广州市第一中学2010届高三数学第二轮复习专题——函数的定义域和值域

高三数学 函数的值域、函数奇偶性与周期性、函数的单调性 知识精讲（一）函数的值域 1. 函数的值域：值域是全体函数值所成的集合，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。

因此，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑其定义域。

2. 基本函数的值域：（1）一次函数y kx b k =+≠()0的值域为R ；（2）二次函数y ax bx c a =++≠20()，当a >0时值域是442ac b a-+∞⎡⎣⎢⎫⎭⎪，，当a <0时，值域是-∞-⎛⎝ ⎤⎦⎥，442ac b a ； （3）反比例函数y kxk =≠()0的值域为y R ∈，且y ≠0；（4）指数函数y a a a x=>≠()01，且的值域是R +； （5）对数函数y x a a a =>≠log ()01，且的值域是R ；（6）正弦函数y x =sin 、余弦函数y x =cos 的值域为[]-11，，正切函数y x =tan 、余切函数y x =cot 的值域为R 。

3. 求值域的基本方法： （1）分析观察法求值域有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

（2）配方法求值域二次函数或能转化为形如：F x a f x bf x c ()[()]()=++2型的函数的值域，均可用配方法，但要注意f x ()的取值范围。

（3）不等式法求值域利用基本不等式a b ab a b c abc +≥++≥233，可求某些函数的值域，但要注意“全正、定值、取等号”的条件。

（4）判别式法求值域把函数转化为关于x 的二次方程F x y (,)=0，通过方程有实根，判别式∆≥0，从而求得原函数的值域。

形如y a x b x c a x b x c a a =++++1211222212()，不同时为零的函数的值域常用此法求得。

（5）反函数法求值域利用函数与它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。

高三数学第二轮专题复习系列(2)-- 函数一、本章知识结构：二、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、热点分析函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。

在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。

以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。

考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。

②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。

③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。

四、复习建议1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等；函数的三要素函数的表示法 函数的性质 反函数 函数的应用 初等函数基本初等函数： 指数函数 对数函数对数指数映射函数射⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。

第2课时 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y ＝221x +，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x -1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x -，可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.例1. 求下列函数的定义域： （1）y=xx x -+||)1(0 (2)y=232531x x -+-;1·1-+x x解：（1）由题意得,0||01⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨⎧>-≠x x x 即.01⎩⎨⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-（2）由题意可得,050322⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠x x故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3（3）要使函数有意义，必须有,0101⎩⎨⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=212)2lg(xx x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x 函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--（3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππ 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域（1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ;(4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤31的定义域为［0, 31］（2）仿（1）解得定义域为［1，（3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的交集列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31. （４）由条件得,111010⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 讨论：①当⎩⎨⎧+≤--≤,11,1a a a a 即0≤a≤21时，定义域为［a,1-a ］②当⎩⎨⎧+≤--≤,1,a a a a 即-21≤a≤0时，定义域为［-a,1+a ］综上所述：当0≤a≤21时，定义域为［a ，1-a ］；当-21≤a≤0时，定义域为［-a ，1+a ］变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x -a)（0＜a ＜21）的定义域是 （ ）A.∅［a ，1-a ］［-a ，1+a ］［0，1］解：例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x21- (3)y=1e 1e +-xx解：（1）方法一 （配方法）∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31. 方法二 （判别式法）由y=,122+--x x xx 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x ∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.（2）方法一 （单调性法）定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,.方法二 （换元法）令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t --21（t+1）2+1≤21（t≥0）∴y∈（-∞，21］（3）由y=1e 1e +-x x 得,e x =.11yy-+x＞0,即yy-+11＞0,解得-1＜y ＜∴函数的值域为{y|-1＜y ＜变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=521+-x x (2)y=|x|21x-解：（1）(分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21(2)方法一 (换元法∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α故函数值域为［0，21］.方法二 y=|x|·,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ① f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a变式训练4：已知函数f(x)=x 2-（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域解： (1）∵函数的值域为［0，∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1). ∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.。

第2课时 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y ＝221x +，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x -1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x -，可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.例1. 求下列函数的定义域： （1）y=xx x -+||)1(0; (2)y=232531x x -+-; (3)y=1·1-+x x .解：（1）由题意得,0||01⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨⎧>-≠x x x 即.01⎩⎨⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-1}.（2）由题意可得,050322⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠x x故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3}. （3）要使函数有意义，必须有,0101⎩⎨⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.基础过关典型例题变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=212)2lg(xx x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x ∴函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--Y Y（3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππY Y 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ;(4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤31,y=f(3x)的定义域为［0, 31］.（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).（3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的交集.列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31. （４）由条件得,111010⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 讨论：①当⎩⎨⎧+≤--≤,11,1a a a a 即0≤a≤21时，定义域为［a,1-a ］;②当⎩⎨⎧+≤--≤,1,a a a a 即-21≤a≤0时，定义域为［-a,1+a ］.综上所述：当0≤a≤21时，定义域为［a ，1-a ］；当-21≤a≤0时，定义域为［-a ，1+a ］. 变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x -a)（0＜a ＜21）的定义域是 （ ）A.∅B.［a ，1-a ］C.［-a ，1+a ］D.［0，1］解：B例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x 21-; (3)y=1e 1e +-x x .解：（1）方法一 （配方法） ∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31. 方法二 （判别式法）由y=,122+--x x xx 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x ∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.（2）方法一 （单调性法） 定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-21,.方法二 （换元法） 令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t -∴y=-21（t+1）2+1≤21（t≥0）,∴y∈（-∞，21］. （3）由y=1e 1e +-x x 得,e x =.11y y-+∵e x＞0,即yy-+11＞0,解得-1＜y ＜1.∴函数的值域为{y|-1＜y ＜1}. 变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=521+-x x; (2)y=|x|21x -.解：（1）(分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21}.(2)方法一 (换元法)∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α|, 故函数值域为［0，21］.方法二 y=|x|·,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值. 解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ① f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a变式训练4：已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1).∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.小结归纳。

高 三 数 学---集合与函数【教学内容】集合、函数的定义域、值域等【教学目标】1、集合是不定义的概念，在理解集合概念的同时，必须掌握集合元素的确定性、互异性及无序性的性质，并能运用这些性质来解题。

注意元素与集合之间是属于或不属于的关系，而集合与集合间是包含或不包含的关系，两者不解混淆。

要熟练地进行集合的交、并、补的运算，在运算时，应首先将集合化简，如果集合中含字母时，必须对字母的取值进行讨论。

集合作为一种数学工具，它与数学的其他各个分支有着密切的联系，复习时要加深对它的理解。

2、函数是一种特殊的映射，在理解函数的概念时要特别注意函数的定义域为非空数集。

若给出函数的解析式，求函数的定义域时我们通常从以下几个方面来考虑；（1）若有分母则分母不为零；（2）若有偶次根式，则被开方数非负；（3）若有对数式，则真数大于零且底数大于零而不等于1，求一个函数的定义域时实质上就是求由上述的不等式得到的不等式组的解集。

对于反函数，由于反函数的定义域和值域分别是它原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不是由其对应法则本身确定，而应是它的原函数值域。

3、对于常见的一些函数，我们应掌握其值域或最大（小）的求法。

（1）配方法是求二次函数值域的基本方法，当有些化成形如二次函数的复合函数（如y=a[f(x)-b]2+c ），求值域时必须注意f(x)的取值范围。

（2）函数)0( ≠++=c d cx b ax y 的值域是的值域是y ∈R 且ca y ≠.（3）函数22rqx pxc bx ax y ++++=(px 2+qx+r ≠0)可以用判别式法来求其值域。

（4）对于某些元理函数常用换元法求值域，通过变量代替达到化繁为简、化难为易的目的，其中的三角换元可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题来处理。

（5）对于一些特殊的函数可利用函数的单调性来求该函数在某闭区间上的值域。

（6）利用函数图象或几何方法求出函数的值域也是求值域的较常见的方法之一。

专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。

本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。

复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。

【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。

解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。

令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。

故集合A 中的元素最多为6个。

（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。

高考数学知识点-函数定义域、值域?定义域
(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

值域
名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。

常用的求值域的方法
(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。

平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。

然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与
值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——函数的定义域和值域定义域部分知识点及方法:求函数的定义域;定义域在函数、方程、不等式中的应用 1.求函数的定义域 (1) 51log 3.0+=x y (2) )1,0()(log )(log 222≠>-⋅-=a a ka x a x y a a(3) )2lg()(xxk a x f -=(4) 设函数f ( x )的定义域是 [0 , 2 ] , 求f ( x 2)的定义域.(5) 设函数f ( x )的定义域是 [-1 , 1 ]求函数)41()41(+⋅-=x f x f y 的定义域. (6) 设函数f ( x )的定义域是[ a , b ] , b>a>0,求函数g(x) = f(x+c) +f (x —2c )的定义域. (8) 设函数的定义域是[0,1], 求函数的定义域.2. 增强定义域意识在用换元法应同时注意定义域(1) 求函数 y=sinxcosx+sinx-cosx+2 的值域. (2) 求函数()231f x x x =+-的值域.(3) 若方程9(4)340xxa ++⋅+=有解,求实数的取值范围. (4) 若方程2(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2,求的取值范围.在求函数值域、最值中,注意定义域 (1) 已知求222u x y x =+-的取值范围.(2) 已知223sin 2cos 2cos x y y +=,求22sin sin u x y =+的取值范围. (3)α、β是方程的两个实根，求22(2)(2)αβ-+-的取值范围.在解方程、不等式时应保持方程和不等式中的函数的定义域在变形中不变(1) 解不等式22log (1)2x -<(2) 求函数cos3cos ()cos x xf x x-=的最值.(3) 求函数222sin cos 1sin x xy x+-=+的值域.此外在化简函数的表达式或讨论函数性质时应注意函数的定义域。

1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A 专高中数学函数的定义域（解析版）．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．考点一求给定解析式的函数的定义域【方法总结】常见函数定义域的类型【例题选讲】[例1](1)函数y ＝ln(1－x )x ＋1＋1x的定义域是()A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)答案D解析－x >0，＋1>0，≠0，解得－1<x <0或0<x <1．所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg(x ＋1)的定义域为()A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3]答案B解析要使函数有意义，xx 2＋2x ＋3≥0，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．(3)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是()A ．(－2，0)∪(1，2)B ．(－2，0]∪(1，2)C ．(－2，0)∪[1，2)D ．[－2，0]∪[1，2]答案C 解析，>0，所以x ∈(－2，0)∪[1，2)．(4)函数f (x )＝2－2x ＋1log 3x的定义域为()A ．{x |x <1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x >1}答案B解析－2x ≥0，>0，3x ≠0，∴0<x <1．(5)函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．答案(0，2]解析－|x －1|≥0，x －1≠0，x ≤2，≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．【对点训练】1．下列函数中，与函数y 的定义域相同的函数为()A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x1．答案D解析函数y 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}；y ＝ln xx 的定义域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}．故选D ．2．函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是()A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)2．答案D解析由题意，x －4>0，－3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为()A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．答案C解析x －1≥0，－2≠0，解得x ≥0，且x ≠2．4．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg(x －1)的定义域为()A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10]4．答案D解析要使函数f (x )有意义，则x ＋9x －x 2≥0，－1>0，x －1)≠0，x ＋1)(x －10)≤0，>1，≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，10]．5．函数y ＝＋1－x 2的定义域为________．5．答案(0，1]解析＋1x >0，－x 2≥0<－1或x >0，1≤x ≤1⇒0<x ≤1．所以该函数的定义域为(0，1]．考点二求抽象函数的定义域【方法总结】求抽象函数定义域的方法【例题选讲】[例2](1)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1，1)B 1C ．(－1，0)D 答案B解析令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1，0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12．(2)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f (x －1)的定义域为()A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D －12，答案C解析1<x2<1，1<x －1<1，2<x <2，x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f (x －1)的定义域为(0，2)．(3)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，3]答案A解析x ≤2，－2x ≥0，解得0≤x ≤1．故选A ．(4)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案[－1，2]解析因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．(5)若函数y ＝f (2x)的定义域为12，2，则y ＝f (log 2x )的定义域为________．答案，16]解析由题意可得x ∈12，2，则2x ∈[2，4]，log 2x ∈[2，4]，解得x ∈，16]，即y ＝f (log 2x )的定义域为，16]．【对点训练】6．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为()A ．13，53B ．－1，53C ．[－3，1]D ．13，16．答案A解析由－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，即f (x )的定义域为[－1，3]．由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53，则函数f (3x －2)的定义域为13，53，故选A ．7．设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为()A ．(－9，＋∞)B ．(－9，1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9，1)7．答案B解析f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]－x >0，－lg(1－x )>0的解集，解得－9<x<1，所以f [f (x )]的定义域为(－9，1)．故选B ．8．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0，1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是()A ．[1，2]B ．(－1，1]C ．－120D ．(－1，0)8．答案D解析由f (2x －1)的定义域是[0，1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1，1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足1≤2x ＋1≤1，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0．9．若函数f (x ＋1)的定义域为[0，1]，则f (2x －2)的定义域为()A ．[0，1]B ．[log 23，2]C ．[1，log 23]D ．[1，2]9．答案B解析∵f (x ＋1)的定义域为[0，1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2．∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2．∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23，2]．考点三已知函数定义域求参数【方法总结】解决已知定义域求参数问题的思路方法【例题选讲】[例3](1)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为_________．答案[－2，2]解析若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2]．(2)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是()A ．[0，4)B ．(0，4)C ．[4，＋∞)D ．[0，4]答案D解析由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4．综上可得：0≤m ≤4．(3)若函数f (x )2221x ax a+--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案[－1，0]解析因为函数f (x )的定义域为R ，所以22+2-x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即22+2-x ax a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0．(4)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A 0，34B ．0，34C ．0，34D ．0，34答案D 解析∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是0，34【对点训练】10．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________．10．答案－∞，－14解析由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14．11．若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．11．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92．12．若函数y＝ax＋1的定义域为R，则实数a的取值范围是________．ax2＋2ax＋312．答案[0，3)解析因为函数y＝ax＋1的定义域为R，所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函ax2＋2ax＋3数u＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数u＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a＜0，解得0＜a＜3．综上所述，a的取值范围是[0，3)．。

专题5函数的定义域与值域专题知识梳理1．函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合．(2)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式组；③写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．(3)常见基本初等函数的定义域：①分式函数中分母不等于零；②偶次根式函数中被开方式大于或等于0；③一次函数、二次函数的定义域为R ．④y ＝a x ，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ．⑤y ＝tanx 的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k ∈Z }．⑥函数log a y x =的定义域为{x|x>0}．2．函数的值域(1)在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域：①y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．②y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为24[,)4ac b a -+∞；当a<0时，值域为24(,]4ac b a --∞．③y ＝k x(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④y ＝a x (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．⑥y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]．⑦y ＝tanx 的值域是R ．3．最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2)存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ．那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)．考点探究考向1函数的定义域【例1】求下列函数的定义域：（1）f (x )＝x －104－2x ；（2）()312log (1)xf x x -=-；（3）已知函数f(2x )的定义域是[－1，1]，求f(x)的定义域．【解析】（1）为使函数有意义，必须且只须自变量x 1≠0，，2x >0，≠1，≥0，<2.即01x ≤<，或12x <<．∴函数f (x )的定义域为[0，1)∪(1，2)．（2）为使函数有意义，必须且只须自变量x 满足1011x x -⎧⎨-≠⎩＞，即1x ＞且2x ≠．故原函数的定义域为(1,2)(2,)+∞ ．（3）∵f(2x )的定义域为[－1，1]，即－1＜x ＜1，∴12≤2x ≤2，故f(x)的定义域为12，2．题组训练1.（2019·江苏卷）函数的定义域是______．【解析】由，得，解得：．函数的定义域是．故答案为：．2．已知函数[lg(1)]y f x =+的定义域为[0,9]，则()y f x =的定义域为________.【解析】∵函数[lg(1)]y f x =+的定义域为[0,9]，∴09x ≤≤，得1110x ≤+≤，∴0lg(1)1x ≤+≤．故()y f x =的定义域为[0,1].3.已知函数f （x ）的定义域是1(,8]2，则(2)x f 的定义域是．【解析】∵f （x ）的定义域是1(,8]2，∴1282x <≤，解得﹣1＜x≤3．∴f （2x ）的定义域是（﹣1，3]．【例2】(1)若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________；(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．【解析】(1)因为函数f (x )的定义域为R ，所以222x ax a +-－1≥0对x ∈R 恒成立，即222x ax a +-≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0．所以实数a 的取值范围是[1,0]-．(2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以方程ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数t ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3．综上所述，实数a 的取值范围是[0，3)．题组训练1.若函数的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______．【解析】函数的定义域为R ，对任意实数x 恒成立．若，不等式成立；若，则，解得．综上：．故答案为：． 2.函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______．【解析】函数的定义域为R ，恒成立．若，则不等式等价为，即，不满足条件．若，要使不等式恒成立，则即，解得，综上，故答案为：.考向2函数的值域【例】求下列函数的值域．(1)y ＝x ＋4x；(2)y ＝2x －1＋5－2x ；(3)y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4)y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．【解析】(1)解法1（函数单调性法）任取x 1，x 2(x 1x 2≠0)，且x 1＜x 2，∵f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－(x 2＋4x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2，∴当x 1＜x 2≤－2或2≤x 1＜x 2时，f (x )递增；当－2＜x 1＜x 2＜0或0＜x 1＜x 2＜2时，f (x )递减．故x ＝－2时，f (x )极大＝f (－2)＝－4；x ＝2时，f (x )极小＝f (2)＝4．∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．解法2（基本不等式法）当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ×4x＝4，当且仅当x ＝2时，“＝”成立；当x ＜0时，x ＋4x ＝－(－x －4x)≤－4，当且仅当x ＝－2时“＝”成立．∴y ∈(－∞，－4]∪[4，＋∞)，即所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(2)解法1（配方法）∵12≤x ≤52，∴y 2＝4＋2－4x 2＋12x －5＝4＋2－4（x －32）2＋4，∴4≤y 2≤8，∴2≤y ≤22．∴函数的值域为．解法2（换元法）令2x －1＝2cos θ，5－2x ＝2sin θ，θ∈π[0,]2，∴y ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin(θ＋π4)，θ＋π4∈[π4，3π4]，∴y [2，22]．∴函数的值域为．（3）解法1（单调性法）由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合函数的图象可知，函数在[3，5]上是单调递增函数，所以y max ＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是54，32．解法2（反表示法）由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y 2－y．因为x ∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y≤32，即所求函数的值域是54，32．(4)(基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t＝t ＋2t －2(t>0)．因为t ＋2t ≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[22－2，＋∞)．题组训练1.函数的值域是______．【解析】令，，即，，函数在区间上是减函数，故，故函数的值域是．故答案为．2.函数的值域为__________．【解析】因为函数，得对称轴，开口向下，所以当时，当时，所以值域为．故答案为．3.函数的值域是______．【解析】，，即函数的值域是．故答案为：．4.函数的值域为________．【解析】，由，则，，，函数的值域为，故答案为．考向3函数的定义域、值域和最值的综合题【例】已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．【解析】(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]，∴错误!－2a＋5＝a，2－2a2＋5＝1，解得a＝2．∴实数a 的值为2．(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2．又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2．∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3．∴实数a 的取值范围是[2,3]．题组训练1.已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．【解析】∵函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，∴x 2－2x ＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a ＝0，则a ＝1．即实数a 的取值集合为{1}．2.已知函数f(x)＝a x ＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．【解析】当a>1－1＋b ＝－1，0＋b ＝0，无解；当0<a<1－1＋b ＝0，0＋b ＝－1，解得b ＝－2，a ＝12，则a ＋b ＝12－2＝－32．3.若函数y ＝f (x )＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b ]，则b 的值为_______．【解析】∵y ＝f(x)＝12(x 2－4x ＋8)＝12(x －2)2＋2，∴其图象的对称轴是x ＝2．因此y ＝f(x)在[2，2b]上是递增函数，且2b>2，即b>1．又函数y ＝f(x)＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，所以有f(2b)＝2b ，即12(2b)2－2×2b ＋4＝2b ，∴b 2－3b ＋2＝0，∴b ＝1(舍去)，b ＝2．∴实数b 的值为2．4.（拔高题）已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a ，b](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a ，b)共有________个．【解析】由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4|x|＋2≤2，解之，得0≤|x|≤2，∴满足整数数对的有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．。

函数定义域函数值域高一数学知识点总结函数定义域函数值域高一数学知识点总结「篇一」一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的.定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R。

②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。

3. 求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。

高三数学第二轮复习知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!高三数学第二轮复习知识点归纳高考没有足够的时间让你反复验算，更不容你一再地变换解题方法，下面是本店铺为大家整理的高三数学第二轮复习知识点归纳，仅供参考，喜欢可以收藏与分享哟!高三数学第二轮复习知识点归纳1、混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。