自考04184线性代数讲义

全国高等教育自学考试线性代数(经管类)(04184)2019年4月历年真题及答案2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷(课程代码04184)注意事项：1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题2.应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效3.涂写部分，画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字表说明：在本卷中，表示矩阵么的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出。

1.行列式，则A.-2B.-1C.1D.22.设A为2阶矩阵，将A的第1行与第2行互换得到矩阵B，再将B的第2行加到第1行得到矩阵C，则满足PA=C的可逆矩阵P=3.设向量可由向量组线性表出，则数a,b满足关系式A.a-b=4B.a-b=0C.a+b=4D. a+b=04.设齐次线性方程组有非零解，则数k=A.-2B.-1C.1D.25.设3阶实对称矩阵A的秩为2，则A的特征值λ=0的重数为A.0B.1C.2D.3第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

6.设某3阶行列式第2行元素分别为1，-2,3，对应的余子式为3,2，-2，则该行列式的值为7.已知行列式8.9.设n阶矩阵A满足10.设向量组的秩为2，则数a=11.与向量正交的单位向量12.设4元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为若该线性方程组有惟一解，，则数a的取值应满足13.设A为n阶矩阵，若非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解，则14.设A为n阶矩阵，且满足则A必有一个特征值为15.二次型的矩阵A=三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分16.计算4阶行列式17.设向量18.设矩阵A，B满足关系式X=XA+B，其中，求矩阵X19.求矩阵的秩和列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量由该极大无关组线性表出20.设线性方程组确定数a,b为何值时，方程组有无穷多解，并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）21.设矩阵判定A是否可对角化，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵A，22.求正交换x=Qy，将二次型化为标准形四、证明题：本题7分23.已知向量β可由向量组线性表出，证明：如果表示法惟一，则线性无关24.25.。

行列式性质1.行列互换，行列式值不变2.某行(列)可提取公因数3.对换两行(列)，行列式变号(推论：两行(列)成比例，行列式值为0)4.若某行(列)是两个元素的和，可以拆分为两个行列式的和5.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式值不变解法(展开公式)n阶行列式的值，等于它任意一行(列)元素与其对应代数余子式乘积之和克拉默法则若线性方程组的系数行列式≠0，则方程组必有唯一解推论1：若齐次线性方程组系数行列式≠0，则方程组只有0解推论2：若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式值为0矩阵矩阵：m行n列元素排列成的数表方阵：m=n时，叫做n阶矩阵或方阵公式1.丨A T丨 =丨A丨2.丨KA丨= K n丨A丨3.丨AB丨=丨A丨·丨B丨丨A2丨=丨A丨2对称矩阵：沿主对角线对称 (A T＝A，反对称矩阵A T＝-A)正交矩阵：A T A=AA T=E伴随矩阵：矩阵中所有元素对应代数余子式，行列交换组成的新矩阵公式1.AA※=A※A=丨A丨E2.丨A※丨=丨A丨n-1A※=丨A丨·A-13.A-1=丨A丨-1 · A※若存在矩阵B，使AB=BA=E，则矩阵A可逆，矩阵B为矩阵A的逆矩阵性质1.若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1＝A ， (A T)-1＝(A-1)T2.若A可逆，K ≠ 0，则KA可逆，且(KA)-1＝K-1A-13.若A可逆，则丨A丨≠ 0 (推论：A、B是n阶矩阵，若AB=E，则B=A-1)4.若A、B均可逆，则AB也可逆，且(ABC)-1=C-1B-1A-1分块矩阵运算：分块矩阵运算时，每个子块也要内部运算初等变换：倍乘、互换、倍加初等矩阵：矩阵经过一次初等变换得到的新矩阵(左行右列)矩阵等价：矩阵A经过有限次数初等变换得到B，则A和B等价k阶子式：任意取k行k列元素按原来的次序构成k阶行列式，为矩阵的子式秩：矩阵中值不为0的阶数最大的k阶子式，为矩阵的秩，记作r定理1.秩＝阶数，则丨A丨≠0，可逆 (秩＜阶数，则丨A丨＝0，不可逆)2.经过初等变换，矩阵的秩不变3.转置后矩阵的秩不变n维向量：n个数构成的有序数组，称为一个n维向量零向量：所有分量全为0的向量，不同维数的0向量不相等运算：加法、数乘、内积线性表出a1，a2...a n是一组n维向量，k1，k2...k n是一组常数若B=k1a1，k2a2...k n a n，则称B是a1，a2...a n的线性组合(B可用a1，a2...a n线性表出)定理若向量组B1，B2...B n可用a1，a2...a n线性表出,则r(B)≤r(A)线性相关定义：设a1，a2...a n是n个m维向量，若存在n个不全为0的数k1，k2...k n使k1a1+k2a2+...+k n a n=0，则称向量组线性相关，否则称为线性无关定理a1，a2...a n线性相关1.a1，a2...a n=0，降秩，不可逆2.齐次方程组有非0解3.n+1维向量必线性相关4.至少有一个向量ai可由其余向量线性表出a1，a2...a n线性无关，而a1，a2...a n，B线性相关，则B必能由a1，a2...a n线性表出，且表法唯一a1，a2...a n可由B1，B2...B t线性表出，且n＞t，则a1，a2...a n必线性相关(推论：若a1，a2...a n线性无关，则n≤t)线性无关定义：若k1a1+k2a2+...+k n a n=0，必有k1=0...k n=0，则称a1，a2...a n线性无关向量组的极大无关组设有向量组A：a1，a2...a n，若A中能选出r个向量a1，a2...a r满足：1.A0：a1，a2...a r线性无关 2.向量组A中任意r+1个向量（如果有）都线性相关则称A0是向量组A的一个极大线性无关组向量组的秩向量组T中任意一个极大无关组所含向量个数，为T的秩（等价向量秩必相同）向量空间概念：n维实行(列)向量全体构成的集合，称为实n维向量空间，记作R n子空间：R n中取a1，a2...a n，则k1a1，k2a2...k n a n一定是R n中的一个子空间基设V是R n中的一个向量空间，若V中的向量组A：a1，a2...a n满足1.A线性无关2.V中任意一个向量a都可以由a1，a2...a n线性表出则A是V的一个基，a1，a2...a n为基向量，基中向量个数r为V的维数，并称V为r维向量空间坐标a=k1a1+k2a2+...+k n a n成立时，表出系数k1，k2...k n称为a在基a1，a2...a n下的坐标齐次线性方程组定理1.若n维列向量ξ满足AX=0，则称ξ为AX=0的解2.n为零向量是AX=0的解，称为0解，反之称为非0解，向量分量中至少有一个不为03.由AX=0的解向量构成的向量集合，称为AX=0的解空间性质1.若ξ1和ξ2都是AX=0的解，ξ1+ξ2则也是AX=0的解2.若ξ是AX=0的解，k是任意实数，则kξ也是AX=0的解基础解系设a1，a2...a n是Ax=0的基础解系，若它满足a1，a2...a n线性无关Ax=0任意一个解ξ都可以由a1，a2...a n线性表出则a1，a2...a n是Ax=0的一个基础解系原则1.不能是0向量2.解向量必须都是Ax=0的解3.解向量个数为n-r4.任意n-r个解向量都线性无关推论Ax=0只有零解，则r(A)=n，即Ax=0没有基础解系Ax=0有非零解，则r(A)＜n，即Ax=0有无穷个基础解系当A是n阶方阵时Ax=0只有零解，丨A丨≠0Ax=0有非零解，丨A丨等于0非齐次线性方程组增广矩阵：线性方程组中，所有常数项拼成的矩阵有解判别r(A,b)=r(A)时，Ax=b必有解r(A,b)=r(A)=n，方程组有唯一解r(A,b)=r(A)＜n，方程组有无穷解r(A,b)=r(A)+1时，Ax=b必无解A是n阶方阵时丨A丨=0时， r(A,b)=r(A)＜n，则方程组有无穷解r(A,b)=r(A)+1，则Ax=b无解丨A丨≠0时， r(A,b)=r(A)=n，Ax=b有唯一解x=A-1b导出组任意一个非齐方程组都有对应齐次方程组，称为导出组性质若a1，a2都是Ax=b的解，则ξ=a1-a2是其导出组的解若a是Ax=b的解，ξ是其导出组Ax=0的解，则a+ξ是Ax=b的解结构定理特解：方程组Ax=b的任意一个解齐次方程组解题步骤1.拼系数矩阵2.化成行最简3.立同解方程组4.赋值自由未知量5.求出基础解系6.加入常数项7.基础解系的线性组合即是通解非齐次方程组解题步骤1.拼成增广矩阵2.化成行最简3.立同解方程组4.赋值，找到特解5.立导出组6.赋值，解出基础解系7.求出通解非齐次通解=非齐次特解+齐次通解特征值和特征向量定义：若存在某个数λ与某个n维非零列向量P，满足AP=λP则称λ为A的一个特征值，P为A的属于这个特征值的一个特征向量特征方程特征向量P的值，就是(λE-A)x=0的所有非零解零向量也是(λE-A)x=0的解，但不是A的特征向量结论三角矩阵的特征值乘积，就是其全体对角元一个向量P不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量n阶方阵A与其转置矩阵A T特征值相同n阶方阵全体特征值的和，等于主对角线元素的和 (迹)，乘积等于行列式的值求法根据A的特征方程求出A的特征值（丨λE-A丨）逐个代入特征值，得到对应齐次线性方程组，求出对应特征向量方阵相似定义：A和B均为n阶方阵，若存在P，使B=P-1AP，则称A和B相似，记作A~B结论若A~B，则A和B的特征值、迹、行列式的值、秩相同若A矩阵相似于对角阵，那么对角矩阵的对角元就是A矩阵的n个特征值方阵与对角矩阵相似条件矩阵是对称矩阵特征向量全都线性无关特征值相同，需满足特征值重数=对应特征向量个数证明可相似对角化求特征值（特征值是相似对角矩阵主对角线的元素）代入特征值求n-r（λE-A），看是否等于特征值重数内积与正交内积：两个同维向量的内积就是对应分量乘积之和。

2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试04184 线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 2 分，共 10 分）在每小题列出地四个备选项中只有一个选项为符合题目要求地， 地括号内；错选、多选或未选均无分； 请将其代码填写在题后a 1 a 2b 1b 2a 1 a 2 2b 1 2b 2 3a 13a 2， D 2 =，则 D 2=1、设行列式 【 】D 1=A.-D 1B.D 1C.2D 1D.3D 11 2 0 1 x 12 4 0 2 2 y， B =，且 2A=B ，则 【 】2、若 A=A.x=1 ， y=2 C.x=1 ， y=1B.x=2 ， y=1 D.x=2 ， y=2A 等价地为3、已知 A 为 3 阶可逆矩阵，则下列矩阵中与【】1 A. 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 00 1 C. 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 1 0 01B. D. 4、设 2 阶实对称矩阵 A 地全部特征值味 1， -1， -1，则齐次线性方程组（ E+A ）x=0 地基础解系所含解向量地个数为 【】A.0B.1C.2D.33 11 3有一个特征值为【】5、矩阵A.-3二、填空题（本大题共B.-2 10 小题，每小题C.12 分，共 D.220 分）请在每小题地空格中填上正确答案；错填、不填均无分； 1A 为 3 阶矩阵，且A =3，则 3A =6、设 .2 3 1 5A * =，则7、设 A=.1 2 0 11 1 1 1， B=，若矩阵 X 满足 AX =B ，则 X= .8、已知 A=1 2T ，T线性相关，则数 k=.9、若向量组(1， 2， 1) (k-1 ， 4， 2) 12x 12x 1 3x 12 x 2 x 2 x 2ax 3 x 3 x 30 0a = 有非零解，则数 .10、若齐次线性方程组T ，T，则内积（1,11、设向量(1， -2， 2) (2， 0， -1) 2 ）= .12 V ={x=(x 1，x 2， 0)T|x 1， x 2 R } 地维数为12、向量空间 13、与向量（1 .1， 0，1） T 与（1， 1， 0） T 均正交地一个单位向量为 .2 3地两个特征值之积为 .14、矩阵2 22 2 2x1ax2a x32 x 1 x 2 正定，则数 a 地取值范围为15、若实二次型 f(x1 ， x 2，x3)= .7 小题，每小题 三、计算题（本大题共9 分，共 63 分）2 1 1 1 13 1 1 1 14 1 11 1 5地值 .16、计算行列式 D=1 21*A( 2A)2A 地值 .17、设 2 阶矩阵 A 地行列式，求行列式0 1 111111251，B= ，矩阵X 满足X =AX +B，求0X.18、设矩阵 A =3T T T T(1,2,1) , (2,5,1) , (1,3, 6) , (3, 1,10)19、求向量组地秩与一个极1234大线性无关组，并将向量组中地其余向量由该极大线性无关组线性表出.22x 1 x 1 x 1 ax 2bx 2cx 2 a x 3 b x 3c x 33a 223b ，其中 a, b, c 两两互不相同 . 20、利用克拉默法则解线性方程组2 23c1 a 1 a 3 1 11 10 0 0 0 1 0 00 b相似，求数 a, b 地值. 21、已知矩阵 AB 与 f ( x 1 , x 2 ) 5x 1 5x 2 4 x 1x 2 为标准型， 22、用正交变换化二次型并写出所作地正交变换 .四、证明题（本题 7 分）23、设 A ， B 均为 n 阶矩阵，且 A=B+E ，B 2=B ，证明 A 可逆 .2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3.D 2 分类，共 10 分）4.C1.C2.A 5.B二、填空题（本大题共 小题，每小题 2 分，共 20 分）10 5 31 26. 97.1 1 1 31 08.9. 3 10. -2 11. 0 1 31 3TT或1,1,1 1,1,112. 213.15. a ＞ 163 分）1 1 0 414. -1三、计算题（本大题共7 小题，每小题 9 分，共 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 11 1 5 1 0 0 03 5 2 21 1 3 016.解 （ 5 分）D=5= 221 3 01 0 474（ 9 分）12*1AA 可逆，于为 AA A17.解 由于 ，所以 （ 3 分）1 21*11(2 A ) 2 AA2 A A故 （6 分）21 23 23 29 21111AAAA（ 9 分）=由 X AX B ，化为 E A XB ，18.解 （ 4 分）11 11 0 01 20 3 02 2 1 1 1 11 31而 E AE A可逆，且 （ 7 分）0 3 02 21 1 1 1 1 251 0 3 32 1 1 0 11 3故 X（ 9 分）12 1 11 5 53 7 71 0 0 0 1 011 5 017 7 0由于1,2,3,0 019.解 （ 5 分） 41,所以向量组地秩为 2， 2 为一个极大线性无关组，并且有115 2 ,177（9 分）31412注：极大线性无关组不唯一；方程组地系数行列式20. 解 a21 D= 1 1 ab c 2b cb ac a c b2D 0 ，故方程有唯一解；因为 a,b,c 两两互不相同，所以（4 分）3a 2a 23a2 a 2a b c 1 1 1 2 222 又 D 13b 3cb 0 ， D 23b3cb c0 ，2222c2 1 1 1 a b c 3a 3b 2D 33D（ 7 分）3c2由克拉默法则得到方程组地解D D D 3 D D3 1 2 x 0, x 0, x 3（9 分）123DDD21.解 因为矩阵 A 与 B 相似，故trA trB 且 AB ,（6 分）1 3 a 1 10 21 0b即所以 （9 分）a=1,b=4. 5 2 2 5A22. 解 二次型地矩阵3,7，所以 A 地特征值由于 （ 4 分）E A37 123 ，由方程组 3E A x 0 得到 3 地一个单位对于特征值A 属于特征值11112 2特征向量17, 由方程组 对于特征值7 E A x 0 得到 7 地一个单位特征向量A 属于特征值22112 2 .21 1 112 2得正交矩阵Q1,，作正交变换 x Qy ，22 23 7 .二次型化为标准形 fy 1y 2（ 9 分）四、证明题（本题 7 分） 2因为 AB E ,所以 A EB ,又 BB ,23.证 2A EA E , 故 (3 分）1 2 2A3 A2E, 于为 AA 3EE ,故 化简得 可逆；（ 7 分）A。

第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。

从考试大纲来看。

虽然只占13%左右。

但在其他章。

的试题中都有必须用到行列式计算的内容。

故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。

1.1 行列式的定义1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。

解：应用消元法得当时。

得同理得定义称为二阶行列式。

称为二阶行列式的值。

记为。

于是由此可知。

若。

则二元一次方程组的解可表示为：例2二阶行列式的结果是一个数。

我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。

使得当后将消去。

得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。

在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。

定义1.1.1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为;类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

例3 计算例4 （1）（2）例5 当x取何值时，？为将此结果推广到n元一次方程组。

需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。

1.1.2 阶行列式的定义定义1.1.2 当n时，一阶行列式就是一个数。

当时，称为n阶行列式。

定义（其所在的位置可记为的余子式的代数余子式。

定义为该n阶行列式的值。

即。

容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。

n阶行列式为一个数。

例6 求出行列式第三列各元素的代数余子式。

例7（上三角行列式）1.2 行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例1 下三角行列式＝主对角线元素的乘积。

例2 计算行列式例3 求n阶行列式小结1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。

2.二阶行列式的定义。

3.阶行列式的定义。

即。

4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。

作业p8 习题1.1 1（1）（2）（3）（5）（6），3作业 p11习题1.2 1，2，3（1），（2），41.3 行列式的性质及计算1.3.1 行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。

自考《线性代数》（经管类）教学大纲课程代码：04184 总学时：33学时一、课程的性质、目的、任务：《线性代数》是以变量的线性关系为主要研究对象的数学学科。

该课程介绍行列式，矩阵，线性方程组，二次型等有关的概念，理论及方法。

本课程不仅是许多后续相关学科的理论基础，同时也是科学技术和经济管理领域的重要数学工具。

内容的抽象性，逻辑的严密性是《线性代数》的基本特点，在教学过程中应特别注意对学生抽象思维，逻辑思维以及归纳推理能力的培养。

通过本课程的教学，要求学生对基本概念，基本理论和重要方法有正确的理解，并能比较熟练地掌握和应用。

通过本课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生处理问题的初步能力。

另外通过本课程的学习，为学生学习后续课程和进一步深造以及今后工作奠定必要的数学基础。

二、课程教学的基本要求：教学要求由低到高分三个层次，有关定义、定理、性质、特征概念的内容为“知道、了解、理解”；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”。

三、教学内容第一章行列式学时：4学时（讲课3学时）本章讲授要点：行列式的概念和基本性质、行列式的计算、行列式按行（列）展开定理、克莱默法则。

重点：行列式的计算、克莱默法则难点：行列式的计算、克莱默法则。

教学内容：§1.1 二阶、三阶行列式§1.2 n阶行列式§1.3 行列式的性质§1.4 行列式按行（列）展开§1.5克莱默法则教学基本要求：1．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会用行列式的性质证明和计算有关问题。

2．熟练掌握通过三角化计算行列式的方法。

3．理解子式，余子式，代数余子式的定义，熟练掌握按某行（或某列）展开行列式，会应用展开定理计算和处理行列式。

4．了解“克莱默”法则的条件和结论，掌握判别齐次方程组有非零解的条件。

第二章矩阵学时：6学时（讲课4学时）本章讲授要点：矩阵的概念，几种特殊矩阵，矩阵的运算，矩阵可逆的充分必要条件，求逆矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩。

04184线性代数知识点b b1. 已知 2 阶行列式 a 1 a 1= N ， b 1 b c 1 c 线性代数知识点 = n ，则 b 1 b 2 a 1 + c 1 a 2 + c 22. 设 A 是 n 阶矩阵，C 是 n 阶正交阵，且 B=C T AC ，则 A 与B 等价、A 与 B 有相同的特征值、A 与 B 相似3. n 元线性方程组 Ax=b 有两个解 a 、c ，则 a-c 是 Ax=0 的解。

4.4.设A ，B ，C 均为n 阶方阵，AB= BA ，AC=CA ，则ABC=BCA5. 非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是4×6 矩阵，则方程组有无穷多解6. α，β，γ是三维列向量，且|α，β，γ|≠0，则向量组α，β，γ的线性相关性是线性无关7.（-1，1）不能表示成（1，0）和（2，0）的线性组合8.（4，0）能表示成（-1，2），（3，2）和（6，4）的线性组合，且系数不唯一9.设β=（1，0，1），γ=（1，1，-1），则满足条件3x+β=γ的x 为 1/3（0, 1, -2）10.设α，β，γ都是 n 维向量，k ，l 是数，（α+β）＋γ=α＋（β＋γ）、α＋β=β＋α、α＋（－α）＝011.属于不同特征值的特征向量必线性无关、相似矩阵必有相同的特征值、特征值相同的矩阵未必相似12. 已知矩阵 A = 5 2 1有一个特征值为 0，则 x= 2.5 13. 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，3，则|A-4E|=-614. 已知 f （x ）=x 2+x+1 方阵 A 的特征值 1,0,-1,则 f （A ）的特征值为 3，1，115. 要保证 n 阶实对称阵 A 为正定，则 A -1 正定、A 合同于单位阵、A 的正惯性指数等于 n16.二次型 f （x 1,x 2,x 3）= x 12+ x 22+x 32+2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3，其秩为 117. 设 f=X T AX ，g=X T BX 是两个 n 元正定二次型，则 X T ABX 未必是正定二次型。

b b1. 已知 2 阶行列式 a 1 a 1= N ， b 1 b c 1 c 线性代数知识点 = n ，则 b 1 b 2 a 1 + c 1 a 2 + c 22. 设 A 是 n 阶矩阵，C 是 n 阶正交阵，且 B=C T AC ，则 A 与 B 等价、A 与 B 有相同的特征值、A 与 B 相似3. n 元线性方程组 Ax=b 有两个解 a 、c ，则 a-c 是 Ax=0 的解。

4.4.设 A ，B ，C 均为 n 阶方阵，AB= BA ，AC=CA ，则 ABC=BCA5. 非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 4×6 矩阵，则方程组有无穷多解6. α，β，γ是三维列向量，且|α，β，γ|≠0，则向量组α，β，γ的线性相关性是线性无关7.（-1，1）不能表示成（1，0）和（2，0）的线性组合8.（4，0）能表示成（-1，2），（3，2）和（6，4）的线性组合，且系数不唯一9.设β=（1，0，1），γ=（1，1，-1），则满足条件 3x+β=γ的 x 为 1/3（0, 1, -2）10.设α，β，γ都是 n 维向量，k ，l 是数，（α+β）＋γ=α＋（β＋γ）、α＋β=β＋α、α＋（－α）＝011.属于不同特征值的特征向量必线性无关、相似矩阵必有相同的特征值、特征值相同的矩阵未必相似12. 已知矩阵 A = 5 2 1有一个特征值为 0，则 x= 2.5 13. 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，3，则|A-4E|=-614. 已知 f （x ）=x 2+x+1 方阵 A 的特征值 1,0,-1,则 f （A ）的特征值为 3，1，115. 要保证 n 阶实对称阵 A 为正定，则 A -1 正定 、A 合同于单位阵、A 的正惯性指数等于 n16.二次型 f （x 1,x 2,x 3）= x 12+ x 22+x 32+2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3，其秩为 117. 设 f=X T AX ，g=X T BX 是两个 n 元正定二次型，则 X T ABX 未必是正定二次型。

线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

阵矩第二章2.1矩阵的概念n2.1.1m×由定义个数ai=12…mj=12…n）排成，，，，，，；（ij mn 数表一个列的行用大小括号表示mn列矩阵。

称为一个行nm×这矩阵的含义是：个数排成一个矩形阵列。

aij列元素称为矩阵的第其中行第ij i=12…mj=12…ni，而，，，，）；，，（jij列的变称为行标，称为列标。

第行与第ij 。

，）叉位置记为（ABC等表示，通常用大写字母，mn，和列数矩阵。

有时为了标明矩阵的行数也可记为A=aaA 或））或（（nm ×nm×ijnm×ijm=nA=a n阶为时，称）（当nijn×2n nn阶方阵是由矩阵，或者称为。

阶方阵个数排成一个正方形表，它不是一个数（行n阶行列式是两个完），它与列式是一个数全不同的概念。

只有一阶方阵才是一个数。

nA中从左上角到右下角的这条阶方阵一个An阶方阵的主对。

的主对角线对角线称为aa…a，称为此方，角线上的元素，，nn1122阵的对角元。

在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

用OO（大写字）表示。

或者nm×a…m=1α=a，（时，称，，特别，当12a n1×n 矩阵。

它是）为维行向量n m n=1维列向量为时，。

称当1 m×它是矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

abc3维行向量，）是，，（例如，3维列向量。

是几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵或简写形如A）念为（那不是“尖”，，的矩阵，称为对角矩阵是一个三阶对角矩阵，例如，。

也可简写为2.数量矩阵n阶数量矩阵对角矩阵的主对角线上的元当有如下形式：素都相同时，称它为数量矩阵。

或N没标就不阶矩阵，（标了角标的就是知是多少的）na=1阶单位矩阵当时，称特n EI，单位记为它为或阶nn别，矩阵。

即或E或在不会引起混淆时，也可以用I 表示单位矩阵。

第一章行列式（一）行列式的定义1．行列式的定义D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.3．特殊行列式①②③（二）行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：第二章矩阵（一）矩阵的定义矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B2．矩阵的加、减法设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)3．数乘运算设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B4．乘法运算设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A5．方阵的乘幂与多项式方阵A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。

√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关；③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr()=E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算：① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11121211n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E--=++++为A 的一个多项式.√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，AB 的列向量为12,,,sr r r ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭则：即 用中简若则 单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,√ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质：① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+123,,ααα线性无关,单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 230n λλλ====.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ, A *的全部特征值为12,,,n A AAλλλ.√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.1B P AP -= （P 为可逆阵） 记为：A B√ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵） √ 相似矩阵的性质：① 11A B -- 若,A B 均可逆② T T A B③ kk A B （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量.⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.A 与对角阵Λ相似. 记为：AΛ （称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. √ 若A B , CD ,则：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. √ 若A B ,则()()f A f B ,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =T B C AC =. 记作：A B （,,A B C 为对称阵为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B√ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =经过合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵11110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ； ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x 不全为零，12(,,,)0n f x x x >.正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：① 正惯性指数为n ；② A 的特征值全大于0； ③ A 的所有顺序主子式全大于0； ④ A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =； ⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）；⑥ 存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （i λ大于0）.√ 成为正定矩阵的必要条件：0ii a > ； 0A >.。

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。

所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。

行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。

1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；符号叫二阶行列式，其大小规定为：例如号叫为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。

（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。

其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。

所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。

行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。

1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。

（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。

高等教育自学考试04184线性代数（经管类）-公式必记1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -? -；③、上、下三角行列式（= ◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -? -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C ABC B O B ==、(1)m n C A O AA B B O B C==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解；④、利用秩，证明()r A n <；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：0A ≠（是非奇异矩阵）；()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解；?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价；A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵；A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ?? ?= ? ??，则：Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----?? ?= ? ? ??；②、111A O A O O B O B ---??=；（主对角分块）③、111O A O B B O A O ---??= ? ?；（副对角分块）④、11111A C A A CB O B OB -----??-??=；（拉普拉斯）⑤、11111A O A O C B B CAB -----??= ? ?-；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO= ；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ??Λ= ? ??λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-???? ? ?= ? ? ? ?????；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k-=≠ ? ? ? ???；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --???? ? ?=≠ ? ? ? ?????；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A rB ≤；（※）⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ?? ?的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ??==-??<-?；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ? =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0；③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ?矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a xb +++= ??+++= +++=?；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ?????? ??? ? ??? ?=?= ??? ? ??? ???????（向量方程，A 为m n ?矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x a a a x β?? ? ?= ? ???（全部按列分块，其中12n b b b β?? ? ?= ? ???）；④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ?矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββ构成m n ?矩阵12T T T m B βββ??= ? ? ???；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ?=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ?=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 AX B ?=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ?与l n B ?行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关?0α=；②、,αβ线性相关?,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关?,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ?=有解；()(,)r A r A B ?=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ?=（左乘，P 可逆）0Ax ?=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ?=（右乘，Q 可逆）；③、矩阵等价：~A B PAQ B ?=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ?与l n B ?：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C =，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ? =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ?可由向量组12:,,,n s s A a a a ?线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ?，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ?=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ?，存在n m Q ?，m AQ E = ()r A m ?=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ?，存在n m P ?，n PA E = ()r A n ?=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s ααα线性相关存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）1212(,,,)0s s x xx ααα?? ? ?= ? ???有非零解，即0Ax =有非零解；12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ?=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=?==?≠?；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a 11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ?A 经过初等变换得到B ；=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()?=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ?=T C AC B ，其中可逆；T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似1-?=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =?A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ?的正惯性指数为n ；A ?与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ?的所有特征值均为正数； A ?的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ?>>；(必要条件)。