高考文科数学一轮复习选修不等式选讲第二节证明不等式的基本方法课件

a
b)2
,开方即得
( c d)2
a b c d.
(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性
与充分性来证明.
【规范解答】(1)因为 (
【加固训练】 1.求证:a2+b2≥ab+a+b-1. 【证明】因为(a2+b2)-(ab+a+b-1) =a2+b2-ab-a-b+1 = (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)
1 2
= 1 [(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)] 2
= 1 [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0. 所2以a2+b2≥ab+a+b-1.
第二节 证明不等式的基本方法
【知识梳理】 1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法 和作商比较法两种.
名称
理论 依据
作差比较法
a>b⇔_a_-_b_>0__ a<b⇔_a_-_b_<0__ a=b⇔_a_-_b_=0__
作商比较法
b>0,
a b
>1⇒a>b
b<0, a >1⇒a<b
定义
定理
性质等,经过一系列的_____、_____而得出命题成立,
推理 论证 这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由
因导果法.
顺推证法
3.分析法
证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立的 要证的结论
_________,直至所需条件为_________或_____________

选修4－5 不等式选讲
第2讲 证明不等式的基本方法
考纲展示
三年高考总结
从近三年高考情况来看，不等式的证明是高考中的
了解证明不等式的基本方法：比较法、综
一个热点，题目以不等式的性质为基础来考查不等
合法、分析法，并能用它们证明一些简单
式的相关证明，题型以解答题为主，解题时注意比
不等式.
较法、分析法、综合法的应用.
，简化不等式，从而达到证明的目
的，我们把这种方法称为放缩法．
4．三个正数的算术-几何平均不等式
(1)定理 如果 a，b，c∈R＋那么a＋3b＋c ≥ 3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．即三个正数
a＋b＋c
3
的算术平均
3 不小于它们的几何平均 abc
.
(2)基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均数 不小于 它们的几何平均数，即a1＋a2＋n …＋an ≥
比较法证明不等式的方法与步骤 1．作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的一般步骤 ①作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差； ②变形：将差式进行变形，化简为一个常数，或通分，因式分解变形为若干个因式的积， 或配方变形为一个或几个平方和等； ③判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号； ④结论：肯定不等式成立的结论． (2)作差比较法的应用范围 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．
2．若 n>0，则 n＋3n22的最小值为(
)
A．2
B．4
C．6
D．8
解析 成立)．
根据算术-几何平均不等式可得 n＋3n22＝n2＋n2＋3n22≥3× 3 12×12×32＝6(当且仅当 n＝4 时“＝”

第十四章
不等式选讲
第2课时
不等式的证明
考纲下载 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩 法、数学归纳法． 请注意！ 不等式的证明是中学数学的难点，主要考查比较法和综合法， 而比较法多用作差比较， 综合法主要涉及基本不等式和不等式的性 质，多属中档题．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1．比较法 (1)作差比较法
■ ·考点自测· ■ 1. [2012·辽宁模拟]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s 与t的大小关系是( A．s≥t C．s≤t ) B．s>t D．s<t
答案：A
解析：∵s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b －1)2≥0，∴使|a|＋|b|>1成立的一 个充分不必要条件是( A．|a＋b|≥1 C．b<－1 ) 1 1 B．|a|≥ 且|b|≥ 2 2 D．a≥1
答案：C
解析：由于A、B、D均可推导得|a|＋|b|≥1，仅C答 案由b<－1得|b|>1，即得|a|＋|b|≥|b|>1，但由|a|＋|b|>1， 推不出b<－1，故b<－1是|a|＋|b|>1成立的充分不必要条 件，应选C.
x y z 3．P＝ ＋ ＋ (x>0，y>0，z>0)与3的大 x＋1 y＋1 z＋1 小关系是( A．P≥3 C．P<3 ) B．P＝3 D．P>3
a b a 2 a b＝a 证明： b 2 ＝(b) 2 ， （ab） 2
ab
a b
a－ b
b－ a
－
＋
aab 当a＝b时，( ) 2 ＝1. b
－
a－ b a a a2b 当a>b>0时，b>1， >0，则(b) >1. 2

(2)由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，所以 5(m2＋n2)≥52 即 m2＋n2≥5，所以 m2＋n2的最小值为 5.
考向 反证法证明不等式 例 3 [2015·湖南高考]设 a>0，b>0，且 a＋b＝1a＋1b.证 明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2 与 b2＋b<2 不可能同时成立． [证明] 由 a＋b＝1a＋1b＝a＋ abb，a>0，b>0，得 ab＝1. (1)由基本不等式及 ab＝1， 有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2， 当且仅当 a＝b＝1 时等号成立．
(2)假设 a2＋a<2 与 b2＋b<2 同时成立，则由 a2＋a<2 及 a>0，得 0<a<1；同理，0<b<1，从而 ab<1，这与 ab＝1 矛盾．故 a2＋a<2 与 b2＋b<2 不可能同时成立．
触类旁通 对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不 是”“至多”“至少”等问题，一般用反证法．其一般步骤 是反设→推理→得出矛盾→肯定原结论．
提醒 用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地 作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而 不是充要条件．
【变式训练 2】 柯西不等式是大数学家柯西在研究数 学分析中的“流数”问题时得到的，柯西不等式是指：对任 意实数 ai，bi(i＝1,2，…，n)，有(a1b1＋a2b2＋…anbn)2≤(a21＋ a22＋…a2n)(b21＋b22＋…b2n)，当且仅当 ai＝kbi(i＝1,2，…n)时， 等号成立．
(2)证明：证法一：因为 f(ab)＝|ab＋1|＝|(ab＋b)＋(1－ b)|≥|ab＋b|－|1－b|＝|b||a＋1|－|1－b|.

分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实 质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要 搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思 路，用综合法书写证题过程．
2.设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，
求证1＋1≥ ab
4.
证明： 由 3是 3a 与 3b 的等比中项得 3a·3b＝3，
[证明] 因为 a，b，c 为正实数，由基本不等式可得a13＋b13＋c13 ≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
当且仅当a13＝b13＝c13，即 a＝b＝c 时，等号成立，所以a13＋b13
＋c13
＋
abc≥ 3 ＋ abc
abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 当且仅当a3bc＝abc，即 abc＝ 3时，等号成立， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
选修4-5 不等式选讲
第2讲 不等式的证明
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立． 定理 2：如果 a、b 为正数，则a＋b≥ ab，当且仅当 a＝b
2 时，等号成立．
定理 3：如果 a、b、c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅 当 a＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…， an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
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2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法 等．

选修4—5
不等式选讲
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤
时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤
(a-b)(b-c)≥0
时,等号成立.
5
|a|+|b|
,当且仅当_______
-22考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.
(1)若m=1,求函数f(x)的值域;
(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,即函数f(x)的值域为[-3,3].
(3)柯西不等式的向量情势:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且
仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1,
|| + |-1| = 1.

[答案] C
2．(2018·聊城模拟)下列四个不等式：①logx10＋lg x≥2(x>1)；
②|a－b|<|a|＋|b|；③ba＋ab≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒
成立的个数是( )
A．g x＝lg1x＋lg x≥2(x>1)，①正确． ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确； 因为 ab≠0，ba与ab同号， 所以ba＋ab＝ba＋ab≥2，③正确； 由|x－1|＋|x－2|的几何意义知， |x－1|＋|x－2|≥1 恒成立，④也正确， 综上①③④正确． [答案] C
2．综合法与分析法 (1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、 定理、性质等，经过 推理论证 而得出命题成立，综合法又叫顺推 证法或由因导果法． (2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成 立的 充分条件 ，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．这 是一种 执果索因 的思考和证明方法．
④柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…， bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋ anbn)2，当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i ＝1,2，…，n)时，等号成立．
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3a＋4 b2(a＋b)＝2＋3a＋4 b3， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
方法感悟 (1)利用综合法证明不等式时，常用的不等式有①a2≥0；②|a|≥0； ③a2＋b2≥2ab；它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，a2＋2 b2≥a＋2 b2 等； ④a＋2 b≥ ab (a≥0，b≥0)，它的变形形式又有 a＋1a≥2(a＞0)，ba＋ ab≥2(ab＞0)，ba＋ab≤－2(ab＜0)等．

第11页
3. 证明不等式的方法
(1)比较法
①求差比较法
由a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证
明________即可，这种方法称为求差比较法．
②求商比较法
由a>b>0⇔
a b
>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明
a>b，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．
填一填：(1)3
31 (2)3 4
第17页
2．填一填：(1)
1 21
提示：∵1＝x＋2y＋
4z≤
x2＋y2＋z2 ·
1＋4＋16
，∴x2＋y2＋z2≥
1 21
，即x2＋y2＋z2
的最小值为211.
(2)[－5 2 ，5 2 ] 提示：∵(x2＋y2)[22＋(－1)2]≥(2x－
y)2，
∴－5 2≤2x－y≤5 2.
第24页
例2 已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋ 1a＋1b＋1c2≥6 3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
[审题视点] 因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥
3 3
abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明．
第25页
[证明] 因为a，b，c均为正数，
所以a2＋b2＋c2≥3(abc)23，
c的最大值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
答案：C
第41页
解析：( a＋ b＋ c)2＝(1× a＋1× b＋1× c)2≤(12＋ 12＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立． ∴( a＋ b＋ c)2≤3. 故 a＋ b＋ c的最大值为 3.

放缩法等．
A
9
对点自测
知识点一
基本不等式
1.若 0<a<b<1，则 a＋b,2 ab，a2＋b2,2ab 中最大的一个是 ________．
A
10
解析 ∵a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab. 又(a2＋b2)－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)． ∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)＋b(b－1)<0. ∴a2＋b2<a＋b.
由平均不等式可得a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3.
所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
A
16
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
答案 a＋b
A
11
2．已知 x，y∈R，且 xy＝1， 则1＋1x1＋1y的最小值为 ________．
解析 1＋1x1＋1y≥1＋ 1xy2＝4. 答案 4
A
12
知识点二
柯西不等式
3.已知 x，y，z 为正数，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2 的最小
值是__________．
解析 x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×13≥(1·x＋1·y＋ 1·z)2×13＝13.
A
19
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就 不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须 是明显的．

立．
所以 a3＋b3 的最小值为 4 2.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2 6 ab≥4 3.
由于 4 3>6，从而不存在 a，b，使得 2a＋3b＝6.
综合法证明不等式的技巧 综合法证明不等式，主要从目标式的结构特征探索思路．如 果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始，通过 “倒推”探索解题思路．
作差比较法证明不等式的步骤 (1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变 形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形 式，再结合不等式的性质判断出差的正负．
设 a，b 是非负实数，求证：a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
证明：由 a，b 是非负实数，作差得 a3＋b3－ ab(a2＋b2) ＝a2 a( a－ b)＋b2 b( b－ a) ＝( a－ b)(( a)5－( b)5)． 当 a≥b 时， a≥ b，从而( a)5≥( b)5， 得( a－ b)(( a)5－( b)5)≥0； 当 a<b 时， a< b，从而( a)5<( b)5， 得( a－ b)(( a)5－( b)5)>0. 所以 a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成 立的 充分条件 ，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事 实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成 立．这是一种 执果索因 的思考和证明方法．
3．反证法 先假设要证的命题 不成立 ，以此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的 推理 ，得到和命题 的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论， 以说明假设 不正确 ，从而证明原命题成立，我们把它称为反证 法． 4．放缩法 证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大 或 缩小， 以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而 得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．