x 是奇函数；（2）若关于x 的方程 12log f x x k 在区间 3,4上有解，求实数k 的取值范围．18.如图，4，ABC 是底面圆O （1）（2）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表．（单位：个）（1）若规定显著性水平0.05 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为12，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为34．若用频率估计20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆224:13x y C ，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M 、N 两点（l 不过点2A ）．（1）若Q 为椭圆C 上（除1A 、2A 外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积；（2）若112NF F M，求直线l 的方程；（3）若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是1k 、2k ，且1294k k，求证：直线l 过定点．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分6分，第2小题（ii ）满分8分）已知各项均不为0的数列 n a 满足2211n n n n n a a a a a（n 是正整数），121a a ，定义函数111!nkn k y f x x k（0x ），e 是自然对数的底数．（1）求证：数列1n n a a是等差数列，并求数列 n a 的通项公式；（2）记函数 n y g x ，其中 1xn n g x e f x ；（i ）证明：对任意0x ， 3430g x f x f x ；（ii ）数列 n b 满足12n n nb a ，设n T 为数列 n b 的前n 项和．数列 n T 的极限的严格定义为：若m 满足：当n m n T 的极限T ．上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案及评分标准2024.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 3, 2.2 3.14.35.816.17.2108.79.76410.7211.12.3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B 14.D 15.C 16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）证明:函数122log 2xy x 的定义域为 22D x x x 或，在D 中任取一个实数x ，都有x D ，并且1111222222()log log log ()222x x x f x f x x x x.因此，122log 2xy x 是奇函数.（2） 12()log f x x k 等价于22x x k x即24122x k x x x x在 3,4上有解．记4()12g x x x，因为()g x 在 3,4上为严格减函数，所以，max ()(3)2g x g ，min ()(4)1g x g ，故()g x 的值域为 1,2 ，因此，实数k 的取值范围为 1,2 ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）在椭圆22:143x y C 中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A 、，设点 000,(2)Q x y x ，则12202000220000312244344QA QA x y y y k k x x x x ．（2）设 1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0) F ，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y，，由112 NF FM 得2211(1,)2(+1,) x y x y ，化简得2121=322 x x y y 代入2222431 x y 可得22114(32)(32)1 x y ，联立2211431 x y 解得117=4=8x y 由112 NF FM 得直线l 过点1(1,0) F ，7(,4 N ，所以，所求直线方程为=(1)2y x.（3）设 3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t （2 t ），联立22143x my tx y ，可得2223463120m y mty t ，由2222364(34)(312)0m t m t ，得2234t m ．由韦达定理，得234342263123434， mt t y y y y m m ．1294k k ，34349224y y x x ．可化为 343449220 y y my t my t ，整理即得 223434499(2)9(2)0 m y y m t y y t ，222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m ，由20t ，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m t t m m ，化简可得16160t ，解得1t ，直线MN 的方程为1x my ，恒过定点(1,0)．21.（本题满分18分，第（1）小题满分4分，第（2）（i ）满分6分，第（2）（ii ）满分8分）（方法二）而对于任意0u ，只需22e n u 且4n 时，可得22222222222!123n n e e e u e n n u个…….故存在22max ,5e m u，当n m 时，恒有n T T u ，因而n T 的极限2T e .。

2022届徐汇区高三数学二模卷（答案在最后）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若1tan 2α=，则tan 2α=________.【答案】43【解析】【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.【详解】22tan 14tan 231tan 34ααα===-.故答案为：43.【点睛】本题考查了二倍角的计算，意在考查学生的计算能力.2.不等式111x >-的解集为______.【答案】(1,2)【解析】【详解】因为111x >-，∴11(1)210111x x x x x ---+-==>---，∴201x x -<-，∴解集为(1,2)x ∈.故答案为：()1,2．3.在6x ⎛- ⎝的二项展开式中，2x 项的系数为______________．【答案】20-【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，得出含2x 项时对应r 的值，从而得出答案.【详解】6x ⎛ ⎝的二项展开式的通项公式为：()4663166C 1C rrr r r r r T x x --+⎛==- ⎝令4623r -=，解得3r =，则()3322461C 20T x x =-=-所以2x 项的系数为20-故答案为：20-4.已知球的体积为43π，则该球的左视图所表示图形的面积为______________．【答案】π【解析】【分析】已知球的体积43π，可由球的体积公式343V R π=得到球的半径R ，又因为球从每个方向看都是半径为R 的圆，即可求解.【详解】设球的半径为R ，则由题意得，球的体积34433V R ππ==，解得1R =；又因为该球的左视图所表示图形为半径为1的圆，所以该球的左视图所表示图形的面积21S ππ=⨯=.故答案为：π.5.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线：3440x y ++=的距离d =【答案】3【解析】【详解】试题分析：因为圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线3440x y ++=的距离为3d ==．考点：点到直线的距离．6.若关于x 的实系数一元二次方程20x bx c -+=的一根为1i -（i 为虚数单位），则b c +=____．【答案】4【解析】【分析】根据实系数一元二次方程的根的特征，可得1i -的共轭复数也是方程的根，利用韦达定理得到方程，计算可得；【详解】解：因为1i -为实系数一元二次方程20x bx c -+=的一根，所以1i +也为方程20x bx c -+=的根，所以()()()()1i 1i 1i 1i bc ⎧-++=⎪⎨-⋅+=⎪⎩，解得22b c =⎧⎨=⎩，所以4b c +=；故答案为：47.已知m ∈R ，若直线1l ：10mx y ++=与直线2l ：9230x my m +++=平行，则m =______________．【答案】3【解析】【分析】根据两条直线平行的充要条件列方程组求解即可得答案.【详解】解：因为直线1l ：10mx y ++=与直线2l ：9230x my m +++=平行，所以()29101231m m m ⎧-⨯=⎪⎨⨯+≠⨯⎪⎩，解得3m =，故答案为：3.8.已知实数x 、y 满足约束条件232300x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z x y =+的最小值是______________．【答案】2【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =+，找出使得该直线在x 轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组232300x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点()1,1A ，平移直线z x y =+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线z x y =+在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 112z =+=.故答案为：2.9.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()01,xf x a b a b =+<<∈R ，若()f x 存在反函数，则b的取值范围是______________．【答案】1b ≤-或0b ≥.【解析】【分析】先求出()f x 的解析式，若()f x 存在反函数，则()f x 在每段单调且各段值域无重合，计算得解.【详解】当0x <时，0x ->，()x f x a b --=+，()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()xf x f x a b -=--=--，即0x <时，()xf x a b -=--，所以()0,00,0x x a b x f x a b x x -⎧+>⎪=--<⎨⎪=⎩，，若()f x 存在反函数，则()f x 在每段单调且各段值域无重合，当()()0,,1xx f x a b b b >=+∈+，()()0,1,xx f x ab b b -<=--∈---，()00=f ；所以0b b ≥≥-或101b b +≤≤--所以1b ≤-或0b ≥.故答案为：1b ≤-或0b ≥.10.上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是______________．（结果用最简分数表示）【答案】2932【解析】【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得.【详解】4个人分配到4个学校的情况总数为44种，4个人恰好分配到4个学校的情况为4424A =种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有44-24种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是4442429432-=.故答案为：2932.11.在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+ ，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________．【答案】1或14【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值.【详解】由AP AB AC λ=+ ，得AP AB AC λ-= ，即BP AC λ= ，(1)CP AP AC AB AC λ=-=+- ，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+- 22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=- ，即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ=所以实数λ的值为1或14.故答案为：1或14.12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________．【答案】3(,32-∞【解析】【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当[)1,2x ∈，[)2,3x ∈，[),,1x n n ∈+ 时，()f x 的解析式，进而求出21nn a =-，然后，得到存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max 272nn λ-⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，进而求出max272n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即可求解.【详解】当[)0,1x ∈时，()3f x x =，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，()()312121f x f x x +=+=+，令11t x =+，则11x t =-，所以，当[)11,2t ∈时，有311()2(1)1f t t =-+，所以，当[)1,2x ∈时，3()2(1)1f x x =-+，()()31214(1)3f x f x x +=+=-+，令21t x =+，则21x t =-，[)22,3t ∈，有322()4(2)3f t t =-+，所以，当[)2,3x ∈时，3()4(2)3f x x =-+，同理可得，[)3,4x ∈时，3()8(3)7f x x =-+，根据规律，明显可见当[),1x n n ∈+，()2()21n n n f x x n =-+-，且此时的()f x 必为增函数，又因为n a 为()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值，所以，1231,3,7,21n n a a a a ===⋯=-，所以，若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max 272n n λ-⎡⎤<⎢⎣⎦，根据该函数的特性，明显可见，当5n =时，有max 273232n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，此时有332λ<故答案为：3(,32-∞二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．．13.下列以t 为参数的方程所表示的曲线中，与曲线1xy=完全一致的是（）A.1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B.1x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩C.cos sec x ty t =⎧⎨=⎩ D.tan cot x t y t=⎧⎨=⎩【答案】D 【解析】【分析】根据x 范围依次排除ABC 得到答案.【详解】A.1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩，120x t =≥排除；B.1x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，0x t =≥排除；C.cos sec x ty t =⎧⎨=⎩1cos 1x t -≤=≤，排除；故选：D【点睛】本题考查了参数方程，意在考查学生对于参数方程的理解和掌握情况.14.已知函数()sin 2f x x =，[],x a b ∈，则“2b a π-≥”是“()f x 的值域为[]1,1-”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】充分性：取0a =，2b π=，则2b a π-≥成立，此时0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]20,x π∈，可得()[]sin 20,1f x x =∈，充分性不成立；必要性：函数()sin 2f x x =的最小正周期为22T ππ==，因为函数()f x 在[],a b 上的值域为[]1,1-，当函数()f x 在[],a b 上单调时，b a -取得最小值，且有22T b a π-≥=，必要性成立.因此，“2b a π-≥”是“()f x 的值域为[]1,1-”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.15.某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（）A.60B.70C.80D.100【答案】A 【解析】【分析】因为方差()50022110.82500ii s x x ==-=∑，平均数82x =，利用数字特征，通过计算各个选项排除求解.【详解】设所有参赛的500名选手成绩为：1x ，2x ，L ，500x ；则平均数5001182500i i x x ===∑；方差()50022110.82500i i s x x ==-=∑，即()500215000.82410ii x x =-=⨯=∑；对于A 选项，若存在60i x =，则有()()()50022216082484410i ii x x xx =-=-=>-=∑，所以60i x =不可能是参赛选手成绩；对于B 选项，若存在70i x =，则有()()()50022217082144410i ii x x xx =-=-=<-=∑，所以70i x =有可能是参赛选手成绩；对于C 选项，若存在80i x =，则有()()()500222180824410i ii x x xx =-=-=<-=∑，所以80i x =有可能是参赛选手成绩；对于D 选项，若存在100i x =，则有()()()500222110082324410i i i x x x x =-=-=<-=∑，所以100i x =有可能是参赛选手成绩；综上所述，60不可能是参赛选手成绩；故选：A.16.设数列{}n a ，若存在常数t ，对任意小的正数s ，总存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a t s -<，则数列{}n a 为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（）A.若等比数列{}n a 是收敛数列，则公比()0,1q ∈B.等差数列不可能是收敛数列C.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列D.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，11n n S a +=+，则数列{}n a 是收敛数列【答案】C 【解析】【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前n 项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB 不正确；选项C ：设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，所以1111(1)2n S na n n d =+-，当0d ≠时，当n →+∞时，10nS →，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列，因此本选项正确；选项D：因为11a =，11n n S a +=+，所以可得21a =，当2,N n n *≥∈时，由1111n n n n S a S a +-=+⇒=+，两式相减，得11n n n a a a +-=-，所以345670,1,1,0,1a a a a a ==-=-==，所以该数列的周期为6，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故选：C【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图，已知AB 为圆柱1OO 的底面圆O 的一条直径，P 为圆周上的一点，2OA =，60BOP ∠=︒，圆柱1OO 的表面积为24π．（1）求三棱锥1A APB -的体积；（2）求直线AP 与平面1A PB 所成的角的大小．【答案】（1）833（2）27sin 7arc 【解析】【分析】（1）根据表面积为24π，求得14AA =，结合题意和锥体的体积公式，即可求解；（2）根据题意证得BP ⊥平面1AA P ，得到平面1A PB ⊥平面1AA P ，过点A 作1AM A P ⊥，证得AM ⊥平面1A PB ，得到APM ∠为直线AP 与平面1A PB 所成的角，再直角1AA P 中，求得127sin 7A PA ∠=，即27sin 7APM ∠=，即可求解.【小问1详解】解：由题意，AB 是圆柱1OO 的底面圆O 的一条直径，且2OA =，其表面积为24π，可得21222224AA πππ⋅+⨯⨯=，解得14AA =，在AOP 中，由60BOP ∠=︒且2OA OP ==，可得120AOP ∠=o，所以AP =在BOP △中，2OB OP ==且60BOP ∠=︒，可得2BP =，所以三棱锥1A APB -的体积111118343323A APB APB V S AA -=⋅=⨯⨯=.【小问2详解】解：由AB 为圆柱1OO 的底面圆O 的一条直径，P 为圆周上的一点，可得BP AP ⊥，又由1AA ⊥平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，所以1BP AA ⊥，因为1AP AA A ⋂=且1,AP AA ⊂平面1AA P ，所以BP ⊥平面1AA P ，又因为BP ⊂平面1A PB ，所以平面1A PB ⊥平面1AA P ，过点A 作1AM A P ⊥，垂足为M ，如图所示，因为平面1A PB ⊥平面1AA P ，平面1A PB 平面11AA P A P =，且AM ⊂平面1AA P ，所以AM ⊥平面1A PB ，所以APM ∠为直线AP 与平面1A PB 所成的角，又由2OA =，60BOP ∠=︒，可得2PB =，在直角ABP △中，可得AP ==在直角1AA P中，可得1A P ==111sin 7AA A PA A P ∠===，即27sin 7APM ∠=，所以直线AP 与平面1A PB 所成的角的大小27sin 7arc .18.已知a 为实数，函数()f x x x a a =--，R x ∈．（1）当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意()0,1x ∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）(],1-∞和[)2,+∞（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）当2a =时，化简函数()f x 的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数()f x 的增区间；（2）由已知可得a x a x -<，推导出0a >，可得出a a a x x x-<-<，利用参变量分离法可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：当2a =时，()2222,22222,2x x x f x x x x x x ⎧--≥=--=⎨-+-<⎩，当2x ≥时，()()213f x x =--，此时函数()f x 的单调递增区间为[)2,+∞；当2x <时，()()211f x x =---，此时函数()f x 的单调递增区间为(],1-∞.综上所述，当2a =时，函数()f x 的增区间为(],1-∞和[)2,+∞.【小问2详解】解：当()0,1x ∈时，由()0f x <可得x x a a -<，即a x a x-<，所以，0a >，所以，a a a x x x -<-<，整理得2111x a x a x x ⎧>⎪+⎪⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩对任意的()0,1x ∈恒成立，因为()0,1x ∈，则1110x x x --=<，所以，不等式11a x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭对任意的()0,1x ∈恒成立，只需考虑不等式21x a x >+对任意的()0,1x ∈恒成立，当()0,1x ∈时，()2211112111x x x x x x +-==++-+++，令()11,2t x =+∈，()12g t t t =+-，由双勾函数的单调性可知，函数()12g t t t =+-在()1,2上单调递增，当()1,2t ∈时，()1120,2g t t t ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，因此，12a ≥.19.某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC ∠=︒，20AB AC ==（单位：米），E 、F 为BC 上的两点，且45EAF ∠=︒，AEF 区域为休息区，ABE △和ACF 区域均为活动区．设()045EAB αα∠=<<︒．（1）求AE 、AF 的长（用α的代数式表示）；（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）20sin cos AE αα=+米，AF =（2）当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002-平方米.【解析】【分析】（1）由角的关系易得：135AEB α∠=︒-，90AFC α∠=︒+；在ABE △中，由正弦定理得：sin sin AE AB ABE AEB=∠∠，可解得AE ，同理在ACF 中得：sin sin AF AC ACF AFC =∠∠，解得AF .（2）活动区的面积最大即休息区AEF 尽可能小，又（1）可得：1sin 2AEF S AF AE EAF =⨯⨯⨯∠△利用三角恒等变换及计算得到200214AEF S α=π⎛⎫++ ⎪⎝⎭△，根据三角函数的值域可知8πα=时，得到休息区AEF 的最小值，从而得到活动区最大值.【小问1详解】由题意得，20AB AC ==米，90BAC ∠=︒，则45ABC ACB ∠=∠=︒，又由()045EAB αα∠=<<︒，180135AEB EAB ABE α∴∠=︒-∠-∠=︒-，9045CAF EAF EAB α∠=︒-∠-∠=︒-，所以18090AFC CAF ACF α∠=︒-∠-∠=︒+；在ABE △中，由正弦定理得：sin sin AE AB ABE AEB=∠∠，即()2020sin 45sin 135sin cos AE AE ααα=⇒=︒︒-+米；同理，在ACF 中，sin sin AF AC ACF AFC=∠∠，即()20sin 45sin 90cos AF AF αα=⇒=︒︒+米；综上所述：20sin cos AE αα=+米，AF =.【小问2详解】由（1）知，综20sin cos AE αα=+米，102cos AF α=米，所以小老虎休息区AEF 面积为:1120sin sin 4522sin cos cos AEF S AF AE EAF ααα=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒+△化简得：210010020011cos 2sin cos cos sin 221224AEF S αααααα===+π+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭△又()045EAB αα∠=<<︒ ，∴32444πππα<+<，则当242ππα+=，即8πα=时，AEF S取得最小值)20020012184=ππ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭；此时小老虎活动区面积S 取得最大值，即)(12020200120022ABC AEF S S S =-=⨯⨯-=-△△平方米.综上所述：当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002-平方米.20.在平面直角坐标系中，已知点(A 、(0,B ，动点(),C x y 关于直线y x =的对称点为D ，且212AD BD x ⋅= ，动点C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）已知动点P 在曲线E 上，点Q 在直线y =上，且0OP OQ ⋅= ，求线段PQ 长的最小值；（3）过点()且不垂直于x 轴的直线交曲线E 于M 、N 两点，点M 关于x 轴的对称点为M '，试问：在x 轴上是否存在一定点T ，使得M '、N 、T 三点共线？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）（3）在x 轴上存在一定点()T -，使得M '、N 、T 三点共线,理由见解析.【解析】【分析】(1)先得出点(),Dy x ，由向量的数量积的坐标运算可得答案.(2)设()(,Px y x ≤≤，(,Q m ,则mx =-，则可得到2222228PQ OP OQ x y m =+=+++，然后利用条件消元，从而可得答案.(3)设直线MN 的方程为(y k x =+与曲线E 的方程联立，得出韦达定理，由点的坐标得出直线M N '的方程，令0y =，将韦达定理代入，可得出答案.【小问1详解】由点(),C x y 关于直线y x =的对称点为D ，则(),Dy x则(,AD y x =-uuu r ，(,BD y x =+uu u r 所以222122AD BD y x x ⋅=+-=uuu r uu u r ，即2222x y +=所以曲线E 的方程为：22142x y +=【小问2详解】由点P 在曲线E 上，设()(),22P x y x -≤≤，点Q在直线y =上，设(,Q m由0OP OQ mx ⋅=+=uu u r uuu r，即mx =-，由0OP OQ ⋅=uu u r uuu r ，则OP OQ⊥所以2222228PQ OP OQ x y m =+=+++当0x =时，y =，此时不满足mx =-，即不满足0OP OQ ⋅=uu u r uuu r .所以0x ≠，由0OP OQ ⋅=uu u r uuu r ，则2228y m x =222222228228281022x x y x PQ x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-++=++221662x x=++由22x -≤≤，则设(]20,4t x =∈由勾型函数的单调性，可知函数161326622t yt t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭在(]0,4上单调递减.此时当24x =时，2min 24612PQ =++=所以线段PQ长的最小值为【小问3详解】在x 轴上存在一定点T ，使得M '、N 、T 三点共线.设()()1122,,,,M x y N x y 则()11,M x y '-由题意设直线MN的方程为(y k x =+由(22142y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，可得()222212440k x x k +++-=所以221212224244,1212k x x x x k k --+==++直线M N '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--令0y =，得()1212111121k x x x x x x y x x y y +-++-=⨯+=++22224421212k k k --⨯+⨯=-所以直线M N '：()211121y y y y x x xx ++=--恒过点()-所以在x 轴上存在一定点()T -，使得M '、N 、T 三点共线.【点睛】关键点睛：本题考查利用向量的坐标运算求轨迹方程，利用函数思想求两点间距离的最大值，以及求直线过定点问题，解答本题的关键是联立方程得出韦达定理，得出直线M N '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =将韦达定理代入得出定点，运算比较复杂，属于难题.21.对于数列{}n a ，记()()*213211,n n V n a a a a a a n n -=-+-+⋅⋅⋅+->∈N ．（1）若数列{}n a 通项公式为：()()*112n n a n +-=∈N ，求()5V ；（2）若数列{}n a 满足：1a a =，n a b =，且a b >，求证：()V n a b =-的充分必要条件是()11,2,,1i i a a i n +≤=⋅⋅⋅-；（3）已知()20222022V =，若()121t t y a a a t=++⋅⋅⋅+，1,2,,2022t =⋅⋅⋅．求213220222021y y y y y y -+-+⋅⋅⋅+-的最大值．【答案】（1）4（2）证明见解析（3）2021.【解析】【分析】（1）直接求出123450,1,0,1,0a a a a a =====，即可求()5V ；（2）用定义法，分充分性和必要性分别进行证明；（3）先计算出()1213211121k k k k y y a a a a k a a k k ++⎛⎫-≤---- ⎪++⎭+⎝+ ，利用放缩法和裂项求和法求出()2022S 的最大值.【小问1详解】由通项公式()()*112n n a n +-=∈N 得：123450,1,0,1,0a a a a a =====.所以()21324354511114a a a a a a V a a =-+-+-+-=+++=【小问2详解】充分性:若数列{}n a 的前n 项单调不增,即21n a a a ≤⋯≤≤.此时有：()()()()()11122334111n i i n n n i n aa a a a a a a a a a a ab V -+-==-=-+-+-+⋯+-=-=-∑.必要性：用反证法.若数列{}n a 不满足()11,2,,1i i a a i n +≤=⋅⋅⋅-,则存在k (11k n ≤≤-),使得1k k a a +>,那么()1111111111n k n i i i i k i ii i i k k V n aa a a a a a a ---++++===+=-=-+-+-∑∑∑()111k k k n k a a a a a a ++≥-+-+-()111n k k k k a a a a a a ++≥-+-+-()11k k k k a b a a a a ++≥-+-+-由于1,k k a a a b +>>,所以()11k k k k a b a a a a a b ++-+-+->-.与已知()V n a b =-矛盾所以,假设不成立,必要性得证.综上所述：()V n a b =-的充分必要条件是()11,2,,1i i a a i n +≤=⋅⋅⋅-【小问3详解】由()121,1,2,,2022t t y a a a t t =++⋅⋅⋅+= ，令()121,1,2,,2021k k y a a a k k =++⋅⋅⋅+= ，则()211111k k y a a a k ++=++⋅⋅⋅++.所以()()()()121321121k k k k y y a a a a k a a k k ++-+--=-----()()21321121k k a a a a k a a k k +≤++---++ ()213211121k k a a a a k a a k k +=⎛⎫---- ⎪++⎝++⎭所以202121322022202111k kk y y y y y y y y +=-+-+⋅⋅⋅+-=-∑()212132111(1)||()||2||223a a a a a a ≤--+--+-+21322022202111()(||2||2021||)20212022a a a a a a +--+-++- 213220222021213220222021111||2||2021||(||2||2021|)22021202|2a a a a a a a a a a a a =-+⨯-++---+-++- 12022|2022|20212022≤-=.（因为213220222021213220222021|2|||2|2||2021|||||02a a a a a a a a a a a a -+-++--+≥--=++ ）当且仅当21232022||2022,0a a a a a ===-== 时,213220222021y y y y y y -+-+⋅⋅⋅+-取得最大值2021.【点睛】(1)数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.(2)数列求和常用方法：。

上海徐汇、松江、金山区2019年高三下学期二模-数学（理）上海市徐汇、松江、金山区 2018届高三下学期二模数学〔理〕试题〔考试时间：120分钟，总分值150分〕 2018.4一、填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分.1、假设函数()(0,1)x f x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-，那么a = .2、函数[]13(),8,64f x x x =∈的值域为A ，集合43|01x x B x x ⎧-⎫=<⎨⎬⎩⎭，那么A B = .3、(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，那么tan 2α=___________.4、圆锥的母线长为5，侧面积为π15，那么此圆锥的体积为__________〔结果保留π〕.5、32i x =--〔i 为虚数单位〕是一元二次方程20x ax b ++= (,a b 均为实数)的一个根，那么a b +=__________.6、如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图， 图中空白执行框内应填入i = .7. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是__________. 8. 将参数方程212cos x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩〔θ为参数，R θ∈〕化为普通方程，所得方程是_____ _____. 9. 在二项式63()()ax a R x+∈的展开式中，常数项的值是20-，第6题图第12题图A 02013那么23lim()n n a a a a →∞++++= .10、一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两次，假设用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，那么数学期望ξE =___________.11、椭圆2212516x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点， 那么PA PB+的最大值为 .12.如图，O 为直线02013A A 外一点，假设0123452013,,,,,,,A A A A A A A 中任意相邻两点的距离相等， 设02013,OA a OA b==，用,a b 表示01220O A O A O A O A ++++u u ur u u ur u u uru u u u ur L L ，其结果为 . 13.设函数()f x x x=，将()f x 向左平移a (0)a >个单位得到函数()g x ，将()f x 向上平移a (0)a > 个单位得到函数()h x ,假设()g x 的图像恒在()h x 的图像的上方，那么正数a 的取值范围为 .14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D 为顶点，任意向上翻折，折痕与BC 交于点1E ，然后复原，记11CDE α∠=；第二步，将纸片以D 为顶点向下翻折，使AD 与1E D重合，得到折痕2E D ,然后复原，记22ADE α∠=；第三步，将纸片以D 为顶点向上翻折，使CD与2E D 重合，得到折痕3E D ，然后复原，记33CDE α∠=；按此折法从第二步起重复以上步骤……， 得到12,,,,n ααα，那么lim n n α→∞=.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.第18题图A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 16、函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =⋅，那么()F x 是〔〕A.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C.偶函数，在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增D.偶函数，在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减17、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22(0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据〔记录数据都是正整数〕： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 那么肯定进入夏季的地区有() A.0个B.1个C.2个D.3个18.如下图，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB BC 与的夹角为θ,那么我们称向量AB 经过一次(),t θ变换得到向量BC .在直角坐标平面内，设起始向量()14,0OA =，向量1OA 经过1n -次12,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭变换得到的向量为()1*,1n n A A n N n -∈>，其中*12,,()i i i A A A i N ++∈为逆时针排列，记iA 坐标为()(),*i i a b i N ∈，那么以下命题中不．正确的选项是．．．．．．〔〕A.2b =B.3130k k bb +-=()*k N ∈C.31310k k a a +--=()*k N ∈D.()()43180k k k k a a a a +++-+-=()*k N ∈三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、(此题总分值12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且sin cos cos sin 2A C A C +=,假设b =ABC ∆的面积ABCS ∆=a c +的值. 20、(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用〔不论速度如何〕总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行、 〔1〕求k 的值；〔2〕求该轮船航行100海里的总费用W 〔燃料费+航行运作费用〕的最小值.21、(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.如图，111ABC A B C -是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱1CC 的中点、〔1〕求异面直线1A D 与BC 所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕；〔2〕求直线11A B 到平面DAB 的距离. 22、(此题总分值16分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分.数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0，公差为12的等差数列. DBCAB 1C 1A 1第21题图〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设()*42()15n a n b n N =⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为kd ，求证：数列{}k d 为等比数列；〔3〕对〔2〕题中的kd ，求集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数.23、(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，假设多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形【一】【二】三总分值依次为5分、6分、8分.双曲线C 的中心在原点，()1,0D 是它的一个顶点，d =是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线C 的方程；(2) 假设过点(3,0-)任意作一条直线与双曲线C 交于,A B 两点(,A B 都不同于点D )，求证：DA DB ⋅为定值； (3) 对于双曲线Γ:22221(0,0,)x y a b a b a b -=>>≠，E 为它的右顶点，,M N 为双曲线Γ上的两点(都不同于点E )，且E M E N ⊥，那么直线MN 是否过定点？假设是，请求出此定点的坐标；假设不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论〔不要求书写求解或证明过程〕.情形一：双曲线22221(0,0,)x y a b a b a b -=>>≠及它的左顶点； 情形二：抛物线22(0)y px p =>及它的顶点； 情形三：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及它的顶点.参考答案一、填空题:(此题共有14题，每题4分) 1、122.[)2,3 3.247- 4.12π5.196、2i +7.cos 3ρθ=8.23y x =-+(x ≤≤)9.14-10.1411.1512.1007()a b +13.2a >14.6π二、选择题：〔此题共有4小题，每题5分〕15.B16.B17.C18.D 三、解答题 19、〔此题12分〕 解：由条件可得sin()A C +=2分即sin 2B =，……………4分1sin 2ABCS ac B ∆= 3.ac ∴=………………………………8分 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--………………10分于是，217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=.………………………………………12分 20.〔此题14分〕此题共有2小题，第〔1〕小题6分，第〔2〕小题8分. 解：〔1〕由题意得燃料费21W kv =，………………………………2分把v =10，196W =代入得0.96k =.………………………………………………6分〔2〕21001001500.96W v v v⨯=⋅+，……………………………………9分=15000962400v v+≥=，………………………11分cos5θ==其中等号当且仅当1500096vv=时成立，解得12.515v==<， (13)分所以，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400〔元〕 (14)分21、〔此题14分〕此题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分.解：〔1〕方法一：以11A B中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分由题意得()(()(11,0,0,,1,2,0,A DB C-那么()(11,1,3,A D BC=-=..............3分设θ为向量1A D C与，.....5分1A D与BC所成角的大异面小为arccos.......6分方法二：取1B B中点E，连结1,A E DE.//DE CB………………………………….2分1A DE∴∠〔或其补角〕为异面直线1A D BC与所成的角.……3分由题意得:在11Rt A B E∆中，1A E=;在11Rt A C D∆中，1A D; (4)分在等腰三角形1A DE中，………5分所以异面直线1A D与BC所成角的大小为〔2〕方法一：由题意可得11//A B ABD平面,所以，11A B到平面DAB的距离即为1A到平面DAB的距离，设为h.…………….8分设平面ABD的法向量为n，(),,1n x y=r,EDBCAB1C1A11222,2ABD S ∆=⋅⋅=由()(()1(1,0,0),1,2,0,,1,2,0A A D B -得()()(1200113AB AD A D =-=--=-，，，，，，,…………………11分, 即()0,3,1n =.……………………………………………………12分所以线11A B 到平面D A B的距离为故直.…………………………………14分方法二：由题意可得11//A B ABD 平面,所以，11A B 到平面DAB 的距离即为1A 到平面DAB 的距离，设为h .…………….8分由题意得12A D AD BD AB ====，等腰ADB ∆底边AB 2=， 12AA BS ∆=，那么11ABB A 的距离为且D 到平面，………………………………………12分由11A ABD D A AB V V --=得……………………………………………………………13分，那么h =所以，直线11A B 到平面DAB .……………14分22、(此题总分值16分)此题共有3个小题，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值6分,第〔3〕小题总分值6分. 解：(1)由条件得10(1)2nSn n =+-，即(1)2n nS n =-,…………………………..2分 所以，*1()n a n n N =-∈.……………………………………………………..4分(2)由〔1〕可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈10n A D h n+⋅===所以，22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅，2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅, 222144(2)21515kk k b +=-=⋅，…………………………..7分 由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列,……………..8分 所以22221214442215155k k k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=，…………………………..9分 满足14k kd d +=为常数，所以数列{}k d 为等比数列.…………………………..10分〔3〕①当k 为奇数时，112211223101555(1)4(51)55515555(1)5k k k k k k kk k k k k k k k k k C C d C C C --------+-+--====-+-+--，…………………………..12分同样，可得111122011114(51)15555(1)555k k k k k k kk k k k d C C C ++--++++-===-+-+-+,所以，集合{}1,kk x dx d x Z +<<∈的元素个数为111()()155k k d d +--++ 133(41)55k k k d d ++=-+=；……..13分②当k 为偶数时，同理可得集合{}1,k k x d x d x Z+<<∈的元素个数为3(41)5k ⋅-..…..16分23、(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，假设多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形【一】【二】三总分值依次为5分、7分、8分。

徐汇金山松江区高考数学二模试卷含答案 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】2016年徐汇(金山、松江)区高考数学二模试卷含答案一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.2．若集合{}{}310,12A x x B x x =+>=-<，则A B =_______________．3．若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________． 4．求值：3arcsin223arctan33=________________弧度．5．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中系数最大的项________________．6．若函数2423y x x =--++的最小值为a ，最大值为b ，则2lim 34n nn nn a b a b →∞--＝_________．7．在极坐标系中，点(3,)2π关于直线6πθ=的对称点的坐标为________________．8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=_______________．（结果用最简分数表示）9．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3,|BC |=5，|CA |=22，则AB BC BC CA CA AB ++的值等于_______________．10．从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于,k 另一个数小于k （其中)k A ∈的概率是2,5则k =__________________．11．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知03,45,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．12．在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．13．定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1,()13,1,,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为________________（结果用a 表示）．14．对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++的最大值为__________________．二． 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的----------（ ）（A ） 充分非必要条件 （B ） 必要非充分条件（C ） 充要条件 （D ） 既非充分也非必要条件16．函数y =22,0,,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）（A ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=-<（B ）,02,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩（C ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=-< （D ）2,0,0x x y x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩17．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C ）363h （D ）3193h18．设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆()()22111x y -++=的位置关系是----------------------------------------( )（A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）随m 的变化而变化三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=．（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）已知函数()2.f x x a a =-+（1）若不等式()6f x <的解集为()1,3-，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在0,x R ∈使00()()f x t f x ≤--，求t 的取值范围．1A1B1CABC22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3O x y +=的两条切线，切点分别为,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22113m n +为定值； （3）若12,P P 是椭圆222223:1x y C a b +=上不同的两点，12PP ⊥x 轴，圆E 过12,,P P 且椭圆 2C 上任意一点都不在圆E 内，则称圆E 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆2C 是否存在过左焦点1F 的内切圆若存在，求出圆心E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++<②存在实数,a b 使n a a b ≤≤对任意正整数n 都成立．（1）现在给出只有5项的有限数列{}{},,n n a b 其中123452,6,8,9,12a a a a a =====；2log (1,2,3,4,5).k b k k ==试判断数列{}{},n n a b 是否为集合W 的元素；（2）数列{}n c 的前n 项和为1,1,n S c =且对任意正整数,n 点1(,)n n c S +在直线220x y +-=上，证明：数列{},n S W ∈并写出实数,a b 的取值范围；（3）设数列{},n d W ∈且对满足条件②中的实数b 的最小值0,b 都有*0().n d b n N ≠∈求证：数列{}n d 一定是单调递增数列．2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（理科）参考答案及评分标准三． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)１．)0,1( 2．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．1i - 4．23π 5．35x 6．127．(3,)6π- 8．47 9．8- 10．4或7 11．62c +=12．200 13．12a - 14．(21102n R+二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．C 16．Ｂ 17．Ｄ 18．Ｃ四．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分） 【解答】（1）1)42sin(2)(++=πx x f ， --------------3分由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得：1A1B1Cz)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈；--6分 （2）由已知，142sin 2)(+⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x g ， -------------9分 由1)(=x g ，得042sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ， 82ππ+=∴k x ，)(Z k ∈. -----------------------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，()()10,0,,1,0,0A a B ，()()111,0,,0,1,B a C a 所以()()1111,0,,1,1,0A B a BC =-=-。

第12题图A 0高考数学最新资料20xx 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 20xx.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-，则a = .2．已知函数[]13(),8,64f x x x =∈的值域为A ，集合43|01x x B x x ⎧-⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = .3．已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α=___________.4．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为__________（结果保留π）.5．已知32i x =--（i 为虚数单位）是一元二次方程20x ax b ++= (,a b 均为实数)的一个根，则a b +=__________. 6．如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图， 图中空白执行框内应填入i = .7. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的 极坐标方程是__________.8. 将参数方程212cos x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，R θ∈）化为普通方程，所得方程是_____ _____.9. 在二项式63()()ax a R x+∈的展开式中，常数项的值是20-， 则23lim()n n a a a a →∞++++= .10．一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望ξE =___________.11．已知椭圆2212516x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点，则PA PB +的最大值为 .第6题图12.如图，O 为直线02013A A 外一点，若0123452013,,,,,,,A A A A A A A 中任意相邻两点的距离相等，设02013,OA a OA b ==，用,a b 表示0122013OA OA OA OA ++++uuu r uuu r uuu r uuuuu rL L ，其结果为 .13.设函数()f x x x =，将()f x 向左平移a (0)a >个单位得到函数()g x ，将()f x 向上平移a (0)a > 个单位得到函数()h x ,若()g x 的图像恒在()h x 的图像的上方，则正数a 的取值范围为 . 14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D 为顶点，任意向上翻折，折痕与BC 交于点1E ，然后复原，记11CDE α∠=；第二步，将纸片以D 为顶点向下翻折，使AD 与1E D重合，得到折痕2E D ,然后复原，记22ADE α∠=；第三步，将纸片以D 为顶点向上翻折，使CD 与2E D 重合，得到折痕3E D ，然后复原，记33CDE α∠=；按此折法从第二步起重复以上步骤……， 得到12,,,,n ααα，则lim n n α→∞= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知,a b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =⋅，则()F x 是 （ ）A.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C.偶函数，在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增D.偶函数，在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 18. 如图所示，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB BC 与的夹角为θ,那么我们称向量AB 经过一次(),t θ变换得到向量BC .在直角坐标平面内，设起始向量()14,0OA =，向量1OA 经过1n -次12,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭变换得到的向量为()1*,1n n A A n N n -∈>，其中*12,,()i i i A A A i N ++∈为逆时针排列， 记i A 坐标为()(),*i i a b i N ∈，则下列命题中不正确．．．的是（ ）A. 2b =B. 3130k k b b +-=()*k N ∈C. 31310k k a a +--=()*k N ∈D. ()()43180k k k k a a a a +++-+-=()*k N ∈三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，且sin cos cos sin 2A C A C +=,若b = ABC ∆的面积ABC S ∆=，求a c +的值.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的 最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行． （1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知111ABC A B C 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱1CC 的中点． （1）求异面直线1A D 与BC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求直线11A B 到平面DAB 的距离.DBCAB 1C 1A 1第21题图已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0，公差为12的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*42()15n an b n N =⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成 一个递增的等差数列，其公差为k d ，求证：数列{}k d 为等比数列； （3）对（2）题中的k d ，求集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数.题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.已知双曲线C 的中心在原点，()1,0D 是它的一个顶点，d =是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若过点(3,0-)任意作一条直线与双曲线C 交于,A B 两点 (,A B 都不同于点D )，求证：DA DB ⋅为定值；(3) 对于双曲线Γ:22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠，E 为它的右顶点，,M N 为双曲线Γ上的两点(都不同于点E )，且EM EN ⊥，那么直线MN 是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠及它的左顶点；情形二：抛物线22(0)y px p =>及它的顶点；情形三：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及它的顶点.（理）参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1．12 2. [)2,3 3. 247- 4. 12π 5. 19 6．2i + 7. cos 3ρθ= 8. 23y x =-+(x ≤≤) 9. 14- 10. 1411.15 12.1007()a b +13.2a > 14.6π二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分） 15. B 16. B 17. C 18.D 三．解答题 19．（本题12分）解：由条件可得sin()A C +=，……………2分即sin B =，……………4分1sin 2ABC S ac B ∆== 3.ac ∴=………………………………8分 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--………………10分 于是，217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=. ………………………………………12分 20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意得燃料费21W kv =，………………………………2分把v =10，196W =代入得0.96k =.………………………………………………6分 （2）21001001500.96W v v v ⨯=⋅+，……………………………………9分=150********v v+≥=，………………………11分其中等号当且仅当1500096v v=时成立，解得12.515v ==<，……………13分所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）. ……………………………14分21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分. 解：（1）方法一：以11A B 中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分 由题意得()()()(11,0,0,0,1,3,1,2,0,A D B C -则()(11,1,3,A D BC =-=. .............3分cosθ==1222,2ABDS∆=⋅⋅=设θ为向量1A D BC与的夹角，则，.....5分异面直线1A D与BC 所成角的大小为arccos . ...... 6分方法二：取1B B中点E，连结1,A E DE.//DE CB………………………………….2分1A DE∴∠（或其补角）为异面直线1A D BC与所成的角. ……3分由题意得:在11Rt A B E∆中，1A E=;在11Rt A C D∆中，1A D=;……………………4分在等腰三角形1A DE中，………5分所以异面直线1A D与BC所成角的大小为 . .... 6分（2）方法一：由题意可得11//A B ABD平面,所以，11A B到平面DAB的距离即为1A到平面DAB的距离，设为h. …………….8分设平面ABD的法向量为n，(),,1n x y=r,由()()()1(1,0,0),1,2,0,0,1,3,1,2,0A A D B-得()()(1200113AB AD A D=-=--=-，，，，，，,…………………11分,即()0,3,1n=. ……………………………………………………12分所以故直线11A B到平面DAB.…………………………………14分方法二：由题意可得11//A B ABD平面,所以，11A B到平面DAB的距离即为1A到平面DAB的距离，设为h.…………….8分由题意得12A D AD BD AB====，等腰ADB∆底边AB2=，则12AA BS∆=，EDBCAB1C1A1200x xAB nx y yAD n⎧-==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+==⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩1n A Dhn+⋅===arccos55112cos5DEA DEA D∠==且D 到平面11ABB A，………………………………………12分 由11A ABD D A AB V V --=得……………………………………………………………13分，则h =所以，直线11A B 到平面DAB……………14分22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分. 解：(1)由条件得10(1)2n S n n =+-，即(1)2n nS n =-,…………………………..2分 所以，*1()n a n n N =-∈. ……………………………………………………..4分(2) 由（1）可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈ 所以，22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅，2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅,222144(2)21515k k k b +=-=⋅，…………………………..7分由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列,……………..8分所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=，…………………………..9分 满足14k kd d +=为常数，所以数列{}k d 为等比数列. …………………………..10分 （3）①当k 为奇数时，112211223101555(1)4(51)55515555(1)5k k k k k k kk k k k k k k k k k C C d C C C --------+-+--====-+-+--，…………………………..12分同样，可得111122011114(51)15555(1)555k k k k k k k k k k k d C C C ++--++++-===-+-+-+,所以，集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为111()()155k k d d +--++133(41)55k k k d d ++=-+=；……..13分②当k 为偶数时，同理可得集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为3(41)5k ⋅-. .…..16分11133ABD A AB S h S ∆∆⋅⋅=23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分。

2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2006•上海）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a= ．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题．解答：解：若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则原函数的图象过点（﹣1，2），∴2=a﹣1，a=．故答案为．点评：本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．2．（4分）（2013•松江区二模）已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=[2，3）．考点：二阶矩阵；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：根据幂函数的单调性，求出函数的值域确定出集合A，然后根据二阶行列式化简集合B后解不等式确定出集合B，最后求出两集合的交集即可．解答：解：由函数是增函数，得：A=[2，4]，由＜0得到x2﹣4x+3＜0，∴1＜x＜3，∴B=（1，3），∴A∩B=[2，3）．故答案为：[2，3）．点评：此题属于以函数的值域、二阶矩阵为平台，考查了交集的运算，要求学生熟练掌握幂函数的性质及二阶行列式的计算．3．（4分）（2013•松江区二模）已知= ﹣．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：先利用诱导公式化简cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，求出cosα，然后根据sin2α+cos2α=1，以及α∈（﹣，0），求出sina，进而求得tanα，再利用二倍角的正切，求出结果．解答：解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣∴cosα=∴sinα=±=±∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣∴tanα=﹣tan2α==﹣故答案为﹣．点评：本题考查了二倍角正切以及诱导公式，解题过程中要注意α的范围，属于基础题．4．（4分）（2013•松江区二模）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．解答：解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π点评：本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．（4分）（2013•松江区二模）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b= 19 ．考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）代入方程，利用复数的运算法则进行化简，再根据复数相等即可得出．解答：解：∵x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，∴（﹣3﹣2i）2+a（﹣3﹣2i）+b=0，化为5﹣3a+b+（12﹣2a）i=0．根据复数相等即可得到，解得．∴a+b=19．故答案为19．点评：熟练掌握方程的根的意义、复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．6．（4分）（2013•松江区二模）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i= i+2 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由已知中该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，由此易给出执行框中填写的语句．解答：解：∵该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，故执行框中应该填的语句是：i=i+2．故答案为：i+2．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（4分）（2013•松江区二模）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcosθ=3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将原极坐标方程ρ=6cosθ的两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．解答：解：由题意可知圆的标准方程为：（x﹣3）2+y2=9，圆心是（3，0），所求直线标准方程为x=3，则极坐标方程为ρcosθ=3．故答案为：ρcosθ=3．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．8．（4分）（2013•松江区二模）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是y=﹣x2+3（）．考点：参数方程化成普通方程．专题：探究型．分析：将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出x的范围．解答：解：由，因为θ∈R，所以﹣1≤sinθ≤1，则．由①两边平方得：x2=2sin2θ③由②得y﹣1=2cos2θ④③+④得：x2+y﹣1=2，即y=﹣x2+3（）．故答案为y=﹣x2+3（）．点评：本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉，常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题．9．（4分）（2013•松江区二模）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则= ．考点：二项式定理；数列的极限．专题：计算题．分析：先求出二项式的展开式的通项为T r+1=，令6﹣2r=0可求r，结合已知常数项的值可求a，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限解答：解：由题意二项式的展开式的通项为T r+1=令6﹣2r=0可得r=3此时的常数项为=﹣20，解得a=则==故答案为：点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解．10．（4分）（2013•松江区二模）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），可得ξ的取值为0，1．抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．由于ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故可求得P（ξ=1），再利用对立事件的概率计算公式可得P（ξ=0），进而得到数学期望Eξ．解答：解：由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），因此ξ的取值为0，1．设抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故P（ξ=1）==，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ=0）==．故随机变量ξ的分布列为：故Eξ=．故答案为．点评：知道两次抛掷后向上面所标有的数字分为四种类型，正确理解古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．11．（4分）（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15 ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．解答：解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15故答案为：15点评：本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．（4分）（2013•松江区二模）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为1007（）．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，可得===…=，共1007个式子，代入可得答案．解答：解：设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，由向量的中点公式可得=2=，同理可得==…=，故=1007×2=1007（）故答案为：1007（）点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，向量的中点公式是解决问题的关键，属中档题．13．（4分）（2013•松江区二模）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为a＞2 ．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：求出平移后的两个函数解析式，通过g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，利用数形结合法，求出a的范围即可．解答：解：函数f（x）=x|x|=，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），g（x）=，将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），h（x）=，分别作出它们的图象，由图象可知，当g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方时，a ＞2．则正数a的取值范围为 a＞2．故答案为：a＞2．点评：本题考查函数的图象与图象变化，考查数形结合思想，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学思想的应用．14．（4分）（2013•松江区二模）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则= ．考点：数列的极限．专题：等差数列与等比数列．分析：由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．若，则；若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式就得出αn，再利用数列极限即可得出．解答：解：由第二步可知：；由第三步可知：，…依此类推：（n≥2）．∴，∴，①若，则，此时；②若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．∴==．综上可知：．故答案为．点评：由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．及熟练掌握等比数列的通项公式和数列极限的定义和运算法则是解题的关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•松江区二模）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题．分析：举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．解答：解：命题甲：ab＞b2，不能推出命题乙：，比如当取a=2，b=1，当然满足甲，但推不出乙；若命题乙：成立，则可得a，b均为负值，且a＜b，由不等式的性质两边同除以b可得ab＞b2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选B点评：本题考查充要条件，利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键，属基础题．16．（5分）（2013•松江区二模）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f（x）的奇偶性，从而得到答案．解答：解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选B．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查函数奇偶性的定义的应用，属于基础题．17．（5分）（2013•松江区二模）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：进行简单的合情推理．专题：计算题．分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，根据“总数÷天数=平均数”进行解答即可得出答案．解答：解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22．③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、乙、丙三地．故选D．点评：本题主要了进行简单的合情推理．解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答即可．18．（5分）（2013•松江区二模）如图所示，向量的模是向量的模的t倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n ﹣1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A i坐标为（a i ，b i ）（i ∈N *），则下列命题中不正确的是（ ）A ．B ． b 3k+1﹣b 3k =0（k ∈N *）C ． a 3k+1﹣a 3k ﹣1=0（k ∈N *） D ． 8（a k+4﹣a k+3）+（a k+1﹣a k ）=0（k ∈N *）考点：命题的真假判断与应用；数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用变换的定义，推导知的向量坐标，然后求出a n ，b n 的表达式，然后进行计算即可． 解答：解：向量，经过1次变换后得到，则，所以，即A 正确．则由题意知=， 所以，．所以，所以B 正确．==，所以C 正确．故错误的是D ． 故选D ．点评： 本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）（2013•松江区二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，若，△ABC 的面积，求a+c 的值．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 解三角形． 分析：由条件可知，根据△ABC 的面积，求得ac=3，再由余弦定理求得a+c 的值． 解答：解：在△ABC 中，由条件可知，，即，∵．∴ac=3．根据，由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，得b 2=（a+c ）2﹣2ac ﹣2accosB ，于是，，∴a+c=4． 点评： 本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦公式，属于中档题． 20．（14分）（2013•松江区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k ．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行． （1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将v=10时W1=96代入即可算出k的值；（2）算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式即可算出当且仅当v=12.5时，总费用W的最小值为2400（元）．解答：解：（1）由题意，设燃料费为，∵当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，∴当v=10时，W1=96，可得96=k×102，解之得k=0.96．（2）∵其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为=元因此，航行100海里的总费用为=（0＜v≤15）∵，∴当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）．点评：本题给出函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．21．（14分）（2013•松江区二模）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．考点：异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）可通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角来求异面直线所成的角；或通过作平行线，再解三角形求解；（2）根据转化思想，线面距离转化为点到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求解．解答：解：（1）方法一：以A1B1中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．由题意得则设θ为向量的夹角，，∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．方法二：取B1B中点E，连结A1E，DE．∵DE∥CB∴∠A1DE为异面直线A1D与BC所成的角．在Rt△A 1B1E中，；在Rt△A1C1D中，；．∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．（2）∵AB∥A1B1，∴A1B1∥平面ABD，∴A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h．由题意得，等腰△ADB底边AB上的高为，，则，且D到平面ABB1A1的距离为，由得×S△ABD•h=××，∴，∴直线A1B1到平面DAB的距离为．点评： 本题考查异面直线所成的角及线面距离问题．22．（16分）（2013•松江区二模）已知数列的前n 项和为S n ，数列是首项为0，公差为的等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，对任意的正整数k ，将集合{b 2k ﹣1，b 2k ，b 2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k ，求证：数列{d k }为等比数列； （3）对（2）题中的d k ，求集合{x|d k ＜x ＜d k+1，x ∈Z}的元素个数．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定． 专题：等差数列与等比数列． 分析： （1）利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用（1）得出b n ，从而得出b 2k ，b 2k ﹣1，b 2k+1依次成递增的等差数列，求出d k =b 2k+1﹣b 2k ﹣1，利用等比数列的定义即可判断出结论；（3）对k 分奇数、偶数讨论，利用二项式定理展开，即可得出集合元素的个数． 解答：解：（1）由条件得，即， ∴．（2）由（1）可知∴，，，由2b 2k ﹣1=b 2k +b 2k+1及b 2k ＜b 2k ﹣1＜b 2k+1得b 2k ，b 2k ﹣1，b 2k+1依次成递增的等差数列， 所以，满足为常数，所以数列{d k }为等比数列．（3）①当k 为奇数时，同样，可得，所以，集合{x|d k ＜x ＜d k+1，x ∈Z}的元素个数为=；②当k 为偶数时，同理可得集合{x|d k ＜x ＜d k+1，x ∈Z}的元素个数为点评： 熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的定义、二项式定理、分类讨论的思想方法是解题的关键． 23．（18分）（2013•松江区二模）已知双曲线C 的中心在原点，D （1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点 （A ，B 都不同于点D ），求证：为定值；（3）对于双曲线Γ：，E 为它的右顶点，M ，N 为双曲线Γ上的两点（都不同于点E ），且EM⊥EN，那么直线MN 是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）． 情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点．双曲线的标准方程；平面向量数量积的运算；类比推理．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：（1）设双曲线C的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及a、b、c 的关系求出a、b的值即得．（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0，再由方程的根与系数关系及为定值；当直线l的斜率不存在时，当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B 的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），代入可求；（3）对于过定点问题，可先假设存在，即假设直线MN过定点，再利用设直线MN的方程为：x=my+t，联立方程组，利用垂直关系求直线MN过定点，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．最后运用类比推理写出类似结论．解答：解：（1）设双曲线C的方程为，则a=1，又，得，所以，双曲线C的方程为．（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），，得=0．当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，故=．=++9k2+1=0．综上，=0为定值．（3）当M，N满足EM⊥EN时，取M，N关于x轴的对称点M'、N'，由对称性知EM'⊥EN'，此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上．设直线MN的方程为：x=my+t，由，得（b2m2﹣a2）y2+2b2mty+b2（t2﹣a2）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由EM⊥EN，得（x1﹣a）（x2﹣a）+y1y2=0，（my1+t﹣a）（my2+t﹣a）+y1y2=0，即，，化简得，或t=a（舍），所以，直线MN过定点（，0）．情形一：在双曲线Γ：中，若E'为它的左顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（，0）．情形二：在抛物线y2=2px（p＞0）中，若M，N为抛物线上的两点（都不同于原点O），且OM⊥ON，则直线MN过定点（2p，0）．…..（16分）情形三：（1）在椭圆中，若E为它的右顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，则直线MN过定点（，0）；（2）在椭圆中，若E'为它的左顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN 过定点（，0）；（3）在椭圆中，若F 为它的上顶点，M ，N 为椭圆上的两点（都不同于点F ），且FM⊥FN，则直线MN 过定点（0，）；（4）在椭圆中，若F'为它的下顶点，M ，N 为椭圆上的两点（都不同于点F'），且F'M⊥F'N，则直线MN 过定点（0，）．点评： 本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的坐标表示的应用，属于直线与曲线位置关系的综合应用，属于综合性试题．。

2021届上海市徐汇区高三二模数学试题一、单选题1．设α：x >1且y >2，β：x +y >3，则α是β成立的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若“1x >且2y >”则“3x y +>”成立，当5x =，1y =时，满足3x y +>，但1x >且2y >不成立， 故1x >且2y >”是“3x y +>”的充分非必要条件． 故选：A ．2．设z 1、z 2为复数，下列命题一定成立的是（ ） A ．如果z 12+z 22＝0，那么z 1＝z 2＝0 B ．如果|z 1|＝|z 2|，那么z 1＝±z 2 C ．如果|z 1|≤a ，a 是正实数，那么﹣a ≤z 1≤a D ．如果|z 1|＝a ，a 是正实数，那么211z z a = 【答案】D【分析】通过举反例或一般性推理可作出选择.【详解】选项A ，若121,z z i ==，则有22120z z +=，但12z z ≠，故A 不正确；选项B ，若121,z z i ==，则有12||||z z =，但12z z ≠-，故B 不正确； 选项C ，若1z 为虚数，显然不可能有1a z a -<<，故C 不正确；选项D ，因为1z x yi =+，则1z x yi =-，若1||z a ==，即222x y a +=，而22211()()z z x yi x yi x y a ⋅=+-=+=，故D 正确. 故选：D.3．若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论： ①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增； ④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择. 【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确； 对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x ，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f ，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查奇函数定义以及单调性，解题的关键是熟悉奇函数的定义及单调性性质，及反函数的性质，考查学生的基本分析判断能力，属中档题. 4．已知{a n }是公差为d （d ＞0）的等差数列，若存在实数x 1，x 2，x 3，⋯，x 9满足方程组123911223399sin sin sin ...sin 0sin sin sin ...sin 25x x x x a x a x a x a x ++++=⎧⎨++++=⎩，则d 的最小值为（ ）A ．98B ．89C ．54D ．45【答案】C【分析】把方程组中的n a 都用1a 和d 表示，求得d 的表达式，根据方程组从整体分析可知：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值．【详解】解：把方程组中的n a 都用1a 和d 表示得：11121319sin ()sin (2)sin (8)sin 25a x a d x a d x a d x +++++++=，把129sin sin sin 0x x x +++=代入得： 23925sin 2sin 8sin d x x x =+++，根据分母结构特点及129sin sin sin 0x x x +++=可知：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值为1234025678554---+⨯++=++．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值．二、填空题5．集合2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =<，则A B 等于_______________．【答案】()1,2-【详解】试题分析：因为2{|20}(0,2),A x x x =-<={|1}(1,1),B x x =<=-所以结合数轴可得：(1,2).A B ⋃=- 【解析】集合运算6．已知函数34()log (2)f x x=+，则方程1()4f x -=的解x =________ 【答案】1【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()4f x -=的x 值，即求(4)f 的值．【详解】由题意得x 值即为(4)f 的值，因为34()log (2)f x x =+， 所以34(4)log (2)14f =+=，所以1x =. 故答案为1x =.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y ，则反函数过点(,)y x ，考查对概念的理解和基本运算求解能力.7．等比数列(){*}n a n ∈N 中，若2116a =，512a =，则8a =_____．【答案】 4【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．【详解】设等比数列(){*}n a n ∈N 的公比为q ，则35212a a q ⨯==，解得38q =，即2q，所以3581842a a q =⨯⨯==，故答案为：4．8．若方程x 2﹣2x +3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____． 【答案】23【分析】因为∆<0，设m ni α=+，则m ni β=-，根据根与系数关系及模求解. 【详解】因为∆<0，此时方程两根为共轭虚根， 设m ni α=+，则(),m ni m n R β=-∈，223m n αβ∴=+=，222m n αβ∴+=+23=.故答案为：23.9．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＞＜的部分图象如图所示，则f （x ）＝_____．【答案】2sin4x π【分析】由函数的图象顶点的纵坐标求出A ，根据半个周期6242T πω==-=，求出ω，然后再根据004πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭求出ϕ值．【详解】解：根据图象顶点的纵坐标可得2A =，6242T πω==-=，4πω∴=，故函数为2sin()4y x πϕ=+，由五点法作图可得004πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，0ϕ∴=，故()2sin 4f x x π=.故答案为：2sin4x π．10．双曲线22149x y -=的焦点到渐近线的距离等于_____．【答案】3【分析】由给定的双曲线方程写出它的焦点和渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即得.【详解】双曲线22149x y -=中，实半轴a =2，虚半轴b =3，则半焦距c =所以双曲线焦点(F ，渐近线方程32y x =±，即320x y ±=，3==. 故答案为：311．在二项式（1+ax ）7（a ∈R ）的展开式中，x 的系数为73，则()23lim ...n n a a a a →∞++++的值是_____． 【答案】12【分析】求得13a =，利用等比数列的求和公式以及极限的运算性质可求得. 【详解】由题意可知()71ax +的展开式中x 的系数为773a =，解得13a =，所以2321111111133133322313n n n na a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭++++=+++==-⋅-， 因此，()23111lim lim 2232n n n n a a aa →∞→∞⎛⎫++++=-= ⎪⋅⎝⎭. 故答案为：12. 12．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点都在同一球面上，若AB ＝1，AA 1，则A 、C 两点间的球面距离是_____． 【答案】2π 【分析】正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角AOC 为直角，就可以求出AC 的球面距离．【详解】解：正四棱柱的对角线为球的直径，由()22222114R =++=得1R =，2222222121,AC OA OC R R =+∴=+=+， 222AC OA OC ∴=+，2AOC π∴∠=（其中O 为球心）A ∴、C 两点间的球面距离为22R ππ⨯=，故答案为：2π． 13．在ABC 中，已知AB ＝1，BC ＝2，若cos sin C y C =sin cos CC，则y 的最小值是_____．【答案】12【分析】根据题意，由矩阵的计算公式和平方关系可得212sin y C =-，由正弦定理可得sin C 的最大值，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，222cos sin cos sin 12sin sin cos C Cy C C C C C==-=-，又在ABC 中，sin sin AB BCC A=，而1AB =，2BC =， 即12sin sin C A =，变形可得sin 2sin A C =，则有sin 1sin 22AC =， 则221112sin 1222y C ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，即y 的最小值是12.故答案为：12． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由正弦定理得sin 2sin A C =，则由三角函数的性质sin 1sin 22A C =. 14．已知三行三列的方阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中有9个数a ij （i ＝1，2，3；j ＝1，2，3），从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是_____.（结果用分数表示） 【答案】37【分析】从9个数中任取3个，共有39C 种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有11321C C ⨯⨯种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有121334C C C ⋅⋅种选法；然后利用间接法即可得出结论．【详解】解：从9个数中任取3个，共有3984C =种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有113216C C ⨯⨯=种选法； 当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有12133436C C C ⋅⋅=种选法； ∴从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率8466363847---==，故答案为：37． 【点睛】关键点点睛：分3个数中位于同行或同列、3个数中都位于不同行或不同列和3个数中既有两数同行、又有两数同列三种情况进行讨论，然后利用间接法求解. 15．在ABC 中，12AM AB =，13AN AC =，BN 与CM 交于点E ，AB a =，AC b =，则AE =_____（用a 、b 表示）． 【答案】2155a b + 【分析】本题可结合题意绘出图像，然后根据M 、E 、C 三点共线得出12m AEm ba ，根据N 、E 、B 三点共线得出13nAE n a b ，最后根据1123m n m b a n a b 求出m 、n 的值，即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像：因为M 、E 、C 三点共线， 所以存在实数m 使112mAEm AC m AM m ba ， 因为N 、E 、B 三点共线， 所以存在实数n 使113nAE n AB n AN n ab ， 则1123m nm ba n ab ， 即1312n m m n-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得25n =，15m =，2155AE a b =+，故答案为：2155a b +. 【点睛】关键点点睛：若A 、B 、C 三点共线，O 为直线外一点，则存在实数m 使1OB m OA m OC ，考查数形结合思想，考查计算能力，是中档题.16．已知实数a 、b 使得不等式|ax 2+bx +a |≤x 对任意x ∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy 中，点（a ，b ）形成的区域记为Ω．若圆x 2+y 2＝r 2上的任一点都在Ω中，则r 的最大值为_____． 【答案】29【分析】在x ∈[1，2]的条件下，把等式|ax 2+bx +a |≤x 等价转化，利用函数最值建立关于a ，b 的二元一次不等式组，画出其可行域Ω，再用几何意义得解. 【详解】任意x ∈[1，2]，21||(||)1ax bx a x x a b x++≤⇔++≤， 而函数1()f x x x=+在[1，2]上单调递增，则52()2f x ≤≤，又关于a 的函数1()x a b x ++在5[2,]2上图象是线段，1|()|x a b x ++最大值是|2|a b +或5||2a b +所以21512a b a b ⎧+≤⎪⎨+≤⎪⎩，该不等式组表示的平面区域即是点(a ，b )形成的区域Ω，如图中阴影区域(平行四边形ABCD )：点O (0，0)到直线210x y +-=或210x y ++=的距离122521d ==+， 点O(0，0)到直线5102x y +-=或5102x y ++=的距离122229295()12d ==+， 而2295295<，要圆x 2+y 2＝r 2上的任一点都在Ω中，当且仅当22929r ≤，即r 的最大值为229. 故答案为：229【点睛】关键点睛：非线性目标函数的最值求法，关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BA ⊥BC ，BA ＝BC ＝BB 1＝2．（1）求异面直线AB 1与A 1C 1所成角的大小；（2）若M 是棱BC 的中点．求点M 到平面A 1B 1C 的距离．【答案】（1）3π；（2）22. 【分析】（1）1CAB ∠（或其补角）即为异面直线1AB 与11A C 所成角，连接1CB ，在1AB C中，即可求解．（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面11A B C 的法向量，结合1(0,2,1)MB =-，利用空间距离公式求解即可．解法二：过点M 作1MN CB ⊥交1CB 于N ，证明MN ⊥平面11A B C ，然后求解三角形即可．【详解】解：（1）由于A 1C 1//AC ，所以∠CAB 1（或其补角）即为异面直线AB 1与A 1C 1所成角，连接CB 1，在AB 1C 中，由于1122AB BC AC ===，所以AB 1C 是等边三角形， 所以13CAB π∠=，所以异面直线AB 1与A 1C 1所成角的大小为3π．（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C （0，0，2）、B 1（0，2，0）、A 1（2，2，0）、M （0，0，1）．设平面A 1B 1C 的法向量为(),,n n v w =，则111,n CB n A B ⊥⊥． ∵()10,2,2CB =-，()112,0,0A B =-， 且1110,0n CB n A B ⋅=⋅=， ∴220200v w w vu u -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，取v ＝1，得平面A 1B 1C 的一个法向量为()0,1,1n =， 且2n =，又∵()10,2,1MB =-，于是点M 到平面A 1B 1C的距离102n MB d n⋅⨯==== 所以，点M 到平面A 1B 1C 的距离等于2． 解法二：过点M 作MN ⊥CB 1交CB 1于N ，由1111111MN CB MN A B CB A B B⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒MN ⊥平面A 1B 1C ． 在Rt CMN 中，由4MCN π∠=，CM ＝1，得2MN =， 所以，点M 到平面A 1B 1C 的距离等于2． 18．已知函数()f x x a =+ （1）若a =f （x ）的零点；（2）针对实数a 的不同取值，讨论函数f （x ）的奇偶性． 【答案】（1）2x =-；（2）当a ＝0时，函数f （x ）为偶函数，当a≠0时，函数f （x）为非奇非偶函数．【分析】（1）根据解析式，求得定义域，当a =0x+=，解得2x =-∈[﹣1，1]，所以零点为2x =-. （2）若f （x ）为奇函数，则必有f （﹣1）+f （1）＝0，代入求得a 不存在，若函数f （x）为偶函数，由f （﹣1）＝f （1），解得a =0，经检验符合题意，即可得答案. 【详解】（1）根据题意，函数()f x x a =+则有1﹣x 2≥0，解可得﹣1≤x ≤1，即函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]， 由a =0x-=，化简得2210x ++=，即)210+=，则2x =-∈[﹣1，1]， 所以，函数f （x ）的零点为x =； （2）函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，若函数f （x ）为奇函数，则必有f （﹣1）+f （1）＝0；代入得|a +1|+|a ﹣1|＝0于是11a a =⎧⎨=-⎩无解，所以函数f （x ）不能为奇函数，若函数f （x ）为偶函数，由f （﹣1）＝f （1）得|﹣1+a |＝|1+a |解得a ＝0； 又当a ＝0时，()21f x x x =--，则()()2211f x x x x x f x -=---=--=； 对任意x ∈[﹣1，1]都成立，综上，当a ＝0时，函数f （x ）为偶函数，当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数． 19．元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形ABCD 的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A 、C 两点距离）的绳子两头分别拴住A 、C ；B 、D ，再用一根绳子OP 与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设∠PAC ＝θ，所有绳子总长为y 米．（打结处的绳长忽略不计）（1）将y 表示成θ的函数，并指出定义域；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）【答案】（1）y ＝)0.424sin 1cos θθ-+，52θ⎛∈ ⎝⎭；（2）1.17米，1.17米，0.85米．【分析】（1）分别用θ表示||PA ，||PM ， 进而可以表示绳长4||||4||||||y PA OP PA OM PM =+=+-；（2）先求出4sin cos θθ-的最小值及相应的θ值，进而可得结果.【详解】（1）设上底中心为M ，则|AM |＝0.42，|PM |＝0.42tanθ，|P A |＝0.42cos θ， 故绳子总长4||||4||||||y PA OP PA OM PM =+=+-＝1.6210.42tan cos θθ+-＝()0.424sin 1cos θθ-+， 因为||520tan ||40.42OM AM θ<<==，所以520,arctan 4θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭． （2）记A ＝4sin cos θθ-，则sinθ+A cosθ＝4，即()21sin 4A θϕ++=，由sin （θ+φ）≤1，得15A ≥，等号成立时arctan 152πθ=-520,arctan 4⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 从而y min ＝0.430+1≈3.19（米），此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米．【点睛】关键点点睛：本题是三角函数应用题，主要考查应用实践能力.本题的关键点是：能够将实际问题转化为数学问题.20．已知椭圆22163x y +=＝1上有两点P （﹣2，1）及Q （2，﹣1），直线l ：y ＝kx +b与椭圆交于A 、B 两点，与线段PQ 交于点C （异于P 、Q ）． （1）当k ＝1且12PQ CQ =时，求直线l 的方程； （2）当k ＝2时，求四边形PAQB 面积的取值范围；（3）记直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率依次为k 1、k 2、k 3、k 4.当b ≠0且线段AB 的中点M 在直线y ＝﹣x 上时，计算k 1⋅k 2的值，并证明：k 12+k 22＞2k 3k 4．【答案】（1）x ﹣y +1＝0；（2）209⎛ ⎦⎝；（3）12，证明见解析. 【分析】（1）设出点C 的坐标，再根据向量建立方程从而求点C 的坐标即可确定直线l 的方程；（2）分别求出PQ 与AB ,然后再求出面积的表达式，最后求出范围即可； （3）将斜率都用坐标表示，再根据韦达定理化简以及基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设C （a ，b ），则()()=2,1,2,1PC a b CQ a b +-=---，由12PC CQ =，得()()12221112a a b b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩解得2313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线l 的方程为1233y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即x ﹣y +1＝0． （2）直线l 的方程为y ＝2x +b ，代入椭圆方程，整理得9x 2+8bx +2b 2﹣6＝0（） 则|AB |=由l 与线段PQ0，得﹣5＜b ＜5， 由12PQ k =-，k l ＝2知k PQ ⋅k l ＝﹣1， 所以AB⊥PQ 且PQ =， 故四边形P AQB 的面积S＝12ABPQ ⋅=，其取值范围为209⎛ ⎦⎝． （3）将直线l 的方程l ：y ＝kx +b ，代入椭圆方程，整理得（1+2k 2）x 2+4kbx +2b 2﹣6＝0 （） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 且x 1，x 2为方程（）的两根，则x 1+x 2＝2412kb k-+． 由条件，有1212022x x y y +++=，即x 1+x 2+y 1+y 2＝0， 又y 1＝kx 1+b ，y 2＝kx 2+b ，故有（1+k ）（x 1+x 2）+2b ＝0，即()2412012kb k b k ⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭，解得b ＝0（舍）或k ＝12． 当k ＝12时，x 1+x 2＝43b -，x 1x 2＝24123b -，则k 1k 2＝()()12121212111111222222x b x b y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⋅=++++＝()()()212121************b x x x x b x x x x -+++-=+++，又由于k 3k 4＝()()()()()21212121212121212111111111122422222242b x b x b x x x x b y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⋅===-----++， 由k 1≠k 2，利用基本不等式有2213422k k k k +>成立．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是方程思想的运用，二是面积的设计方案中发现了PQ AB ⊥，三是计算的准确性.21．若数集M 至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a ，b ，c （a ＜b ＜c ），a ，b ，c 都不能成为等差数列，则称M 为“α集”．（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n }（n ∈N ，n ≥3）是否是α集？说明理由； （2）已知k ∈N ，k ≥3．集合A 是集合{1，2，3，⋯，k }的一个子集，设集合B ＝{x +2k ﹣1|x ∈A }，求证：若A 是α集，则A ∪B 也是α集；（3）设集合()34122222,,,...,,*,3341n n C n N n n n +⎧⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭，判断集合C 是否是α集，证明你的结论．【答案】（1）集合{1，2，4，8，⋯，2n }（n ∈N ，n ≥3）是“α集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）集合C 是α集，证明见解析.【分析】（1）根据题中的定义，判断集合是否是集α； （2）使用反证法进行证明；（3）根据题中的定义，运用演绎推理证明结论.【详解】（1）任取三个不同元素2i ＜2j ＜2k （其中0≤i ＜j ＜k ≤n ）， 若此三数成等差数列，则2i +2k ＝2⋅2j ，但1222222i k k j j ++>≥=⋅，因此这三个数不能成等差数列． 所以，集合{1，2，4，8，⋯，2n }（n ∈N ，n ≥3）是“α集”． （2）反证法．假设A ∪B 不是“α集”， 即A ∪B 中存在三个不同元素x ＜y ＜z ， 使x ，y ，z 成等差数列，则x +z ＝2y ．因为A 是“α集”，所以，x ，y ，z 不能全在A 中；如果x ，y ，z 全在B 中，则[x ﹣（2k ﹣1）]+[z ﹣（2k ﹣1）]＝2[y ﹣（2k ﹣1）]依然成立， 且x ﹣（2k ﹣1），y ﹣（2k ﹣1），z ﹣（2k ﹣1）都在A 中， 这说明A 中存在三个数构成等差数列，即A 不是“α集”，与条件矛盾，因此，x ，y ，z 也不能全在B 中， 由于B 中最小可能元素（为2k ）大于 A 中最大可能元素（为k ）， 所以必有x ∈A ，z ∈B ．从而，y ＝12（x +z ）12≤[k +k +（2k ﹣1）]＝2k ﹣12＜2k ，故y ∉B ； 同样，y ＝12（x +z ）12≥[1+1+（2k ﹣1）]＝k +12＞k ，故y ∉A ． 这与y ∈A ∪B 矛盾，故A ∪B 也是“α集”． （3）集合C 是“α集”，证明如下：记()12*1k k a k N k +=∈+，则()()211122202112k k k k k k a a k k k k ++++-=-=⋅++++＞，故a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜…＜a n ．任取a i ，a j ，a k ∈C （其中1≤i ＜j ＜k ），则a i ＜a j ＜a k ．当k ≥j +2时，()()22212222013j i k j i j j j j j a a a a a a a a j j +++-+-≥+--=++＞＞（这是由于j ＞i ≥1，故j ≥2），即a i +a k ＞2a j ；当k ＝j +1时，若a i ，a j ，a k 成等差数列，则a i +a k ＝2a j ，即a i +a j +1＝2a j ，化简得（j +1）（j +2）＝（i +1）⋅2j ﹣i +1（）从而（j +1）（j +2）是2j ﹣i +1的正整数倍，由于j +1与j +2互质（为两个连续正整数）， 因此j +1是2j﹣i +1的正整数倍或j +2是2j﹣i +1的正整数倍，若j +1是2j ﹣i +1的正整数倍，则j +1≥2j ﹣i +1，而j +2＞j +1＞i +1，则（）式不成立； 若j +2是2j ﹣i +1的正整数倍，则j +2≥2j ﹣i +1，而j +1＞i +1，（）仍不成立． 综上可知，a i ，a j ，a k 不能成等差数列，即证明了集合C 是“α集“．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是对题中新定义的理解与运用，二是反证法的运用.。