高等数学第十一章第五讲、函数展开为麦克劳林级数

常见麦克劳林公式大全麦克劳林公式（Maclaurin series）是泰勒级数（Taylor series）的一种特殊形式。

它是一种将一个函数展开成无穷级数的表达方式，通过将函数在其中一点处的导数插入泰勒级数中，可以得到一个关于这个点附近的近似函数的级数表示。

在数学和物理学中，麦克劳林公式经常被用来求解复杂函数的近似值。

下面是一些常见的麦克劳林公式的展开形式。

1.指数函数的麦克劳林展开：e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+(x^4)/4!+...=Σ(x^n)/n!2.正弦函数的麦克劳林展开：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ... = Σ(-1)^n * (x^(2n+1))/(2n+1)!3.余弦函数的麦克劳林展开：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ... = Σ(-1)^n * (x^(2n))/(2n)!4.自然对数函数的麦克劳林展开：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... = Σ(-1)^(n-1) * (x^n)/n5.正切函数的麦克劳林展开：tan(x) = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + (17x^7)/315 + ... = ΣB2n * (x^(2n-1))/(2n)!6.反正切函数的麦克劳林展开：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ... = Σ(-1)^(n-1) * (x^(2n-1))/(2n-1)7.开方函数的麦克劳林展开：sqrt(1+x) = 1 + (x^2)/2 - (x^4)/8 + (x^6)/16 - ... = Σ(-1)^(n+1) * (x^(2n))/(2n)!8.指数函数的麦克劳林展开：(1+x)^p = 1 + px + (p(p-1)x^2)/2! + (p(p-1)(p-2)x^3)/3! + ... = Σ(p(p-1)...(p-k+1)x^k)/k!以上是一些常见的麦克劳林公式的展开形式。

麦克劳林级数展开式麦克劳林级数展开式，也叫泰勒级数展开式，是一种把一个函数表示为无限级数的方法。

这种方法在数学计算中，特别是在物理学和工程学领域中非常重要。

下面我们将逐步阐述麦克劳林级数展开式的原理和用途。

首先，我们需要知道什么是麦克劳林级数展开式。

麦克劳林级数展开式是一种用泰勒级数来表示一个函数的方法，其思路是将一个函数f(x)在某个点a处展开成一系列无限多项式:$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ 其中，$f^{(n)}(a)$表示函数f(x)在a点的n阶导数。

这里展开式中的无限多项式是指在幂级数中一直计算到无穷大。

第二步，我们需要知道麦克劳林级数展开式的公式。

这个公式实际上就是上面的展开式。

如果我们已经知道一个函数在某个点处的前n 阶导数，那么我们就可以写出它在这个点的麦克劳林级数展开式: $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+R_{n}(x)$其中，$R_{n}(x)$是余项，也叫拉格朗日余项，它由剩余的高阶项构成，通常写作：$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$其中c在a和x之间,即$\min(a,x)<c<\max(a,x)$。

第三步，我们需要知道麦克劳林级数展开式的应用。

麦克劳林级数展开式可以帮助我们求解一些复杂的函数，比如三角函数。

三角函数不是一条直线，很难计算。

但是，如果我们将它展开成无限级数，那么每一项都是一条简单的直线，并且可以方便地计算。

除此之外，还可以用麦克劳林级数展开式来近似计算一些常数，比如圆周率π，可以用函数$f(x) =\frac{1}{1+x^{2}}$展开成泰勒级数来逼近。

函数麦克劳林公式展开函数的麦克劳林公式展开，这可是数学里一个挺有趣但也有点让人头疼的知识点呢。

咱先来说说啥是麦克劳林公式展开。

简单来讲，它就是把一个复杂的函数用一系列简单的幂级数来表示。

比如说，一个函数 f(x) ，通过麦克劳林公式展开，就可以变成类似 f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! +f'''(0)x³/3! +... 这样的形式。

给大家举个例子吧，就说sin(x) 这个函数。

按照麦克劳林公式展开，它就是 sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! +... 。

这是不是还挺神奇的？我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，说：“老师，这也太复杂了，感觉像在变魔术。

”我笑着告诉他：“这可不是魔术，这是数学的魅力！”然后我就一步一步带着他们推导，看着他们从一开始的迷茫，到逐渐露出恍然大悟的表情，那种感觉真的太棒了。

那麦克劳林公式展开有啥用呢？它的用处可大啦！在计算函数的近似值、求极限、研究函数的性质等方面都能发挥大作用。

比如说，在工程计算中，如果需要快速得到一个函数的近似值，用麦克劳林公式展开就能轻松搞定。

再比如说，在研究函数的单调性、凹凸性的时候，通过麦克劳林公式展开，可以更清楚地看到函数的各项特征，从而做出准确的判断。

不过呢，要熟练掌握麦克劳林公式展开，可不能光靠死记硬背。

得理解每一项的含义，多做练习，才能真正把它运用自如。

就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但多骑几次，掌握了平衡的技巧，就能自由自在地驰骋啦。

总之，函数的麦克劳林公式展开虽然有点难度，但只要用心去学，你会发现其中的乐趣和奇妙之处。

相信大家都能攻克这个小难关，在数学的海洋里畅游！。

麦克劳林公式展开式
麦克劳林展开式如图所示：
函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中x0取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若f（x）在x=0处n阶连续可导。

copy 泰勒公式应用于数学、物理领域，一个百用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

扩展资料：
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函度数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

指数函数与对数函数的级数展开指数函数与对数函数是高等数学中常用的两类函数。

它们在数学、工程学、物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍指数函数和对数函数的级数展开，探讨它们的性质和应用。

一、指数函数的级数展开指数函数可以表示为级数的形式，即：e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} +\cdots这个级数称为自然指数函数的麦克劳林级数展开。

其中，e 是自然对数的底数，约等于2.71828。

通过级数展开，我们可以将指数函数近似地表示为多项式的形式。

为了理解级数展开的意义，我们可以考虑一个简单的例子。

假设我们要计算 e^0.5 的值，可以利用级数展开来近似计算：e^0.5 ≈ 1 + 0.5 + \frac{0.5^2}{2!} + \frac{0.5^3}{3!} + \frac{0.5^4}{4!} + \cdots通过将级数中的项相加，我们可以得到越来越接近e^0.5 的近似值。

当我们计算到一定的项数时，可以得到较为准确的结果。

这种级数展开的方法在科学计算中经常使用。

二、对数函数的级数展开对数函数可以表示为级数的形式，即：\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots这个级数称为自然对数函数的麦克劳林级数展开。

通过级数展开，我们可以将对数函数近似地表示为多项式的形式。

考虑一个例子，假设我们要计算 \ln(1.5) 的值，可以利用级数展开来近似计算：\ln(1.5) ≈ 1.5 - \frac{1.5^2}{2} + \frac{1.5^3}{3} - \frac{1.5^4}{4} +\cdots通过将级数中的项相加，我们可以得到越来越接近 \ln(1.5) 的近似值。

同样地，当我们计算到一定的项数时，可以得到较为准确的结果。

【最新整理，下载后即可编辑】第十一章无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin,cosxe x x，ln(1)x+和(1)aα+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin,cosxe x x，ln(1)x+和(1)aα+的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。

教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11. 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数:给定一个数列u1,u2,u3,⋅⋅⋅,u n,⋅⋅⋅,则由这数列构成的表达式u1+u2+u3+⋅⋅⋅+u n +⋅⋅⋅叫做常数项)无穷级数,简称常数项)级数,记为∑∞=1n nu,即3211⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅+++=∑∞=nnnuuuuu,其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和.级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim ,则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅ 叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数(几何级数) 20⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n aq aq aq a aq的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比.例1 讨论等比级数n n aq ∑∞=0(a ≠0)的敛散性.解 如果q ≠1, 则部分和qaq q a q aq a aqaq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12.当|q |<1时,因为q as n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为qa -1.当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散.如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当q =-1时, 级数n n aq ∑∞=0成为a -a +a -a + ⋅ ⋅ ⋅,时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0也发散.综上所述, 如果|q |<1, 则级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散.仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞=0a ≠0)收敛, 其和为qa -1.例2 证明级数 1+2+3+⋅ ⋅ ⋅+n +⋅ ⋅ ⋅ 是发散的.证 此级数的部分和为 2)1( 321+=+⋅⋅⋅+++=n n n s n .显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的.例3 判别无穷级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n的收敛性. 解 由于111)1(1+-=+=n n n n u n ,因此)1(1431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以这级数收敛, 它的和是1. 例3 判别无穷级数∑∞=+1)1(1n n n 的收敛性.解 因为)1(1431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n ,从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以这级数收敛, 它的和是1. 提示: 111)1(1+-=+=n n n n u n .二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .性质1 如果s u n n =∑∞=1, 则ks ku n n =∑∞=1.这是因为, 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21.这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s ±σ.性质2 如果s u n n =∑∞=1、σ=∑∞=1n n v , 则σ±=±∑∞=s v u n n n )(1.这是因为, 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为s n 、σn 、τn ,则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→σσ±=±=∞→s s n n n )(lim .性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.比如, 级数 )1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的,级数 )1(1 43132121110000⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+n n 也是收敛的,级数 )1(1 541431⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 也是收敛的.性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数1-1)+1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的.推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0=→n n u .性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则0lim 0=→n n u .证 设级数∑∞=1n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞→lim , 则0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n .应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例4 证明调和级数1 3121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=nn n 是发散的.例4 证明调和级数∑∞=11n n是发散的.证 假若级数∑∞=11n n收敛且其和为s , s n 是它的部分和.显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s .但另一方面,2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n nn n n n s s n n ,故0)(lim 2≠-∞→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n必定发散.§11. 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法正项级数:各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n}有界.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数,且u n≤v n(n=1, 2,⋅⋅⋅ ).若级数∑∞=1n nv收敛,则级数∑∞=1n nu收敛;反之,若级数∑∞=1n nu发散,则级数∑∞=1n nv发散.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数,且u n≤v n(k>0,∀n≥N).若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu收敛;若∑∞=1n nu发散,则∑∞=1n nv发散.设∑u n和∑v n都是正项级数,且u n≤kv n(k>0,∀n≥N).若级数∑v n 收敛,则级数∑u n收敛;反之,若级数∑u n发散,则级数∑v n发散.证设级数∑∞=1n nv收敛于和σ,则级数∑∞=1n nu的部分和s n=u1+u2+⋅⋅⋅+u n≤v1+v2+⋅⋅⋅+v n≤σ (n=1, 2, ⋅⋅⋅),即部分和数列{s n}有界,由定理1知级数∑∞=1n nu收敛.反之,设级数∑∞=1n nu发散,则级数∑∞=1n nv必发散.因为若级数∑∞=1 n nv收敛,由上已证明的结论,将有级数∑∞=1n nu也收敛,与假设矛盾.证仅就u n≤v n(n=1, 2,⋅⋅⋅ )情形证明.设级数∑v n收敛,其和为σ, 则级数∑u n 的部分和s n =u 1+ u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ + u n ≤v 1+v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界. 因此级数∑u n 收敛.反之, 设级数∑u n 发散, 则级数∑v n 必发散. 因为若级数 ∑v n 收敛, 由上已证明的结论, 级数∑u n 也收敛, 与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数 1 413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=pp p p p n n n的收敛性, 其中常数p >0. 例1 讨论p -级数)0( 11>∑∞=p np n 的收敛性.解 设p ≤1. 这时nn p 11≥,而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知,当p ≤1时级数pn n 11∑∞=发散.设p >1. 此时有]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s .所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知,级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散.解 当p ≤1时, nn p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知,当p ≤1时级数pn n 11∑∞=发散.当p >1时,]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n pn n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).而级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知,级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛.提示: 级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 的部分和为 111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s ,所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛.p -级数的收敛性: p -级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散.例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n ,而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的,根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果l v u nn n =∞→lim (0<l <+∞),则级数∑∞=1n n u 和级数∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果l v u nn n =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛;(2)如果+∞=>=∞→∞→nn n n n n v u l v u lim 0lim 或,且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 都是正项级数,(1)如果lim(u n /v n )=l (0≤l <+∞), 且∑v n 收敛, 则∑u n 收敛;(2)如果lim(u n /v n )=l (0<l ≤+∞), 且∑v n 发散, 则∑u n 发散.证明 由极限的定义可知, 对l 21=ε, 存在自然数N , 当n >N 时,有不等式l l v ul l n n 2121+<<-, 即n n n lv u lv 2321<<,再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数∑∞=11sin n n的收敛性.解因为111sin lim =∞→nn n ,而级数∑∞=11n n发散,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sin n n发散.例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n的收敛性.解因为11)11ln(lim 22=+∞→n n n ,而级数211n n ∑∞=收敛,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ:ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=+∞→nn n u u 1lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散. 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的.解 因为101lim 321)1( 321lim lim 1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n nn n ,根据比值审敛法可知所给级数收敛.例6 判别级数 10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性. 解因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数发散.例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性.解1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 解因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.提示: 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n , 比值审敛法失效.因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理5(根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:ρ=∞→n n n u lim ,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散. 定理5(根值审敛法, 柯西判别法)若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=∞→n n n u lim , 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散. 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=∞→n n n u lim ,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.例8 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn是收敛的. 并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n , 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r)1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n +nn n )1(1+=.例6判定级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性.解 因为21)1(221lim lim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6(极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞→∞→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞=1n n u 发散; (2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn, 则级数∑∞=1n n u 收敛. 例7 判定级数∑∞=+12)11ln(n n的收敛性.解 因为)(1~)11ln(22∞→+n nn, 故11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→nn nn u n n n n n ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例8 判定级数)cos 1(11nn n π-+∑∞=的收敛性.解 因为222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如, 1)1(11∑∞=--n n n是交错级数,但 cos 1)1(11∑∞=---n n nn π不是交错级数.定理6（莱布尼茨定理） 如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅); (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足: (1)1+≥n n u u ; (2)0lim =∞→n n u , 则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1.简要证明: 设前n 项部分和为s n .由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n <u 1), 所以收敛. 设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n <u 1.因为 |r n |=u n +1-u n +2+⋅ ⋅ ⋅也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n收敛, 并估计和及余项.证 这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), (2)01lim lim ==∞→∞→nu n n n ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:若级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例10 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--111)1(n n n是条件收敛的.定理7 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.值得注意的问题:如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散.但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散,则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散.这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例11 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性. 解因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的,所以级数∑∞=12|sin |n nna 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n nna 绝对收敛. 例12 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性.解: 由2)11(21||n n n nu +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e nu n n n n n ,可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅ 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .收敛点与发散点:对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点.若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s .∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ).这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ). 在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )→s (x )(n →∞) . 余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ).在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n . 二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x .注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.提示: ∑a n x n 是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛点,即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→n n n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=.因为当|x |<|x 0|时,等比级数n n x x M ||00⋅∑∞=收敛,所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛,也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明 设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n →0(n →∞) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为nn n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=,而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||0⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n |收敛, 也就是级数∑a n x n绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛,则根据本定理的第一部分,级数当x=x0时应收敛,这与所设矛盾.定理得证.推论如果级数∑∞=0nn nxa不是仅在点x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,使得当|x|<R时,幂级数绝对收敛;当|x|>R时,幂级数发散;当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间:正数R通常叫做幂级数∑∞=0nn nxa的收敛半径.开区间(-R,R)叫做幂级数∑∞=0nn nxa的收敛区间.再由幂级数在x=±R处的收敛性就可以决定它的收敛域.幂级数∑∞=0nn nxa的收敛域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一.规定:若幂级数∑∞=0nn nxa只在x=0收敛,则规定收敛半径R=0 ,若幂级数∑∞=0nn nxa对一切x都收敛,则规定收敛半径R=+∞,这时收敛域为(-∞, +∞).定理2如果ρ=+∞→||lim 1nn n a a, 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a, 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为:当ρ≠0时ρ1=R , 当ρ=0时R =+∞, 当ρ=+∞时R =0.简要证明:|| ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→.(1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ1=R . (2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞. (3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0. 例1 求幂级数 )1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n的收敛半径与收敛域.例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域.解因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1,1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解因为0)!1(!lim !1)!1(1lim ||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n nρ,所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n nn n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛.例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n n x n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R .提示:2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n xn n xn n x u x u n n n n +++=++=++.例5求幂级数∑∞=-12)1(n nnnx 的收敛域.解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n n n t .因为21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n, 此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n n nt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有 加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,减法:∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有 加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+(a 0b n +a 1b n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n b 0)x n + ⋅ ⋅ ⋅性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xnn xn nn xx n a dx x a dx xa dx x s (x ∈I ),逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导,并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续. 性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xnn x n nn xx n a dx x a dx xa dx x s (x ∈I ),逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1).设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1.在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001.对上式从0到x 积分, 得)1ln(11)(0x dx xx xs x --=-=⎰.于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=.从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx x dx x x x n n --=-==⎰⎰∑∞=,所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x xx s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1).设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1).显然S (0)=1. 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)()11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx x dx x x x n n ,所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=.从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x xx s .由和函数在收敛域上的连续性, 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x . 综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s . 提示: 应用公式)0()()(0F x F dx x F x -='⎰, 即⎰'+=x dx x F F x F 0)()0()(.11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.例7 求级数∑∞=+-01)1(n n n 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n n x n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和 函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n n n s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n .§11. 4 函数展开成幂级数 一、泰勒级数要解决的问题: 给定函数f (x ), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f (x ). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f (x )在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f (x )能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f (x ). 泰勒多项式: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f (x )近似等于)(!2)())(()()(200000⋅⋅⋅+-''+-'+=x x x f x x x f x f x f)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间).泰勒级数: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ ,f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , 则当n →∞时, f (x )在点x 0的泰勒多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 成为幂级数)(!3)()(!2)())(()(300200000⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+x x x f x x x f x x x f x f )(!)(00)(⋅⋅⋅+-+n n x x n x f 这一幂级数称为函数f (x )的泰勒级数. 显然, 当x =x 0时, f (x )的泰勒级数收敛于f (x 0).需回答的问题: 除了x =x 0外, f (x )的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f (x )?定理 设函数f (x )在点x 0的某一邻域U (x 0)内具有各阶导数, 则f (x )在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f (x )的泰勒公式中的余项R n (x )当n →0时的极限为零, 即))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→.证明 先证必要性. 设f (x )在U (x 0)内能展开为泰勒级数, 即 )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f ,又设s n +1(x )是f (x )的泰勒级数的前n +1项的和, 则在U (x 0)内s n +1(x )→ f (x )(n →∞).而f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是R n (x )=f (x )-s n +1(x )→0(n →∞).再证充分性. 设R n (x )→0(n →∞)对一切x ∈U (x 0)成立.因为f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是s n +1(x )=f (x )-R n (x )→f (x ),即f (x )的泰勒级数在U (x 0)内收敛, 并且收敛于f (x ).麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x 0=0, 得⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+ !)0( !2)0()0()0()(2n n x n f x f x f f ,此级数称为f (x )的麦克劳林级数.展开式的唯一性: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f (x )的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f (x )在点x 0=0的某邻域(-R , R )内能展开成x 的幂级数, 即f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ ,那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有f '(x )=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+na n x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ ,f ''(x )=2!a 2+3⋅2a 3x + ⋅ ⋅ ⋅ + n ⋅(n -1)a n x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ ,f '''(x )=3!a 3+ ⋅ ⋅ ⋅+n ⋅(n -1)(n -2)a n x n -3 + ⋅ ⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅f (n )(x )=n !a n +(n +1)n (n -1) ⋅ ⋅ ⋅ 2a n +1x + ⋅ ⋅ ⋅ ,于是得a 0=f (0), a 1=f '(0), !2)0(2f a ''=, ⋅ ⋅ ⋅, !)0()(n f a n n =, ⋅ ⋅ ⋅. 应注意的问题: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这个幂级数就是f (x )的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f (x )的麦克劳林级数在点x 0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f (x ). 因此, 如果f (x )在点x 0=0处具有各阶导数, 则f (x )的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f (x )却需要进一步考察.二、函数展开成幂级数展开步骤:第一步 求出f (x )的各阶导数: f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ .第二步 求函数及其各阶导数在x =0 处的值:f (0), f '(0), f ''(0), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )( 0), ⋅ ⋅ ⋅ .第三步 写出幂级数!)0( !2)0()0()0()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+n n x n f x f x f f ,并求出收敛半径R .第四步 考察在区间(-R , R )内时是否R n (x )→0(n →∞).1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ 是否为零. 如果R n (x )→0(n →∞), 则f (x )在(-R , R )内有展开式!)0( !2)0()0()0()()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+=n n x n f x f x f f x f (-R <x <R ).例1 将函数f (x )=e x 展开成x 的幂级数.解 所给函数的各阶导数为f (n )(x )=e x (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 因此f(n )(0)=1(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 于是得级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !1 !2112n x n x x ,它的收敛半径R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有)!1(|| |)!1(| |)(|1||1+⋅<+=++n x e x n e x R n x n n ξ, 而0)!1(||lim 1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式 )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x .例2 将函数f (x )=sin x 展开成x 的幂级数.解 因为)2sin()()(π⋅+=n x x f n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 所以f (n )(0)顺序循环地取0, 1, 0, -1, ⋅ ⋅ ⋅ ((n =0, 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 于是得级数⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n ,它的收敛半径为R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有 )!1(|| |)!1(]2)1(sin[| |)(|11+≤+++=++n x x n n x R n n n πξ→0 (n →∞).因此得展开式)( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n .)( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x . 例3 将函数f (x )=(1+ x )m 展开成x 的幂级数, 其中m 为任意常数. 解: f (x )的各阶导数为f '(x )=m (1+x )m -1,f ''(x )=m (m -1)(1+x )m -2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,f (n )(x )=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1)(1+x )m -n ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,所以 f (0)=1, f '(0)=m , f ''(0)=m (m -1), ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(0)=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1), ⋅ ⋅ ⋅于是得幂级数!)1( )1( !2)1(12⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++n x n n m m m x m m mx . 可以证明)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m .间接展开法:例4 将函数f (x )=cos x 展开成x 的幂级数.解 已知)!12()1( !5!3sin 12153⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--n x x x x x n n (-∞<x <+∞).对上式两边求导得)( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n .例5 将函数211)(xx f +=展开成x 的幂级数. 解 因为)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , 把x 换成-x 2, 得)1( 1112422⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=+n n x x x x (-1<x <1). 注: 收敛半径的确定: 由-1<-x 2<1得-1<x <1.例6 将函数f (x )=ln(1+x ) 展开成x 的幂级数.解 因为xx f +='11)(, 而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x (-1<x <1)的和函数:)1( 11132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+n n x x x x x. 所以将上式从0到x 逐项积分, 得)11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n .解: f (x )=ln(1+x )⎰⎰+='+=x x dx xdx x 0011])1[ln( ∑⎰∑∞=+∞=+-=-=01001)1(])1([n n n x n n n n x dx x (-1<x ≤1).上述展开式对x =1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x =1时收敛, 而ln(1+x )在x =1处有定义且连续.例7 将函数f (x )=sin x 展开成)4(π-x 的幂级数. 解 因为)]4sin()4[cos(22)]4(4sin[sin ππππ-+-=-+=x x x x ,并且有 )( )4(!41)4(!211)4cos(42+∞<<-∞⋅⋅⋅--+--=-x x x x πππ, )( )4(!51)4(!31)4()4sin(53+∞<<-∞⋅⋅⋅--+---=-x x x x x ππππ, 所以 )( ] )4(!31)4(!21)4(1[22sin 32+∞<<-∞⋅⋅⋅+-----+=x x x x x πππ.例8 将函数341)(2++=x x x f 展开成(x -1)的幂级数. 解 因为)411(81)211(41)3(21)1(21)3)(1(1341)(2-+--+=+-+=++=++=x x x x x x x x x f ∑∑∞=∞=-----=004)1()1(812)1()1(41n n n n n n n n x x)31( )1)(2121()1(0322<<----=∑∞=++x x n n n n n . 提示: )211(2)1(21-+=-+=+x x x ,)411(4)1(43-+=-+=+x x x .∑∞=<-<---=-+0)1211( 2)1()1(2111n n n n x x x , ∑∞=<-<---=-+0)1411( 4)1()1(4111n n n n x x x ,收敛域的确定: 由1211<-<-x 和1411<-<-x 得31<<-x .。

常见麦克劳林公式大全麦克劳林公式是数学中的一种方法，用于将任何光滑函数展开为无穷级数的形式。

这种方法在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。

下面是一些常见的麦克劳林公式：1.正弦函数的麦克劳林展开：sin(x) = x - (x^3) / 3! + (x^5) / 5! - (x^7) / 7! + ...2.余弦函数的麦克劳林展开：cos(x) = 1 - (x^2) / 2! + (x^4) / 4! - (x^6) / 6! + ...3.指数函数的麦克劳林展开：e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+...4.自然对数函数的麦克劳林展开：ln(1+x) = x - (x^2) / 2 + (x^3) / 3 - (x^4) / 4 + ...5.正切函数的麦克劳林展开：tan(x) = x + (x^3) / 3 + (2x^5) / 15 + (17x^7) / 315 + ...6.反正切函数的麦克劳林展开：arctan(x) = x - (x^3) / 3 + (x^5) / 5 - (x^7) / 7 + ...7.正弦超越函数的麦克劳林展开：sinh(x) = x + (x^3) / 3! + (x^5) / 5! + (x^7) / 7! + ...8.余弦超越函数的麦克劳林展开：cosh(x) = 1 + (x^2) / 2! + (x^4) / 4! + (x^6) / 6! + ...9.指数超越函数的麦克劳林展开：ex = 1 + x + (x^2) / 2! + (x^3) / 3! + ...10.自然对数超越函数的麦克劳林展开：ln(1+x) = x - (x^2) / 2 + (x^3) / 3 - (x^4) / 4 + ...这些展开式是麦克劳林公式的一些典型例子，它们在数学和科学中被广泛应用。

通过麦克劳林公式，我们可以将一个复杂的函数转化为无穷级数的形式，从而便于计算和近似。

高考数学冲刺复习麦克劳林公式考点速查在高考数学的冲刺复习阶段，麦克劳林公式作为一个重要的考点，需要我们给予足够的重视和深入的理解。

麦克劳林公式是数学分析中的一个重要工具，对于解决函数的极限、导数以及级数等问题都有着关键的作用。

一、麦克劳林公式的定义及基本形式麦克劳林公式是泰勒公式在 x ＝ 0 处的特殊形式。

若函数 f(x) 在 x ＝ 0 处 n 阶可导，则其麦克劳林公式为：f(x) ＝ f(0) ＋ f'（0)x ＋ f'＇（0)x²/2! ＋ f'＇＇（0)x³/3! ＋＋fⁿ(0)xⁿ/n! ＋ Rn(x)其中 Rn(x) 为余项，当 n 趋于无穷大时，若余项 Rn(x) 趋于 0，则函数 f(x) 可以展开为幂级数。

常见函数的麦克劳林公式有：e^x ＝ 1 ＋ x ＋ x²/2! ＋ x³/3! ＋＋xⁿ/n! ＋sin x ＝ x x³/3! ＋ x⁵/5! x⁷/7! ＋cos x ＝ 1 x²/2! ＋ x⁴/4! x⁶/6! ＋（1 ＋ x)＾α ＝ 1 ＋αx ＋α(α 1)x²/2! ＋α(α 1)（α 2)x³/3! ＋二、麦克劳林公式的应用1、求函数的极限麦克劳林公式在求某些函数的极限时非常有用。

通过将函数展开为麦克劳林级数，可以将复杂的函数形式简化，从而更方便地计算极限。

例如，求极限lim(x→0) （e^x 1 x) ／ x²。

我们将 e^x 展开为麦克劳林级数：e^x ＝ 1 ＋ x ＋ x²/2! ＋ x³/3! ＋，则原式可化为：lim(x→0) （1 ＋ x ＋ x²/2! ＋ x³/3! ＋） 1 x ／ x²＝lim(x→0)（x²/2! ＋ x³/3! ＋）／ x²＝ 1/22、求函数的导数利用麦克劳林公式可以间接求出函数的高阶导数。

麦克劳林级数展开式公式麦克劳林级数展开式公式，这可是数学领域里一个相当重要的概念。

咱先来说说啥是麦克劳林级数展开式公式。

简单来讲，它就是把一个复杂的函数用幂级数的形式来表示。

这就好比把一个神秘的大怪兽拆解成一个个容易理解和处理的小零件。

比如说，咱们常见的函数像 e^x、sin x 、cos x 等等，都能通过麦克劳林级数展开式公式变得更加亲切和容易琢磨。

我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着回答他：“就像你搭积木，把复杂的形状拆成一块块简单的积木，不就好拼了嘛！”那咱们来具体瞅瞅麦克劳林级数展开式公式是咋来的。

它其实是泰勒级数在 x = 0 处的特殊情况。

对于函数 f(x)，它的麦克劳林级数展开式就是 f(0) + f'(0)x +(f''(0)/2!)x^2 + (f'''(0)/3!)x^3 + …… 这里的 f'(0) 表示函数 f(x) 在 x = 0 处的一阶导数，f''(0) 是二阶导数，以此类推。

比如说，e^x 的麦克劳林级数展开式就是 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!)+ …… 你看，原本神秘的 e^x ，通过这个公式，就变得清晰可见，咱们能更好地理解它的性质和变化。

再说说 sin x 的麦克劳林级数展开式，那就是 x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + …… 这个展开式在解决很多数学问题和物理问题的时候，那可是大显身手。

给大家举个例子吧。

有一次我带着学生们做一道物理题，题目是要计算一个简谐振动的位移。

如果直接用原始的函数来计算，那可太复杂了。

但是当我们把相关的函数用麦克劳林级数展开式进行近似，问题一下子就变得简单多啦。

学生们恍然大悟，原来这个公式这么有用！在实际应用中，麦克劳林级数展开式公式用处可多了去了。

常见麦克劳林公式大全麦克劳林公式是数学中的一种重要工具，用于将一个函数表示为幂级数的形式。

它的应用广泛，可以用于求解微积分、解析几何等领域的问题。

在本文中，我们将介绍常见的麦克劳林公式，以及它们的推导和应用。

一、常数函数的麦克劳林公式常数函数f(x) = C的麦克劳林公式非常简单，它的幂级数展开形式为：f(x) = C二、一次函数的麦克劳林公式一次函数f(x) = ax + b的麦克劳林公式也比较容易得到，其幂级数展开形式为：f(x) = ax + b三、幂函数的麦克劳林公式幂函数f(x) = x^n的麦克劳林公式可以通过泰勒级数展开来求得，展开后的形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...四、指数函数的麦克劳林公式指数函数f(x) = e^x的麦克劳林公式也可以通过泰勒级数展开来求得，展开后的形式为：f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...五、三角函数的麦克劳林公式常见的三角函数有正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数f(x) = cos(x)。

它们的麦克劳林公式可以通过泰勒级数展开来求得，展开后的形式分别为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...六、对数函数的麦克劳林公式对数函数f(x) = ln(x)的麦克劳林公式也可以通过泰勒级数展开来求得，展开后的形式为：ln(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - (x-1)^4/4 + ...七、其他函数的麦克劳林公式除了上述常见函数的麦克劳林公式外，还有一些特殊函数的麦克劳林公式，如双曲函数、阶乘函数等。

麦克劳林级数公式
麦克劳林级数公式，是一个强大的数学工具，用于求解各种函数的近似值。

它允许我们将一个函数表示为一个无穷级数的形式，使得我们可以用有限项来近似计算函数值。

这个公式的发现者是18世纪的苏格兰数学家约翰·麦克劳林。

在数学上，很多函数都很难求解，比如三角函数、指数函数和对数函数等。

但是，如果我们把这些函数展开成无穷级数的形式，就可以用有限项来近似计算它们的值。

麦克劳林级数公式就是将一个函数展开成无穷级数的形式，然后通过截取有限项来近似计算函数值。

麦克劳林级数公式可以用如下的形式表示：
f(x)=∑n=0∞(f(n)(a)/n!)(x-a)^n
其中，f(n)(a)代表函数f(x)在点x=a处的n阶导数。

n!代表n的阶乘。

在这个级数中，x-a是(x-a)的n次方，它表示函数在点a处的偏移量，而(f(n)(a))/n!则表示函数在点a处的导数与阶乘的比值。

将其所有的项加起来，就得到了该函数展开成的级数。

麦克劳林级数公式的应用非常广泛，仅举几个例子：
1、近似计算数学常数e、sin、cos、ln等函数的值；
2、在求解微积分问题时，使用级数展开代替函数本身，可以简化求解过程，并且能够在一定程度上保证结果的准确性；
3、用于数值求解微分方程，可以将微分方程变成一个级数求解，从而简化求解过程。

总之，麦克劳林级数公式是一个非常重要的数学工具，它在各种数据分析、计算机仿真、数学模型以及科学研究中有着广泛的应用，对于深入理解数学规律、进行数学计算、求解科学问题等都有着重要的作用。

麦克劳林公式汇总
麦克劳林公式是一种用于近似计算复杂函数的方法，该公式将函数展开成幂级数。

以下是麦克劳林公式的一些常用形式：
1. 麦克劳林级数展开：
若函数f(x)在区间[a, b]上具有n+1阶连续导数，则可以将
f(x)展开为麦克劳林级数：
f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + f''(c)(x-c)^2/2! + ... + f^n(c)(x-c)^n/n! + R_n(x)
其中，c是区间[a, b]中的某一点，R_n(x)是余项，评估了级数的误差。

2. 麦克劳林公式的特殊情况包括：
- 正弦函数展开：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
- 余弦函数展开：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
- 指数函数展开：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
- 自然对数展开：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
- 幂函数展开：(1+x)^n = 1 + nx + n(n-1)x^2/2! + n(n-1)(n-
2)x^3/3! + ...
这些展开式可以在计算中用于近似计算复杂函数的值。

3. 麦克劳林公式的应用：
麦克劳林公式可以用于近似计算函数在某一点的值，特别是当函数难以直接计算或者计算较为繁琐时。

通过截取麦克劳林级数的有限项，就可以得到函数的近似值。

需要注意的是，麦克劳林公式仅在展开点附近有效，对于函数可能存在的奇点或者区间边界，需要进行适当的修正和评估。