1.用Gauss 消去法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡-551631011411014211264321x x x x 解：第一步：交换第三行和第一行，得到如下矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤----⎢⎢⎢⎢⎣⎡-56153101111402411621做运算()22121E E E →⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，()33161E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-，()()441E E E →+，得到增广矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡0249525213237414210001 第二步：再做运算()3322E E E →+，()44221E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-，得到如下矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-----⎢⎢⎢⎢⎣⎡94295292113377400210001第三步：做运算()4433713E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+，得到 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡21342951919210377400210001利用回代公式求得.790576.0,361257.0,863874.0,115183.11234=-==-=x x x x2、解 2.51 1.48 4.531.480.93 1.302.68 3.041.48⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.051.030.53⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 做两次换行()()()()↔↔3132;E E E E 得2.683.04 1.42.511.48 4.531.480.931.30⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.051.03⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 计算()()()()-+→-+→1221330.93657;0.55224;E E E E E E2.683.04 1.481.3672 5.916100.748810.48269⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.3227⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算()()-+→2330.54770;E E E2.683.04 1.4801.36725.9161003.7229⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.0235⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 换行和消去到此结束，经回代计算得到x =()1.440360, 1.577963,0.27494T--3.用Doolittle 三角分解方法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----551631011411014211264321x x x x解：首先对系数矩阵A 做分解LUA =解出：解b y L=，计算出Ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=74213,521,1,6解y x U=，计算出()T x 115183.1,863874.0,361257.0,790576.0--=4.设][,ij n n a A R A =∈⨯,011≠a ，b Ax =经过高斯消去法一步后变为)2()2(b x A =，其中=)2(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡21110A a a T ，(2)A =()(2),2n ij i j a =为(n-1)⨯(n-1)矩阵.其元素为(2)ija =(1)ij a -(1)(1)11i j a a /(1)11a , ,i j =2,3, n. 证明：（1）若A 对称正定，则2A 是对称矩阵。
（2）若A 严格对角占优，则2A 也严格对角占优。
证明：（1）2A 中的元素满足),,3,2,(,1111n j i a a a a a j i ij ij=-='，又因为A 是对称阵，满足n j i a a ji ij ,,2,1,, ==，所以ji j i ji j i ij ij a a a a a a a a a a '=-=-='11111111，即2A 是对称矩阵。
而Gauss 消去法一步，A 由变换),,3,2(11n i r l r i i =-得到)2(A ，在变换下各阶顺序主式的值均不变，有0 0 )2()2(2)2(2)2(11)2()2(2)2(2)2(12112222ii i iiii i1ii a a a a a a a a a a a a==∆因为A 对称正定，0),,,3,2(011>=>∆a n i i ，所以2A 各阶顺序主子式也大于0，从而2A 正定。
（2）对n i ,,3,2 =有，（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+--≥'-'∑∑∑∑∑=≠=≠=≠=≠=nj ji n i j j ij ii n i j j n i j j j i ij i i ii nij j ijiia a a a a a a a aa a a a a a a 2111111122111111112)2()2(因为A 严格对角占优，ii a 和11a 分别大于第i 行和第1行非对角元素绝对值之和，所以上式大于0，故2A 也严格对角占优。
5.下列矩阵能否作Doolittle 分解，若能分解，那么分解是否唯一。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=764142321A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133122111B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=461561552621C 。
[解]因为A 的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A 不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。
因为B 的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B 不能分解为三角阵的乘积。
因为C 的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C 能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。
6.用平方根法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--103422484548416321x x x 解：TLL l l l l l l l l l l l l A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=33232231211133323122211100000022484548416⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=332021004L由b y L =得()T y 621-= 由y x L T=得Tx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=24497.把例2.1.1的方程组（电路网络问题）写成一个三对角方程组，并用追赶法或LU 分解法求解。
解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=-=--=+0275003205.5554323215454321i i i i i i i i i i i i i 转化为三对角方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=--=--=+0320027505.5555454343232121i i i i i i i i i i i i i 这样A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3-20001-1-10002-7-50001-1-100055，d =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00005.5,此时⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-==-=-=-=-=======0,1,2,1,53,1,7,1,52,1,5,1,0543215432154321c c c c c b b b b b a a a a a由追赶法公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-====--ni c l b u n i u a l b u i i i i i i i,...3,2,,...3,2,1111可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==-=-=-=-==2338,192,25,5123107,1923,219,2,5543254321l l l l u u u u u计算Ly=d ，由公式⎩⎨⎧=-==-n i y l d y d y i i i i ,...,3,2,111可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==2311195.525.51.15.554321y y y y y计算Ux=y ，由公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==+1,...,2,1),(11n n i x c y u x u y x i i i i i nn n 可得方程解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====6785.04215.0257.01542.01028.012345x x x x x8.解：因为A 是一个对称的正定的矩阵，将A 作Cholesky 分T LL A = 由矩阵乘法可以得到：11b l = ⑴n i m b l l a m i i i i i ,,2,,/211 =-==- ⑵由b Ly =得到()n i l y m d y l d y i i i i i ,,2,/,/1111 =-==-由y x L T = ,得到()1,,1,/,/11 -=-==++n i l y m y x l y x i i i i i n n n9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2021012a a A（1）若A 可以分解为T LL A =，试求a 的取值范围。
（2）若a=1,求矩阵L 。
解： (1) 若A 是对称的正定矩阵，则A 可以分解为T LL A = , 虽然A 对称，而1∆= 2>0，=∆2 3 >0, 3∆= 2(3-a)(3 +a) ,由△3 > 0,得3-< a<3所以，()3,3-∈a 时，A 为对称正定矩阵，从而A 可以分解为T LL (2)当a=1时，设A= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210221012 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231222111000l l l l l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3323221312110l l l l l l ， 由此推出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3/23/2002/32/1002L10、用追赶法解方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------000121001210012100124321x x x x解：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432001000100011000100010001u u u u l l l A ⇒21=u ， 112-=u l ⇒212-=l ， 222=+-u l ⇒232=u ，123-=u l ⇒323-=l ， ⇒=+-233u l 343=u ，⇒-=134u l 434-=l ， ⇒=+-244u l 454=u 。
所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=45000134000123000121430001320001210001A 由b y L =得Ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41,31,21,1由y x U =得Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=51,52,53,5411.已知A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1511，B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----210121012，试求∞)(A cond 和2)(B cond解：6||||=∞A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1511611A ，1||||1=∞-A ，6||||||||)(1==∴∞-∞A A A cond ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=541464145B B T ，165216)6()5(3232)6()5(541464145||232-+-=-------=-----=-λλλλλλλλλλλB B E T 3431.0,4,6569.11321===⇒λλλ或由4142.34081393＝＝）＝（＝得ｍａｘ２λB P B B B T =，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-432141211214321431B ，8284.52041189||||||||)(,7071.1577985)()(21221max 121=======----B B B cond B B P B λ。
