重庆市西南师大附中10-11学年高二数学学期期末考试 理 【会员独享】

西南大学附中2022—2023学年度下期期末考试高二数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。

3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}32,M x x k k Z ==−∈ ，集合{}61,N x x k k Z ==+∈，则（ ） A ．M N =B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．MN =∅2． 已知:0p x >，1:2q x x +≥，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 若不等式240x ax −+>在[]1,3x ∈上有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．(),4−∞B ．(),5−∞C ．13,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭ D ．()4,54． 从装有3个红球和4个白球的袋子中不放回地随机取出3个球，若取出的球中有红球，则取出的球全是红球的概率为（ ）A ．135B ．131C ．115D ．175． 甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（ ）种不同的参加方法 A ．72B ．144C ．216D ．2406． 函数)2ln()1x f x x =−的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知函数()()2ln 62f x ax a x ⎡⎤=+−+⎣⎦既没有最大值，也没有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),218,−∞+∞ B ．()2,18C ．(][)0,218,+∞D ．[][)0,218,+∞8． 已知001x y x y >>+=，，，则221x x xy−+的最小值为（ ）A ．4B ． 143C ．22+D ． 221+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

西南大学附中2020-2021学年度下期期末考试高二数学试题(满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写：必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。

3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知集合{}21|A x x =-<<，}21012{B =--，，，，，则集合A B ⋂= A. }{0 B. }{10-， C. }{01， D. }{101-，，2.如右图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++ = A. 0 B. BE C. AD D. CF3.已知直线l m 、和平面α。

若m ,l αα⊂⊄，则“l m ”是“l α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）。

夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 A.0.5尺 B.1尺 C.1.5尺 D.2尺5.下列说法中正确的个数是○1某校共有女生2021人，用简单随机抽样的方法先剔除21人，再按简单随机抽样的方法抽取为200人，则每个女生被抽到的概率为110； ABC DEF②设有一个回归方程35x y =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；④具有线性相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r 。

西南大学附中高2025届高二上阶段性检测（一）数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）2023年10月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 在以下调查中，适合用全面调查的个数是（ ）①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况 ③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例 A ．1B ．2C ．3D ．42． 样本中共有5个个体，其值分别为12345x x x x x ，，，，．若该样本的平均数为3，则131x +，234531313131x x x x ++++，，，的平均数为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．103． 围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高B ．在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等C ．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高D ．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等4． 现代足球的前身起源于中国古代山东淄州（今淄博市）的球类游戏“蹴鞠”，后经阿拉伯人由中国传至欧洲，逐渐演变发展为现代足球．周末，高二年级甲、乙两位同学出于对足球的热爱，去体育场练习点球．在同一罚球点，两人各自踢了10个球，甲进了9个球，乙进了8个球，以频率估计各自进球的概率．记事件A ：甲踢进球；事件B ：乙踢进球．甲、乙两人是否进球互不影响，则接下来一次点球中，()P A B =（ ）A ．45B ．910C ．1825D ．49505． 过点A （1，−2）且与直线:2630l x y −−=平行的直线方程是（ ）A ．370x y −−=B ．350x y −+=C ．310x y +−=D ．350x y −−=6． 抛掷一个骰子，将得到的点数记为a ，则a ，4，5能够构成锐角三角形的概率是（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．237． 某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调查，该校高一、高二、高三年级学生各有700人、600人、700人．其中高一年级平均每人拥有1.1个手机，方差为0.5；高二年级平均每人拥有1个手机，方差为0.4；高三年级平均每人拥有0.9个手机，方差为0.4，试估计高中年级带手机状况的方差为（ ） A ．0.433B ．0.435C ．0.442D ．0.4518． “缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲、乙、丙、丁、戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序． A ．72B ．78C ．96D ．120二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A =“两人都中奖”；B =“两人都没中奖”；C =“恰有一人中奖”；D =“至少一人没中奖”；下列关系正确的是（ ） A ．BC D =B ．AC ≠∅ C ．CD ⊆ D ．B D B =10． 小张、小陈为了了解自己的数学学习情况，他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析．其中小张每次测试的平均成绩是135分，全年测试成绩的标准差为6.3；小陈每次测试的平均成绩是130分，全年测试成绩的标准差为3.5．下列说法正确的是（ ） A ．小张数学测试的最高成绩一定比小陈高 B ．小张测试表现时而好，时而糟糕 C ．小陈比小张的测试发挥水平更稳定D ．平均来说小陈比小张数学成绩更好11． 下列说法错误有（ ）A ．“1a =−”是“210a x y −+=与直线20x ay −−=互相垂直”的充要条件B ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线的方程为112121y y x x y y x x −−=−− C ．直线22cos sin 10x y αα+−=恒过定点（1，1）D ．经过点（1，2）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +−=12． 甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1、2、3的三个号签；乙袋有编号为1、2、3、4、5、6的六个号签. 现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A ：从甲袋中抽取号签1；事件B ：从乙袋中抽取号签6；事件C ：抽取的两个号签和为3；事件D ：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（ ） A ．1()18P AB =B ．1()9P C =C ．事件A 与事件C 相互独立D ．事件A 与事件D 相互独立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 数据2，4，5，8，a ，10，11的平均数是7，则这组数据的第60百分位数为__________． 14． 若A ，B 两个事件相互独立，且1()3P AB =，则()P A B = ．15． 已知两点A （−1，1），B （3，−2），过点P （2，−1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l （不考虑斜率不存在的情况）的斜率k 的取值范围是__________．16． 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3∶1取得胜利的概率为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (10分) 钛合金具有较高的抗拉强度，为了了解某厂家钛合金的抗拉强度情况，随机抽取了10件钛合金产品进行抗拉强度（单位：MPa ）测试，统计数据如下：910 905 900 896 907 912 915 893 903 899(1) 求这10件产品的平均抗拉强度x 和标准差s ；(2) 该10件产品的抗拉强度位于x s −和x s +之间所占的百分比是多少？18． (12分) 已知平面内两点P （−1，−3），Q （3，3）．(1) 求PQ 的垂直平分线所在直线的直线方程；(2) 过点Q 作直线l ，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，当||||OA OB +取得最小值时，求直线l 的方程．19． (12分) 某中学为研究本校高二学生学完“概率与统计”之后的情况，进行了一次测验，随机抽取了100位同学的测试成绩作为样本，得到以[8090)，，[90100)，，[100110)，，[110120)，，[120130)，，[130140)，，[140150]，分组的样本频率分布直方图如图．(1) 求直方图中x 的值；(2) 请估计本次该年级学生数学成绩的中位数和平均数；（计算结果精确到0.1） (3) 样本内数学分数在[130140)，，[140150]，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130140)，中的概率．20． (12分）已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin()cos A B C B A C +=−=，． (1) 求sin A ；(2) 若3b =，求AC 边上的高．数学分数21． (12分) 多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现高二某同学正在进行第一次月考，做到多项选择题的11题和12题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是12，选择两个选项的概率是13，选择三个选项的概率是16．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项，第12题正确答案是三个选项．(1) 求该同学11题得5分的概率；(2) 求该同学两个题总共得分不小于7分的概率．22． (12分) 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1111386B A B C AA AB BC AB BC ====⊥，，，，，D 为AC 中点，15tan 12BB D ∠=． (1) 求证：1BC B D ⊥；(2) 线段11B C 上是否存在一点E ，使得AE 与面11BCC B 的夹角．A参考答案一、选择题1—4BDCD 5—8ACCB 9.ACD 10.BC11.ABD12.ABD二、填空题13.914.2315.2(,1][,)3-∞--+∞ 16.0.17417.（1）91090590089690791291589390389990410x +++++++++==22222222222(910904)(905904)(900904)(896904)(907904)(912904)(915904)(893904)(903904)(899904)45.810s -+-+-+-+-+-+-+-+-+-==∴45.8s =（2）∵645.87<∴897898x s <-<，910911x s <+<∴610010⨯％=60％18.（1）∵(1,3),(3,3)P Q --∴PQ 中点3(1,0),2PQ M k =∴23k =-直线222:(1)333l y x x =--=-+（2）设(,0),(0,)A a B b 其中（,0a b >）则直线:1x y l a b+=∵Q 在直线上∴331a b+=∴3333()()612b aa b a b a b a b+=++=++≥当且仅当6a b ==时，等号成立此时，:6l y x =-+19.（1）(0.0120.0220.0280.0180.0080.002)101x ++++++⨯=解得0.01x =（2）中位数0.1610010105.70.28=+⨯=0.12850.22950.281050.181150.11250.081350.02145107.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）[130,140)：1000.088⨯=（人）；[140,150]:1000.022⨯=（人）∴在[130,140)中抽取4人，[140,150]中抽取1人总共有10种情况，A:恰有一人成绩在[130,140)中：4种∴42()105P A ==20.（1）∵2,A B C A B C π+=++=∴3C π=sin()cos cos()B AC A B -==-+sin cos cos sin cos cos sin sin B A B A A B A B-=-+化简得(cos sin )(cos sin )0B B A A +-=∴344B A ππ==（舍）或∴2sin 2A =（2）212362sin sin()sin cos cos sin 22224B AC A C A C =+=+=+=由正弦定理sin sin b c B C =，可得92362c =∴92362933sin 222c A -==21.解：（1）根据题意，11题得5分需满足选两个选项且选对，选两个选项共有6种情况,,,,,AB AC AD BC BD CD .所以1113618P =⨯=…………………………………………………………………………………….5分（2）总得分不低于7分共3种情况，它们分别是：第11题得5分且第12题得2分；第11题得2分且第12题得5分；第11题得5分且第12题得5分,记事件1A ：11题得2分；事件2A ：11题得5分；事件1B ：12题得2分；事件2B ：12题得5分则1121()244P A =⨯=；21()18P A =1131113()=243224P B =⨯+⨯；2111()6424P B =⨯=………………………………..9分12212237()()()864P P A B P A B P A B =++=……………………………………………….12分22.（1）证明：连接BD ∵8,6,AB BC AB BC ==⊥∴10AC =∵D 为AC 中点∴5BD =∵15tan 12BB D ∠=，∴2221111112cos 213B D BB BD BB D B D BB +-∠==⋅∴112B D =∵22211B D BD BB +=∴1B D BD ⊥……………………………………….2分∵11B A BC =且D 为AC 中点∴1B D AC ⊥………………………………………3分∵11B D ACB D BD AC BD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩∴1B D ABC ⊥面…………………………………4分∵BC ABC⊂面∴1BC B D ⊥……………………………………….5分（2）如图，以D 为原点，CB 为x 轴正向，AB 为y 轴正向，1DB为z 轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.11(3,4,0),(3,4,0),(3,4,0),(0,0,12),(6,0,12)A B C B C ---，1(6,0,0),(3,4,12)BC BB =-=--令111B E B C λ= ，则(6,0,12)E λ-，(63,4,12)AE λ=--………………………………..…………….7分令面11BCC B 的法向量为n10n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴(0,3,1)n = ……………………………………………………………………..10分||1274sin cos 185||||n AE n AE θα⋅===⋅解得13λ=所以E 是靠近1B 的三等分点 (12)分。

2023-2024学年重庆市西南大学附属中学校高二下学期末考试数学试卷1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.函数的图象在点处的切线的倾斜角为（）A．B．C．D．3.设随机变量，则（）A．3B．4C．12D．134.如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（）A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个B．函数可以是某个圆的“太极函数”C．函数可以是某个圆的“太极函数”D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”5.过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（）A．B．C．4D．26.已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（）A．B．C．D．7.已知，则（）A．B．C．D．8.若对任意的恒成立，则的最小值为（）A．B．C．D．9.函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．10.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价（元）405060708090销量（件）5044433528由表中数据，求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A．产品的销量与单价成负相关B ．为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元C．D．若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为11.已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（）A．B ．数列的通项公式为C ．D．实数的取值范围为12.已知的导函数分别为，且，则__________.13.已知均为实数且，则的最小值为__________.14.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种.15.设数列是各项均为正实数的等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.16.已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若，对，使得成立，求的取值范围.17.已知函数.(1)若关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围；(2)若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.18.学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛.个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理和与其相关的数学家，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率.(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且配对正确与，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率.(3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 19.已知椭圆经过点，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.(3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.。

2022-2021学年重庆市西南高校附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）2．已知复数z1=2+i，z2=1﹣2i ，若，则=（）A．B．C．i D．﹣i3．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．高三某班上午有4节课，现从6名老师中支配4人各上一节课，假如甲乙两名老师不上第一节课，丙必需上最终一节课，则不同的支配方案种数为（）A．36 B．24 C．18 D．125．曲线y=cosx（0≤x ≤）与坐标轴围成的面积是（）A．4 B．C．3 D．26．设随机变量ξ听从标准正态分布N（0，1）．已知Φ（﹣1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=（）A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.9757．已知不等式|a﹣2x|＞x﹣1，对任意x∈[0，2]恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）B．（﹣∞，2）∪（5，+∞）C．（1，5）D．（2，5）8．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（） A．B．C．D．9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A．B．C．D．10．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．12．设函数，记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2022）﹣f k（a2021）|，k=1，2，则（）A．I1＜I2B．I1＞I2C．I1=I2D．I1，I2大小关系不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=8cosθ于A、B两点，则|AB|=．14．开放式中的常数项为．15．设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是．16．已知曲线f（x）=x n+1（n∈N*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2021x1+log2021x2+…+log2021x2022的值为．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6，在x=1时有微小值，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．18．某款玩耍共四关，玩家只有通过上一关才能连续进入下一关玩耍，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款玩耍，已知甲每关通过的概率是，乙每关通过的概率是．（1）求甲、乙两人最终得分之和为20的概率；（2）设甲的最终得分为X，求X的分布列和数学期望．19．已知定义域为R 的函数是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．20．已知椭圆（a＞b＞0），F1、F2分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于X轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）问是否存在过椭圆焦点F2的弦PQ，使得|PF1|，|PQ|，|QF1|成等差数列，若存在，求出PQ所在直线方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当n∈N*，且n≥2时，++…+＞．请在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【选修4-4：坐标系与参数方程】2021•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【选修4-5：不等式选讲】2021•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．2022-2021学年重庆市西南高校附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意可得5∈∁U M，且5∈∁U N；6∈∁U M，且6∈∁U N，从而得出结论．解答：解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}=（∁U M）∩（∁U N），故选：D．点评：本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题．2．已知复数z1=2+i，z2=1﹣2i ，若，则=（）A．B．C．i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵复数z1=2+i，z2=1﹣2i，∴====i，则=﹣i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：利用函数奇函数的定义，结合充分条件和必要条件进行推断即可．解答：解：依据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若f（0）=0，则f（﹣x）=f（x）不愿定成立，所以y=f（x）不愿定是奇函数．比如f（x）=|x|，若y=f（x）为奇函数，则定义域关于原点对称，∵f（x）是定义在R上的函数．∴f（0）=0，即“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数奇函数的定义和性质是解决本题的关键．4．高三某班上午有4节课，现从6名老师中支配4人各上一节课，假如甲乙两名老师不上第一节课，丙必需上最终一节课，则不同的支配方案种数为（）A．36 B．24 C．18 D．12考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，先支配第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最终一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，问题得以解决解答：解：先支配第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最终一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，故甲乙两名老师不上第一节课，丙必需上最终一节课，则不同的支配方案种数为=36种．故选：A点评：本题考查了分步计数原理，关键是如何分步，特殊位置优先支配的原则，属于基础题5．曲线y=cosx（0≤x ≤）与坐标轴围成的面积是（）A．4 B．C．3 D．2考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x ≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx，计算求的结果．解答：解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x ≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx=3，故选：C．点评：本题主要考查余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，属于基础题．。

2020-2021学年重庆市西南大学附中高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−2<x <1}，B ={−2,−1,0，1，2}，则集合A ∩B =( )A. {0}B. {−1,0}C. {0,1}D. {−1,0，1}2. 如图，正六边形ABCDEF 中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ B. BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CF⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知直线l 、m 和平面α.若m ⊂α，l ⊄α，则“l//m ”是“l//α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gui)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度).夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为( )A. 0.5尺B. 1尺C. 1.5尺D. 2尺5. 下列说法中正确的个数是①某校共有女生2021人，用简单随机抽样的方法先剔除21人，再按简单随机抽样的方法抽取为200人，则每个女生被抽到的概率为110；②设有一个回归方程y ̂=3−5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；④具有线性相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r.则|r|越接近于0，x ，y 之间的线性相关程度越高； ⑤在一个2x 2列联表中，由计算得出K 2=20.21，而P(K 2≥10.828)≈0.001，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量之间有相关关系( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图是函数f(x)=cos(ωx +φ)的部分图象，则f(π3)=( )A. −√32B. −√22C. −12D. −17. 已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，点M 在线段AB 上，点C 在OM 的延长线上，且|MC|=3|OM|.则△ABC 面积的最小值为( )A. 8B. 16C. 24D. 328. 设a =2√e ，b =2ln2，c =e 24−ln4，则( )A. c <a <bB. b <c <aC. a <c <bD. c <b <a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知(1+x)6=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 6(1−x)6，则下列选项正确的有( )A. a 0=1B. a 6=1C. a 0+a 1+⋯+a 6=64D. a 1+a 3+a 5=−36410. 设m ∈R ，过定点A 的动直线l 1：x +my =0，和过定点B 的动直线l 2：mx −y −m +3=0交于点P ，圆C ：(x −2)2+(y −4)2=3，则下列说法正确的有( )A. 直线l 2过定点(1,3)B. 直线l 2与圆C 相交最短弦长为2C. 动点P 的曲线与圆C 相交D. |PA|+|PB|最大值为511. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AC =AA 1=1，点D 是线段BC 1上的动点(不含端点)，则以下正确的有( )A. AC//平面A 1BDB. 三棱锥A 1−ABC 的外接球的表面积为12πC. AD +DC 的最小值为√3D. ∠ADC 一定是锐角12. 已知函数f(x)=xsinx ，x ∈R 则下列说法正确的有( )A. f(x)是偶函数B. 过(0,0)作y =f(x)的切线，有且仅有3条C. f(x)在区间(0,3π)内有2个极大值点和1个极小值点D. f(x)任意两极值点的差大于π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 复数z =2−i1+2i ，则|z|=______．14. 已知sinα−cosα=√33，则sin2α= ______ ．15. 高考期间，某校高三年级租用大巴车送考，原则上每班一辆车，但由于高三(1)班人数较多，坐满一辆车之后还余下7位同学，现有高三(2)、(3)、(4)班的选考车辆分别剩余2，3，3个空位，要把这7位同学都安排到这三辆车中，则共有______ 种不同的安排方法 16. 已知点P ，Q 是椭圆上C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两点，且线段PQ 恰为x 2+y 2=r 2(r >0)的一条直径，点P 关于x 轴的对称点为A ，设PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =35PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线QD 与椭圆C 的另一个交点为B ，且直线PQ ，PB 斜率之积为−12，则椭圆C 的离心率e 为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列a n 的前n 项和为S n ，点(n,S n )(n ∈N ∗)在函数f(x)=3x 2−2x 的图象上，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =3a n ⋅a n+1，求数列b n 的前n 项和T n ．18. 在①√3bcosB+C 2=asinB ，②√3asinB =3bcosA 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC 中，BC =6，cosB =√63．(1)求AC 的长； (2)求△ABC 的面积．19.如图，在三棱锥A−BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=8√3，BC=CD=8，设顶点A在底面BCD上的射影为E．(1)求证：CE⊥BD；(2)设G为棱AC上的一点，且二面角C−EG−D的余弦值为√10，求三5棱锥G−ECD的体积．20.欧洲足球锦标赛，也称欧洲杯，是一项由欧足联举办，欧洲足协成员国间参加的最高级别国家级足球赛事：欧洲杯决赛圈比赛将首先进行小组赛，24支球队被分为6个小组，每个小组4支球队，小组采取单循环得分制比赛(任意两队只打一场)，赢一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，每个小组的前两名(若出现积分相同，则比较两队相互间战绩，若还无法确定出线球队，则需比较小组赛全部比赛的净胜球数、进球数决定出线席位).2021年欧洲杯分组中F组的四支队伍最引人注目，他们分别是葡萄牙队、法国队、德国队、匈牙利队，由于四支队伍实力强劲，F组也被称为“死亡之组”.假设．四支队伍任意两队之间胜、平、负的概率都为13(1)记葡萄牙队小组最后得分为随机变量X，求X的分布列与期望；(2)假设德国队能得9分的情况下，求葡萄牙队能够以小组第二晋级(不需要比较相互战绩和净胜球)的概率．21.设椭圆E方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，椭圆E的短轴长为2，离心率为√32．(1)求椭圆E的方程；(2)设A、B分别为椭圆E的左、右顶点，过定点T(1,0)的直线与椭圆E交于C、D两点，证明：直线AC，BD的交点在定直线上．22.已知x=0为函数f(x)=e x−12ax2−x的极大值点．(1)求a的取值范围；(2)设x0为f(x)的极小值点，证明：f(x0)<1−x0−sinx02．答案和解析1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 进行交集的运算即可． 【解答】解：A ={x|−2<x <1}，B ={−2,−1,0，1，2}， ∴A ∩B ={−1,0}． 故选：B ．2.【答案】D【解析】解：正六边形ABCDEF 中， ∵CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．由题意，结合正六边形的性质和向量的加法运算法则，进行计算即可．本题考查了平面向量的运算问题，解题时应根据平面向量的加法法则，直接计算即可，是基础题．3.【答案】A【解析】解：①若l//m ，∵l ⊄α，直线m ⊂α，根据线面平行的判定定理可知，∴l//α成立，∴充分性成立，②若直线l//α，∵m ⊂α，则l//m 或者l ，m 是异面直线，∴必要性不成立， ∴l//m 是l//α的充分不必要条件． 故选：A ．利用线面平行的判定与性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面平行的判定定理是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，d=84，a1+a5+a9=16.5，S12=12a1+12×112解得d=1，a1=1.5．∴夏至的晷长为1.5尺．故选：C．利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出夏至的晷长．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B，故①错误；【解析】解：对于①：古典概型中，每个个体被抽到的概率都是一样的，都等于2002021对于②：设有一个回归方程ŷ=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，故②错误；[(x1−x−)2+(x2−x−)2+...+(x n−x−)2]，对于③：方差的计算公式S2=1n一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，它的平均数也会都加上或减去同一个常数，故方差不变，故③正确；对于④：设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r.则|r|越接近于0，x，y之间的线性相关程度越低，故④不正确；对于⑤：在一个2x2列联表中，由计算得出K2=20.21，而P(K2≥10.828)≈0.001，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量之间有相关关系，故⑤正确；故选：B．利用系统抽样，回归直线的方程，方差，拟合效果，2×2列联表的应用，逐个判断，即可得出答案．本题考查系统抽样，回归直线的方程，2×2列联表，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：由图像可知函数的周期为T=2×(2π3−π6)=π，∴ω=2ππ=2，∵函数f(x)过点(π6,0)，∴cos(2×π6+φ)=0，即π3+φ=π2+kπk∈Z，∴φ=π6+kπk∈Z，∴f(x)=cos(2x+π6+kπ)k∈Z，∴f(π3)=cos(2×π3+π6+kπ)=cos(5π6+kπ)=−√32．故选：A．根据图像，可求得f(x)=cos(2x+π2+kπ)k∈Z，将x=π3代入f(x)，即可求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意可知|MC|=3|OM|，所以S△ABC=3S△OAB，要求△ABC面积的最小值即求△OAB面积的最小值，设直线AB的倾斜角为θ，直线AB的方程为x=ty+p2，联立{x=ty+p2y2=2px，可得y2−2pty−p2=0，S△OAB=12×p2×√(y1+y2)2−4y1y2=p2√1+t2=p2√1+cos2θsin2θ×2p =p22sinθ所以S△OAB=p22sinθ≥p22，所以S△ABC≥32p2=24．当且仅当sinθ=1，即θ=π2时，取最小值为24，故选：C．根据抛物线的常见结论可知S△OAB=p22sinθ(θ为直线AB的倾斜角)，根据题意S△ABC=3S△OAB，即可求得△ABC面积的最小值；本题考查抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系、抛物线的常见二级结论，考查计算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：设f(x)=xlnx ，则a=√eln√e=f(√e)，b=f(2)，c=e2ln(e22)2=f(e22)．因为f′(x)=lnx−1(lnx)2，所以当1<x<e时，f′(x)<0；当x>e时，f′(x)>0．所以f(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增．因为f(2)=f(4)，且1<√e<2<e<e22<4，所以f(√e)>f(2)=f(4)>f(e22)，即a>b>c．故选：D．构造函数f(x)=xlnx，利用函数单调性判断a，b，c的大小．本题考查利用函数的单调性比较大小，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：∵(1+x)6=[−2+(1−x)]6=a0+a1(1−x)+a2(1−x)2+⋯+a6(1−x)6，令x=1，可得a0=64，故A错误；a6=C66=1，故B正确；令x=0，可得a0+a1+⋯+a6=1①，故C错误；令x=2，可得a0−a1+⋯+a6=36②，用①②，并除以2，可得a1+a3+a5=1−362=−364，故D正确，故选：BD．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．10.【答案】AC【解析】解：由直线l 1：x +my =0，可得过定点A(0,0)，动直线l 2：mx −y −m +3=0⇒m(x −1)−(y −3)=0，可得恒过定点B(1,3)，所以A 正确； 由圆的方程可得圆心C(2,4)，半径r =√3， 所以圆心C 到直线l 2的距离d =√1+m 2=√1+m 2，所以弦长为2√r 2−d 2=2√3−m 21+m2=2⋅√3−1+m 2−1m 2=2√2+11+m 2∈(2√2,2√3]，所以B 不正确；因为两条直线始终互相垂直，P 是两条直线的交点，所以PA ⊥PB ，可得P 的轨迹为圆，且圆心为AB 的中点，(12,32)，半径r′=|AB|2=√102， 圆心距为√(2−12)2+(4−32)2=√342∈(r −r′,r +r′)，所以两圆相交，所以C 正确；因为两条直线始终互相垂直，P 是两条直线的交点，所以PA ⊥PB ， 可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=12+32=10， 由均值不等式可得：|PA|+|PB|2≤√|PA|2+|PB|22=√5，即|PA|+|PB|≤2√5，所以D 不正确； 故选：AC ．由直线l 2的方程可得直线恒过的定点的坐标，求出圆C 到直线l 2的距离，由弦长，圆心到直线的距离及圆的半径的关系可得弦长的表达式，再由函数的单调性可得弦长的范围，由题意可得点P 的轨迹为圆，Q 圆心的坐标及半径，求出两圆的圆心距，可得与两圆的半径的关系，由均值不等式可得|PA|+|PB|2≤√|PA|2+|PB|22=√5，可判断所给命题的真假．本题考查求直线恒过定点的方法，直线与圆相交的弦长的求法，均值不等式的应用，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：如图，∵AC//A 1C 1，AC ⊄平面A 1BC 1，A 1C 1⊂平面A 1BC 1，∴AC//平面A 1BC 1， 而平面A 1BD 与平面A 1BC 1重合，故A 正确；把直三棱柱ABC −A 1B 1C 1补形为正方体AE 1，则三棱锥A 1−ABC 的外接球即正方体的外接球， 外接球的半径为√32，外接球的表面积S =4π×(√32)2=3π，故B 错误；把平面CBC 1沿BC 1翻折，使平面CBC 1与平面ABC 1重合(C 在E 1处)， 可得AD +DC 的最小值为√3，故C 正确；取AC 中点F ，则BF =C 1F =√1+14=√52，F 到BC 1的距离为(√52)(√32)=√22<12，即以AC 为直径的球与BC 1无交点，可得∠ADC 一定为锐角，故D 正确． 故选：ACD ．由题意画出图形，由直线与平面平行的判定判断A ；利用分割补形法求出多面体的外接球的表面积判断B ；利用翻折求最小距离判断C ；证明以AC 为直径的球与BC 1无交点判定D ．本题考查棱柱的结构特征，考查线面平行的判定，训练了利用分割补形法求多面体外接球的表面积，是中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A ，函数f(x)=xsinx 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 又f(−x)=−xsin(−x)=xsinx =f(x)， 所以f(x)是偶函数，故A 正确； 对于B ，f′(x)=sinx +xcosx设切点横坐标为t ，则切线方程为y −tsint =(sint +tcost)(x −t)，因为切线过点(0,0)，所以−tsint=(sint+tcost)(−t)，即t2cost=0，解得t=0或cost=0，当t=0时，切线方程为y=0；当cost=0时，sint=±1，切线方程为y=±x.故B正确；对于C，当cosx=0时，sinx≠0，f′(x)≠0，令f′(x)=0⇒−x=tanx，作出函数y=−x，y=tanx的图象，由图可知方程−x=tanx在(0,3π)上有三个解，分别为x1，x2，x3，x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,x3)x3(x3,3π) f(x)+0−0+0−f′(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以C正确；对于D，数形结合可知任意两极值点的差都小于π，故D错误；故选：ABC．A，由f(−x)=−xsin(−x)=xsinx=f(x)可判断；B，设切点横坐标为t，写出切线方程，在代入点(0,0)，解出t即可求切线；C，令f′(x)=0⇒−x=tanx，数形结合可得函数f(x)单调性，进而可判断C；D，结合C选项的图象即可判断．本题考查函数的奇偶性，考查导数的几何意义，考查导数的应用，考查利用导数研究函数单调性，极值，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．13.【答案】1【解析】↵解：化简可得复数z=2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2−4i−i+2i25=−i∴|z|=|−i|=1故答案为：1化简已知复数可得z=−i，由模长公式可得．本题考查复数的模长公式，化简已知复数是解决问题的关键，属基础题．14.【答案】23【解析】解：因为sinα−cosα=√33，所以两边平方，可得sin2α+cos2α−2sinαcosα=1−sin2α=13，解得sin2α=23．故答案为：23．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．15.【答案】560【解析】解：根据题意，余下的7人坐车，还有8个空座位，可以看成7个人再加上一共空位，安排在8个空座位上的问题，有C82C63C33=560种安排方法，故答案为：560．根据题意，原问题可以看成7个人再加上一共空位，安排在8个空座位上的问题，由组合数公式计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】2√55【解析】解：设P(x 0,y 0)由题意可得Q(−x 0,−y 0)，A(x 0,−y 0)， 由PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =35PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直可得D(x 0,−y05)， ∵k BP ⋅k BQ =k QD ⋅k BP =−b 2a 2，k PQ ⋅k PB =−12， ∴k QD =2b 2a 2k PQ ，∴−y 05−(−y 0)x 0−(−x 0)=2b 2a 2⋅y0x 0．∴b 2a 2=15，则椭圆C 的离心率e =√1−b 2a2=2√55．故答案为：2√55． 设P 的坐标，由题意可得A ，Q ，的坐标，再由向量的关系求出D 的坐标，求出QD 的斜率，利用k PB ⋅k QB =− b 2a 2，进而求出离心率．考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意可知：S n =3n 2−2n当n ≥2，a n =S n −S n−1=3n 2−2n −3(n −1)2+2(n −1)=6n −5.(4分) 又因为a 1=S 1=1..(5分) 所以a n =6n −5.(6分) (2)b n =3an a n+1=3(6n−5)(6n+1)=12(16n−5−16n+1)(8分)所以T n =12(1−17+17−113+⋯+16n−5−16n+1)=12(1−16n+1)=3n6n+1.(12分)【解析】(1)由已知可得S n =3n 2−2n ，利用 n ≥2，a n =S n −S n−1，a 1=S 1可得数列{a n }的通项公式a n =6n −5(2)由(1)可得b n =3(6n−5)(6n+1)=12×(16n−5−16n+1)利用裂项求和求出数列的前n 项和T n本题(1)通项公式的求解主要是运用递推公式a n = {S 1 n =1S n −S n−1 n ≥2在运用该公式时要注意对n =1的检验(2)考查数列求和的裂项求和，1n(n+k)= 1k ⋅(1n −1n+k )易漏1k．18.【答案】解：若选①，(1)因为√3bcosB+C 2=asinB ，所以√3sinBcos(π−A 2)=sinAsinB ，因为sinB ≠0，所以√3sin A2=sinA =2sin A2cos A2， 因为A ∈(0,π)，A2∈(0,π2)，可得cos A 2=√32，可得A2=π6，可得A =π3，因为BC =6，cosB =√63，可得sinB =√1−cos 2B =√33，所以由ACsinB =BCsinA ，可得AC =BC⋅sinB sinA=6×√33√32=4．(2)因为sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×√63+12×√33=3√2+√36， 所以S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sinC =12×4×6×3√2+√36=6√2+2√3．若选②，(1)因为√3asinB =3bcosA ，所以由正弦定理可得√3sinAsinB =3sinBcosA ， 因为sinB ≠0，所以√3sinA =3cosA ，可得tanA =√3， 因为A ∈(0,π)，可得A =π3．因为BC =6，cosB =√63，可得sinB =√1−cos 2B =√33，所以由ACsinB =BCsinA ，可得AC =BC⋅sinB sinA=6×√33√32=4．(2)因为sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×√63+12×√33=3√2+√36， 所以S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sinC =12×4×6×3√2+√36=6√2+2√3．【解析】若选①，(1)利用诱导公式，二倍角公式，正弦定理化简已知等式可得cos A2的值，进而可得A ，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用正弦定理可求AC 的值． (2)利用两角和的正弦公式可求sin C 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选②，(1)由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知可得tan A 的值，结合A ∈(0,π)，可得A ，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用正弦定理可求AC 的值． (2)利用两角和的正弦公式可求sin C 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】(1)证明：因为顶点A 在底面BCD 上的射影为E ，所以AE ⊥平面BCD ，则又CD ⊂平面BCD ，则AE ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，且AE ∩AD =A ，则CD ⊥平面AED ， 又DE ⊂平面AED ，故CD ⊥DE ，同理可得CB ⊥BE ，则四边形BCDE 为矩形， 又BC =CD ，则四边形BCDE 为正方形， 故CE ⊥BD ；(2)解：由(1)知BCDE 为正方形，以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系，则E(0,0，0)，D(0,8，0)，B(8,0，0)，C(8,8，0)，在直角三角形AEC 中，因为EC =8√2，AC =8√3，所以EA =√(8√3)2−(8√2)2=8， 则A(0,0，8)，设CGGA =t(t >0)， 则CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =t GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以G(81+t ,81+t ,8t1+t)， 故ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,8,0)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗=(81+t ,81+t ,8t1+t )， 设平面EGD 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =8y =0n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =81+t x +81+t y +8t1+t z =0， 令x =1，则n ⃗ =(1,0,−1t)， 平面CEG 的一个法向量为DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,−8,0) 因为二面角C −EG −D 的余弦值为√105，所以|cos <n ⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=88√2×√1+1t 2=√105，解得t =2，则CGGA =2，故CGAC =23，设点G到平面ECD的距离为h，则ℎ=23AE=23×8=163，故三棱锥G−ECD的体积为V G−ECD=13⋅S△ECD⋅ℎ=13×12×8×8×163=5129．【解析】(1)由E是顶点A在底面BCD上的射影，得到AE垂直于底面，所以AE⊥CD，结合已知可证得CD垂直于平面AED，则CD⊥ED，同理得到BC⊥BE，再利用边的关系得到BCDE为正方形，则问题得证；(2)建立合适的空间直角坐标系，设CGGA=t(t>0)，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EGD的法向量，由向量的夹角公式建立关于t的方程，求出t的值，从而得到点G到平面ECD 的距离，再利用锥体的体积公式求解即可．本题考查了直线和平面垂直的性质，考查了利用空间向量求二面角的大小，考查了学生的空间想象能力和思维能力，建立坐标系时一定要注意符合右手系，是中档题20.【答案】解：由题意可得X的取值可能为0，1，2，3，4，5，6，7，9，当葡萄牙三场都负时，得分为0，0，0，即X=0，则P(X=0)=13×13×13=127，当葡萄牙得1分时，得分为1，0，0或0，1，0或0，0，1，即X=1，则P(X=1)=3×(13×13×13)=19，当葡萄牙得2分时，得分为1，1，0或0，1，1或1，0，1，即X=2，则P(X=2)=3×(13×13×13)=19，同理可得P(X=3)=4×(13×13×13)=427，P(X=4)=6×(13×13×13)=29，P(X=5)=3×(13×13×13)=19，P(X=6)=3×(13×13×13)=19，P(X=7)=3×(13×13×13)=19，P(X=9)=(13×13×13)=127，X的分布列为期望EX =1×19+2×19+3×427+4×29+5×19+6×19+7×19+9×127=4．(2)葡萄牙队能够以小组第二晋级(不需要比较相互战绩和净胜球)，即葡萄牙队胜法国队、匈牙利队， P =13×13=19．【解析】(1)由题意可得X 的取值可能为0，1，2，3，4，5，6，7，9，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，再结合期望公式，即可求解．(2)根据已知条件，将原问题转化为葡萄牙队胜法国队、匈牙利队，即可求解．本题考查离散型随机变量分布列，以及期望的求法，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．21.【答案】解：(1)由条件有{2b =2e =ca =√32a 2=b 2+c2，解得{a =2b =1c =√3，所以椭圆的方程为x 24+y 2=1． (2)A(−2,0)，B(2,0)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)； 直线AC 的方程：y =y 1x1+2(x +2)；直线BD 的方程：y =y 2x 2−2(x −2)；设过T(1,0)的直线为x =my +1，代入x 24+y 2=1，消去x 整理得：(m 2+4)y 2+2my −3=0．所以y 1+y 2=−2mm 2+4，y 1y 2=−3m 2+4①联立直线AC 、直线BD 的方程，消去y 整理得：x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)；将x 1=my 1+1，x 2=my 2+1代入整理得x =2⋅2my 1y 2−(y 1+y 2)+4y 2(y 1+y 2)+2y 2，把①式代入，整理得x =2⋅4y 2−4m m 2+42y 2−2mm 2+4=4，即直线AC 与直线BD 的交点的横坐标恒等于4．所以直线AC 、BD 的交点恒在定直线x =4上．【解析】(1)利用椭圆的几何性质列方程；(2)设过T(1,0)的直线为x =my +1，联立椭圆方程，写出韦达定理．设出AC 、BD 方程，联立两直线方程，利用韦达定理化简交点横坐标．本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查定直线问题，属于中档题．22.【答案】(1)解：函数f(x)=e x−12ax2−x，则f′(x)=e x−ax−1，满足f′(0)=0，又f′′(x)=e x−a，因为x=0为函数f(x)=e x−12ax2−x的极大值点，所以f′′(0)<0，即1−a<0，解得a>1，故a的取值范围为(1,+∞)；(2)证明：x0为f(x)的极小值点，则f′(x0)=0且f′′(x0)>0，即e x0−ax0−1=0且e x0−a>0，要证明f(x0)<1−x0−sinx02，只要证e x0−12ax02−x0<1−x0−sinx02，由e x0−ax0−1=0，则12ax02=12x0(e x0−1)，由e x0−a>0，可得x0>lna>0，所以只要证明e x0−12x0(e x0−1)−x0<1−x0−sinx02，即(1−12x0)e x0−12sinx0−1<0，令g(x)=(1−12x)e x−12sinx−1,x>0，则只要证明g(x)<0，g′(x)=12(1−x)e x−12cosx，则g″(x)=−12xe x+12sinx，g″′(x)=−12(x+1)e x+12cosx=−12xe x−12e x+12cosx<−12+12cosx<0，故g′′(x)在(0,+∞)上单调递减，又g′′(0)=0，所以g′′(x)<0，则g′(x)在(0,+∞)上单调递减，由g′(0)=0，所以g′(x)<0，则g(x)在(0,+∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)=0，又x0>0，故g(x0)<0，即(1−12x0)e x0−12sinx0−1<0，故f(x0)<1−x0−sinx02．【解析】(1)求出f′(x)，则f′(0)=0成立，求出f′′(x)，利用极大值点处的二阶导数小于0，列出不等关系求解即可；(2)由题意可得，则f′(x0)=0且f′′(x0)>0，得到12ax02=12x0(e x0−1)且x0>lna>0，，然后将要证明的不等式等价与证明(1−12x0)e x0−12sinx0−1<0，构造函数g(x)=(1−12x)e x−12sinx−1,x>0，利用导数，研究函数g(x)的单调性与函数值的取值情况，从而可得g(x)<0，又x0>0，故g(x0)<0，即可证明．本题考查了导数的综合应用，主要考查了函数极值的理解与应用，函数与不等式的综合应用，在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．。

重庆市西南大学附中2021-2022学年高二上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、抛物线x2=4y的准线方程为（）A. x=1B. x=−1C. y=1D. y=−12、设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3，a14是方程x2−4x+3=0的两根，则S16=（）A. 32B. 30C. 28D. 263、若在等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3+a4=12，那么a5+a6=（）A. 20B. 18C. 16D. 144、在数列{a n}中，若a n+12−a n2=p(n∈N∗,p是常数)，则{a n}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（）A. 若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列B. 若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等方差数列C. {(−1)n}是等方差数列D. 若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列5、已知F1，F2是双曲线C：x2−y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|⋅|PF2|等于（）A. 2B. 4C. 6D. 86、已知等差数列{a n}共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n+1的值为（）A. 30B. 29C. 28D. 277、已知双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作一条渐近线的垂线，垂足为P，若△PF1F2的面积为c22，则该双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C. √3D. √28、已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1,l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为2，则|AB|+|DE|的最小值为（）A. 24B. 20C. 16D. 12二、多选题（本大题共4小题，共20分）9、已知曲线C 的方程为x 2m+1+y 2m−3=1(m ≠−1且m ≠3)，则下列结论正确的是（ ）A. 当m =2时，曲线C 是焦距为4的双曲线B. 当m =4时，曲线C 是离心率为√22的椭圆C. 曲线C 可能是一个圆D. 当m =1时，曲线C 是渐近线方程为x ±y =0的双曲线10、已知等比数列{a n }满足a 1=1,q =12，则（ ）A. 数列{a 2n }是等比数列B. 数列{1a n}是递减数列C. 数列{log 2a n }是等差数列D. 数列{a n2}是等比数列 11、如图，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AB =1，AA 1=√3，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则（ ） A. 当λ=12时，D 1P ⊥A 1C 1B. 四棱锥P −BB 1C 1C 体积的最大值为√3C. 当平面PB 1D 1截直四棱柱所得截面面积为158时，λ=34 D. 四面体A 1C 1DP 的体积为定值12、已知F 为椭圆C ：x 24+y22=1的左焦点，直线l ：y =kx(k ≠0)与椭圆C 交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）A. 1|AF|+4|BF|的最小值为2 B. △ABE 的面积的最大值为√2 C. 直线BE 的斜率为k2D. ∠PAB 为直角三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、已知直线l 1：ax −3y +1=0与直线l 2：2x +(a +1)y +1=0垂直，则a =______． 14、在等比数列{a n }中，a 1=2，a 4=128，若数列{b n }满足b n =log 2a n ，则数列{b n }的前20项和为______．15、直线l ：y =m(x +1)−1与圆C ：(x −1)2+y 2=6交于A 、B 两点，当弦AB 的长度最短时，则三角形ABC 的面积为______．16、已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =n +1(n ∈N ∗)，若an+1a n≤λ对任意n ∈N ∗恒成立，则实数λ的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共72分）17、(本小题12.0分)在等差数列{a n }中，记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知：a 2+a 5=−10，S 5=−30． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求使S n =a n 成立的n 的值． 18、(本小题12.0分)已知圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey −3=0关于直线x −y −1=0对称，且圆心C 在x 轴上． (1)求圆C 的方程；(2)直线l ：x +y +b =0与圆C 交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，求直线l 的方程． 19、(本小题12.0分)已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BA =BC =BB 1=2，∠ABC =90°，E 、F 分别是AC 、AA 1的中点，D 为棱B 1C 1上的点． (1)证明：BF ⊥DE ；(2)当B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值．20、(本小题12.0分) 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =12x ，且双曲线C 过点(2√2,1)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点M(3,0)的直线与双曲线C 的左、右支分别交于A 、B 两点，是否存在直线AB ，使得|AM|⋅|BM|=10成立，若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．21、(本小题12.0分)已知抛物线E ：y 2=2px(p >0)上横坐标为3的点P 到焦点F 的距离为4． (1)求抛物线E 的方程；(2)点A 、B 为抛物线E 上异于原点O 的两不同的点，且满足k OA +k OB =2.若直线AB 与椭圆x 23+y 2m=1恒有公共点，求m 的取值范围．22、(本小题12.0分)设O 为坐标原点，动点P 在圆O ：x 2+y 2=1上，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q 且QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求动点D 的轨迹E 的方程；(2)直线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切，且直线l 与曲线E 相交于两不同的点A 、B ，T 为线段AB 的中点．线段OA 、OB 分别与圆O 交于M 、N 两点，记△AOT ，△MON 的面积分别为S 1，S 2，求S1S 2的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：本题主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴正半轴上以及2p =4，即可求出其准线方程． 因为抛物线的标准方程为：x 2=4y ， 所以焦点在y 轴正半轴上； 且2p =4，即p =2， 所以：p2=1， ∴准线方程y =−1， 所以选：D ．2.答案：A解析：∵a 3，a 14是方程x 2−4x +3=0的两根， ∴a 3+a 14=4，∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 1+a 16)=8(a 3+a 14)=8×4=32．所以选：A ．根据已知条件，结合韦达定理，以及等差数列的前n 项和公式，即可求解． 本题主要考查韦达定理，以及等差数列的前n 项和公式，属于基础题．3.答案：B解析：∵a 1+a 2=8，a 3+a 4=12， ∴a 3+a 4=q 2(a 1+a 2)，即q 2=32，∴a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=32×12=18． 所以选：B ．根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解． 本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．4.答案：B解析：对于A ，{a n }是等方差数列，可得a n+12−a n 2=p(n ∈N ∗,p 为常数)，即{a n2}是首项为a 12，公差为d 的等差数列，∴A 正确，对于B ，例如：数列{√n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B 不正确，对于C ，数列{(−1)n }中，a n+12−a n 2=[(−1)n+1]2−[(−1)n ]2=0，(n ∈N ∗)，∴数列{(−1)n }是等方差数列．故C 正确，对于D ，∵{a n }是等方差数列，∴a 2n+22−a 2n+12=p ，a 2n+12−a 2n 2=p ，∴a 2n+22−a 2n 2=2p ，所以数列{a 2n }是等方差数列，故D 正确． 所以选：B ．用等方差的定义和等差数列的定义进行演算即可．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的定义，属于中档题．5.答案：D解析：∵双曲线C 的方程为：x 2−y 2=2， ∴a 2=b 2=2，得c =√a 2+b 2=2 由此可得F 1(−2,0)，F 2(2,0)，焦距|F 1F 2|=4， ∵∠F 1PF 2=60°，∴|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|cos60°，即|PF 1|2+|PF 2|2−|PF 1|⋅|PF 2|=16① 又∵点P 在双曲线C ：x 2−y 2=2上，∴||PF 1|−|PF 2||=2a =2√2，平方得|PF 1|2−2|PF 1|⋅|PF 2|+|PF 2|2=8② ①−②，得|PF 1|⋅|PF 2|=8， 所以选：D ．根据双曲线方程，算出焦距|F 1F 2|=4，△F 1PF 2中利用余弦定理，结合双曲线的定义列出关于|PF 1|、|PF 2|的方程组，联解即可得到|PF 1|⋅|PF 2|的值．本题考查了余弦定理和双曲线的定义、简单性质等知识，属于中档题．6.答案：B解析：∵等差数列{a n }共有2n +1项， ∴奇数项共有n +1项，其和为a 1+a 2n+12×(n +1)=(n +1)⋅a n+1=290①，偶数项共有n 项，其和为a 2+a 2n2×n =n ⋅a n+1=261②，①−②得， a n+1=29， 所以选：B ． 由等差数列的性质知a 1+a 2n+12=a 2+a 2n2=a n+1，结合求和公式化简即可．本题考查了等差数列的性质及其应用，属于基础题．7.答案：D解析：双曲线x 2a 2−y 2b2=1的渐近线方程为y =±b ax ，在△OPF 2中，|PF 2|=b ，|OF 2|=c ，|OP|=a ，S △F 1PF 2=2S △OPF 2=ab =c 22， ∴4a 2(c 2−a 2)=c 4，∴e 4−4e 2+4=0，∴e 2=2，∴离心率e =√2． 所以选：D ．求出双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，三角形的面积，转化求解离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.答案：C解析：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，设直线l 1的方程为x =m 1y +1，直线l 2的方程为x =m 2y +1， 联立{x =my 1+1y 2=4x可得y 2−4m 1y −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=4m 1，x 1+x 2=m 1(y 1+y 2)+2=4m 12+2， 则|AB|=x 1+x 2+2=4m 12+4，同理可得|DE|=4m 22+4， 所以|AB|+|DE|=4m 12+4m 22+8，由l 1与l 2的斜率的平方和为2，可得1m 12+1m 22=2，由1m 12+1m 22≥2|m 1m 2|，可得|m 1m 2|≥1，则4m 12+4m 22+8≥8|m 1m 2|+8≥16，当且仅当|m 1|=|m 2|=1取得等号，所以|AB|+|DE|的最小值为16． 所以选：C ．求得抛物线的焦点，设直线l 1的方程为x =m 1y +1，直线l 2的方程为x =m 2y +1，分别与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．9.答案：AD解析：当m =2时，曲线C ：x23−y 2=1，∴a 2=3，b 2=1，∴c 2=3+1=4，∴c =2，∴曲线C 是焦距为4的双曲线，故A 正确；当m =4时，曲线C 的方程为x 25+y 2=1，∴a 2=5，b 2=1，∴a =√5，c 2=5−1=4，∴c =2，∴e =√5=2√55，故B 错误； 由m +1=m −3无解，故曲线C 不可能是圆，故C 错误； 当m =1时，曲线C 的方程为x 22−y 22=1，a 2=2，b 2=2，∴a =√2，b =√2，∴曲线C 是渐近线方程为x ±y =0，故D 正确． 所以选：AD ．分别对m 的不同取值计算可判断各选项的正确性． 本题考查圆锥曲线的几何性质，属于基础题．10.答案：CD解析：∵等比数列{a n }满足a 1=1,q =12， ∴a n =a 1q n−1=1×(12)n−1=(12)n−1，对于A ，a 2n =(12)2n−1=2×(14)n ，a2na 2(n−1)=14，故数列{a 2n }为等比数列，故A 错误， 对于B ，1a n=2n−1，数列{1a n}是递增数列，故B 错误，对于C ，log 2a n =log 221−n =1−n ，log 2a n+1−log 2a n =[1−(n +1]−(1−n)=−1，故数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确，对于D ，∵a n =(12)n−1，a n 2=(12)2n−2，∴a n+12a n2=(12)2(n+1)−2(12)2n−2=14，故数列{a n 2}是等比数列，故D 正确．所以选：CD ．根据已知条件，先求出等比数列{a n }的通项公式，即可依次求解． 本题主要考查等比数列，等差数列的性质，属于基础题．11.答案：AD解析：在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AB =1，AA 1=√3， 对于A ，当λ=12时，点P 为线段AC 中点，连DP ，A 1C 1，如图，DP⊥AC，而DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则AC⊥DD1，又DD1∩DP=D，DD1，DP⊂平面DD1P，则有AC⊥平面DD1P，而D1P⊂平面DD1P，于是得D1P⊥AC，又对角面ACC1A1是矩形，即AC//A1C1，所以D1P⊥A1C1，A正确；依题意，AB⊥平面BCC1B1，而点P在AC上，则点P到平面BCC1B1距离的最大值为AB=1，而矩形BCC1B1面积为BC⋅BB1=√3，所以四棱锥P−BB1C1C体积的最大值为√33，B不正确；对于C，当λ=34时，点P在AC上靠近点C的四等分点，平面PB1D1截直四棱柱ABCD−A1B1C1D1所得截面为等腰梯形B1D1EF，如图，显然EF//B1D1//BD，则EF=12BD=√22，B1F2=B1B2+BF2=(√3)2+(12)2=134，等腰梯形B1D1EF的高ℎ=√B1F2−(B1D1−EF2)2=√134−(√2−√222)2=5√24，等腰梯形B 1D 1EF 的面积S =EF+B 1D 12⋅ℎ=3√24×5√24=158，由几何体的对称性知，当平面PB 1D 1截直四棱柱所得截面面积为158时，λ=14或λ=34，C 不正确；因AC//平面A 1C 1D ，则点P 到平面A 1C 1D 的距离等于点A 到平面A 1C 1D 的距离，为定值，又△A 1C 1D 的面积为定值，所以四面体A 1C 1DP 的体积为定值，D 正确． 所以选：AD ．根据给定条件逐一分析各个选项，再推理、计算并判断作答．本题主要考查锥体体积的计算，立体几何中的定值问题等知识，属于中等题．12.答案：BC解析：对于A ：因为O 为AB 的中点，O 也是FF 2的中点， 所以AFBF 2为平行四边形， 所以BF =AF 2，所以AF +BF =AF +AF 2=2a =4， 所以1AF +4BF=14(1AF +4BF )(AF +BF)=14(5+BF AF +4AF BF )≥14(5+4)=94，故A 错误；对于B ：设A(m,n)，B(−m,−n)，E(m,0)，P(x 1,y 1)， 因为A 在椭圆上，所以m 24+n 22=1≥2√m 2n 28，即mn ≤√2， 所以S =12⋅m ⋅2n =mn ≤√2，当且仅当m =√2，n =1时取等号，故B 正确；对于C ：因为k =k OA =nm ， 所以k BE =n2m =k2，故C 正确； 对于D ：因为A ，P 在椭圆上，所以m 24+n 22=1，x124+y 122=1，两式相减得n 2−y 12m 2−x 12=−12，即(n+y 1)(n−y 1)(m+x 1)(m−x 1)=−12，即k PB ⋅k PA =−12， 所以k2⋅k PA =−12，所以k ⋅k PA =−1，所以∠PAB 为直角，故D 错误， 所以选：BC ．对于A ：根据题意可得AFBF 2为平行四边形，则AF +BF =AF +AF 2=2a =4，又1AF +4BF=14(1AF +4BF)(AF +BF)=14(5+BF AF +4AFBF )，结合基本不等式，即判断A 是否正确；对于B ：设A(m,n)，B(−m,−n)，E(m,0)，P(x 1,y 1)，利用基本不等式可得m 24+n 22=1≥2√m 2n 28，即mn ≤√2，再计算△ABE 的面积的最大值，即可判断B 是否正确；对于C ：根据题意可得k =k OA =nm ，k BE =n 2m =k2，即可判断C 是否正确；对于D ：根据题意可得m 24+n22=1，x 124+y 122=1，两式相减得n 2−y 12m 2−x 12=−12，化简即可得出答案，即可得出答案．本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．13.答案：−3解析：∵直线l 1：ax −3y +1=0与直线l 2：2x +(a +1)y +1=0垂直， ∴a ×2+(−3)(a +1)=0，解得a =−3 所以答案为：−3由垂直关系可得a ×2+(−3)(a +1)=0，解方程可得a 值． 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．14.答案：400解析：本题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查转化能力，属于中档题．求出等比数列{a n }的通项公式，可得出{b n }的通项公式，再结合等差数列的前n 项和公式，即可求解． 设等比数列{a n }的公比为q ，则q =√a4a 13=4，a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1，故b n =log 2a n =2n −1，b n+1−b n =2(n +1)−1−(2n −1)=2， 数列{b n }为等差数列， 故数列{b n }的前20项和为S 20=20×(1+2×20−1)2=400．所以答案为：400．15.答案：√5解析：因为直线l ：y =m(x +1)−1恒过定点P(−1,−1)， 圆C ：(x −1)2+y 2=6的圆心C(1,0)，半径为√6， 所以当CP ⊥AB 时，弦AB 的长度最短， 因为|CP|=√(−1−1)2+(−1−0)2=√5， 所以|AB|=2√6−5=2，所以三角形ABC 的面积为12|AB||CP|=12×2×√5=√5，所以答案为：√5．由于直线l 过定点P(−1,−1)，所以当CP ⊥AB 时，弦AB 的长度最短，先求出CP 的长，再利用勾股定理可求出AB 的长，从而可求出三角形ABC 的面积． 本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．16.答案：[32,+∞)解析：∵a 1a 2a 3…a n =n +1， ∴a 1a 2a 3…a n+1=n +2， ∴a n+1=n+2n+1， ∴a n+1a n =n(n+2)(n+1)2=(n+1)2−1(n+1)2=1−1(n+1)2∵an+1a n≤λ对任意n ∈N ∗恒成立，∴λ≥1−1(n+1)2，易知数列{1−1(n+1)2}为递增数列，∴1−1(n+1)2<1，∴λ≥1，故实数λ的取值范围为[1,+∞)， 所以答案为：[1,+∞)．根据题意可得a n+1=n+2n+1，由an+1a n ≤λ对任意n ∈N ∗恒成立，可得λ≥1−1(n+1)2，再根据数列的函数特征，即可求出λ的取值范围．本题考查了数列的函数的特征，考查了运算能力和求解能力，属于中档题．17.答案：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2+a 5=−10，S 5=−30，∴{2a 1+5d =−105a 1+10d =−30，解得{a 1=−10d =2， 故a n =a 1+(n −1)d =2n −12， 故数列{a n }的通项公式为：a n =2n −12． (2)由(1)知，S n =a 1+a n 2⋅n =n(n −11)，∵S n =a n ，∴n(n −11)=2n −12，即n 2−13n +12=0，解得n =1或n =12， 故S n =a n 成立的n 的值是n =1或n =12．解析：(1)根据已知条件，结合等差数列的通项公式，即可求解． (2)由(1)知，S n =a 1+a n2⋅n =n(n −1)，由S n =a n 可得，n(n −11)=2n −12，解得n =1或n =12．本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．18.答案：(1)由题意得：直线x −y −1=0过圆心C(−D 2,−E2)，即−D 2+E 2−1=0，且−E 2=0， 解得：E =0，D =−2，所以圆C 的方程为x 2+y 2−2x −3=0；(2)x 2+y 2−2x −3=0的圆心为C(1,0)，半径为2， 由题意得：AB =2√2，圆心C(1,0)到直线l ：x +y +b =0的距离为√2， 即√2=√2，解得：b =1或−3，所以直线l 的方程为：x +y +1=0或x +y −3=0．解析：(1)根据题意得到等量关系，求出E =0，D =−2，进而求出圆的方程；(2)结合第一问求出的圆心和半径，及题干条件得到圆心C (1,0)到直线l ：x +y +b =0的距离为√2，列出方程，求出b 的值，进而得到直线方程．本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．19.答案：(1)证明：∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，且∠ABC =90°，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直，以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，设D(t,0,2)，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t,1,−2)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BF ⊥DE ． (2)∵B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴D(12,0,2)， ∴DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,2,−1)， 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +y −2z =0m⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +2y −z =0，令x =2，得m ⃗⃗⃗ =(2,1,1)， 设直线BF 与平面DEF 所成角为θ，则sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3√5⋅√6=√3010，∴直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值为√3010．解析：(1)建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF ⊥DE ．(2)求出平面DEF 的法向量，利用向量法能求出直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：(1)依题意，{b a =128a 2−1b2=1，解得：{a =2b =1，所以双曲线C 的标准方程是x 24−y 2=1；(2)假定存在直线AB ，使得|AM|⋅|BM|=10成立，显然AB 不垂直于y 轴，否则|AM|⋅|BM|=5， 设直线AB ：x =my +3，由{x =my +3x 2−4y 2=4消去x 并整理得：(m 2−4)y 2+6my +5=0， 因直线AB 与双曲线C 的左右支分别交于A 、B 两点，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 于是得{m 2−4≠0Δ=36m 2−20(m 2−4)=16(m 2+5)>0，y 1+y 2=−6mm 2−4，y 1y 2=5m 2−4， 则有m 2>4，即m <−2或m >2，因此，|AM|⋅|BM|=√1+m 2⋅|y 1−0|⋅√1+m 2⋅|y 2−0|=(1+m 2)⋅|y 1y 2|=5(1+m 2)m 2−4=10，解得m =±3，所以存在直线AB ，使得|AM|⋅|BM|=10成立，此时直线AB 的方程为：x −3y −3=0或x +3y −3=0．解析：(1)根据给定的渐近线方程及所过的点列式计算作答．(2)假定存在符合条件的直线AB ，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答． 本题考查了双曲线的方程及直线与双曲线相交的弦长问题，属于中档题．21.答案：(1)抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点F(p 2,0)，准线方程为x =−p2，由抛物线的定义可得3+p2=4，解得p =2， 则抛物线E 的方程为y 2=4x ；(2)设A(t 24,t)，B(n 24,n)，则4t +4n =2，即有tn =2(t +n)， 直线AB 的斜率为k =t−nt 24−n 24=4t+n ，直线AB 的方程为y −t =4t+n(x −t 24)，化为y =4t+n x +t −t 2t+n ，即y =4t+n x +2， 则直线AB 恒过定点(0,2)，若直线AB 与椭圆x 23+y2m=1恒有公共点，则03+4m ≤1，解得m ≥4，即m 的取值范围是[4,+∞)．解析：(1)由抛物线定义可得p 的方程，解方程可得p 的值，进而得到所求抛物线的方程；(2)设A(t 24,t)，B(n 24,n)，由直线的斜率公式，可得直线AB 的方程，求得直线恒过的定点，代入椭圆方程可得m 的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线恒过定点的求法、直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.答案：(1)设点D(x,y)，则Q(0,y)，因为QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有P(√2y)， 又点P 在圆O ：x 2+y 2=1上， 即(√2)2+y 2=1，所以动点D 的轨迹E 的方程是x 22+y 2=1．(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为：y =kx +m ， 因为直线l 与圆O 相切，则√1+k=1，即m 2=1+k 2，而k =0时，直线l 与椭圆E 相切，不符合题意，因此k ≠0， 由{y =kx +m x 2+2y 2=2，消去x 并整理得：(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2−22k 2+1，而点T 是线段AB 中点，则有S 1S 2=12S △AOBS ΔMON=12(12|OA|⋅|OB|sin∠AOB)12|OM|⋅ON|sin∠MON =12|OA|⋅|OB|=12√x 12+y 12⋅√x 22+y 22=12√x 12+1−x 122⋅√x 22+1−x 222=14√(x 12+2)(x 22+2)=14√x 12x 22+2(x 12+x 22)+4=14√(x 1x 2)2+2(x 1+x 2)2−4x 1x 2+4=14√(2m 2−22k 2+1)2+2(−4km 2k 2+1)2−4⋅2m 2−22k 2+1+4=14√(2k22k 2+1)2+32k 2(k 2+1)(2k 2+1)2−8k22k 2+1+4=14√20k 4+24k 2(2k 2+1)2+4，令2k 2+1=t >1， 则S 1S 2=14√5(t−1)2+12(t−1)t 2+4=14√−7t 2+2t +9=14√−7(1t −17)2+647，而1t∈(0,1)， 当1t =17，即t =7时，(S1S 2)max =2√77，当1t =1，即t =1时，(S 1S 2)min =12， 而t >1，于是得S1S 2∈(12,2√77],当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =±1,|OA|=|OB|=√32，此时S 1S 2=12|OA|⋅|OB|=34∈(12,2√77],所以S1S 2的取值范围是(12,2√77]． 解析：(1)设出点D 的坐标，借助向量运算表示出点P 的坐标代入圆O 的方程计算作答．(2)在直线l 的斜率存在时设出其方程，与轨迹E 的方程联立，借助韦达定理表示出S1S 2，再利用二次函数性质计算得解，然后计算直线l 的斜率不存在的值作答． 本题考查了动点的轨迹方程，直线与椭圆的综合，属于难题．。

西南师大附中2010—2011学年度上期期末考试高二数学试题（理科）（总分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 直线x + 3y – 6 = 0的倾斜角的大小是（ ）A ．钝角B ．锐角C ．直角D ．无法确定2． 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1 = 2，E 为棱CC 1上的点，则B 1D 1与AE 所成的角（ ） A ．30︒B ．45°C ．60︒D ．90°3． 若PQ 是圆229x y +=的弦，PQ 的中点是（1，2），则直线PQ 的方程是（ ） A ．230x y +-= B ．250x y +-= C ．240x y -+= D ．20x y -=4． 若椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22116925x y -=C ．221916x y -=D ． 221169144x y -=5． 已知F 1、F 2为椭圆C ：22153x y +=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则12||||PF PF =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86． 下面各命题中正确的是（ ）A ．直线m ，n ，m ∥面α，n ∥面α，则m ∥n ；B ．直线m ∥n ，m ⊂面α，n ⊂面β，则α∥β；C ．直线m ⊥面α，直线n ⊥面α，则m ∥n ；D ．直线m ⊂面α，n ⊂面β，α∥β，则m ，n 异面．7． 设抛物线y 2 = 4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3-，那么||PF =（ ） A ．43B ．8C ．83D ．48． 设双曲线C ：22194x y -=的右焦点为F ，右准线为l ，设某条直线m 交其左支、右支和右准线分别于P 、Q 、R ，则PFR QFR ∠∠和的大小关系是（ ）A ．大于B ．小于C ．等于D ．大于或等于（第2题图）9． 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．810． 已知点P 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ） A ．22a b +B ．22a b + C ．b aD ．a b二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11． 三条直线10280350x y x y ax y ++=-+=+-=，，只有两个不同的交点，则a = ．12． 在四面体PABC 中，各棱长均为2，M 为棱AB 的中点，则异面直线PA 和CM 所成角的余弦值为 ． 13． 变量x 、y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则43z x y =-的最大值为 ．14． 若点A 的坐标为(32)-，，F 为抛物线24y x =-的焦点，点P 是抛物线上的动点，当||||PA PF +取最小值时，P 的坐标为 ．15． 右图是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一种平面展开图，在这个正方体中，E 、F 、M 、N 均为所在棱的中点 ① NE ∥平面ABCD ； ② FN ∥DE ；③ CN 与AM 是异面直线； ④ FM 与BD 1垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分13分)（第10题图）A BCPM（第12题图）A （第15题图）B CDNFA 1B 1已知圆C 的圆心在y 轴上，半径为1，且经过点P （1，2）． (1) 求圆的方程；(2) 直线l 过点Pl 的方程．17． (本小题满分13分)如图所示，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒． (3) 求证：BC ⊥PB ；(4) 若AB = BC = 2，PA=E 为PC 中点，求AE 与BC 所成角的余弦值．18． (本小题满分13分)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1) 写出该抛物线的方程及其准线方程；(2) 若直线AB 与x 轴交于点M （x 0，0），且124y y =-，求证：点M 的坐标为（1，0）． 19． (本小题满分12分)如图，边长为a 的正三角形ABC ，PA ⊥平面ABC ，PA = a ，QC ⊥平面ABC ， QC =2a ，PQ 与AC 延长线交于F 点．(1) 若D 为PB 中点，证明：QD ∥平面ABC ； (2) 证明：BF ⊥平面PAB ．20． (本小题满分12分)已知点3(1)2P -，是椭圆E ：22221x y a b +=（a > b > 0）上一点，F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设A 、B 是椭圆E 上两个动点，是否存在λ，满足PO PB PA λ=+（0<λ<4，且λ≠2），ACQPDPAEBC（第19题图）（第17题图）且M（2，1）到AB的距离为5？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)如图，设抛物线C1：24(0)y mx m=>的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率12e=的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P。

西南师大附中2010—2011学年度下期期中考试高二数学试题（理科）（总分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 8(1)x -的展开式的第6项的系数是（ ）A ．68CB ．68C -C ．58CD ．58C -2． 已知m 、n 表示直线，αβ、表示平面，下列命题正确的是（ ）A ．若////m αββ，，则//m αB ．若m αββ⊥⊥，，则//m αC ．若////m n n α，，则//m αD ．若//n m m n αβα=⊄，，，则//m α3． 在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF =，则异面直线AD 与BC 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4． 用从0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是（ ）A ．324B ．328C ．360D ．6485． 5名学生A 、B 、C 、D 、E 和2位老师甲、乙站成一排合影，其中A 、B 、C 要站在一起，且甲、乙不相邻的排法种数为（ ） A ．432B ．216C ．144D ．726． 若122n nn n n C x C x C x ++…+能被7整除，则x ，n 的值可能为（ ）A ．x = 4，n = 3B ．x = 4，n = 4C ．x = 5，n = 4D ．x = 6，n = 57． 从编号分别为1，2，…，7的7张卡片中任意抽取3张，则满足任意两张卡片的数字之差的绝对值不小于2的有（ ）种 A ．4B ．10C ．20D ．358． 如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，AB ≠AC ，D 、E 分别是BC 、AB的中点，AC > AD ，设PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P —BC —A 的平面角为γ，则αβγ、、的大小关系是（ ） A ．αβγ<< B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γβα<<9． 一个正三棱柱恰好有一个内切球（即恰好与两底面和三个侧面都相切）和一外接球（即恰好经过三棱柱的6个顶点），此内切球与外接球的表面积之比为（ ）A ．1B ．1∶3C ．1D ．1∶510． 设a 1，a 2，…，a n 是正整数1，2，3，…，n 的一个排列，令b j 表示排在a j 的左边且比a j大的数的个数，b j 称为a j 的逆序数．如在排列3，5，1，4，2，6中，5的逆序数是0，2的逆序数是3，则由1到9这9个数字构成的所有排列中，满足1的逆序数是2，2的逆序数是3，5的逆序数是3的不同排列种数是（ ） A ．720 B ．1260 C ．1008 D ．1440二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11． 甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.4、0.6，0.5，则三人都达标的概率是__________________． 12． 若2921101211(1)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则01211a a a a ++++=_____________．13． 4个实习老师分配到高中三个年级实习，则每个年级至少有1个实习老师的概率为__________________．14． 已知A 、B 、C 三点在球心为O ，半径为3的球面上，且几何体O —ABC 为正三棱锥，若A 、B 两点的球面距离为π，则正三棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为_____________．15． 在矩形ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 在AD 和DC 上运动，设ABP θ∠=，将△ABP 沿BP折起，使得二面角A —BP —C 成直二面角，当θ为__________时，AC 长最小． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (本小题满分13分)一个口袋里有4个不同的红球，5个不同的白球（球的大小均一样）． 从中任取3个球，求3个球为同色球的概率； 从中任取4个球，求至少有2个白球的概率．(本小题满分13分)在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，PA =AD = 4，AB = 2， E 是PD 的中点．求证：AE ⊥平面PCD ；求平面ACE 与平面ABCD 所成二面角的大小．(本小题满分13分)求5的二项展开式中的常数项；若n的二项展开式中，第3项的系数是第2项的系数的5倍，求展开式中系数最大的项．(本小题满分12分)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知A 1A = AB ，D 为C 1C 的中点，O 为A 1B 与AB 1的交点．求二面角A —A 1B —D 的大小．若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面A 1BD ；(本小题满分12分)甲、乙两人下中国象棋，乙每局获胜的概率为14． 若甲、乙比赛3局，求乙恰胜2局的概率．若甲、乙比赛，甲每局获胜的概率为12，和局的概率为14．每局胜者得2分，负者得0分，和局则各得1分，规定积分先达到4分或4分以上者获奖并终止比赛（若两人同时达到4分，则两人都不获奖），求甲恰好在第3局比赛结束时获奖的概率．(本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面为矩形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD的射影是O，AB = 8，BC = AA1 = 6．求证：平面O1DC⊥平面ABCD；若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE = 2EA1，问点F在何处时EF⊥AD；在 (2) 的条件下，求F到平面CC1O1距离．（命题人：黄祥奎审题人：赖立新）西南师大附中2010—2011学年度下期期中考试高二数学试题参考答案（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．0.12 12．2 13．4914．1315．45︒三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：(1)3345139141846C CPC+===······················ 6分(2)314454244991201511163266C CCPC C+=--=-=-=⨯··············13分17．(1) 证明：∵PA = AD，E为PD中点∴AE⊥PD·························· 2分∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD∵CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE·························· 5分∴AE⊥平面PCD························ 6分(2) 解：取AD中点F，连EF，作FG⊥AC于G，连EG∵E为PD中点∴EF∥PA∵PA⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵FG⊥AC ∴EG⊥AC∴∠EGF为二面角E—AC—D的平面角··············· 9分由△AFG∽△ACD，得FG AF CD AC=∴FG=··························10分而122EF PA==·························11分∴2tanEFEGFGF∠==··················12分∴平面ACE与平面ABCD所成二面角的大小为·······13分FG18．解：(1) 5315()()r r r r T C x x-+= ····················· 2分105652r rr C x-= ························· 3分由10506r-=，得r = 2 ····················· 5分 ∴ 常数项为第3项，340T = ··················· 6分(2) 2211252n n C C =⨯ ························ 7分(1)4102n n n -⨯= ∴ n = 0 (舍) 或6 ······················· 9分 设第r + 1项的系数最大，则116611662222r r r r r rr r C C C C ++--⎧≥⎪⎨≥⎪⎩ ························ 11分 ∴111433r ≤≤·························· 12分 ∴ r = 4 ∴ 第5项的系数最大，435240T x-= ················ 13分19．(1) 解：（法一）取AB 中点F ，连结OD 、CF∵ O 为A 1B 中点 ∴ OF ∥AA 1 ∴ OF //=CD ∴ 四边形OFCD 为平行四边形 ∴ OD ∥FC∵ △ABC 为等边三角形，F 为AB 中点 ∴ CF ⊥AB 而AA 1⊥平面ABC ∴ AA 1⊥CF ∴ CF ⊥平面ABA 1 ∴ OD ⊥平面ABA 1 ∵ OD ⊂平面A 1BD ∴ 平面A 1BD ⊥平面A 1AB∴ 二面角A —A 1B —D 的大小为90︒ ············· 6分（法二）连结OD 、AD∵ DA 1 = DB ，O 为A 1B 中点，GFH∴ DO ⊥A 1B ∵ A 1A = AB ， ∴ AO ⊥A 1B∴ ∠AOD 为二面角A —A 1B —D 的平面角设AA 1 = 2，则AO OD而AD =∴ 222AD AO OD =+ ∴ 90AOD ∠=︒∴二面角A —A 1B —D 的大小为90︒(2) 证明：（法一）延长A 1D 、AC 交于G ，连结OG∵ CD //=12AA 1 ∴ C 为AG 中点 ∵ E 为AO 中点 ∴ EC ∥OG ∵ OG ⊂平面A 1BD∴ EC ∥平面A 1BD ···················· 12分（法二）取A 1O 中点H∵ E 为OA 中点∴ EH //=12AA 1 ∴ EH //=CD ∴ EHDC 为平行四边形 ∴ EC ∥FD ∵ FD ⊂平面A 1BD ∴ EC ∥平面A 1BD20．解：(1) 221311139()(1)34416464P C =-=⨯⨯=················ 4分 (2) 前两局1胜1负，第三局甲胜11211112428P C =⨯=······················· 6分 前两局甲1胜1平，第三局甲平或胜122113324416P C =⨯⨯= ······················ 6分 前两局2平，第三局甲胜23111()4232P =⨯= ························ 6分 ∴ 甲恰好3局结束时获奖概率为123131118163232P P P P =++=++= ··· 12分 21．(1) 证明：∵ A 1O 1//=OC ∴ A 1OCO 1为平行四边形∴ A 1O ∥O 1C ·························· 2分 ∵ A 1O ⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD······················· 3分∴平面O1DC⊥平面ABCD····················· 4分(2) 解：在AO上取点G，使AG = 2GO，则EG∥A1O∴EG⊥平面ABCD∴当且仅当FG⊥AD时，EF⊥AD∴FG∥AB∵CG = 2AG∴CF = 2BF即当CF = 2FB时，结论成立．·················· 7分(3) 解：作FH⊥AC∵CO1⊥平面ABCD∴平面C1O1C⊥平面ABCD∴FH⊥面C1O1C∵△FCH∽△ACB∴FH CF AB AC=而AC = 10，CF = 4 ∴165 FH=∴F到平面CC1O1的距离为22416355⨯=···············12分G H1． 若012{|10100}x y x x a a a ∈=++、，其中{1234567}(01i a i ∈=，，，，，，，，，且636x y +=，则实数对（x ，y ）表示坐标平面上不同点的个数为（ ）A ．50个B ．70个C ．90个D ．120个2． 用1，4，5，x 四个不同数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，则_____________x =．3． 设12n a a a ，，…，是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的个数称为(12)i a i n =，，…，的“序号数”，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的“序号数”为1，3的“序号数”为0，则在1至8这8个数的排列中，8的“序号数”为2，7的“序号数”为3，5的“序号数”为3的不同排列的种数为___________．4． (本小题满分13分)甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15．每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分． (1) 求乙、丙各自闯关成功的概率； (2) 求团体总分为4分的概率；(3) 若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率．5． (本小题满分13分)如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为的正三角形，点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点． (1) 求证：A 1A ⊥BC ；(2) 当侧棱AA 1和底面成45︒角时，求二面角A 1—AC —B 的大小；(3) 若D 为侧棱AA 1上一点，请问当1A DDA 为何值时，BD ⊥A 1C 1．。