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2011高考数学总复习课件3.4 导数的综合应用

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高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件

高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件

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题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
高考数学(理科)人教版二轮复习课件：专题四 导数及其应用第2讲导数的综合应用

高考数学(理科)人教版二轮复习课件：专题四 导数及其应用第2讲导数的综合应用

专题四
导数及其应用
第2讲
导数的综合应用
专题四
导数及其应用
2016考向导航 历届高考考什 么？ 1.导数在研究函 数单调性中的 应用 2.导数在证明不 等式中的应用 3.导数在求函数 参数范围中的 应用 4.导数在求函数 最值中的应用 2015 卷Ⅱ，T21(1) 卷Ⅰ，T21(2) 卷Ⅱ，T21(2) 卷Ⅱ，T21(2) 卷Ⅰ，T21(2) 卷Ⅱ，T21 卷Ⅱ，T21(2) 三年真题统计 2014 2013 卷Ⅰ， T21(2)
栏目 导引
专题四
导数及其应用
1．已知函数 f(x)＝ x2＋ a(x＋ ln x)， a∈ R. (1)当 a＝－ 1 时，求 f(x)的单调区间； 1 (2)若 f(x)> (e＋ 1)a，求 a 的取值范围． 2
解： (1)由题意得 x∈ (0，＋∞ )， 当 a＝－1 时， f(x)＝ x2－ x－ ln x， 2 2x － x－ 1 ∴ f′(x)＝ . x 令 f′(x)<0，则 0<x<1； 令 f′(x)≥ 0，则 x≥ 1， ∴ f(x)的单调递减区间是(0， 1)， 单调递增区间是 [1，＋∞ )．
(1) 分离思想：将参数 ( 待定系数 ) 分离出来，研究函数的值 域； (2)数形结合思想：将原函数看作两个函数的“合成”，利用 图形关系求参数范围；
(3)分类讨论思想：根据导函数进行讨论．
栏目 导引
专题四
导数及其应用
e －e 设函数 f(x)＝ ， g(x)＝ x. 2 (1)若 h(x)＝f(x)－ kg(x)在 R 上是增函数， 求实数 k 的取值范围； (2)设 H(x)是 f(x)的导函数， 若 H(3x)－ tH(x)≥ 0， 求证： t≤ 4[f(x)]2 x －x ＋ 1. e －e 解： (1)由题意知 h(x)＝ － kx 得 2 e x＋e －x h′ (x)＝ － k(x∈ R)， 2 ∵ h(x)在 R 上是增函数， e x＋e －x 即 － k≥ 0 在 R 上恒成立． 2 e x＋e －x ∴ k≤ ， 2
导数综合复习(三)导数在研究函数中的应用 高考数学

导数综合复习(三)导数在研究函数中的应用 高考数学

高考数学综合复习
导数综合复习(三)
主讲人：某某某老师
某某学校
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
学校：________.班级：________.姓名：________.前言 导数是研究函数的变化趋势的一个工具，是初等数学与高等数学中比较常用的一个工具，是研究高等数学的基础。由变化率引出导数，借助导数，不仅可以研究一元函数，而且还可以研究多元函数。
【详解】法一：，当时，恒成立，此时在R上单调递增，不可能有两个零点，舍去，当时，令 则在上单调递减，在上单调递增，因为时，，时，，所以要使得有两个零点，则要 ，
，，，即，综上，若函数有两个零点，则；法二：，当时，，0不是函数的零点；当时，有两根，所以有两根，令，则，当时，，所以在上单调递减，且，
中学阶段，我们需要了解变化率和导数的定义，并通过研究导数的相关性质得出函数的单调性和极最值，体会导数问题的一般研究思路，掌握导数问题的基本研究方法。这一部分内容难度大、知识运用性强，是整个高中数学学习过程中最难的一部分，涉及的题型多，技巧多，思维跳跃性大，需要逐步进行分析，不能图快，一味放弃对难题的解答，需要重视相关思想的培养和训练，如函数思想、方程思想等。 作为高考数学中的一个最为重要内容，无论是哪个高考卷，选择填空和大题都经常能见到导数的身影，常用作选择，填空和大题的压轴题。常常考查函数的求导，构造函数法，高阶函数的求导，函数的
二、函数的极值与最大值
1.极值极小值 极大值 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有(或)，则称是函数的一个极大值(或极小值)。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，
高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值

高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值

可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定 义域分成若干个小开区间，并形成表格． (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的 符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不 可缺少，f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
导数的综合应PPT课件

导数的综合应PPT课件


又 f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2， f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－2 ln16， ∵e3>16，∴f12－f(2)>0，即 f12>f(2)． ∴f(x)在区间12，2上的最大值 f(x)max＝f12＝1－ln2.
综上可知，函数 f(x)在12，2上的最大值是 1－ln2，最小值是 0.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
考点2 利用导数证明不等式问题
例 2：已知函数 f(x)＝1－ axx＋lnx. (1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值范 围； (2)当 a＝1 时，求 f(x)在12，2上的最大值和最小值； (3)当 a＝1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn>12＋ 13＋14＋…＋1n.
解析：(1)∵f(x)＝1－ ax x＋lnx，∴f′(x)＝axa－x2 1(a>0)． ∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． 即 a≥1x对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≥1.
图4－3－3
关于导数的应用，课标要求 (1)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上 不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
高考数学一轮总复习教学课件第三章 一元函数的导数及其应用第3节 导数与函数的极值、最值

高考数学一轮总复习教学课件第三章 一元函数的导数及其应用第3节 导数与函数的极值、最值

(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根.
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+

sin 2x,则f(x)的最小值是
.

解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用 1导数的概念意义及运算课件

高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用 1导数的概念意义及运算课件

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
解：（1）切线方程可化为 .当时，.又 ，于是解得 故 .
（2）证明：设 为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为 ，即 .令，得 ，从而得切线与直线的交点坐标为， .令，得 ，
从而得切线与直线的交点坐标为 .所以点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为 .故曲线上任一点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
变式1（1） 若函数，则 的值为__.
解：.令，得，所以 ，则.故填 .
（2）设函数，且，则 ( )
A.0 B. C.3 D.
解：因为 ,所以 ,所以，解得 .故选B.
√
（3）设函数在内可导，且，则 ___.
2
解：（方法一）令，则，所以，即 .所以，所以 .（方法二）等式两边同时求导，得.令，得 .故填2.
复合函数
常用结论
1.导数的两条性质 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. （2）可导函数的导数为，若为增函数,则 的图象是下凹的；反之，若为减函数,则 的图象是上凸的.
2.几类重要的切线方程 （1）是曲线的切线，是曲线的切线， ,是曲线 的切线，如图1.
命题角度3 根据切线情况求参数
例4 （2022年新课标Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是___________________.
解：因为，所以 .设切点为,则,切线斜率 .切线方程为 .因为切线过原点，所以 ,整理得 .
因为切线有两条，所以 .解得或 .另解：由切线斜率,与 联立，可得 .所以的取值范围是 .故填 .
变式3（1） 若函数与 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 ________.
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用专题突破7导数的综合应用课件

高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用专题突破7导数的综合应用课件

2
2
0恒成立.
考点二 利用导数研究恒（能）成立问题
例2 已知函数 = ln , = − 2 − − 4 ∈ .
（1）求函数 的极值；
1
3
（2）若对任意 ∈ 0, +∞ ，不等式 > 恒成立，求的取值范围.
解：（1） 的定义域为 0, +∞ ,′ = ln + 1.
（2）证明:由（1）得，
要证 > 2ln
即证2
= −ln = (e−ln + ) + ln = 1 + 2 + ln .
3
+ ，
2
即证1 + + ln > 2ln
2
min
3
+ ，
2
1
2
− − ln > 0恒成立.
1
设 = − − ln > 0 ，
第二问
在综合性和应用性的层次上考查了逻辑推
理、数学抽象及数学运算等学科素养，转化
与化归、函数与方程、数形结合等数学思想
方法，运算求解、推理论证等关键能力，以
及导数在研究函数性质中的应用及等差数列
等必备知识.
解：（1） 的定义域为，′ = e − .
若 ≤ 0，则′ > 0，此时 无最小值，故 > 0.
当 < −ln 时，′ < 0，则 在 −∞, −ln 上单调递减；当 > −ln 时，
′ > 0，则 在 −ln , +∞ 上单调递增.
综上,当 ≤ 0时， 在上单调递减;当 > 0时， 在 −∞, −ln 上单调递减,在
北师版高考总复习文科数学精品课件 第3章导数及其应用 高考解答题专项一 第1课时 利用导数证明不等式

北师版高考总复习文科数学精品课件 第3章导数及其应用 高考解答题专项一 第1课时 利用导数证明不等式

g'(x)= =0,解得
x=1,
所以当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)是递增的,
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)是递减的.
所以g(x)max=g(1)=-2<0,
所以ln x-x-1<0恒成立,
即证f(x)<x2+x.
考向2.“拆分法”构造函数证明不等式
例2.(2021广东佛山高三模拟)已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R).
高考解答
题专项一
第1课时 利用导数证明不等式
考情分析
导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考
命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数
的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放
在解答题的最后两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个
x-1≥0 恒成立,
+1≤1,所以 k≥1.故 k 的取值范围为[1,+∞).
突破技巧导数的综合应用题中,最常见就是ex和ln x与其他代数式结合的题
目,对于这类问题,可以先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,便于化简或判断
导数的正负.常见的放缩公式如下:
(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时,等号成立;
2
突破技巧本例 2(2)不等式 e x >(x+1)ln
2 2
5
x+2x
直接证明无法进行,若转化后构
5
造函数 h(x)=e x -(x+1)ln x- x,求导后不易分析,故将不等式结合其特点转化
2
ln
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用

数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。

2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。

3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。

二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。

2. 求解函数极值与最值的方法。

3. 导数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。

2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。

四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。

2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。

3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。

2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。

3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

教案将继续编写后续章节，敬请期待。

六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。

2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。

3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。

七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。

2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。

3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。

八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。

2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第二单元第二节 函数的定义域与值域

2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第二单元第二节 函数的定义域与值域


1 5 - 0 1 2 4
2
故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-≦,1 ].
方法二:≧y=2x与 y - 1 - 2x 均为定义域上的增函数,
1 x | x 上的增函数, y 2 x 1 2 x 是定义域为 2 1 1 ≨ y max 2 - 1 - 2 1 ,无最小值. 2 2
8 ( x 2) 1
2
2
,
( x 2) 1 1, y 8, 显 然 y>0,
值 域 为 0， 8
令 （3） u x 2 x 1， 则 u 0, u ( x 1) 2


x 2x 0 9 x 0
2
故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3). 学后反思 求函数的定义域,先列出不等式或不等式组,然后求 出它们的解集,其准则一般是: (1)分式中,分母不为零;
(2)偶次方根中,被开方数非负;
(3)对于y= x ,要求x≠0;
0
(4)对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1;
2
（2 )y=
8
x
2
4x 5
2
；
(3) y
lg 1 ( x 2 x 1)
2
(4) y 1 2 x x
解析 （1）y
x
2
x ( x

m ax
1 2
)
2
1 4
y
2,
m in
y
1 4
, 值域为
1 2, 4
(2) y
1- t 2
2
(2)方法一:令 1 - 2x t(t 0), 则 x

《导数习题课》课件

详细描述
复合函数的导数是通过对中间变量求导，然后将结果代入到外层函数中求导得 到的。掌握复合函数的导数可以帮助我们解决一些复杂的函数问题，如求极值 、判断单调性等。
隐函数的导数
总结词
掌握隐函数的导数是解决隐函数问题 的关键。
详细描述
隐函数的导数是通过对等式两边同时 求导，然后解出对x的导数得到的。掌 握隐函数的导数可以帮助我们解决一 些涉及多个变量的问题，如求最值、 判断曲线的形状等。
THANKS
感谢观看
总结词
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质 。
详细描述
导数具有一系列重要的性质，包括连续性、可加性、可 乘性和链式法则等。连续性是指函数在某一点的导数等 于该点附近的极限值；可加性是指函数在两点之间的导 数等于两端点导数的和；可乘性是指函数与常数的乘积 的导数等于该常数与函数导数的乘积；链式法则是指复 合函数的导数等于复合函数内部函数的导数与外部函数 的导数的乘积。这些性质在研究函数的单调性、极值和 曲线的拐点等方面具有广泛应用。
导数与函数的最值的综合题
总结词
这类题目通常涉及到利用导 数研究函数的极值和最值，
解决最优化问题。
详细描述
这类题目要求熟练掌握导数 的计算方法和函数的极值判 定，能够利用导数研究函数 的极值和最值，解决最优化
问题。
示例
设函数$f(x) = x^{3} ax^{2} + bx$，若$f(x)$在$( - infty,0)$和$(2, + infty)$上 单调递增，在$(0,2)$上单调 递减，且$f(x)$在$x = 2$处 取得极小值，求$a,b$的值及 $f(x)$的最小值。
导数与函数的零点的综合题
总结词

高考(理科)导数的定义,极限,几何意义应用以及导数的综合应用(以2011年高考题为例题讲解经典)

导数及其应用（理）（一）导数导数的基本知识点：（一）．极限的基础知识:1.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 .（3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限 （1）1lim0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=.5.两个重要的极限（1）0sin lim1x x x →=； （2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…). 6.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦； (2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦; (3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±； (2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).基本方法和数学思想1.数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：C C n =∞→lim （C 为常数）；01lim=∞→nn ，0lim =∞→n n q （a <1,q为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S nn -==∞→1lim 1（0<1<q ）2.函数的极限：（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim（2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 0: （3）掌握函数极限的四则运算法则；3..函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续；（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4..初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→（二）导数的定义：1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='.例题讲解：求极限的方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m mm n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x例4、(1)1lim2n a n n a ∞++=+→，则a =例5、）已知函数f(x)= 23(0(0x x a x +≠⎧⎨=⎩当时）当时） ，点在x=0处连续，则2221lim x an a n n →∞+=+ .例6、（2007湖北理）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→A ．0B ．1C ．pqD ．11p q --练习：极限及其运算1.(1)5lim(7)10n n →∞-= ;(2)1lim n n n →∞+= ;(3)2(1)lim (1)n n nn →∞-+= ;(4)1lim ()2x x +→∞= ;(5)21lim()2x x →= ;(6)2211lim 21x x x x →---= ;(7) 24lim()1n n n n →∞--+= ;(8)32lim 32n n n n n →∞+-=;(9)1x →= ;(10)lim )x x +→∞= ;(11)111lim[(1)(1)(1)]23n n n→∞--⋅⋅⋅-= .2.设函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则0lim()x f x +→= ; 0lim ()x f x -→= ; 0lim ()x f x →= . 3.已知0a >,则1lim 1n n a →∞+= ;lim 1nnn a a →∞+= .4.下列说法正确的是 A,若()f x =,则lim ()0x f x →∞=; B若()f x 则1lim ()0x f x →=; C 若22()2x x f x x +=+,则2lim ()2x f x →-=-;D,若0)()1(0)x f x x x ≥=+<⎪⎩,则0lim ()0x f x →=.5.下列函数在1x =处没有极限的是A,32()1x x f x x -=- B,3()21g x x =+C,2(1)()0(1)x x h x x ≥⎧=⎨<⎩ D,1(1)()1(1)x x v x x x ->⎧=⎨-+<⎩导数的几何意义应用：一、知识点：1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是________________________________.2. 若函数)(x f y =在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线上点))(,(00x f x 处的切线方程是___________________________.3.曲线423+-=x x y 在点（1,3）处的切线的倾斜角为_______.4.曲线12++=x xe y x 在点（0,1）处的切线方程是_______________________.5.曲线2-=x xy 在点1=x 处的切线方程是______________________________. 例题：1.已知函数ax x x f +=32)(与c bx x g +=2)(的图像都过点P(2,0),且在点P 处有相同的切线。

《导数的综合应用》学案及解读


问 ：是否存在 实数 ｍ 使得不 等式 ａＥＡ及 ＇ｔ ｌ ｘ ｌ ｌ
【 学习方法】 “ 中学” 做 。
（ 一）内容提要
ｔ 【ｌ１ ∈ 一， 】恒成 立？若存在 ，求 ｍ
４ 、７ 、５ ，综合 提高 ９ ）是如 何灵 活地把不等式证明问题转化为研究
３ 情 感 目标 ：体 验 数 学 美 ， ． 培养乐于探索 的精 神 ，形成科学 、 严谨的研究态度。
∈Ｒ ）在 区间 卜ｌ１ ， 】上单调递增 。 １ ）求实 数 。的值 组成 的集 合
Ａ：
教材在 《 导数的综合应用》这
２ 关于 的方程 厂 ）＝ ）设 ＋ 节课共安排了三个例题和十三个习
拓在 区间 ［，】内单调递减 １ ４
９ ０
４ 已知函数 ） ． 乙似２３ － ① 若 ｆ ） 区间 【 ＋ ）上 在 ｌ＊ ，
本制定出来 ：要掌握函数 的单调性
与导数之间的关系 ，会将 函数的单
广东教育 ・ 教研 ２ ０ ０ ９年第 ５ 期
案
调性转化为不等式的恒成立 问题 ，
例
解
读
开 “ 中学” 做 ，又因为考虑到教学
结合思想，多次实践逐步培养乐于
会利用分离变量法将不等式的恒成 立问题转化为求 函数的最值 问题 ，
重点 是等 价转化 ，难 点是分 离变
探索的精神 ，形成科学 、严谨 的研
究态度。
３ 细节 设 计 六层 次 ．
用时的缘故 ，所 以在其前面带上
【 学习重点】含参数的函数单
调性的等价转化。
【 学习难点 】分 离变量法 、函
数的最值 比较 。
矿 的两个非零实根为
ｊ
： ，试

高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算


(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，

2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第18讲导数的综合应用


1 3
极大值
2 3
于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为 在 于是 上的最大值为 h(e
3 )= 2
e ，即b的最大值为 的最大值为
3 e 2
.
21
(2)证明：设F(x)=f(x)-g(x) 证明： 证明
1 2 = 2 x +2ax-3a2lnx-b(x>0), ( x a )( x + 3a ) 3a 2 = (x>0). x x
12
(2)用导数方法证明不等式 用导数方法证明不等式. 用导数方法证明不等式 其步骤一般是： 构造可导函数——研 其步骤一般是 ： 构造可导函数 研 究单调性或最值——得出不等关系 得出不等关系——整 究单调性或最值 得出不等关系 整 理得出结论. 理得出结论 (3)与几何图形相关的最值问题 根据几 与几何图形相关的最值问题.根据几 与几何图形相关的最值问题 何知识建立函数关系， 何知识建立函数关系 ， 然后用导数方法求 最值. 最值
则F′(x)=x+2a-
上为减函数,在 上为增函数, 故F(x)在(0,a)上为减函数 在(a,+∞)上为增函数 在 上为减函数 上为增函数 舍去).列表如下 由F′(x)=0，得x=a或=-3a(舍去 列表如下： ， 或 舍去 列表如下：
x F′(x) F(x) (0,a) a (0,+∞) +
0
1 有极大值点x=- ，极小值点 极小值点x=3. 故f(x)有极大值点 有极大值点 3 1
此时， 在 上是减函数， 此时，f(x)在[- ,3]上是减函数，在[3,+∞)上 上是减函数 上 3 是增函数. 是增函数
所以f(x)在 x∈[1,a]上的最小值是 在 ∈ 上的最小值是f(3)=-18,最 所以 上的最小值是 最 大值是f(1)=-6（这里 大值是 （这里f(a)=f(4)=-12<f(1)=-6).

高考数学试题分析及复习指导PPT课件


1.5 注重探索精神，体现开拓创新精神 对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查；在考试中创设
比较新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注重 问题的多样化，体现思维的发散性.精心设计考查数学主体内容， 体现数学素质的试题；反映数、形运动变化的试题；研究型、探索 型、开放型的试题.
“课本上教过的”(“显能”,晶体能力:受环境和经验的影响)的考 查,题目的设问、答案的要求等一般都比较确定,基本上限制在《教 学大纲》以内;“没有教过的”(“潜能”,流体能力:较少受环境的影响) 的考查,多采用开放性的、考生自己构思答案的做法.
且函数 y=f(x)的图象经过点 ( , 2) ，
4
（Ⅰ）求实数 m 的值； （Ⅱ）求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合.
(08 陕西题 17,满分 12 分)
已知函数 f (x) 2sin x cos x 2 3 sin2 x 3 .
44
4
（Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期及最值；
1.2 注重通性通法，强调数学思想方法 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽
象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知 识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解，要从学科整体意 义和思想价值立意，注．重．通．性．通．法．，淡．化．特．殊．技．巧．，有效地检测 考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．
1.2 根植课本开拓创新
近年的高考试卷上很多题目在课本上都能找到 原型,体现了源于课本又高于课本的命题理念.对课 本上的例题、习题进行加工、引申、改造，使之赋 予新的内涵.
2.强化理性思维,突出学科特点 数学的学科能力定义为数学地提出问题、分析
问题和解决问题的能力，数学探究能力，数学建模 能力，数学交流能力，数学实践能力，数学思维能 力.数学是一门思维的科学,学数学就是“想”数学， 体现了对数学的领悟能力.近几年考试加大改革的 力度,对思维能力考查强度加强,实践了 “深化数学 理性思维的考查”. 计算能力要求较强,试题难度也 有相应的体现.
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基础自测
1.已知曲线C:y=2x2-x3,点P(0,-4),直线l过点P且与 曲线C相切于点Q,则点Q的横坐标为 ( A ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析 y 4x3x2,设Q(x0,2x02 x03),则l方程为 y2x02 x03 (4x0 3x02)(xx0). l过点P(0,4), 42x02 x03 (4x0 3x02)(0x0),x03 x02 20, x03 1(x02 1) 0,(x0 1)(x02 2x0 2) 0, x0 1.
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3.函数的极值 求可导函数极值的步骤 求导数f′(x)→求方程_f_′__(_x_)_=_0的根→检验f′(x) 在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则 f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这 个根处取极小值).
4.函数的最值 求可导函数在［a,b］上的最值的步骤 求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比 较f(a)、f(b)的值和极__值___的大小.
由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是(-∞,t;x<2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2).
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(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
11 1 11n.故 C 选 . f(1 ) f(2 ) f(n ) n 1n 1
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4.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间
(a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,则以下式子
中一定成立的关系式是
(B )
A.f(a)<f(b)
B.f(a+1)>f(b-1 ) 2
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3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列
{ 1 } (n∈N*)的前n项和为
f (n)
(C )
A .n
Β .n 1 C .n
n 1
n
n 1
解析 ∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1
D .n 2 n 1
m 2
a 1 ∴f(x)=x2+x ∴f(n)=n2+n=n(n+1)
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f′(x) +
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题型分类 深度剖析
题型一 函数的极值与导数 【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,
-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极 值. 思维启迪 (1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关 于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单 调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值 点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.
2
图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式 f′(x)≤0的解集为[__13_,_1]___[2_,_3)_.
解析 由函数y=f(x)在定义 域 ( 3 ,3) 内的图象可得,函 数y=f2′(x)的大致图象如图
所示.由图象可得不等式 f′(x)≤0的解集为
[1,1][2,3). 3
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①确定函数f(x)的定义域; ②求导数f′(x); ③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当 f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增_函__数___;当f′(x) <0时,f(x)在相应的区间上是减__函__数___. 还可以通过列表,写出函数的单调区间. (2)在利用导数研究函数的单调性时,我们往往应用 以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若 f′(x)>0(或f′(x)<0),则函数f(x)在区间(a,b)内为 增函数(或减函数);若函数在闭区间［a,b］上连续, 则单调区间可扩大到闭区间［a,b］上.
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5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问 题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系式y=f(x); (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值 的大小,最大(小)者为最大(小)值.
C.f(a+1)>f(b-1)
D.f(a+1)>f(b-3 )
2 解析 因为f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满
足f′(x)<0,故f(x)在区间(a,b)上单调递减,
又 b-a2 ,a 1a21b1, 22
故f(a+1)>f(b- 1 ),故选B. 2
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5.函数y=f(x)在其定义域 ( 3 ,3) 内可导,其图象如
§3.4 导数的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理 1.曲线的切线方程
点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0)) 处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y_-__ f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0_)_(_x_-_x_0)_. 2.函数的单调性 (1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便, 但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是:
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2.函数f(x)=xcos x的导函数f′(x)在区间[-π,π]
上的图象大致是
(A )
解析 ∵f(x)=xcos x,∴f′(x)=cos x-xsin x. ∴f′(-x)=f′(x),∴f′(x)为偶函数,∴函数图象 关于y轴对称.由f′(0)=1可排除C、D选项.而 f′(1)=cos 1-sin 1<0,从而观察图象即可得到答 案为A.
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解 (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
得m-n=-3.
①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
而g(x)的图象关于y轴对称,所以2m6 0,
23
所以m=-3.代入①得n=0.
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).