初一整式的乘除培优讲义(优选.)

2018年七年级秋季培优讲义——整式专题一知识解读整式加减：1.代数式的概念代数式是用基本的运算符号运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方把数字或字母连接而成的式子;单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2.代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3.整式的加减1单项式：数与字母的积的代数式叫单项式;数字因数叫单项式的系数;所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.2多项式：几个单项式的和叫多项式;多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数;单项式的个数也就是多项式的基数.3单项式和多项式统称为整式.4同类项;两个单项式中;如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等;那么这两个单项式叫同类项.5整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项;合并同类项的法则是：把系数相加减;字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念;合并同类项;去括号以及整式加减运算等.整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础;也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础;同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础;归纳起来就是要注意以下几点：1.理解四式单项式、多项式、整式、n 次m 项式、三数系数、次数、项数和二项常数项、同类项2.掌握三个法则去括号法则、添括号法则、合并同类项法则.3.熟悉两种排列升幂排列、降幂排列.整式加减的一般步骤1.根据去括号法则去括号.2.合并同类项.例题精讲例11已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式;求mn . 2已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ;求abc .例21先化简;再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+;其中12x =-;y ＝2. 2已知4m n -=;1mn =-;求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值.例3已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式;当x ＝2时的值为－17;求当x ＝－2时;此多项式的值.例4已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关;求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.练1若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关;求代数式323222(42)a b a b ---的值.例5已知2234A x xy cy =-+;23B ax xy =-;222C x bxy y =-+;且23A B C x xy --=-+2y -;求a 、b 、c .例61当x ＝2时;代数式31ax bx -+的值等于－17;那么当x ＝－1时;求代数式31235ax bx --的值.2已知代数式3ax bx c ++;当x ＝0时的值为2;当x ＝3时的值为1;求当x ＝－3时代数式的值.3已知21x x +=;求432222012x x x x +--+的值.练2如果210a a +-=;求3222a a ++的值.例7倡导“节能减排”;鼓励居民节约用电.2012年7月1日起;湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度;方案如下：如：小明家3月份用电量为500度;则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=元.1若小华家4月份电量为100度;则应付费元;5月用电量为210度;则应付费元;6月份电量为450度;则应付费元；2若小华家7月份的用电量为x 度;请用x 表示应付的电费；3若小华家9月份已付电费177.9元;请你求出小华家9月份的用电量；4若小华家某月的电费为a 元;则小华家该月用电量属于第几档.例8观察下面有规律的三行单项式：x ; 22x ; 34x ; 48x ; 516x ; 632x ;……①2x -; 24x ; 38x -; 416x ; 532x -; 664x ;……②22x ; 33x -; 45x ; 59x -; 617x ; 733x -;……③1根据你发现的规律;第一行第8个单项式为；2第二行第n 个单项式为；3第三行第8个单项式为；第n 个单项式为；例9已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++是关于x 的恒等式;求1197531a a a a a a +++++的值.练3已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式;求24a a +的值.例101已知x ;y 为整数;且5|(9)x y +;求证：5|(87)x y +.2已知x 、y 、z 均为整数;且11|(725)x y z +-;求证：11|(3712)x y z -+.跟踪练习1.单项式3243x y z -的系数是;次数是. 2.已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式;单项式253n m x y -与该多项式次数相同;则mn ＝.3.4243527x x y xy ---是次项式;最高次项是;最高次项的系数是;常数项是.4.多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式;则m ＝;n ＝.5.已知133m x y +与42n mx y +-是同类项;则m ＝;n ＝;13423m n x y mx y ++-=.6.如果2(1)|2|0a b +++=;则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为. 7.已知两个多项式的和是2521x x -+;其中一个多项式是2235x x --;则另一个多项式是.8.电影院里第一排有a 个座位;后面每排都比前排多3个座位;则第10排有.9.某城市广场中央;有一如图阴影部分所示的花坛;其中四个长方形的长和宽都分别是a 米和b 米;重叠部分都是边长2米的正方形;圆的半径是r 米;则这个花坛的占地面积为.10.1化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；2化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；3已知多项式22911A x x =--;2354B x x =++;求(2)A B --.11.12323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--;其中a ＝－2；2若2|1||2|1a ab c -+-=-;且a 、b 、c 都为正整数;求65()2ab ab a b c ++--的值.12.已知m 、n 为正整数;单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式;①试求m 、n 的值；②当x＝－1;y ＝1时;求此单项式的值.13.已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项;求代数式2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+的值. 14.已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1;且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项;求m 的值.15.1多项式531ax bx ++;当x ＝2时;其值为－5;则x ＝－2时;该多项式的值为多少 2若241550x x +-=;求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.3若331x x -=;求432912372003x x x x +--+的值.4已知x ＝2时;多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3;则当x ＝－2时;求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16.武汉某服装厂生产一种夹克和T 恤;夹克每件售价80元;T 恤每件售价50元;厂方在开展促销活动期间;向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T 恤；②夹克和T 恤按定价的80%付款;现客户要向服装厂购买夹克50件;T 恤x 件x ＞50. 1若该客户按方案①购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示；若该客户按方案②购买;夹克需付款元;T 恤需付款元用含x 的式子表示；2若x ＝100;通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算3若两种优惠方案可同时使用;当x＝100时;你能给出一种更为省钱的购买方案吗试写出你的购买方案;并说明理由.17.观察下面的三个数列：①－1; ＋2; －3; ＋4; －5; ＋6;……②－3; 0; －5; ＋2; －7; ＋4;……③－2; ＋4; －6; ＋8; －10; ＋12;……1这三个数列的第n个数分别是；2在第一行中是否存在连续的三个数;使得和为－40 若存在;求出这三个数；若不存在;请说明理由；3是否存在这样的一列;使其中三个数的和为78 若存在;求出这三个数；若不存在;请说明理由.18.1已知a、b为整数;且10=+;如果17|(5)n a b-;请你证明：17|n.a b2已知一个三位数;它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数;证明：这个三位数也是11的倍数.。

整式的乘除知识梳理1.同底数幂的运算(1) 乘法: aᵐ⋅aⁿ=aᵐ⁺ⁿ,(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ,(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(其中m,n 都是正整数). 注意事项：①am⋅a′′=am+n区别加法aᵐ+aⁿ≠aᵐ⁺ⁿ(如2³+2²=12≠32=2⁵);②区分−aᵐ⋅aⁿ与((--a)" · a" ,-一个是积的符号，另一个是底数的符号；③推广(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ:[(aᵐ)ⁿ]ᵖ=aᵐⁿᵖ.(2)除法(将除法转化为乘法计算)：circle1a m÷a n=a m⋅1a n =a m−n=a m⋅a−n,由此我们还可以得到1a n=a−n;②a⁰=1,因为aᵐ÷a′′=1=a′m−m=a⁰.2.单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.3.多项式相乘(1)多项式与单项式相乘：利用分配律，用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.m(a+b+c)=ma+mb+mc(2)多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加.(a+b+c)(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce多项式乘法结束后，一般按照各项的次数高低进行排列.4.重要公式(1)平方差公式:a²−b²=(a+b)(a−b)(2)完全平方公式：(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²(a−b)²=(a−b)(a−b)=a²−2ab+b²典型例题例 1计算：(1)(−2x²)⋅(−3x²y³z)(2)−6x2y⋅(a−b)3⋅13xy2⋅(b−a)2(3)(−4ab3)⋅(−18ab)−(12ab2)2分析本题主要考查单项式的乘法运算和混合运算，乘法运算可以根据单项式与单项式的乘法法则进行.特别是第(3)题注意运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算减法.解 (1)原式: =(−2)⋅(−3)⋅x²⋅x²y³z=6x⁴y³z(2) 原式=−6x2y⋅13xy2⋅(a−b)3⋅(b−a)2=−6x2y⋅13xy2⋅(a−b)3⋅(a−b)2=−6⋅13⋅x2y⋅xy2⋅[(a−b)3⋅(a−b)2]=−2⋅x3y3⋅(a−b)5(3) 原式=(−4ab3)⋅(−18ab)−14a2b4=12a2b4−14a2b4=14a2b4例 2计算：(1)(x+1)(x²−1)(2)(x−y)(x²+x+y)分析本题考查的是多项式的乘法运算，可以根据多项式与多项式的乘法法则进行. 解 (1)原式=x³−x+x²−1=x³+x²−x−1(2) 原式=x³+x²+xy−x²y−xy−y²=x³−x²y+x²−y=:例 3计算：(1)(−13x+34y3)(−34y3−13x)(2)(2a²+b)(−2a²+b)分析本题主要考查平方差公式的运用.解(1) 原式=−(34y3−13x)(34y3+13x)=−(34y3)2+(13x)2=−916y6+19x3(2) 原式: =(b+2a²)(b−2a²)=b²−4a⁴双基训练1.下面是某同学在一次作业中的计算摘录：⑬a+2b=5ab;②4m³n−5mn³=−m³n;③4x³⋅(−2x²)=−6x³;④4a³b÷(−2a²b)=−2a;⑤(a³)²=a⁵;⑥(−a)³÷(−a)== -a²其中正确的个数有( ).A. 1个B.2个C.3 个D. 4个2.计算(x²−3x+n)(x²+mx+8)的结果中不含x²和 x³的项，则 m，n 的值分别为( ).A. m=3,n=1B. m=0,n=0C. m=-3,n=-9D. m=-3,n=83.下列分解因式不正确的是( ).A.x³−x=x(x²−1)B.m²+m−6=(m+3)(m−2)C.(a+4)(a−4)=a²−16D.x²+y²=(x+y)(x−y)4.我们约定a⊗b=10“×10”,如: 2⊗3=10²×10³=10⁵,,那么 4⊗8 为 ( ).A.32B. 10³²C.10¹²D. 12¹⁰5.下列各式是完全平方式的是( ).A.x2−x+14B.1+4x²C.a²+ab+b²D.x²+2x−16.如图18-1所示,矩形花园ABCD 中,AB=a,AD=b,花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RST K.若 LM=RS=c，则花园中可绿化部分的面积为( ).A.bc−ab+ac+b²B.a²+ab+bc−acC.ab−bc−ac+c²D.b²−bc+a²−ab7.如图18-2(a)所示，从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分裁剪后拼成一个矩形(如图18-2(b)所示)，上述操作所能验证的等式是( ).A.a²−b²=(a +b )(a −b )B.(a −b )²=a²−2ab +b²C.(a +b )²=a²+2ab +b²D.a²+ab =a (a +b )8.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A.a²+(−b )²B.5m²−20mnC.−x²−y²D.−x²+99.若 9x²+mxy +16y²是一个完全平方式，那么 m 的值是 .10.(23)2007×(1.5)2008÷(−1)2009=¯.11.分解因式: a²−1+b²−2ab =.12.如果((2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b 的值为 .13.把20厘米长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5平方厘米，则这两段铁丝分别长 .14. 多项式 9x²+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是 .15. 若 3x =12,3y =23,则 3ˣ⁻²ʸ等于 .16. 比较3⁵⁵⁵,4⁴⁴⁴,5³³³的大小: > > .17.计算.(1)(23a 2b)3÷(13ab 2)2×34a 3b 2(2)(x 4+3y)2−(x 4−3y)2(3)(2a-3b+1)²(4)(x²−2x −1)(x²+2x −1)18.化简求值: [(x +12y)2+(x −12y)2](2x 2−12y 2),其中 x =−3,y =4.19.已知实数x 满足x+1x =3,求x2+1x2的值.20.已知.A=2x+y,B=2x-y,计算A²−B².能力提升21.若x+y=2m+1, xy=1,且21x²−48xy+21y²=2010,则m= .22. 设(1+x)²(1−x)=a+bx+cx²+dx³,则。

教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间学 科数学课题名称整式的乘法知识模块Ⅰ:单项式与单项式相乘1.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.也可简单地写成：单项式单项式=（系数相乘）（同底数幂相乘）（单独字母的幂） 2.进行单项式乘法运算时，可按下面三个步骤进行： （1）系数相乘——确定系数（特别注意符号）. （2）相同字母相乘——底数不变，指数相加. （3）不同字母相乘——连同它的指数照搬下来. 3.进行单项式乘法运算时应注意：⨯⋅⋅整式的乘法（3）若，求m ，n 的值。

【答案】（4）一台计算机每秒可作3.75×10次运算，如果它连续工作了1小时40分钟，那么它作了多少次运算？【答案】知识模块Ⅱ:单项式与多项式相乘1.单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再 把所得的积相加.如或2.进行单项式与多项式乘法运算时应注意：（1）非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍为多项式；积的项数与所乘多项式的项数相同. （2）正确运用去括号法则来确定积中每一项的符号.（3）含有乘方、乘法、加减法的混合运算中，要注意运算顺序，还要注意合并同类项，得到最简结果.【例5】（1）______________ （2）____________（3）______________ （4）___________（5）_______（6）_______2m 221012-39n nx y y x x y x y x y ⎡⎤⎡⎤-+-⋅+=-+-⎣⎦⎣⎦（）（）-（）（）（）4125m n =⎧⎪⎨=⎪⎩10142.2510⨯()m a b c ma mb mc ⋅++=++().a b c m am bm cm ++⋅=++()32a b +⋅=()22232xy x y xy-=()22a a b c --=()24ab a ab b --=()2212a ab b a ab ⎛⎫--⋅⋅-= ⎪⎝⎭()22123x x xy y ⎛⎫-⋅--= ⎪⎝⎭【答案】（1）（2）（3）（4）【例10】已知：。

学科教师辅导讲义学员编号：年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师： 授课主题第03讲---整式的乘法与平方差公式 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题； ② 理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。

2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式如下： ()(,,,m a b c ma mb mc m a b c ++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b ++=+++都是单项式）（二）平方差公式体系搭建1、平方差公式：22()()a b a b a b-+=-，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

公式的推导：2222()()a b a b a ab ab b a b+-=-+-=-。

平方差公式的逆用即22()()a b a b a b-=-+平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。

（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。

2、平方差公式的几何意义如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。

整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．

1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式． 注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：2

2224245234312xyxyxyxyxy．

整式的乘法（一） 知识结构 模块一：单项式与单项式相乘 知识精讲

内容分析 2/ 11

【例1】 计算： （1）2445yy； （2）234163xyxy；

（3）2223623ababab．

【例2】 计算： （1）322233xyxyz； （2）2231263xxyyz；

（3）232232130.432xyxyxy．

【例3】 计算： （1）23243335453xyxyxyxy； （2）3222362325333xyzxyzxyzxy．

【例4】 已知：32327823530mnxyxyxyxy，求mn的值．

例题解析 【例5】 先化简，再求值：2333211222abbcabc，其中111abc，，． 1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：mabc=mambmc．

【例6】 计算： （1）2211313242xxx； （2）22232ababab ；

《整式的乘除》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：1nnaa -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、（春•南长）已知228xy +=，993y x -=，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解． 【答案与解析】 解：根据3(2)22xy +=，2933yx -=，列方程得：，解得：，则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．2、（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。

第一讲：幂、整式的运算知识点：复杂运算1、()()()()523a b b a a b b a m m -∙-∙-∙-+ 2、()()()()4589y x y x x y y x +÷--+-÷-知识点：逆运算1、已知2=m a ，5=n a ，求()n n m a53-+的值。

2、若3=m b ，8=n b ，求()n m m b --323的值。

3、若43=x ，63=y ，求y x y x ---+27912的值。

4、已知23=m a，32=m b ，求()()()m m m m b b a b a ∙-+32632的值。

知识点：整体思想1、已知3=++c b a ，求c a b a 32332333+--∙∙的值。

2、如果43=+b a ，求b a b a 33239273++÷⨯的值。

3、若232=--c b a ，则c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷8142的值是4、已知3=ab ，求()()b a b a b a 2432223-∙+-的值。

知识点：结合方程1、已知86221553-++=∙x x x ，求()()42312----x x x 的值。

2、已知2132793=⨯⨯m m ，求m 的值。

3、已知723921=-+n n ，求n 的值。

4、已知750255112=+++m m ，求m 的值。

5、已知122432-⨯=n m ，m n 93=，求mn 的值。

6、已知282+=y x ，939-=x y ，求y x 231+的值。

1、把552、443、335、226这四个数从小到大排列。

2、比较3332-，2223-，1115-的大小关系。

知识点：尾数问题1、已知201820162015732⨯⨯=N ，N 的个位数字是 。

2、已知()20173-=A ，()20188-=B ，求B A +的个位数字。

知识点：数量关系1、32=a ，62=b ，182=c，试求a 、b 、c 的数量关系。

第5课时 单项式与单项式相乘学习目标1．通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则． 2．会运用单项式相乘的法则进行计算 学习重点：单项式与单项式相乘的法则．学习难点：单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义 学习过程一、复习1．判断下列计算是否正确，如有错误加以改正．(1) 3510a a a ⋅= (2) 257a a a a ⋅⋅=；(3) 329()a a =；(4)22424(3)6ab a a b ⋅=． 2．计算：(1) 24101010⨯⨯＝( )；(2)34()()()a b a b a b +⋅+⋅+= ( )； (3)232(2)x y -= ( )． 单项式与单项式相乘， (1) []()2323343(2)3(2)()6x y xy x x y y x y ⋅-=⋅-⋅⋅⋅⋅=-．(2)[]23223225(5)(4)(5)(4)()20a b b c a b b c a b c-⋅-=-⨯-⋅⋅⋅⋅=．总结法则：单项式和单项式相乘，系数与系数相乘，相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．掌握了两个单项式相乘的情况，那么三个或三个以上的单项式相乘，你会不会计算呢?例、计算：322232(5)a b ab a b ⋅⋅-．单项式乘以单项式注意：①．积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a 3·3a 2=6a 5，而不要认为是6a 6或5a 5. ②．相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.③．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式. ④．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. ⑤．单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.单项式与单项式相乘，在实际生活和科学计算中有着非常重要的应用，尤其是在航天方面，因为它涉及的数据很大，因此经常要用到科学记数法和单项式相乘的法则．看下面的例子． 小资料：飞向太空要靠载人航天器，自前苏联宇航员加加林乘“东方1号”宇宙飞船首次游太空以来，39年间已有12人登上月球．载人航天器必须达到第一宇宙速度每秒7.9千米，才能围绕地球运转而不坠落至地．例题: 卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约7.9×103米／秒，则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少? 四、拓展延伸．1．3243mn mn -⋅； 2．2223(2)a c ab -⋅-；3．23(4)2x x y y ⋅-⋅；4．光速约为3×l08米／秒，太阳光射到地球上的时间约为5×102秒． 则地球与太阳的距离约为多少米?基础训练1.计算题：（1）21(2)()3xy xy ⋅ （2）23(2)(3)a b a -⋅- （3）54(410)(510)⨯⋅⨯（4）232325(3)()a b a b -⋅- （5）2352231()()()343a bc c abc -⋅-（6）3423332435⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅c ab b a ab （7）21(2)()3xy xy ⋅（8）23(2)(3)a b a -⋅- （9）54(410)(510)⨯⋅⨯ （10）2323(2)(7)ab a b c -⋅-2.计算题：（1）⋅22231(x y)(-2xy )3（2）⋅23221(-ax y)(3axy )3（3）2245()32ab a b ⋅- （4）231(3)()3x y x y -⋅（5）3(2)x ·2(5)x y - （6）（4×310）·（5×510）·（3×210）（7）228()b a b ⋅- （8）2321()(4)2x x -⋅- （9）2312(2)()2x xy xy -⋅- （10）32231(10)4x yz x y ⋅- （11）324()(2)mn m n -⋅- （12）22(8)()3ab ab abc -⋅-⋅2.填空题：（1）若单项式my x 26-与3131y x n -是同类项，那么这两个单项式的积是 . （2）计算:(2×310)×(-4×510)= ．（3）若._____34,992213=-=⋅⋅++-m m y x y x y x n n m m 则（4）两个单项式的乘积为－538x y z ，那么这两个单项式可能是_____________________. （5）84(310)(410)⨯⨯-⨯=__________________（用科学计数法表示）． 3.选择题：（1）若992213y x y x y x n n m m =⋅++-，则n m 43-的值为（ ）A.3B.4C.5D.6（2）若1221253()()m n n m a b a b a b ++-⋅=，则m+n 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. －3 （3）)33()39(n n ⨯⋅⨯等于 （ ） A 、273n⨯ B 、2123n ⨯C 、2279n ⨯D 、233n +（4）下列关于单项式的乘法中，不正确的是 （ ）A 、单项式的积不可能是单项式B 、单项式必须是同类项才能相乘C 、几个单项式相乘，有一个因式为零，积一定为零D 、几个单项式之积仍为单项式（5）927nn⋅的计算结果是 ()A. 9m n +B. 27m n+ C. 63m n +D. 233mn +（6）若4ax ·12412mx x =，则适合条件的a 、m 的值分别是（ ）. A.3，3 B.3，8 C.8，3 D.8，8 （7）用科学记数法表示25(410)(1510)⨯⨯⨯的结果是（ ）.A.76010⨯ B.6610⨯ C.8610⨯ D.10610⨯ （8）下列说法完整的是 （ ） A ．同底数幂相乘，指数相加； B ．幂的乘方，等于指数相乘；C ．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；D ．单项式乘以单项式，等于系数相乘，同底数幂相乘 培优训练（1）一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作5×102秒，可做多少次运算？（2）长方体的长是22.210⨯cm,宽是21.510⨯cm,高是2410⨯cm,求它的体积。

初中数学培优竞赛讲座第17讲--整式的乘法与除法第十七讲 整式的乘法与除法指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：nm n m a a a +=⋅，nmnm a a=)(，nn nb a ab ⋅=)(，nm n ma a a-=÷．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用． 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题 【例1】 (1)如果12=-+x x ，则3223++x x ＝ ． ( “希望杯”邀请赛试题) (2)把(x 2一x+1)6展开后得012211111212a x a x a x a x a+++++ ，则24681012a a a a a a a ++++++ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把高次项用低次多项式表示；(2)我们很难将(x 2一x+1)6的展开式写出，因此想通过展开式去问题的难度． 【例4】))(2(67222B y x A y x y x y xy x +++-=-----．求A 、B 的值．思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解．【例5】 是否存在常数p 、q 使得qpx x++24能被522++x x 整除?如果存在，求出p 、q 的值，否则请说明理由．思路点拔 由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数)，根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出p 、q 的值，所谓p 、q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．注 运用指数运算率解题，应注意以下几点： (1)善于变异底为同底； (2)适当地对已知等式进行运算处理，从整体上解决问题．所谓恒等式，就是指不论用任意数值来代替式中的字母左右两边的值都相等的等式．如果两个多项式恒等，那么，这两个多项式的对应项系数一定对应相等．待定系数法是数学中的一种重要方法，在有关整式的恒等变形的解题中经常用到，运用此方法解题的一般步骤是：(1)根据多项式之间的次数关系，设出一个恒等式，其中有几个待定系数；(2)比较对应项的系数，列出方程组； (3)解方程组，求出待定系数的值．学力训练1．如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸(墙体厚度忽略不计，单位：米)．房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是a 元／米2，则买砖至少需要 元(用含a 、x 、y 的代数式表示)． (河北省中考题) 2．若2x+5y —3=0，则4x ．32y ． (绍兴市竞赛题)3．满足(x —1)200>3200的x 的最小正整数为 ． (2003年武汉市选拔赛试题) 4．d c b a 、、、都是正数，且5,4,3,25432====d c b a ，则d c b a 、、、中，最大的一个是 ． (“英才杯”竞赛题)5．化简)2(2)2(2234++-n n n 得（ ）． (IT 杯全国初中数学竞赛题)A ．8121-+n B ．12+-n C ．87 D ．476．已知223344556,5,3,2====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是( )．A ．a<b<c<dB ．a<b<d<cC ．b<a<c<dD ．a<d<b<c (北京市“迎春杯”竞赛题) 7．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223+--=a a a ax 有整数根，则a 的值共有( )．A ． 1个B ．3个C ．6个D ．9个 8．计算(0．04)2003×[(一5)2003]2得( )． (杭州市中考题)A ．1B ．—lC ．200351 D ．200351-9．已知)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--，试确定c b a 、、的值．10．设d c b a 、、、都是正整数，并且19,,2345=-==a c d c b a ，求a-b的值． (江苏省竞赛题)11．已知四位数yxy x 9292⋅=，试确定)1(92112-----y y x xx y x 的值．12．多项式875223-+-x x x与多项式112++bx ax的乘积中，没有含4x 的项，也没有含3x 的项，则ba +2＝ ．13．若多项式7432+-x x 能表示成cx b x a ++++)1()1(2的形式，则a＝ ． 14．若1223344555)12(a x a x a x a x a x a x +++++=-，则42a a + ． (2003年北京市竞赛题) 15．如果多项式1)2)((-+-x a x 能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么a= ，b= ．16．若2233445566,55,33,22====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是( )．A ．a>b>c>dB ．a>b>d>cC ．b>a>c>dD ．a>d>b>c (北京市“迎春杯”竞赛题) 17．已知19971996321,,,,,a aa a a 均为正数，又M ))((199732199621a a a a a a++++++= ，N ))((199632199721a a a a a a++++++= ，则M 与N 的大小关系是( )．A ．M=NB ．M<NC ．M>ND ．关系不确定 18．若133=-x x，则199973129234+--+x x x x的值等于( )A ．1997B ．1999C ．2001D ．2003 (北京市竞赛题)19．已知关于x 的整系数二次三项式ax 2十bx+c 当x 取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为l ，5，25，50．经检验，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．A ．当x=1时，ax 2十bx+c=1B ．当x ＝3时，ax 2十bx+c=5C ．当x=6时，ax 2十bx+c=25D ．当x ＝8时，ax 2十bx+c=5020．已知3x 2-x-1=0，求6x 3十7x 2一5x+1999的值．21．已知a 是方程01322=-+x x的一个根，试求代数式131593322345-+-+++a a a a a a 的值．22．已知102222=⋅=⋅d c b a，求证：(a 一1)(d —1)=(b 一1)(c一1)．23．是否存在整数c b a 、、满足2)1516()910()89(=c b a？若存在，求出cb a 、、的值；若不存在，说明理由．24．当自然数n的个位数分别为0，1，2，……，9时，n2，n3，n 4，n 5的个位数如表所示n的个位数0123456789n2的个位数0149656941n3的个位数0187456329n4的个位数0161656l61n5的个位数0l23456789(1)从所列的表中你能发现什么规律?(2)若n为自然数，和数1981n+1982 n+1983 n+1984 n 不能被10整除，那么n必须满足什么条件?第十七讲整式的乘法与除法参考答案11。

乘法公式、整式的除法【考向解读】一、考点突破本讲考点主要包括：平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。

通过多项式的乘法运算得到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；通过乘法公式的几何背景，培养运用数形结合思想和整体思想解决问题的能力。

平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一，单独命题的题型多为填空题,选择题和简单的计算题，这一知识点也常融入其他知识命题;完全平方公式在中考中占有重要地位，它在数的运算，代数式的化简，方程,函数等方面都有极其广泛的应用。

整式的除法在中考中出现的频率比较高,题型多见选择题与填空题,有时也会出现化简求值题，因此运算必须熟练。

二、重点、难点提示重点：平方差公式、完全平方公式，整式的除法及零指数幂的运算。

难点：乘法公式中字母的广泛含义及整式除法法则的应用。

【重点点拨】知识脉络图【典例精析】能力提升类例1 计算：（1）（－2a－b）（b－2a）；（2）（2x＋y－z）2．一点通：第（1）题中的b－2a＝－2a＋b，把－2a看成平方差公式中的“a”即可；第（2）题有多种解法，可把2x看成完全平方公式中的“a”，把y－z看成公式中的“b”，也可把2x＋y看成公式中“a”，把z看成公式中的“b”。

答案：（1）（－2a－b）（b－2a）＝（－2a－b）（－2a＋b）＝（－2a）2－b2＝4a2－b2；（2）（2x＋y－z）2＝[（2x＋y）－z]2＝（2x＋y）2－2z（2x＋y）＋z2＝4x2＋4xy＋y2－4xz －2yz ＋z 2．点评：这两题都可以运用乘法公式计算，第（1）题先变形，再用平方差公式；第（2）题把三项和看成两项和，两次运用完全平方公式。

例2 计算：（1）[（－3xy ）2·x 3－2x 2·（3xy 2）3·12y ]÷（9x 4y 2）；（2）[（x ＋2y ）（x －2y ）＋4（x －y ）2]÷（6x ）．一点通：本题是整式的混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。