数学分析2课件：12-1 级数的收敛性

第十二章 数项级数§1 级数的收敛性(一) 教学目的：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质 (二) 教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数． 基本要求：深刻理解数项级数收敛的定义及与数列收敛的关系 (三) 教学建议：1）要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数的敛散性．2) 应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求．——————————————————————1 数项级数的概念、记号：将数列}{n u 的各项用加号连接起来，即 ++++n u u u 21 或∑∞=1n nu称为数值级数，简称级数。

其中第n 项 n u 称为通项。

级数的敛散性与和 : .2 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 级数的部分和： . n n u u u S +++= 213 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念级数的收敛性：若S S n n =∞→lim 存在，称级数∑∞=1n nu收敛，S 称为级数的和；余和：称 ∑∞==-=nk kn n uS S r 为级数∑∞=1n nu的余和。

若部分和数列}{n S 发散，则称级数∑∞=1n nu发散，发散级数没有和。

这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。

例1 讨论几何级数0,11≠∑∞=-a arn n 的敛散性。

按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。

由等比数列前n 项和的计算公式，1≠r 时，n n n n r ra r a r ar a arar a S ---=--=+++=-11111） 当 1||<r 时，r a S n n -=∞→1lim ，几何级数收敛，其和为 ra -1； 2） 当 1||>r 时，∞=∞→n n S lim ，此时几何级数发散，和不存在； 3） 当 1||=r 时，显然 }{n S 发散； 结论：几何级数0,11≠∑∞=-a ar n n ，当 1||<r 时，收敛，其和为ra-1； 当 1||≥r 时，几何级数发散，和不存在例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解 利用111)1(1+-=+n n n n 求出部分和 n S ,例3 讨论级数∑∞=12n nn的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =⇒n S 211432221 232221++-++++n n n n , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n nS S S =12211211211→--⎪⎭⎫⎝⎛-=+n nn , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性.解 52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.二 收敛级数的性质因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级数收敛的充分必要条件为：定理1，（柯西准则）级数∑∞=1n nu收敛 ⇔N p N n N ∈∀>∀∃>∀,,,0ε 有ε<-+||n p n S S根据定理1，取 1=p ，有 ε<=-+n n n u S S ||1 ，于是有下面结论：推论1， 级数∑∞=1n nu收敛的必要条件为 0lim =∞→n n u本推论可以方便的用来判断级数发散。

数学分析级数收敛最全汇总什么是级数级数是由一连串数相加所得到的和，通常写成这种形式：$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$$其中 $a_n$ 为数列的第 $n$ 项。

收敛和发散对于一个级数 $\sum a_n$，如果当 $n$ 趋于无穷大时其部分和$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$ 有极限，那么称级数 $\suma_n$ 收敛，同时称其极限为该级数的和，即：收敛，同时称其极限为该级数的和，即：$$\lim_{n \to \infty} s_n = s$$如果极限不存在，或者为 $\pm \infty$，则称级数 $\suma_n$ 发散。

发散。

收敛的判别法对于一个级数 $\sum a_n$，为了判断其是否收敛，通常使用下面这些判别法：- 正项级数判别法- 比值法- 根值法- 级数收敛的必要条件详情可参考资料。

发散的情况当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散时，可能会出现以下几种情况：- 无穷递增；- 无穷递减；- 振荡。

常见级数示例- 调和级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 正项级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}, p>0$$ - 幂级数$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$其中 $a_n$ 为系数，$x$ 为变量。

- 和式$$\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$其中 $q \neq 1$。

总结本文介绍了级数的定义、收敛和发散等概念，以及常见的判别法和例子。

希望对读者有所帮助。

第十二章 数项级数 （ 1 4 时 ）§1 级数的收敛性（ 3 时 ）一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项 (一般项, 第n 项), 前n 项部分和等概念 (与中学的有关概念联系).级数常简记为∑nu.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 例3 讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn ,1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.3. 级数与数列的关系:⑴设∑nu对应部分和数列{n S }, 则∑nu收敛 ⇔ {n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数 ∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4. 级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu, 其中 ⎰+=1n nn f u . 无穷积分可化为级数;⑵对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f . 即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二 级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1 ( Cauchy 准则 )∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前 k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论 (级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒ 0lim =∞→n n u .例5 证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.三． 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数 ∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该例的结果说明什么问题 ?Ex [1]P 5—7 1 — 7.§2 正项级数（ 3 时 ）一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th 1 设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n . ( 证 )正项级数敛散性的记法 . 3. 正项级数判敛的比较原则: Th 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤, 则 ⅰ> ∑nv <∞+ , ⇒ ∑nu<∞+ ;ⅱ>∑nu=∞+, ⇒∑nv=∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 .解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1 (比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ> 当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散 ; ⅱ> 当0=l 时 ,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+ ;ⅲ> 当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+ . ( 证 )推论2 设∑nu和∑nv 是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若 n u ～n v ,) (∞→n ， 则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3 判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n 21) ; ⑵ ∑∞=11sin n n ; ⑶ ∑∞=+12) 11 ln(n n .二 正项级数判敛法:1．比值法：亦称为 D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th 3 设∑nu为正项级数, 且0 N ∃ 及 0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ> 若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ> 若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+ . 证 ⅰ> 不妨设 1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立, 有, , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤- 依次相乘⇒11-≤n n q u u , 即 11-≤n n qu u . 由 10<<q , 得∑<nq∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ> 可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论 (比值法的极限形式) 设∑n u 为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则ⅰ> 当q <1⇒∑nu<∞+; ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+. ( 证 )注: ⑴倘用比值法判得∑nu=∞+, 则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数, 特别是n u 中含有因子!n 者. 例4 判断级数 ()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5 讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.例6 判断级数∑+nn n n !21的敛散性 .注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n,均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛.Ex [1]P 16 1⑴―⑺， 2⑴⑵⑷⑸，3，4，12⑴⑷；2. 根值法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设∑nu为正项级数,且 0 N ∃ 及 0>l , 当 0N n >时,ⅰ> 若 1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ> 若1 ≥n n u ⇒∑nu =∞+. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .) ( 证 ) 推论 (根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u n n n =∞→lim . 则ⅰ> 当1 <l 时⇒∑nu<∞+; ⅱ> 当1 >l 时⇒∑nu=∞+ . ( 证 )注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法. (参阅[1]P 12)例7 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 例8 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 3． 积分判别法：Th 5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且 ⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( . 例9 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性. 解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2) ln ( 1n p n n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .Ex [1]P 16 1⑻，2⑶⑹，5，6，8⑴―⑶，11；§3 一般项级数 ( 4 时 )一. 交错级数: 交错级数, Leibniz 型级数.Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r . 证 (证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界. ))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S ≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .例1 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na, ⇒∑na收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性: ⑴ 同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有 ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ> n n n w v u +=|| , n n n w v u -= . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若∑||nu +∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .ⅱ> 若∑nu条件收敛 , 则∑nv+∞= ,∑nw+∞= .证 ⅰ> 由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及 ∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. Th 4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证 ⅰ> 若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<, 且和相等. ⅱ> 对于一般的n u , ∑nu=∑nv ∑-nw⇒∑'nu = ∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'n w 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据Th 1 ,∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv =∑'nv , ∑n w ∑n u =∑'n w ⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑nu的更序∑'nu , 使得∑'nu =s .证 以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律, 有如下结果: ⅰ> 若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.ⅱ> 设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,106则∑'n u 和∑n u 共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积. [1] P 20—22.2．级数乘积的Cauchy 定理:Th 6 ( Cauchy ) 设∑||n u +∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑n u =U , ∑n v =V . 则 它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为UV . ( 证略 ) 例3 几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的. 将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列, 得到 +++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212 .Ex [1] P 24—25 1⑴—⑻ ⑽，4； 31(总Ex ) 2，3，4⑴⑵；四. 型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1 (分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=. 则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i m i i i ii i b a B B a b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a107 m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a. 分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ba x a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x a b a x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b ax a x df dt t g dt t g b f )()()()(. 可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰x a dt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分. 引理 2 ( Abel )设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证 不妨设i a ↘.||1∑=m i i i ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a ) ||2|| ( ||)(1111m m i m i i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理1. 则有||1∑=m i i i ba 1Ma ≤.( 参引理2证明 ) Th 7 (Abel 判别法)设ⅰ> 级数∑n b 收敛,ⅱ> 数列}{n a 单调有界.则级数∑n n b a 收敛. 证 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||, 由∑n b 收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有108 ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a b a p n n pn n k k k 3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑n n b a 收敛.2. Dirichlet 判别法:Th 8 ( Dirichlet)设ⅰ> 级数∑n b 的部分和有界, ⅱ> 数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑n n b a 收敛.证 设∑==n i n n bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M b a P n n pn n k k k 6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑n n b a 收敛. 取n a ↘0,∑n b ∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1) 1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n n b a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.109 例4 设n a ↘0.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x x n kx 12sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .Ex [1]P 24 — 25 2， 3.。

数学分析中的级数收敛理论在数学分析学科中，级数收敛理论是一个重要的概念和理论体系。

级数是指由一系列数相加而成的无穷级数，而级数的收敛与发散则是判断级数性质的关键问题之一。

本文将探讨级数收敛理论的基本概念、性质及应用。

1.级数与部分和级数是由一系列项按一定次序相加而成的无穷和。

一般可以表示为S= a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁，a₂，a₃，...为级数的各项，n为级数的项数。

而级数的部分和可以表示为Sn= a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ。

2.级数收敛与发散的定义级数的收敛与发散是指级数的部分和序列是否有极限的情况。

定义1：如果级数的部分和Sn的极限存在，即lim(n→∞) Sn = S存在，则称级数收敛，且极限S称为级数的和。

定义2：如果级数的部分和Sn的极限不存在或趋于无穷大，即lim(n→∞) Sn = ∞或-lim(n→∞) Sn = -∞，则称级数发散。

3.级数收敛的判定方法在数学分析中，有许多方法可以用来判断级数的收敛性。

下面将介绍几种常见的判定方法。

3.1. 正项级数判别法正项级数是指级数的各项都是非负数的级数。

正项级数的判别法非常简便，如果正项级数的部分和序列有上界，则该正项级数一定收敛。

3.2. 比较判别法比较判别法是用来判断任意项为正的级数的收敛性的一种重要方法。

定理：设有两个级数∑aₙ和∑bₙ，若存在正常数c，当n足够大时，有aₙ≤c·bₙ，则若级数∑bₙ收敛，则级数∑aₙ也收敛；若级数∑aₙ发散，则级数∑bₙ也发散。

3.3. 比值判别法比值判别法是判断一般项为正的级数收敛性的一种常用方法。

定理：设有一般项为正的级数∑aₙ，若存在极限lim(n→∞)|aₙ₊₁/aₙ| = L，则当L < 1 时，级数收敛；当L > 1时，级数发散；当L = 1时，判别不出。

4.级数求和的方法在级数的求和问题上，数学家们找到了一些有效的方法。

数学分析第十二章数项级数收敛级数的性质(II)例子第三讲数学分析第十二章数项级数定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和. ∑,.nuS 为收敛级数其和为∑n u 下面证明加证设括号后的级数111()k k n n k u u -∞+=++∑ 收敛, 11,,k k k n n v u u 则-+=++-∞+=++∑111()k k n n k uu 且其和也是.S 111,n v u u =++ 为此,记1221,n n v u u +=++11.kn ki i i i u v ===∑∑1k k v ，∞==∑数学分析第十二章数项级数注从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号于是, 若为收敛级数∑n u 的部分和数列, {}n S 时也收敛.例如(11)(11)(11)0000,-+-++-+=+++= 收敛, 但级数1111-+-+却是发散的.则级数{}kkn v S ∑的部分和数列是,{}lim ,n n n S S S →∞=因收敛,{}k n S 故也收敛，lim ,k n k S S →∞=.k v S ∑即级数收敛,且它的和也等于{}.nS 它是的一个子列数学分析第十二章数项级数例6 判别下列级数的敛散性：111111212131314141-+-+-+-+-+-+解考虑加括号的级数111121213131⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭11,4141 ⎛⎫+-+ ⎪-+⎝⎭其一般项112,111n u n n n =-=--+由于级数221n n ∞=-∑112n n∞==∑发散，从而原级数发散.数学分析第十二章数项级数*例7 证明级数1213n n n ∞=-∑收敛，并求其和.121,3nn k k k S =-=∑lim ,n n S →∞证令若能求出就能得到所要的结论. 13n n S S -111112121333n k k k k k -++=+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑11112133n k k k -+=+=+∑由于+--1213n n 1111212133n k n k k n -++=----∑111212133n nk k k k k k +==--=-∑∑数学分析第十二章数项级数11111221333n k n k n -++=-=+-∑12111121213333n k n k n --+=-=+⋅-∑12121,333n n n +-=--所以132121,2333n n n n S +-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭于是132121lim 1.2333n n n n n S +→∞-⎛⎫=--= ⎪⎝⎭这样就证明了级数1213n n n ∞=-∑收敛, 并且其和为1.复习思考题数学分析第十二章数项级数,()1n nn n u vu v 讨论级数与之间性.收敛±∑∑∑的关系.,,2.n n n n u v u v ∑∑∑设级数均收敛问是否一定收敛.3.n k u v 若，均为正项级数且都发散，∑∑±∑∑(),,nn n n uv u v 是否一定发散？问。

第十二章 数项级数 1 级数的收敛性定义1：给定一个数列{u n }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式：u 1+u 2+…+u n +…称为常数项无穷级数或数项级数(简称级数)，常写作∑∞=1n n u 或∑n u ，其中u n 称为该数项级数的通项或一般项.前n 项之和记为S n =∑=n1k k u =u 1+u 2+…+u n ，称为该数项级数的第n 个部分和，也简称部分和.定义2：若数项级数的部分和数列{S n }收敛于S(即∞n lim +→S n =S)，则称该数项级数收敛，称S 为该数项级数的和，记作： S=u 1+u 2+…+u n +…或S=∑n u .若{S n }是发散数列，则称数项级数发散.例1：讨论等比级数(即几何级数)a+aq+aq 2+…+aq n +…的收敛性(a ≠0).解：当q ≠1时，该级数的第n 个部分和S n =a·q-1q -1n ，∴当|q|<1时，∞n lim +→S n =∞n lim +→a·q -1q -1n =q -1a ，级数收敛，其和为q-1a；当|q|>1时，∞n lim +→S n =∞，级数发散；当q=1时，该级数的第n 个部分和S n =na →∞ (n →∞)，级数发散. 当q=-1时，该级数的第n 个部分和S 2k =0, S 2k-1=a, k=1,2,…，级数发散.∴当|q|<1时，等比级数收敛；当|q|≥1时，等比级数发散.例2：讨论数项级数211⨯+321⨯+…+)1n (n 1++…的收敛性.解：该级数的第n 个部分和S n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-211+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3121+…+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1n 1n1=1n n +. ∵∞n lim +→S n =1n nlim∞n ++→=1，∴该级数收敛，其和为1.注：级数∑n u 的收敛或发散(简称敛散性)由它的部分和数列{S n }确定，因而级数∑n u 也可以看作数列{S n }的另一种表现形式；反之，任给一个数列{a n }, 也可以把它看作某数项级数的部分和数列，即为：∑nu=a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)+….这时数列{a n }与级数∑n u 具有相同的敛散性，且当{a n }收敛时，其极限即为级数∑n u 的和.定理12.1：(级数收敛的柯西准则)级数∑n u 收敛的充要条件是： 任给ε>0，总存在正整数N ，使得当m>N 时，对任何正整数p ，都有 |u m+1+u m+2+…+u m+p |<ε.而级数∑n u 发散的充要条件是：存在某正数ε0，对任何正整数N ， 总存在正整数m 0(>N)和p 0，有|1m 0u ++2m0u ++…+0p m u +|≥ε0.推论：若级数∑n u 收敛，则∞n lim +→u n =0. (其逆命题不一定成立)例3：证明调和级数：1+21+31+…+n1+…发散. 证：令m=p ，则有 |u m+1+u m+2+…+u 2m |=|1m 1++2m 1++...+2m 1|≥|2m 1+2m 1+ (2)1|=21， 由定理12.1，取ε0=21，对任何正整数N ，只要正整数m>N 和m=p ， 就有|u m+1+u m+2+…+u m+p |=|u m+1+u m+2+…+u 2m |≥ε0. ∴调和级数发散.例4：判断级数∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n n1n nnn 1n 的敛散性. 解：∵n1n n∞n nn 1n lim ++→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n1nn∞n nn n 1n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=n1n1n 2∞n n n 11lim 2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=1≠0，∴该级数发散.例5：应用级数收敛的柯西准则证明级数∑2n 1收敛. 证：∵|u m+1+u m+2+…+u m+p |=|21)(m 1++22)(m 1++…+2p)(m 1+|<1)m(m 1++2)1)(m (m 1+++…+p)1)(m -p (m 1++=m 1-p m 1+<m 1.∴任给ε>0，取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε1, 使当m>N 时，对任意正整数p ，都有|u m+1+u m+2+…+u m+p |<ε. 根据级数收敛的柯西准则知级数∑2n1收敛.定理12.2：若级数∑n u 与∑n v 都收敛，则对任意常数c,d ，级数)dv (cun n∑+亦收敛，且)dv (cu n n ∑+=c ∑n u +d ∑n v .定理12.3：去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.注：若∑n u 收敛，其和为S ，则级数：u n+1+u n+2+…也收敛，且其和R n =S-S n . 而u n+1+u n+2+…称为∑n u 的第n 个余项(或简称余项)，表示以S n 代替S 时所产生的误差.定理12.4：在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.证：设收敛级数∑n u ，其和为S. 记 v 1=u 1+…+1n u , v 2=1n 1u ++…+2n u , …, v k =1n1-k u ++…+kn u ,….设{S n }为收敛级数∑n u 的部分和数列，则 级数∑n v 的部分和数列{kn S }是{S n }的一个子列.∵∞n lim +→S n =S ，由子列性质得kn ∞n S lim +→=S ，即级数∑n v 的和也等于S. 得证.注：从级数加括号后的收敛，不能推断未加括号前也收敛，如： 级数(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0收敛，但级数1-1+1-1+…发散.例6：判断级数121--121++131--131++141--141++…的敛散性.解：加了括号的级数(121--121+)+(131--131+)+(141--141+)+…,其通项u n =1n 1--1n 1+=1n 2-. 由级数∑∞=1n n1发散，知∑∞=2n n u =∑∞=-2n 1n 2=2∑∞=1n n1发散，根据定理12.4知原级数发散. 习题1、证明下列级数的收敛性，并求其和： (1)611⨯+1161⨯+61111⨯+…+)1n 5(4)-(5n 1++…；(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+223121+…+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 3121+…； (3)∑∞=++1n 2)1)(n n(n 1；(4)∑∞=++-+1n )n 1n 22n (；(5)∑∞=-1n n 21n 2.解：(1)部分和S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1n 514-5n 11116161151=1n 5n+； ∵∞n lim +→S n =1n 5n lim∞n ++→=51，∴该级数收敛，其和为51. (2)部分和S n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++n 2212121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++n 2313131=n n 212-+nn 3213⋅- ∵∞n lim +→S n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-+→n n n n ∞n 3213212lim =23，∴该级数收敛，其和为23. (3)∵2)1)(n n(n 1++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+2)1)(n (n 11)n(n 121， ∴部分和S n =∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+n 1k 2)1)(k (k 11)k(k 121=41-2)1)(n 2(n 1++. ∵∞n lim +→S n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+→2)1)(n 2(n 141lim ∞n =41，∴该级数收敛，其和为41. (4)该级数的第n 个部分和S n =()∑=++-+n 1k k 1k 22k =2n 1n 21+++--=2)1)(n (n 121+++-.∵∞n lim +→S n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+→2)1)(n (n 121lim ∞n =1-2，∴该级数收敛，其和为1-2.(5)S n -21S n =(21+223+…+n 21n 2-)-(221+323+…+1n 21n 2+-) =21+222+…+n 22-1n 21n 2+-=23-1-n 21-1n 21n 2+-=21S n . ∴S n =3-n 24-n 21n 2-=3-n 23n 2+.又∵∞n lim +→S n =⎪⎭⎫⎝⎛+-+→n ∞n 23n 23lim =3，∴该级数收敛，其和为3.2、证明：若级数∑n u 发散，c ≠0，∑n cu 也发散. 证：若∑n cu 收敛，c ≠0，则∑n u =∑n cu c1收敛，矛盾！得证.3、设级数∑n u 与∑n v 都发散，试问∑+)v (u n n 一定发散吗？又若u n 与v n (n=1,2,…)都是非负数，则能得出什么结论？ 解：不一定. 如∑n u =∑n1，∑n v =∑-n1都发散，而∑+)v (un n=0+0+…收敛.若u n 与v n (n=1,2,…)都非负数，则若∑n u 与∑n v 都发散，∑+)v (u n n 也发散. 理由如下：由∑n u 发散， 知存在ε0>0，对任何正整数N ，总存在正整数m 0>N 和p 0，有 |1m 0u ++2m0u ++…+0p m u +|≥ε0. ∵u n 与v n (n=1,2,…)都非负数，∴|(1m 0u ++1m 0v +)+(2m0u ++2m0v +)+…+(0p m u ++0p m v +)|≥ε0.由柯西准则知∑+)v (u n n 也发散.4、证明：若数列{a n }收敛于a ，则级数∑∞=+1n 1n n )a -a (=a 1-a.证：级数∑∞=+1n 1n n )a -a (的第n 个部分和S n =∑=+n1k 1k k )a -a (= a 1-a n+1.又∵数列{a n }收敛于a ，∴∞n lim +→S n =()1+n 1∞n a -a lim +→=a 1-a.∴级数∑∞=+1n 1n n )a -a (=a 1-a.5、证明：若数列{b n }有n ∞n b lim +→=+∞，则(1)级数∑+)b -(b n 1n 发散； (2)当b n ≠0时，级数∑+)b 1-b 1(1n n =1b 1. 证：(1)级数∑+)b -(b n 1n 的第n 个部分和S n =∑=+n1k k 1k )b -b (=b n+1-b 1；∵∞n lim +→S n =∞n lim +→(b n+1-b 1)=∞n lim +→b n+1-b 1=+∞，∴级数∑+)b -(b n 1n 发散.(2)级数∑+)b 1-b 1(1n n 的第n 个部分和S n =∑=+n1k 1k k)b 1-b 1(=1n 1b 1-b 1+；∵当b n ≠0时，n ∞n b 1lim+→=0，∴∞n lim +→S n =)b 1-b 1(lim1n 1∞n ++→=1b 1， ∴级数∑+)b 1-b 1(1n n =1b 1.6、应用第4、5题的结果求下列级数的和：(1)∑∞=+-+1n n)1)(a n (a 1；(2)∑∞=+++-1n 1n )1n (n 12n )1(；(3)∑∞=++++1n 22]1)1n )[(1(n 1n 2. 解：(1)∑∞=+-+1n n)1)(a n (a 1=∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+1n n a 11n a 1=a 1-1n a 1lim ∞n -++→ =a 1.(2)∑∞=+++-1n 1n )1n (n 12n )1(=∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-1n 1n 1n 1n 1)1(= 1+1n )1(lim 1n ∞n +-++→=1. (3)∑∞=++++1n 22]1)1n )[(1(n 1n 2=∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+1n 221)1n (11n 1=21-1n 1lim 2∞n ++→=21.7、应用柯西准则判别下列级数的敛散性：(1)∑n n 22sin ；(2)∑+-12n n )1(221-n ；(3)∑-n )1(n；(4)∑+2nn 1. 解：(1)任给自然数p ，有∑=++p1k k m km 22sin ≤∑=+p1k k m 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p m21121<m 21. 又m ∞m 21lim+→=0，∴任给ε>0，存在N, 使当m>N 时，任给自然数p ，有∑=++p1k km k m 22sin <m 21<ε. 根据级数收敛的柯西准则知该级数收敛. (2)取ε0=31, 对任一N ，取m=N+1, p=1，则m>N ，且|u m+1|=11)2(m )1(m )1(22m +++->221)3(m )1(m ++=31=ε0. 根据柯西准则知该级数发散.(3)任给自然数p ，有∑=+++p1k 2k)m (k m 1<m1. 又m 1lim ∞m +→=0， ∴任给ε>0，存在N, 使当m>N 时，任给自然数p ，有∑=++-p1k k m k m )1(<m 1<ε.根据级数收敛的柯西准则知该级数收敛. (4)取ε0=221, 对任一N ，取m=2N, p=m ，则m>N ，且有∑=++-p1k k m k m )1(≥2p)m (p m p +++>2p)m (2p+=221=ε0. 根据柯西准则知该级数发散.8、证明级数∑n u 收敛的充要条件是：任给ε>0，总存在正整数N ，对一切n>N ，总有|u N +u N+1+…+u n |<ε.证：[必要性]若∑n u 收敛，则柯西准则知，任给ε>0，存在正整数N 1， 使当n>m>N 1时，|u m+1+u m+2+…+u n |<ε. 取N ≥N 1+1，对任何n>N ，有 |u N +u N+1+…+u n |<ε.[充分性]任给ε>0，存在正整数N ，对一切n>N ，总有|u N +u N+1+…+u n |<ε. 则对一切n>m>N ，都有|u m+1+u m+2+…+u n |=|( u N +u N+1+…+u n )-(u N +u N+1+…+u m )| ≤| u N +u N+1+…+u n |+|u N +u N+1+…+u m |<ε+ε=2ε. 由柯西准则知∑n u 收敛.9、举例说明：若级数∑n u 对每个固定的自然数p 满足条件：∞n lim +→(u n+1+…+u n+p )=0，此级数仍可能不收敛.解：例如级数∑n1，对每个自然数p ，)pn 11n 1n 1(lim ∞n ++⋯++++→=0， 但级数∑n1发散.10、设级数∑n u 满足：加括号后级数∑∞=+++⋯+1k n 1n)u u (1k k 收敛(n 1=0)，且在同一括号中的1n ku +,2nk u +, (1)k n u +,符号相同，证明∑n u 也收敛.证：设级数∑n u 的部分和为S n . 令1k k n 1n u u ++⋯++=A k ，则级数∑∞=+++⋯+1k n 1n)u u (1k k =∑∞=1k k A ，设其部分和为T k .已知∑∞=1k k A 收敛，可设∞k lim +→T k =S. 则T k =A 1+A 2+…+A k =T k-1+(1k k n 1nu u ++⋯++).又任给n ∈N, 存在k ∈N, 使得n k +1≤n ≤n k+1(n 1=0)且由A k 中的项符合相同，∴∑n u 的部分和S n 总介于T k-1与T k 之间. 根据夹逼定理，∞n lim +→S n =S ，∴∑n u 收敛.。

高等数学中的级数收敛性研究引言在高等数学领域中，级数是一个重要的概念。

级数的收敛性是数学分析中的核心问题之一，对于理解和应用数学的其他领域具有重要的意义。

本文将从不同的角度探讨级数的收敛性，包括级数的定义、收敛性的判定方法以及一些经典的级数。

一、级数的定义级数是指由一列数相加得到的无穷和。

设{an}是一个数列，那么级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，S表示级数的和。

级数的和可以是有限的，也可以是无穷的。

二、级数的收敛与发散对于给定的级数，我们关心的一个重要问题是它的收敛性。

一个级数可能是收敛的，也可能是发散的。

1. 收敛级数如果一个级数的部分和数列{Sn}收敛到一个有限的值S，那么我们称这个级数是收敛的。

数列{Sn}收敛到S的定义可以表示为：lim(n→∞) Sn = S2. 发散级数如果一个级数的部分和数列{Sn}发散，即不存在有限的值S使得{Sn}收敛到S，那么我们称这个级数是发散的。

三、级数收敛性的判定方法在研究级数的收敛性时，人们发展了许多判定方法。

下面介绍几种常见的方法。

1. 正项级数判别法如果一个级数的所有项都是非负数，并且数列{an}单调递减，那么这个级数是收敛的。

这是一个常用的判别法，也被称为正项级数判别法。

2. 比值判别法对于一个级数，如果存在正数q，使得当n足够大时，有：|an+1/an| ≤ q < 1那么这个级数是收敛的。

这个方法被称为比值判别法。

3. 根值判别法对于一个级数，如果存在正数q，使得当n足够大时，有：|an|^1/n ≤ q < 1那么这个级数是收敛的。

这个方法被称为根值判别法。

四、经典的级数在数学中，有一些经典的级数被广泛研究和应用。

下面介绍几个著名的级数。

1. 调和级数调和级数是指级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...调和级数是发散的，即它的部分和数列无穷增大。

2. 几何级数几何级数是指级数：a + ar + ar^2 + ar^3 + ...其中，a是首项，r是公比。