自考04184线性代数(经管类)自考核心考点笔记自考重点资料

自考线性代数经管类笔记线性代数是一门应用广泛的数学学科，对于经管类专业的学生来说尤为重要。

本篇笔记将详细介绍线性代数的基本概念和常用方法，以及其中涉及到的经管类应用。

一、向量和矩阵1.1 向量的定义和运算向量是由有序的一组数按照一定顺序排列而成的对象，常用于表示多维度的数据。

向量的加法和数乘是基本的运算操作，能够实现向量之间的合成和缩放。

1.2 矩阵的定义和运算矩阵是由多个向量按行或按列排列而成的矩形数组。

矩阵的加法、数乘和乘法是常见的运算操作，通过这些运算可以实现线性方程组的求解和数据的变换。

二、线性方程组2.1 线性方程组的概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合，可以用矩阵和向量的形式表示。

线性方程组通常用来描述多个变量之间的关系。

2.2 线性方程组的解法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法，通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为简化的行阶梯形式，从而得到方程组的解。

三、矩阵的应用3.1 线性变换线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的一种特殊变换，可以用矩阵表示。

在经管类问题中，线性变换常用于描述经济模型、市场规模和供求关系等。

3.2 特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要指标，可以用来判断矩阵的稳定性和变换的特征。

四、行列式4.1 行列式的概念行列式是一个与矩阵相关的标量，可以用来判断矩阵的可逆性、求解线性方程组和计算面积、体积等几何量。

4.2 行列式的性质行列式具有一系列重要的性质，包括行列式的展开性质、可逆矩阵的行列式性质和矩阵乘法的行列式性质等。

五、矩阵的特殊类型5.1 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置矩阵等于矩阵本身，具有特殊的性质和应用，常用于描述系统的对称程度和分析力学中的刚体问题。

5.2 正定矩阵正定矩阵是指矩阵的所有特征值都大于零，是优化问题和概率论中常见的矩阵类型。

六、线性代数的应用6.1 经济学中的应用线性代数在经济学中有广泛的应用，如求解均衡价格、计算生产函数、分析供求关系等。

第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。

从考试大纲来看。

虽然只占13%左右。

但在其他章。

的试题中都有必须用到行列式计算的内容。

故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。

1.1 行列式的定义1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。

解：应用消元法得当时。

得同理得定义称为二阶行列式。

称为二阶行列式的值。

记为。

于是由此可知。

若。

则二元一次方程组的解可表示为：例2二阶行列式的结果是一个数。

我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。

使得当后将消去。

得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。

在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。

定义1.1.1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为;类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

例3 计算例4 （1）（2）例5 当x取何值时，？为将此结果推广到n元一次方程组。

需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。

1.1.2 阶行列式的定义定义1.1.2 当n时，一阶行列式就是一个数。

当时，称为n阶行列式。

定义（其所在的位置可记为的余子式的代数余子式。

定义为该n阶行列式的值。

即。

容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。

n阶行列式为一个数。

例6 求出行列式第三列各元素的代数余子式。

例7（上三角行列式）1.2 行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例1 下三角行列式＝主对角线元素的乘积。

例2 计算行列式例3 求n阶行列式小结1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。

2.二阶行列式的定义。

3.阶行列式的定义。

即。

4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。

作业p8 习题1.1 1（1）（2）（3）（5）（6），3作业 p11习题1.2 1，2，3（1），（2），41.3 行列式的性质及计算1.3.1 行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。

第一章行列式（一）行列式的定义1．行列式的定义D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.3．特殊行列式①②③（二）行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：第二章矩阵（一）矩阵的定义矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B2．矩阵的加、减法设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)3．数乘运算设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B4．乘法运算设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A5．方阵的乘幂与多项式方阵A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。

线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

线性代数（经管类）考点逐个击破第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由如干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按肯定的规章进行运算，其结果为一个确定的数.1. 二阶行列式由4 个数a ij (i , j 1,2) 得到以下式子：a11a21a12a22称为一个二阶行列式，其运算规章为2. 三阶行列式a11a21a12a22a11a22 a12 a21由9 个数a ij (i, j 1,2,3) 得到以下式子：a11a 21a31a12a22a32a13a23a33称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采纳递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3. 余子式及代数余子式设有三阶行列式a11D3a21a31a12a22a32a13a23a33对任何一个元素a ij ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素a ij 的余子式，记成M ij例如M 11a22a32a23a33，M 21a12a32a13a33，M 31a12a22a13a23再记Aij ( 1)i Mij，称A ij为元素a ij的代数余子式.例如A11 M 11 ，A21M 21 ，A31 M 31 那么，三阶行列式D3定义为a11D3a21a31a12a22a32a13a23a33a11A11a21A21a31A31我们把它称为D3按第一列的绽开式，常常简写成D33ai 1i 1Ai13( 1)ii 1ai 1Mi14．n 阶行列式j1一阶行列式D 1 a 11 a 11n 阶行列式a 11 a 21 D na 12 a 22 a 1n a 2 na 11 A 11a 21 A 21a n1 A n1a n1 a n2a n n其中 A ij (i , j1,2, , n ) 为元素 a ij 的代数余子式 .5．特殊行列式上三角行列式a 11a 12 a 22a 1n a 2 na 11a 22a nn0 a nna 110 0下三角行列式a 21a 220 a 11a 22a nna n1 a n 2a nna 110 0对角行列式0 a 22 0 a 11a 22a nn（二）行列式的性质性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即a nnDD T性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的全部元素所得到的行列式等于 kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数 .性质 3 互换行列式的任意两行（列） ，行列式的值转变符号 . 推论 1 假如行列式中有某两行（列）相同，就此行列式的值等于零 .推论 2 假如行列式中某两行（列）的对应元素成比例，就此行列式的值等于零.性质 4 行列式可以按行（列）拆开 .性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的全部元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D. 定理 1（行列式绽开定理）n 阶 行 列 式 Da ij n 等 于 它 的 任 意 一 行 （ 列 ） 的 各 元 素 与 其 对 应 的 代 数 余 子 式 的 乘 积 的 和 ， 即D a i1 A i1a i 2 A i 2a in A in (i 1,2, ,n)或 Da 1 j A 1 ja 2 j A 2 ja nj A nj ( j1,2, , n )前一式称为 D 按第 i 行的绽开式，后一式称为D 按第 j 列的绽开式 .本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列绽开来求出它的值 .定理 2 n 阶行列式 Da ij n 的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即 a i1 A k 1 a i 2 A k 2 a in A kn0(i k )或 a 1 j A 1sa 2 j A 2 s a nj A ns0( j s )（三）行列式的运算行列式的运算主要采纳以下两种基本方法：（ 1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要留意的是，在互换两行或两列时，必需在新的行列式的前面乘上（－ 1），在按行或按列提取公因子k 时，必需在新的行列式前面乘上k.（ 2）把原行列式按选定的某一行或某一列绽开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生许多个“0”元素，再按这一行或这一列绽开：例 1 运算行列式D 42 1 4 13 1 2 1 5 2 3 2 7 0 2 5解：观看到其次列第四行的元素为 0，而且其次列第一行的元素是非零元素化为 0，然后按其次列绽开 .2 1 4 12 1 4 1a 121，利用这个元素可以把这一列其它两个5 6 23 1 2 12行 D 45 2 3 2 3行 1 1行 ( 2) 1行 5 06 21 0 5 0 按其次列绽开 1 5 07 2 5 7 0 2 5 7 0 2 55 31 22列 5 1列 1 0 0 按其次行绽开7 37 531 2 8137 5例 2 运算行列式D 4解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在运算它的值时，切忌用文字作字母，由于文字可能取 0 值 .要留意观察其特点， 这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为 a 3b （我们把它称为行和相同行列式） ，我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子a 3b ，再将后三行都减去第一行：a b b b a b a b b a b b a b a b b b aa 3b b b b3b a b b3b b a b 3b b b a1 1 (a 3b)1 1 b b b a b b b a b b b a 1 b bb 0 a b 0 0(a 3b)0 0 a b 00 a b(a 3b)( a b)方法 2 观看到这个行列式每一行元素中有多个b ，我们采纳“加边法”来运算，即是构造一个与D 4 有相同值的五阶行列式：3a b b bb a b b b b a b b b b a221 b b b b1 b b b b0 a b b b 1行（ 1） 2，3，4，5行 1 a b 0 00 D 40 b a b b 1 0 a b 00 b b a b 1 0 0 a b 0 0 b b b a10 a b这样得到一个“箭形”行列式，假如 a b ，就原行列式的值为零，故不妨假设a b ，即 a b0 ，把后四列的1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零 .a b1 4b b b b b a b 0 a b 00 0 0 0 a b 0 0 14b (a b)4 a b(a 3b)(a b)0 0 0 a b 0 0a b（四）克拉默法就x 1 x 2x 3定理 1（克拉默法就）设含有n 个方程的 n 元线性方程组为a 11x 1 a 21x 1 a 12 x 2 a 22 x 2a 1n x n a 2 n x nb 1, b 2 ,a n1x 1 a n 2 x 2a nn x nb n假如其系数行列式 Da ij n0 ，就方程组必有唯独解：x jD j , j 1,2, , nD其中 D j 是把 D 中第 j 列换成常数项b 1, b 2 , , b n 后得到的行列式 .把这个法就应用于齐次线性方程组，就有0, 0,假如其系数行列式 D0 ，就该方程组只有零解：x 1x 2x n 0换句话说，如齐次线性方程组有非零解，就必有 D0 ，在教材其次章中，将要证明，n 个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.其次章 矩阵（一）矩阵的定义2a b b b b a b b b b a b b b b a1 11 例 3 三阶范德蒙德行列式V 3x 1 x 2 x 3 ( x 2 x 1 )(x 3 x 1 )( x 3 x 2 )定理 2 设有含 n 个方程的 n 元齐次线性方程组a 11x 1 a 21x 1 a 12 x 2 a 1n x n a 22 x 2a 2 n x na n1x 1a n 2 x 2a nn x n1. 矩阵的概念由m n 个数a ij (i 1,2, , m; j 1,2, , n) 排成的一个m 行n 列的数表a11a 21 A a12a22a1na2 n称为一个m 行n 列矩阵或m n 矩阵a m1a m 2 a m n当m n时，称A aij n n为n 阶矩阵或n 阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用2．3 个常用的特殊方阵：Om n或O 表示①n 阶对角矩阵是指形如a11A0 0a220的矩阵②n 阶单位方阵是指形如0 01 0 00 1 0E na nn的矩阵③n 阶三角矩阵是指形如a11a12a220 1a1na2na11a21,0 0a220的矩阵3．矩阵与行列式的差异0 0 a n n an1an2an n矩阵仅是一个数表，而n 阶行列式的最终结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“* ”与矩阵记号“* ”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1. 矩阵的同型与相等设有矩阵A( a ij ) m n，B (b ij )k，如m k ，n ，就说 A 与B 是同型矩阵.如A 与B 同型,且对应元素相等，即aij bij，就称矩阵 A 与B 相等，记为 A B因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2. 矩阵的加，减法设A (a ij )m n，B (b ij ) m n是两个同型矩阵就规定A B (a ij b ij ) m n A B ( a ij b ij )m n留意：只有 A 与B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加表达为元素的相加，因而与一般数的加法运算有相同的运算律.3. 数乘运算TT 设 A(a ij )m n ， k 为任一个数，就规定 kA (ka ij ) m n故数 k 与矩阵 A 的乘积就是 A 中全部元素都乘以 k ，要留意数 k 与行列式 D 的乘积，只是用 k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有一般数的乘法所具有的运算律.4. 乘法运算设 A(a ij ) m k ， B (b ij ) k n ，就规定 AB (c ij ) m n其中 c ija i 1b 1 ja i 2b 2 ja ikb kj(i 1,2, , m; j 1,2, ,n)由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等时， AB 才有意义，而且矩阵AB 的行数为 A的行数， AB 的列数为 B 的列数，而矩阵 AB 中的元素是由左矩阵A 中某一行元素与右矩阵B 中某一列元素对应相乘再相加而得到 .故矩阵乘法与一般数的乘法有所不同，一般地： ①不满意交换律，即 AB BA②在 AB0 时，不能推出 A 0 或 B 0 ，因而也不满意消去律 .特殊，如矩阵 A 与 B 满意 ABBA ，就称 A 与 B 可交换，此时 A 与 B 必为同阶方阵 .矩阵乘法满意结合律，安排律及与数乘的结合律.5. 方阵的乘幂与多项式方阵设 A 为 n 阶方阵，就规定AmAA Am 个特殊 A0 E又如 f ( x)a x m a x m 1a x a ，就规定m m 11f ( A) a A m a A m 1a A a Em m 11称 f ( A) 为 A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵6. 矩阵的转置设 A 为一个 m算满意以下运算律：n 矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个n m 矩阵，称为 A 的转置矩阵，记为A T ，转置运( A ) TA ， ( A B)TATB T ， (kA)kA ， ( AB)B T AT由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设 A 为一个 n 阶方阵，如 A 满意 A T7. 方阵的行列式A ，就称 A 为对称矩阵，如 A 满 足 ATA ，就称 A 为反对称矩阵 .矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n 阶方阵，有方阵的行列式的概念 .设 A(a ij ) 为一个 n 阶方阵，就由 A 中元素构成一个 n 阶行列式 a ij ，称为方阵 A 的行列式，记为 A方阵的行列式具有以下性质：设A ，B 为 n 阶方阵， k 为数，就① A TA ；② kAk n A③ ABA BTn1 111（三）方阵的逆矩阵1. 可逆矩阵的概念与性质设 A 为一个 n 阶方阵，如存在另一个n 阶方阵 B ，使满意 ABBA E ，就把 B 称为 A 的逆矩阵，且说 A为一个可逆矩阵，意指 A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵B 记为 且乘积为单位方阵 E.A ，从而 A 与 A 1第一必可交换，逆矩阵具有以下性质：设A ，B 为同阶可逆矩阵， k 0 为常数，就① A 是可逆矩阵，且( A 1) 1 A ；② AB 是可逆矩阵，且( AB)B A ；③ kA 是可逆矩阵，且 (kA)11 A 1k④ A T是可逆矩阵，且( A T ) 1 ( A 1) T⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即 设 P 为可逆矩阵，就 PAPB2. 相伴矩阵A B APBPA BA 11 A 12A 21A 22A n1 A n2设 A(a ij ) 为一个 n 阶方阵， A ij 为 A 的行列式 Aa i j n 中元素 a ij 的代数余子式， 就矩阵A 1n A 2 nA nn称为 A 的相伴矩阵，记为相伴矩阵必满意* A （务必留意 *A 中元素排列的特点）AA *A * AA EA*An 1（n 为 A 的阶数）3．n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法11 * 定理： n 阶方阵 A 可逆A 0 ，且 AA A推论：设 A ， B 均为 n 阶方阵，且满意 ABE ，就 A ， B 都可逆，且 A 1B ， B 1Aa b 例 1 设 Ac d（ 1）求 A 的相伴矩阵 A *（ 2） a ， b ， c ， d 满意什么条件时， A 可逆？此时求 A1解：（ 1）对二阶方阵 A ，求 A *的口诀为“主交换，次变号”即A *dbc a（ 2）由 Aa b ad c dbc ，故当 ad bc 0 时，即 A 0 ， A 为可逆矩阵11此 时 A11A *A1d bad bc c a（四）分块矩阵1.分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵， 为了表示便利和运算简洁， 常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成如干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵 .在作分块矩阵的运算时，加，减法，数乘及转置是完全类似的，特殊在乘法时，要留意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵 B 的行分块方式一样， 然后把子块当作元素来看待， 相乘时 A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块 .2. 准对角矩阵的逆矩阵A 1A 2形如的分块矩阵称为准对角矩阵，其中A 1 , A 2 ,, A r 均为方阵空白处都是零块 .A r如 A 1 , A 2 ,, A r 都是可逆矩阵，就这个准对角矩阵也可逆，并且A 1A 1A 2A 21rA r（五）矩阵的初等变换与初等方阵1.初等变换对一个矩阵 A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换， （ 1）交换 A 的某两行（列） ；（ 2）用一个非零数 k 乘 A 的某一行（列） ；（ 3）把 A 中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上 .留意：矩阵的初等变换与行列式运算有本质区分，行列式运算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵 .初等变换是矩阵理论中一个常用的运算， 而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2. 初等方阵由单位方阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为P ij ， D i (k) 和T ij (k) ，简单证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵仍是同一类的初等方阵 .3. 初等变换与初等方阵的关系设 A 为任一个矩阵，当在 A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等行变换；在A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等列变换 .4. 矩阵的等价与等价标准形如矩阵 A 经过如干次初等变换变为B ，就称 A 与 B 等价，记为 A B对任一个 mn 矩阵 A ，必与分块矩阵E r O O O等价，称这个分块矩阵为 A 的等价标准形 .即对任一个m n 矩阵 A ， 必 存 在 n阶 可 逆 矩 阵 P及n阶 可 逆 矩 阵Q ， 使 得11APAQ E r O O O5. 用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A 为任一个n 阶可逆矩阵，构造n 2n 矩阵（A，E）然后( A, E) (E, A 1)留意：这里的初等变换必需是初等行变换.例2 求A 解：1 1 32 1 41 2 4的逆矩阵1 1 3 1 0 10行1行2 行21 行31 1 3 1 0 0(A ,E ) 2 1 4 0 1 0 0 1 2 2 1 01 2 4 0 0 1 0 1 1 1 0 12 行1 行1 1 0 1 1 1 30行 1 行1 1 0 0 4 2 1 2行1行3 3行 2 行20 1 2 2 1 0 0 1 0 4 1 20 0 1 3 1 1 0 0 1 3 1 1就 A 1 例3 求解矩阵方程4 2 14 1 23 1 11 1 3 1 12 1 4 X 43 1 24 1 2解：令A 1 1 32 1 4 , B1 2 41 14 3 ，就矩阵方程为AX1 2B ，这里A 即为例2 中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘A 1 ，得4 2 1 1 1 3 0X A 1B 4 1 2 4 3 2 53 1 1 1 2 0 2也能用初等行变换法，不用求出1A ，而直接求 A 1B1 1 3 1 1 1 0 0 3 0( A, B) 2 1 4 4 3 0 1 0 2 5 (E, A 1 B)1 2 4 1 2 0 0 1 0 23 0就X A 1B 2 50 2（六）矩阵的秩1. 秩的定义设 A 为m n 矩阵，把 A 中非零子式的最高阶数称为 A 的秩，记为秩( A) 或r ( A)零矩阵的秩为0，因而0 秩( A) min m,n ，对n 阶方阵A，如秩( A) n ，称 A 为满秩矩阵，否就称为降秩矩阵.2. 秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不转变矩阵的秩.对任一个矩阵 A ，只要用初等行变换把 A 化成阶梯形矩阵T，就秩(A)= 秩(T)=T 中非零行的行数.3. 与满秩矩阵等价的条件n 阶方阵 A 满秩 A 可逆，即存在B，使AB BA EA 非奇特，即 A 0A 的等价标准形为 EA 可以表示为有限个初等方阵的乘积齐次线性方程组AX 0 只有零解对任意非零列向量b，非齐次线性方程组AXA 的行（列）向量组线性无关b 有唯独解A 的行（列）向量组为R n的一个基任意n 维行（列）向量均可以表示为 A 的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯独.A 的特点值均不为零A T A 为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.a11 x1 a 21 x1 a12x2a22x2a1nxnb1a2 nxnb2对任一个线性方程组a m1 x1 a m2 x2 a m n x nb m可以表示成矩阵形式AX b ，其中A(a ) 为系数矩阵， b (b , b , , b ) T为常数列矩阵，ij m n 1 2 mX ( x1, x2 , , x n) 为未知元列矩阵.从而线性方程组AX b 与增广矩阵A(A, b) 一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章向量空间TTTT（一） n 维向量的定义与向量组的线性组合1.n 维向量的定义与向量的线性运算由 n 个数组成的一个有序数组称为一个 n 维向量，如用一行表示，称为n 维行向量，即 1n 矩阵，如用一列表示，称为 n 维列向量，即 n 1矩阵 与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2. 向量的线性组合设 1 ,2 , , m 是一组 n 维向量， k 1, k 2 , ,k m 是一组常数，就称k 11k 22k mm为1, 2 , , m 的一个线性组合，常数 k 1, k 2 , , k m 称为组合系数 .如一个向量可以表示成k 11k 22k mm就称 是1, 2 , , m 的线性组合，或称可用1, 2, , m 线性表出 .3. 矩阵的行，列向量组设 A 为一个 m n 矩阵，如把 A 按列分块，可得一个 m 维列向量组称之为 A 的列向量组 .如把 A 按行分块，可得一个 n 维行向量组称之为 A 的行向量组 .4. 线性表示的判定及表出系数的求法 .向量能用1 ,2 , , m 线性表出的充要条件是线性方程组 x 11x 22x mm有解，且每一个解就是一个组合系数 .例 1 问( 1,1,5) 能否表示成1 (1,2,3) ，2 (0,1,4)T，(2,3,6) 的线性组合？解：设线性方程组为x 11x 22x 33对方程组的增广矩阵作初等行变换：1 02 1 1 0 0 1 ( A, ) ( 1,2, 3, )2 13 1 0 1 0 23 4 6 50 0 1 1就方程组有唯独解 x 1 1, x 2 2, x 31所以可以唯独地表示成1, 2 , 3 的线性组合，且 122 3（二）向量组的线性相关与线性无关1.线性相关性概念设1, 2 , ,m 是 m 个 n 维向量，假如存在m 个不全为零的数k 1 ,k 2, , k m ，使得k 11k 2 2k mm0 ，就称向量组 1, 2, , m线性相关，称 k 1, k 2, , k m 为相关系数 .否就，称向量1, 2 , , m 线性无关 .由定义可知，1, 2 , , m 线性无关就是指向量等式 k 11k 22k mm0 当且仅当3k1k2k m0时成立.特殊单个向量线性相关0 ；单个向量线性无关02. 求相关系数的方法设1, 2, , m为m 个n 维列向量，就1, 2, , m线性相关m 元齐次线性方程组x1 1 x2 2xm m0 有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩阵A( 1, 2, , m ) 的秩小于m例2 设向量组1(2, 1,7) T , (1,4,11)T , (3, 6,3)T，试争论其线性相关性. 解：考虑方程组x1 1 x2 2 x3 3 0其系数矩阵 A ( 1, 2, 3) 2 1 31 4 67 11 31 0 20 1 10 0 0于是，秩( A) 2 3 ，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为x12x30x2x30令x31，得一个非零解为x12, x21, x3 1就 21 2 33. 线性相关性的如干基本定理定理 1 n 维向量组1, 2, , m线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即1, 2, , m线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理 2 假如向量组1, 2, , m线性无关，又, 1, 2, , m线性相关，就可以用1, 2,, m线性表出，且表示法是唯独的.定理 3 如向量组中有部分组线性相关，就整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理 4 无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组的秩1. 向量组等价的概念如向量组S 可以由向量组R 线性表出，向量组R 也可以由向量组S 线性表出，就称这两个向量组等价.2. 向量组的极大无关组设T 为一个向量组，如存在T 的一个部分组S，它是线性无关的，且T 中任一个向量都能由S 线性表示，就称部分向量组S 为T 的一个极大无关组.明显，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯独的，但有以下性质：定理 1 向量组T 与它的任一个极大无关组等价，因而T 的任意两个极大无关组等价.定理 2 向量组T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3. 向量组的秩与矩阵的秩的关系把向量组T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T 的秩.把矩阵 A 的行向量组的秩，称为 A 的行秩，把 A 的列向量组的秩称为 A 的列秩.2 3TTT T 定理：对任一个矩阵 A ，A 的列秩 =A 的行秩 =秩（ A ） 此定理说明，对于给定的向量组，可以根据列构造一个矩阵 A ，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组 .例 3 求出以下向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：1 (1,1, 2,7),2 ( 1, 2,,2, 9),3 ( 1,1, 6,6),4 ( 2,1,4,3),5 (2,4,4,3)解：把全部的行向量都转置成列向量，构造一个4 5 矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵A1, 2 ,3,4,511 12 2 1 2 1 1 42 26 4 4 79 6 3 31 0 0 0 0 0 1 0 1 0 B0 0 1 1 0 0 0 0 0 1易见 B 的秩为 4，A 的秩为 4，从而秩1, 2, 3 , 4 , 5 4 ，而且 B 中主元位于第一，二，三，五列，那么相应地1, 2, 3 , 5 为向量组的一个极大无关组，而且 423（四）向量空间1.向量空间及其子空间的定义定义 1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实 n 维向量空间，记作 Rn定义 2 设 V 是 n 维向量构成的非空集合，如V 对于向量的线性运算封闭，就称集合V 是 称为向量空间 .2. 向量空间的基与维数R n的子空间，也设 V 为一个向量空间，它第一是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.明显， n 维向量空间 R n 的维数为 n ，且 R n 中任意 n 个线性无关的向量都是R n 的一个基 .3.向量在某个基下的坐标设1, 2 , , r 是向量空间 V 的一个基，就 V 中任一个向量都可以用1, 2 , , r 唯独地线性表出，由r 个表出系数组成的 r 维列向量称为向量在此基下的坐标 .第四章 线性方程组（一） 线性方程组关于解的结论定理 1 设 AXb 为 n 元非齐次线性方程组，就它有解的充要条件是r ( A, b) r ( A)定理 2 当 n 元非齐次线性方程组 AXb 有解时，即 r ( A, b) r (A)r 时，那么（ 1） AX （ 2） AXb 有唯独解b有无穷多解r n ；r n .定理 3 n 元齐次线性方程组 AX0 有非零解的充要条件是 r ( A) rn推论 1 设 A 为 n 阶方阵，就 n 元齐次线性方程组 AX0 有非零解A 0推论 2 设 A 为 mn 矩阵，且 m n ，就 n 元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间第一对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程T组的解.考虑由齐次线性方程组AX 0 的解的全体所组成的向量集合V A 0明显V 是非空的，由于V 中有零向量，即零解，而且简单证明V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为n 维列向量空间R n的一个子空间，我们称V 为方程组AX 0 的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n 元齐次线性方程组AX 0 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n 元齐次线性方程组有线性无关解向量的个数为AX 0 有非零解时，即n rr ( A) r n 时，就肯定存在基础解系，且基础解系中所含求基础解系与通解的方法是：对方程组AX 0 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.2 x1x2 2 x3 3 x40例1 求 3 x1x12 x2x3x2x32 x4x40 的通解解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：2 1 23 1 行(-1)+2 行 1 0 34 2 行(-1)+3 行 1 0 3 43 行(-1)+1 行 1 行(-1)+2 行A 3 2 1 2 1 1 1 1 0 1 4 51 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0r ( A) 2 4 ，有非零解，取x3 , x4为自由未知量，可得一般解为x13x3x2 4 x3x3x3x4344x4,5x4,x445写成向量形式，令34 x3k1，45x4k 2为任意常数，就通解为X k1k 21 00 1可见，1,21为方程组的一个基础解系.1（四）非齐次线性方程组1. 非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设AX b 为一个n 元非齐次线性方程组，AX 0 为它的导出组，就它们的解之间有以下性质：性质 1 假如1, 2是AX b 的解，就12是AX0 的解性质 2 假如是AX b 的解，是AX 0 的解，就是AX b 的解由这两个性质，可以得到AX b 的解的结构定理：*定理 设 A 是 mn 矩阵，且 r ( A, b) r (A) r ，就方程组 AX b 的通解为Xk 1 1 k 22k n rn r其中 * 为 AXb 的任一个解（称为特解） , 1, 2 , , n r 为导出组 AX0 的一个基础解系 .2. 求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组AX b ，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例 2当参数 a ， b 为何值时，线性方程组 x 13x 1 x 2x 2 x 2 (a 2 x 2x 3 2 x 3 3) x 3 x 3 x 40 2 x 4 1 2 x 4b ax 41有唯独解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：1 11 1 02行 3行 1 1 11 0 ( A,b)0 1 2 2 1 １行 -34行0 1 2 2 1 0 1 a 3 2 b 0 0 a 1 0 b 13 21 a 1 012 a3 12 行 4 行 2行 -1 1行1 0 1 1 1 0 1 2210 0 a 1 0 b 10 00 a 1 0当 a 1 时， r ( A ,b) r ( A )4 ，有唯独解；当 a 1,b 1 时， r (A ,b) 3 ， r ( A) 2 ，无解； 当 a 1,b1时， r ( A, b) r ( A)2 ，有无穷多解 .此时，方程组的一般解为令 x 3k 1, x 4 k 2 为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为1 1 1 12 2 Xk 1k 20 1 0 01x 11 x 3 x 4 x2 x3 x 41 2 x 3 x 3 2 x 4x 4。

第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数得到下列式子：称为一个二阶行列式，其运算规则为2．三阶行列式由9个数得到下列式子：称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式对任何一个元素，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素的余子式，记成例如，，再记，称为元素的代数余子式.例如，，那么，三阶行列式定义为我们把它称为按第一列的展开式，经常简写成4．n阶行列式一阶行列式n阶行列式其中为元素的代数余子式.5．特殊行列式上三角行列式下三角行列式对角行列式（二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4行列式可以按行（列）拆开.性质 5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即或前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即或（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.例2 计算行列式解：方法1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再将后三行都减去第一行：方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与有相同值的五阶行列式：这样得到一个“箭形”行列式，如果，则原行列式的值为零，故不妨假设，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.例3 三阶范德蒙德行列式（四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为如果其系数行列式，则方程组必有唯一解：其中是把D中第j列换成常数项后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组如果其系数行列式，则该方程组只有零解：换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.例4当取何值时，齐次线性方程组只有零解？解：方程组的系数行列式由于故当且且时，方程组只有零解.第二章矩阵（一）矩阵的定义1．矩阵的概念由个数排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵或矩阵当时，称为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示2．3个常用的特殊方阵：①n阶对角矩阵是指形如的矩阵②n阶单位方阵是指形如的矩阵③n阶三角矩阵是指形如的矩阵3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“”与矩阵记号“”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵，，若，，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即，则称矩阵A与B相等，记为因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设，是两个同型矩阵则规定注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算设，k为任一个数，则规定故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4．乘法运算设，，则规定其中由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：①不满足交换律，即②在时，不能推出或，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A与B满足，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5．方阵的乘幂与多项式方阵设A为n阶方阵，则规定特别又若，则规定称为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵6．矩阵的转置设A为一个矩阵，把A中行与列互换，得到一个矩阵，称为A 的转置矩阵，记为，转置运算满足以下运算律：，，，由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A为一个n阶方阵，若A满足，则称A为对称矩阵，若A满足，则称A为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.设为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式，称为方阵A的行列式，记为方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则①；②③（三）方阵的逆矩阵1．可逆矩阵的概念与性质设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足，则把B称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为，从而A与首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，为常数，则①是可逆矩阵，且；②AB是可逆矩阵，且；③kA是可逆矩阵，且④是可逆矩阵，且⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P为可逆矩阵，则2．伴随矩阵设为一个n阶方阵，为A的行列式中元素的代数余子式，则矩阵称为A的伴随矩阵，记为（务必注意中元素排列的特点）伴随矩阵必满足（n为A的阶数）3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n阶方阵A可逆，且推论：设A，B均为n阶方阵，且满足，则A，B都可逆，且，例1 设（1）求A的伴随矩阵（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求解：（1）对二阶方阵A，求的口诀为“主交换，次变号”即（2）由，故当时，即，A为可逆矩阵此时（四）分块矩阵1．分块矩阵的概念与运算对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵形如的分块矩阵称为准对角矩阵，其中均为方阵空白处都是零块.若都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且五）矩阵的初等变换与初等方阵1．初等变换对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换A的某两行（列）；（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2．初等方阵由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为，和，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为对任一个矩阵A，必与分块矩阵等价，称这个分块矩阵为A 的等价标准形.即对任一个矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A为任一个n阶可逆矩阵，构造矩阵（A，E）然后注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2 求的逆矩阵解：则例3 求解矩阵方程解：令，则矩阵方程为，这里A即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘，得也能用初等行变换法，不用求出，而直接求则（六）矩阵的秩1．秩的定义设A为矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩或零矩阵的秩为0，因而，对n阶方阵A，若秩，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2．秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件n阶方阵A满秩A可逆，即存在B，使A非奇异，即A的等价标准形为EA可以表示为有限个初等方阵的乘积齐次线性方程组只有零解对任意非零列向量b，非齐次线性方程组有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的行（列）向量组为的一个基任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯一.A的特征值均不为零为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组可以表示成矩阵形式，其中为系数矩阵，为常数列矩阵，为未知元列矩阵.从而线性方程组与增广矩阵一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.例4解线性方程组解：把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵：得到同解线性方程组即或取为自由未知量，可知方程组有无穷多解，上式就是所给方程组的一般解.例4解线性方程组解：把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵：得到同解线性方程组即或取为自由未知量，可知方程组有无穷多解，上式就是所给方程组的一般解.2．向量的线性组合设是一组n维向量，是一组常数，则称为的一个线性组合，常数称为组合系数.若一个向量可以表示成则称是的线性组合，或称可用线性表出.3．矩阵的行、列向量组设A为一个矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的列向量组.若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量能用线性表出的充要条件是线性方程组有解，且每一个解就是一个组合系数.例1 问能否表示成，，的线性组合？解：设线性方程组为对方程组的增广矩阵作初等行变换：则方程组有唯一解所以可以唯一地表示成的线性组合，且（二）向量组的线性相关与线性无关1．线性相关性概念设是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，称为相关系数.否则，称向量线性无关.由定义可知，线性无关就是指向量等式当且仅当时成立.特别单个向量线性相关；单个向量线性无关2．求相关系数的方法设为m个n维列向量，则线性相关m元齐次线性方程组有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩阵的秩小于m例2 设向量组，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组其系数矩阵于是，秩，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为令，得一个非零解为则3．线性相关性的若干基本定理定理1 n维向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组线性无关，又线性相关，则可以用线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4无关组的接长向量组必无关.3．线性相关性的若干基本定理定理1 n维向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组线性无关，又线性相关，则可以用线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4无关组的接长向量组必无关.例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵易见B的秩为4，A的秩为4，从而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地为向量组的一个极大无关组，而且（四）向量空间1．向量空间及其子空间的定义定义1 n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n维向量空间，记作定义2 设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V是的子空间，也称为向量空间.2．向量空间的基与维数设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n维向量空间的维数为n，且中任意n个线性无关的向量都是的一个基.3．向量在某个基下的坐标设是向量空间V的一个基，则V中任一个向量都可以用唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量在此基下的坐标.例4证明：构成的一个基，并求出在此基下的坐标.解：考虑由这三个3维向量组成的三阶行列式所以线性无关，它们构成的基，令由得唯一解,则所求在此基下的坐标为第四章线性方程组（一）线性方程组关于解的结论定理1 设为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是定理2当n元非齐次线性方程组有解时，即时，那么（1）有唯一解；（2）有无穷多解.定理3 n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是推论1设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组有非零解推论2 设A为矩阵，且，则n元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组的解的全体所组成的向量集合显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间的一个子空间，我们称V为方程组的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n元齐次线性方程组的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n元齐次线性方程组有非零解时，即时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为求基础解系与通解的方法是：对方程组先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求的通解解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：，有非零解，取为自由未知量，可得一般解为写成向量形式，令，为任意常数，则通解为可见，为方程组的一个基础解系.（四）非齐次线性方程组1．非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设为一个n元非齐次线性方程组，为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果是的解，则是的解性质2如果是的解，是的解，则是的解由这两个性质，可以得到的解的结构定理：定理设A是矩阵，且，则方程组的通解为其中为的任一个解（称为特解）,为导出组的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2当参数a，b为何值时，线性方程组有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：_当时，，有唯一解；当时，，，无解；当时，，有无穷多解.此时，方程组的一般解为令为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为第五章特征值与特征向量（一）特征值与特征向量1．实方阵的特征值与特征向量的定义与求法设A为一个n阶实方阵，若存在一个数及一个非零n维列向量，使得，则称为A的一个特征值，称是A的属于这个特征值的一个特征向量.特征值必是特征多项式的根，而相应特征向量必是齐次线性方程组的非零解，反之也对.例1 设，求A的特征值和特征向量.解：A的特征方程为则为A的两个特征值.对，求解，即得方程组的一个基础解系为，则为A的属于的一个特征向量.对，同理可求出的一个基础解系为则为A的属于的一个特征向量2．特征值和特征向量的性质性质1设是n阶方阵的全体特征值，则必有这里为矩阵A的n个对角元之和，称为A的迹.性质2 设已知为A的特征值，为相应特征向量，即，那么对任意多项式必有，特别性质3 n阶方阵A的属于不同特征值的特征向量必线性无关.（二）方阵的相似变换1．矩阵相似的定义与相似矩阵的基本性质设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得，则称A和B是相似的，记为A～B.相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式，但反之不一定.2．方阵相似对角化若n阶方阵A能相似于一个n阶对角矩阵，则说方阵A是可以相似对角化的，有以下基本定理：定理n阶方阵A可相似对角化A有n个线性无关的特征向量.推论当n阶方阵A有n个互不相同的特征值时，A必能相似对角化.3．方阵相似对角化的方法设A为n阶实方阵，若它能相似对角化，即A有n个线性无关的特征向量，不妨设它们属于的特征值依次为（这里可以有重复的）则令为一个n阶可逆矩阵，必有称这个对角矩阵为A的相似标准形.例2 设，求A的相似标准形解：A的特征方程为则为A的特征值.可求出属于的线性无关特征向量为，属于二重特征值的线性无关特征向量为于是为A的三个特征无关特征向量，A可相似对角化令为可逆矩阵.使得，为A的相似标准形解：A的特征方程为则为A的特征值.可求出属于的线性无关特征向量为，属于二重特征值的线性无关特征向量为于是为A的三个特征无关特征向量，A可相似对角化令为可逆矩阵.使得，为A的相似标准形（三）向量内积和正交矩阵1．向量内积的定义和基本性质下面我们在n维向量空间中讨论设为两个n维列向量，把实数，称为向量与的内积向量的内积具有对称性、线性性与正定性.2．向量的长度n维列向量的长度为实数。

自考高数线性代数笔记第一章行列式1.1 行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。

（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1 a 为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2 当x 取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：.解得0<x<9所以当0<x<9 时，所给行列式大于0。

（二）n 阶行列式符号：它由n 行、n 列元素（共个元素）组成，称之为n 阶行列式。

其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i 称为行标，它表示这个数在第i 行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j 列上。

所以在行列式的第i 行和第j 列的交叉位置上。

自考线性代数（经管类）重点考点线性代数（经管类）考点逐个击破第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数aij(i,j1,2)得到下列式子：a11a12a21a22称为一个二阶行列式，其运算规则为a11a12a21a22a11a22a12a212．三阶行列式a11a12a13由9个数aij(i,j1,2,3)得到下列式子：a21a22a23 a31a32a33称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式a11a12a13设有三阶行列式D3a21a22a23a31a32a33对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，记成Mij例如M11a22a23a32a33ij，M21a12a13a32a33，M31a12a13a22a23再记Aij(1)Mij，称Aij为元素aij的代数余子式.例如A11M11，A21M21，A31M31那么，三阶行列式D3定义为a11a12a13D3a21a22a23a11A11a21A21a31A31a31a32a33简写成D3我们把它称为D3按第一列的展开式，经常ai13i1Ai1(1)i1ai1Mi1i134．n阶行列式一阶行列式D1a11a11a11a12a1nn阶行列式Dna21a22a2nan1an2anna11A11a21A21an1An1其中Aij(i,j1,2,,n)为元素aij的代数余子式.5．特殊行列式a11上三角行列式a12a1na22a2n00ann00a11a22anna11a22ann00a11a21an1a1100下三角行列式a22an2ann000a220对角行列式anna11a22ann（二）行列式的性质性质1行列式和它的转置行列式相等，即DDT性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4行列式可以按行（列）拆开.性质5把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n阶行列式Daijn等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)或Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2n阶行列式Daij的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.n即ai1Ak1ai2Ak2ainAkn0(ik)或a1jA1a2jA2anjAn0(j)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：2141例1计算行列式D4312152327025解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是a121，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.2141D4312170255312列251列1021412行11行506270250按第二行展开31237581562按第二列展开15072552323行(2)1行10507375abbb例2计算行列式D4babbbbabbbba解：方法1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为a3b（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子a3b，再将后三行都减去第一行：abbbbabbbbabbbbaa3bbbba3babba3bbaba3bbba1b00b00b00ab00(a3b)1 bbb1abb1bab1bba(a3b)ab0ab(a3b)(ab)3方法2观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与D4有相同值的五阶行列式：abbbD4babbbbabbbba1bbbb0abbb0babb0bbab0bbba1行（1）2，3，4，行51111b000bb0b001ab000ab0ab00ab这样得到一个“箭形”行列式，如果ab，则原行列式的值为零，故不妨假设ab，即ab0，把后四列的1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.ab4b1bbbbab0ab0004b400ab001(ab)(a3b)(ab)ab000ab00000ab1例3三阶范德蒙德行列式V3某11某221某3(某2某1)(某3某1)(某3某2)2某1某2某32（四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为a11某1a12某2a1n某nb1,a某a某a某b,2112222nn2an1某1an2某2ann某nbn如果其系数行列式Daijn0，则方程组必有唯一解：某jDjD,j1,2,,n其中Dj是把D中第j列换成常数项b1,b2,,bn后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2设有含n个方程的n元齐次线性方程组a11某1a12某2a1n某n0,a某a某a某0,2112222nnan1某1an2某2ann某n0如果其系数行列式D0，则该方程组只有零解：某1某2某n0换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有D0，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章矩阵（一）矩阵的定义1．矩阵的概念由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的一个m行n列的数表a11a12a1na21a22a2nAam1am2amn称为一个m行n列矩阵或mn矩阵当mn时，称Aaijnn为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Omn或O表示2．3个常用的特殊方阵：a11000a022①n阶对角矩阵是指形如A的矩阵00ann100010②n阶单位方阵是指形如En的矩阵001a11a12a1na11000a22a2na21a220③n阶三角矩阵是指形如的矩阵,00aaaan2nnnnn13．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“某”与矩阵记号“某”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A(aij)mn，B(bij)k，若mk，n，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即aijbij，则称矩阵A与B相等，记为AB 因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设A(aij)mn，B(bij)mn是两个同型矩阵则规定AB(aijbij)mnAB(aijbij)mn注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算。