初一整式的乘除培优同步讲义

第一章：整式的乘除1.1同底数幂的乘法复习回顾：复习七年级上册数学课本中介绍的有关乘方运算知识：探索新知1．利用乘方的意义，计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义)=10×10×10×10×10 (乘法的结合律)=105． 2．建立幂的运算法则将上题中的底数改为a ，则有 a 3·a 2＝(aaa)·(aa)＝aaaaa ＝a 5， 即a 3·a 2=a 5=a 3+2． 用字母m ，n 表示正整数，则有即a m ·a n =a m+n ．3．剖析法则思考以下问题：(1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？(4)公式中的底数a 可以表示什么？ (5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？ 请大家试着叙述这个法则：应用提高探讨pn m a a a ⋅⋅等于什么？ 课堂训练(1)-a 2·a 6 (2)(-x)·(-x)3 (3)y m ·y m+1 （4）()3877⨯-（5）()3766⨯- （6）()()435555-⨯⨯- （7）()()b a b a -⋅-2（8）()()b a a b -⋅-2(9)x 5·x 6·x 3 (10)-b 3·b (11)-a·(-a)3 (12)(-a)2·(-a)3·(-a)1.2 幂的乘方与积的乘方（一） 复习回顾复习已学过的幂的意义及幂运算的运算法则 1、幂的意义 2、.nm nmaa a +=⋅（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

探索新知根据已经学习过的知识，回忆并探讨以下实际问题：1． 乙正方体的棱长是 2 cm, 则乙正方体的体积 V 乙 = cm 3 。

整式的乘除培优课【知识精要】：1幕的运算性质：①/X 工”（喇、打为正整数）②（讨为正整数）③八「—1（W、町为正整数）④（咗、卞为正整数，且■'1 - ■ ■）一（.r f ））戶=丄/ （直工0，戸为正整数）2整式的乘法公式：①-.■1- I ■/1： - ■■■②'■' 1 ' ：一$ ■-"③• ■' - :「-3. 科学记数法A = axl^，其中1莖同TO4单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘, 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

5.单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘的法则；6•多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

7单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式, 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

【例题解析】例1,计算:1、(a + b + c)(a —b —c),3、20082—2009X 2007 4、(2a-b)2(b+2a)2例2已知Ji. 3 ［，求- ― ［的值。

例3 ［例2］已知丿"-，「…二，求“八的值(--zrV) =1S A V例4 ［例3］已知’•，求认一T的值例5 ［例4］已知一工一，〔，一「上：二，求的值。

【课堂精练】1. ' - - (嗚为偶数)2. 0.00010490用科学记数法表示为5.(k25xl08) x (-S x 10」)x(-3xl0®) =6.（X—= X3十A■十丄若• 4 ,那么—11. 要使丄'■ I ■■■<•' - 11--成为一个完全平方式，贝U咗的值为（）A. 滋=2B.梯=-2C.叨三±1D. ^ = ±212. 下列各式能用平方差公式计算的是（）4.7.8.9.如果JA. r丹+（-屮所得结果是（A. L"B. 1 11-2)C. -2D. 210.(A.已知T为正整数，若八能被"整除,）= 6那么整数吨的取值范围是A."-恤-工）C.（托+ 刃〔F_y）13. 计算：（1）:丄-■-■ 一八I-B. (X-J/X-X-J)D.(左+恥+刃(2) ■- :' : I」.严为正整数）【培优拓展】：1. 已知云"「，求厂,-一的值。

2019年北师大七年级（下） 第一章：整式的乘除运算讲义【解题方法与策略】整式的乘法（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．如：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c ．（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加．公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加．公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++整式的除法（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c ．（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加．公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式．典例剖析【例1】 下列计算正确的是（ ）A ．236326a a a ⋅=B ．358248x x x ⋅=C ．44339x x x ⋅=D ．88165510y y y ⋅=【例2】 直接写出结果：（1）23232a b a b ⋅= （2）22558x y xyz ⋅=（3）3263b a b ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭（4）()()2424a b b -⋅-=【例3】 计算：（1）3223152a bc ab ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()1323443m x yz x y z +⋅-（3）)21).(43).(32(222z xy z yz x -- （4）33332543ab a b abc ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()1245m m a b b a -⎡⎤⎡⎤-⋅--⎣⎦⎣⎦ （6）()()()21536m n m x y x y y x +⎡⎤-⋅-⋅-⎣⎦【练习】计算2332536()()()()1245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦．【例4】 计算：（1）()()43322.a ab c （2）()()233222x x y -⋅-（3）()()23226.3xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（4）()32223334x x y xy ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（5）()()2323m n x y x y -⋅ （6）()()()232223m n n x y x y xy -⋅-⋅-【例5】 若()18333m n m n a a b a b ++⋅=，则m = ，n = ．【例6】 如果223a b x y --和35825a b a bx y ++是同类项，那么这两个单项式的积是 ．【例7】 直接写出结果：（1）()62m n ---= （2）()222a a ab b --=（3）()()253a b ab -+⋅-= （4）()21684.2x x x ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭（5）()23413=3x x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ （6）()1=m m na a a --【例8】 计算：（1）()()22324a a b a a ab --- （2）()()222131a b ab ab ab -++-（3）()()2321322m n x x x x ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ （4）()()3213222m n ab b a b b a b ⎡⎤⎛⎫+--⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（5）()()()()534233515221x x y x x y ⎡⎤--⋅---⎣⎦ （6）12123111264226n n x y xy x y xy ++⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例9】 化简求值25365(21)4(3)24m m m n m m n --+-+---，其中12m n =-=，．【例10】 解方程()()()22614116x x x x x x ---=-+．【练习】若2(31)6(3)16x x x x --+-=，则______x =．【例11】 解不等式()()()222224253x x x x x x -+-+-≤．【例12】 对代数式进行恰当的变形求代数式的值 （1）若56x y +=，求2530x xy y ++；（2）若210m m +-=，求3222013m m ++；（3）若20x y +=，求()3342x xy x y y +++．【例13】 直接写出结果：（1）()()a b m n ++= （2）()()2a b m n +-= （3）()()23x x +-= （4）()()34y y --= （5）()()3x y x y -+= （6）()()22a b a b --=【例14】 下列计算正确的是：（ ）A ．()()22222a b a b a b +-=-B ．()()22a b a b a b --+=-C ．()()22333103a b a b a ab b --=-+D ．()()2233a b a ab b a b --+=-【例15】 下列计算正确的是：（ ）A ．()2222a b a ab b --=-+ B ．()222a b a b -=-C ．()()()2244x y x y x y x y +--=-D ．()()222244a b b a a ab b --=-+-【例16】 计算：（1）()()3123a a +- （2）)214)(221(-+x x（3）()(2)x y x y ++ （4）()()43a b a b ---（5）(2)(2)(21)a a a -++； （6）233222()()x y x y x y -⋅-【例17】 计算：（1）(2)(3)a a a +- （2）()()0.10.20.30.4m n m n -+（3）2(23)(2)()x y x y x y -+-+ （4）2(2)(2)()a b a b a b +--+（5）22()()()x y x y y x -+--+ （6）()()22x xy y x y ++-【例18】 已知230a a --=，则(3)(2)a a -+的值是_________．【例19】 （1）若()()22345+x x ax bx c +-=+，则a = ，b = ，c = ．（2）若2(2)()6x x n x mx --=-+，则___________m n ==，．【例20】 已知22()()26x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【例21】 先化简再求值：()()()()3123454a a a a +----，其中2a =-．【例22】 直接写出结果：（1）52x x ÷= （2）94y y ÷= （3）88x x ÷= （4）()()106xy xy ÷= （5）()63c c -÷= （6）()1312x x -÷= （7）()323x x ⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭（8）()5122ax x -÷=（9）()()7426=3a b b a -÷- （10）()0π 3.14-=【例23】 计算：（1）()42m m nx x x ÷⋅ （2）42m m n x x x ÷⋅（3）()()233223a b a÷ （4）211528n n a a -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭（5）()()2483pq m n n m ⎡⎤--÷-⎣⎦ （6）()()21212n n x y x y +⎡⎤⎡⎤+÷+⎢⎥⎣⎦⎣⎦【练习】计算：（1）222(4)8x y y ÷（2）2322393m n m n n m a b c a b ---÷（3）3232213()()34a b ab ÷ （4）2322(0.8)(4)n n x y x y ÷【例24】 若()28332233m n ax y x y x y ÷=，求a m n 、、的值．【例25】 化简求值：()()()43242322422a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⋅-÷-÷-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中5a =-．【例26】 直接写出结果：（1）()269123x x -+÷= （2）()()32281477x x x x --÷-= （3）()()32121866x x x x -+÷-= （4）()()433226892x y x y x y xy -+÷-=【例27】 计算：（1）472632211()()393a b a b ab -÷-（2）()282342336( 1.8)0.655a b a b a b ab --÷（3）()323453360.90.645a x a x ax ax ⎡⎤-+-÷⎢⎥⎣⎦（4）()()2233735322728217m n m m n m n m n ⎡⎤+-÷-⎢⎥⎣⎦【例28】 先化简，再求值：()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+- ，其中15a =-，1b =- ．【练习】()()()()32322524a b a b a b a b a +--+--÷⎡⎤⎣⎦，其中23a b =-=，．【例29】 已知2610x x -+=，求221x x +的值．【练习】已知23530x x --=，求221x x +的值．【例30】 已知多项式322x x ax -+的除式为1bx -，商式为22x x -+，余式为2，求a b 、的值．【例31】 将一多项式()()221734x x ax bx c ⎡⎤-+-++⎣⎦，除以()56x +后，得商式为()21x +余式为1 求a b c --= ．【例32】 (3)x +与(2)x m -的积中不含x 的一次项，则________m =．【例33】 如果2(1)(5)x x ax a +-+的乘积中不含2x 项，则a 为_________．【练习】已知23(536)(12)x mx x x -+--的计算结果中不含3x 的项，则m 的值为 ．【例34】 计算322(25)(231)x x x x -+--+．【例35】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【练习】使22(8)(3)x px x x q ++-+的积中不含2x 和3x ，求p ，q 的值．【例36】 在()()22231x ax b x x ++--的积中，3x 项的系数是5-，2x 项的系数是6-，求a b 、的值．【练习】已知多项式432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，求m 与n 的值．【例37】 已知实数a b x y 、、、满足35ax by ay bx +=-=，．求()()2222a b x y ++的值．【例38】 规定一种新运算“*”：a *()()()()2534b a b a b =++-++，试化简()1m -*()1n +．【练习】规定一种新运算“*”：对于任意实数()x y ，恒有()x y ，*()()211x y x y x y =++--，，．若实数a b ，满足()a b ，*()()=a b b a ，，，则a b ，的值为多少？【例39】 已知()5543221x ax bx cx dx ex f +=+++++，则a b c d e +++++的值为 ；a b c d e f -+-+-的值 ．【练习】已知()66543232x ax bx cx dx ex fx g -=++++++，则a c e g +++的值为 ； b d f ++的值为 ．知识回顾计算：（1）()()22x x +- （2）()()3131x x +- （3）()()a b a b +- （4）()()2323x x +-（5）()21x + （6）()221x - （7）()2a b + （8）()2a b -【解题方法及策略】平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差． ①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 注意：①公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式． 如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(39x y x y x y +-=-）； 22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-．②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形．如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=；22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍．完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，积2倍在中央”．注意：①公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。

辅导教案学员姓名：学科教师：周乔乔年级：七年级辅导科目：数学授课日期时间主题整式的乘法（一）教学内容整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．整式的乘法（一）知识结构模块一：单项式与单项式相乘知识精讲内容分析注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-．【例1】 计算：（1）2445y y ⋅；（2）()234163x y x y ⋅-；（3）()2223623a b ab a b ⋅⋅-．【难度】★【答案】（1）620y ；（2）552x y -；（3）5636a b -． 【解析】（1）原式=()2464520y y +⨯=；（2）原式=()2314551623x y x y ++⎡⎤⨯-⋅=-⎢⎥⎣⎦；（3）原式=()2121235662336ab a b ++++⨯⨯-=-⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子 相乘与两个式子相乘法则相同．【例2】 计算：（1）()()23333z x y -⋅；（2）()()3224247a xy a x y -⋅-；（3）()()2322x y x y ⎡⎤---⎣⎦（把x y -作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★【答案】（1）623243x y z -；（2）14751372a x y ；（3）()54x y --． 【解析】（1）原式=()3326262333243z x y x y z -⋅=-；例题解析（2）原式=()()()()32212632121623474343a xy a x y a x y +++-⋅-=-⨯-=⎡⎤⎣⎦14751372a x y ；（3）原式=()()2322x y +⨯--=⎡⎤⎣⎦()54x y --【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，注意计算过程中整体思想的应用．【例3】 计算： （1）()322233x y xyz ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）()()2231263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()232232130.432x y xy xy ⎛⎫⎡⎤-⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【难度】★【答案】（1）75383x y z -；（2）444x y z -；（3）914275x y -．【解析】（1）原式=()3242333432332839327x y x y z x y z ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-=⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦75383x y z -；（2）原式=()22311263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦444x y z -；（3）原式=224636224326621321343259225x y x y x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-=⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦914275x y =-．【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．【例4】 计算：（1）()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）57235x y ；（2）710320381x y z ．【解析】（1）原式=3324263575757953234425355x y x y x y x y x y x y x y ⋅+⋅=+=；（2）原式=442366937103710371038540203332738181x y z x y z x y z xy x y z x y z x y z ⎛⎫⋅+-⋅=-= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类项的运算．【例5】 计算：2233()2()x y a x y ab ⎡⎤⎡⎤+⋅⋅-+⋅⎣⎦⎣⎦（把x y +作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★★【答案】()3336x y a b -+． 【解析】原式=()()2121332x y a b ++⨯-+=⎡⎤⎣⎦()3336x y a b -+．【总结】本题主要考查单项式乘法的运算法则，计算过程中注意整体思想的应用．【例6】 已知：()()()32327823530m n x y x y x y x y ⋅-⋅=-，求m n +的值． 【难度】★★ 【答案】5【解析】原式=55783030m n x y x y ++-=-，由此可得5758m n +=+=，， 可解得23m n ==，，5m n +=【总结】单项式相等，对应字母的次数相同．【例7】 先化简，后求值：233322221391233x y x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知，．【难度】★★【答案】化简结果是75x y ，代入求值结果是32-【解析】原式=7575754133x y x y x y -=，代入求值得()751232-⨯=-【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例8】 先化简，再求值：()()2333211222a b bc a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中111a b c =-==-，，．【难度】★★★【答案】化简结果是579a b c ，代入求值结果是1．【解析】原式=()33623357911824a b b c a b c a b c -⋅⋅⋅-=，代入计算得：()()5971111-⨯⨯-=．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算．【例9】 化简：()75122xy x y -⋅--．【难度】★★★【答案】当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ． 【解析】对原式进行分析整理，原式=574657122xy x y xy x y xy x y xy -⋅=-⋅⋅=-⋅，由此可知，对式子去绝对值需进行分类讨论：即当0xy ≥时，原式=68x y -；当0xy <时，原式=68x y ．【总结】本题主要考查对代数式进行简单的恒等变形，找出可能需要讨论的部分即可进行分 类讨论，准确解题．1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例 模块二：单项式与多项式相知识精讲如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．【例10】 计算：（1）2211313242x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()22232ab a b ab ⋅-；（3）()2121243x x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）432113648x x x -+-；（2）322364a b a b -；（3）23238x y x y -+．【解析】（1）原式=2222111131322242x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅--⋅-+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭432113648x x x -+-；（2）原式=222322ab a b ab ab ⋅-⋅=322364a b a b -； （3）原式=()()212121243x xy x y xy ⋅--⋅-=23238x y x y -+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式中的每一项．【例11】计算：（1）()322211263a b a b ab -⋅；（2）2222432345x y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）433442a b a b -；（2）42332448315x y x y x y --+．【解析】（1）原式=322224334111264233a b ab a b ab a b a b ⋅-⋅=-；（2）原式=222222224344234335x y x x y xy x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+-⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭42332448315x y x y x y =--+．【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式的每一项，计 算时注意符号． 例题解析【例12】计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅333233323432a b a b a b a b =+--=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先对每一个式子单独计算，再进行合并同类 项运算．【例13】先化简，再求值：()()2232212102x x x x x x x -+--+，其中12x =-．【难度】★★【答案】化简结果是38x ，代入求值结果是1-．【解析】原式=()2222322222102x x x x x x x x x x x ⋅-⋅+-⋅-⋅--⋅ 4324322222102x x x x x x =-+-+-38x =将12x =-代入计算得：31812⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后 合并同类项进行化简，最后代值计算．【例14】先化简，后求值：()22322213344434xy x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫-+-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中 133x y =-=，．【难度】★★【答案】化简结果是33x y -，代入求值结果是1．【解析】原式()22232211121133344434xy x y xy x y x y ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3344441212x y x y x y =-+-33x y =-．将133x y =-=，代入计算得：原式=()331313⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合 并同类项进行化简，最后代值计算．【例15】已知26ab =，求()253ab a b ab b --的值．【难度】★★ 【答案】174．【解析】原式36242a b a b ab =--()()32222ab ab ab =--32666=--174=．【总结】本题主要考查整体思想的应用，以及积的乘方运算法则的逆用．【例16】解关于x 的方程：()13538n n x x x ++=+．【难度】★★【答案】815x =．【解析】133538n n x x x x +⋅+⋅=+1131538n n x x x +++=+158x =815x = 【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则的应用以及解方程的复习回顾． 【例17】已知：()22525200m m n -+-+=，求()()()()22252365345m m n m n m n n m n ---+---的值．【难度】★★【答案】752-．【解析】根据题意，可得：25025200m m n -=⎧⎨-+=⎩，解得：525m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．原式=2222221041815121524m mn m mn n mn n m mn --++--+=-，代入计算得：原式=25575245222⎛⎫⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查两非负数和为零的模型，两式分别为零，然后再对代数式化简求值．【例18】对任意有理数,x y 定义运算如下：x y ax by cxy ∆=++，这里a 、b 、c 是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a =1，b =2，c =3时：131********∆=⨯+⨯+⨯⨯=，现已知所定义的新运算满足条件，1∆2=3，2∆3=4，并且有一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x 均成立，求a 、b 、c 、d 的值． 【难度】★★★【答案】5014a b c d ===-=，，，．【解析】根据题意，得2232364a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，现存在一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x ， 代入即为ax bd cdx x ++=对任意x 恒成立，即关于x 的方程()1a cd x bd +-=-有无数解， 故可得10a cd bd +-=⎧⎨-=⎩，结合0d ≠和前面所得两个等式解方程可解得：5014a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．【总结】本题主要考查新定义运算，需要根据定义内容进行值的替换，同时对恒成立问题结合一元一次方程的一般形式ax b =有无数解的情况进行讨论，此时00a b ==，． 模块三：多项式与多项式相1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．【例19】 计算：（1）134624x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11113232x y x y ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）2189338x x +-；（2）221194x y -． 【解析】（1）原式=2133364632432448x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2189338x x +-；（2）原式=2211111111113322329664x x y y x y x xy xy y ⎛⎫⎛⎫+-+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221194x y -．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，在题（2）中可初步认识平方差公式()()22a b a b a b +-=-．【例20】计算：（1）()()22x y x xy y +-+；（2）22152xy x y ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★ 例题解析【答案】（1）33x y +；（2）3223412554x y x y xy -+． 【解析】（1）原式=()()2222322223x x xy y y x xy y x x y xy x y xy y -++-+=-++-+=33x y +； （2）原式=2111555222xy x x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22212554xy x xy y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=3223412554x y x y xy -+．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【例21】计算：（1）()()()2345x x x x +-+-；（2）()()()222333xy x y x xy xy y +-++；（3）()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】（1）4218760x x x --+；（2）224x y -；（3）4223x x -+-【解析】（1）原式=()()2243232212555121260x x x x x x x x x x x x --+-=+---+--+4218760x x x =--+；（2）原式 =()()223223323103xy x xy y x y x y xy ++-++322332232236331034x y x y xy x y x y xy x y =++---=-；（3）原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++=42423253x x x x +---=4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项运算；（3）式计算中注意观察，运用整体思想，会使计算变得简单．【例22】若()()2233x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值．【难度】★★【答案】63m n ==，．【解析】原式=()()()43233393x n x m n x mn x m +-+-++-+，因为两式乘积中不含2x 和3x 项，所以可得30330n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，不含的项即其系数为0即可．【例23】已知a 、b 、m 均为正整数，且()()215x a x b x mx ++=++，则m 可能取的值有多少个？【难度】★★【答案】2个，m 的值为16或8．【解析】()()()2215x a x b x a b x ab x mx ++=+++=++，由此可得15a b mab +=⎧⎨=⎩，a 、b 均为 正整数，可知a 、b 为15的因数，15=5×3，或15=15×1，由此可得15116m =+=或 538m =+=．【总结】本题主要考查多项式的乘法计算，以及数字的因数的个数．【例24】已知：多项式432221191112221222324x x x x x mx x nx ⎛⎫⎛⎫++++=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求()311222n m m n ⎛⎫⎡⎤---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值．【难度】★★【答案】1【解析】2243211111912121223246221234x mx x nx x m n x mn x m n x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=+-+-+-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，原式=4321192222x x x x ++++，由此可得11262219342m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得62m n =⎧⎨=-⎩．又()()()()334111112222222216n m m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤⎡⎤---+=-+⋅-+=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，将62m n =⎧⎨=-⎩代入该 式中即得()4116221611616⨯+⨯-=⨯=⎡⎤⎣⎦． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的运算法则，同时考查在指数相同的情况下，若 两式相等，则对应项的系数也相等．【例25】某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S ．（结果用含a 、b 的式子表示）【难度】★★【答案】223a ab b ++．【解析】()()22222222a b S a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-+-⨯+-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()()22222522a ab b a ab b ++-++=223a ab b ++【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，对于不规则图形的面积采用割补法计算．【例26】解方程：()()()()()()221111432x x x x x x x x +++---+=+-．【难度】★★【答案】85x =-．【解析】()()()()322322114232x x x x x x x x x x x x x +++++--+-+-=-+-2242456x x x +=--85x =-【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解方程的步骤有一个整体的知识回顾．【例27】解不等式：()()()()()6971725x x x x x -----<-．【难度】★★【答案】8221x >．【解析】()()221554871435x x x x x -+--+<- 7471435x x -+<- 2182x -<-8221x >【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法，同时对解不等式的步骤有一个整体的知识回顾．【例28】学校在运动场上举行200米的赛跑，每条跑道的道宽为1.22米，比赛的终点线定在如图所示的C处，由于不同跑道上的运动员要经过不同的弯道，因此他们不应从同一起跑线上起跑，第一、第二两条跑道上运动员的起跑线应相隔多远才比较公平？（π取3.14，精确到0.01米）【难度】★★★ 【答案】3.83m ．【解析】设第一道半径为r ，则第二道半径为()1.22r +，观察两道上运动员的位置，可知两条跑道上运动员起始距离应为()112 1.222 1.22 1.22 3.14 3.8322r r m πππ⨯+-⨯=≈⨯≈．【总结】跑道问题，可利用代数式计算得到一个只与已知量相关的式子，运用了“设而不求”的数学思想．【习题1】 计算：（1）()225x xy ⋅-；（2）()()232323a b c a -⋅-；（3）()232123xy xy ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（4）()3224142xy x y ⋅-．【难度】★【答案】（1）310x y -；（2）762108a b c -；（3）5889x y ；（4）71432x y -．【解析】（1）原式=()2125x y +⨯-=⎡⎤⎣⎦310x y -；（2）原式=()()()234623436223427a b c a a b c +-⋅-=⨯-=⎡⎤⎣⎦762108a b c -；随堂检测师生总结1、你能熟练地说出整式乘法的类型有哪几种吗？2、你能将这几种类型的法则熟练地说出来吗？3、在理解和运用多项式与多项式相乘的法则时，应注意哪几点？（3）原式=2336223262112839x y x y x y ++⎛⎫⎛⎫⋅-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5889x y ；（4）原式=()()32612162121146422xy x y x y ++⎡⎤⋅-=⨯-=⎢⎥⎣⎦71432x y -．【总结】本题主要考查单项式乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，同时本题还考查了对积的乘方运算的练习深化．【习题2】 计算：（1）()23223255x y xy x y ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭；（2）()222322233a b a b a b ⎛⎫⋅--- ⎪⎝⎭；（3）()223235453xy xy xy x y ⎛⎫⋅+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）566x y ；（2）443a b -；（3）343x y ． 【解析】（1）原式=()2121323255x y ++++⎡⎤⎛⎫-⨯⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦566x y ；（2）原式=44444423a b a b a b --=-；（3）原式=22212313434343544353x y xy x y x y x y x y ++⎡⎤⎛⎫⋅+-⨯=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，再进行合并同类项运算．【习题3】 计算：（1）222133224ab a b a a b ⎛⎫⋅-+⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）0；（2）5444132x y z x y -．【解析】（1）原式=323233022a b a b -+=；（2）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -．【总结】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先用计算法则计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题4】 计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】323312a b a b -．【解析】原式22222222232336232322a b ab a b a ab a b ab a =⋅+⋅-⋅-⋅ 333233323432a b a b a b a b =+--()323334312a b a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=323312a b a b -【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法法则，先分别计算出结果，再进行合并同类项运算．【习题5】 计算： （1）()2133235n n n n n n ab a b b a b +-+-+⋅（n 为正整数，1n >）；（2）()222214322x xy y x xy x y ⎛⎫-⋅--⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()221367x x x +--+；（4）21111132469m m m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）3224x y x y +；（3）3261587x x x --++； （4）311278m -． 【解析】（1）原式=23133352535n n n n n n n n n n a b a b a b a b b a b ++-++⋅-⋅+⋅ =()()()213133352535n n n n n n n n n n a b a b a b +++++-++++⨯-⨯+⨯ =22422223151015n n n n n n a b a b a b ++++-+；（2）原式=()222221443322x xy x y x xy x x y -⋅--⋅-⋅+⋅=3222232436x y x y x y x y -+-+ =3224x y x y +；（3）原式=()()222367367x x x x x --++--+ =32261214367x x x x x --+--+=3261587x x x --++；（4）原式=221111111134692469m m m m m ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23211111112182781218m m m m m ++--- =311278m -． 【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，再进行合并同类项运算，（4）题主要考查立方差公式．【习题6】 计算：()()()()23325361245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★【答案】()()5538x y x y +-．【解析】原式=()()()()233255536312458x y x y x y x y ++⎛⎫⨯⨯+⋅-=+- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法，运算过程中注意符号的变化．【习题7】 计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★【答案】4223x x -+-．【解析】原式=()()()()2422422325353321x x x x x x x ++++-++++ =()()()()()()2422242242325332533253x x x x x x x x x x +++++-+++-++ =42423253x x x x +--- =4223x x -+-．【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项， 再进行合并同类项运算；本题计算中注意观察，运用整体思想．【习题8】 若20x y +=，则代数式()3342x xy x y y +++的值． 【难度】★★ 【答案】0【解析】原式=()()()()32232222422222220x x y xy y x x y y x y x y x y +++=+++=++=． 【总结】本题在解题过程中注意整体思想的运用．【习题9】 先化简，再求值：12x =，1y =，求()()()22223x x xy y y x xy y xy y x ++-+++-的值． 【难度】★★【答案】18-．【解析】原式=()()()()()()3222233x y x xy y xy x y x y x xy y xy x y -++--=-++-=-， 将 112x y ==，代入计算得：原式=311128⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，注意整体思想的运用．【习题10】 先化简，再求值：()()()()22215423125a a a a a a a -⋅------，其中1a =-【难度】★★【答案】化简结果是29142a a +-，代入求值结果是7-．【解析】原式=()()33232254812229142a a a a a a a a a ------+=+-，将1a =-代入计算得：原式=()()29114127⨯-+⨯--=-．【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，应用多项式的乘法法则．【习题11】 某地有一块梯形实验田，它的上底为m 米，下底为n 米，高是h 米． （1）写出这块梯形的面积公式；（2）当8m =米，14n =米，7h =米时，求它的面积． 【难度】★★【答案】（1）()12h m n +；（2）77平方米．【解析】（1）梯形的面积公式，（2）()28147277s m =+⨯÷=． 【总结】本题主要考查梯形的面积公式和代数式的求值计算．【习题12】 解方程：()()22526x x x x x --+=-．【难度】★★【答案】67x =【解析】2222526x x x x x ---=- 76x -=-67x =【总结】本题主要考查单项式与多项式乘法，同时对解方程的知识进行回顾．【习题13】 已知：()()523323229251342m n n m x y x y x y ax y ⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭．求：()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭的值．【难度】★★★ 【答案】36-．【解析】因为()()5233232261536102925134=182m n n m m n m n x y x y x y x y ax y ++++⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭，由此可得 261529361025m n m n ++=⎧⎨++=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩．将12m n =⎧⎨=⎩代入()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭， 可得：()()221121*********⎛⎫+⨯⨯-⨯⨯+⨯+=- ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简和求值计算，两个代数式相等，则次数相同的项的系数也相同，运用多项式的乘法法则进行计算．【作业1】 计算：（1）3223123x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）232231162a b ab c ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭； （3）()()2221263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）5312x y ；（2）7634a b c ；（3）434x y z -． 【解析】（1）原式=322153311232x y x y ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）原式=2642361423763111616424a b ab c a b c a b c ++⎛⎫⎛⎫⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）原式=()22211263x y z ++⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦434x y z -． 【总结】本题主要考查单项式的乘法法则，系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个单项式相乘与两个单项式相乘的法则完全相同．【作业2】 计算：课后作业（1）3221213232x y y xy ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()3212243ab a a b b ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦． 【难度】★【答案】（1）53343531181612x y x y x y --+； （2）221517a b ab +． 【解析】（1）原式=22331213238x y y x y ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2333323311121382838x x y y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=53343531181612x y x y x y --+； （2）原式=33251712212443412ab a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221517a b ab +． 【总结】本题主要考查单项式与多项式相乘的乘法法则．【作业3】 计算：（1）()()123243x y x y x y ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()233222x y x y x y -⋅-． 【难度】★ 【答案】（1）3223171144126x x y xy y +--；（2）43255234x y x y x y x y --+． 【解析】（1）原式=()2232231117112244124126x xy y x y x x y xy y ⎛⎫+-+=+-- ⎪⎝⎭； （2）原式=()()2322322243255234x y x y x y x y x y x y x y x y ---=--+．【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，多个多项式的依次相乘即可．【作业4】 计算：（1）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）()()3322543124752a ab ab a b ab ⎛⎫-⋅--⋅-- ⎪⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）5444132x y z x y -；（2）6625220220a b a b ab -++．【解析】（1）原式=()()312221************ y x y z ++++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯-+-⨯-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5444132x y z x y -； （2）原式=()()()()33625432218474542a ab ab a b ab ab ab -⋅--⋅-⋅--⋅- =6666252828220a b a b a b ab -++=6625220220a b a b ab -++．【总结】本题主要考查整式的乘法，主要相关法则的准确运用．【作业5】 计算：（1）()()()2221a a a -++；（2）()()32225231x x x x -+-⋅-+． 【难度】★★【答案】（1）32284a a a +--；（2）54322778155x x x x x -+--+-．【解析】（1）原式=()()232421284a a a a a -+=+--；（2）原式=()()()3222223122315231x x x x x x x x --++-+--+=54343222346210155x x x x x x x x -+-+-+-+- =54322778155x x x x x -+--+-． 【总结】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再进行合并同类项的运算．【作业6】 当14t =时，代数式()3221723228t t t t t t ⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭的值为__________． 【难度】★★【答案】107128【解析】对代数式化简，结果为()322432187374628824t t t t t t t t ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭，将14t =代入， 求值计算，得：原式=432187131787310728424446412864128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查代数式的化简求值．【作业7】 已知：多项式()()43222212x x x x mx x nx +++=++++，求m 与n 的值．【难度】★★【答案】12m n =-=，【解析】因为()()()()()2243212322x mx x nx x m n x mn x m n x ++++=+++++++，又()()22432122x mx x nx x x x ++++=+++，所以可得13120m n mn m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩． 【总结】当两个多项式相等时，则同底数幂指数相同的项的系数也相同．【作业8】 已知：()()22345x x ax bx c +-=-+，求代数式：()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---的值．【难度】★★★【答案】7420．【解析】因为()()2234510712x x x x +-=--+，又()()22345x x ax bx c +-=-+，所以可得：10712a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，对代数式()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---化简可得：原式=3223222222222222a a b a ab a b a bc ab a bc +-+-+=+， 将10a =-，7b =，12c =代入，则原式=()()222107107127420⨯-⨯+-⨯⨯=． 【总结】两个多项式相等，若同底数幂的指数相同，则它们的系数也相同，本题主要考查代数式的化简求值．【作业9】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值．【难度】★★★【答案】23a b =⎧⎨=⎩． 【解析】()()()()()2243212312233231ax bx x x ax b a x a b x b x ++-+=+-+-++-+，因为多 项式的积不含3x的项，也不含x 的项，所以可得：23030b a b -=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩． 【总结】本题主要考查多项式与多项式的乘法计算，计算结果中不含有某一次数项，即该次数项的系数为0．【作业10】 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的乘法时，发现有些整式乘法结果有很明显的特点．例如：()()23111x x x x -++=-，()()22332428a b a ab b a b +-+=+小明：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点类似”小强：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍” 小明：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系......”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算()()22224x y x xy y ---+吗？【难度】★★★【答案】（1）()()()()22332233a b a ab b a b a b a ab b a b -++=-+-+=+；；（2）338x y --． 【解析】归纳总结，即立方和和立方差公式．（2）式变形即得原式=()()()32233322428x y x xy y x y x y ⎡⎤-+-+=-+=--⎣⎦． 【总结】对于一些常见的公式，需要进行记忆，在此前提下，注意观察题目中的每一个细节之处才能真正把握好相关规律．。

第一章整式的乘除（二）一、整式的乘法1. 单项式与单项式相乘：法则：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)= [(-5)×(-4)×(-1)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=-30a3b4c2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．用字母表示：a(b+c+d)= ab + ac + ad例：= (-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．用字母表示：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd例：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb二、乘法公式1. 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

（a＋b）（a－b）＝a2－b2例：①(x-4)(x+4) = ( )2 - ( )2 =________；②(-m+n )( m+n ) = ( ) ( )=___________________；③=( ) ( )=___________；④(2a+b+3)(2a+b-3) =( )2-( )2=______________= ；⑤(2a—b+3)(2a+b-3)=（）（）=( )2-( )2⑥ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______； ⑦ (x +3y )( ) = 9y 2-x 22. 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）们的 积的2倍。

初中数学整式乘除培优考试要求:知识点汇总：模块一壽的运算需的运算概念：求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕，在/中，α叫做底数, n叫做指数. 含义：水中，"为底数，〃为指数，即表示α的个数，/表示有刃个α连续相乘.例如：3'表示3×3×3×3×3 , (一3f 表示(一3)x(-3)x(-3)x(-3)x(-3) , -3'表示 -(3×3×3×3×3)5. . 2x2x2x2x2z2 < . . 2 2 2 2 2 27 7 7 7 7 7 7 7特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正” 口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一[-(一3)] = -3； -[+(-3)] = 3・⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(—3) × (—2) × (—6) = —36,而(—3) × (—2) X (+6) = 36 ・⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则嫌为负；指数为偶数，则幕为正，例如：(一3)‘ = 9 , (一3)、= 一27 ・特别地：当“为奇数时，(一")”=一『：而当“为偶数时，(-a)n =a n・负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数，1的任何次幕都是1,任何不为O的数的O次幕都是⑴・(1)同底数幕相乘・同底数的彖相乘，底数不变，指数相加.用式子表示为：(m√ι都是正整数)・(2) 策的乘方.幕的乘方的运算性质：幕的乘方.底数不变，指数相乘.用式子麦示为: (町=旷(m 9n 都是正整数)・ ⑶积的乘方.积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的無相乘•用 式子表示为： (ab)n ≈a fl h fl(“是正整数)・ (4)同底数彖相除・同底数的幕相除，底数不变，指数相减.用式子表示为:模块二整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幕分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的 字母，则连同它的指数作为积的一个因式・以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：Ub • 3a 2b y c 2= 3a^c 2,两个单项式的系数分 别为1和3,乘积的系数是3,两个单项式中关于字母α的幕分别是α和/,乘积中d 的幕 是才,同理，乘积中b 的幕是戻，另外，单项式“b 中不含C 的幕，而3i l 2b i c 2中含¢2,故乘 积中含疋・ ⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：m(a + b + c) = ma + mb + me ,其中加为单项式，a+b + c为 多项式.⑶多项式与多项式相乘:将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单 项式相乘，然后把积相加，公式为：(∕π + n)(a + b) = ma + mb + Ha + Hh模块三整式的除法(1) 单项式除以单项式^系数、同底数的幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有 的字母，則连同它的指数作为商的一个因式•如：3a 2b 3c 2*ab = 3ab 2c 2,被除式为3a 2b 3c 2, 除式为肪，系数分别为3和1,故商中的系数为3, α的彖分别为/和α,故商中α的 幕为∕τ=α,同理，〃的幕为，，另外，被除式中含Y,而除式中不含关于c ・的策，故 商中e 的幕为c'・(2) 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加， 公式为：(" + b + c ∙)÷∙m = "*"2 + b*m + c*"?,其中加为单项式，a + h + c 为多项式.(3) 多项式除以多项式后有专题介绍.模块四平方差公式(a+ h){a-b) = a 2 -h 2平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。

初中数学培优竞赛讲座第17讲--整式的乘法与除法第十七讲 整式的乘法与除法指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：nm n m a a a +=⋅，nmnm a a=)(，nn nb a ab ⋅=)(，nm n ma a a-=÷．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用． 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题 【例1】 (1)如果12=-+x x ，则3223++x x ＝ ． ( “希望杯”邀请赛试题) (2)把(x 2一x+1)6展开后得012211111212a x a x a x a x a+++++ ，则24681012a a a a a a a ++++++ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把高次项用低次多项式表示；(2)我们很难将(x 2一x+1)6的展开式写出，因此想通过展开式去问题的难度． 【例4】))(2(67222B y x A y x y x y xy x +++-=-----．求A 、B 的值．思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解．【例5】 是否存在常数p 、q 使得qpx x++24能被522++x x 整除?如果存在，求出p 、q 的值，否则请说明理由．思路点拔 由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数)，根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出p 、q 的值，所谓p 、q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．注 运用指数运算率解题，应注意以下几点： (1)善于变异底为同底； (2)适当地对已知等式进行运算处理，从整体上解决问题．所谓恒等式，就是指不论用任意数值来代替式中的字母左右两边的值都相等的等式．如果两个多项式恒等，那么，这两个多项式的对应项系数一定对应相等．待定系数法是数学中的一种重要方法，在有关整式的恒等变形的解题中经常用到，运用此方法解题的一般步骤是：(1)根据多项式之间的次数关系，设出一个恒等式，其中有几个待定系数；(2)比较对应项的系数，列出方程组； (3)解方程组，求出待定系数的值．学力训练1．如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸(墙体厚度忽略不计，单位：米)．房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是a 元／米2，则买砖至少需要 元(用含a 、x 、y 的代数式表示)． (河北省中考题) 2．若2x+5y —3=0，则4x ．32y ． (绍兴市竞赛题)3．满足(x —1)200>3200的x 的最小正整数为 ． (2003年武汉市选拔赛试题) 4．d c b a 、、、都是正数，且5,4,3,25432====d c b a ，则d c b a 、、、中，最大的一个是 ． (“英才杯”竞赛题)5．化简)2(2)2(2234++-n n n 得（ ）． (IT 杯全国初中数学竞赛题)A ．8121-+n B ．12+-n C ．87 D ．476．已知223344556,5,3,2====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是( )．A ．a<b<c<dB ．a<b<d<cC ．b<a<c<dD ．a<d<b<c (北京市“迎春杯”竞赛题) 7．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223+--=a a a ax 有整数根，则a 的值共有( )．A ． 1个B ．3个C ．6个D ．9个 8．计算(0．04)2003×[(一5)2003]2得( )． (杭州市中考题)A ．1B ．—lC ．200351 D ．200351-9．已知)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--，试确定c b a 、、的值．10．设d c b a 、、、都是正整数，并且19,,2345=-==a c d c b a ，求a-b的值． (江苏省竞赛题)11．已知四位数yxy x 9292⋅=，试确定)1(92112-----y y x xx y x 的值．12．多项式875223-+-x x x与多项式112++bx ax的乘积中，没有含4x 的项，也没有含3x 的项，则ba +2＝ ．13．若多项式7432+-x x 能表示成cx b x a ++++)1()1(2的形式，则a＝ ． 14．若1223344555)12(a x a x a x a x a x a x +++++=-，则42a a + ． (2003年北京市竞赛题) 15．如果多项式1)2)((-+-x a x 能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么a= ，b= ．16．若2233445566,55,33,22====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是( )．A ．a>b>c>dB ．a>b>d>cC ．b>a>c>dD ．a>d>b>c (北京市“迎春杯”竞赛题) 17．已知19971996321,,,,,a aa a a 均为正数，又M ))((199732199621a a a a a a++++++= ，N ))((199632199721a a a a a a++++++= ，则M 与N 的大小关系是( )．A ．M=NB ．M<NC ．M>ND ．关系不确定 18．若133=-x x，则199973129234+--+x x x x的值等于( )A ．1997B ．1999C ．2001D ．2003 (北京市竞赛题)19．已知关于x 的整系数二次三项式ax 2十bx+c 当x 取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为l ，5，25，50．经检验，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．A ．当x=1时，ax 2十bx+c=1B ．当x ＝3时，ax 2十bx+c=5C ．当x=6时，ax 2十bx+c=25D ．当x ＝8时，ax 2十bx+c=5020．已知3x 2-x-1=0，求6x 3十7x 2一5x+1999的值．21．已知a 是方程01322=-+x x的一个根，试求代数式131593322345-+-+++a a a a a a 的值．22．已知102222=⋅=⋅d c b a，求证：(a 一1)(d —1)=(b 一1)(c一1)．23．是否存在整数c b a 、、满足2)1516()910()89(=c b a？若存在，求出cb a 、、的值；若不存在，说明理由．24．当自然数n的个位数分别为0，1，2，……，9时，n2，n3，n 4，n 5的个位数如表所示n的个位数0123456789n2的个位数0149656941n3的个位数0187456329n4的个位数0161656l61n5的个位数0l23456789(1)从所列的表中你能发现什么规律?(2)若n为自然数，和数1981n+1982 n+1983 n+1984 n 不能被10整除，那么n必须满足什么条件?第十七讲整式的乘法与除法参考答案11。

七下第一章《整式的乘除》复习课件一、教学内容本节课复习的是七年级下册第一章《整式的乘除》。

具体内容包括：整式的乘法法则、整式的除法法则、多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式以及综合应用。

二、教学目标1. 熟练掌握整式的乘除法则，能够正确进行整式的乘除运算。

2. 熟练运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。

3. 能够解决实际问题中涉及整式乘除的问题，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点重点：整式的乘除法则、平方差公式、完全平方公式。

难点：整式的除法法则、多项式乘多项式的运算、因式分解。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实际情景，引导学生思考如何用整式的乘除法则解决问题。

例：一个长方形的长是a+b，宽是ab，求这个长方形的面积。

2. 例题讲解（1）整式的乘法法则（2）整式的除法法则（3）多项式乘多项式（4）平方差公式（5）完全平方公式3. 随堂练习针对每个知识点，设计相应的练习题，让学生当堂巩固所学内容。

六、板书设计1. 整式的乘法法则2. 整式的除法法则3. 多项式乘多项式4. 平方差公式5. 完全平方公式七、作业设计1. 作业题目（1）计算题：a^2 (a+b)，(a+b)^2，(ab)^2（2）应用题：已知一个正方形的面积是a^2 b^2，求它的边长。

2. 答案（1）a^3 + a^2b，a^2 + 2ab + b^2，a^2 2ab + b^2（2）边长为a+b或ab。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握整式的乘除法则的情况，及时发现问题并进行针对性讲解。

2. 拓展延伸：引入整式的乘除在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。

如：已知一个长方体的长、宽、高分别是a、a+b、ab，求长方体的体积。

重点和难点解析1. 整式的乘除法则的理解与运用2. 平方差公式和完全平方公式的记忆与运用3. 教学过程中的实践情景引入和例题讲解4. 作业设计中的题目难度与答案解析一、整式的乘除法则1. 乘法法则：掌握分配律、结合律和交换律，能够灵活运用。

目录第01讲与有理数有关的概念（2--8）第02讲有理数的加减法（3--15）第03讲有理数的乘除、乘方（16--22）第04讲整式（23--30）第05讲整式的加减（31--36)第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43)第07讲一元一次方程解法(44--51)第08讲实际问题与一元一次方程(52--59)第09讲多姿多彩的图形(60--68)第10讲直线、射线、线段(69--76)第11讲角(77--82)第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90)第13讲平行线的性质及其应用(91--100)第14讲平面直角坐标系（一）(101--106)第15讲平面直角坐标系（二）(107--112)第16讲认识三角形(113--119)第17讲认识多边形(120--126)第18讲二元一次方程组及其解法(127--134)第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145)第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164)第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174) 第23讲数据的收集与整理(175--186)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c|c |的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l 8届迎春杯）已知(m ＋n )2＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n )2＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n )2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2＋|m |＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】 01．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l |＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a ( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b | ③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确的是( )A ． |b |＞a ＞－a ＞bB ． |b | ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b |＞b ＞－aD ． a ＞|b |＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l 8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b |＋|b －c |＝|a －c |；③（a －b ）(b －c )(c －a )＞0；④|a |＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc|abc |的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m |＝－m ，化简|m －l |－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )A ． 30B ． 0C ． 15D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m |＋|n |－5＝0所有这样的整数组(m ，n )共有 组 09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l |＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l |）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811） 【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋3 5＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋2 50＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225 ∴S＝12252【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋1 2004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x＝0 B．－x－x＝0 C．|x|＋|－x|＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ） A ．14 B ．14- C ．12 D ．12- 02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c＋61d 等于（ ） A ．18 B ．316 C ．732 D ．1564 03．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）A ．30B ．32C ．34D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c534333231305．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m |＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________ 08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋...＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋ (1003)值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算 ⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积. 解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯= ⑷250000⨯= ⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=- 【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞004．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=- ⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a b +=，则ab ＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩； 当ab ＜0，0a b a b+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab a b a b ab ++的值是多少？03．如果0x y x y +=，试比较x y -与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=-⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y的值. 【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=-⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy=-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n n x y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A ．1.03×105B ．0.103×105C ．10.3×104D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+ 原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A ．31003 B ．31004 C ．1334 D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞004．若|ab |＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b m cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1 07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1a b =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较x y-与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个 02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab 2cd 4e ＜0 C ．ab 2cde ＜0 D ．abcd 4e ＜0 04．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等，则|y |－|x |的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．9 06．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 07．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abc a b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++==⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，错误!未找到引用源。

北师大版七年級（下）数学第一章整式的乘除教案：整式乘法讲义（含答案）1、掌握单项式与单项式相乘的算理。

2、掌握积的乘方、幂的乘方等单项式乘法公式。

3、灵敏运用公式，简化计算。

1、单项式乘以单项式法那么：单项式与单项式相乘，应用乘法交流律和结合律，把它们的系数、相反字母的幂区分相乘，其他的字母连同它的指数不变，一同作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实践上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法那么完成的。

2、单项式乘以多项式的运算法那么单项式与多项式相乘，就是依据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.3、多项式乘以多项式法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.方法总结：在探求多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个全体，应用分配律停止计算，这里再一次说明了全体性思想在数学中的运用。

4、幂的运算法那么：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即：nmnm aaa+=⋅〔m、n为正整数〕②幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：nmnm aa⋅=）（〔m、n为正整数〕③积的乘方等于把积的每一个因式区分乘方，再把所得的幂相乘。

即：nnn ba)ba(⋅=⋅〔n为正整数〕④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

n -m n m a a a =÷〔m>n ，m 、n 为正整数〕5、乘法的运算律：①乘法的结合律：〔a×b〕×c=a×〔b×c〕②乘法的分配律：a 〔b+c 〕=ab+ac1、单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，应用乘法交流律和结合律，把它们的系数、相反字母的幂区分相乘，其他的字母连同它的指数不变，一同作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实践上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法那么完成的。

【例1】计算：〔1〕〔2xy 2〕·〔13xy 〕; 〔2〕〔－2a 2b 3〕·〔－3a 〕; 〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕; 解：〔1〕〔2xy 2〕·〔13xy 〕 = 〔2×13〕·〔x ·x 〕〔y 2·y 〕 = 23x 2 y 3; 〔2〕〔－2a 2b 3〕·〔－3a 〕 =［〔－2〕·〔－3〕］〔a 2a 〕·b 3=6a 3b 3;〔3〕〔4×105〕·〔5×104〕 = 〔4×5〕·〔105×104〕=20×109=2×1010;留意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算相对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混杂，如2a 3·3a 2=6a 5，而不要以为是6a 6或5a 5.②相反字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.④单项式乘法法那么关于三个以上的单项式相乘异样适用.⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.练1、〔－3a 2b 3〕2·〔－a 3b 2〕5;答案：〔－3a 2b 3〕2·〔－a 3b 2〕5=［〔－3〕2 · 〔a 2〕2 ·〔b 3〕2］·［〔－1〕5 · 〔a 3〕5 ·〔b 2〕5］= 〔9a 4b 6〕·〔－a 15b 10〕= －9·〔a 4·a 15〕·〔b 6·b 10〕= －9a 19b 16;练2、〔－23a 2bc 3〕·〔－34c 5〕·〔13ab 2c 〕. 答案：〔－23 a 2bc 3〕·〔－34c 5〕·〔13ab 2c 〕 =［〔－23〕×〔－34〕×〔34〕］·〔a 2·a 〕〔b ·b 2〕〔c 3·c 5·c 〕 =16a 3b 3c 9【例2】一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它任务5×102秒，可做多少次运算？ 解： 〔4×109〕×〔5×102〕= 〔4×5〕×〔109×102〕= 20×1011 = 2×1012〔次〕答：任务5×102秒，可做2×1012次运算.练4、以下计算正确的选项是〔 〕A ．3a 2·2a 2=5a 2B ．2a 2·3a 2=6a 2C ．3a 2·4b 2=12a 2b2 D ．3a 3·4a 4=12a 12 练5、以下计算正确的选项是〔 〕 A ．5y ·4yx 2＝9x 3y 3B ．〔-2x 3y n z 〕〔-4x n+1y n-3〕=8x n+4y2n-3 C ．〔-x n-2y 2〕〔-xy m 〕2=-x n y2m+2 D ．〔-7a 2b 3〕〔5ab 2c 〕＝-2a 2b 6c 练6、假定〔a n bab m 〕5=a 10b 15那么3m 〔n+1〕的值为〔 〕A ．15B ．8C ．12D ．10答案： C D C2、单项式乘以多项式【例3】计算：〔1〕 2ab 〔5ab 2+3a 2b 〕; 〔2〕 〔32ab 2－2ab 〕·21ab; 〔3〕 －6x 〔x －3y 〕; 〔4〕 －2a 2〔21ab+b 2〕. 解：〔1〕 2ab 〔5ab 2+3a 2b 〕= 2ab ·〔5ab 2〕+2ab ·〔3a 2b 〕——乘法分配律= 10a 2b 3+6a 3b 2——单项式与单项式相乘〔2〕 〔23ab 2－2ab 〕·12ab = 〔23ab 2〕·12ab+〔－2ab 〕·12ab ——乘法分配律 =13a 2b 3－a 2b 2——单项式与单项式相乘 〔3〕 －6x 〔x －3y 〕= 〔－6x 〕·x+〔－6x 〕·〔－3y 〕——乘法分配律= －6x 2+18xy ——单项式与单项式相乘〔4〕 －2a 2〔12ab+b 2〕 = －2a 2·〔12ab 〕+〔－2a 2〕·b 2——乘法分配律 = －a 3b －2a 2b 2——单项式与单项式相乘 练7、计算：()2213266x x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭． 练8、计算：()223412a b ab ab -⨯ 答案：322221123x y x y xy -+ 32233648a b a b - 【例4】计算：6mn 2〔2－31mn 4〕+〔－21mn 3〕2.剖析：在混合运算中，要留意运算顺序，结果有同类项的要兼并同类项.解：原式=6mn 2×2+6mn 2·〔－31mn 4〕+41m 2n 6 =12mn 2－2m 2n 6+41m 2n 6 =12mn 2－47m 2n 6练9、计算()222++3m m m a a a a -+⋅ 练10、计算()()3225+-x x x x ⋅答案： 2+4m m a a + 3x【例5】ab 2=－6，求－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕的值.剖析：求－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕的值，依据题的条件需将ab 2的值全体代入.因此需灵敏运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.解：－ab 〔a 2b 5－ab 3－b 〕= 〔－ab 〕·〔a 2b 5〕+〔－ab 〕〔－ab 3〕+〔－ab 〕〔－b 〕= －a 3b 6+a 2b 4+ab 2= 〔－ab 2〕3+〔ab 2〕2+ab 2当ab 2=－6时原式=〔－ab 2〕3+〔ab 2〕2+ab 2=［－〔－6〕］3+〔－6〕2+〔－6〕=216+36－6=246练11、假定〔a m+1b n+2〕·〔a2n-1·b 2m 〕＝a 5·b 3那么m+n 的值为〔 〕 A ．1 B ．2C ．3D ．-3 剖析：先算等式的左边，再依据题意得m ，n 的方程组，将方程组整理后相加得出m+n 的值．解：由〔a m+1b n+2〕·〔a2n-1·b 2m 〕=a 5·b 3得 a m+2n b 2m+n+2=a 5b 3所以⎩⎨⎧=++=+ ② ①32252n m n m ①+②得3m+3n=6 即m+n=2应选B3、多项式乘以多项式【例6】计算：〔1〕〔1－x 〕〔0.6－x 〕 〔2〕〔2x+y 〕〔x －y 〕 〔3〕〔x －y 〕2 〔4〕〔－2x+3〕2 〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y －2〕.剖析：在做题的进程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接应用法那么停止运算，而要应用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.解：〔1〕〔1－x 〕〔0.6－x 〕 〔2〕〔2x+y 〕〔x －y 〕=〔0.6－x 〕－x 〔0.6－x 〕 = 2x 〔x －y 〕+y 〔x －y 〕=0.6－x －0.6x+x2 = 2x 2－2xy+xy －y 2 =0.6－1.6x+x 2 = 2x 2－xy －y 2或 〔1－x 〕〔0.6－x 〕 或 〔2x+y 〕〔x －y 〕=1×0.6－1×x －0.6x+x ·x = 2x ·x －2x ·y+xy －y 2=0.6－x －0.6x+x2 = 2x 2－xy －y 2 =0.6－1.6x+x 2〔3〕〔x －y 〕2=〔x －y 〕〔x －y 〕 或〔x －y 〕2=〔x －y 〕〔x －y 〕=x 〔x －y 〕－y 〔x －y 〕 =x ·x －x ·y －x ·y+y ·y=x 2－xy －xy+y2 =x 2－2xy+y 2 =x 2－2xy+y 2〔4〕〔－2x+3〕2〔5〕〔x+2〕〔y+3〕－〔x+1〕〔y －2〕= 〔－2x+3〕〔－2x+3〕 = 〔xy+3x+2y+6〕－〔xy－2x+y－2〕= －2x〔－2x+3〕+3〔－2x+3〕 = xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2= 4x2－6x－6x+9 = 5x+y+8= 4x2－12x+9评注：〔3〕〔4〕题应用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算.〔5〕整式的混合运算，一定要留意运算顺序.练12、计算：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕; 〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕;〔3〕〔x+2y〕2〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕.解：〔1〕〔m+2n〕〔m－2n〕〔2〕〔2n+5〕〔n－3〕=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n = 2n·n－3·2n+5n－5×3=m2－2mn+2mn－4n2 = 2n2－6n+5n－15=m2－4n2 = 2n2－n－15〔3〕〔x+2y〕2 〔4〕〔ax+b〕〔cx+d〕= 〔x+2y〕〔x+2y〕 = ax·cx+ax·d+b·cx+bd= x2+2xy+2xy+4y2 = acx2+adx+bcx+bd= x2+4xy+4y2想一想：由计算失掉27×23=621，发现积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×〔2+1〕.换两个数84×86=7224异样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相反，个位数字之和为10的两位数的积能否也有这样的规律？剖析：依据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相反外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设这样的两位数区分为10a+b和10a+c〔a，b，c都是正整数，并且b+c=10〕.依据多项式与多项式的乘法，经过对结果变形，就可说明.解：设这样的两位数区分为10a+b和10a+c〔a、b、c都是正整数，并且b+c=10〕.依据多项式与多项式相乘的运算法那么可知，这两个数的乘积为〔10a+b〕〔10a+c〕=100a2+10a〔b+c〕+bc=100a2+100a+bc=100a〔a+1〕+bc结论：这个式子通知我们：求十位数相反，个位数字之和等于10的两个两位数的积，可以用十位上的数a去乘比它大1的数〔a+1〕，然后在乘积的前面添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积.【例7】计算：〔1〕32×38 〔2〕54×56 〔3〕73×77解：〔1〕3×〔3+1〕=12，2×8=16 〔2〕5×〔5+1〕=30，4×6=24∴32×38=1216 ∴54×56=3024〔3〕7×〔7+1〕=56，3×7=21∴73×77=56214、综合运用【例8】规律探求题〔1〕研讨以上等式：①1×3+1=4=22;②2×4+1=9=32;③3×5+1=16=42;④4×6+1=25=52…你发现有什么规律？依据你的发现，找出表示第n个等式的公式并证明.〔2〕计算以下各式，你能发现什么规律吗？〔x－1〕〔x+1〕= .〔x－1〕〔x2+x+1〕= .〔x－1〕〔x3+x2+x+1〕= .〔x－1〕〔x4+x3+x2+x+1〕= .〔x －1〕〔x n +x n－1+…+x+1〕= .答案：〔1〕n 〔n+2〕+1=〔n+1〕2，证明略〔2〕x 2－1，x 3－1，x 4－1，x 5－1，…x n+1－1〔3〕A =987654321×123456789， B =987654322×123456788.试比拟A 、B 的大小.剖析：这么复杂的数字经过计算比拟它们的大小，十分冗杂.我们观察就可发现A 和B 的因数是有关系的，假设借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给处置效果带来方便.解：设a=987654321，那么a+1=987654322; b=123456788， b+1=123456789，那么A=a 〔b+1〕=ab+a; B=〔a+1〕b=ab+b.而依据假定可知a>b 所以A>B.1. 以下各式计算正确的选项是〔 〕 〔A 〕()()2322623b a ab b a =-- 〔B 〕()()5321021106102⨯-=⨯⨯⨯-. 〔C 〕223222212b a b a b ab a --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 〔D 〕()6332b a ab -=-2. 假定992213y x y x y x n n m m =⋅++-，那么n m 43-的值为〔 〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕63. 假定()()1532-+=++kx x m x x ，那么m k +的值为〔 〕〔A 〕7- 〔B 〕5 〔C 〕2- 〔D 〕24. 化简()()()233232+---x x x 的结果是〔 〕 〔A 〕x 11 〔B 〕x 11- 〔C 〕12862+-x x 〔D 〕12-x5.如图是长10cm ，宽6cm 的长方形，在四个角剪去4个边长为x cm 的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是〔 〕〔A 〕()()x x 21026-- 〔B 〕()()x x x --106〔C 〕()()x x x 21026-- 〔D 〕()()x x x --10266. 假定72)43)((2++=+-cx bx x b ax ，那么()c b a -⨯+)(的值为〔 〕〔A 〕36 〔B 〕72 〔C 〕108 〔D 〕7207. 032=-+a a ，那么()42+a a 的值是〔 〕〔A 〕9 〔B 〕12- 〔C 〕15- 〔D 〕18-8. 将〔1〕中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图〔2〕所示.依据这两个图形的面积关系，以下式子成立的是〔 〕〔A 〕()()22b a b a b a -=-+ 〔B 〕()2222b a b ab a +=++〔C 〕()2222b a b ab a -=+- 〔D 〕()222b a b a -=-9. 假定单项式m y x 26-与3131y x n -是同类项，那么这两个单项式的积是 . 10. 32-=ab ，那么()=---b ab b a ab 352 . 11. 假定212=++a a ，那么()()=+-a a 65 .12.观察以上等式：()1212112⨯+=+⨯，()2222222⨯+=+⨯，()3232332⨯+=+⨯，…… ，那么第n 个等式可以表示为 ．13. 一个多项式除以122-x ，商式为2-x ，余式为1-x 那么这个多项式是 .14. ()()q x x px x +-++3822展开后不含2x 与3x 的项，那么=p ，=q .15. 数学家发明了一个魔术盒，当恣意数对()b a ,进入其中时，会失掉一个新的数：()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中失掉数n ，再将数对()m n ,放入其中后，失掉的数是 .16. 1km 2的土地上，一年内从太阳失掉的能量相当于熄灭1.3×108 km 2煤所发生的能量，那么我国9.6×106km 2的土地上，一年内从太阳失掉的能量相当于熄灭煤 千克.17. 计算：〔1〕3423332435⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅c ab b a ab〔2〕()()()131312-++-+-x x x x x x 18. 先化简下面的代数式，再求值： )4()2)(2(a a a a -+-+，其中1+=πa .19. 解方程组：⎩⎨⎧-=-=-+123)4)(5(y x xy y x20. 下面是小明和小红的一段对话：小明说：〝我发现，关于代数式()()()x x x x x 1033231++-+-，当2008=x 和2009=x 时，值居然是相等的.〞小红说：〝不能够，关于不同的值，应该有不同的结果.〞在此效果中，你以为谁说的对呢？说明你的理由.21. ()()()y x x x A 31112---+=，12-+-=xy x B ，且B A 63+的值与x 有关，求y 的值.参考答案当堂检测1. D2. B3. A4. B5. C6. D7. A8. A家庭作业9. 642y x - 10. 21- 11. 2912. ()n n n n 222+=+13. 14223+-x x 14. 3=p ，1=q 15. 22m m -+ 16.1510248.1⨯17. 〔1〕3177910c b a 〔2〕12-x 18. 44a -，π4 19. ⎩⎨⎧==85y x 20. 原式化简的结果是2-，因此小明说的对.21. 96363--=+x xy B A 9)615(--=x y当15y-6=0，即52=y 时，其值与x 有关.。

整式的乘除培优讲义【知识精要】:1幂的运算性质：① 〔、为正整数〕 ② 〔为正整数〕 ③ 〔、为正整数〕 ④〔、为正整数，且〕〔〕〔，为正整数〕2整式的乘法公式：①② ③3. 科学记数法，其中4单项式的乘法法那么：单项式与单项式相乘，把他们的系数，一样字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式。

5.单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，多项式与多项式相乘的法那么；6．多项式与多项式相乘：先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

7单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式。

8多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

【例题解析】:例1, 计算:教师寄语：. 任何的限制，都是从自己的内心开场的。

忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。

21、(a＋b＋c)(a－b－c) 2，,3、20212－2021×20074、(2a-b)2(b+2a)2例2，求的值。

例3 [例2] ，，求的值。

例4 [例3]，求的值。

例5 [例4] ，，求的值。

【课堂精练】:1. 〔为偶数〕2用科学记数法表示为3.4.5.6.7. 假设，那么8. 如果，那么=〔〕A. B. C. D.9. 所得结果是〔〕A. B. C. D. 210. 为正整数，假设能被整除，那么整数的取值范围是〔〕A. B. C. D.11. 要使成为一个完全平方式，那么的值为〔〕A. B. C. D.12. 以下各式能用平方差公式计算的是〔〕A. B.C. D.13.计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔为正整数〕〔4〕【培优拓展】:1.，求的值。

2. 假设，求的值。

3.，求的值。

4.己知x+5y=6 , 求 x 2+5xy+30y 的值。

5计算〔1－221〕〔1－231〕〔1－241〕…〔1－291〕〔1－2011〕的值．6.假设〔x 2＋px ＋q 〕〔x 2－2x －3〕展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．7．〔a －1〕〔b －2〕－a 〔b －3〕＝3，求代数式 ½〔a ²+b ²〕－ab 的值．8.化简求值：[〔x ＋21y 〕2＋〔x －21y 〕2]〔2x 2－21y 2〕，其中x ＝－3，y ＝4．①.设12142++mx x 是一个完全平方式，那么m =_______。