2010年北京市东城区初三一模数学试卷(含答桉)

北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（一）高三数学试卷（理科） 2010.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中为样本平均数． 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. i 是虚数单位，若计算复数),(121R b a bi a ii∈+=++，则b a +的值是 （ ） A ．21-B ．2-C ．2D ．212.设集全I={x|-3<x<3,x ∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则AY(C 1B)等于 （ ）A. {1}B. {1,2}C. {2}D. {0，1，2}3.如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 位AB 上一点，PC ⊥OP,PC 交⊙O 于C ，若AP=4,PB=2,则PC 的长是（ ）A.3B. 22C.2D. 24.8)2(y x -的展开式中26y x 项的系数数（ ） A.56 B.-56 C.28 D.-285. 如图是一个算法的程序框，若该程序输出的结果为54，则判断框中应填入的条件是 （ ）A.T>4?B.T<4?C.T<2?D.T<3?6.某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶， 且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与靶心的距离小于2的 概率为 （ ） A.131B. 91C. 41D. 217.已知数列}{n a 的通项公式)(1log 3+∈+=N n n na n ,设其前n 项和为,n S 则使4-<n S 成立的最小自然数n 等于（ ）A.83B.82C. 81D. 808.定义在R 上的函数)(x f y =是减函数，且函数)1(-=x f y 的图象关于（1，0）成中心对称，若s ，t 满足不等式),2()2(22t t f s s f --≤-则当sts 时，41≤≤得取值范围是（ ） A.)1,41[-B. ]1,41[-C. )1,21[-D. ]1,21[-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应位置的横线上。

北京市东城区2009-2010学年度初三年级综合练习（一）数学参考答案 2010.5一、选择题：（本题共32分，每小题4分）二、填空题：（本题共16分，每小题4分）9. 3x ≥-， 10. 8， 11. ()()aa b a b -+， 12..2. 三、 解答题：（本题共30分，每小题5分） 201()(1)2sin 602π-++-︒13.解:原式＝412=+- …………………………………………4分 5=5= ………………………………………………………………5分14.解：31422x x x ->-⎧⎨<+⎩12x x >-⎧⇒⎨<⎩12x ⇒-<<. ∴原不等式组的解集是12x -<<. ……………………………3分 在数轴上表示为：……………………………………5分15.证明：ABC △与AED △均为等腰直角三角形，AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=. ··························································· 3分BAC CAE EAD CAE ∴∠+∠=∠+∠.即BAE CAD ∠=∠. ············································································································· 4分 在BAE △与CAD △中，ABCDE MFEDCBA,,.AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BAE CAD ∴△≌△. ……………5分16．解：2(1)()3x x x y ---=-，223x x x y ∴--+=-．………………………2分3x y ∴-=. ……………………………………3分22222()39x y xy x y ∴+-=-==． ……………………………………5分17．解：设B 型机器人每小时搬运x kg 化工原料，则A 型机器人每小时搬运(30)x +kg 化工原料.A 型机器人搬运900kg 与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等， ∴90060030x x=+. …………………2分 解此分式方程得：60x =.检验：当60x =时，(30)0x x +≠，所以60x =是分式方程的解. …………………4分 当60x =时，3090x +=.答：A 型机器人每小时搬运90kg 化工原料，B 型机器人每小时搬运60kg 化工原料. ………………………………………………………………………………………………5分 18．解：（1）m = 0 . ………2分（2）0p <，11p p ∴<+<，又因为抛物开口向上，对称轴为1x =， ∴12y y >. …………5分四、解答题：（本题共20分，每小题5分）19．解： 过点E 作BC 的垂线交BC 于点F ，交AD 的延长线于点M . ………1分 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点， ∴∠M=∠MFC ，DE=CE .在△MDE 和△FCE 中，∠M=∠MFC ， ∠DEM=∠CEF ，DE=CE .∴△MDE ≌△FCE .∴EF = ME ，DM=CF . ………………3分∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=23. 在Rt △FCE 中，tanC=34=CFEF，∴EF = ME =2. ………4分 在Rt △AME 中，AE =265)232(222=++. …5分 20. 解：（1）CD 是⊙O 的切线．……………………1分 证明：连接OD ．∵∠ADE =60°，∠C =30°，∴∠A =30°． ∵OA=OD ，∴∠ODA=∠A =30°．∴∠ODE=∠ODA+∠ADE =30°+60°=90°． ∴OD ⊥CD ． ∴CD 是⊙O 的切线．……………………………3分（2）在Rt △ODC 中，∠ODC =90°， ∠C =30°， CD =33． ∵tan C =CDOD， ∴OD=CD ·tan C =33×33=3．∴OC=2OD =6．∵OB=OD =3，∴BC=OC -OB =6-3=3．…………………………………………5分 21. 解：（1）60秒跳绳的成绩在140—160次的人数为：1003826148410-----=（人）．…………………1分（2）（1）中人数所在扇形统计图中圆心角的度数为：1036036100⨯︒=︒．…………………4分 （3）估计全校60秒跳绳的次数在100次以上的学生人数为：381410436002376100+++⨯=（名）． ………………5分22．（1）1+3+5+7+9+11+13=72． …………………1分算式表示的意义如图（1）．…………………2分（2）第n 条黑折线与第1n -条黑折线所围成的图形面积为21n -. …………………3分（3）算式表示的意义如图（2）、（3）等. …………………5分（1）（2）（3）五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分）23．解：（1）顶点坐标A（1，-1）. …………………1分……………………………………………………………………………………2分（2）2(1)2(2)y x by x x=+⎧⎨=-⎩把（1）式代入（2）整理得：230x x b--=.940b∆=+=，94b=-. …………………4分（3）2(1)2(2)y x by x x=+⎧⎨=+⎩把（1）式代入（2）整理得：20x x b+-=.140b∆=+=，14b=-. …………………6分∴当直线y x b=+与图象C3有两个交点时，b的取值范围为：9144b-<<-. …………………7分24. 解：（1）由已知可得：2,90OA AB A ==∠=︒，11130,4BOA BOA OB OB ∴∠=∠=︒==.又1AOA ∠为旋转角，130AOA ∴∠=︒.160B OA ∴∠=︒. …………………1分过点1B 作1B E OA ⊥于点E ， 在1Rt B OE ∆中，1160,4B OE OB ∠=︒=，12,OE B E ∴==1(2,B ∴. …………………2分（2）设F 为11AC 与1OB 的交点，可求得(1F . …………………4分 设直线l 的方程为y kx b =+，把点（2，0）、（102,k b k b=+⎧⎪=+解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线l 的方程为y =+. …………………5分（3）…………………7分25．（1）证明：过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H . ∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点，∴MG=MH .又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090， ∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中∠1=∠2， MG=MH ， ∠MGE=∠MHF .F 21HGE QPNBDMCA∴ME=MF . ………………3分（2）解：①当MN 交BC 于点E ，MQ 交CD 于点F 时.过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H .∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090. ∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2∠MGE=∠MHF ∴△MGE ∽△MHF . ∴MHMGMF ME =. ∵M 为矩形对角线AB 、AC 的交点，∴MB=MD=MC又∵MG ⊥BC ，MH ⊥CD ，∴点G 、H 分别是BC 、DC 的中点. ∵24BC AB ==， ∴BC MH AB MG 21,21==. ∴21=MF ME . ………………4分 ②当MN 的延长线交AB 于点E ，MQ 交BC 于点F 时. 过点M 作MG ⊥AB 于点G ，MH ⊥BC 于点H .∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090. .∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2， ∠MGE=∠MHF .NP∴MHMGMF ME =. ∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点，∴MB=MA=MC .又∵MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，∴点G 、H 分别是AB 、BC 的中点. ∵24BC AB ==，∴AB MH BC MG 21,21==. ∴2=MFME. ………………5分 ③当MN 、MQ 两边都交边BC 于E 、F 时.过点M 作MH ⊥BC 于点H .∴∠MHE=∠MHF =∠NMQ=090. ∴∠1=∠3，∠2=∠4.∴△MEH ∽△FEM ，FMH ∽△FEM .∴ME MH FE FM =，FM MHFE EM=. ∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点， ∴点M 为AC 的中点.又∵MH ⊥BC ，∴点M 、H 分别是AC 、BC 的中点. ∵24BC AB ==，∴AB=2. ∴MH=1. ∴1FM FM ME MH EF EF ==⋅， 1EM EMMF MH EF EF==⋅. ∴11122222=+=+EF EM FM MF ME . ………………6分 ④当MN 交BC 边于E 点，MQ 交AD 于点F 时. 延长FM 交BC 于点G .易证△MFD ≌△MGB . ∴MF=MG .同理由③得22111MG ME +=. ∴22111ME MF +=. ………………7分 综上所述：ME 与MF 的数量关系是21=MF ME 或2=MFME 或11122=+MF ME . …8分。

北京市东城区2010-2011学年上学期初中九年级期末统一检测数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项。

其中只有一个是符合题意的.1. 一元二次方程2x2－x=1 的常数项为A. -1B. 1C. 0D. ±12. 下列图形中，是中心对称图形的是3. 若ΔABC~ΔDEF，AB：DE=2：1，且ΔABC的周长为16，则ΔDEF的周长为A. 4B. 6C. 8D. 324. 如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于点M，AB=8，OC=5，则MD 的长为A. 4B. 2C. 2D. 15. 若关于x的方程2x2－ax+a－2=0有两个相等的实数根，则a的值是A. 2B. 4C. 6D. 86. 抛物线y= -3（x+1）2－2经过平移得到抛物线y=-3x2，平移的方法是A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位7. 某圆与半径为2的圆相切，若两圆的圆心距为5，则此圆的半径为A. 3B. 7C. 3或7D. 5或78. 小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①c<0；②abc>0；③a－b+c>0；④2a－3b=0；⑤c－4b>0. 你认为其中正确的信息是A. ①②③⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ②③④⑤二、填空题（本题共16分。

每小题4分）9. 抛物线y=x2-5x-1与y轴的交点坐标是_____________.10. 若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是______________.11. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为_________.12. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD，AD=2，∠B=45°. 直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F. 若ΔABE是以AB为腰的等腰三角形，则CF的长等于__________.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解方程：2x2－x－2=0.14. 如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠A=45°，BD为⊙O的直径，BD=2，连结CD，求BC的长.15. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点. ΔACB 和ΔDCE的顶点都在格点上.求证：ΔABC~ΔDEC.16. 如图，在平面直角坐标系中，ΔAOB的顶点A、B的坐标分别为（-2，0）、（-1，1）. 将ΔAOB绕点O顺时针旋转90°后，点A、B分别落在点A′、B′.（1）在图中画出旋转后的ΔA′OB′；（2）求点A旋转到点A′所经过的弧形路线长.17. 已知二次函数的解析式为y=－x2+2x+1.（1）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x轴的交点坐标；（2）在给定的坐标系中画出这个二次函数的大致图象，并求出抛物线与坐标轴的交点所组成的三角形的面积.18. 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米. 当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B. 已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009~2011年）》. 某市政府决定2009年用于改善医疗卫生服务的经费为6000万元，并计划2011年提高到7260万元. 若从2009年到2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009年到2011年的年平均增长率.20. 如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE 延长线上一点，且CE=CB.（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=25，AD=2，求线段BC的长。

东城区2010-2011学年第一学期期末统一检测初三数学试卷2011.011. 一元二次方程122=-bx x 的常数项为( ) A. 1- B. 1 C. 0 D. 1±2. 下列图形中，是中心对称的图形是()3. 若DEF ABC ∆∆~，1:2:=DE AD 且ABC ∆的周长为16，则DE F ∆的周长为( ) A. 4 B. 16 C. 8 D. 324. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD AB ⊥于M ，8=AB ，5=OC ，则MD 的长为( )A. 4B. 2C.2 D. 15. 若关于x 的方程0222=--ax x 有两个不相等的实数根，则a 的值是( )A. 2B. 4C. 6D. 86. 抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是( ) A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位7. 某圆与半径为2的圆相切，若两圆的圆心距为5，则此圆的半径为( )A. 3B. 7C. 3或7D. 5或78. 小明从二次函数c bx ax y ++=2的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0<c ； ②0>abc ；③0>+-c b a ；④032=-b a ；⑤04>-b c ；你认为正确的信息是( ) A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ②③④⑤ 9. 抛物线152--=x x y 与y 轴的交点坐标是__________ 10. 若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让生活更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率______11. 如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，︒=∠30A ，经过点C 的切线与OB 的延D长线交于点D ，则D ∠的度数为_________12. 在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 4=，2=AD ，︒=∠45B 。

东城区2010-2011学年第一学期期末统一检测初三数学试题学校 班级姓名考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．一元二次方程221x x -=的常数项为（ ） A ．1-B ．1C ．0D ．1±2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若ABC DEF △∽△，:2:1AB DE =，则ABC △的周长为16，则DEF △的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．324．如图，在O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB CD ⊥于点M ，8AB =，5OC =，则MD 的长为（ ）DA ．4B ．2CD ．15．若关于x 的方程2220x ax a -+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．抛物线()2312y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位7．某圆与半径为2的圆相切，若两圆的圆心距为5，则此圆的半径为（ ） A ．3B ．7C ．3或7D ．5或78．小明从二次函数2y ax bx c =++的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确的信息是（ ）A ．①②③⑤B ．①②③④C ．①③④⑤D ．②③④⑤二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．抛物线251y x x =--与y 轴的交点坐标是 ． 10．若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是 ．11．如图，AB 、AC 是O 的两条弦，30A ∠=°，过点C 的切线与OB 的延长线交于点D ，则D ∠的度数为 ．A12．在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，4BCAD =，AD =，45B ∠=°，直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若ABE △是以AB 为腰的等腰三角形，则CF 的长等于 ．FEDCBA三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解方程：2220x x --=14．如图，O 是ABC △的外接圆，45A ∠=°，BD 为O 的直径，2BD =，连结CD ，求BC 的长．15．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ACB △和DCE △的顶点都在格点上．求证：ABC DEC △∽△．EDCBA16．如图，在平面直角坐标系中，AOB △的顶点A 、B 的坐标分别为()20-，、()11-，，将AOB △绕点O 顺时针旋转90°后，点A 、B 分别落在点A '、B '．（1）在图中画出旋转后的A OB ''△；（2）求点A 旋转到点A '所经过的弧形路线长．17．已知二次函数的解析式为221=-++．y x x（1）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x轴的交点坐标；（2）在给定的坐标系中画出这个二次函数的大致图象，并求出抛物线与坐标轴的交点所组成的三角形的面积．18．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度，如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与数学大楼的距离20CE=米时，她刚好能AE=米．当她与镜子的距离 2.5从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她的眼睛距地面高度 1.6DC=米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009-2011年）》，某市政府决定2009年用于改善医疗卫生服务的经费为6000万元，共计划2011年提高到7260万元．若从2009年到2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009年到2011年的年平均增长率．20．如图，AB为O的直径，AD与O相切于一点A，DE与O相切于点E，点C 为DE延长线上一点，且CE CB=．（1）求证：BC为O的切线；（2）若AB=2AD=，求线段BC的长．C21．某校团委发起了“传箴言”活动，初三（2）班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条的情况进行了统计．结果显示发3条箴言的团员占全体团员的25%，并制成了如下不完整的统计图：所发箴言条数条形统计图（1）求该班团员中发4条箴言的有多少人？（2）如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4箴言的同学中有三位女同学．现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会．请你用列表法或者画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．22．某公司推出一款新型手机，投放市场以来前3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；（2）该公司在经营此款手机过程中，第几月的利润能达到24万元？（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款手机的经营状况．．．．（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m --+-=． （1）证明不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若0m ≠，设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x >），若y 是关于m 的函数，且211x y x =-，结合函数图象回答：当自变量m 的取值满足什么条件时，2y ≤．24．在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连结AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连结EC ．（1）如果AB AC =，90BAC ∠=°①当点D 在线段BC 上时（不与点B 重合），如图1，请你判断线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系（直接写出结论）；②当点D 在线段BC 的延长线上时，请你在图2中画出图形，并判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．图1EDCBA图2CBA（2）如图3，若点D 在线段BC 上运动，DF AD ⊥交线段CE 于点F ，且45ACB ∠=°，AC=CF长的最大值．图3F ED CBA25．抛物线23y ax bx a=+-经过A（1-，0）、C（0，3-）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，1m--）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连结BD，问在x轴上是否存在点P，使PCB CBD∠=∠，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．。

12010年北京市东城区初三一模试题数学试卷 2010.5一、选择题：（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．－3的绝对值是A ．-3B ．3C ．13-D ． 132. 据北京市统计局统计信息网显示，2009年，我市全年接待旅游总人数170 000 000人次，比上年增长14.5%，将170 000 000用科学记数法表示为A ．81.710⨯ B ．90.1710⨯ C ．71710⨯ D ． 71.710⨯ 3．圆锥侧面展开图可能是下列图中的4．布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是 A ．13 B ．16 C ．12 D ． 565．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是A ．5B ．6C ．7D ．8 6．如图，在3ⅹ3的正方形的网格中标出了1∠，则tan1∠的值为A B C ．32 D ． 23A ．B ．C ．D ．27．某人要去夏威夷旅游，统计了该城市一周中午的温度（华氏温度标准）如图所示，如果用m 代表这组数据的中位数，f 代表众数，a 代表平均数，则 A. f a m << B. m f a << C. a f m << D. f m a << 8．方程2310x x +-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是 A ．010x -<< B ．001x << C ．012x <<D ．023x <<二、填空题：（本题共16分，每小题4分）9x 的取值范围是 ．10．若⊙O 的半径为5厘米，圆心O 到弦AB 的距离为3厘米，则弦长AB 为 厘米． 11.在实数范围内分解因式：32a ab -= ． 12.如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA 、PB 、P C ，过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则 PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________. 三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13. 计算：201()(1)2sin 602π-++-︒+14. 解不等式组31422x x x ->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．初三模考试题精心整理汇编京睿试题库 :..第 3 页 共 13 页..: 为了孩子的将来保驾护航 3ABCDE 15.如图，ABC ∆与ADE ∆均为等腰直角三角形，90BAC EAD ∠=∠=︒，求证：BAE CAD ∆≅∆.16．已知2(1)()3x x x y ---=-，求222x y xy +-的值．17．列方程或方程组解应用题：.A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg ，A 型机器人搬运900kg 与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？18．已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）m 的值为 ；（2）若1()A p y ，，2(1)B p y +，两点都在该函数的图象上，且0p <，试比较1y 与2y 的大小.4BC四、解答题：（本题共20分，每小题5分）19．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=5， E 为DC 中点，tanC=34．求AE 的长度．20．如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由； （2）若CD = 33 ，求BC 的长．21．某中学体育俱乐部的老师对学生的体能进行摸底测试，考试项目有跳绳、仰卧起坐等，体育老师随机从全校3600名学生中抽取统计了100名学生60秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点）：（1）求60秒跳绳的成绩在140—160次的人数；（2）若将此直方图转化为扇形统计图，求（1）中人数所在扇形统计图中圆心角的度数； （3）请你估计一下全校大概有多少名学生60秒跳绳的次数在100次以上？初三模考试题精心整理汇编京睿试题库 :..第 5 页 共 13 页..: 为了孩子的将来保驾护航 51522． 人们经常利用图形的规律来计算一些数的和. 如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17，它们有下面的规律：1+3=22 ； 1+3+5=32 ； 1+3+5+7=42 ； 1+3+5+7+9=52 ；……（1）请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形； （2）请你按照上述规律，计算第n 条黑折线与第1n -条黑折线所围成的图形面积； （3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形. 1+8=32 ； 1+8+16=52 ； 1+8+16+24=72 ；1+8+16+24+32=92 .五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分）23. 已知抛物线C 1：22y x x =-的图象如图所示，把C 1的图象沿y 轴翻折，得到抛物线C 2的图象，抛物线C 1与抛物线C 2的图象合称图象C 3．（1）求抛物线C 1的顶点A 坐标，并画出抛物线C 2的图象； （2）若直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求b 的值；（3）结合图象回答，当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 取值范围．6F EQPNMDCBAABCDM24．如图，在平面直角坐标系中，A（0），B（2）.把矩形OABC 逆时针旋转30︒得到矩形111OA B C .（1）求1B 点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形111OA B C 面积的直线l 方程；（3）设（2）中直线l 交y 轴于点P ，直接写出1PC O ∆与11PB A ∆的面积和的值及1POA ∆与11PB C ∆的面积差的值.25．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点M ，正方形MNPQ 与正方形ABCD 全等，射线MN 与MQ 不过A 、B 、C 、D 四点且分别交ABCD 的边于E 、F 两点. （1）求证：ME=MF ；（2）若将原题中的正方形改为矩形，且24BC AB ==，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系.初三模考试题精心整理汇编京睿试题库 :..第 7 页 共 13 页..: 为了孩子的将来保驾护航 7北京市东城区2010年初三一模试题数学参考答案 2010.5一、选择题：（本题共32分，每小题4分）二、填空题：（本题共16分，每小题4分）9. 3x ≥-， 10. 8， 11. ()()a a b a b-+， 12... 三、 解答题：（本题共30分，每小题5分） 201()(1)2sin 602π-++-︒13.解:原式＝412=+- …………………………………………4分 5=5= ………………………………………………………………5分14.解：31422x x x ->-⎧⎨<+⎩12x x >-⎧⇒⎨<⎩12x ⇒-<<. ∴原不等式组的解集是12x -<<. ……………………………3分 在数轴上表示为：……………………………………5分15.证明：ABC △与AED △均为等腰直角三角形，AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=. ·············································· 3分 BAC CAE EAD CAE ∴∠+∠=∠+∠.即BAE CAD ∠=∠. ······················································································ 4分 在BAE △与CAD △中，8ABCDEMFEDCBA,,.AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BAE CAD ∴△≌△. ……………5分16．解：2(1)()3x x x y ---=-，223x x x y ∴--+=-．………………………2分3x y ∴-=. ……………………………………3分22222()39x y xy x y ∴+-=-==． ……………………………………5分17．解：设B 型机器人每小时搬运x kg 化工原料，则A 型机器人每小时搬运(30)x +kg 化工原料.A 型机器人搬运900kg 与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等， ∴90060030x x=+. …………………2分 解此分式方程得：60x =.检验：当60x =时，(30)0x x +≠，所以60x =是分式方程的解. …………………4分 当60x =时，3090x +=.答：A 型机器人每小时搬运90kg 化工原料，B 型机器人每小时搬运60kg 化工原料. ………………………………………………………………………………………………5分 18．解：（1）m = 0 . ………2分（2）0p <，11p p ∴<+<，又因为抛物开口向上，对称轴为1x =， ∴12y y >. …………5分四、解答题：（本题共20分，每小题5分）19．解： 过点E 作BC 的垂线交BC 于点F ，交AD 的延长线于点M . ………1分 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点， ∴∠M=∠MFC ，DE=CE .在△MDE 和△FCE 中，∠M=∠MFC ， ∠DEM=∠CEF ，DE=CE .∴△MDE ≌△FCE .∴EF = ME ，DM=CF . ………………3分初三模考试题精心整理汇编京睿试题库 :..第 9 页 共 13 页..: 为了孩子的将来保驾护航 9∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=23. 在Rt △FCE 中，tanC=34=CFEF，∴EF = ME =2. ………4分 在Rt △AME 中，AE =265)232(222=++. …5分20. 解：（1）CD 是⊙O 的切线．……………………1分 证明：连接OD ．∵∠ADE =60°，∠C =30°，∴∠A =30°． ∵OA=OD ，∴∠ODA=∠A =30°．∴∠ODE=∠ODA+∠ADE =30°+60°=90°． ∴OD ⊥CD ． ∴CD 是⊙O 的切线．……………………………3分（2）在Rt △ODC 中，∠ODC =90°， ∠C =30°， CD =33． ∵tan C =CDOD， ∴OD=CD ·tan C =33×33=3．∴OC=2OD =6．∵OB=OD =3，∴BC=OC -OB =6-3=3．…………………………………………5分21. 解：（1）60秒跳绳的成绩在140—160次的人数为：1003826148410-----=（人）．…………………1分（2）（1）中人数所在扇形统计图中圆心角的度数为：1036036100⨯︒=︒．…………………4分 （3）估计全校60秒跳绳的次数在100次以上的学生人数为：381410436002376100+++⨯=（名）． ………………5分22．（1）1+3+5+7+9+11+13=72． …………………1分算式表示的意义如图（1）．…………………2分（2）第n 条黑折线与第1n -条黑折线所围成的图形面积为21n -. …………………3分（3）算式表示的意义如图（2）、（3）等. …………………5分10（1） （2） （3） 五、解答题：（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．解：（1）顶点坐标A （1，-1）. …………………1分……………………………………………………………2分 （2）2(1)2(2)y x b y x x =+⎧⎨=-⎩把（1）式代入（2）整理得：230x x b --=.940b ∆=+=，94b =-. …………………4分（3）2(1)2(2)y x b y x x =+⎧⎨=+⎩把（1）式代入（2）整理得：20x x b +-=.140b ∆=+=，14b =-. …………………6分∴当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 的取值范围为：9144b -<<-. …………………7分24.解：（1）由已知可得：2,90OA AB A ==∠=︒，11130,4BOA BOA OB OB ∴∠=∠=︒==.又1AOA ∠为旋转角，130AOA ∴∠=︒.160B OA ∴∠=︒. …………………1分过点1B 作1B E OA ⊥于点E ，初三模考试题精心整理汇编京睿试题库 :..第 11 页 共 13 页..: 为了孩子的将来保驾护航11在1Rt B OE ∆中，1160,4B OE OB ∠=︒=，12,OE B E ∴==1(2,B ∴. …………………2分（2）设F 为11AC 与1OB 的交点，可求得F .…………………4分 设直线l 的方程为ykx b =+，把点（2，0）、（102,k b k b=+⎧⎪=+解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴直线l的方程为y =+. …………………5分（3）…………………7分25．（1）证明：过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H . ∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点，∴MG=MH . 又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090， ∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中∠1=∠2， MG=MH ， ∠MGE=∠MHF . ∴△MGE ≌△MHF .∴ME=MF . ………………3分（2）解：①当MN 交BC 于点E ，MQ 交CD 于点F 时.过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H .∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090. ∴∠1=∠2.12NF 21HGE QPNBDMCA在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2∠MGE=∠MHF ∴△MGE ∽△MHF . ∴MHMGMF ME =. ∵M 为矩形对角线AB 、AC 的交点，∴MB=MD=MC又∵MG ⊥BC ，MH ⊥CD ，∴点G 、H 分别是BC 、DC 的中点. ∵24BC AB ==， ∴BC MH AB MG 21,21==. ∴21=MF ME . ………………4分 ②当MN 的延长线交AB 于点E ，MQ 交BC 于点F 时. 过点M 作MG ⊥AB 于点G ，MH ⊥BC 于点H .∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090. . ∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2， ∠MGE=∠MHF . ∴△MGE ∽△MHF . ∴MHMGMF ME =. ∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点，∴MB=MA=MC .又∵MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，∴点G 、H 分别是AB 、BC 的中点.∵24BC AB ==，∴AB MH BC MG 21,21==.∴2=MFME. ………………5分 ③当MN 、MQ 两边都交边BC 于E 、F 时.过点M 作MH ⊥BC 于点H .初三模考试题精心整理汇编京睿试题库 :..第 13 页 共 13 页..: 为了孩子的将来保驾护航13P∴∠MHE=∠MHF =∠NMQ=090. ∴∠1=∠3，∠2=∠4.∴△MEH ∽△FEM ，FMH ∽△FEM . ∴ME MH FE FM =，FM MHFE EM=. ∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点， ∴点M 为AC 的中点.又∵MH ⊥BC ，∴点M 、H 分别是AC 、BC 的中点. ∵24BC AB ==，∴AB=2. ∴MH=1. ∴1FM FM ME MH EF EF ==⋅， 1EM EMMF MH EF EF==⋅. ∴11122222=+=+EFEM FM MF ME . ………………6分 ④当MN 交BC 边于E 点，MQ 交AD 于点F 时. 延长FM 交BC 于点G .易证△MFD ≌△MGB . ∴MF=MG .同理由③得22111MG ME +=. ∴22111ME MF+=. ………………7分 综上所述：ME 与MF 的数量关系是21=MF ME 或2=MFME 或11122=+MF ME . …8分。

北京东城区2010年初三年级综合练习试卷
佚名
【期刊名称】《初中数学辅导：初中版》
【年(卷),期】2011(000)004
【摘要】一、选择题（每小题4分，共32分）1.（＊）-3的绝对值是（）A．-3 B．3 C．-1/3 D．1/3
【总页数】5页(P51-53,63,64)
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.2010年乡镇临床执业助理医师丢学综合笔试试卷质量分析
2.2010年高考试卷文科综合(辽宁)地理学科试题分析
3.2010年福建省高考理科综合模拟试卷
4.2010年福建省高考文科综合模拟试卷
5.综合展奇妙综合出成效——2010年河南省中考思品试卷综合性赏析
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

21．（本小题满分5分）如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径长；（3）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积（结果保留π）． 崇文20． 如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆O 于点E ，交AC 于点C ，使BED C ∠=∠． （1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若8AC =，4cos 5BED ∠=，求AD 的长．东城20．如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；（2）若CD = 33，求BC 的长．丰台20．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =21，求⊙O 的直径．海淀 20.已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF⊥于点D .（1） 求证：DA 为O 的切线；（2） 若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求O 的半径.CA OB E DOB CD E AF OD BA石景山20．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦OD AC //,BD 切⊙O 于B ,联结CD ． （1）判断CD 是否为⊙O 的切线，若是请证明；若不是请说明理由． （2）若2=AC ,6=OD ,求⊙O 的半径．西城21．如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，点D 在⊙O 上，AD ⊥AB 于点A ，AD 与BC 交于点E ，F 在DA 的延长线上，且AF ＝AE ．（1）求证：BF 是⊙O 的切线；(2）若AD ＝4，54cos =∠ABF ，求BC 的长．宣武21．已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 直径，且PA ⊥AB 于点A ，PO ⊥AC 于点M ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)当OM =2，B cos =42时，求PC 的长．大兴19．如图7，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，且︒=∠90DEC ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若30C ∠=°，32=CE ，求⊙O 的半径． 昌平20．已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交FB（图7）C于点F ，且8BE =，5tan 2BFA ∠=， 求⊙O 的半径长.房山20．已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当BD=2，sinC=12时，求⊙O 的半径．怀柔20．已知如图， AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C=∠BAD ，且BD ⊥AB 于B.（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，AB=4，求AD 的长.门头沟20.已知：如图，BE 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点B ，OC ∥DE 交⊙O 于点D ，CD 的延长线与BE 的延长线交于A 点.（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝4，CD ＝6，求tan ∠ADE 的值.密云19．如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝8．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin ∠E 的值．顺义A F D O EB GB CO O E DCB A21．如图，⊙O 的直径AB=4，C 、D 为圆周上两点，且四边形OBCD 是菱形，过点D 的直线EF ∥AC ，交BA 、BC 的延长线于点E 、F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）求DE 的长．通州23．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.延庆20．如图，AB 为⊙O 的直径，AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，AC 交AC DE ⊥的延长线于点E ，B B F A ⊥交AD 的延长线于点F ，（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若,3=DE ⊙O 的半径为5，求BF 的长． 燕山24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，M 是BC ⌒ 的中点，OM 交⊙O 的切线BP 于点P ． （1）判断直线PC 和⊙O 的位置关系，并证明你的结论．（2）若sin ∠BAC＝0.8，⊙O 的半径为2， 求线段PC 的长． 平谷O FE DCBA F E DCBAO19. 已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若6DE=cm，3AE=cm，求⊙O的半径.。

北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题(8个小题，每小题4分，共32分)下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．计算｜－2009｜的结果是( ) A ．－2009 B ．20091-C ．2009D ．200912．函数2+=x y 的自变量x 的取值范围是( )A ．x ≠－2B ．x ≥－2C ．x ＞－2D ．x ＜－23．我国2008年国内生产总值超过300 000亿元，比上一年增长9％．将数据300000亿元用科学记数法表示为( ) A ．3×105亿元 B ．30×104亿元 C ．0.3×106亿元 D ．3×104亿元 4．下列运算正确的是( ) A ．a 2＋a 4＝a 6 B ．a 2·a 4＝a 6 C ．(a 4)2＝a 6 D ．a 6÷a 2＝a 3 5．若一个正n 边形的一个外角为36°，则n 等于 A ．4 B ．6 C ．8 D ．106．如图，点O 在⊙A 外，点P 在线段OA 上运动．以OP 为半径的(⊙O 与⊙A 的位置关系不可能．．．是下列中的( )第6题图 A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内含7．在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，除了需要了解自己的成绩外，还需要了解全部成绩的( ) A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差8．在正方体的表面上画有如图①中所示的粗线，图②是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将图①中剩余两个面中的粗线画入图②中，画法正确的是( )第8题图二、填空题(4个小题，每小题4分，共16分) 9．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝________．第9题图 第11题图10．在实数范围内分解因式：x 2y －6xy ＋9y ＝________．11．如图，AB 、CD 是水平放置的轮盘(俯视图)上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为________． 12．按一定规律排列的一列数依次为：21，31，101，151，261，351…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________． 三、解答题(5个小题，每小题5分，共25分)13．计算：020092)2π()1(30sin 421-+-+-⎪⎭⎫⎝⎛-ο．14．解不等式组⎩⎨⎧+≤--<.65)3(2,134x x x x15．解方程：121=+-xx x ．16．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，FC ∥AB ，DF 交AC 于点E ，DE ＝EF ．求证：E 是AC 的中点．第16题图17．已知：x －2y ＝0，求)(2222y x y xy x yx ++++⋅的值．四、解答题(2个小题，每小题5分，共10分)18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠D＝120°，CD＝43cm，求AB的长．第18题图19．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为350人，表(1)是该校学生阅读课外书籍情况统计表．请你根据图表中的信息，解答下列问题：(1)求该校九年级的人数占全校总人数的百分率．(2)求出表(1)中A、B的值．(3)图书种类频数频率科普常识 B 0.2名人传记500 0.25漫画丛书800 A其他300 0.15第19题图五、解答题(3个小题，每小题5分，共15分)A B进价(元／件) 1200 1000售价(元／件) 1380 1200(注：获利＝售价－进价)求该商场购进A，B两种商品各多少件．21．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，连结PC ，交AD 于点E ． (1)求证：AD 是圆O 的切线；(2)若PC 是圆O 的切线，BC ＝8，求DE 的长．第21题图22．如图，反比例函数xy 8的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ∶OC ＝2∶1．(1)设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； (2)若直线y ＝2x ＋m 平分矩形OABC 面积，求m 的值．第22题图六、解答题(3个小题，共22分)23．(本题满分7分)已知：关于x 的一元二次方程x 2－2(2m －3)x ＋4m 2－14m ＋8＝0．(1)若m ＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．24．(本题满分7分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A (0，2)，点C (－1，0)，如图所示，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点B ．(1)求点B 的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外)，使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图25．(本题满分8分)请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图①，若弦AB 、CD 交于点P 则P A ·PB ＝PC ·PD ．请你根据以上材料，解决下列问题．已知⊙O 的半径为2，P 是⊙O 内一点，且OP ＝1，过点P 任作一弦AC ，过A 、C 两点分别作⊙O 的切线m 和n ，作PQ ⊥m 于点Q ，PR ⊥n 于点R ．(如图②)(1)若AC 恰经过圆心O ，请你在图③中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ 11+的值； (2)若OP ⊥AC ，请你在图④中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ 11+的值； (3)若AC 是过点P 的任一弦(图②)，请你结合(1)(2)的结论，猜想：PRPQ 11+的值，并给出证明．① ②第25题图答 案6．2009年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题1.C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 二、填空题9．20° 10．y (x －3)2 11．41 12．821 三、解答题13．原式＝4－2－1＋1＝2 14．解：⎩⎨⎧+≤--<②①,65)3(2,134x x x x解不等式①得x ＜－1解不等式②得x ≥－4∴原不等式组的解集为－4≤x ＜－1． 15．解：方程两边都乘以x (x －1)，得x 2＋2(x －1)＝x (x －1)，解这个方程，得x ＝32． 经检验，x ＝32是原方程的根． ∴原方程的根是x ＝32．16．证明：∵FC ∥AB ，∴∠ADF ＝∠F ．又∵∠AED ＝∠CEF ，DE ＝EF ，∴△ADE ≌△CEF (SAS)．∴AE ＝CE ． 即E 是AC 的中点． 17．解：)(2222y x y xy x yx ++++⋅ )()(22y x y x yx +++=⋅yx yx ++=2. ∵x ＝2y ， ∴原式3535==y y ． 四、解答题18．解：过点A 、D 分别作AE ⊥BC 、DF ⊥BC ，垂足分别为点E 、F ．∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°． ∵AD ∥BC ，∠D ＝120°，∴∠C ＝60°在Rt △DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝60°，CD ＝43． 6233460sin =⨯=⋅=∴οCD DF ．易证：四边形AEFD 为矩形．∴AE ＝DF ＝6． 在Rt △AEB 中，∠AEB ＝90°，∠B ＝45°，cm 262/2645sin ===∴οAE AB ．第18题答图19．解：(1)1－25％－35％＝40％(2)A ＝1－0.2－0.25－0.15＝0.4 500÷0.25＝2000B ＝2000－500－800－300＝400 ∴A 的值为0.4，B 的值400 (3)350÷35％＝1000 2000÷1000＝2∴该校学生平均每人读2本课外书． 五、解答题20．解：(1)设购进A 种商品x 件，B 种商品y 件．根据题意，得⎩⎨⎧=-+-=+,60000)10001200()12001380(,36000010001200y x y x化简，得⎩⎨⎧=+=+,3000109,180056y x y x解得⎩⎨⎧==.120,200y x答：该商场购进A ，B 两种商品分别为200件和120件．21．(1)证明：∵AB ＝AC ，点D 是边BC 的中点，∴AD ⊥BD ．又∵BD 是圆O 直径， ∴AD 是圆O 的切线．(2)解：连结OP ，由BC ＝8，得CD ＝4，OC ＝6，OP ＝2． ∵PC 是圆O 的切线，O 为圆心， ∴∠OPC ＝90°．由勾股定理，得PC ＝42．在△OPC 中，42242tan ===∠PCOP OCP ．在△DEC 中，∵42tan ==∠DC DE DCE ，2424tan =⨯=∠⋅=∴DCE DC DE ．第21题答图22．解：(1)由题意，设B (2a ，a )(a ≠0)，则a ＝a28,∴a ＝±2． ∵B 在第一象限， ∴a ＝2，B (4，2)，∴矩形OABC 对角线的交点E 为(2，1)．(2)∵直线y ＝2x ＋m 平分矩形OABC 必过点(2，1)， ∴1＝2×2＋m ．∴m ＝－3．第22题答图六、解答题23．(1)证明：Δ＝[－2(2m －3)]2－4(4m 2－14m ＋8)＝8m ＋4．∵m ＞0，∴8m ＋4＞0．∴方程有两个不相等的实数根．(2)12)32(248)32(2+±-=+±-=m m m m x ．∵方程有两个整数根，必须使12+m 为整数且m 为整数． 又∵12＜m ＜40，∴25＜2m ＋1＜81．9125<+<∴m ．令612=+m ，235=∴m ． 令712=+m ，24=∴m ．令812=+m ，263=∴m ． ∴m ＝2424．解：(1)过点B 作BD ⊥x ，垂足为D ，∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠OAC ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CAO ．又∵∠BDC ＝∠COA ＝90°；CB ＝AC ， ∴△BCD ≌△CAO ，∴BD ＝OC ＝1，CD ＝OA ＝2， ∴点B 的坐标为(－3，1)．(2)抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点B (－3，1)， 则得到1＝9a －3a －2，解得21=a ，∴抛物线解析式为221212-+=x x y ．第24题答图(3)方法一：①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，则可以设直线BC 交抛物线21212-+=x xx y 于点P 1， 由题意，直线BC 的解析式为：2121--=x y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=∴,22121,21212x x y x y 解得⎩⎨⎧=-=,1,311y x (舍)⎩⎨⎧-==.1,122y x∴P 1(1，－1)．过点P 1作P 1M ⊥x 轴于点M ， 在Rt △P 1MC 中，52211=+=MC M P CP∴CP 1＝AC ．∴△ACP 1为等腰直角三角形．②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作AF ∥BC ，交抛物线221212-+=x x y 于点P 2， 由题意，直线AF 的解析式为221+-=x y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=,2121,2212x x x y x y 解得⎩⎨⎧=-=,4,411y x (舍)⎩⎨⎧==.1,222y x ∴P 2(2，1)．过点P 2作P 2N ⊥y 轴于点N ， 在Rt △AP 2N 中，52222=+=AN N P AP ，∴AP 2＝AC ，∴△ACP 2为等腰直角三角形．综上所述，在抛物线上存在点P 1(1，－1)P 2(2，1)，使△ACP 是以AC 为直角边的等腰直角三角形． 方法二：①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，则延长BC 至点P 1，使得P 1C ＝BC ，得到等腰直角三角形△ACP 1，过点P 1作P 1M ⊥x 轴．∵CP 1＝BC ，∠MCP 1＝∠BCD ，∠P 1MC ＝∠BDC ＝90°， ∴△MP 1C ≌△DBC ，∴CM ＝CD ＝2，∴P 1M ＝BD ＝1，可求得点P 1(1，－1)； 经检验点P 1(1，－1)在抛物线221212-+=x x y 上，使得△ACP 1是等腰直角三角形． ②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作AP 2⊥CA ，且使得AP 2＝AC ，得到等腰直角三角形△ACP 2，过点P 2作P 2N ⊥y 轴，同理可证△AP 2N ≌△CAO ， ∴NP 2＝OA ＝2，AN ＝OC ＝1，可求得点P 2(2，1)， 经检验点P 2(2，1)也在抛物线221212-+=x x y 上，使得△ACP 2也是等腰直角三角形． 25．解：(1)AC 过圆心O ，且m ，n 分别切⊙O 于点A ，C ，如图①所示，第25题答图∴AC ⊥m 于点A ，AC ⊥n 于点C ，∴Q 与A 重合，R 与C 重合，OP ＝1，AC ＝4，3431111=+=+∴PR PQ ． (2)连结OA ，如图②所示，OP ⊥AC 于点P ，且OP ＝1，OA ＝2， ∴∠OAP ＝30°，∴AP ＝3．OA ⊥直线m ，PQ ⊥直线m ，∴OA ∥PQ ，∠PQA ＝90°，∴∠APQ ＝∠OAP ＝30°，∴在Rt △AQP 中，23=PQ ． 同理，23=PR ， 34323211=+=+∴PR PQ ． (3)猜想3411=+PR PQ 证明：过点A 作直径交⊙O 于点E ，连结CE ，如图③所示，∴ECA ＝90°． AE ⊥直线m ，PQ ⊥直线m ，∴AE ∥PQ 且∠PQA ＝90°．∴∠EAC ＝∠APQ ．∴△AEC ∽△P AQ ．①.APAE PQ AC =∴ 同理可得：∴②.PCAE PR AC = ①＋②，得 PCAE AP AE PR AC PQ AC +=+∴， PC AP AE PC AP AP PC AC AE PC AP AC AE PR PQ ⋅⋅⋅=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∴1111． 过点P 作直径交O 于点M ，N由阅读材料可知：AP ·PC ＝PM ·PN ＝3．3411=+∴PR PQ。