2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.5平行关系学案北师大版必修2

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：5．2 平行关系的性质知识点一直线与平面平行的性质定理[填一填][答一答]1．若直线a∥平面α，如何在平面α内找一条直线与a平行？提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a平行．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．3．一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？提示：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行．这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．知识点二平面与平面平行的性质[填一填][答一答]4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．5．如果α∥β，aα，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.6．若α∥β，aα，bβ，则a与b一定平行吗？为什么？提示：不一定，直线a，b可能平行，也可能异面．1．解读直线与平面平行的性质定理(1)作用：证明直线与直线平行．可简述为“若线面平行，则线线平行”．(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②平面α和β相交，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.以上三个条件缺一不可．2．对线面平行性质定理的两种解释(1)一条直线b与一个平面α平行，则过b的任何平面与α的交线都与直线b平行，即b可以和α内无数条直线平行．(2)一条直线b与一个平面α平行，则b不能与α内的所有直线平行，即在平面α内，除了与b平行的直线外，其余每条直线与b都是异面直线．3．对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．4．线与面、面与面平行性质定理的综合应用(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握．(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：类型一线面平行的性质定理【例1】求证：若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．【思路探究】要证线面平行，只需在已知平面内找到一条与这条直线平行的直线．可通过线面平行的性质去找与这条直线平行的直线．【证明】已知：如图所示，a∥b，a∥α，bα.求证：b∥α.证明：如图所示，过a作平面β，交平面α于直线c.∵a∥α，aβ，α∩β＝c，∴a∥c.又∵a∥b，∴b∥c.又∵cα，bα，∴b∥α.规律方法此命题可以当作直线与平面平行的性质使用，也可当作证明直线和平面平行的判定定理使用，在做解答题和证明题时，若使用它，则需写出此命题的证明过程，做选择题、填空题时可直接使用．如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PMMA 的值．解：如右图，连接BD 交AC 于点O 1，连接OM ，因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OCAC，在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点， 所以OC O 1C ＝12.又AO 1＝CO 1，所以PM P A ＝OC AC ＝14，故PMMA ＝13.类型二 面面平行的性质【例2】 如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．【解】 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.规律方法 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．解：(1)若AB ∩CD ＝S 位于平面α，β中间[如下图(1)]，连接AC ，BD . ∵AB ∩CD ＝S ，∴AB ，CD 确定平面γ. ∵γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， ∴AC ∥BD ，∴△ACS ∽△BDS ，∴CS DS ＝AS BS ，即CS 34－CS ＝89，解得CS ＝16.(2)当AB ∩CD ＝S 位于平面α，β同侧[如上图(2)]， ∵AB ∩CD ＝S ，∴AB ，CD 确定平面γ. ∵γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， ∴AC ∥BD ，∴△SCA ∽△SDB ，∴SA SB ＝SC SD ，即89＝SC SC ＋34，解得SC ＝272.综上可知，CS 的长为16或272. 类型三 平行的相互转化【例3】 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有点E ，F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .【思路探究】 要证EF ∥平面ABCD ，需在平面ABCD 内寻找一条直线与EF 平行，而平面ABCD 内现有的直线与EF 均不平行，所以要设法将需要的直线作出来．【证明】 证法一：如图1所示，分别过E ，F 作EM ∥BB 1，FN ∥CC 1分别交AB ，BC 于点M ，N ，连接MN .∵BB 1∥CC 1，∴EM ∥FN .∵B 1E ＝C 1F ，AB 1＝BC 1，∴AE ＝BF . 由EM ∥BB 1得AE AB 1＝EMBB 1，由FN ∥CC 1，得BF BC 1＝FNCC 1，∴EM ＝FN ，∴四边形EFNM 是平行四边形，∴EF ∥MN . 又∵MN 平面ABCD ，EF 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .证法二：如图1所示．过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ，则有B 1E B 1A ＝B 1GB 1B .又∵B 1E＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1GB 1B ，∴FG ∥B 1C 1∥BC .又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩CB ＝B ，∴平面EFG∥平面ABCD .又∵EF 平面EGF ，∴EF ∥平面ABCD .证法三：如图2所示．在平面BCC 1B 1内延长B 1F 交BC (或其延长线)于点P ，连接AP ，∵BP ∥B 1C 1，∴C 1F FB ＝B 1F FP.又∵B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ， ∴C 1F FB ＝B 1E EA ，∴B 1E EA ＝B 1F FP . ∴在△APB 1中，EF ∥AP . 又∵EF平面ABCD ，AP 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .规律方法 此题证明的关键是根据直线与平面平行的判定定理寻找平面ABCD 内与直线EF 平行的直线，本例的证明过程反映出解题中作辅助平面的重要性．如图所示，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE .证明：证法一：如图，作MP ∥AB 交BC 于P ，NQ ∥AB 交BE 于Q . ∴MP ∥NQ ，∵AM ＝FN ， ∴MP ＝22MC ＝22BN ＝NQ . ∴MP 綊NQ ，则四边形MNQP 为平行四边形，∴MN ∥PQ . ∵MN平面BCE ，PQ 平面BCE ，∴MN ∥平面BCE .证法二：如图所示，连接AN 并延长，交BE 的延长线于G ，连接CG ，∵AF ∥BG ，∴ANNG ＝FN NB ＝AMMC，∴MN ∥CG ，∵MN 平面BCE ，CG 平面BCE ，∴MN ∥平面BCE .类型四 平行关系的综合应用【例4】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .【思路探究】 作过MN 与平面ABB 1A 1平行的一个平面→ 证明该平面与平面ABB 1A 1平行→得结论【证明】 如图，作MP ∥BB 1，交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CPPB ，∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DN NB ，∴NP ∥CD ∥AB . ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∴MN ∥平面AA 1B 1B .规律方法 直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理．如图，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA ＝SB ＝SC ，SG 为△SAB 上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明．解：SG ∥平面DEF .证明：证法一：如图，连接CG交DE于点H，连接FH.∵DE是△ABC的中位线，∴DE ∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点．∵FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH平面DEF，∴SG∥平面DEF.证法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.类型五探索性问题【例5】如右图所示，要在呈空间四边形形状的撑架上安装一块矩形太阳能吸光板，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上．已知AC＝a，BD＝b，则E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？【思路探究】本题是空间线、面平行关系与实际问题相结合的条件开放性探索题，解题的关键是理解好题意，将线、面平行关系转化为二次函数模型求解．【解】使吸光板的吸光量最大，即要使得矩形的面积最大．设EH＝x，EF＝y，∵EH∥FG，EH平面ABD，F G⃘平面ABD，∴FG∥平面ABD.又FG平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，∴FG∥BD.同理可证EF ∥HG ∥AC . 则AE AB ＝EH BD ＝x b ，BE BA ＝EF AC ＝y a， 两式相加得AE AB ＋BE AB ＝x b ＋y a＝1，① 矩形EFGH 的面积S ＝xy ，②由①②得S ＝－a bx 2＋ax (0<x <b )， 当x ＝－a －2a b＝b 2时，S 取最大值，为ab 4，此时y ＝a 2. 故当E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AD 的中点时，吸光板的吸光量最大． 规律方法 解答这类问题的思路是：把结论看成已知进行逆推，探索结论成立所需的条件．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD＝90°，P A ＝BC ＝12AD ，在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定点E 的位置，若不存在，请说明理由．解：在棱PD 上存在一点E ，使CE ∥平面P AB .如图，过点C 作CF ∥AB 交AD 于点F ，过点F 作EF ∥AP 交PD 于点E ，连接CE . ∵CF ∥AB ，EF ∥P A ，CF ∩EF ＝F ，P A ∩AB ＝A ，∴平面EFC ∥平面P AB .又∵CE 平面EFC ，∴CE ∥平面P AB .∵BC ＝12AD ，AF ＝BC ，∴F 为AD 的中点， ∴E 为PD 的中点．故棱PD 上存在点E ，且E 为PD 的中点，使CE ∥平面P AB .——易错警示系列——证明平行关系因推理不严密致误【例6】 如右图所示，已知E ，F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1上的点，且AE ＝C 1F .求证：四边形EBFD 1是平行四边形．【错解】 因为平面A 1ADD 1∥平面B 1BCC 1，D 1E ＝平面A 1ADD 1∩平面BFD 1E ，BF ＝平面B 1BCC 1∩平面BFD 1E ，所以D 1E ∥FB .同理可得D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是平行四边形．【错因分析】 错解中盲目地认为E ，B ，F ，D 1四点共面，由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE ＝C 1F 也没有用到．【正解】 在棱BB 1上取一点G ，使得B 1G ＝C 1F ＝AE ，连接A 1G ，GF ，则GF 綊B 1C 1綊A 1D 1，所以四边形GFD 1A 1为平行四边形，所以A 1G 綊D 1F .因为A 1E ＝AA 1－AE ，BG ＝B 1B －B 1G ，所以A 1E 綊BG ，所以四边形EBGA 1为平行四边形，所以A 1G 綊EB ，所以D 1F 綊EB ，所以四边形EBFD 1为平行四边形．如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD .若AF ∥DE ，DE ＝3AF ，点M 在线段BD 上，且BM ＝13BD ，求证：AM ∥平面BEF .证明：延长EF 、DA 交于点G ，如图所示．因为AF ∥DE ，DE ＝3AF ，所以GA GD ＝AF DE ＝13， 因为BM ＝13BD ，所以BM BD ＝13，所以BM BD ＝GA GD ＝13， 所以AM ∥GB ，又AM 平面BEF ，GB 平面BEF ，所以AM ∥平面BEF .一、选择题1．如果直线a ∥平面α，b α，那么a 与b 的关系是( B )A ．相交B ．不相交C ．平行D ．异面解析：a 与b 平行或异面，但不能相交．2．若直线a ∥平面α，直线b ⊥直线a ，则直线b 与平面α的位置关系是( D )A ．b ∥αB ．b αC ．b 与α相交D ．以上均有可能解析：b 与α的位置关系是平行、相交或在α内．3．若不在同一直线上的三点A ，B ，C 到平面α的距离相等，则( B )A ．平面α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于平面αC ．△ABC 中至多有两边平行于平面αD ．△ABC 中只可能有一边与平面α相交解析：若三点在平面α的同侧，则平面α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于平面α.应选B.4．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的( C )A ．一个侧面平行B ．底面平行C ．仅一条棱平行D ．某两条相对的棱都平行解析：当平面α∥某一平面时，截面为三角形，故A、B错．当平面α∥SA时，如右图截面是四边形DEFG，又SA平面SAB，平面SAB∩α＝DG，∴SA∥DG，同理SA∥EF.∴DG∥EF.同理当α∥BC时，GF∥DE.∵截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行．故选C.二、填空题5.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是平行四边形．解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1C1C∩平面ABCD＝BC，平面BB1C1C∩平面A1B1C1D1＝B1C1，∴BC∥B1C1.同理AB∥A1B1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．三、解答题6.已知如右图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接MO.∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴MO∥P A.又MO平面BDM，P A平面BDM，∴P A∥平面BDM. 又∵平面BDM∩平面P AG＝GH，P A平面P AG，∴P A∥GH.结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

5.2 平行关系的性质1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题.(重点)2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.(难点)3.综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P 32“练习”以下至P 33“例4”以上部分，完成下列问题.aα∩如图1­5­19所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )图1­5­19A.平行B.相交C.异面D.不确定 【解析】 ∵EH ∥FG ，EH ⊆/平面BCD ，FG 平面BCD ，∴EH ∥平面BCD ，∵EH平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴EH ∥BD . 【答案】 A教材整理2 面面平行的性质定理阅读教材P 33“练习1”以下至P 34“练习2”以上部分，完成下列问题.六棱柱的两底面为α和β，且A ∈α，B ∈α，C ∈β，D ∈β，且AD ∥BC ，则AB 与CD的位置关系为__________.【解析】 ∵AD ∥BC ，∴A ，B ，C ，D 共面，设为γ，由题意知，α∩γ＝AB ，β∩γ＝CD ，又α∥β， ∴AB ∥CD . 【答案】 平行[小组合作型]如图11111B 1，D 1C 1上的点，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ，求证：FG ∥平面ADD 1A 1.【导学号：39292030】图1­5­20【精彩点拨】 从图形上看，若我们能设法证明FG ∥A 1D 1即可证明FG ∥平面ADD 1A 1. 【自主解答】 因为EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，EH ⊆/平面BCC 1B 1，B 1C 1平面BCC 1B 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1.又平面FGHE ∩平面BCC 1B 1＝FG ， 所以EH ∥FG ，即FG ∥A 1D 1.又FG⊆/平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.1.直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行.2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”.[再练一题]1.如图1­5­21所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.图1­5­21(1)求证：AC＝BD；(2)满足什么条件时，四边形ABDC为正方形？【解】(1)证明：如图所示，连接CD，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，又∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC＝BD.(2)由(1)知ABDC为平行四边形，所以当AB＝AC且AB⊥AC时，四边形ABDC为正方形.如图1­5­22，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图1­5­22(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长.【精彩点拨】 由PB 与PD 相交于点P ，可知PB ，PD 确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.【自主解答】 (1)证明：∵PB ∩PD ＝P ， ∴直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . 又α∥β，∴AC ∥BD . (2)由(1)，得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PCCD，∴45＝3CD ，∴CD ＝154(cm)， ∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm).1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论.2.面面平行的性质定理的本质：化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行.[再练一题]2.已知α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34，求当S 在α，β之间时SC 的长.【解】 如图所示.∵AB 与CD 相交于S ，∴AB ，CD 可确定平面γ，且α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . ∵α∥β，∴AC ∥BD ，∴SA SB ＝SC SD ，∴SA SA ＋SB ＝SC CD ，即SC 34＝817，解得SC ＝16.[探究共研型]探究1 如图1­5­23所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l，直线l与直线BC平行吗？请说明理由.图1­5­23【提示】法一：平行.因为BC∥AD，BC⊆/平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.法二：连接CM，并延长交AD于Q，连接PQ，由AD∥BC，且AM＝BM，得QM＝CM又PN＝CN，则MN是△CPQ的中位线，所以MN∥PQ，又MN⊆/平面PAD，PQ平面PAD，则MN∥平面PAD.探究2 上述问题中条件不变，试判断MN与平面PAD是否平行，并证明你的结论.【提示】平行.取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，MN⊆/平面PAD，AE平面PAD，所以MN∥平面PAD.如图1­5­24所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.图1­5­24【精彩点拨】连接AC交BD于O，连接MO→MO是△PAC的中位线→PA∥MO→PA∥平面BMD→PA∥GH→GH∥平面PAD【自主解答】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊆/平面BDM，OM平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA平面PAD，GH⊆/平面PAD，∴GH∥平面PAD.1.本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化.2.空间平行关系的转化图：[再练一题]3.如图1­5­25，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.图1­5­25【证明】由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊆/平面BCD，GH平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF 平面EFGH ，CD ⊆/平面EFGH ，∴CD ∥平面EFGH .1.已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( ) A.α∩β＝a ，bα⇒a ∥bB.α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC.a ∥β，b ∥β，aα，bα⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b 【解析】 由面面平行的性质定理知D 正确. 【答案】 D2.若平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A.不一定存在与a 平行的直线B.只有两条与a 平行C.存在无数多条直线与a 平行D.存在唯一一条直线与a 平行【解析】 设点B 与直线a 确定一平面为γ，γ∩β＝b ， ∴a ∥b . 【答案】 D3.已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则a 与β的位置关系为________. 【解析】 若aβ，则显然满足题目条件.若a ⊆/β，过直线a 作平面γ，γ∩α＝b ，γ∩β＝c ，于是由直线a ∥平面α得a ∥b ，由α∥β得b ∥c ，所以a ∥c ，又a ⊆/β，cβ，所以a ∥β.【答案】 aβ或a ∥β4.过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________.【解析】 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝ACBD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.【答案】 125.如图1­5­26，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝2，DD 1＝AB ＝1，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点.求证：AC ∥平面BPQ .【导学号：39292031】图1­5­26【证明】连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，CD1⊆/平面BPQ，∴PQ∥CD∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1⊆/平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.。

5.2 平行关系的性质学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．知识点一直线与平面平行的性质思考1 如图，直线l∥平面α，直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线．思考2 如图，直线a∥平面α，直线a平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个，a∥b.梳理性质定理a∥α，aβ，α∩β＝b⇒a∥b知识点二平面与平面平行的性质观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的．思考2 若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？答案不一定，也可能异面．思考3 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行．梳理性质定理知识点三平行关系的相互转化1．若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．( ×) 2．若平面α∥平面β，l平面β，m平面α，则l∥m.( ×)3．夹在两平行平面的平行线段相等．( √)类型一线面平行的性质定理的应用例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明 连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 又∵AP ⊈平面BDM ，OM 平面BDM ， ∴AP ∥平面BDM .又∵AP 平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH . 引申探究如图，在三棱锥P －ABQ 中，E ，F ，C ，D 分别是PA ，PB ，QB ，QA 的中点，平面PCD ∩平面QEF ＝GH .求证：AB ∥GH .证明 因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB . 所以EF ∥DC .又EF ⊈平面PCD ，DC 平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD . 又EF 平面EFQ ， 平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH . 反思与感悟 线∥面线面平行的性质线面平行的判定线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．跟踪训练1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段FE 的长度为________．考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长度 答案2解析 ∵EF ∥平面AB 1C ，又平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，EF 平面ADC ， ∴EF ∥AC ，∵E 是AD 的中点， ∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.类型二 面面平行的性质定理的应用例2 如图，平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．考点 平面与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长 解 设AB ，CD 都在平面γ上，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ， 所以△SAC ∽△SBD ， 所以SCSC ＋CD ＝SASB，即SC SC ＋34＝89， 所以SC ＝272. 引申探究若将本例改为：点S 在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS 的长．解 设AB ，CD 共面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD . 因为α∥β，所以AC 与BD 无公共点，所以AC ∥BD ， 所以△ACS ∽△BDS ，所以AS BS ＝CSDS. 设CS ＝x ，则x 34－x ＝89，所以x ＝16，即CS ＝16.反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如图所示，求证：AB BC ＝DEEF.考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算证明 如图，连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α，β分别相交于直线AD ，BG ，平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF .因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF . 于是，得AB BC ＝DG GC ，DG GC ＝DE EF ，所以AB BC ＝DEEF.类型三 平行关系的综合应用 命题角度1 由面面平行证明线面平行例3 设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：MP ∥平面β. 考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 证明 如图，过点A 作AE ∥CD 交平面β于点E ， 连接DE ，BE .∵AE ∥CD ，∴AE ，CD 确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE . 又α∥β，∴AC ∥DE ， 取AE 的中点N ，连接NP ，MN ， ∵M ，P 分别为AB ，CD 的中点， ∴NP ∥DE ，MN ∥BE .又NP ⊈β，DE β，MN ⊈β，BE β，∴NP ∥β，MN ∥β， ∵NP ∩MN ＝N ，∴平面MNP ∥β. ∵MP 平面MNP ，MP ⊈β，∴MP ∥β.反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN . 求证：MN ∥平面AA 1B 1B .考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB. ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN .∴CP PB ＝DN NB，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊈平面AA 1B 1B ，AB 平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊈平面AA 1B 1B ，BB 1平面AA 1B 1B ， ∴MP ∥平面AA 1B 1B ，又∵MP 平面MNP ，NP 平面MNP ，MP ∩NP ＝P ，∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN 平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B . 命题角度2 探索性问题例4 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积． 考点 题点解 能，如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1.∵平面A 1C 1∥平面AC ，平面A 1C ∩平面A 1C 1＝A 1N ，平面AC ∩平面A 1C ＝MC ， ∴A 1N ∥MC . 同理，A 1M ∥NC .∴四边形A 1MCN 是平行四边形． ∵C 1N ＝12C 1D 1＝12A 1B 1＝A 1P ，C 1N ∥A 1P ，∴四边形A 1PC 1N 是平行四边形， ∴A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1. 同理，A 1M ∥BP 且A 1M ＝BP . 又∵A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1.故过点A 1与截面PBC 1平行的截面是▱A 1MCN . 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H .由题意，易得A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝2 2. ∴MH ＝NH ＝2，∴A 1H ＝ 3. 故1A MCN S＝12A MN S ＝2×12×22×3＝2 6. 反思与感悟 在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．跟踪训练4 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题(1)证明因为BC∥AD，BC⊈平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)解平行．证明如下：如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE平面PAD，MN⊈平面PAD，所以MN∥平面PAD.1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 B解析∵EF∥平面ABC，而平面SBC∩平面ABC＝BC，EF平面SBC，∴EF∥BC.2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( ) A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．3．给出四种说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQα；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案①②③解析①正确，因为平面α与γ没有公共点；②正确，若直线a与平面β平行或直线aβ，则由平面α∥平面β，知aα或a与α无公共点，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．③正确，如图所示，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b，因为PQ ∥β，PQ γ.所以PQ ∥b ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a 与直线PQ 重合，因为a α，所以PQ α；④错误，若直线a ∥平面β，直线b ∥平面α，且α∥β，则a 与b 平行、相交和异面都有可能．4.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB ，AC 分别交平面α于点E ，F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝______.考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长度 答案 32解析 由于点A 不在直线a 上，则直线a 和点A 确定一个平面β，所以α∩β＝EF . 因为a ∥平面α，a 平面β，所以EF ∥a . 所以EF BC ＝AFAC.所以EF ＝AF ×BC AC ＝3×45＋3＝32. 5.如图，AB 是圆O 的直径 ，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，P 为平面ABC 外一点，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明．考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质证明平行问题 解 直线l ∥平面PAC . 证明如下：因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以EF ∥AC .又EF⊈平面ABC，且AC平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊈平面PAC，EF平面PAC，所以l∥平面PAC.1．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.一、选择题1.如图所示的三棱柱ABC—A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能考点平面与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题答案 B解析由面面平行的性质定理，可得DE∥A1B1，又A1B1∥AB，所以DE∥AB.2．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′.若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶5考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算 答案 B解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面PAB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴A ′B ′∥AB .同理B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ，从而易得△A ′B ′C ′∽△ABC ，且A ′B ′AB ＝PA ′PA ＝25， ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝425.3．如图，在四面体A －BCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 考点 题点 答案 C解析 ∵截面PQMN 为正方形，∴PQ ∥MN ，从而易得PQ ∥平面DAC .又∵平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，PQ 平面ABC ，∴PQ ∥AC .从而易得AC ∥平面PNMQ .同理可得QM ∥BD .又∵PQ ⊥QM ，∠PMQ ＝45°，∴AC ⊥BD ，且异面直线PM 与BD 所成的角为45°.故选项A ，B ，D 正确． 4．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，给出的下列说法中，正确的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β.A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 答案 B解析 只有①④正确．5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C ( ) A ．不共面B ．当且仅当A ，B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A ，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A ，B 如何移动，都共面 考点 平面与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 D解析 如图所示，A ′，B ′分别是A ，B 两点在α，β上运动后的两点，此时AB 中点C 变成A ′B ′的中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 的中点E .连接CE ，C ′E ，AA ′，BB ′，CC ′，则CE ∥AA ′，又CE ⊈平面α，AA ′平面α，∴CE ∥平面α. 又C ′E ∥BB ′，C ′E 平面β，BB ′平面β， ∴C ′E ∥平面β.又∵平面α∥平面β，C ′E ⊈平面α， ∴C ′E ∥平面α.∵C ′E ∩CE ＝E ，C ′E ，CE 平面CC ′E ， ∴平面CC ′E ∥平面α， ∴CC ′∥平面α.∴不论A ，B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与平面α，β平行的平面上． 6．设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( ) A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αB ．若m α，n β，m ∥β，n ∥α，则α∥βC ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥βD ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n β，则n ∥β 考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 答案 D解析 A 选项不正确，n 可能在平面α内，B 选项不正确，平面α可能与平面β相交；C 选项不正确，n 可能在平面β内；选项D 正确．7．如图，四棱锥S －ABCD 的所有的棱长都等于2，E 是SA 的中点，过C ，D ，E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 3C ．3＋2 3D ．2＋2 3考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长度 答案 C解析 ∵CD ∥AB ，CD ⊈平面SAB ，AB 平面SAB ， ∴CD ∥平面SAB .又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ，∴CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴AB ∥EF .∵SE ＝EA ，∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝1，又DE ＝CF ＝3，∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.8．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( ) A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点 考点 题点答案 D解析 ∵l ⊈α，∴l ∥α或l 与α相交．①若l ∥α，则由线面平行的性质定理可知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，…， ∴a ，b ，c ，…，这些交线都平行．②若l 与α相交，不妨设l ∩α＝A ，则A ∈l ，又由题意可知A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，∴这些交线交于同一点A . 综上可知D 正确． 二、填空题9．α，β，γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离是________． 考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算 答案 1或7解析 β与γ位于α的两侧时，β与γ间的距离是7；当β与γ位于α同侧时，β与γ间的距离是1.10．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长度 答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.11.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.考点 直线与平面平行的性质 题点 与性质有关的其他问题 答案 m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，GH ∥AC ， ∴EF ＝HG ＝m · BE BA， 同理EH ＝FG ＝n · AE AB. ∵四边形EFGH 是菱形， ∴m · BE BA ＝n · AE AB， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .12．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________． 考点 平面与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长 答案245或24 解析 如图①所示，∵AC ∩BD ＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD .∴PA AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD ，∴BD ＝245. 如图②所示，同理可证AB ∥CD ，∴PA PC ＝PBPD，即63＝BD －88，∴BD ＝24. 综上所述，BD 的长为245或24.三、解答题13．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F .求证：四边形BCFE 是梯形．考点 平行公理题点 判断、证明线线平行证明 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，因为AD 平面PAD ，BC 平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD .因为平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，BC 平面BCFE ， 所以BC ∥EF .因为AD ＝BC ，AD ≠EF ， 所以BC ≠EF ，所以四边形BCFE 是梯形． 四、探究与拓展14．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是( ) A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC 考点 直线与平面平行的性质 题点 与性质有关的其他问题 答案 D解析 由于BD ∥平面EFGH ，所以有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC . 15．如图所示，四边形EFGH 为四面体A －BCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB ∥平面EFGH ；(2)若AB⊥CD，求证：四边形EFGH为矩形．考点直线与平面平行的性质题点与性质有关的其他问题证明(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG平面ABD，EF⊈平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.又EF平面EFGH，AB⊈平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.(2)由(1)同理可证CD∥EH，∴∠FEH即是AB与CD所成的角．∵AB⊥CD，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH为矩形．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

平面与平面平行的判定
如图，已知四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四 边形，点 M，N，Q 分别在 PA，BD，PD 上，且 PM∶MA＝ BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面 MNQ∥平面 PBC.
[证明] 在△PAD 中，因为 PM∶MA＝PQ∶QD， 所以 MQ∥AD.又因为 AD∥BC，所以 MQ∥BC. 因为 MQ 平面 PBC，BC 平面 PBC， 所以 MQ∥平面 PBC. 在△PBD 中，因为 BN∶ND＝PQ∶QD， 所以 NQ∥PB.因为 NQ 平面 PBC，PB 平面 PBC， 所以 NQ∥平面 PBC. 因为 MQ∩NQ＝Q， 所以平面 MNQ∥平面 PBC.
[方法归纳] (1)直线与平面平行的判定定理的应用步骤 ①线与线平行； ②一条线在已知平面内； ③一条线在已知平面外． (2)中点的应用 在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径： ①中位线→线线平行； ②平行四边形→线线平行．
1.(1)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，AC∩BD＝O，E 为 PD 的 中点，则 EO 与平面 PBC 的位置关系为 _平__行_______________．
[方法归纳] 判定平面与平面平行的四种常用方法： (1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法． (2)利用判定定理证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个 线． (3)转化为线线平行：平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的 两条相交直线分别平行，则α ∥β . (4)利用平行平面的传递性：若 α∥β，β ∥γ ，则 α∥γ.
所以 G1G2＝23DE，
又 DE＝12AC，
所以 G1G2＝13AC， 同理 G3G2＝13AB，G1G3＝13BC. 所以△G1G2G3∽△ABC，且相似比为13， 所以 S△G1G2G3∶S△ABC＝1∶9.