定积分在几何中的应用
【教学目标】
1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
【教法指导】
本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
【教学过程】 ☆探索新知☆
探究点一 求不分割型图形的面积
思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .
因此，所求图形的面积为
S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD ＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13
. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)将面积用定积分表示；
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2
－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．
解 由⎩
⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0，
所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，
根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2
－4)d x
＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256
. 探究点二 分割型图形面积的求解
思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？
例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S .
解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．
解方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ，
y ＝x －4
得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)．
直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)．
因此，所求图形的面积为
S ＝S 1＋S 2
＝ʃ402x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x
＝22332x |40＋22332x |84－12
(x －4)2|84 ＝403
.
方法二 把y 看成积分变量，则
S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40 ＝403
. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13
x 所围成图形的面积． 解 画出图形，如图所示．
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13
x )]d x ＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13
x )d x ＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16
x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13
x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13
＝136
. 探究点三 定积分的综合应用
例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112
，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程．
解 如图，设切点A (x 0，y 0)，
其中x 0≠0，
由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为
y －y 0＝2x 0(x －x 0)，
即y ＝2x 0x －x 20，
令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 0
2，0)，
＝12(x 0－x 02)·x 20＝14
x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112
. ∴x 0＝1，
从而切点为A (1,1)，
切线方程为2x －y －1＝0.
反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．
跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2
与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．
解 抛物线y ＝x －x 2
与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，
所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝ʃ1
0(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
2－13x 3|1
0＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －x 2，y ＝kx ，
又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，
于是k ＝1－ 3
12＝1－34
2.
