《数学分析》第十二章数项级数2

第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞=+1n n 1n u (-1)满足：(1)数列{u n }单调递减；(2)∞n lim +→u n =0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知0<S 2m-1-S 2m =u 2m →0 (m →∞)，从而{[S 2m ,S 2m-1]}形成一个区间套， 由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得∞m lim +→S 2m-1=∞m lim +→S 2m =S.∴数列{S n }收敛，即该交错级数收敛.推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|R n |≤u n+1.二、绝对收敛级数及其性质概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛， 则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！例1：证明：级数∑!n a n收敛.证：∵n1n ∞n u u lim++→=1n alim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞=1n k(n)u 也是级数∑∞=1n nu 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞=1n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +….定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.∵级数∑n v 是∑n u 的重排，∴对每一个v k 都等于某一ki u (1≤k ≤m).记n=max{i 1,i 2,…i m }, 则对任何m ，都存在n ，使T m ≤S n .由∞n lim +→S n =S 知，对任何正整数m 有T m ≤S, 即∑n v 收敛，其和T ≤S.又级数∑n u 也是∑n v 的重排，∴S ≤T ，推得T=S.若∑n u 为一般级数且绝对收敛，即正项级数∑n u 收敛，同理可推得 级数∑n v 收敛，∴级数∑n v 收敛. 令p n =2u u nn +，q n =2u u nn -；则当u n ≥0时，p n =u n ，q n =u n ；当u n <0时，p n =0，q n =-u n ≥0. 从而有 0≤p n ≤|u n |，0≤q n ≤|u n |，p n +q n =|u n |，p n -q n =u n . 又∑n u 收敛， ∴∑n p ,∑n q 都是正项的收敛级数，且S=∑n u =∑n p -∑n q .同理得：∑n v =∑'n p -∑'n q ，其中∑'n p ,∑'n q 分别是∑n p ,∑n q 的重排. ∴∑n v =∑'n p -∑'n q =∑n p -∑n q =S. 得证!性质2：级数的乘积：由a ∑n u =∑n au 可推得有限项和与级数的乘积：(a 1+a 2+…+a m )∑∞=1n n u =∑∑∞==1n n m1k k u a .继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数∑n u =A, ∑nv=B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：这些乘积u i v j按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数∑n u=A, ∑n v=B，则由它们中每一项所有可能的乘积u i v j按任意顺序排列所得到的级数∑n w绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数∑n w,∑n u,∑n v的部分和分别为：S n =|w 1|+|w 2|+…+|w n |,A m =|u 1|+|u 2|+…+|u m |,B m =|v 1|+|v 2|+…+|v m |. 其中w k =kkj i v u (k=1,2,…,n)，m=max{i 1,j 1,i 2,j 2,…,i n ,j n }，则必有S n ≤A m B m .∵绝对收敛级数∑n u 与∑n v 的部分和数列{A m }和{B m }都有界， ∴{S n }有界，从而级数∑n w 绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性， 将绝对收敛级数∑n w 按正方形顺序重排如下： u 1v 1+(u 1v 2+u 2v 2+u 2v 1)+(u 1v 3+u 2v 3+u 3v 3+u 3v 2+u 3v 1)+…， 把每一括号作一项，得新级数：p 1+p 2+p 3+…+p m +…收敛， 且与∑n w 和数相同，其部分和P m =A m B m . 即有∞m lim +→P m =∞m lim +→A m B m =∞m lim +→A m ∞m lim +→B m =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)r n +…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数∑∞=0n n r =1+r+r 2+…+r n +…=r-11(|r|<1)，绝对收敛. 将(∑∞=0n n r )2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r 2+r 2+ r 2)+…+(r n +…+r n )+… (括号内共有n+1个r n ) =1+2r+…+(n+1)r n +…=2r)-(11. ∴所求级数绝对收敛，其和为2r)-(11.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi ,v i (i=1,2,…,n)为两组实数， 若令T k =v 1+v 2+…+v k (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：∑=n1i ii vε=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .证：以v 1=T 1, v k =(T k -T k-1) (k=2,3,…,n)分别乘以εk (k=1,2,…,n)，则∑=n1i ii vε=ε1v 1+ε2v 2+…+εn v n =ε1T 1+ε2(T 2-T 1)+…+εn (T n -T n-1)=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1, ε2,…, εn 是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k ≤n)有|T k |=|v 1+v 2+…+v k |≤A ，记ε=kmax {|εk |},有∑=n1k k k v ε≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2, ε2-ε3, …, εn-1-εn 同号，于是由分部求和公式及(2)有∑=n1k k kv ε=|(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n |≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn )|+A|εn |=A|(ε1-εn )|+ A|εn | ≤A(|ε1|+2|εn |)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{a n }为单调有界数列，且级数∑n b 收敛, 则级数∑n n b a =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n +…收敛.证：由级数∑n b 收敛，依柯西准则，对任给正数ε, 存在正数N, 使 当n>N 时，对一切正整数p ，都有∑++=pn 1n k kb<ε.又数列{a n }单调有界，∴存在正数M ，使|a n |≤M ，根据阿贝尔引理有∑++=pn 1n k k kb a≤3εM. ∴级数∑n n b a 收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数∑n u 收敛，则下述两个级数：(1)∑p nn u (p>0)；(2)∑+1n u n 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，又且级数∑n b 的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例3：证明：若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，则级数∑sinnx a n 和∑cosnx a n 对任何x ∈(0,2π)都收敛.证：2sin 2x (21+∑=n 1k coskx )=sin 2x +2sin 2x cosx+2sin 2x cos2x+…+2sin 2xcosnx= sin 2x +(sin 23x-sin 2x )+…+[sin(n+21)x-sin(n-21)x]=sin(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k coskx =2x 2sinx 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21=21sinnxcot 2x +2cosnx -21.又-21cot 2x -1≤21sinnxcot 2x +2cosnx -21≤21cot 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑cosnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑cosnx an收敛.2sin 2x (∑=n 1k sinkx -21cot 2x )=2sin 2x sinx+2sin 2x sin2x+…+2sin 2x sinnx-cos 2x= (cos 2x-cos 23x) +…+[cos(n-21)x-cos(n+21)x]-cos 2x =-cos(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k sinkx =21cot 2x -2x 2sin x 21n cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2x 2sinx 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+.又- csc 2x =2x sin 1-≤2x 2sin x 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin1=csc 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑sinnx an收敛.注：作为例3的特例，级数∑n sinnx 和∑ncosnx对一切x ∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)∑!n sinnx ；(2)∑+-1n n )1(n；(3)∑+n1p n n (-1)；(4)∑-n 2sin )1(n ；(5)∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 1n (-1)n ；(6)∑++1n 1)ln(n (-1)n ；(7)n n 13n 1002n )1(∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；(8)nn x !n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛. 解：(1)∵!n sinnx <2n 1(n>4)；又级数∑2n1收敛，∴原级数绝对收敛. (2)∵1n n)1(limn ∞n +-+→=1≠0；∴原级数发散. (3)∵当p ≤0时，n1p n ∞n n(-1)lim++→≠0；∴原级数发散；当p>1时，n1p n n(-1)+≤p n 1；又级数∑p n1(p>1)收敛，∴原级数绝对收敛. 当0<p ≤1时，令u n =n1p n1+，则n1n u u +=1n 1p n 1p 1)(n n++++=1n 1pn1)1n (n 11n++⎪⎭⎫⎝⎛+<1n 1pn 1n n 11n+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p1)n(n 1n 11n⎪⎭⎫ ⎝⎛++，∵np ∞n n 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e p>1, 1n 1∞n n lim ++→=1，∴当n 充分大时，npn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1n 1n +，即 p n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1)n(n 1n+，从而n1n u u +<1，即u n+1<u n ，∴{u n }在n 充分大后单调减. 又∞n lim +→u n =n1p ∞n n1lim++→=0(0<p ≤1)，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(4)∵n2n2sin)1(limn ∞n -+→=1, 且级数∑n2发散，∴原级数不绝对收敛. 又{n2sin }单调减，且n2sin lim ∞n +→=0，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. (5)∵级数∑n(-1)n收敛，而级数∑n1发散，∴原级数发散.(6)∵1n 1)ln(n (-1)n ++>1n 1+(n ≥2)，且∑+1n 1发散，∴原级数不绝对收敛.又{1n 1)ln(n ++}单调减且1n 1)ln(n lim ∞n +++→=0，∴原级数条件收敛. (7)记u n =n13n 1002n ⎪⎭⎫⎝⎛++，则n ∞n u lim +→=13n 1002n lim ∞n +++→=32，∴原级数绝对收敛. (8)记u n =n n x !n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则n 1n ∞n u u lim ++→=n∞n 1n n x lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=|e x |， ∴当-e<x<e 时，n1n ∞n u u lim++→<1，原级数绝对收敛； 当x ≥e 或x ≤-e 时，n1n ∞n u u lim++→≥1，即当n 充分大时，|u n+1|≥|u n |>0，∴n ∞n u lim +→≠0，∴原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1)nn n x 1x n (-1)+⋅∑ (x>0)； (2)∑a n sinnx, x ∈(0,2π) (a>0)； (3)nnxcos )1(2n∑-, x ∈(0,π).解：(1)∵当x>0时，0<n n x 1x +<n n x x =1，且n n1n 1n x 1xx 1x ++++=1n 1n x 1x x ++++； 若0<x ≤1，则1n 1n x 1x x ++++≤1；若x>1，则1n 1n x1x x ++++>1， 即数列{n n x 1x +}单调有界. 又级数∑n(-1)n收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛. (2)∵当a>0时，数列{a n1}单调递减，且∞n lim +→a n 1=0， 又当x ∈(0,2π)时，∑=n1k sinkx ≤csc 2x，即∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛. (3)∵数列{n 1}单调递减，且∞n lim+→n1=0，又当x ∈(0,π)， ∑=n1k 2kkx cos (-1)=∑=+n1k k21cos2kx (-1)≤∑=n 1k k 2(-1)+∑=n1k k 2cos2kx (-1)≤21+∑=n1k cos2kx 21.又由2sinx ∑=n 1k cos2kx =4sin(2n+1)x-4sinx ，得∑=n1k cos2kx =2sinx4sinx -1)x 4sin(2n +≤sinx 2+2， 即对任意x ∈(0,π)，级数nx cos )1(2n ∑-有界， 根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0.证明：级数∑+⋯++na a a (-1)n211-n 收敛.证：由a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0知， {na a a n21+⋯++}单调减且趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛.4、设p n =2u u nn +，q n =2u u nn -.证明：若∑n u 条件收敛，则级数∑n p 与∑n q 都是发散的. 证：若∑n u 条件收敛，则∑n u 发散， ∴∑n p =∑+2u u nn =∑2u n +∑2u n，发散； ∑n q =∑-2u u nn =∑2u n -∑2u n，发散.5、写出下列级数的乘积：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx ； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!(-1)n!1. 解：(1)当|x|<1时，两个级数均绝对收敛，乘积按对角线一般项为：w n =k-n k-n n1k 1-k 1)xk -(n (-1)·kx +∑==xn-1∑=+n1k k-n 1)k -k(n (-1), 从而有w 2m =x2m-1∑=+2m1k k-2m 1)k -k(2m (-1)=[-2m+…+(-1)m (m 2+m)+2m+…+(-1)m-1(m 2+m)]=0； w 2m+1=x 2m∑+=++12m 1k 1k -2m 2)k -k(2m (-1)=x 2m[∑+=++12m 1k 1k -2m 1)k -k(2m (-1)+∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)]=-x 2m∑+=+12m 1k k-2m 1)k -k(2m (-1)+x2m∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)=- w 2m +x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x 2m(1-2+3-4+…-2m+2m+1)=(m+1) x 2m.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx =∑∞=+0m 2m 1)x (m . (|x|<1).(2)两个级数均绝对收敛，其乘积按对角线一般项为：w 0=1, w n =k)!-(n (-1)·k!1k -n nk ∑==n!1∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1)=n!1)-(1n=0(n=1,2,…) ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n0n n!(-1)n!1=1.注：二项式n 次幂展开式：(1-1)n=∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1).6、证明级数∑∞=0n n n!a 与∑∞=0n n n!b 绝对收敛，且它们的乘积等于∑∞=+0n nn!b)(a .证：n!a 1)!(n a limn 1n ∞n +++→=1n alim ∞n ++→=0,∴∑∞=0n n n!a 绝对收敛. 同理∑∞=0n nn!b 绝对收敛. 按对角线顺序，其乘积各项为：C 0=1=!0b)(a 0+, ……,C n =k)!-(n b k!a k -n n1k k ⋅∑==n!∑=n 0k k -n k k)!-(n k!n!b a =n!b)(a n +. ∴∑∞=0n n n!a ·∑∞=0n n n!b =∑∞=+0n nn!b)(a .7、重排级数∑+-n1)1(1n ，使它成为发散级数. 解：∑+-n 1)1(1n =1-21+31-41+…+n 1)1(1n +-+…=∑∞=1k 1-2k 1-∑∞=1k 2k 1，∑∞=1k 1-2k 1∵∑∞=1k 2k 1和∑∞=1k 1-2k 1是发散的正项级数，∴存在n 1，使u 1=∑=1n 1k 1-2k 1-21>1，又∑∞+=1n k 11-2k 1发散，∴存在n 2>n 1，使u 2=∑+=21n 1n k 1-2k 1-41>21，同理存在n 3>n 2，使u 3=∑+=32n 1n k 1-2k 1-61>31,…,u i+1=∑++=1i i n 1n k 1-2k 1-1)2(i 1+>1i 1+，可得原级数的一个重排∑∞=1i i u . ∵u i >i 1,且∑i 1发散，∴∑∞=1i i u 必发散.8、证明：级数∑-n)1(]n [收敛.证：记A L ={n|[n ]=L}, L=1,2,…，显然A L 中元素n 满足L 2≤n<(L+1)2,且A L 中元素个数为2L+1. 记U L =∑∈-L A n ]n [n )1(，则有u L =∑∈-LA n Ln )1(=(-1)L V L , 其中V L =∑∈L A n n 1，则V L -V L+1=∑=+2L0s 2s L 1-∑+=++1)2(L 0s 2s)1(L 1=∑=++++2Ls 22s])1s)[(L (L 1L 2-1L 2)1(L 12+++-2L 2)1(L 12+++≥∑=+++2L0s 22L]2)1[(L 1L 2-L 2)1(L 22++=222L]2)1[(L L]2)12[(L -1)L 2(L 2+++++=2222L]2)1[(L L)2-1-L 2L -L L 2(2++-+=222L]2)1[(L 1)-3L L (2++->0(当L ≥4时). ∴当L ≥4时, { V L }是单调下降数列. 当n ∈A L 时，21)(L 1+<n 1≤2L 1， ∴21)(L 1L 2++<V L ≤2L 1L 2+，可见∞L lim +→V L =0，从而∑∞=1L L u =∑∞=1L L LV (-1)收敛. 设级数∑∞=-1n ]n [n )1(的部分和为S N ，记级数∑∞=1n n u 的部分和为U M ，则S N =∑=-N1n ]n [n )1(，U M =∑=M1n n u ，任一个S N 均被包含在某相邻两个部分和U M , U M+1之间，即有|S N -U M |≤|U M+1-U M |，由级数∑∞=1n n u 收敛，知∞M lim +→U M+1-U M =0，∴∞N lim +→S N -U M =0，即极限∞N lim +→S N =∞N lim +→U M =∑∞=1n n u 存在，∴级数∑-n)1(]n [收敛.。

第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具； 2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的； 3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数：18学时§ 1级数的收敛性一.概念：1. 级数：级数，无穷级数；通项（一般项，第K项）,前T项部分和等概念（与中学的有关概念联系）.级数常简记为「2. 级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数、厂的敛散性.（这是一个重要例题！）H-0» 1 一胪1解，时，.•. 级数收敛；tS lp 1,一时，/, -■■■.级数发散；弋1时，I ■ —■,丨^ 一■亠.，级数发散；■J -时,■-...-;, 级数发散.w 1综上，几何级数当且仅当「I 一时收敛，且和为■（注意■•从0开to 1-?始）.® 1例2讨论级数％'的敛散性.E如门解（利用拆项求和的方法）例3 讨论级数的敛散性.x_i 2”k1 2 3 起-1 月解以^ ,■■■ ' ' I .= 二T ：,—：・•因此，该级数收敛.y 9« 例4 讨论级数 弋 ° 的敛散性. t?5»-3解 _ ' 一 「-一 > -'. ，_ 一- J ,/ ■ ■,.级数发散.-3 5 53. 级数与数列的关系：对应部分和数列｛ ；｝,收敛=｛ ：｝收敛；对每个数列｛门｝,对应级数匸；，.，—,对该级数,有二二“. 于是，数列｛ 6｝收敛H 级数»- '、；、-三】收敛.»-2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式 .4. 级数与无穷积分的关系： 地 u vM-tl对每个级数，定义函数/ ' ；： - ■ l ■■- ■ ■-'匕-：.「，…，易见有 工叭二“妙.即级数可化为无穷积分.J TZ I 1综上所述，级数和无穷积分可以互化，它们有平行的理论和结果.可以用 其中的一个研究另一个. 二.级数收敛的充要条件一一Cauchy 准则：把部分和数列｛二｝收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th （ Cauchy 准则）、一「收敛=■ ■■ ■-■ 和"：；N,= 由该定理可见，去掉或添加上或改变（包括交换次序）级数的有限项，不 会影响级数的敛散性.但在收敛时，级数的和将改变.去掉前：项的级 数表为或\‘"：.其中r .无穷积分可化为级数…十口十2汽，尸2412"相 _系（级数收敛的必要条件）收敛=•「...r 1 1曙1例5证明.级数收敛.证显然满足收敛的必要条件.令丿，-1 ,则当< 1 2时有, ,二 1 / 召 1 11」应用Cauchy准则时，应设法把式| |不失真地放大成只含巴而不含尹JU1的式子，令其小于三，确定巴.» 1例6 判断级数的敛散性.幺卷（验证•・：一'. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）2 1例7 （一一一但级数发散的例）证明调和级数发散.证法一（用Cauchy准则的否定进行验证）三.收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质 1 ■■；：收敛，二一Const = 21.! ■''.收敛且有' ,•' * b= <工叭性质2 和收敛，=丄| 收敛，且有一'、二'二…性质3若级数二■- ’收敛,则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.§ 2 正项级数一. 正项级数判敛的一般原则：1. 正项级数：■',/;任意加括号不影响敛散性.2.基本定理:Th 1设飞''.则级数二、收敛= ■H - - r •且当' 发散时有二一‘，.•….1 •（证）3.正项级数判敛的比较原则：Th 2设二飞和\ 是两个正项级数,且H —先时有，.；、.,则I > V. 收敛，= 收敛；，> V「发散，=二，发散.（ii >是i >的逆否命题）3 1例1 考查级数的敛散性.幺宀沙1沪 1 2解有2 K1-K + l yr例2 设」■ —「..判断级数的敛散性•抵™-i a推论1 （比较原则的极限形式）设和是两个正项级数且一，则i > 「：「•+：；时,二和工,共敛散；i > —时，工•：收敛，-二，收敛；iii > -时,工,发散,= 丄‘，发散•（证）二.正项级数判敛法：1 .检比法：亦称为D' alembert判别法•用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法•Th 3设二'为正项级数，且“：及 > ：'.'. '厂时i>若•，- 收敛；■以+1-：,-二'发散•证i >不妨设J：时就有.:成立，有依次相乘，，即\ •由一',得二/收敛，=收敛•ii > 可见卜.往后递增,=」..亍「，推论（检比法的极限形式）设. 为正项级数，且.贝U i >孑< 1,=二・\ 收敛；i > i > 1或一？二-：：，=二「•发散.（证）例4判断级数2^ 2_5 +2_5_8 +亠2 5鮎（2 + 辿—1［）丄1 I7? 15 9 …1'5'?-<1+_4^-1））…的敛散性.•,=卫u1和4科4收敛.例5讨论级数»严a > .的敛散性.解因此,当：二〕〔时，匸I -；「时,、-■；工=■-时，级数成为发散2. 检根法（Cauchy判别法）:也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4设二「.：为正项级数,且"：及：:,当匕•几时，i > 若 << ■'1,=收敛；i > 若 <.<,-1,=工叫发散.（证）推论（检根法的极限形式）设/耳为正项级数，且.则1< 1,='■收敛；「-,=发散. （证）⑹ 工以心二充分大时,有J ■.：.例5研究级数的敛散性•21，收敛.3.积分判别法：设在区间［.「.；上函数「：.'且\ .则正项级数二…与积证 对一 •】「，.- 一且■/⑹ i 应 < f(n-V ). n =2,3,■■-乞m ）空f 了（Q 乂 ＜工血=工＜（伺，・ K-2 沪 2H-1例6讨论下列级数的敛散性：一. 直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时乙〉0 ,抑 2 0 ,二一?— ■此+A a 对—.，有 i .：'■. | ■ ■:I-'-...;特别地,有..「时,有■. I ':Th 5,常用下列不等式: 1例1判断级数-一 的敛散性.令屮■+sffi a （3M a +5）乍一时，，（或■ 1）.设数列 有界•证明 刃； < 十8. 设• -.例4 设■,-且数列 -'■：有正下界.证明级数 [•理1.设「’.：；’「 ■- ■,—-…」. 例 5「'.若' ，则二；-'.；又 \「n 2 n—科一n-+co .设二■.,〔..若级数二和二.，收敛，则级数 工q 收敛.设*, ■. ■, ■.证明⑴ 二;；■,〈5,=二、• ；⑵和\?-： 之一或两者均发散时,•'*二仍可能收敛；⑶ 心!<宀，二；1 ■,- Zi\.⑴ 心充分大时，）■.,.解 解例3证证证例6 例7证例2判断级数二，1的敛散性,其中-:. 「时,_/a;- --■-发散.:」：时,有」； 收敛;⑵取「“7 -'.n⑶八十• I.二.利用同阶或等价无穷小判敛例8判断下列级数的敛散性⑴D';⑵y ⑶;⑷；⑸_ .JS-4 ~M-1例9判断下列级数的敛散性原理：常用判定级数收敛的方法证明I. 门或I' '.例10 证明例11证明辄岁+器+…+ l^-j-0 -例12设比\ | 「一；.若收敛,... .M—证对V^>0, 3K t Y k >K,由收敛，有「:：，.匕-| ■ .■< -:.£ --, 即：―工—二;（上十1加軌+■丈％\ +叽+―十肚汁十"第H即-「一' ■''.于是,；:匸时总有匚丄亠、—. 此即i .. .§ 3 一般项级数一.交错级数：交错级数,Leibniz型级数二.绝对收敛级数及其性质：1. 绝对收敛和条件收敛：以Leibniz级数为例，先说明收敛「：绝对收敛. Th 2 （绝对收敛与收敛的关系）二.，「，二收敛•证（用Cauchy准则）.利用级数判敛求极限：<1一般项级数判敛时，先应判其是否绝对收敛.例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性.2. 绝对收敛级数可重排性：⑴ 同号项级数：对级数 \人，令” 2 I 0,如£0. H 2 [ 0, >0.则有i > 丄和工\均为正项级数,且有〉.| J和'-f —；ii > 、|一「' ,心=匕.⑵同号项级数的性质：Th 3 i >若丄. ：十'：：,贝U *十⑺，工° fii >若条件收敛,则工飞——,工.证i > 由'. | I 和'-| . , i > 成立.ii > 反设不真,即；.《和—中至少有一个收敛,不妨设[/,：+“.由“=讥-叫，5 =入一“以及二.：+门和二、收敛,—二.：十匸.而7 -r ,= '丄: +,==,与二、条件收敛矛盾.三.级数乘积简介：1. 级数乘积：级数乘积,C auchy积.[1] P20—21.2 .级数乘积的Cauchy定理：四.型如的级数判敛法：Th （Abel判别法）设i >级数二一，收敛，ii > 数列单调有界. 则级数•八「宀收敛.证（用Cauchy收敛准则,利用Abel引理估计尾项）设二",由二收敛,与对V J?）0?3N, N时，对悝已N ,有■..・•.■■- 「.于是当.X时对V有1立扛 “（|如|坨|% | ）＜ 3后.由Cauchy 收敛准则,= 二［收敛.2.Dirichlet 判别法：Th 8（ Dirichlet ）设i ＞级数 '二、的部分和有界，ii ＞数列二］单调趋于零.则级数二―收敛. 证 设厂、则 「.",二对「.，有iU \1：川.不妨设 0 ,= 对L :•.「•.此时就有5＞点£辺（|蘇+訂+2任+』|〕＜6沁.由Cauchy 收敛准则，二，.收敛.取一；、\0 ,二一,Ii",由Dirichlet 判别法，得交错级数 工卜〕'咯 收敛.可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法.事实上,由数列 单调有界, — ，［收敛，设、一；1 一「.考虑级数 ^2- - ：-■,1“\\ ,①-㊁单调趋于零，止有界，= 级数 I... - 收敛，又级数收敛,=级数二匕m “收敛.和匸_：r 对：r3 . xl L 2 2丿（菲 + _）工_亦［些一丄）k -sinf n 斗丄）k ,例4设4 \0.证明级数 收敛. 证1 , sinC^ + -^x.「二：|.丄： 时 ，：;::.一产 I, == ' ........... 、' '2 2仙 可见|:：时,级数、.；■：；.的部分和有界.由Dirichlet 判别法推得级数\: 收敛.同理可得级数数:| --收敛.例3若J-.；： — '上一■:.交错级数是否必收敛M-1未必.考查交错级数 ,11111 12吩3 W片那这是交错级数，有〔.但该级数发散.因为否则应有级数,在Leibniz 判别法中,条件6单调是不可少的.判断级数 1111-- -------- ~~--- 十 ---- — ------ 1 -- +V2-1 75 + 1 ^3-1 石+1的敛散性.解 从首项开始，顺次把两项括在一起，注意到级数' =,= 所论级数发散.*_W判断级数的敛散性.,= 所论级数绝对收敛,故收敛.（用D-判法亦可）.O 〉0〕的绝对及条件收敛性.「.时为Leibniz 型级数, 时，绝对收敛.条件收敛；由该例可见■ t ■ ——I. — =―+ VII丽-1 丽+1注意到 收敛.而例5 设级数二-■...收敛.证明级数 % 收敛..■- -.由 Abel 或 Dirichlet 判法,.收敛.例6 .工=门,判断级数、'… 从的敛散性.、 =-,现证级数川攵敛：因一让时不1 | siti 7 | '又一 \ J,由Dirichlet 判法,—级数、一 收敛. 故本题所论级数发散.例7 判断级数的绝对收敛性.卄r . t> r /口 「〃匸人,Isiii wxL sin 1 1 cos 2nx 解 由Dirichlet 判法,得级数收敛但占 |H2n2n仿例6讨论，知本题所论级数条件收敛.例8 设级数、「 J …绝对收敛，、飞收敛.证明级数 二si 收敛.证先证数列收敛.事实上, 工 I J ： 「•： 1 I r 收敛 J ；；.收敛.i-1令二、】：，则数列二.收敛，故有界.设 』丨・•」，于是由Abel 变换, 有冷」”Jt-i■: - 」/ : - f '；1八 、_. .\ . ■:., （或 _ !■: : .1■. ■. ■■.i-li-2i-L数列二.和 V 攵敛,= 数列收敛,三部分和数列匚「收敛.而 工| 二人■-.，：三 工」：-：一收敛.又址■丿1 - cos2>ix2w1 匚曲2竝工例9 设数列：收敛,级数三：二一…收敛M-F\ ...收敛•S科证 注意到:，—、-,,=it-im-；-S. ■■■ - ■- ■■: L- ― r 「收敛JUOJtU证法二 £(-1)叫£2 ,逊％厂…+耳\ 0,(烈例10设一匚\ 证明级数厂」M-1a 、++ ■ • ■ + 口证法一 由g \ :,\〔,此，所论级数是Leibniz 型级数,故收敛• -收敛•因Dirichlet 判法, 工收敛.证明级数f ：、：.由。

数学分析第十二章数项级数正项级数的概念，比较判别法第四讲数学分析第十二章数项级数正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称为同号级数. 对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).由级数与其部分和数列的关系，得：数学分析第十二章数项级数定理12.5>=0(1,2,),i u i 由于证所以{S n }是递增数列. 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理).仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，敛性判别法则.n u ∑正项级数收敛的充要条件是:{}n S 有界, <.n S M 即存在某正数M ,对一切正整数n 有而这就证明了定理的结论.部分和数列因此要建立基于级数一般项本身特性的收数学分析第十二章数项级数定理12.6（比较原则）n n u v ∑∑设和是两个正项级数，如果存在某正数N ,对一切n > N 都有,(1)n n u v ≤则(i),;n n v u 若级数收敛则级数也收敛∑∑(ii),.n n u v 若级数发散则级数也发散∑∑证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.'''∑∑nn n n S S u v 现在分别以和记级数与的部分和.散性,数学分析第十二章数项级数由(1)式可得,对一切正整数n ,都有.(2)nn S S '''≤,lim ,n nn v S →∞''∑若收敛即存在则由(2)式对一切n 有lim nn n S S →∞'''≤，n u ∑{}n S '即正项级数的部分和数列有由定理12.5级数n u ∑收敛, (ii)为(i)的逆否命题,自然成立.≤(1)n nu v 界,这就证明了(i).数学分析第十二章数项级数例1 -+∑21.1n n 考察的收敛性解≥2,n 由于当时有因为正项级数21(1)n n n ∞=-∑收敛(§1例2),原则, 级数211n n -+∑也收敛.22111n n n n≤-+-()1.1n n =-故由比较数学分析第十二章数项级数22,,0,0.nnn n u v u v >>∑∑收敛且例2 若级数2210(),2n n n n u v u v <≤+证因为根据比较原则, 得到正项级数n nu v∑收敛.在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.n n u v 则级数收敛.∑∑∑22,nnu v而级数均收敛，。

《数学分析12》课程教学大纲一课程说明1.课程基本情况课程名称：数学分析12英文名称：Mathematical Analysis课程编号：2411204开课专业：数学与应用数学专业开课学期：第2学期学分/周学时：6/6课程类型：专业基础课2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）《数学分析12》是数学专业的基础学科，是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，在第2学期开设。

本课程的教学，对锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法有重要的意义，它不仅关系到能否学好后续课程，对学生未来的发展也将产生重大影响。

3．本课程的教学目的和任务本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基础。

与中学数学的许多内容，如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体积、弧长等有着密切的联系。

通过本课程的学习，使学生掌握不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换等基本内容，为学习数学分析3及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练，达到如下目的：1、通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学，使学生弄清不变与变，有限与无限，特殊与一般的辩证关系，进一步培养他们的辩证唯物主义观；2、使学生正确理解数学分析的基本概念，牢固地掌握数学分析中的基本理论和基本方法，逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力，培养他们熟练的演算技能和初步应用的能力，为进一步学习其它课程打下基础。

4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程是高等院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课，它的任务是使学生获得不定积分、定积分、无穷级数、反常积分、傅立叶级数与傅立叶变换等方面的系统知识。

第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数：18学时§ 1 级数的收敛性一．概念：1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为.2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 .例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛 ;时, 级数发散 ;时, , , 级数发散 ;时, , , 级数发散 .综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为( 注意从0开始 ).例2讨论级数的敛散性.解（利用拆项求和的方法）例3讨论级数的敛散性.解设,,=, ., .因此, 该级数收敛.例4 讨论级数的敛散性.解, . 级数发散.3.级数与数列的关系 :对应部分和数列{}, 收敛 {}收敛;对每个数列{}, 对应级数, 对该级数, 有=. 于是,数列{}收敛级数收敛.可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .4. 级数与无穷积分的关系 :, 其中. 无穷积分可化为级数 ;对每个级数, 定义函数 , 易见有=.即级数可化为无穷积分.综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 .可以用其中的一个研究另一个 .二.级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 .Th ( Cauchy准则 ) 收敛和N,.由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前项的级数表为或.系( 级数收敛的必要条件 ) 收敛.例5证明级数收敛 .证显然满足收敛的必要条件 . 令, 则当时有应用Cauchy准则时，应设法把式 ||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.例6判断级数的敛散性.( 验证. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )例7( 但级数发散的例 ) 证明调和级数发散 .证法一( 用Cauchy准则的否定进行验证 )证法二证明{}发散. 利用已证明的不等式. 即得，.三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1 收敛，—Const 收敛且有=( 收敛级数满足分配律 )性质2 和收敛，收敛, 且有=.问题 : 、、三者之间敛散性的关系.性质3 若级数收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 . ( 收敛数列满足结合律 )例8考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 .该例的结果说明什么问题 ?§ 2 正项级数一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数 : ↗; 任意加括号不影响敛散性.2.基本定理 :Th 1 设. 则级数收敛 . 且当发散时, 有, . ( 证 )正项级数敛散性的记法 .3.正项级数判敛的比较原则 :Th 2 设和是两个正项级数 , 且时有, 则ⅰ> <, <;ⅱ> =, =.( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1考查级数的敛散性 .解有例2设. 判断级数的敛散性 .推论1 ( 比较原则的极限形式 ) 设和是两个正项级数且,则ⅰ> 时 , 和共敛散 ;ⅱ> 时 , <, <;ⅲ> 时 , =, =. ( 证 )推论2 设和是两个正项级数 , 若=，特别地，若～,，则<=.例3判断下列级数的敛散性:⑴; ( ～) ; ⑵ ;⑶ .二.正项级数判敛法:1．检比法：亦称为 D’alembert判别法 .用几何级数作为比较对象 , 有下列所谓检比法 .Th 3 设为正项级数 , 且及时ⅰ> 若, <;ⅱ>若, =.证ⅰ> 不妨设时就有成立 , 有依次相乘 , , 即. 由 , 得, <.ⅱ>可见往后递增 , .推论( 检比法的极限形式 ) 设为正项级数 , 且. 则ⅰ> <, <; ⅱ> >或=, =. ( 证 )註倘用检比法判得=, 则有.检比法适用于和有相同因子的级数,特别是中含有因子者.例4 判断级数的敛散性.解, .例5讨论级数的敛散性.解.因此, 当时, ; 时, ; 时, 级数成为, 发散.例6判断级数的敛散性 .注意对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定 . 例如对级数和, 均有，但前者发散, 后者收敛 .2. 检根法( Cauchy判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设为正项级数 , 且及, 当时 ,ⅰ>若 , <;ⅱ>若, =. ( 此时有.) ( 证 )推论( 检根法的极限形式 ) 设为正项级数 , 且. 则 , <; , =. ( 证 )检根法适用于通项中含有与有关的指数者 . 检根法优于检比法.例7研究级数的敛散性 .解, .例8判断级数和的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛 .3．积分判别法：Th 5 设在区间上函数且↘ . 则正项级数与积分共敛散.证对且.例9 讨论级数的敛散性.解考虑函数0时在区间上非负递减 . 积分当时收敛 , 时发散. 级数当时收敛 ,时发散. 时, , 级数发散.综上 , 级数当且仅当时收敛 .例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ; ⑵.习题课一．直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式:⑴ .⑵对, 有.⑶; 特别地 , 有, .⑷时 , 有.⑸.⑹充分大时 , 有.例1判断级数的敛散性.解时, , ( 或). ……例2判断级数的敛散性 , 其中.解时 , 有;时 , .例3设数列有界 . 证明.证设 .例4设且数列有正下界 . 证明级数.证设.例5 . 若, 则.证 ; 又.例6 设. 若级数和收敛 ,则级数收敛.例7 设. 证明⑴ , , ;⑵和之一或两者均发散时, 仍可能收敛 ;⑶, , .证⑴充分大时 , .⑵取.⑶.二. 利用同阶或等价无穷小判敛 :例8 判断下列级数的敛散性:⑴; ⑵; ⑶ ;⑷ ; ⑸.例9 判断下列级数的敛散性:⑴; ⑵.註设正项级数的通项为的有理分式 . 当为的假分式时, 由于, ; 若为的真分式 , 倘用检比法, 必有.有效的方法是利用等价无穷小判别法.例10 设函数在点有连续的二阶导数, 且. 试证明:⑴若, 则级数发散.⑵若, 则级数收敛.（2002年西北师大硕士研究生入学试题）解把函数在点展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin 公式, 有, 介于与之间.⑴若,则当充分大时不变号, 可认为是同号级数. 有∽, 发散.⑵若注意到在点连续, 在点的某邻域内有界, 设, 有 ||=., 收敛.如例10所示，当时，常用Maclaurin公式确定的等价无穷小.例11 判断级数的敛散性 , 其中且.解三．利用级数判敛求极限：原理 : 常用判定级数收敛的方法证明或.例12 证明.例13 证明.例14 设↘. 若, .证对, 由, 有, 即;,即.于是 , 时总有. 此即.§ 3 一般项级数一. 交错级数 : 交错级数 , Leibniz型级数 .Th 1 ( Leibniz ) Leibniz型级数必收敛 , 且余和的符号与余和首项相同 , 并有.证( 证明部分和序列的两个子列和收敛于同一极限 . 为此先证明递增有界. ), ↗;又, 即数列有界.由单调有界原理, 数列收敛 . 设.. .由证明数列有界性可见 , . 余和亦为型级数, 余和与同号, 且.例1判别级数的敛散性.解时 , 由Leibniz判别法, 收敛; 时, 通项, 发散.二. 绝对收敛级数及其性质 :1.绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz级数为例, 先说明收敛绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) , 收敛.证( 用Cauchy准则 ).一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性 .2. 绝对收敛级数可重排性 :⑴同号项级数：对级数，令则有ⅰ> 和均为正项级数 , 且有和;ⅱ> , .⑵同号项级数的性质:Th 3 ⅰ> 若，则，.ⅱ> 若条件收敛 , 则 , .证ⅰ> 由和, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即和中至少有一个收敛 , 不妨设.由= , =以及和收敛 ,.而, ,与条件收敛矛盾 .⑶绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念.Th 4 设是的一个更序 . 若, 则, 且=.证ⅰ> 若，则和是正项级数 , 且它们的部分和可以互相控制.于是 , , , 且和相等 .ⅱ>对于一般的, = , =.正项级数和分别是正项级数和的更序 . 由, 据Th 1 , 和收敛 . 由上述ⅰ>所证 , 有, , 且有=, =, =.由该定理可见 , 绝对收敛级数满足加法交换律 .是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 .Th 5 ( Riemann ) 若级数条件收敛 , 则对任意实数( 甚至是) , 存在级数的更序, 使得=.证以Leibniz级数为样本 , 对照给出该定理的证明 .关于无穷和的交换律 , 有如下结果:ⅰ>若仅交换了级数的有限项 , 的敛散性及和都不变 .ⅱ>设是的一个更序 . 若, 使在中的项数不超过,则和共敛散 , 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积 : 级数乘积 , Cauchy积.[1] P20—21.2．级数乘积的Cauchy定理:Th 6 ( Cauchy ) 设, , 并设=,=. 则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛 , 且乘积级数的和为. ( 证略 )例3 几何级数是绝对收敛的. 将按Cauchy乘积排列, 得到.四. 型如的级数判敛法：1．Abel判别法：引理1 （分部求和公式，或称Abel变换）设和（）为两组实数.记. 则.证注意到, 有.分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上 ,.可见Abel变换式中的相当于上式中的, 而差相当于, 和式相当于积分.引理2 (Abel ) 设、和如引理1 .若单调 , 又对,有，则.证不妨设↘..系设↘, (). 和如. 有.( 参引理2证明 )Th 7 (Abel判别法 ) 设ⅰ> 级数收敛，ⅱ> 数列单调有界 . 则级数收敛 .证 ( 用Cauchy收敛准则 , 利用Abel引理估计尾项 )设, 由收敛 , 对时 , 对, 有. 于是当时对有.由Cauchy收敛准则 , 收敛.2. Dirichlet判别法:Th 8 ( Dirichlet) 设ⅰ> 级数的部分和有界, ⅱ> 数列单调趋于零 . 则级数收敛 .证设, 则, 对, 有.不妨设↘0 , 对. 此时就有.由Cauchy收敛准则 , 收敛.取↘0 , , 由Dirichlet判别法 , 得交错级数收敛 . 可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.由Dirichlet判别法可导出Abel判别法 . 事实上 , 由数列单调有界 , 收敛 , 设. 考虑级数, 单调趋于零 , 有界, 级数收敛 , 又级数收敛, 级数收敛.例4 设↘0. 证明级数和对收敛.证，时，，.可见时, 级数的部分和有界 . 由Dirichlet判别法推得级数收敛 . 同理可得级数数收敛 .习题课例1判断级数的敛散性 .解注意到, 所论级数绝对收敛 , 故收敛. ( 用D-判法亦可).例2 考查级数的绝对及条件收敛性 .解时为Leibniz型级数, ……, 条件收敛 ;时 , 绝对收敛 .例3 若. 交错级数是否必收敛 ?解未必. 考查交错级数.这是交错级数 , 有. 但该级数发散 . 因为否则应有级数收敛 . 而.由该例可见 , 在Leibniz判别法中 , 条件单调是不可少的.例4 判断级数的敛散性.解从首项开始,顺次把两项括在一起, 注意到, 以及级数, 所论级数发散.例5设级数收敛. 证明级数收敛.证 . 由Abel或Dirichlet判法, 收敛.例6, 判断级数的敛散性.解., 现证级数收敛 : 因时不,又↘, 由Dirichlet判法, 级数收敛.故本题所论级数发散.例7判断级数的绝对收敛性.解由Dirichlet判法,得级数收敛.但.仿例6 讨论,知本题所论级数条件收敛.例8 设级数绝对收敛,收敛. 证明级数收敛.证先证数列收敛 . 事实上,收敛 ,收敛.令, 则数列收敛 ,故有界 . 设, 于是由Abel变换, 有, ( 或而,收敛. 又数列和收敛, 数列收敛 , 部分和数列收敛.例9设数列收敛 , 级数收敛 . 证明级数收敛 .证注意到,收敛 .例10设↘,.证明级数收敛.证法一由↘,↘,. 因此,所论级数是Leibniz型级数, 故收敛.证法二 , ↘,. 由Dirichlet判法, 收敛.. .。

!!第十二章数项级数内容提要!一!定义给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作"$"$"!"或"!"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&%!"!!&%!#!&!!&%!’%$&!由此易得)若级数!收敛#则&’()’!$*)+*,三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$例!%!设"$"$"*#"收敛#证明)"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!%%*"!"&)"%"#*#"!""&)#’("易知)"$"$#""&)#"收敛’积分判别法(#又"$"$#*#"收敛#所以"$"$#"#*#"""&)#’("收敛#由比较判别法知"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#$例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且&’(,’%+’,(,+%#证明)级数"$"$"+’""(绝对收敛#分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由&’(,’%+’,(,+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式+’,(++’%(!+’-%(,!"#+.’"(,#+"#+.’"(,#!’"在%与,之间(又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"#$+.’"($,#)!#,#令,+""#则$+’""($)!#*""##因为"$"$"""#收敛#故"$"$"+’""(绝对收敛#*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$题!%!’中山大学##%%1年(级数"$"$"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&都有&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%#分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#证明!必要性!因为"$"$"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/"$%!所以&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*""!"!&!*"!’$&!%特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*""!/"$&!%%#+(56!""##"#("##%##及自然数/##使$*""!"!&!*"#!/#$&!%&&&&这与&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%的假设矛盾#$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"$"$"’7"("8’),"*,,%都是条件收敛的#分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%,"%###此时8’),"#%#且8’),!""为单调递减数列#且&’("’!$8’),"+%#由莱布尼兹判别法知"$"$"’7"("8’),"收敛#而当"#%,时#’7"("8’),"+8’),"#%#&’("’!$8’),","+"#又"$"$","发散#由比较判别法知"$"$"8’),"也发散#所以*,,%#级数"$"$"’7"("8’),"都是条件收敛的#课后习题全解!!!9"!级数的收敛性-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(""*11"1*""1"""*"11&1"’0"2/(’0"1"(1&+’#(’"#1".(1’"##1".#(1&1’"#"1"."(1&+’.(""$"$""’"1"(’"1#(+’/(""$"$’"1!#2#"1!"1!"(+’0(""$"$#"2"#"-!分析!’"(进行积分和差的转化#’/(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#!解!’"(("$"3$"""’032/(’031"($"0"3$""’"032/2"031"($"0’"2"0"1"(于是($&’("’$("$"0#故级数收敛且其和为"0-’#(("$"3$""’"#31".3($"3$"""#31"3$""".3$"#2"#"1""2"#1".2"."1""2".$.#2"#"2"#4."于是($&’("’$("$.##故级数收敛且其和为.#-’.(("$"3$"""3’31"(’31#($"#"3$"","3’31"(2"’31"(’31#(-$"#,"#2"’"1"(’"1#(-于是($&’("’$("$"/#故级数收敛且其和为"/-’/(("$"3$""’31!#2#31!"1!3($"3$""’31!#231!"(2"3$""’31!"2!3($’"1!#2!#(2’"1!"2"($"2!#1""1!#1"1!"于是("$&’("’$("$"2!##故级数收敛且其和为"2!#-’0(("$#("2("$"3$""#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$#"#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$""2"##32#"2"#"*$*第十二章!数项级数$"1"2"#"2""2"#2#"2"#"$.2"#"2#2#"2"#"’"&#(于是($&’("’$("$.#故级数收敛且其和为.-.#-证明)若级数"!"发散#5,%#则"5!"也发散-!证明!因为级数"!"发散#即(!%#%#对任何%+:1#总有&%+:1和’%+:1使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&!%所以65!&%1"15!&1#1&15!&%1’%6$6566!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&656!%于是"5!"亦发散-..-设级数"!"与"7"都发散#试问"’!"17"(一定发散吗.又若!"与7"’"$"###&(都是非负数#则能得出什么结论.!解!若"!"#"7"都发散#则"’!"17"(不一定发散-例如#""和"’2"(是发散的#但"’"1’2"((是收敛的+""和"#是发散的#"’"1#($".亦是发散的-若"!"#"7"都发散且!&%#7"&%#则"’!"17"(发散-由柯西收敛准则#知(!%#!"#%#对任何的%+:1#总存在&%#’%#&"+:1#使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6$!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%&!%和67&"1"17&"1#1&17&"1’"6$7&"1"17&"1#1&17&"1’"&!"故6’!&%1"17&%1"(1’!&%1#17&%1#(1&1’!%1’%17&%1’%(6$’!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%(1’7&%1"17&%1#1&7&%1’%(&!%即"’!"17"(必发散--/-证明)若数列!*""收敛于*#则级数"$"$"’*"2*"1"($*"2*#!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即&’("’$*"$*#故("$"3$""’*32*31"($*"2*"1"从而($&’("’$("$&’("’$’*"2*"1"($*"2&’("’$*"1"$*"2*-0-证明)若数列!8""有&’("’$8"$$#则’"(级数"’8"1"28"(发散+’#(当8",%时#级数""8"2"8"1’("$"8"-分析!’#(中间项相互抵消即可#证明!’"(因为("$"3$""’831"283($8"1"28"($&’("’$("$&’("’$’8"1"28"($$*%*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’8"1"28"(发散-’#(当8",%时("$"3$"""832"831’("$"8"2"8"1"即($&’("’$("$"8"2&’("’$"8"1"$"8"故级数""8"2"8"1’("收敛于"8"--1-应用第/#0题的结果求下列级数的和)’"(""$"$"’*1"2"(’*1"(+!!!!!!’#(""$"$’2"("1"#"1""’"1"(+’.(""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"--!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’.(识记&’("’$""#$%#!解!’"(因为""$"$"’*1"2"(’*1"($""$"$"*1"2"2"*1’("而数列"*1"2!""收敛于%#故由第/题的结论#可知""$"$"’*1"2"(’*1"($"*1"2"2%$"*’*,%(’#(因为""$"$’2"("1"#"1""’"1"($""$"$,2’2"(""2’2’2"("1""1"(-而数列2’2"("!""收敛于%#故""$"$’2"("1"#"1""’"1"($2’2"(""2%$"’.(因为""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""$"$,""#1"2"’"1"(#1"-而数列""#1!""收敛于%#故""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""#1"2%$"#-2-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)’"("8’)#"#"+!!!!’#("’2"("2""##"#1"+’.("’2"(""+’/("""1"!#-分析!’"(运用柯西准则进行判别#’/(注意取"%时#应考虑合适的取法#*&*第十二章!数项级数解!’"(由于!6!&1"1!&1#1&1!&1’6$68’)#&1"#&1"18’)#&1##&1#1&8’)#&1’#&1’6!!%"#&1"1"#&1#1&1"#&1’$"#&2"#&1’%"#&因此#对任意的!#%-取&$&;<#",-!使得当&#%及*’+:1#由上式就有6!&1"1!&1#1&1!&1’6%!成立#故由柯西准则可推出"8’)#"#"收敛-’#(因&’("’$’2"("2""##"#1"$"##"/#故取!%$"/-对任一%+:1#总存在&%#%#和’%$"#有6!&%1"6$’&%1"(##’&%1"(#1"#"/$!%由柯西准则可知"’2"("2""##"#1"发散-’.(由于数列"!""单调减小#故6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6$"&%1"2"&%1#1&1’2"(’2""&%1’%"&%1"%"&%因此#*!#%#取%$",-!1"当&%#%及’+:1时#都有6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6%!成立-由柯西准则可知级数"’2"("""收敛-’/(取!%$"!##*%+:1#及取&%$#%#’%$&%#则当&%#%时#就有"3$"’%"’&%13(1’&%13(!##"3$"’%"#’&%13(!#$"’%3$""!#’&%13(#"3$"’%"!#’&%1&%($"!##由柯西准则知"""1"!#发散-/3-证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数%#对一切"#%总有6!%1!%1"1&1!"6%!-!分析!由结论6!%1&1!"6%"的形式推出用柯西准则证明#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!#%#(%"+:1使得*"#&#%"时有*’*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6!&1"1!&1#1&1!"6%!取%#%"1"#则*"#%#有6!%1!%1"1&1!"6%!充分性!若*!#%#(%+:1#*"#%#总有6!%1!%1"1&!"6%!/#则*&#%及’+:1有!6!&1"1!&1#1&1!&1’6)6!%1!%1"1&1!&1’616!%1!%1"1&1!&6%!/#1!/#$!由柯西准则知级数"!"收敛-!小结!"/#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#.4-举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件&’("’$’!"1"1&1!"1’($%#此级数仍可能不收敛-!解!调和级数"""对每一个固定自然数’#有&’("’$""1"1""1#1&1""1’(’$&’("’$""1"1&’("’$""1#1&1&’("’$""1’$%但该级数""#是发散的-/"%-设级数"!"满足)加括号后级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛’""$%(#且在同一括号的!"31"#!"31##&#!"31"符号相同#证明"!"亦收敛-分析!证明"!"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#证明!因为级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛#则有&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"31"($%所以*"+:1#总存在3+:1#使"$"319’")9)"31"2"3(时#有("$":$""!"$":$"32"’!":1"1!":1#1&1!":1"(1’!"31"1!"31#1&!"319($(-32"1’!"31"1!"31#1&1!"319(其中(-32"表示加括号级数的前32"项之和-当"’$时#32"’1$#从而有($&’("’$("$&’("’$(-32"1&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"319($&’("’$(-32"故"!"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(31"的极限一样得出结论#9#正项级数-"-应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*第十二章!数项级数’"("""#1*#+!!!!!!!!!!’#("#"8’)#."+’.("""1"!#+’/(""$#$"’&)"("+’0("’"2=;8""(+’1(""""!"+’2("’"!*2"(’*#"(+’3(""$#$"’&)"(&)"+’4("’*""1*2""2#(’*#%(-!分析!’"(将原式同""#比较得出结果#’#(考虑8’)#."*#"$#’#.("#’1(识记"""数列是发散的#’2(先做代换;$""#!解!’"(因为%)""#1*#%""#而正项级数"""#收敛#所以级数"""#1*#收敛-’#(因为%%#"8’)#."$#’(#."!’"’$(而正项级数"#’(#."收敛#所以级数"#"8’)#."收敛-’.(因为""1"!#&""1"&%而正项级数"""1"发散#所以级数"""1"!#发散-’/(因为%%"’&)"("%"#"!’"#>#(而正项级数""#"收敛#所以级数""’&)"("收敛-’0(因为"2=;8""$"#"’("#’"’1$(而正项级数""#"#收敛#所以级数""2=;8"’("收敛-’1(因为&’("’$"!"$"#故(%+:1#当"#%时#有"!"%#即"""!"#"#"而正项级数""#"发散-所以级数""""!"发散-’2(因为&’("’$"!*2"""令;$"000000"&’(;’%*;2";$&’(;’%*;&)*"$&)**)*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#而正项级数"""发散#所以级数"’"!*2"(发散-’3(因为"’&)"(&)"$">&)’&)"(&)"$"’>&)"(&)’&)"($""&)’&)"(%""#而正项级数"""#收敛#所以级数""’&)"(&)"收敛-’4(因为&’("’$*""1*2""2#’"#"(#$&’("’$’*"#"2*2"#"(#’"#"(#令;$"#000000"&’(;’%1*;2*2;’(;#$’#&)*(#而正项级数"’"#"(#收敛#所以级数"’*""1*2""2#(收敛--#-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"("0+!!!’#("’"1"(0"%"+’.("’"#"1"("+’/(""0""+’0(""##"+’1("."*"0""+’2("8*’(""’其中*"’*’"’$(+*"#8#*#%#且#*,8(-分析!’/(运用到&’(,’%’"1,(",$>知识点#’2(根据*18不同取值情况考虑#解!’"(因为!&’("’$!"1"!"$&’("’$"*.*&*’#"1"(’"1"(0*"0"*.*&*’#"2"($&’("’$#"1""1"$#所以由比式判别法知正项级数""*.*&*’#"2"("0发散-’#(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1#(0"%"1"*"%"’"1"(0$&’("’$"1#"%$1$所以由比式判别法知正项级数"’"1"(0"%"发散-’.(因为&’("’$"’"#"1"(!"$&’("’$"#"1"$"#%"所以由根式判别法知正项级数"’"#"1"("收敛-’/(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"(0’"1"("1"*"""0$&’("’$"’"1""("$">%"所以由比式判别法知正项级数""0""收敛-’0(因为&’("’$"!!"$&’("’$""!##$&’("’$’"!"(##$"#%"**!*所以由根式判别法知正项级数""##"收敛-’1(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$."1"’"1"(0’"1"("1"*"".""0$&’("’$.’"1""("$.>#"所以由比式判别法知正项级数".""0""发散-’2(因为&’("’$"!!"$&’("’$8*"$8*所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数"’8*"("收敛+当*%8时#正项级数"’8*"("发散--.-设"!"和"7"为正项级数#且存在正数%%#对一切"#%%#有!"1"!")7"1"7"-证明)若级数"7"收敛#则级数"!"也收敛+若"!"发散#则"7"也发散-!分析!运用比式判别法进行证明即可#!证明!若"7"收敛#由题意#知当"#%%时#有!"1"!")7"1"7"#即%%!"1"7"1")!"7")&)!%%1"7%%1"故!"1")!%%1"7%%1"*7"1"!’"#%%(而!%%1"7%%1"是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛-若正项级数"!"发散#同理可证正项级数"7"亦发散-./-设正项级数"*"收敛#证明"*#"亦收敛+试问反之是否成立.!证明!由正项级数"*"收敛可知!!&’("’$*"$%即(%%+:1#当"#%%时#有!!%)*"%"从而%)*#"%*"由比较原则可知#正项级数"*#"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"""#收敛#但正项级数"""发散--0-设*"&%#"$"###&#且!"*""有界#证明"*#"收敛-!分析!注意条件$!"*""有界%#可由此设%)"*"%)再进行证明#!证明!由题意可知()#%#*"+:1#有%)"*"%)*!!*即%)*"%)"从而%)*#"%)#"#而级数"""#收敛#由比较原则可知级数"*#"亦收敛-.1-设级数"*#"收敛#证明"*""’*"#%(也收敛-!证明!对*"#%及任意正整数"#有%%*"")"#*#"1""’(#而"*#"#"""#都收敛#故"*""亦收敛--2-设正项级数"!"收敛#证明级数"!"!"1!"也收敛-!分析!注意运用!*8)"#’*18(#!证明!对!"#%#及任意正整数"#有%)!"!"1!")"#’!"1!"1"(而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!"!"1!"收敛-.3-利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)’"(&’("’$""’"0(#$%+!!!’#(&’("’$’#"(0*"0$%!’*#"(-!解!’"(设!"$""’"0(##则正项级数"!"$"""’"0(#是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"("1",’"1"(0-#*’"0(#""$&’("’$""1""1"’(""$%故由柯西准则可知&’("’$!"$&’("’$""’"0(#$%-’#(设!"$’#"(0*"0则正项级数"!"$"’#"(0*"0是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’#’"1"((0*’"1"(0**"’#"(0$&’("’$’#"1"(’#"1#(*"1"$%故由柯西准则知&’("’$!"$&’("’$’#"(0*"0$%--4-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)’"("""#1"+!!!!!!!’#("""#1"+’.(""$."""&)"&)’&)"(+’/(""$.$""’&)"(’’&)&)"(<#!分析!’.(运用积分判别法#’/(分别讨论’1<的不同取值情况#!解!’"(设+’,($",#1"*"!*则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而11$"?,"1,#$#/故由积分判别法知"""#1"收敛-’#(设+’,($,,#1"则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而&’(,’$,*,,#1"$"由11$",,#1"?,发散#于是由积分判别法知"""#1"发散-’.(设+’,($",&),&)’&),(则+’,(在,.#1$(上为非负递减#而11$.+’,(?,$11$.?,,&),&)’&),($11$&)&).?!!$1$故由积分判别法知""$."""&)"&)’&)"(发散-’/(设+’,($",’&),(’’&)&),(<则+’,(在,.#1$(上非负递减-$(若’$"#这时有11$.?,,&),’&)&),(<$11$&)&).?!!<当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散-%(若’,"#这时有11$.?,,’&),(’’&)&),(<$11$&)&).?!>’’2"(!!<对任意的<#当’2"#%时#取;#"#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$%即该积分收敛#当’2"%%时#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$1$即该积分发散-即对任意的<#当’#"时级数收敛+当’%"时级数发散-/"%-设!*""为递减正项数列#证明)级数""$"$*"与"#&*#&同时收敛或同时发散-!分析!首先证明(")="#即可证="收敛2("收敛+证发散也可类似此法#!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#&*#&的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*#!*("$*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&1*")*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&’*#91&1*#91"2"()*"1#*#1&1#9*#9$=9!’")#9(故若正项级数"#&*#&收敛#则正项级数"*"亦收敛-反之当"&#9时#则("&*"1*#1’*.1*/(1&1’*#92"1"1&1*#9(#"#’*"1#*#1/*/1&1#9*#9($"#=9故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#&*#&亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对"的取值分类讨论#.""-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"(#*/*&*’#"(*"#"1"+’#(""0’,1"(’,1#(&’,1"(!’,#%(-!解!’"(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$,"2"*.*&*’#"1"(#*/*&*’#"1#(*’#"1.(*#*/*&*’#"(*’#"1"("*.*&*’#"2"(-$&’("’$"’1"10(’#"1#(’#"1.($.##"所以由拉贝判别法知级数收敛-’#(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$""2’"1"(0’,1"(’,1#(&’,1"1"(’,1"(’,1#(&’,1"(",-0$&’("’$",,1"1"$,所以由拉贝判别法知+当,#"时级数收敛+当,)"时级数发散--"#-用根式判别法证明级数"#2"2’2"("收敛#并说明比式判别法对此级数无效-!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#!证明!设!"$#2"2’2"("#则&’("’$"!!"$&’("’$"#""#’2"(!"$"#由根式判别法知"!"收敛#但&’("’$!"1"!"$&’("’$#2"1#’2"("不存在#所以比式判别法对此级数无效-*$!*.".-求下列极限’其中’#"()’"(&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’+’#(&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("-!解!’"(因为’#"#"""’收敛-由柯西准则知*!#%#(%+:1#当"#%时#有"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(’%!所以&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’$%’#(因为’#"#级数""’"收敛#由柯西准则知*!#%#(%+:1使得对一切"#%时#有"’"1"1"’"1#1&1"’#"%!所以&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("$%/"/-设*"#%#证明数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"同时收敛或同时发散-!分析!由题意可知两数列有相同敛散性#只需证明一种即可#!证明!由于数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"&)’"1*"(有相同的敛散性-因而本题只需证"*"和"&)’"1*"(的敛散性相同-这两者之一若收敛#必有&’("’$*"$%且当&’("’$*"$%时&’("’$&)’"1*"(*"$"故由比较原则的推论可知"&)’"1*"(与"*"有相同的敛散性-故数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"有相同的敛散性-!小结!注意运用比较原则的推论#9.!一般项级数-"-下列级数哪些是绝对收敛#条件收敛或发散的)’"("8’)","0+!!!!!!!’#("’2"("""1"+’.("’2"(""’1""+’/("’2"("8’)#"+’0("’2"("!"1"’("+’1("’2"("&)’"1"("1"+*%!*’2("’2"("#"1"%%."1’(""+’3(""0,’(""-!分析!’.(需要将’分为’2%#%-#’%#"-#’"#1$(三段讨论#’1(通常是先证绝对收敛#再证条件收敛#!解!’"(因为8’)","0)""0而"""0收敛#所以"8’)","0为绝对收敛-’#(因为&’("’$’2"("""1"$",%所以"’2"("""1"发散-’.(当’)%时&’("’$’2"(""’1"",%故这时级数发散-当’#"时#由于’2"(""’1""$""’而"""’收敛#故这时级数绝对收敛-当%%’)"时#令!!!"$""’1""则!"1"!"$"""’"1""(’’"1"(""1"%"""’"1""(’"""1"$"""’"1"(’"1""(’而"1"’("’’>’#"#"""’"1"(’"!’"’$(从而当"充分大时#有!"1"%!"即!!""为单调递减#又有&’("’$!"$%故由定理"#-""’莱布尼茨判别法(可知#级数"’2"(""’1""在%%’)"时条件收敛-’/(因为’2"("8’)#"$#"’"’$(而"""发散#即原级数不是绝对收敛级数#但8’)#!""是单调递减且&’("’$8’)#"$%-所以由莱布尼茨判别法可知"’2"("8’)#"条件收敛-’0(由于"""发散#"’2"(""!"收敛#故"’2"("!"1"’("发散-’1(因为&)’"1"("1"#""1"*&!*。

第十二章 数项级数2 正项级数一、正项级数收敛的一般判别原则概念：若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数. 各项都是正数组成的同号级数称为正项级数.定理12.5：正项级数∑n u 收敛的充要条件是：部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对一切正整数n ，有S n <M.证：∵u i >0(i=1,2,…)，∴{S n }递增. 根据数列的单调有界定理，得证.定理12.6：(比较原则)设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N ，都有：u n ≤v n 则： (1)若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； (2)若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散. 证：由改变级数的有限项不影响其收敛性， 不妨设对一切正整数，u n ≤v n 都成立.以S ’n 和S ”n 分别记级数∑n u 和∑n v 的部分和，则对一切正整数n ， 有S ’n ≤S ”n .(1)若∑n v 收敛，则∞n lim +→S ”n 存在，记为S ，则S ’n ≤S ，即{S ’n }有界，∴∑n u 也收敛.(2)若级数∑n v 收敛，由(1)知级数∑n u 收敛，矛盾！得证.例1：考察∑+1n -n 12的收敛性.解：当n ≥2时，1n -n 12+<1)-n (n 1.∵正项级数∑-1)n(n 1收敛，∴∑+1n -n 12也收敛.推论：设∑n u =u 1+u 2+…+u n +…与∑n v =v 1+v 2+…+v n +… 是两个正项级数，若nn∞n v u lim+→=l. 则 (1)当0<l<+∞时，同时收敛或同时发散； (2)当l=0且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； (3)当l=+∞且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散.证：(1)当0<l<+∞时，对任意正数ε(ε<l)，存在某正数N ，当n>N 时， 恒有l -nnv u <ε，即(l-ε)v n <u n <(l+ε)v n . 显然， 若∑n v 收敛，则∑n ε)v +(l 收敛，∴∑n u 也收敛； 若∑n v 发散，则∑-n ε)v (l 发散，∴∑n u 也发散.(2)当l=0时，由u n <(l+ε)v n =εv n ，可知∑n v 收敛时，∑n u 也收敛. (3)当l=+∞时，任给正数M ，存在相应的正数N ，当n>N 时，都有nnv u >M ，即u n >Mv n ，由比较原则知：若∑n v 发散时，∑n u 也发散.例2：证明：级数∑n -21n 收敛.证：∵nn ∞n 21n -21lim+→=n ∞n 2n 11lim -+→=1， 又等比级数∑n21收敛，∴级数∑n -21n 也收敛.例3：证明：级数∑n 1sin =sin1+sin 21+…+sin n1+…发散. 证：∵n1n 1sinlim∞n +→=1，又调和级数∑n 1发散，∴级数∑n 1sin 也发散.二、比式判别法和根式判别法定理12.7：(达朗贝尔判别法，或称比式判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数q(0<q<1). (1)若对一切n> N 0，不等式n1n u u +≤q 成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n> N 0，不等式n1n u u +≥1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)不妨设不等式n1n u u +≤q 对一切n ≥1都成立，于是有 12u u ≤q, 23u u ≤q,…, n 1n u u +≤q, .... 把前n-1个不等式的左右各相乘得 12u u .23u u .. (1)-n n u u ≤q n-1，即u n ≤u 1q n-1. ∵等比级数∑1-n q (0<q<1)收敛，∴级数∑n u 也收敛. (2)由对一切n> N 0，不等式n1n u u +≥1成立，∴有u n+1≥u n ≥0N u ，可知∞n lim +→u n ≠0，∴级数∑n u 发散.推论1：(比式判别法极限形式)若∑n u 为正项级数，且n1n ∞n u u lim++→=q ，则 (1)当q<1时，级数∑n u 收敛； (2)当q>1或q=+∞时，级数∑n u 发散. 证：∵n 1n ∞n u u lim++→=q ，∴对取定的正数ε=21|1-q|，存在正数N ， 当n>N 时，都有q-ε<n1n u u +<q+ε. (1)当q<1时，n 1n u u +<q+ε=21(1-q)<1，∴级数∑n u 收敛. (2)当q>1时，n 1n u u +>q-ε=21(1+q)>1，∴级数∑n u 发散； 当q=+∞时，存在N ，当n>N 时，有n1n u u +>1，∴级数∑n u 发散.例4：证明：级数12+5152⨯⨯+951852⨯⨯⨯⨯+…+)]1n (41[951)]1n (32[852-+⋯⨯⨯-+⋯⨯⨯+…收敛.证：∵n 1n ∞n u u lim++→=n 41n 32lim ∞n +++→=43<1，∴该级数收敛.例5：讨论级数∑1-n nx (x>0)的敛散性. 解：当x=1时，级数∑n 发散. 又n 1n ∞n u u lim++→=nx)1n (lim ∞n ++→=x. ∴当0<x<1时，该级数收敛；当x ≥1时，该级数发散；推论2：设∑n u 为正项级数，则 (1)若n1n ∞n u u lim++→=q<1，则级数∑n u 收敛； (2)若n1n ∞n u u lim ++→=q>1，则级数∑n u 发散.例6：讨论级数1+b+bc+b 2c+b 2c 2+…+b m c m-1+b m c m +…的敛散性，0<b<c.解：∵n 1n u u +=⎩⎨⎧为偶数为奇数n c n b . ∴n1n ∞n u u lim ++→=c, n 1n ∞n u u lim ++→=b. ∴当c<1时，该级数收敛；当b>1时，该级数发散； 当c<1<b 时，无法判定.定理12.8：(柯西判别法，或称根式判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正数N 0及正常数l ，则(1)若对一切n>N 0，不等式n n u ≤l<1成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n>N 0，不等式n n u ≥1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)∵n n u ≤l<1，∴u n ≤l n ，又等比级数∑n l 当0<l<1时收敛， 由比较原则知∑n u 也收敛.(2)∵n n u ≥1，∴u n ≥1n =1， ∴∞n lim +→u n ≠0，∴级数∑n u 发散.推论1：(根式判别法极限形式)设∑n u 为正项级数，且n n ∞n u lim +→=l ，则 (1)当l<1时，级数∑n u 收敛；(2)当l>1时，级数∑n u 发散.证：∵n n ∞n u lim +→=l ，∴当取ε<|1-l|时，存在某正数N ，对一切n>N ， 有l-ε<n n u <l+ε. 根据定理12.8得证.例7：研究级数∑+nn2)(-12的敛散性.解：∵n n ∞n u lim +→=nnn ∞n 2)(-12lim ++→=21<1，∴该级数收敛.推论2：设∑n u 为正项级数，且n n ∞n u lim +→=l ，则当 (1)当l<1时，级数∑n u 收敛；(2)当l>1时，级数∑n u 发散.例8：讨论级数b+c+b 2+c 2+…+b m +c m +…的敛散性，0<b<c<1.解：∵n n u =⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n cn b 2m m12m m . ∴n n∞n u lim +→=2m m ∞n c lim +→=c <1， ∴该级数收敛.注：根式判别法较比式判别法更有效，所以优先使用根式判别法.例9：讨论级数∑∞=+1n n2nx1x 的敛散性，其中x>0. 解：∵nn 2∞n x 1lim ++→=max{1,x 2}，∴n n ∞n u lim +→=nn 2n∞n x 1x lim ++→=}x max {1,x 2=⎩⎨⎧==≠<1x 11x 1. ∴当x ≠1时，该级数收敛；当x=1时，该级数发散.例10：判别下列级数的敛散性：(1)∑∞=1n 2!n)2()(n!；(2)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n n2n 12n .解：(1)∵n1n ∞n u u lim ++→=1)2)(2n n 2(1)(n lim 2∞n ++++→=41<1，∴该级数收敛. (2)∵n n ∞n u lim+→=n12n lim n2∞n ++→=21<1，∴该级数收敛.三、积分判别法定理12.9：设f 为[1,+∞)上非负减函数，那么正项级数∑f(n)与反常积分⎰+∞1f(x )dx 同时收敛或同时发散.证：∵f 在[1,+∞)上非负减，∴对任何正数A ，f 在[1,A]上可积，从而 有f(n)≤⎰n1-n f(x )dx ≤f(n-1), n=2,3,…. 依次相加可得：∑=m2n f(n)≤⎰m1f(x )dx ≤∑=m 2n 1)-f(n =∑=1-m 1n f(n).若反常积分收敛，则有S m =∑=m1n f(n)≤f(1)+⎰m 1f(x )dx ≤f(1)+⎰+∞1f(x )dx ，根据定理12.5知，级数∑f(n)收敛.若级数∑f(n)收敛，则有⎰m1f(x )dx ≤S m-1≤∑f(n)=S. 又f 在[1,+∞)上非负减，∴对任何正数A ，都有 0≤⎰A1f(x )dx ≤S n <S, n ≤A ≤n+1. ∴⎰+∞1f(x )dx 收敛.用反证法或同理可证：正项级数∑f(n)与反常积分⎰+∞1f(x )dx 同时发散.例11：讨论p 级数∑p n1的敛散性. 解：当p<0时，p∞n n 1lim+→≠0，∴级数∑p n 1的发散. 当p>0时，f(x)=p x1为[1,+∞)上非负减函数，又当0<p ≤1时，⎰+∞1px 1dx 发散，∴级数∑p n 1也发散； 当p>1时，⎰+∞1p x 1dx 收敛，∴级数∑p n1也收敛.例12：讨论下列级数的敛散性：(1)∑∞=2n p lnn)(n 1；(2)∑∞=3n plnlnn)(lnn)(n 1. 解：(1)∵⎰+∞2p lnn)(n 1dx=⎰+∞2p lnn)(1dlnn=⎰+∞ln2p u1du. ∴当p ≤1时，原级数发散；当p>1时，原级数收敛. (2)∵⎰+∞3plnlnn)(lnn)(n 1dx=⎰+∞3p lnlnn)(lnn 1dlnn=⎰+∞ln3p u(lnu)1du. 由(1)可知： ∴当p ≤1时，原级数发散；当p>1时，原级数收敛.四、拉贝判别法定理12.10：(拉贝判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正整数N 0及数常r, 则：(1)若对一切n>N 0, 不等式n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n 1n u u 1≥r>1成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n>N 0, 不等式n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≤1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)由n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≥r>1可得n 1n u u +<1-nr，取p 使1<p<r ，则 由nr n 1-1-1lim p∞n ⎪⎭⎫⎝⎛+→=()rx x -1-1lim p0x →=rp <1知：存在正数N ，使对任意n>N ，有n r >p n 1-1-1⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴n n u 1u +<1-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛p n 1-1-1=p n 1-1-1⎪⎭⎫ ⎝⎛=pn 1-n ⎪⎭⎫⎝⎛. 于是当n>N 时，就有u n+1=N N 1N 1-n n n 1n u u u u u u u ⋅⋅⋯⋅⋅++≤pn 1-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛p1-n 2-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛…Npu N 1-N ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=u N (N-1)p ·p n 1. ∵p>1，∴∑p n1收敛，∴原级数收敛. (2)由n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≤1可得n1n u u +≥1-n 1=n 1-n ，于是 u n+1=2231-n n n 1n u u u u u u u ⋅⋅⋯⋅⋅+>2u 211-n 2-n n 1-n ⋅⋅⋯⋅⋅=u 2·n1. ∵调和级数∑n1发散，∴原级数发散.推论：(拉贝判别法的极限形式)设∑n u 为正项级数，且极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =r 存在，则 (1)当r>1时，级数∑n u 收敛；(2)当r<1时，级数∑n u 发散.例13：讨论级数：∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋅⋯⋅s(2n)421)-(2n 31当s=1,2,3时的敛散性. 解：n1n ∞n u u lim++→=s∞n (2n)421)-(2n 312)(2n 421)(2n 31lim ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋅⋯⋅+⋯⋅+⋯⋅+→=s ∞n 22n 12n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→=1，无法判别. 当s=1时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+→22n 12n 1n lim ∞n =22n n lim ∞n ++→=21<1，∴发散； 当s=2时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++-222n 12n 1n =4n 84n 3n4n 22+++<1，∴发散；当s=3时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+→3∞n 22n 12n 1n lim=8n 42n 248n n 7n 1812n lim 2323∞n ++++++→=23>1，∴收敛.习题1、应用比较原则判别下列级数的敛散性： (1)∑+22a n 1；(2)∑n n3πsin 2；(3)∑+2n11；(4)∑n )n (ln 1； (5)∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1cos 1；(6)∑n nn 1；(7)∑-)1a (n (a>1)；(8)∑∞=2n n ln )n (ln 1；(9)∑-+)2a 1a (nn(a>0)；(10)∑n12nsinn1.解：(1)∵0≤22a n 1+≤2n 1，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛. (2)∵0<n n 3πsin 2<n32π⎪⎭⎫ ⎝⎛，又等比级数∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛，∴原级数收敛.(3)∵2n 11+>1n 1+，又级数∑+1n 1发散，∴原级数发散. (4)∵0<n )n (ln 1<n 21 (n>e 2)，又级数∑∞=2n n21收敛，∴原级数收敛. (5)∵0≤n 1cos 1-=2sin 22n 1<22n 1，又级数∑22n1收敛，∴原级数收敛. (6)∵n nn 1>2n 1，又级数∑2n1发散，∴原级数发散. (7)∵1a n ->n a ，又当a>1时，n∞n a lim +→=1≠0，∴级数∑n a 发散， ∴原级数发散. (8)∵0≤n ln )n (ln 1=ln(lnn)n 1<2n 1 (n>2e e )，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛.(9)∵2nn∞n n 12a1a lim-++→=2t t 0t t2a 1a lim-+→=(lna)2>0， 又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛. (10)∵2n12nsin∞n n 1n 1lim +→=2tsint 20t t tlim ⋅→=1>0，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛.2、用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性.(1)∑⋯⋅n!1)-(2n 31；(2)∑+n 101)!(n ；(3)∑⎪⎭⎫⎝⎛+n1n 2n ；(4)∑n n n!；(5)∑n 22n ；(6)∑⋅n n n n!3；(7)∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a b (其中n ∞n a lim +→=a, a n ,b,a>0, 且a ≠b). 解：(1)∵n1n ∞n u u lim++→=n!1)-(2n 31!)1(n 1)(2n 31lim ∞n ⋯⋅++⋯⋅+→=1n 12n lim ∞n +++→=2>1，∴原级数发散. (2)∵n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n 101)!(n 102)!(n lim ++++→=102n lim ∞n ++→=+∞，∴原级数发散. (3)∵n n∞n u lim +→=n n∞n 1n 2n lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=1n 2n lim∞n ++→=21<1，∴原级数收敛. (4)∵n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n n n!)1(n 1)!(n lim ++→++=n∞n 1n n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e1<1，∴原级数收敛. (5)∵n n∞n u lim +→=nn 2∞n 2n lim +→=2n lim n2∞n +→=21<1，∴原级数收敛.(6)∵n1n ∞n u u lim++→=n n 1n 1n ∞n nn!31)(n 1)!n (3lim ⋅++⋅+++→=n∞n 1n n 3lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e 3>1，∴原级数发散.(7)∵n n∞n u lim +→=n ∞n a b lim +→=ab，∴当a=b 时，无法判定； 当b>a>0时，原级数发散；当a>b>0时，原级数收敛.3、设∑n u 与∑n v 为正项级数，且存在正数N 0，对一切n>N 0, 有n1n u u +≤n 1n v v +. 证明： 若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 收敛；若∑n u 发散，则∑n v 发散. 证：由题意知：当n>N 0时，1n 1n v u ++≤nn v u，从而对n>N 0有， 0<1n 1n v u ++≤n n v u ≤1-n 1-n v u ≤…≤1N 1N 00v u ++，∴u n ≤1N 1N 00v u ++v n ，又1N 1N 00v u ++是常数， 根据比较原则，得证.4、设正项级数∑n a 收敛，证明∑2n a 也收敛；试问反之是否成立？ 证：由∑n a 收敛知n ∞n a lim +→=0，∴存在N ，使n ≥N 时，有0≤a n <1,从而n ≥N 时，有0≤a n 2<a n ，由比较原则知 ∑2n a 也收敛.但反之不成立，如∑2n1收敛，而∑n 1发散.5、设a n ≥0, n=1,2,…. 且{na n }有界，证明∑2n a 收敛. 证：∵a n ≥0, {na n }有界，可设0≤na n ≤M ，则0≤a n ≤nM，从而a n 2≤22nM ，又级数∑22n M 收敛，由比较原则知 ∑2na也收敛.6、设级数∑2n a 收敛，证明∑na n(a n >0)也收敛. 证：∵0<n a n <21(a n 2+2n 1)，又级数∑2n a 和∑2n1都收敛，∴级数∑+)n1(a 22n 收敛，由比较原则知级数∑n a n 也收敛.7、设正项级数∑n u 收敛，证明级数∑+1n n u u 也收敛.证：∵0<1n n u u +<21(u n +u n+1)，又由级数∑n u 收敛知∑+1n u 也收敛， ∴级数∑)u +(u 1+n n 收敛，由比较原则知∑+1n n u u 也收敛.8、利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：(1)2n∞n )(n!n lim +→=0；(2)n!∞n a )!(2n lim +→=0 (a>1). 证：(1)记u n =2n)(n!n ，则n1n ∞n u u lim ++→=2n 21n ∞n )(n!n ]1)![(n 1)(n lim ++++→=n∞n n 1n 1n 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++→=0<1， ∴级数∑2n)(n!n 收敛，∴2n ∞n )(n!n lim +→=0.(2)记u n =n!a )!(2n ,则当a>1时，n1n ∞n u u lim ++→=n!1)!(n ∞n a)!(2n a )!2(2n lim ++→+=!n n ∞n a )21)(2n (2n lim ⋅+→++=0, ∴级数∑n!a )!(2n 收敛，∴n!∞n a )!(2n lim +→=0 (a>1).9、用积分判别法讨论下列级数的敛散性：(1)∑+1n 12；(2)∑+1n n 2；(3)∑∞=3n )nlnnln(lnn 1；(4)∑∞=3n qp (lnlnn)n(lnn)1. 解：(1)∵f(x)=1x 12+在[1,+ ∞)上非负减，且 ⎰+∞1f(x )dx=⎰++∞121x 1dx=2π，积分收敛；∴原级数收敛. (2)∵f(x)=1x x2+在[1,+ ∞)上非负减，且由1x x x lim 2∞x +⋅+→=1知 ⎰++∞121x xdx 发散；∴原级数发散. (3)∵f(x)=ln(lnx )lnx x 1⋅⋅在(3,+ ∞)上非负减，且⎰+∞3f(x )dx=⎰+⋅⋅∞3ln(lnx )lnx x 1dx=⎰+∞ln(ln3)u1du ，积分发散；∴原级数发散.(4)∵f(x)=qp (lnlnx )x (lnx )1在(3,+ ∞)上非负减，且 ⎰+∞3f(x )dx=⎰+∞3q p (lnlnx )x (lnx )1dx=⎰+∞ln(ln3)q 1)u -(p ue 1du ， 当p=1时，⎰+∞3f(x )dx=⎰+∞ln(ln3)q u1du ；若q>1，收敛；若q ≤1，发散. 当p ≠1时，取t>1，有q 1)u -(p t∞u u e 1u lim ⋅+→=1)u -(p q -t ∞u e u lim +→=⎩⎨⎧<∞+>1p 1p 0，，， ∴当p>1或(p=1且q>1)时，由积分收敛知原级数收敛； 当p<1或(p=1且q ≤1)时，由积分发散知原级数发散.10、判别下列级数的敛散性：(1)∑1-2n n -n ；(2)∑+na 11 (a>1)；(3)∑n 2nlnn ；(4)∑n n n n!2； (5)∑n n n n!3；(6)∑lnn 31；(7)∑+⋯++)x (1)x x)(1(1x n2n(x>0). 解：(1)∵1-2n n -n >1-2n 1(n ≥3)，又级数∑1-2n 1发散，∴原级数发散. (2)∵n a 11+<n a 1，又当a>1时，等级级数∑na1收敛，∴原级数收敛. (3)n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n 2nlnn 21)1)ln(n (n lim ++→++=nlnn 21)1)ln(n (n lim ∞n +++→=21<1，∴原级数收敛. (4)∵n1n ∞n u u lim++→=n n 1n 1n ∞n n n!21)(n 1)!2(n lim +++→++=n∞n 1n n 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+→=e2<1，∴原级数收敛. (5)∵n1n ∞n u u lim++→=nn 1n 1n ∞n n n!31)(n 1)!3(n lim +++→++=n∞n 1n n 3lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+→=e3>1，∴原级数发散. (6)3lnn =n ln3，又ln3>1，∴∑ln3n 1收敛，∴原级数收敛. (7)n1n ∞n u u lim++→=1n ∞n x 1xlim++→+=⎪⎩⎪⎨⎧<=<><1x x 1x 1211x 10，，∴原级数收敛.11、设{a n }为递减正项数列，证明：级数∑∞=1n n a 与∑∞=0m 2m ma 2同敛散性.证：记两个级数的部分和分别为S n , T n ，由{a n }为递减正项数列知： S n <n2S ≤a 1+(a 2+a 3)+…+(n2a +…+121n a -+)≤a 1+2a 2+…+2n n2a =T n ，∴当级数∑∞=0m 2mma 2收敛时，级数∑∞=1n n a 也收敛.又n2S =a 1+a 2+(a 3+a 4)+…+(121n a +-+…+n2a )≥21a 1+a 2+2a 4+…+2n-1n2a =21T n ， ∴当级数∑∞=1n n a 收敛时，级数∑∞=0m 2m ma 2也收敛. 得证！12、用拉贝判别法判别下列级数的敛散性： (1)12n 1(2n)421)-(2n 31+⋅⋯⋅⋯⋅∑；(2)∑+⋯++n)(x 2)1)(x (x n!(x>0). 解：(1)∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =6n 104n 5n 6n lim 22∞n ++++→=23>1，∴原级数收敛. (2)当x=1时，原级数为∑+1n 1发散，又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =1x n xn lim ∞n +++→=x ， ∴当x>1时，原级数收敛；当0<x ≤1时，原级数发散.13、用根式判别法证明级数∑n(-1)--n 2收敛，并说明比式判别法对此级数无效.证：∵n n∞n u lim +→=n (-1)-n -∞n n2lim +→=n(-1)-1-∞n n2lim +→=21<1，∴原级数收敛.又n 1n ∞n u u lim ++→=n 1n (-1)-n -(-1)-1--n ∞n 22lim ++→=n1n )1((-1)--1∞n 2lim -++→+=⎪⎩⎪⎨⎧><为偶数为奇数n 12n 181，，，可见， 比式判别法对此级数无效.14、求下列极限(其中p>1)： (1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯+++++→p p p ∞n (2n)12)(n 11)(n 1lim ；(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+++++→2n 2n 1n ∞n p 1p 1p 1lim . 解：(1)∵当p>1时，级数∑p n1收敛，由柯西准则知，任给ε>0，存在N ，当n>N 时，有pp p (2n)12)(n 11)(n 1+⋯++++<ε, ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯+++++→p p p ∞n (2n)12)(n 11)(n 1lim =0. (2)∵当p>1时，等级级数∑n p1收敛，由柯西准则知， 任给ε>0，存在N ，当n>N 时，有2n 2n 1n p1p 1p 1+⋯++++<ε, ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋯+++++→2n 2n 1n ∞n p 1p 1p1lim =0.15、设a n >0，证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑n a 同敛散性. 解：数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑+)a ln(1n 有相同的敛散性. 又当级数∑n a 或∑+)a ln(1n 收敛时，都有n ∞n a lim +→=0，∴nn ∞n a )a 1ln(lim++→=1. 由比较判别法知∑+)a ln(1n 与∑n a 有相同的敛散性. ∴数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑n a 同敛散性.。