高二数学简单的线性规划

《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。

本节的教学重点是线性规划问题的图解法。

数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。

二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。

三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。

从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。

从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。

五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。

应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。

六、教学过程。

3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。

简单的线性规划[ 本讲主要内容]1.二元一次不等式表示平面地区2.线性规划拘束条件、线性拘束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解。

[ 学习指导 ]在本节的学习中我们应明确以下几个问题：1. Ax By C0 表示的直线Ax Bx C 0的某一侧的平面地区不包含界限的直线 , Ax By C 0 所表示的平面地区包含界限直线Ax By C 0 .即x, y Ax By C0x, y Ax By C0x, y Ax By C0在座标系中画不等式表示的平面地区时, 应注意用虚线和实线对它们加以划分.2. 在解决“例 2”那样的最值问题时, 用图解法常常比用代数解法更为正确( 详尽说明请见例题精讲例 2中的 [ 解题后的反省 ])3. 本节的难点在于如何将实质问题转变成线性规划问题. 下边的框图归纳了将实质问题转变成线性规划问题的过程( 详尽说明请见例题精讲例 4)[ 例题精讲 ][ 例 1]画出不等式组3x2y20x 4 y40表示的平面地区.2 x y60[ 剖析及解 ] 不等式组表示的平面地区是各个不等式所表示的平面点集的交集, 因此是各个不等式所表示的平面地区的公共部分 .不等式 3x 2 y 2 0 表示直线 3x 2 y 2 0 右下方的点的集合 , x 4 y 4 0 表示直线x 4 y 4 0 右上方的点的会合, 2x y 6 0 表示直线2x y 6 0 上及左下方的点的会合 , 因此不等式组3x 2 y2x 4 y 4 0 表示的平面地区如图 1 所示暗影部分 .2xy 6 0[ 例 2] 已知实数x,y2 x y 4 2x y知足以下条件x y, 求 z0 2的最大值和最小值 .[ 剖析及解 ] 依据已知条件知 , 不等式组表示的平面地区如图2 所示暗影部分 .要求 z2x y 的最大 ( 小 ) 值 , 需弄清 z 饰演的是什么角色 ,它是直线 z2xy 在 y 轴上的截距 .当(x,y) 对应图 2 暗影部分的不一样点时,z 将跟着 x,y 的不一样取值而变化 , 要求 z2xy 的最大 ( 小 ) 值 , 也就是要经过运动的直线求得z 2x y 在 y 轴上的截距的最大 ( 小) 值 .z 2 x y 表示斜率为定值 -2 的一组平行直线 . 我们先作出以 -2为斜率 , 经过 (0,0) 点的直线 l 0:2x+y=0, 而后以它为基准 , 将它往右平行挪动 , 在经过图 2 暗影部分内的点且平行于l的直线中 , 以经过点 D(1,1) 的直线 l 1 所对应的 y 轴上的截距最小 , 以经过点 B(3,1) 的直线 l 所对应的 y 轴上的截距最大 .2即 z min2 1 1 3, z max 23 1 7因此当实数 x,y2 x y 4 2xy 的最大值为 7, 最小值为 3.知足条件xy时, z0 2[ 解题后的反省 ] 我们用图解法解决了以上这个线性规划问题 . 对于这个线性规划问题能否用代数方法先求出x,y 各自的取值范围 , 而后再求 z2x y 的最值呢 ?将不等式 2 xy 4与 0 xy2相加,获得1 x 3, 从而解得 0 y 2 .此时 , 可求出2 1 0 2xy 2 3 2即 2 z 8为何用代数方法求出的结果2 z 8 与用图解法求出的结果3 z 7 不一样呢 ?1 x 32 x y 4 如图3 显示出y表示的平面地区比 0 x y表示的平22面地区的范围大 . 从而致使 z 的取值范围的扩大 , 为何会出现这样的问题2 x y 4 1 x 3的过程中 , 我们运用了不等式的性质: “若呢 ? 由于在由x y获得y0 22a>b,c>d, 则 a+c>b+d ”, 而这一性质不是充要的1 x 32 x y 4, 也就是说 ,y2不过x y 的0 0 2必需条件 , 而非充足条件 , 从而致使了 x,y 的取值范围的扩大 .经过以上剖析、比较 , 我们得出这样的结论: 在解决像例 2 这样的线性规则问题时 , 用图解法常常比用代数法更为正确 .[ 例3]求不等式 x 2 y 2 2 表示的平面地区的面积 .[剖析及解 ] 对于绝对值不等式x2 y2 2 , 我们可采纳分类议论的方法去掉绝对值符号 .x2 y 2 2 等价于x 2x 2x 2x 2y 2或 y 2 或 y 2 或 y 2x y 6 0xy 2 0xy 2 0xy 2 0它们所表示的平面地区是以A,B,C,D 为极点的正方形 ( 如图 4 所示暗影部分 )设四边形 ABCD 的面积为 S, 则S 1BDAC1 4 4822因此不等式x 2y 22 表示的平面地区的面积为 8 个单位面积 .[ 例4] 某工厂生产甲 , 乙两种产品 , 已知生产甲种产品 1 吨需耗煤 9 吨 , 电 4 千瓦 , 需劳动力 3 名 ; 生产乙种产品 1 吨需耗煤 4 吨 , 电 5 千瓦 , 需劳动力 10 名 . 每 1 吨甲种产品的收益是 7 万元 , 每 1 吨乙种产品的收益是 12 万元 . 工厂在生产这两种产品的计划中要求耗费煤不超出360 吨, 电 200 千瓦 , 所需劳动力不超出 300 名. 甲 , 乙两种产品应各生产多少吨, 能使收益总数达到最大 ?最大收益是多少 ?[ 剖析及解 ] 将已知数据列成下表:资源煤 电力(千 劳动力 产品收益 耗费量 ( 吨)瓦 )( 名 )(万元/吨)产品甲产品 ( 吨) 9 4 3 7乙产品 ( 吨) 4 5 10 12资源限额360200300设生产甲 , 乙两种产品分别为 x 吨 ,y 吨 , 收益总数为 z 万元 , 则9x 4 y 360 4x 5y 2003x 10 y 300x 0, yz7 x 12 y作出以上不等式组所表示的平面地区(如图 5), 即可行域 .作直线 l :7x+12y=0,将 l0向右上方平行挪动至 l1的地点时 , 直线经过可行域上的点 M,且在 y 轴上的截距达到最大 , 此时 z7x 12 y 获得最大值 .3x 10 y 300 此时解方程组5 y得 M(20,24), 4x 200z max 7 20 1224 140 288 428(万元 )答 : 生产甲产品 20 吨, 乙产品 24 吨 , 可使收益总数达到最大 , 最大收益为428 万元 .[ 解题后的反省 ] 像例 4 这样对于线性规划的实质问题的解题步骤是:(1) 设出变量 ;(2) 列出拘束条件 , 目标函数 ; (3) 画出可行域 ;(4) 作出一条直线 z 7 x 12 y ( 比如 z=0);(5) 察看平行直线系 z 7x12 y 的运动 , 求出目标函数的最值 .(6) 查验所求得的几何问题的解能否知足实质问题的要求 .此中 (1),(2) 是成立数学模型的过程, 也就是将实质问题转变为数学识题的过程;(3) 是将已成立的代数模型转变为几何模型 , 从而利用图解法求解;(4),(5) 是利用图解法追求到几何问题的解 . 最后应付所得的几何问题的解进行查验 , 从而获得实质问题的解 .[ 例5] A,B 两个产地分别生产同一规格产品12 千吨 ,8 千吨 , 而 D,E,F 三地分别需要 8千吨,6千吨 ,6 千吨 , 每千吨的运价表以下:(万元 ) 到 D 到 E 到 F 从 A 4 5 6从 B524如何确立调运方案 , 使总的运费为最少 ? [ 剖析及解 ] 依据已知条件获得以下调运方案表(千吨 ) 到 D 到 E 到 F 从 A x y 12-x-y从 B8-x6-y6-(12-x-y)设从 A 地向 D 地调运 x 千吨 , 从 A 地向 E 地调运 y 千吨 , 总的运费为z 万元 ,x0y 012 x y 0则8x06y0612x y0z 4x 5 y 6 12x y 5 8 x 2 6 y 4 6 12 x y ,即 z3x y 100作出以上不等式组所表示的平面地区( 如图 6), 即可行域 .作直线 l 0: y=3x, 将 l 0向右下方平行挪动至 l 1地点时 , 直线经过可行域上的点 M(8,0), 且在 y 轴上的截距 (z-100) 达到最小 , 此时 z= -3x+y+100 取得最小值 , 最小值为38 0 100 76(万元)答: 从 A 地分别向 D,E,F 三地调运 8 千吨 ,0 千吨 ,4 千吨 ;从 B 地分别向 D,E,F 三地调运 0 千吨 ,6 千吨 ,2 千吨 , 可使总的运费最少, 最少为 76 万元 .[ 解题后的反省]例4,例5是相关线性规划的两个实质问题 , 它们分别属于两种种类:第一种种类是给定必定数目的人力、物力资源 , 问如何安排运用这些资源, 能使达成的任务量最大 , 收到的效益最大 ( 如例 4); 第二种种类是给定一项任务 , 问如何兼顾安排 , 能使达成这项任务的人力、物力资源量最小 , 成本最低 .[ 基础性训练题]一. 选择题1.不等式 2x-y-6>0 表示的平面地区在直线 2x-y-6=0 的 ( )(A) 左上方(B)右上方(C)左下方(D)右下方x 4 y 3 02. 不等式组3x5y25 所表示的平面地区是( )x1, y0(A)第一象限内的三角形(B)第一象限内的四边形(C)第四象限内的三角形(D)第四象限内的四边形3.图7中暗影部分可用二元一次不等式组( )表示.y1y1(A)(B)2x y 2 02x y 20x0x0(C)y1(D)y12x y 202x y 204.x 2y21是x y1的( )条件 .(A)充足而不用要(B)必需而不充足(C)充足且必需(D)既不充足也不用要5.由 y2和x y x 1 围成的关闭几何图形的面积是( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 56.x2y 1 x y40 表示的平面地区为()二. 解答题:7.已知实数 x,y 知足条件3x y20x y20x 2 y10x5, y5求① S=x-y 的最小值 ;②S=2x-y 的最小值 .8. 某工厂要制造 A 种电子设施45 台 ,B 种电子设施 55台, 需用薄钢板给每台设施配一个外壳 , 已知薄钢板的面积有两种规格, 甲种薄钢板每张面积22m, 可做设施 A,B 的外壳分别为 3个和 5 个, 乙种薄钢板每张面积2可做设施 A,B 的外壳各 6 个, 求两种钢板各用多少张才能3m,使总的用料面积最省 .[ 提升性训练题 ]一. 填空题 :1. 点 P(a,4) 到直线x 2 y20 的距离等于 2 5 且在不等式 3x y 3 0 表示的平面地区内 , 则点 P 的坐标为 ___________.x32. 不等式组x y0表示的平面地区的面积等于____________.x y503x 2 y203.不等式组x 4 y40 表示的平面地区内的整点( 横 , 纵坐标都是整数的点 ) 的坐2x y 6 0标分别为 _______________.4.已知 A(1,1),B(5,3),C(4,5),平面地区是ABC 的条件是___________.5.ABC 中,三极点A,B,C坐标为 A(2,4),B(-1,2),C(1,0).假如 Q(x,y) 在ABC内部或界限上运动 , 那么z x y 的最大值是__________.x 4 y30y6.变量 x,y知足条件3x5y250 ,设 z, 则 z 的最小值为 _______, 最大值为x1x_______.二 .解答题 :2x y507.已知 3x y50 ,x 1 2y 1 2在什么时候获得最大值 , 最小值 ?最大值 , 最x 2 y50小值各是多少 ?8.某企业用两种机器来生产某种产品, 第一种机器每台需花 3 万日元及人民币 50 元的维护费 ; 第二种机器则需 5万日元及人民币20 元的保护费 . 第一种机器的年收益每台有 9万日元 , 第二种机器的年收益每台有 6 万日元 , 但政府批准的外汇日元 135 万元 , 而且公司的总保护费不得超出1800 元 , 问每种机器应购置几台最好?[ 基础性训练题点拨与解答]一. 选择题:1.( D)不等式 2x y 6 0 表示的平面地区如图8 暗影部分 .2.( B)x 4 y 3 0不等式组3x5y25 所表示的平面地区如图9暗影部x1, y0分.3.( C)4.( B)不等式 x 2y 2 1 表示的平面地区如图10( 甲) 暗影部分 , 不等式 x y 1表示的平面地区如图10(乙)暗影部分 ,则x 2y21是x的必需不y 1充足条件 .5.( C)x 0由 y 2 和x y x 1围成的关闭几何图形就是由不等式组x yx 1或不y 2x 0等式组x y x 1围成的平面地区( 如图 11 暗影部分 )y 26.( D)不等式 x 2 y1x y 4x 2 y10x 2 y10 0 等价于y4或y40 x0x二 .解答题 :7. ①– 2; ②0.3x y20不等式组x y2012 暗影部分 . x 2 y1所表示的平面地区如图x5, y5①∵ S 为直线 S=x-y 在 y 轴上的截距的相反数 .∴要求 S 的最小值 , 即求直线 S=x-y 在 y 轴上的截距的最大值( 即-S 的最大值 )将直线 l0: x-y=0 向左上方平行挪动至l ( 即直线 DE)的地点时 ,1直线经过可行域上的点 , 且在 y 轴上的截距达到最大,此时-S的最大值为 2, 即 S 的最小值为 -2. ’②同① , 求得 S=2x-y 在 E(2,4) 处获得最小值 0.8.甲种钢板 5 张, 乙种钢板 5 张.设用甲种钢板x 张 , 乙种钢板y 张 , 总的用料面积为z 平方米 , 则3x 6y 455x 6y 55x0y 0z 2x 3y以上不等式组所表示的平面地区如图13 暗影部分.当直线z2x 3 y经过点M(5,5),即抵达l 1地点时,z获得最小值25.即两种钢板各用 5 张时 , 可使总的用料面积最省.[ 提升性训练题点拨与解答]一. 填空题:1.(16,4)点 P(a,4)到直线 x 2 y 20 的距离等于 25a 2 4 2 ,即2 5,14解得 a=16,-4,∴P(16,4) 或 P(-4,4)∵3 16 4 3 0,3 4 4 30∴所求点P 为 (16,4).1212.4x3不等式组x y0表示的平面地区如图x y5014 暗影部分 .S ABC183351212243.(2,1),(1,0),(2,0),(1,-1),(2,-1),(3,-1)3x 2 y 20不等式组x 4 y40 表示的平面地区如图15 暗影部分 .2x y60x2y104.2x y1304x 3 y10先求出直线AB,BC,CA 的方程 .AB: x-2y+1=0; BC: 2x+y-13=0;CA: 4x-3y-1=0而后确立出条件.5. 1先求出直线AB: 2x-3y+8=0;AB,BC,CA 的方程BC: x+y-1=0;,CA: 4x-y-4=0.∵点 Q(x,y) 在ABC 内部或界限上运动,2x3y80∴x,y知足不等式组x y104x y 4 0不等式组表示的平面地区如图16 暗影部分 .当直线 z=x-y经过点 C(1,0), 即抵达 l 1地点时 ,z获得最大值 1.6.2225,5x 4y 3 0不等式组3x 5 y25 0 表示的平面地区如图17 暗影部x1分 .在 z y是直线 y=zx( 不包含原点 ) 的斜率 , 当直中 ,zx2; 当线经过点B(5,2), 即抵达直线 l 1地点时 ,z 获得最小值5直线经过点 C 1, 22, 即抵达直线 l2 地点时,z获得最大值22 . 55二 .解答题 :7.当 x=2,y=1时 ,x 1 2y 1 2获得最小值 13; 当x=3,y=4时 ,x 1 2y 1 2获得最大值 41.2 x y50不等式组3x y50 表示的平面地区如图18暗影部x 2 y50分 .当 x=2,y=1 时 ,x 1 2y1 2获得最小值13; 当 x=3,y=4时 ,x 1 2y 1 2获得最大值 41.8.第一种机器购置 33 台, 第二种机器购置 7 台最好 .设第一种机器购置 x 台 , 第二种机器购置 y 台 , 总的年收益为 z万日元 , 则3x 5 y 13550x20 y 1800x, y Nz 9x 6 y江西乐安一中高二数学06简单的线性规划培优教案不等式组表示的平面地区如图19 暗影部分.当直线z9x 6 y经过点M 630 ,135, 即抵达l 1地点时,z获得最大值, 但题目要求19 19x,y均为自然数, 故进行调整, 调整到与M周边的整数点(33,7),此时z9x 6 y获得最大值,即第一种机器购置33 台 , 第二种机器购置7台较好.。

人不怕走在黑夜里，就怕心中没有阳光。

下面是为您推荐高二数学教学设计：简单的线性规划。

一、教学目标（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.二、教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：（1）二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）.其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.（2）二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法.三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.。

高二数学课件：《简单的线性规划》机遇如风，才智似帆，勤奋为桨，现实是水，欲一帆风顺，须据此努力。

学生掌握寻找整点解的方法.三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握数形结合的数学思想，尽管侧重于用数研究形，但同时也用形去研究数，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.（6）若实际问题要求的解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量，收到的效益；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.【课件二】教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值.重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点.如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点.教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用.【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的值和最小值.我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界.点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上.作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足.即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件.是欲达到值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的值和最小值问题.线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得值和最小值，它们都叫做这个问题的解.。

高二数学简单的线性规划知识精讲 人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：简单的线性规划二. 重点、难点：1. 二元一次不等式的区域（1）在平面直角坐标系中，所有的点被直线x ＋y －1＝0分成三类，即点在直线上，点在直线的上方区域，点在直线的下方区域。

{}（）集合表示的图形是直线右上方的所有点。

210(,)|x y x y +-> {}（）集合表示的图形是直线左下方的所有点。

310(,)|x y x y +-<一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

注意：在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时画成实线。

（4）区域判断方法是：特殊点法。

2. 线性规划：（1）约束条件、线性约束条件：变量x 、y 满足的一组条件叫做对变量x 、y 的约束条件，如果约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。

（2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做目标函数。

如果解析式是x 、y 的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。

（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

（4）可行域：满足线性约束条件的解（x 、y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

（5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。

3. 解线性规划应用问题的一般方法和步骤： （1）理清题意，列出表格。

（2）设好变元并列出不等式组和目标函数、约束条件。

（3）准确作图，准确计算。

【典型例题】例1. 画出不等式表示的平面区域。

-+-<x y 240 解：先画直线（画成虚线）-+-=x y 240 取原点（，），代入O x y 0024-+-因为，所以原点在表示的平面区域内。

简单的线性规划（一）_高二数学教案_模板教学目标（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．线性规划教学设计方案（一）教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．重点难点了解二元一次不等式表示平面区域．教学过程（）【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1．先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域．由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实．在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点．是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域．2．二元一次不等式和表示平面域．（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．【应用举例】例1 画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分．例2 画出不等式组表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）（2）（3）（4）（5）总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．布置作业1．不等式表示的区域在的（）．A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方2．不等式表示的平面区域是（）．3．不等式组表示的平面区域是（）．4．直线右上方的平面区域可用不等式表示．5．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．6．画出表示的区域．答案：1．B 2．D 3．B 4．5．（－1，－1）6．研究北师大数学《统计》教学设计教学内容:本节课的内容为北师大版数学实验教材二年级上册第九单元《统计与猜测》第一学时。