北师大版必修四“三角函数变换”教材分析数学教材分析北师大版整理版

北师大版高中高二数学必修4《三角恒等变形》教案及教学反思一、教案1.1 教学目标•熟练掌握三角函数中常见的恒等变形；•为今后的高级数学学习打下坚实的基础；•提高学生的数学思维能力和解决问题的方法；1.2 教学内容三角函数的恒等变形1.3 教学重难点1.3.1 教学重点•三角函数的性质；•常见三角函数的恒等变形；•解决实际问题所需的数学思维方法和技巧。

1.3.2 教学难点•三角函数的复杂恒等变形；•恒等变形的应用。

1.4 教学方法1.讲解：老师通过板书和讲解的方式，对三角函数的恒等变形进行深入浅出的讲解。

2.举例：通过大量的例子，巩固学生的知识点，提高学生的应用能力。

3.练习：进行不同类型的练习，提高学生的解题能力和对三角函数的理解深度。

1.5 教学过程1.5.1 学生自主学习1.学生自己先预习本节课的知识点；2.看视频，了解本节课的内容。

1.5.2 课堂学习1.引入：老师简要介绍本节课讲的内容。

2.讲解：（1）常见三角函数的恒等变形；（2）三角函数的性质；（3）解决实际问题所需的数学思维方法和技巧。

3.练习：（1）进行不同类型的练习，提高学生的解题能力；（2）通过练习巩固学生的知识点。

4.点拨：对于难以理解的问题，老师进行点拨。

5.总结：对本节课的知识点进行全面总结。

1.6 教学资源1.教材：北师大版高中高二数学必修4；2.视频：主要是讲解内容的视频；3.课件：包含了本节课的知识点和问题。

1.7 教学评价对于本节课的教学，需要进行评价。

1.教学评价：（1）教学目标是否达到；（2）教师授课方式和教学方法是否合理；（3）学生反馈。

2.学生评价：（1）课程难易程度；（2）教师的授课是否清晰明了；（3）自己的掌握情况。

二、教学反思三角函数的恒等变形是数学中的一项重要的基础知识，它对于今后的高级数学学习至关重要，本节课是该知识点的重难点。

如果学生能够掌握好三角函数中的恒等变形，对于解决实际问题将会有很大的帮助。

《三角函数》教材分析及教学建议一、新旧教材对比分析三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用.这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。

三角恒等变换在数学中有一定的应用。

三角函数与三角恒等变换是高中数学课程的传统内容，因此，本模块的内容属于“传统内容”。

与以往的教科书相比较,本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化.1．以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干,教材体系更显合理。

“标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习目标是:（1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用；（2)运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

根据上述学习目标,在编写教科书过程中,特别注意突出主干内容,强调模型思想、数形结合思想.“三角函数"一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。

即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，研究三角函数的基本性质，并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。

与传统的处理方法不同,这里把三角恒等变换从三角函数中独立出来，其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。

为了实现削枝强干的目标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理.在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角以及符号等内容。

任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。

三角恒等变换中，两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。

积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。

课题：三角函数的图象变换教学目标：1、知识目标：掌握函数Bx y x y x y x A y +=+===sin ),sin(,sin ,sin ϕϖ的图象变化规律，明确常数B A ,,,ϕϖ对图象变化的影响，进而使学生掌握函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的图象；2、能力目标：培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力；教学重、难点：介绍函数y=Asix （ωx+ψ）的图象的简图的作法，分层次、逐步讨论字母A 、ω、ψ变化时对函数图象的形状和位置的影响。

教学过程：一、引入课题1、引入：后面的同学听得到我说话吗？知道我在前面说，后面为什么能听到？声音靠什么传播？有没有见过弹簧震子，它运动的规律能画出图象来吗？2、在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y=Asix （ωx+ψ）的函数，下面我们来讨论这类函数的简图的作法。

3、[板书]函数y=Asix （ωx+ψ）的图象；二、新课教学1、作三角函数的图象的方法一般有两种：（1）描点法；（2）几何法；2、复习如何作三角函数的简图：主要先找出在确定图象性质时起关键作用的五个点（最大值点，最小值点，与x 轴的交点）3、[例题1]作函数x y x y sin 21)2(,sin 2)1(== 的简图。

问题1：函数 x y sin 2=的图象由正弦曲线经过怎样的变化得出？ 问题2：图象变换的实质是什么？（图象上每个点的变换）问题3：二函数图象上任意相关点的坐标之间有什么关系？问题4：不看图象猜想x y sin = 图象经过怎样的变化能够得到x y sin 21=的图象？计算机演示验证；对于同一个x 的值，（1）的图象上的点的纵坐标等于（2）的图象上的的纵坐标的2倍，因此（1）的图象可以看作是把x y sin = 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到。

（1）的值域是[-2，2]。

同样考虑（2）的图象变化。

（要求学生跟说一遍：函数x y sin 21= 的图象可以看作把图象上的所有点的纵坐标缩短到原来的21（横坐标不变）而得来；） 问题5：x A y sin = 图象是如何由 x y sin =变化得到的？问题6：在变化中A 起了什么作用？图象什么没变，什么变了？4、作函数：x y x y 21sin )2(,2sin )1(== 的简图。

必修4 第一章 三角函数教材分析一、大纲要求但课标不要求1.大纲中的三角函数包括六种三角函数，原教材中专门给出了余切、正割、余割函数的定义，还给出了与它们有关的同角关系式tan cot 1αα=，并要求掌握如何去求cot α；而课标中三角函数只有三种三角函数，新教材中不仅删去了原教材中的余切、正割、余割函数的定义与之有关的公式和计算.例1（1）已知4sin 5α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα的值.（2）求证：2221tan 1tan ()1cot 1cot AA AA +-=-+. [说明]凡是与余切、正割、余割有关的公式与计算，课标均不作要求.2.大纲对化简三角函数和证明三角恒等式及给值求值、解三角不等式等三角运算的技能要求都较高，而课标只要求学生获得必要的数学基础知识和基本技能，对三角运算的解题技巧和难度上要求都较低.例2根据正弦、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）sin ()2x x R ≥∈，（20()x x R +≥∈. 例3求下列函数的定义域： （1）11sin y x=+，（2）11cos y x=-，（3）y =（4）y =例4已知函数sin(),y A x x R ωϕ=+∈（其中0,0)A ω>>的图象在y 轴右侧的第一个最高点（函数最大值的点）为M 与x 轴在原点右侧的第一个交点为(6,0)N ，求这个函数的解析式.例5 已知函数22sin 2sin cos 3cos ,,y x x x x x R =++∈问： （1）求函数的最小正周期；（2）函数在什么区间上是增函数？ （3）函数图象可以由函数2,y x x R =∈的图象经过怎样的变换得出？3.大纲中明确要求学生掌握已知三角函数值求角这种解最简单的三角方程的技能，并要求学生理解相关的反三角函数的知识，课标对这些内容不要求.例6求适合下列关系式的x 的集合.如果x 不是特殊角，那么用反正弦、反余弦、反正切的符合把所求集合表示出来.（1）cos [0,2]2x x π=-∈；（2）tan [0,2]x x π=∈ [说明]这类已知三角函数值求角与反三角函数内容，课标均不作要求. 二、课标要求但大纲不要求1．课标强调让学生参与数学知识的发生、发展过程，而大纲在这方面基本不做要求. 例1 如教材13页探究 例2 教材46页11题2.课标强调数形结合思想的应用和现代数学工具（计算器）的应用，大纲这方面不作要求.3.课标强调了数学知识的应用，要求学生掌握用数学知识去分析、解决生活中的实际问题的方法，对一些较复杂的实际问题也不回避，为此还专门新增了“三角函数模型的简单应用”一节；而大纲对此要求较低，原教材对较复杂的实际问题的数学建模解法则干脆不作要求.三、典型例题例1已知角α的终边在直线34y x =-上，则2sin cos αα+的值是 .例2已知函数3sin 2y x =的图象为C ，为了得到函数23sin(2)5y x π=+的图象，只要把C上的所有点 .例3α为第二象限角. 学生对于化简到什么形式往往不清楚.一般，要实现函数名称尽量少，角尽可能少，运算尽可能简单（如次数尽量低、分母尽可能不含三角式、尽量不带根号等），即算到用目前所掌握知识不能再算为止.例4 已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值.引申：（1）求2222sin 2cos 2sin 3cos αααα+-的值.（2）22cos sin αα-的值. （3）sin cos αα⋅的值.此题关键是将未知用已知表达，因此选择关系式sin tan cos ααα=，问题便可迎刃而解.上述解法体现了“切化弦”的划归思想，即在三角运算中注意用四个划归方向（减少不同的角；减少项；减少不同名的函数；减少不同的次数；）来指引解题方向.例5已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos(2)πα-；（2）3sin()2απ-；（3）tan()2πα-.[说明]本题解法体现了分类讨论的思想. 例6求函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调增区间.变形：1sin()23y x π=-+[2,2]x ππ∈-的单调增区间.例7 画出函数12sin()36y x π=-在一个周期内的简图.必修4 第三章 三角恒等变换1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来.3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于左边，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等. 6.典型例题例1cos x x +.[说明]推广到sin cos )A x B x x ϕ+=+，其中tan B Aϕ=.例2 ( 2006年重庆卷)已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+4πα= ____. [说明]角的组合是解决本题的关键. 例3（2006年福建卷）已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ [说明]降幂公式与辅助角公式的综合应用.例4求函数sin(10)cos(40)y x x =+++的值域及函数值最小时相应的x 值. 例5 求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最值.例6（07湖北文16）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．。

高一《两角和与差的三角函数》教学设计【教材分析】本节是北师大版高中必修四第三章两角和与差的正弦、余弦函数，本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。

本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。

【学情分析】学生在本节之前已经学习了三角函数和平面向量这两章知识内容，这为本节课的学习作了很多的知识铺垫，学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。

本节教学内容需要学生已经具有单位圆中的任意角的三角概念和平面向量的数量积的表示等方面的知识储备，这将有利于进一步促进学生思维能力的发展和数学思想的形成。

【课程资源】高中数学北师大版必修四教材；多媒体投影仪；【教学目标】1、知识与技能：掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，回顾已学过的诱导公式以及其应用，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。

2、过程与方法：让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、研究能力。

3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

【教学重点和难点】教学重点：两角和与差的余弦公式以及正弦公式的推导及运用教学难点：向量法推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用（设计依据：平面内两向量的数量积的两种形式的应用是本节课“两角和与差的余弦公式推导”的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。

又由于“两角和与差的余弦公式的推导和应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。

高中数学第三章三角恒等变换3.2 两角和与差的三角函数的应用思路分析素材北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.2 两角和与差的三角函数的应用思路分析素材北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章三角恒等变换3.2 两角和与差的三角函数的应用思路分析素材北师大版必修4的全部内容。

3.2 两角和与差的三角函数的应用思路分析例1 （1）如果方程()102≠=++c c bx x 的两根为tan α、tan β,求()()()()βαβαβαβα++++++22cos cos sin sin c b 的值；(2)在非直角△ABC 中，求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanA ·tanB ·tanC ．思路分析：观察（1)中待求式特点，须先求出α＋β的一个三角函数值,由韦达定理和和角正切公式特点，可先求tan （α＋β）．根据（2）中恒等式的结构特点，可利用和角正切公式的变形tan α＋tan β＝tan （α＋β）（1－tan αtan β）将左边的正切和转化为右边的正切积．解：（1）由韦达定理，得⎩⎨⎧=⋅-=+.tan tan ,tan tan c b βαβα ().1 tan tan 1tan tan tan cb --=-+=+∴βαβαβα ()()()[]()()()[]()()()()()[]().1111 1111 tan tan tan 11tan tan cos 222222222222222c c c b c b c c c c b c b b c c c b cb =--+⋅+--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=++++⋅++=++++⋅+=∴βαβαβαβαβαβα原式 （2）∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C,()()().tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan C B A CB AC C B A B A CB A ⋅⋅=+⋅--=+⋅-+=++∴ 点评：含α、β两角的正切和与正切积的式子,用和、差角正切公式的变形比较容易处理． 例2 化简().8sin 15sin 7sin 8sin 15cos 7sin1︒︒-︒︒︒+︒()().50cos 50sin 2110tan 3180sin 50sin 2 2︒︒+︒+︒+︒思路分析：对于（1），三个角的关系非常明显，结合和、差角三角函数公式的特点,易进行角度变换7°＝15°－8°．对于（2），一方面应由诱导公式将80°角变换成10°的角，另一方面应将切化成弦．()()()().323113 45tan 60tan 145tan 60tan 4560tan 15tan 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin 1 :-=+-=︒︒+︒-︒=︒-︒=︒=︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=原式解()()()().323113 45tan 60tan 145tan 60tan 4560tan 15tan 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin 1 :-=+-=︒︒+︒-︒=︒-︒=︒=︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=原式解点评：数值角三角式的化简，在变形过程中应注意产生特殊角,并设法将非特殊的三角函数值约掉或消掉．例3 已知△ABC 中的三内角A 、B 、C 成等差数列,且B C A cos 2cos 1cos 1-=+,求2cos C A -的值．思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到260C A B +=︒=,而22C A C A A -++=,22C A C A C --+=．取2C A -作为基本量，就找到了解决本题的突破口． 解：由已知,B ＝60°,A ＋C ＝120°则设,2α=-C A ,6022α+︒=-++=C A C A A .6022α-︒=--+=C A C A C()().43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211 60cos 160cos 1 cos 1cos 1222-=-=++-=-︒++︒=+αααααααααααCA 故 22cos 243cos cos 2-=-=-Bαα依题设有 ,cos cos :023224 2=-α+α整理得()().cos cos 032222=+α-α,cos 0322≠+α.cos 022=-α∴.C A cos 222=-故 点评：本题实际上是把题设等式看成一个方程,上述解法体现了方程思想的应用．例4 已知21cos cos ,31sin sin =--=-βαβα,α、β都是锐角，求tan （α－β）的值． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-21cos cos 31sin sin :βαβα由错解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=β+βα-α=β+βα-α②①得 412 912 2222cos cos cos cos sin sin sin sin()361322 =β-α-+cos ②得① ()7259cos =-∴βα 22πβαπ<-<-又()()721703cos 1sin 2±=--±=-∴βαβα ()()()591703cos sin tan ±=--=-βαβαβα故 点评:上述错解未挖掘出角的隐含条件．事实上，由于α、β为锐角，且031sin sin <-=-βα，可知α－β＜0，于是有02<-<-βαπ． ()591703 :-=β-αtan 正解. 小试牛刀 1、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( ）A.－21 B 。

三角函数的图象和性质变式1．三角函数图象变换： 将函数12cos()32y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？解：（1）先将函数cos y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），即可得到函数2cos y x =的图象；（2）再将函数2cos y x =上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数2cos 2y x =的图象；（3）再将函数2cos 2y x =的图象向右平移π8个单位，得到函数2cos(2)4y x π=-的图象．变式2：将函数12cos()26y x π=-的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 解：（1）先将函数12cos()26y x π=-图象上各点的纵坐标缩小为原来的12（横坐标不变），即可得到函数1cos()26y x π=-的图象； （2）再将函数1cos()26y x π=-上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数cos()6y x π=-的图象；（3）再将函数cos()6y x π=-的图象向右平移π6个单位，得到函数cos y x =的图象．变式3：将函数1sin(2)33y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数sin y x =的图像？解：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的 另解：（1）先将函数1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得到函数1sin 23y x =的图象；（2）再将函数1sin 23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数1sin 3y x =的图象； （3）再将函数1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数sin y x =的图象．2．三角函数性质求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合． (1) 34sin(2)23y x ππ=+； (2) 6sin(2.52)2y x =-++ 变式1：已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 答案选B 变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是（ ）A ．［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ） B ．［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ）C ．［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D ．［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）答案选A ．因为函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间．变式3：关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题：①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数；②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数；③存在ϕ，使f （x ）是奇函数；④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。

必修4第三章《三角恒等变换》教材分析与教学建议台州市教育局教研室 蒋荣清本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。

一、课标与大纲教学要求对比二、知识框图三、教材编写意图及特点1．三角恒等变换的学习以代数变换与同角三角函数式的变换的学习为基础，和其他数学变换一样，它包括变换的对象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素。

本章变换的对象要由只含一个角的三角函数式拓展为包含两个角的三角函数式，因此建立起一套包含两个角的三角函数式变换的公式就是本章的首要任务，也是3.1节的中心内容。

2．由于和、差、倍之间存在的关系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因此我们可以不必孤立地去一一推导这些公式，而只要推导出一个公式作为基础，再利用这种联系性，用逻辑推理的方法就可以得到其他公式。

选择哪个公式作为基础呢？过去的教材曾经进行过许多探索，其基本出发点都是努力使公式的证明过程尽量简明易懂，易于被学生所接受，这里由于向量工具已被引入，因此选择了两角差的余弦公式作为基础。

应当说，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度（尽管同时也失去了一些对学生进行数学思维训练的机会）。

另外，对于众多公式的推导顺序，也可以有多种不同的安排。

本章中先探索出了两角差的余弦公式 ，然后以它为基础，推导出其他公式，具体过程如下：αααβαβαβαβα222)()()()(,,T S C T S C C →→→→±±+-实际教学中，老师可以根据学生情况，对式的推导顺序作出自己的选择。

3．本章内容安排的一条明线是建立公式，学习变换，还有一条暗线就是发展推理能力和运算能力，并且发展能力的要求不仅体现在学习变换的对程之中，也体现在建立公式的过程之中。

1.3 二倍角的三角函数整体设计教学分析“二倍角的三角函数〞是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角〞关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具.通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律.通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α,β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验〞.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理. 三维目标1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，假设sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式. 推进新课 新知探究 提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α,β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？ ④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα吗？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化.教师再与学生一起集体订正黑板上的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ⇒sin2α=2sinαcosα〔S 2α〕; cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ⇒cos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α);tan(α+β)=a aa a a 2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=⇒-+ββ(T 2α). 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫作二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角〞专指“二倍角〞.教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫作倍角公式〔用多媒体演示〕.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角〞专指“二倍角〞,遇到“三倍角〞等名词时,“三〞字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠2πk +4π和α≠kπ+2π(k∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2α是4α的二倍,3α是23α的二倍,3α是6α的二倍，2π-α是4π-2α的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. 例如:sin2α=2sin 4αcos 4α,cos 3α=cos 26α-sin 26α等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4αcos 4α=2(2sin 4αcos 4α)=2sin 2α,40tan 240tan 2-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，2tan α=tan2α(1-tan 2α)等等.问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.假设sin2α=2sin α,那么2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=k π(k∈Z ). 假设cos2α=2cos α,那么2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去). 假设tan2α=2tan α,那么αα2tan 1tan 2-2tan α,∴tanα=0.结合tan α≠±1,∴α=k π(k∈Z ).解答：①—⑧〔略〕. 应用示例 思路1 例1tanα=21,求tan2α的值. 解:tan2α=34tan 2tan 22=-αα. 例2设α是第二象限角,cosα=-0.6,求sin2α,cos2α和tan2α的值. 解:因为α是第二象限角,所以sinα＞0,tanα＜0. 由于cosα=-0.6,故sinα=α2cos 1-=0.8. 可得sin2α=2sinα·cosα=-0.96,cos2α=2cos 2α-1=2×(-0.6)2-1=-0.28, tan2α=7242cos 2sin =αα.例3在△ABC 中,AB=AC=2BC(如图1),求角A 的正弦值.图1解:作AD⊥BC 于D,设∠BAD=θ,那么∠A=2θ. 因为BD=21BC=41AB, 所以sinθ=AB BD =41. 因为0＜2θ＜π,所以0＜θ＜2π, 于是cosθ=415, 故sinA=sin2θ=815. 4.要把半径为R 的半圆形木料截成长方形(如图2),应怎样截取,才能使长方形面积最大?图2解:如图2,设圆心为O,长方形面积为S,∠AOB=α,那么 AB=Rsin α,OB=Rcos α, S=(Rsin α)·2(Rcosα) =2R 2sin α·cosα =R 2sin2α.当si n2α取最大值,即sin2α=1时,截面面积最大.不难推出α=4π时,长方形截面面积最大,最大截面面积等于R 2.例5sin2α=135,4π＜α＜2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角〞是相对的这一换元思想.让学生体会“倍〞的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.此题中的条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成. 解:由4π＜α＜2π,得2π＜2α＜π. 又∵sin2α=135,∴cos2α=-α2sin 12-=-2)135(1-=-1312.于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(-1312)=-169120;cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=169119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)×119169=-119120.点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙,规X ，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点. 变式训练1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式=2615cos 15cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ . 点评：此题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(2007高考某某,某某卷,9)假设22)4sin(2cos -=-παα,那么cosα+sinα的值为() 2721C.21D.27 答案:C3.(2007高考某某卷,6)以下各式中,值为23的是() A.2sin15°-cos15°215°-sin 215° 215°-1215°+cos 215° 答案:B例6证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tanθ.活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1〞的代换，对“1〞的妙用大家深有体会，这里可否在“1〞上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨,鼓励.强调“1〞的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它. 证明:方法一:左边=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=++-+θθθθθθθθθθ=θθθθθθθθθθθθ2222cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos 1cos sin ++=+-+)cos (sin cos )sin sin(cos θθθθθ++=tanθ=右边,所以,原式成立. 方法二:左边=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos sin ++=-+++-+++ =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++θtan ==右边.所以，原式成立. 方法三:左边=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+•++--•++=++-+=)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =θθθθθθθθθθθθθθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin )sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin •+•+=-+++-+++ =tanθ=右边. 所以，原式成立.点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1〞的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规X 才是.思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.此题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式,并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式. 解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=16120sin 1620sin 20sin 16160sin 20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233===••.点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值. 解：方法一:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =⨯=A A , tanA=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A , 又tanB=2, 所以tan2B=342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B . 于是tan(2A+2B)=11744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A .方法二:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =⨯=A A .又tanB=2, 所以tan(A+B)=2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A . 于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)] =11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A . 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野. 变式训练1.(2007某某某某)设向量a =(cosα,21)的模为22,那么cos2α等于…()4121C.21D.23解析:由|a |=41cos 2+α=22,得cos 2α+41=21,cos 2α=41,∴cos2α=2cos 2α-1=2×41-1=-21. 答案:B 2.化简：αααα4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++.解：原式＝)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 22cos 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 222αααααααααααα++=++ =cot2α.知能训练(2007某某卷,17)cosα=71,cos(α-β)=1413,且0＜β＜α＜2π, (1)求tan2α的值; (2)求β. 解:(1)由cosα=71,0＜α＜2π,得sinα=734)71(1cos 122=-=-α. ∴tanα=3471734cos sin =⨯=αα.于是tan2α=.4738)34(1342tan 1tan 222-=-⨯=-αα (2)由0＜β＜α＜2π,得0＜α-β＜2π. 又∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=1433)1413(1)(cos 122=-=--βα. 由β=α-(β-α),得cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=71×1413+734×211433=.∴β=3π. 点评:此题主要考查三角恒等变形的主要基本公式,三角函数值的符号,三角函数值求角以及计算能力. 作业课本习题3—2 A 组1—4. 课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规X 解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.设计感想1.新课改的核心理念是：以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分表达了“学生主体、主动探索、培养能力〞的新课改理念，表达“活动、开放、综合〞的创新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深地留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程还是比较流畅的.2.纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用〞的探索创新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣.第2课时导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用倍角公式进行了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式,并用它来解决一些三角函数式的化简,求值等.思路2.先让学生写出上节课学习的二倍角公式,接着出示课本例5让学生探究,由此展开新课.推进新课 新知探究 提出问题 ①α与2α有什么关系? ②如何建立cosα与sin22α之间的关系？ ③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？ ④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin 22α,将公式中的α用2α代替,解出sin22α即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2α的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2α代替α,即得cosα=1-2sin 22α, 所以sin 22α=2cos 1α-① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2α代替α,即得cosα=2cos 22α-1, 所以cos 22α=2cos 1α+.② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan22α=ααcos 1cos 1+-③ 又根据正切函数的定义,得到tanαααααααααcos 1sin 2cos 22cos 2cos22sin2cos 2sin 2+=••==;④tanαααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin22sin2cos2sin 2-=••==.⑤这样我们就得到另外两个公式: tanαααcos 1sin 2+=;tan αααsin cos 12-=.以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式,称之为半角公式. 在这些公式中,根号前面的符号由2α所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果2α所在象限无法确定,那么应保留根号前面的正,负两个符号.教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出以下特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式〞转化为右式的“一次式〞(即用此式可达到“降次〞的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.讨论结果：①α是2α的二倍角. ②sin 22α=2cos 1α-. ③④略(见活动〕.应用示例思路1例1cosα=257,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 活动：此题考查半角公式的应用，利用半角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:sin2α=±53225712cos 1±=-±=-α, cos2α=±54225712cos 1±=+±=+α, tan 2α=4354532cos2sin±=±=αα. 点评：此题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练(2005东城)θ为第二象限角,sin(π-θ)=2524,那么cos 2θ的值为() A.53B.54C.±53D.±54解析:∵sin(π-θ)=2524∴sinθ=2524. 又θ为第二象限角, ∴cosθ=-257,cosθ=2cos 22θ-1, 而2θ在第一,三象限, ∴cos 2θ=±53.答案:C 例2sin2α=-1312,π＜2α＜23π,求tanα.解:因为π＜2α＜23π,故2π＜α＜43π,α是2α的一半,运用半角公式,有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a , 所以tanα=23131213512sin 2cos 1-=-+=-αα. 例3sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b==(a-b)=+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化,提升学生的运算,化简能力及整体代换思想.此题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中. 解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41, ∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=21(1+83)=1611. 点评：此题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练(2007高考某某卷,12) sinθ+cosθ=51,且2π≤θ≤43π,那么cos2θ的值是___________. 答案:-257例4B A B A 2424sin sin cos cos +=1,求证:A B A B 2424sin sin cos cos +=1. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换. 证法一:∵B AB A 2424sin sin cos cos +=1,∴cos 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos 2B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B. ∴AB A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B+sin 2B=1. 证法二:令BA 22sin cos =cos α,B Asin sin 2=sinα, 那么cos 2A=cosBcosα,sin 2A=sinBsinα.两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2kπ(k∈Z ),即B=2kπ+α(k∈Z ). ∴cosα=cosB,sinα=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 变式训练在锐角△ABC 中,A,B,C 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S ＜1. 证明:∵S=B A B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++ 又A+B ＞90°,∴90°＞A ＞90°-B ＞0°. ∴tanA＞tan(90°-B)=cotB ＞0. ∴tanA·tanB＞1.∴S＜1.思路2例1sin2 010°=-21,求sin1 005°,cos1 005°,tan1 005°的值. 解:因为2 010°=5×360°+210°是第三象限的角, 所以cos2 010°=-232010sin 12-=- . 又1 005°=2×360°+285°是第四象限的角,所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=-, cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+, tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-=. 例2证明x x cos sin 1+=tan(24x+π). 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(24x +π)=2sin 2cos 2sin2cos 2sin 4sin 2cos 4cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()24sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos2x +sin 2x,得 x x x x x x xx cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos2+=-++.方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(coscos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+. 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos 2x,得 )24tan(2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x x x x x +=-+=-+πππ 点评：此题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 变式训练 α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sinαcosα=sin2β,② ①2+②2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91 ∵α∈(0,2π),∴sinα=31.∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin 2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin 2α+cos 2α)=3×31=1.∵α,β∈(0,2π), ∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α, 3sin2α-2sin2β=0sin2β=23πsin2α=3sin αcos α,∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sinαcos α=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由3sin 2α=cos2β,23πsin2α=sin2β,两式相除,得tan α=cot2β,∴tanα=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tanα＞0.∴tan(2π-2β)＞0.又∵β∈(0,2π),∴-2π＜2π-2β＜2π.结合tan(2π-2β)＞0,得0＜2π-2β＜2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例3求证:aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+.活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简〞的原那么,另外“化弦为切〞与“化切为弦〞也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==βββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边.∴原式成立.点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ.证明:原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ.而上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边.∴上式成立,即原等式得证.知能训练 1.假设sinα=135,α在第二象限,那么tan 2α的值为() B.-5C.5151 2.设5π＜θ＜6π,cos 2θ=α,那么sin 4θ等于() A.21a + B.21a -21a +21a- 3.sinθ=-53,3π＜θ＜27π,那么tan 2θ=__________________.答案:课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业课本习题3—2A 组5—11,B 组1—5.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式,积化和差,和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.备课资料备用习题1.cosα=135(23π＜α＜2π),那么tan 2a 等于() A.32B.2323322.α为钝角,β为锐角,且sinα=54,sinβ=1312,那么cos 2βα-等于() B.-7C.-65657 D.65657 3.(2005某某,10)假设sin(6π-α)=31,那么cos(32π+2α)等于()9731C.31D.974.(2006崇文)θ是第二象限角,sinθ=54,那么tan(2θ-4π)的值为() 31C.3134参考答案: 由23π＜α＜2π可知,角α是第四象限的角, ∴sinα=-1312)135(1cos 122-=--=-α. ∴tan 3213121351sin cos 12-=--=-=ααα. 2.D 由,得cosα=-53,cosβ=135. 于是cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ =-653313125413553=⨯+⨯. ∵α为钝角,β为锐角,∴2βα-为锐角.∴cos2βα-=6565721653321)cos(=+=+-βα.cos(32π+2α)=cos［π-2(6π+α)］=-cos ［2(6π+α)］=2sin 2(6π-α)-1=-97.由sinθ=54,cosθ=-53,∴tan(2θ-4π)=tan 21(θ-2θ)=31sin 1cos )2cos(1)2sin(=+-=-+-θθπθπθ.。