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《计算机控制技术与系统》第四章常规及复杂控制技术4.1数字控制器的连续化设计4．2 数字PID控制算法4．3 直接数字设计算法4．44.1 数字控制器的连续化设计技术4.1.1 数字控制器的连续化设计步骤4.1.1.1 连续控制系统如图1所示，在连续控制系统中，控制器的输入、输出皆为连续的信号量。
图1 连续控制系统框图DDC：用数字控制器代替模拟控制器，对对象直接进行控制。
好处：1．计算机控制系统是数字控制系统，一台计算机可以实现多个回路的控制。
2．可以采用DDC，实现串级、前馈、纯滞后补偿、对变量解耦控制等。
图2 计算机控制系统计算机控制系统的信号是混合类型的。
包括：连续信号：时间、幅值上都是连续的。
离散信号：时间上离散，但幅值上是用模拟信号来实现的。
数字信号：时间上、幅值上都是离散的（量化），量化模拟信号：时间连续、幅值上连续量化。
图3 计算机控制系统信号类型计算机控制系统理论包括：●离散系统理论——对象的离散化方法、原则,包括：a.差分方程和Z变换理论，利用脉冲传递函数来分析离散系统。
b.常规控制设计方法，包括模拟设计方法和直接数字设计方法；c.按极点配置设计法d.最优设计方法e.系统辨识及自适应控制●采样系统理论——包括：a.离散系统理论b.采样理论（采样定理）,采样信号的恢复等;c.连续模型以及性能指标的离散化;d.性能指标函数的计算e.采样控制系统的仿真f.采样周期的选择●数字系统理论——包括上述离散系统和采样系统理论外，还包括数字量化效应等，如量化误差、非线性特性的影响、数字控制器的实现等问题。
* 计算机控制系统中，对象是连续的，控制器是离散的，如何将连续环节离散化，或将离散环节与连续环节连接，是要重点解决的问题。
●在计算机控制系统，如果采样周期小，计算机转换以及运算字长较长时，可以采用连续系统的分析设计方法，即在连续域内设计出模拟控制器，然后将其离散化，由计算机来实现------ 模拟设计方法●在计算机控制系统，如果采样周期较大，由量化效应不可忽视时，采用采样控制理论设计控制器（按某些约束条件直接设计控制器）-------- 直接数字设计方法离散信号和连续信号、数字信号和量化模拟信号共同存在于计算机控制系统中，决定了该系统的数学模型、分析方法和设计方法，不同于常规连续控制系统。
现现在在具体实现时，采用模拟设计方法的较多，利用其丰富的实际经验，解决问题。
4.1.1. 2 选择采样周期T将采样信号恢复成连续信号，由零保持器实现。
ses H sT--=1)(采样周期：cTω1)5.01.0(-=4.1.1. 3 离散化方法● 数字控制器的模拟化设计方法：根据连续系统设计出模拟控制器，然后通过离散化方法，将其转换成脉冲传递函数或差分方程表示的数字控制器。
● 直接数字设计方法：将受控对象的模型离散化，根据离散对象模型直接设计数字控制器。
可采用解析法、Z 根轨迹、W 频域法等，设计出满足一定要求的数字控制器。
设计数字控制器的重要步骤，是将连续系统离散化。
即将连续时间传递函数F(S) ->离散传递函数F(Z)。
对模型离散化时，要考虑离散等效性问题： （1） 脉冲响应特性（2) 阶跃响应特性 ， 如超调量、振荡次数、上升时间、过渡时间等。
（3） 频率特性， 如通频带、增益余量、相位裕量、以及闭环频率响应峰值等。
（4） 稳态增益 （5） 零极点分布典型的离散化方法有如下几种：一、差分变换法1．差分变换公式特点：用一阶差分代替微分 设连续系统传递函数为： D(s) =)()(s E s U =s1 --------------- (1) 式 ;单位阶跃函数的拉氏变换 S * U(s) = E(S) 取拉氏反变换， 有：)()(t E dtt dU = ------------------------------------- （2）式令KTt dtt dU =)( ≈TT k U KT U ])1[()(--则 U(KT) = U[(K-1)T] + T * E(KT) 等式两边取Z 变换得：U(Z) = z –1 * U(Z) + T * E(Z) ; 根据Z 变换定理， Z[ U[（K-1)T]] = z –1 * U(Z)则 D(Z) = )()(z E z U =11--Z T-------- （5）式比较（1）式和（5）式，得 : s1 =11--ZT即TZ S 11--=后向差分公式： ----（福勒Fowler 代换， Z –1= e -TS= 1 – TS + T 2S2 / 2! – T 3S 3 / 3!+...... ,级数展开后， 取一次项）D(Z) = D(S) Tz s 11--=同理，如果将差分用下式代换：TkT U T K U KT t dtt dU )())1(()(-+≈=得到: U[(K+1)T] = U(KT) + T * E(KT) 利用Z 变换定理，对上式取Z 变换，则:Z *U(Z) = U(Z) +T*e(Z) =>T Z S 1-=前向差分公式： ----（欧拉Eular 代换， Z = e TS= 1 + TS + T 2S2 / 2! + T 3S 3 / 3!+...... ,级数展开后， 取一次项）D(Z) = D(S)TZ s 1-=例： 系统的传递函数为：)3)(2(1)(++=S S S D ， 采用后向差分法对其进行离散化。
解：采用后向差分，)31)(21()31)(21(11)()(112111------+-+=+-+-=-==Z T Z T TTZ TZ Tz s S D Z D)31)(21()()()(112---+-+==Z T Z T Tz E z u Z D)()31)(21)((211z E T ZT ZT z u =-+-+--)()})52()31)(21){((221z E T ZZ T T T z u =++-++--)()()()52()()31)(21(221z E T z u Zz u ZT z u T T =⋅+⋅+-⋅++--)()2()1()52()()31)(21(2k E T k u k u T k u T T =-+-⋅+-⋅++)31)(21()()2()1()52()(2T T k E T k u k u T k u +++---⋅+=1.)0()0()0(Y R E -=12)0()0(E u =2. )1()1()1(,1Y R E k -==12)1()0(7)1(E u u +⋅=32．差分变换的理解：差分变换的实质，是以矩形面积代替积分。
由（2）式)()(t E dtt dU = =〉 )()()(t d t e t U ⎰= U （t)代表e （t)曲线下包含的面积。
在后向差分中， U(KT) = U[(K-1)T] + T * E(KT) 即： 增加的面积等于T*E(KT) .而在前向差分中， U(KT) = U[(K-1)T] + T * E （(K-1）T)即： 增加的面积等于T*E （(K-1）T) .图2-4 后向差分与前向差分的图示3．差分变换的稳定性Z 变换 Z = e TS , S = α+ j ω //α是实部，ω是虚部，ωαjT T TSeee Z *== // T 是采样周期，T>0| Z| = e TS，Z ∠ = ωT当α=0时，| Z| = 1 ， S 平面的虚轴，临界区 =〉Z 平面的单位园上当α<0时，| Z| < 1 ， S 平面的左半平面，是稳定区=〉Z 平面的单位园内当α>0时，| Z| >1 ， S 平面的右半平面，是不稳定区=〉Z 平面的单位园外如图2-5 S 平面与Z 平面结论：系统稳定的充分与必要条件是：它的所有极点均落在S 平面的左半部。
S 平面的稳定区（左半平面），在Z 平面上是一个单位园。
一阶后向差分稳定性分析TZ S 11--=S 平面稳定区 Re(S) <0 , 设 ωσj Z +=，将其代入后向差分公式中，求其实部，得：0)()Re(2222<++-=ωσωσσT S =>22222)21()21(0<+-⇒<+-ωσωσσ即Z 平面上圆心为（1/2， 0），半径为1/2的园,是稳定区域。
一阶后向差分特点： （1）TZ S 11--=公式变换简单，精度不高（2） 映射后将整个S 左半平面变换为Z 平面单位园内的一个小园。
故离散后暂态响应和频率响应特性有较大畸变，需采用较小的采样周期。
（3） 若D(S)稳定，则D(Z)一定稳定。
一阶前向差分稳定性分析TZ S 1-=S 平面稳定区 Re(S) <0 , 设 ωσj Z +=，将其代入后向差分公式中，求其实部，得：)1Re()Re(<-=TZ S=> Re(Z) < 1即Z 平面上1<σ的平面。
而正常Z 平面的稳定区域是单位园。
即前向差分可能会将S 平面稳定的极点，映射到Z 平面的单位园外，导致系统的不稳定。
一阶前向差分特点： （1）TZ S 1-=公式变换简单，精度差（2） 映射后将整个S 左半平面变换为Z 平面单位园内的一个小园。
故离散后暂态响应和频率响应特性有较大畸变，需采用较小的采样周期。
（3） 若D(S)稳定，则D(Z)不一定稳定。
只有一部分能映射到单位园内。
解决方法：TZ S 1-=， Z= 1+ST ；设 ωσj S +=Z=1+)(ωσj +T =ωσjT T ++)1(=ωσjT TT ++)1(因Z 平面上实部–1<Re(z)<1 , 故2111<<-=><+<-σσTT而在Z 平面上，稳定区域是1)()1(22<++ωσT T =〉222)1()1(TT<++ωσ即半径为1/T ，圆心在（-1/T,0）点的园。
通过反向映射，我们看到，原来稳定的整个左半平面，只有一个半径为1/T 的圆的区域是稳定的。
即只有S 左半平面上的一个园的区域，采用后向差分后，映射到Z 平面上是稳定的。
如果通过减小T,即采样周期，使园的面积扩大，可以扩大稳定区域。
当T 足够小，该园包含了左半平面的所有系统的极点，离散后的系统仍然是稳定的。
事实上，T 越小，用差分代替微分的效果越好，离散系统也就越趋近于连续系统。
二、双线性变换法1．双线性变换公式（屠金Tustin 代换）Z 变换定义 ：STSTTSee eZ 22-==....821222+++=S TS T eST....821222++-=-S TS T eST取前两项，以近似式代入：S TS TST S T Z -+=-+=222121即得到双线性变换公式：1111*211*2--+-=+-=ZZ T Z Z T S1111*2|)()(--+-==ZZT s s D z D例: 设 ss D 1)(=,用双线性变换法离散化。
