(word完整版)江苏省苏州市2019届高三第一学期期末考试数学试卷

2018-2019学年度高三上学期期末考试卷数学（理科）试题第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,,选B2.复数（为虚数单位）的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以虚部是，故选D。

3.当时，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 15C. 31D. 63【答案】C【解析】由程序框图可知，，，退出循环，输出的值为，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（）A. 15B. 16C. 18D. 20【答案】A【解析】设公比为，则等价于，故，所以，选A.5.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∴．选A．6.设，分别是正方形的边，上的点，且，，如果（，为实数），则的值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，∴，．∴．故选．7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（）A. B. 61 C. 62 D. 73【答案】C【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是1、4的正方形；前、后两个侧面是上底为1，下底为4，高为4的梯形；左、右两个侧面是上底为1，下底为4，高为5的梯形．其表面积为．选C．8.设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】满足不等式组的可行域如图所示∵阴影部分满足不等式组的平面区域，联立解得∴点联立解得∴点∵直线恒过点∴∵观察图像可知，当直线在和之间时，才会存在内的点∴故选A点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.已知，为的导函数，则的图像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，为奇函数，图象关于原点对称，排除，又，可排除，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10.已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，由图可知，得或，所以和各有两个解。

十三、直线与圆的方程（一）试题细目表（二）试题解析1.（南通泰州期末·13）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为.【答案】2.（无锡期末·10）过圆2216x y +=内一点(2,3)P -作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB CD =，则四边形ACBD 的面积为．【答案】193.（镇江期末·11）已知圆 C 与圆2+y 2+10+10y =0相切于原点，且过点A (0,-6)，则圆 C 的标准方程为【答案】(+3)2+(y+3)2=184.（南京盐城期末·12）.在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为．【答案】7.（苏州期末·11）在平面直角坐标系Oy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直线+y = 1相切，且圆心在直线y =-2上，则圆C 的标准方程为．【答案】22(1)(2)2x y -++= 8.（苏北四市期末·12）在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则的取值范围是．【答案】1]十四、圆锥曲线（一）试题细目表1.（南通泰州期末·7）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为.【答案】652.（无锡期末·11）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆2211612x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为．【答案】83.（镇江期末·5）已知双曲线1222=-y ax 左焦点与抛物线x y 122-=的焦点重合，则双曲线的右准线方程为 【答案】83x =4.（扬州期末·10）在平面直角坐标系Oy 中，若双曲线22a x -22b y =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆2+y 2-6y+5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________.【答案】3(1,)25.（常州期末·9）在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率的取值范围是．【答案】 6.（南京盐城期末·6）.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为． 【答案】67.（苏州期末·3）在平面直角坐标系Oy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为． 【答案】(2,0)- 8.（苏北四市期末·6）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为．十五、解析几何综合题（一）试题细目表（二）试题解析1.（南通泰州期末·17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为2，两条准线之间的距离为42.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】【解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，2c a =，22ac =解得2a =，c =b =.所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=， 所以2AB AM =， 所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以(2,0)A -.设00(,)M x y ，则00(22,2)B x y +.所以22089x y +=①，2200(22)(2)142x y ++=②，由①②得200918160x x --=，解得023x =-，083x =（舍去）. 把023x =-代入①，得023y =±， 所以12AB k =±， 因此，直线AB 的方程为1(2)2y x =±+即220x y ++=，220x y -+=. 方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为(2)y k x =+.由221,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=， 所以22(2)[(12)42]0x k x k +++-=，解得222412B k x k-=+， 所以22(2)4212B M x k x k +--==+，22(2)12M M k y k x k =+=+， 代入2289x y +=得22222428()()12129k k k k -+=++， 化简得422820k k +-=，即22(72)(41)0k k +-=，解得12k =±， 所以，直线AB 的方程为1(2)2y x =±+即220x y ++=，220x y -+=.2.（无锡期末·18）已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，12,F F 分别为左，右焦点，,A B 分别为左，右顶点，原点O 到直线BD的距离为3设点P 在第一象限，且PB x ⊥轴，连接PA 交椭圆于点C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程； （3）求过点,,B C P 的圆方程（结果用t 表示）.【答案】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，所以222a c =，b c =， 所以直线DB的方程为2y x b =-+， 又O 到直线BD的距离为3=，所以1b =，a =所以椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）设)P t ，0t >， 直线PA的方程为y x =，由2212x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2222(4)280t x x t +++-=，解得：C x =，则点C的坐标是24)4tt+， 因为三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，所以三角形AOC 的面积等于三角形BPC 的面积，2214244AOC t S t t ∆==++，23221)244PBCS t t t∆=⨯⨯=++，则32244t t =+，解得t =. 所以直线PA的方程为20x y -+=.（3）因为B，)P t，2224(,)44tC t t++， 所以BP 的垂直平分线2ty =， BC的垂直平分线为2224t y x t =-+， 所以过,,B C P三点的圆的圆心为2)2t， 则过,,B C P三点的圆方程为222(()2t x y +-42222(4)4t t t =++，即所求圆方程为22224x x y t +-++2804ty t -+=+.3.（镇江期末·18）如图，在平面直角坐标系 Oy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为22，左焦点F (-2,0) ，直线l y =t 与椭圆交于A , B 两点，M 为椭圆上异于A , B 的点. （1）求椭圆E 的方程；（2）若()1,6--M ，以AB 为直径的圆P 过M 点，求圆P 的标准方程； （3）设直线MA ,MB 与y 轴分别交于C ,D ，证明：OC ⋅OD 为定值.【答案】（1）因为c e a ==，且2c =，所以2a b ==， 所以椭圆E 的方程为22184x y +=. (2)设(,)A s t ，则(,)B s t -，且2228s t +=①因为以AB 为直径的圆P 过M 点，所以MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅=又(6,1),(1)MA s t MB s t =++=-++，所以226(1)0s t -++=②由①②解得：13t =，或1t =-（舍），所以2709s =. 又圆P 的圆心为AB 的中点(0,)t ，半径为2ABs =， 所以圆P 的标准方程为22170()39x y +-=. (3)设M 00(,)x y ，则MA l 的方程为0000()t y y y x x s x --=--，若不存在，显然不符合条件.令0x =得000c tx sy y s x -=-；同理000D tx sy y s x --=-- 所以222200000022000c D tx sy tx sy t x s y OC OD y y s x s x s x ----⋅=⋅=⋅=---- 222222000222200(82)(82)884(82)(82)22t y t y t y y t t y ----===----为定值.4.（扬州期末·18）已知椭圆E 1：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），若椭圆E 2：22ma x +22mb y =1（a ＞b ＞0，m ＞1），则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”.(1) 求经过点(2,1)，且与椭圆E 1：22x +y 2=1“相似”的椭圆E 2的方程；(2) 若m=4，椭圆E 1的离心率为22，P 在椭圆E 2上，过P 的直线 交椭圆E 1于A ,B 两点，且， ①若B 的坐标为(0,2)，且 ，求直线l 的方程； ②若直线OP ,OA 的斜率之积为21-，求实数 的值.【答案】解：⑴设椭圆2E 的方程为2212x y m m +=，代入点得2m =， 所以椭圆2E 的方程为22142x y +=………3分 ⑵因为椭圆1E的离心率为2，故222ab =，所以椭圆2221:22E x y b +=又椭圆2E 与椭圆1E “相似”，且4m =，所以椭圆2221:28E x y b +=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，①方法一：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，将直线:2l y kx =+，代入椭圆221:28E xy +=得22(12)80k x kx ++=，解得1228,012kx x k -==+，故212224,212k y y k -==+， 所以222824(,)1212k k A k k --++………5分 又2AP AB =，即B 为AP 中点，所以2228212(,)1212k k P k k +++，………6分 代入椭圆222:232E x y +=得222228212()2()321212k k k k ++=++， 即4220430kk +-=，即22(103)(21)0k k -+=，所以k =±所以直线l的方程为2y x =+………8分 方法二：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，222:232E x y +=设(,),(0,2)A x y B ，则(,4)P x y --，代入椭圆得2222282(4)32x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得12y =，故x =±6分所以k =±所以直线l的方程为2y x =+………8分 ②方法一：由题意得22222222200112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，010112y y x x ⋅=-，即010120x x y y +=， AP AB λ=，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩………12分所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=所以222228(1)22bb b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=.………16分方法二：不妨设点P 在第一象限，设直线:(0)OP y kx k =>，代入椭圆2222:28E x y b +=，解得0x =0y =，直线,OP OA 的斜率之积为12-，则直线1:2OA y x k =-，代入椭圆2221:22E x y b +=，解得1x =1y =AP AB λ=，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=所以2222282(((1)22bb b λλλ+-++-⋅=，即222228(1)22bb b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=5.（常州期末·18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于N M ,两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点．已知MN AM ⊥，且243OA OM b ⋅=．（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POF S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程． 【答案】解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得2122ab x a x c =-=-，， 所以22(,0)M ab x a c =-∈-，22243M A ab OA OM x x a b c ⋅===，2234c a =，所以e =；（2）由（1）2(,)3M b -，右准线方程为x ， 直线MN的方程为y =，所以)P ，212POF P S OF y ∆=⋅=，222AMN AOM M S S OA y b ∆∆==⨯==，所以22103a =2203b =，所以b a = 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． 6.（南京盐城期末·18）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点处时，点Q的坐标为． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．【答案】解：（1）由N Q ，得直线NQ的方程为32y x =2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=．…………………4分将点N的坐标2213+=，解得24a =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P x =，而点Q 是线段OP的中点，所以Q x =． 所以直线BN的斜率2BN BQ k k k ===．………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x =． 用2k 代k，得N x =．………………12分又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =．………………14分故23=0k >，解得k =． 所以直线BM的方程为y x =．………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==．…………………10分又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=，解得2143y y =+．…………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x +=．又22114(1)3y x =-，所以214(1)319y -+=21120y +=，解得1y =1y =．又10x >，所以点M的坐标为(3M ．……………14分故直线BM的方程为y x =．…………………16分7.（苏州期末·18）在平面直角坐标系Oy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．【答案】解（1）由题意c a =，故a =， ·························································· 1分 又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=， ····································································································································· 2分 解得3c =，a =2229b a c =-=， ······················································ 4分所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=. ···································································· 6分 （2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ················································ 7分 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ················ 8分联立222(1)16,9,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ．猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ······························································ 9分 对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y , 则221,218,y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=，（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分） 因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k -+-+=-+=+=+++，所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ·················· 16分8.（苏北四市期末·18）如图，在平面直角坐标系Oy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若AF FC =，求BFFD的值； ⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k在，请说明理由.（第18题）【答案】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y +=……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=，……………………………………………6分由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分 （3）设00,)Ax y （，则00(,)B x y --， 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +，……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．………………………………………………………16分。

苏州市2019届高三第一学期期末考试复习卷In preparation for _____in salute to_______ in recognition of _____in correspond with_____ survival_________ potential_________ interval _________approval_________take on_________ bring in_________ held in _________wipe away_________signals_________ advocate_________ anticipate_________ participate_________Tickled pink. ___________Green with envy._____________ A sacred cow.______________ a pandora's box___________ a child's play_____________ a Herculean task_____________1.There are lots of examples of English idioms _______ animals are used.There exist lots of examples of English idioms _______ animals are used in.2.---We are looking for someone who is fluent in Spanish?---No problem. I __________(study) Spanish for four years at college.3.______________(eat) up the food, the foreign guests did you enjoy the Spring Festival Gala.4.________ _________ ________ I gone white-water rafting with my friends, I ________________ ________down the Colorado river right now. （floate）如果我当初和朋友去玩漂流，现在就会正在科罗拉多河上往下漂了。

高三上学期期末考试文科数学一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．若复数11iz i+=-，z 为z 的共轭复数，则()2017z = （ ）A. iB. i -C. 20172i -D. 20172i2．已知全集U R =，集合{}260A x x x =--≤，401x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭,那么集合()U A C B =（ ）A. [)2,4-B. (]1,3-C. []2,1-- D. []1,3- 3．在△ABC 中，||=||，||=||=3，则=（ ）A ．3B ．﹣3 C． D．﹣4．执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，M 是半径R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．126．以下四个命题中，正确的个数是（ ）①命题“若)(x f 是周期函数，则)(x f 是三角函数”的否命题是“若)(x f 是周期函数，则)(x f不是第5题图第7题图三 角函数”；②命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是“对于任意0,2<-∈x x R x ”；③在ABC ∆中， “B A sin sin >”是“B A >”成立的充要条件；④命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠，则p 是 q 的必要不充分条件；A ．0B ．1C ．2D ．37．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.163π B.112π C. 173π D. 356π 8．已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数,函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=( )A. 0B. 4037C. 4036D. 20189．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d .使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A ，终边上有点()(),20B m m m ->，满足OA OB =，若OAB θ∠=，则2sin 22sin 1cos 2θθθ+=+（ ）A.12B.2C.4D.111．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线渐近线C 上一点，,P Q 均位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF →→→→=⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．31-B ．31+C ．132-D ．132+12．已知锐角三角形ABC ，角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，若2()b a a c =+， 则2sin sin()AB A -的取值范围是（ ）A ． (0,1)B. 12(,)22C. 2(0,)2D . 1(,1)2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量y x ,满足260301x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数()20,0z ax by a b =+>>取得最大值的是6，则12a b +的最小值为 ．14．已知直线()31y x =--被圆2220x y x k +++=截得的弦长为2，则k =________. 15．函数y=f （x ）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f （x1）f （x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题： ①y=是“依赖函数”；②y=是“依赖函数”；③y=2x 是“依赖函数”；④y=lnx 是“依赖函数”；⑤y=f （x ），y=g （x ）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f （x ）．g （x ）是“依赖函数”． 其中所有真命题的序号是 ．16．已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=012012x x x x e xx f x ，若函数1))((--=a x f f y 有三个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（12分）已知(3sin ,cos )m x x ωω=，(cos ,cos )n x x ωω=- (0,x R >∈ω)，1()2f x m n =⋅-且()f x 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π.（Ⅰ） 求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7b =，()0f B =，sin 3sin A C =，求,a c 的值及AC 边上的中线.18．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x （单位：盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数；（2）将y 表示为x 的函数；（3）根据直方图估计利润y 不少于4000元的概率．19．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，过A 点作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E ，3AE =.连结EB ，交AD 于点F ，如图1，将ADE ∆沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图2.（1）证明：平面BFP ⊥平面BCP ；（2）若G 为PB 的中点，H 为CD 的中点，且平面ADP ⊥平面ABCD ，求三棱锥G BCD -的体积.20．（12分）如图所示，已知圆0:22=-+x y x G 经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，直线l 交抛物线于A 、B 两点且与x 轴交于点M （m ，0）（m>0）。

2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A ∩B ＝ Ｗ.2. 复数z ＝1＋2i i(i 为虚数单位)的虚部是 Ｗ. 3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是 Ｗ.4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为 Ｗ.5. 已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是 Ｗ.6. 如图所示的流程图中，若输入的a ，b 分别为4，3，则输出n 的值为 Ｗ.7. 在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为 Ｗ.8. 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 Ｗ.9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 Ｗ.10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为 Ｗ.11. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝ Ｗ. 12. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0，若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 Ｗ.13. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN＝MN ，则AM →·AN →的最小值是 Ｗ.14. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －ax 2，若对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，则实数a 的取值范围是 Ｗ.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.求证：(1) 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2) C 1F ∥平面ABE .。

苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．▲ ．1.已知集合{1,2,3}A=，{3,4}B=，则集合A B=I▲ ．2.复数12iiz+=(i )为虚数单位的虚部是▲ ．3.某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60:80分的学生人数是▲ ．4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为▲ ．5.已知3sin()cosαπα-=，则tan()πα-的值是▲ ．6.如图所示的流程图中，若输入的,a b分别为4，3，则输出n的值为▲ ．7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3,1)-，则该双曲线的离心率为▲ ．注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本调研卷共4页，包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）．本调研卷满分160分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8.曲线2e xy x =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ▲ ．9.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,3)A ，(4,6)B ，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为 ▲ ．11.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010+S S S = ▲ ． 12.设函数22,0()2,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,M N 分别是边,BC CD 上的两个动点，且BM DN MN +=，则AM AN u u u u r u u u rg 的最小值是 ▲ ．14．设函数22()||,f x ax x=-若对任意1(,0)x ∈-∞，总存在2[2,)x ∈+∞，使得21()()f x f x ≤，则实数a 的取值范围 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，,E F 分别是11A C ，BC 的中点 （1） 求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2） 求证：1//C F 平面ABE .▲ ▲ ▲16．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，已知2cos 23b A c a =-. (1) 求B(2) 设函数3()cos sin()3f x x x π=+g，求()f A 的最大值 ▲ ▲ ▲如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6 （1） 求椭圆E 的标准方程； （2） 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标.▲ ▲ ▲18．（本题满分16分）如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路12,l l ，经测量，12,l l 的夹角为45o，OP 与1l 的夹角θ满足1tan 2θ=（其中02πθ<<）,现要经过P修一条直路分别与道路12,l l 交汇于,A B 两点，并在,A B 处设立公共自行车停放点. (1) 已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2/m 元千米和/m 元千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对,OA OB 段道路进行翻修，,OA OB 段的翻修单价分别为/n 元千米和22/n 元千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定,A B 点的位置.▲ ▲ ▲已知函数32()4(,R)f x ax bx a a b =+-∈ （1） 当1a b ==时，求()f x 的单调增区间；（2） 当0a ≠，若函数()f x 恰有两个不同零点，求ba的值; （3） 当0a =时，若()ln f x x <的解集为(,)m n ，且(,)m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.▲ ▲ ▲20．（本题满分16分）定义：对任意*N n ∈，21n n n x x x +++-仍为数列{}n a 中的项，则称数列{}n x 为“回归数列”.(1) 已知*2(N n n a n =∈），判断{}n a 是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{}n b 为“回归数列”，393,9b b ==，且对于任意*N n ∈，均有1n n b b +<成立① 求数列{}n b 的通项公式② 求所有的正整数,s t ，使得等式2123131s s t ss b b b ++-=+-成立 ▲ ▲ ▲苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学Ⅱ（附加题）2019.121.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做题，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A.选修4-2,矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵723m M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵172n M m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求实数,m nB.选修4-4,坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程是=4cos ρθ，在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C.选修4-5,不等式选讲（本小题满分10分） 设,,a b c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围城的三角形面积为ζ. (1) 求概率(2)P ζ=； (2) 求ζ的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，PA 与平面PBC 所成角的正弦值为217（1） 求侧棱PA 的长;（2） 设E 为AB 中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值.。

2019 届高三模拟考试一试卷数学( 满分 160 分，考试时间120 分钟 )2019.1参照公式：样本数据x1， x2，， x n的方差一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分 .1. 已知会合 A＝{0 ， 1，2， 3} ， B＝ { x|0<x≤ 2} ，则 A∩ B＝Ｗ .2. 已知复数 z＝ (2－ i) 2(i 是虚数单位 )，则 z 的模为Ｗ .3. 已知一组样本数据 5， 4， x， 3， 6 的均匀数为5，则该组数据的方差为Ｗ.4. 运转如下图的伪代码，则输出的结果S 为Ｗ .I← 1While I<8I← I＋2S←2I＋3End WhilePrint S(第4题)a5. 若从 2， 3，6 三个数中任取一个数记为a，再从节余的两个数中任取一个数记为b，则“b 是整数”的概率为Ｗ .6. 若抛物线y2＝ 2px(p>0) 的焦点与双曲线x2－y2 ＝ 1 的右焦点重合，则实数p 的值为3Ｗ .7. 在等差数列 { a n } 中，若 a5＝1， 8a6＋ 2a4＝a2，则 { a n } 的前 6 项和 S6的值为Ｗ . 28. 已知正四棱锥的底面边长为 2 3，高为1，则该正四棱锥的侧面积为Ｗ .9.已知 a， b∈R，函数 f(x)＝ (x－ 2)( ax＋ b)为偶函数，且在 (0，＋∞ )上是减函数，则对于 x 的不等式 f(2－ x)>0 的解集为Ｗ .10. 已知 a>0， b>0，且 a＋ 3b＝1－1，则 b 的最大值为Ｗ .b a11. 将函数 f(x)＝ sin 2x 的图象向右平移π 个单位长度获得函数g(x) 的图象，则以函数f(x)与6g(x)的图象的相邻三个交点为极点的三角形的面积为Ｗ.→ 312. 在△ ABC 中， AB＝2， AC＝ 3，∠ BAC＝ 60°， P 为△ ABC 所在平面内一点，知足CP＝2→→ → →Ｗ .PB ＋ 2PA ，则 CP ·AB 的值为13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1：x 2 ＋y 2 ＋2mx －(4m ＋ 6)y －4＝ 0(m ∈ R )与以 C 2(－ 2，3)为圆心的圆订交于 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，且知足 x 12－ x 22 ＝y 22－ y 12 ，则实数 m 的值为Ｗ .14. 已知 x>0， y>0， z>0，且 x ＋ 3y ＋ z ＝6，则 x 3＋ y 2＋ 3z 的最小值为 Ｗ.二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 . 解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 .15. (本小题满分 14 分 )在△ ABC 中， sin A ＝ 2，A ∈ (π， π ).3 2(1) 求 sin 2A 的值；(2) 若 sin B ＝ 1，求 cos C 的值 .316. (本小题满分 14 分 ) 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1 C 1 中， D ， E ， F 分别是 B 1C 1，AB ，AA 1 的中点 .(1) 求证： EF ∥平面 A 1BD ；(2) 若 A 1B 1＝ A 1 C 1 ，求证：平面 A 1BD ⊥平面 BB 1C 1C.17. (本小题满分 14 分 )如图，某公园内有两条道路AB ，AP ，现计划在 AP 上选择一点 C ，新建道路 BC ，并把△ ABC所在的地区改造成绿化地区 .已知∠ BAC ＝ π， AB ＝2 km.6 (1) 若绿化地区△ ABC 的面积为 1 km 2，求道路 BC 的长度；(2) 若绿化地区△ ABC 改造成本为 10 万元 /km 2，新建道路 BC 成本为 10 万元 /km. 设∠ ABC ＝2πθ(0< θ≤ 3 )，当 θ为什么值时，该计划所需总花费最小？18. (本小题满分 16 分)222，且右焦点如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x2y 2a ＋b ＝ 1(a>b>0) 的离心率为 2 到右准线 l 的距离为 1.过 x 轴上一点 M(m ， 0)(m 为常数，且 m ∈ (0， 2))的直线与椭圆C 交于 A ，B 两点，与 l 交于点 P ，D 是弦 AB 的中点，直线OD 与 l 交于点 Q.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 试判断以 PQ 为直径的圆能否经过定点？假如，求出定点坐标；若不是，请说明原因 .19. (本小题满分 16 分 )已知函数 f(x)＝ (x － a)ln x( a ∈ R ).(1) 若 a ＝ 1，求曲线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线的方程；(2) 若对于随意的正数 x ，f(x)≥ 0 恒成立，务实数 a 的值；(3) 若函数 f(x)存在两个极值点，务实数a 的取值范围 .20. (本小题满分16 分 )* n n n 已知数列 { a n} 知足对随意的 n∈N ，都有 a n (q a n－ 1)＋2q a n a n＋1＝ a n＋1 (1－ q a n＋1)，且 a n＋1＋a n≠ 0，此中 a1＝ 2，q≠ 0.记 T n＝a1＋ qa2＋ q2a3＋＋ q n－1a n.(1) 若 q＝ 1，求 T2 019的值；n(2) 设数列 { b n } 知足 b n＝ (1＋ q)T n－ q a n.①求数列 { b n} 的通项公式；②若数列 { c n} 知足 c1＝ 1，且当 n≥ 2 时， c n＝ 2b n－1－ 1，能否存在正整数k，t，使 c1，c k－ c1，c t－ c k成等比数列？若存在，求出全部k， t 的值；若不存在，请说明原因 .2019 届高三模拟考试一试卷数学附带题(满分 40 分，考试时间 30 分钟 )21. 【选做题】在 A， B， C 三小题中只好选做 2 题，每题10 分，共 20 分 .若多做，则按作答的前两题计分 .解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤.A. ( 选修 42：矩阵与变换 )已知矩阵 A＝0 1 2 0，求 A －1 B. 2， B＝1 83B. ( 选修 44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，曲线C：ρ＝ 2cos θ.以极点为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴成立平面直角坐标系 xOy，设过点A(3， 0)的直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率 .C. ( 选修 45：不等式选讲)已知函数f(x)＝ |x－ 1|.(1) 解不等式f(x－ 1)＋ f(x＋ 3)≥ 6；b(2) 若|a|<1， |b|<1，且 a≠ 0，求证： f( ab)>|a|f(a).【必做题】第 22，23 题，每题 10 分，共 20 分 .解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 .22.如图，在三棱锥 DABC 中， DA ⊥平面 ABC ，∠ CAB＝ 90°，且 AC＝ AD＝1，AB＝ 2，E 为BD的中点.(1)求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值；(2)求二面角 ACEB 的余弦值 .23.已知数列 { a n} 知足 a1＝1， a n＋1＝－ 2a2n＋ 2a n， n∈N* . 31(1)用数学概括法证明： a n∈ (0，2)；1(2) 令 b n＝2－ a n，求证：2019 届高三模拟考试一试卷 (五 )(苏北三市 )数学参照答案及评分标准1. {1 ，2}2. 53. 24. 215. 16.47. 158. 83 9. (0，4) 10.111.3π23 2312. －1 13. － 614. 37415. 解： (1) 由 sin A ＝π ，π )，则 cos A ＝－ 1－ sin 2A ＝－ 1－（2） 2＝－5，(22，A ∈ (3 2 33分 )254 5因此 sin 2A ＝2sin Acos A ＝2× 3× (－ 3 )＝－ 9 .(6 分)π(2) 由 A ∈ ( 2 ，π )，则 B 为锐角 .又 sin B ＝ 1，因此 cos B ＝ 1－sin 2B ＝ 1－（ 1） 2＝2 2，(8 分)33 3 因此 cos C ＝－ cos (A ＋B)＝－ (cos Acos B － sin Asin B)(12 分 )＝－ (－ 5×2 2－ 2×1)＝ 2 10＋29 .(14 分 )3 3 3 316. 证明： (1) 因为 E ， F 分别是 AB ， AA 1 的中点，因此 EF ∥ A 1B.(3 分 ) 因为 EF?平面 A 1BD ， A 1B? 平面 A 1BD ， 因此 EF ∥平面 A 1BD.(6 分 )(2) 在直三棱柱 ABCA 1B 1C 1 中， BB 1⊥平面 A 1B 1C 1. 因为 A 1 D? 平面 A 1B 1C 1，因此 BB 1⊥ A 1D. (8 分 ) 因为 A 1 B 1 ＝A 1C 1，且 D 是 B 1C 1 的中点， 因此 A 1 D ⊥ B 1C 1.(10 分 )因为 BB 1∩ B 1C 1 ＝ B 1， B 1C 1，BB 1? 平面 BB 1C 1C ， 因此 A 1 D ⊥平面 BB 1C 1C.(12 分 ) 因为 A 1 D? 平面 A 1BD ，因此平面 A 1BD ⊥平面 BB 1C 1C. (14 分 )π17. 解： (1) 在△ ABC 中，已知∠ BAC ＝ ， AB ＝ 2 km ，6因此△ ABC 的面积 S ＝ 1× AB × AC × sinπ ＝ 1，解得 AC ＝ 2.(2 分 )26在△ ABC 中，由余弦定理得π BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2× AB × AC × cos6＝ 22＋ 22－ 2×2× 2× cosπ＝ 8－ 4 3， (4 分 ) 6因此 BC ＝8－ 4 3＝ 6－ 2(km).(5 分 )π2π(2) 由∠ ABC ＝ θ，则∠ ACB ＝ π － (θ＋ 6 )， 0< θ ≤ 3 .在△ ABC 中，∠ BAC ＝π， AB ＝ 2 km ，由正弦定理得 AC ＝BC＝ AB ，6 sin B sin A sin C 因此 BC ＝1， AC ＝2sin θ.(7 分)ππsin （ θ＋ 6 ）sin （ θ＋ 6 ）记该计划所需花费为 F(θ)，则 F(θ)＝ 1×2sin θ×2×1×10＋1× 10＝ 10（ sin θ ＋ 1）2π2π2ππ(0< θ≤ 3 ).(10sin （ θ＋ 6 ）sin （ θ＋ 6 ）sin （ θ＋ 6 ）分 )π1sin θ ＋ 1 sin （ θ－ ）＋令 f(θ)＝32.(11 分 )31 ，则 f ′(θ)＝1（322 sin θ ＋ 2cos θ2 sin θ＋ 2cos θ ）π由 f ′(θ)＝ 0，得 θ＝ 6 .π因此当 θ∈ (0， 6 )时， f ′ (θ)<0， f(θ)单一递减；π 2π当 θ∈ ( 6 ， 3 )时， f ′ (θ)>0， f(θ)单一递加 .(12 分 )因此当 θ＝ π时，该计划所需花费最小 .6π .(14 分 )答：当 θ＝ 时，该计划所需总花费最小6c2a ＝2，a ＝ 2，18. 解： (1) 设椭圆的右焦点为 (c ， 0)，由题意，得2解得a － c ＝ 1，c ＝1，c2因此 a 2＝ 2，b 2＝ 1，因此椭圆 C 的标准方程为 x＋ y 2＝ 1.(4 分)2(2) 由题意，当直线 AB 的斜率不存在或为零时明显不切合题意. 设 AB 的斜率为 k ，则直线 AB 的方程为 y ＝ k(x － m). 又准线方程为 x ＝ 2，因此点 P 的坐标为 P(2， k(2－m)).(6 分 )y ＝ k （x － m ），由 2 2得 x 2＋ 2k 2(x － m)2＝2， x ＋ 2y ＝ 2，即 (1＋ 2k 2)x 2 －4k 2mx ＋ 2k 2m 2－ 2＝ 0，222km，(8 分)因此 x＝ 1· 4k m ＝ 2k m， y ＝ k(2k m－ m)＝－D2 2k 2＋ 1 2k 2＋ 1D2k 2＋ 12k 2＋ 1因此 k OD ＝－ 1，进而直线 OD 的方程为 y ＝－ 1x ，2k2k因此点 Q 的坐标为 1Q(2，－)，(10 分)k因此以 PQ 为直径的圆的方程为21 (x －2) ＋ [y － k(2－ m)](y ＋)＝ 0，k221 分 )即 x － 4x ＋ 2＋ m ＋ y －[ k(2－m)－]y ＝ 0.(14k因为该式对 ?k ≠ 0 恒成立，因此y ＝ 0，x ＝ 2± 2－ m ， x 2－ 4x ＋2＋ m ＋y 2＝ 0， 解得y ＝ 0.因此以 PQ 为直径的圆经过定点 (2 ± 2－ m ，0).(16 分)19. 解： (1) 因为 f(x)＝ (x － a)ln x(a ∈ R )，因此当 a ＝ 1 时， f(x)＝ (x －1)ln x ，则 f ′(x)＝ ln x ＋ 1－1x .(1 分)当 x ＝ 1 时， f(1) ＝ 0， f ′(1) ＝ 0， 因此曲线 f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线的方程为 y ＝ 0.(3 分 )(2) 因为对于随意的正数 x ， f( x)≥ 0 恒成立，因此当 lnx ＝ 0，即 x ＝ 1 时， f( x)＝ 0， a ∈ R ； (5 分 ) 当 ln x>0，即 x>1 时， x ≥a 恒成立，因此 a ≤ 1； (6 分 )当 ln x<0，即 x<1 时， x ≤a 恒成立，因此 a ≥ 1.综上可知，对于随意的正数x ， f(x)≥ 0 恒成立， a ＝1. (7 分 )(3) 因为函数 f(x)存在两个极值点， 因此 f ′(x)＝ ln x －a＋1 存在两个不相等的零点 .xa ＋ 1 a x ＋ a设 g(x)＝ ln x － 1，则 g ′(x)＝ ＋ 2＝ 2 .(8 分)x x x x当 a ≥ 0 时， g ′ (x)>0，因此 g(x)单一递加，至多一个零点 .(9 分)当 a<0 时， x ∈ (0，－ a) 时， g ′ (x)<0 ， g(x)单一递减，x ∈ (－ a ，＋∞ )时， g ′ (x)>0 ， g(x)单一递加，因此 x ＝－ a 时， g(x)min ＝ g(－ a)＝ ln(－ a)＋ 2. (11 分)－ 2因为 g(x)存在两个不相等的零点，因此ln(－ a)＋ 2<0 ，解得－ e <a<0.－21 2因为－ e <a<0，因此－ >e >－a.a1 12.(13 分 )因为 g(－ ) ＝ ln(－)＋ a ＋ 1>0，因此 g( x)在 (－ a ，＋∞ )上存在一个零点aa－22 2 21 － a)＋ 1＋ 1，因为－ e <a<0，因此 a <－ a.又 g(a )＝ln a － ＋ 1＝ 2ln(a－ a设 t ＝－ a ，则 y ＝ 2ln t ＋ 1＋ 1(0<t< 12).t e因为 y ′＝ 2t － 111 t2 <0，因此 y ＝ 2ln t ＋＋ 1(0<t<2)单一递减 .te又函数图象是连续的，因此 y>2ln1 2 22＋ e ＋ 1＝ e － 3>0，e因此 g(a 2)＝ ln a 2－1a ＋ 1>0 ，因此在 (0，－ a)上存在一个零点.综上可知，－ e － 2<a<0.(16 分)20. 解： (1) 当 q ＝ 1 时，由 a n (q n a n －1)＋ 2q n a n a n ＋1＝ a n ＋1(1 －q n a n ＋1)，得 (a n ＋ 1＋ a n )2＝ a n ＋ 1＋ a n .又 a n ＋ 1＋ a n ≠0，因此 a n ＋1＋ a n ＝ 1.(2 分)又 a 1＝ 2，因此 T 2 019＝ a 1＋ (a 2＋ a 3)＋ (a 4＋ a 5) ＋ ＋ (a 2 018＋ a 2 019)＝ 1 011.(4 分 )nnn n 2(2) ① 由 a n (q a n －1)＋ 2q a n a n ＋1＝ a n ＋1(1 －q a n ＋ 1)，得 q (a n ＋ 1＋ a n ) ＝ a n ＋ 1＋ a n .又 a n ＋ 1＋ a n ≠0，因此 a n ＋1＋ a n ＝ 1n .(6分 ) q 2 n －1a n ， 因为 T n ＝ a 1＋qa 2＋ q a 3＋ ＋ q因此 qT n ＝ qa 1＋ q 2a 2 ＋q 3a 3＋ ＋ q n a n ，因此 (1＋ q)T n ＝ a 1＋ q(a 1＋ a 2 )＋ q 2(a 2＋ a 3)＋ q 3(a 3＋ a 4)＋ ＋ q n － 1(a n － 1＋ a n )＋q n a n ，n n nb n ＝ (1＋ q)T n － q a n ＝ a 1＋ 1＋ 1＋ ＋ 1＋q a n －q a n ＝a 1＋n － 1＝ n ＋ 1， 因此 b n ＝ n ＋1.(10 分 ) ②由题意，得c n ＝ 2b n －1－ 1＝ 2n － 1，n ≥ 2. 因为 c 1， c k －c 1， c t － c k 成等比数列，因此 (c k － c 1) 2＝ c 1( c t － c k )，即 (2k － 2)2＝ 2t － 2k ， (12 分 ) 因此 2 t＝(2 k 2kt －2＝ (2 k －1 2－ k －2＋ 1 (*). ) － 3·2 ＋ 4，即 2 ) 3·2 因为 c k － c 1≠0，因此 k ≠ 1，即 k ≥ 2. 当 k ＝ 2 时， 2t ＝ 8，得 t ＝ 3.(14 分 )当 k ≥ 3 时，由 (*) 得 (2k － 1)2 － 3·2k －2＋ 1 为奇数，因此 t － 2＝ 0，即 t ＝ 2，代入 (*) 得 22k － 2－ 3·2k －2＝ 0，即 2k ＝ 3，此时 k 无正整数解 . 综上， k ＝2， t ＝ 3.(16 分 )2019 届高三模拟考试一试卷 (五 )(苏北三市 )数学附带题参照答案及评分标准21. A. 解： 由题意得 A －1＝－312 2，(5 分)1 0因此 A－ 1－312 0 －54B ＝221 ＝2.(10 分 )1 082 0B. 解：曲线 C ： ρ＝ 2cos θ 的直角坐标方程为 (x － 1) 2＋ y 2＝ 1.(4 分) 设过点 A(3， 0)的直线 l 的直角坐标方程为 x ＝ my ＋ 3，因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，因此 |1－ 3| 2＝ 1，解得 m ＝ ± 3.(8 分)1＋ m进而直线 l 的斜率为 ± 3分 )3 .(10C. (1) 解：不等式的解集是 (－∞，－ 3]∪ [3，＋∞ ).(4 分 )b22(2) 证明： 要证 f(ab)>|a|f(a )，只需证 |ab －1|>|b － a|，只需证 (ab － 1) >( b － a) . 222 22222－ 1)>0 ，而 (ab － 1) － (b － a) ＝ a b － a － b ＋ 1＝ (a － 1)(b进而原不等式成立 .(10 分)22. 解：因为 DA ⊥平面 ABC ，∠ CAB ＝90°，因此以 A 为坐标原点，成立如下图的空间直角坐标系 Axyz.因为 AC ＝ AD ＝ 1， AB ＝ 2，因此 A(0，0， 0)， C(1， 0， 0)， B(0， 2， 0)， D(0， 0， 1).因为点 E 为线段 BD 的中点，因此1E(0，1， ).2→ ＝ (0，1， 1→ ＝ (1，－ 2， 0)， (1) AE2)， BC→→ → →－ 24AE · BC 因此 cos 〈AE ， BC 〉＝→ →＝＝－ 5，|AE||BC|5× 54因此异面直线AE 与 BC 所成角的余弦值为45.(5 分 )→→1(2) 设平面 ACE 的法向量为 n 1＝ (x ， y ， z)，因为 AC ＝ (1， 0， 0)， AE ＝ (0， 1， 2)，→ →因此 n 1·AC ＝0， n 1· AE ＝ 0，即 x ＝ 0 且 y ＋ 1z ＝ 0，取 y ＝ 1，得 x ＝ 0， z ＝－ 2，2因此 n 1＝ (0，1，－ 2)是平面 ACE 的一个法向量 .设平面 → → 1)， BCE 的法向量为 n 2＝ (x ， y ， z)，因为 BC ＝ (1，－ 2，0)， BE ＝ (0，－ 1， 2→→1 因此 n 2·BC ＝0， n 2· BE ＝ 0，即 x － 2y ＝ 0 且－ y ＋ z ＝0，取 y ＝ 1，得 x ＝ 2， z ＝ 2，2因此 n 2＝ (2，1， 2)是平面 BCE 的一个法向量 .因此 cos 〈 n 1， n 2〉＝ n 1· n 2 ＝ －3 ＝－ 5. (8 分 ) |n 1||n 2|55× 9 因此二面角 ACEB 的余弦值为－ 55 . (10 分)1123. 证明： (1) 当 n ＝ 1 时， a 1＝ 3∈ (0， 2)，结论明显成立；假定当 n ＝ k(k ≥ 1， k ∈ N *)时， a k ∈ (0，12)，则当 n ＝k ＋ 1 时， a k ＋ 1＝－ 2a k 2＋ 2a k ＝－ 2(a k － 1)2＋ 1∈ (0， 1).2 2 21综上， a n ∈ (0， ).(4 分 )21 1 1(2) 由(1) 知， a n ∈ (0， )，因此 b n ＝ － a n ∈ (0， ).222因为 a n ＋ 1＝－ 2a n 2＋ 2a n ，因此 1 － a n ＋1＝ 12 21 1 222 2 － (－ 2a n ＋2a n ) ＝2a n － 2a n ＋2 ＝ 2(a n － )，即 b n ＋ 1＝2b n .2于是 log 2b n ＋ 1＝ 2log 2b n ＋ 1，因此 (log 2b n ＋ 1＋ 1)＝ 2(log 2b n ＋ 1)，故 {log 2b n ＋ 1} 组成以 2 为公比的等比数列，其首项为 log 2b 1＋ 1＝ log 21＋ 1＝ log 21.6 31 n －1 1 n － 1 1 n －1于是 log 2b n ＋ 1＝ (log 2 ) ·2，进而 log 2(2b n ) ＝(log 2 ) ·2＝ log 2( )2，3331（ 1）2n －1 1n －13 ，于是 ＝2·32 n －1分 )因此 2b n ＝ ( )2 ，即 b n ＝2 b n.(83因为当 i ＝ 1， 2 时， 2i －1＝ i ，当 i ≥ 3时，2 i －1＝ (1＋1) i －11i －11＝ C i － 1 ＋C i － 1＋ ＋ C i －1 >C i － 1＋ C i － 1＝ i ，因此对 ? i ∈ N * ，有 2i － 1≥ i ，因此 32i －1 ≥3i ，因此 1 ＝ 2·32i －1≥ 2·3i ， b i进而＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ≥ 2(3 1 2 n 3（1－ 3n ）n ＋1－ 3.(10 分 )b 1 b 2 ＋ 3 ＋ ＋ 3 )＝ 2×1－ 3＝ 3b n。

2019.12019届高三模拟考试试卷（满分160分，考试时间120分钟）一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合 A = {1 , 3, 5}, B = {3 , 4}，则集合 A A B = ____________ W .1+ 2i2. 复数z = —（i 为虚数单位）的虚部是 _________ W .3. 某班级50名学生某次数学考试成绩 （单位：分）的频率分布直方图如图所示， 则成绩在60〜80分的学生人数是 4. 5. 6. W .连续抛掷一颗骰子 2次，已知 3sin （ a — n ）= COS a ，贝y tan （n — a 的值是如图所示的流程图中，若输入的 a , b 分别为4, 3，则输出n 的值为7•在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 （—3, 1），则该双曲线的离心率为W .8.曲线y = x + 2e x 在x = 0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 _____________ W .9•如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为W.10. 在平面直角坐标系xOy中，过点A(1, 3), B(4, 6)，且圆心在直线x—2y—1 = 0上的圆的标准方程为 ____________ W.11. 设S n是等比数列｛a n｝的前n项和，若S5 =3，则S0S5S0=_____________W•9—x + 2x, x> 0,12. 设函数f(x)=弋若方程f(x) —kx= 3有三个相异的实根，则实数k的—2x, x<0,取值范围是W.BM + DN = MN，则AM • AN的最小值是______ W.214. 设函数f(x) = -― ax2，若对任意冯€ ( —a, 0)，总存在［2 ,+^ )，使得f^)xw f(X1),则实数a的取值范围是_________ W .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1BQ1中，已知AB丄BC, E, F分别是A1C1, BC的中点.求证:(1) 平面ABE丄平面B1BCC1；(2) C1F //平面ABE.13.如图，在边长为2的正方形BC, CD上的两个动点，且16. (本小题满分14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边为a, b, c,已知2bccos A= 2c—3a.⑴求角B的大小；(2)设函数f(x) = cos x • sin(x+~3 —"J3)，求f(A)的最大值.17. (本小题满分14分)1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为-的椭圆E的左顶点为A,点A到右准线的距离为 6.(1) 求椭圆E的标准方程；3(2) 过点A且斜率为纟的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M，求点M的坐标.如图，长途车站P与地铁站0的距离为•亏千米，从地铁站0出发有两条道路丨1, 12,1 n经测量，11, 12的夹角为45°, 0P与11的夹角B满足tan 0 =寸(其中0＜肚三)，现要经过P修一条直路分别与道路11, 12交汇于A, B两点，并在A, B处设立公共自行车停放点•(1)已知修建道路PA, PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A, B之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对0A, 0B段道路进行翻修，OA, 0B段的翻修单价分别为元/千米和2 ,2n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A, B点的位置•已知函数f(x) = ax3+ bx2—4a(a, b€ R).⑴当a= b = 1时，求f(x)的单调增区间；b(2) 当0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求；的值；a(3) 当a= 0时，若f(x)<ln x的解集为(m, n),且(m, n)中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围•定义：对于任意n € N * ,X n+ X n+2 - X n +1仍为数列｛x n｝中的项，则称数列｛X n｝为“回归数列” (1)已知a n= 2n(n€ N*)，判断数列｛a n｝是否为“回归数列”，并说明理由；⑵若数列｛b n｝为“回归数列”，b3= 3, b g= 9,且对于任意n€ N，均有b n<b n+1成立•①求数列｛b n｝的通项公式；b S+ 3s+1- 1②求所有的正整数s, t，使得等式b：2+ 3s_ [ = b t成立•2019届高三模拟考试试卷（四）数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】在A , B, C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分•若多做, 则按作答的前两题计分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. （选修42 :矩阵与变换）7 m 7 1" n —7]已知矩阵M = 的逆矩阵M —1= ，求实数m, n的值..23」」一2 mB. （选修44:坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的方程是尸4cos B .在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的平面直「返x=-^t + m,角坐标系中，直线I的参数方程是< 厂（t为参数）.若直线I与圆C相切，求实数l y曹的值.C. （选修45:不等式选讲）设a, b, c都是正数，求证:bT-+ 匸+ *》詁 + b + c).b +c c+ a a+ b 2' '【必做题】第22, 23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤•22. 已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为E⑴求概率P(E= 2);(2)求E的分布列和数学期望.23. 如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD丄平21面ABCD , PA = AD , PA与平面PBC所成角的正弦值为⑴求侧棱PA的长;设点E为AB中点，若PA> AB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三模拟考试试卷（苏州）数学参考答案及评分标准12. (— 2, 2— 2 3) 13. 8 2— 814. [0 , 1]15. 证明：（1）在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1丄底面ABC. 因为AB?平面ABC ，所以BB 1丄AB.（2分）因为 AB 丄 BC , BB 1n BC = B , BB 1, BC?平面 B 1BCC 1, 所以AB 丄平面B 1BCC 1.（4分） 又AB?平面ABE ，所以平面⑵取AB 中点G ,连结EG , FG. 因为E , F 分别是A 1C 1, BC 的中点,1所以 FG // AC ,且 FG = 2AC.(8 分) 因为 AC / A 1C 1，且 AC = A 1C 1, 所以 FG // EC 1,且 FG = EC 1,所以四边形FGE6为平行四边形，(11分) 所以 C 1F // EG.因为EG?平面ABE , C 1F?平面ABE , 所以C 1F //平面ABE.(14分) 16. 解：(1)在厶 ABC 中，因为 2bcos A = 2c — 3a ,所以 2sin Bcos A = 2sinC — 3sin A.(2 分) 在厶 ABC 中，sin C = sin(A + B), 所以 2sin Bcos A = 2sin(A + B) — . 3sin A ,即 2sin Bcos A = 2sin Acos B + 2cos AsinB —冷3sin A , 所以 3sin A = 2cos Bsin A , (4 分)n又 B € (0, n )，所以 B = —.(6 分)1. {3}2. — 13. 254. 365. 36. 37. 108. |9. 2 3 10. (x — 5)2+ (y — 2)2=17由正弦定理asin A b _ c sin B sin C ‘在厶ABC 中, sin A M 0,所以 cos B =1 n所以 f(A) = 2sin(2A+~—).n5 n在厶 ABC 中，B = 6，且 A + B + C = n ，所以 A € (0, ~^), (12 分)n nn n n1所以2A + 3€ (3, 2 n )所以当2A +~3 =—，即A = 时，f(A)的最大值为？.(14分) 2 217. 解:(1)设椭圆方程为 字+ by 2= 1(a>b>0)，半焦距为c , 因为椭圆的离心率为 £所以c =1，即a = 2c.2 a 22因为A 到右准线的距离为6,所以a + 2 = 3a = 6, （2分） 解得 a = 2, c = 1, （4 分）2 2所以b 2= a 2— c 2= 3，所以椭圆E 的标准方程为 乡+卷=1.（6分） 3⑵ 直线AB 的方程为y = 2（x + 2）, 3(y = 2( x + 2), 由 22得 x 2 + 3x + 2 = 0,解得 x =— 2或 x =— 1,则点B 的坐标为（一1, 3）.（9 分）3由题意，得右焦点 F （1 , 0），所以直线BF 的方程为y = — 3（x — 1）.（11分） 13得 7x 2— 6x — 13= 0,解得 x =— 1 或 x = — , (13 分)所以点M 坐标为（号，-詈）.（14分）18. 解：（1）以O 为原点，直线 OA 为x 轴建立平面直角坐标系,n1 1因为 0<, tan 0 = ?，所以 OP : y =器.设 P （2t , t ），由 OP = .5,得 t = 1，所以 P （2 , 1）.（2 分）（解法1）由题意得2m PA = m PB ，所以BP = 2PA ，所以点B 的纵坐标为3. 因为点B 在直线y = x 上，所以B （3, 3）, （4分）(2) f(x) = cos x • (sin x • cos n n—+ cos x • sin —)—33(8分)1 =2sin xcos x +討—2x + 1)—1 n 八 2Sin(2x + 亍)，(10 分)I y = — 3 (x—1),由2 2J — + = 1 4十 3 ',所以 AB = 3PB = 325.T T2 — b = 2 (a — 2),由BP = 2FA , 得 所以丫"-b =-2，l b = 3,所以 A(3, 0), B(3, 3), AB = , (3 — 2) 2+ 32=劣. 答：点A , B 之间的距离为 乎千米.(6分)⑵(解法 1)设总造价为 S,贝U S = n OA + 2 ,2n • 0B = (0A + 2 20B) n , 设y = 0A + 2 20B ，要使S 最小，只要y 最小.当 AB 丄x 轴时，A(2, 0),这时 0A = 2, 0B = 2 2, 所以 y = 0A + 2 20B = 2+ 8= 10.(8 分)当AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为y = k(x — 2) + 1(k 工0). 令y = 0，得点A 的横坐标为2 —1，所以0A = 2 —丄；k k 2k — 1令x = y ,得点B 的横坐标为2——"CO 分） 1 2k — 12-k>0,且 k — 1 >0，所以 k<0 或 k>1 , 一 厂一 1 4 (2k — 1) y = 0A +2 20B = 2—： +k k — 11— 4 —( k + 1)( 3k — 1)y'= k ^+(k —1)2 =k 2 (k — 1)2.(12 分)当k<0时，y 在( — a, — 1)上递减，在(—1, 0)上递增，3 3所以 y min = y|k =-1= 9<10，此时 A(3, 0), B(2 2)； (14 分)当 k>1 时，y = 2—十 + 8 (k — ： + 4 = 10+ k^ —十=10+ . 3k +1) >10.k k — 1 k — 1 k k ( k — 1)千米处.（16分）(解法2)如图，作为 P(2, 1)，所以 0Q = 1.(解法2)由题意得2m PA = m PB ，所以BP = 2PA.设 A(a , 0)(a>0)，又点 B 在射线 y = x(x>0)上，所以可设 B(b , b)(b>0),3a =Q ,(4 分)因为 此时 综上，要使0A , OB 段道路的翻修总价最少,A 位于距0点3千米处，B 位于距0点^2-Q ,作PN // 0B 交0A 于点N ,因因为/ BOQ = 45°，所以QM = 1 , 0M = _2, 所以PM = 1, PN = 0M = ,2.由 PM // OA , PN // oB ,得 O B =AA , O A = AB ，（8分）设总造价为 S ,贝U S = n OA + 2 2n • OB = （OA + 2 2OB ） n , 设y = OA + 2 2OB ，要使S 最小，只要y 最小.y = OA + 2迄OB = （OA + 2V20B ）（O|+ OA ） = 5 + <2（^+ 2OB ）> 9, （14 分） 当且仅当OA ={2OB 时取等号，此时 OA = 3, OB = 弩. 答：要使OA , OB 段道路的翻修总价最少， A 位于距O 点3千米处，B 位于距。

苏州市2019届高三第一学期期末调研数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}1>=x x A ，{}3<=x x B ，则集合=B A ． 2、已知复数iiz 21-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 3、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线16322=-y x 的离心率为 ． 4、用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ． 5、一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为20.，目标未受损的概率为40.，则目标受损 但未完全击毁的概率为 ．6、阅读下面的流程图，如果输出的函数)(x f 的值在区间],[2141内，那么输入的实数x 的 取值范围是 ．7、已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤431y x x x y ，则目标函数y x z -=28、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7772-==S a ,，则7a 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知过点),(11M 的直线l 与圆52122=-++)()(y x 相切，且与直线01=-+y ax 垂直，则实数10、一个长方体的三条棱长分别为983,,，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面 积没有变化，则圆孔的半径为 ． 11、已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 ． 12、若832παtantan =，则=-)tan(8πα ．13、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=05042x e x x x f x ,,)(，若关于x 的方程05=--ax x f )(恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为 个．14、已知C B A ,,是半径为1的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点（含圆周），则⋅+⋅+⋅的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、已知函数212232--=x x x f cos sin )(． （1）求函数)(x f 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合 （2）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且3=c ，0=)(C f ，若A B sin sin 2=，求b a ,的值．16、如图，已知直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，F 是1BB 的中点，M 是线 段1AC 的的中点．（1）求证：直线//MF 平面ABCD ；（2）求证：平面⊥1AFC 平面11A ACC ．17、已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．18、某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下：其中，点E A ,为x 轴上关于原点对称的两点，曲线BCD 是桥的主体，C 为桥顶，且曲线 段BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为],[,22482-∈+=x xy ，曲线段DE AB ,均 为开口向上的抛物线段，且E A ,分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔 接处),(D B 的切线的斜率相等．（1）求曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A 经B 到C 爬坡．定义车辆上桥过程中某点P 所需要的爬坡能力为：=P M （该点P 与桥顶间的水平距离）⨯（设计图纸上该点P 处的切线的斜率），其中P M 的单 位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力， 它们的爬坡能力分别为80.米，51.米，02.米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？19、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S （*∈N n ）．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1211212121133221+-+--++-+=+n n n n b b b b a )( ，求数列{}n b 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n n b c λ+=2，问是否存在实数λ，使得数列{}n c （*∈N n ）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．20、已知函数x k x x f )(ln )(1--=（R ∈k ）． （1）当1>x 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）若对于任意],[2e e x ∈，都有x xf ln )(4<成立，求实数k 的取值范围； （3）若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：ke x x 221<．附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A . 选修4-1:几何证明选讲如图,E 是圆O 内两条弦AB 和CD 的交点,过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ,G 为切点,已知EF=FG ,求证:EF ∥CB.(第21-A 题)B . 选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵A=2113⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,求矩阵C ,使得AC=B.C . 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0,已知直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.D . 选修4-5:不等式选讲已知a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,求证:(ax+by )(bx+ay )≥xy.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为ξ.(1) ξ为何值时,其发生的概率最大?请说明理由;(2) 求随机变量ξ的数学期望E(ξ).23.在平面直角坐标系xOy中,已知两点M(1,-3),N(5,1),若点C的坐标满足=t+(1-t)(t∈R),且点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A,B两点.(1) 求证:OA⊥OB;(2) 在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆都过原点?若存在,求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.苏州市2019届高三第一学期期末考试答案1.(1,3)2.-12思路分析先化z=a+b i(a ,b ∈R)的形式或设z=a+b i(a ,b ∈R),再去分母.解法1z=(1-i )i 2i ·i=1+i-2=-12-12i,所以z 的虚部是-12.解法2设z=a+b i(a ,b ∈R),则2i(a+b i)=1-i,即-2b+2a i =1-i,所以-2b=1,得b=-12易错警示复数z=a+b i(a ,b ∈R)的虚部是b ,不是b i .3.3思路分析先求出a 2∶b 2∶c 2.由已知,得a 2∶b 2∶c 2=3∶6∶9,得e 2=22=3,所以e=3.4.900思路分析根据分层抽样的特点,建立比例式.设该校学生总数为n ,则300 =45-20-1045,得n=900.5.0.4设“目标受损但未完全击毁”为事件A ,则其对立事件 是“目标未受损或击毁目标”.P (A )=1-P ( )=1-(0.4+0.2)=0.4.解后反思在数学中,“但”与“且”的意义本质上是相同的.6.[-2,-1]流程图表示输出分段函数f (x )=2 ,∈[-2,2],2,∉[-2,2]的值.令f (x )得≤ ≤2,≤2≤12,解得-2≤x ≤-1.7.5思路分析先画出可行域,并解出.可行域是以A (3,1),B (3,2),C (2.5,1.5)为顶点的△ABC 及它的内部.z=2x-y=(2,-1)·(x ,y )≤(2,-1)·(3,1)=5.解后反思利用向量数量积的几何意义——一个向量的模与另一个向量在该向量上的投影的乘积,比平移直线更直观.8.-13思路分析可先求出基本量a 1,d ,再求a 7;也可利用S 7=7a 4先求出a 4.在等差数列{a n }中,S 7=7a 4=-7,所以a 4=-1.又a 2=7,所以公差d=-4,从而a 7=a 4+3d=-1-12=-13.9.12思路分析可用过圆上一点的切线方程求解;也可用垂直条件,设切线方程(x-1)-a (y-1)=0,再令圆心到切线的距离等于半径.因为点M 在圆上,所以切线方程为(1+1)(x+1)+(1-2)(y-2)=5,即2x-y-1=0.由两直线的法向量(2,-1)与(a ,1)垂直,得2a-1=0,即a=12.思想根源以圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点T (x 0,y 0)为切点的切线方程为(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2.10.3思路分析先不考虑在哪个面上钻孔,考察圆柱半径与高的关系,再检验.设圆柱的底面半径为r ,高为h ,该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面,多了一个圆柱侧面.由题意,得πr 2+πr 2=2πrh ,得r=h.经检验,只有r=3符合要求,此时在8×9的面上打孔.易错警示实际应用问题须检验.11.94解法1令x+2=a ,y +1=b ,则a+b=4(a>2,b>1),4 +1 =14(a+b 4≥14(5+4)=94,当且仅当a=83,b=43,即x=23,y=13时取等号.解法2(幂平均不等式)设a=x+2,b=y+1,则4 +2+1+1=4 +1 =22+12 ≥(1+2)2 +=94.解法3(常数代换)设a=x+2,b=y+1,则4+2+1+1=4 +1 = ++ + 4 =54+ + 4 ≥94,当且仅当a=2b 时取等号.思想根源(权方和不等式)若a ,b ,x ,y ∈(0,+∞),则 2 + 2 ≥( + )2+,当且仅当 =时取等号.12.思路分析可先记t=tan π8,最后再代入化简.解法1记t=tan π8=1-cos π4sin π4=2-1,则tan α=32t.所以tan=32 - 1+32 2= 2+3 2解法2tan =32tan π8-tan π81+32tan 2π8=tan π82+3tan 2π8=sin π8cos π82cos 2π8+3sin 2π8sin π4解后反思有时,“硬做”也是必须的.13.-e ,-5ln5,2思路分析化为定曲线与两条动直线共有三个公共点.关键是两条动直线关于x 轴对称,其交点在x 轴上.方程|f (x )|-ax-5=0⇔f (x )=ax+5或f (x )=-ax-5.所以曲线C :y=f (x )与两条直线l :y=ax+5和m :y=-ax-5共有三个公共点.由曲线的形状可判断直线l 与曲线C 总有两个交点,所以可有情况是:直线m 与曲线C 相切,直线m 与曲线C 相交两点但其中一点是l ,m 的交点-5,0.由m 与C 相切,得当a>0时,y=-ax-5与f (x )图像在x ≤0的一侧相切.设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=2x 0=-a ,x 0=-2.又切线方程为y-y 0=-a (x-x 0),得y=-ax+ax 0+y 0=-ax+a ·-+ 24-4=-ax- 24-4=-ax-5,得a=2.同理当a<0时,可得a=-e .由题易知a ≠0,从而m 与C 相切时,a=2或a=-e;由点-5,0在C 上,得当a>0时,交点位于f (x )图像在x ≤0的一侧,此时有f =25 2-4=0,a=52;当a<0时,交点位于f (x )图像在x>0的一侧,此时有f e -5-5=0,a=-5ln5,故由交点在C 上得a=52或a=-5ln5.经判断,a 的这四个值均满足要求.解后反思先确定a 的可能值,再检验,较易操作.也可考虑定曲线y=|f (x )|与动直线y=ax+b 的公共点的问题.14.-43,4思路分析固定顶点A ,B 后,就是一个双动点问题,与单个动点问题类似.解法1在平面直角坐标系xOy 中,设A (-1,0),B (1,0),C (cos α,sin α),P (r cos β,r sin β),其中α∈(0,π),r ∈[0,1],β∈R .· + · + · =3r 2-1-2r cos(β-α)∈[3r 2-2r-1,3r 2+2r-1]⊆-43,4,当r=13,β=α时,取得最小值-43;当r=1,β=π+α时,取得最大值4.解法2 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2-24+2 ·= 2+2 ·-1.以O 为坐标原点,建立直角坐标系,设P (x 0,y 0),C (cos θ,sin θ),则 2+2 · -1=3 02+3 02-2x 0cos θ-2y 0sin θ-1,其中x 0cos θ+y 0sin θ= 02+ 02sin(θ+φ)∈[- 02+ 02, 02+ 02].令t= 02+ 02∈[0,1],则3t 2-2t-1≤ 2+2 · -1≤3t 2+2t-1,得到 2+2 · -1∈-43,4.解法3 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2- 24+2 · = 2+2 ·-1.若知道 · =( - )·( + )=PO 2-OB 2, · + · =( + )· =2 · ,可加快计算速度.实际上,PO 2-OB 2=r 2-1,由向量数量积的定义知2 · =2 ·( - )∈[2r 2-2r ,2r 2+2r ].更进一步, · + · + · =3 2-2 · -1=3 -13 2-43.思想根源设G 是△ABC 的重心,P 是平面ABC 上任意一点,则 · + · + ·=3 2- 2+ 2+ 26.15.思路分析(1)首先把函数化简为f (x )=A sin(ωx+φ)+B 的形式,其中A>0,ω>0.(2)利用正弦、余弦定理,列出关于边a ,b 的方程组.规范解答(1)因为f (x )x-12(1+cos2x )-12(2分)=sin 2 1,(4分)所以函数f (x )的最小值是-2,(5分)此时2x-π6=2k π-π2,k ∈Z,得x=k π-π6,k ∈Z,即x 的取值集合为 = π-π6, ∈Z .(7分)(2)由f (C )=0,得sin 2 1.又C ∈(0,π),所以2C-π6=π2,得C=π3.(9分)由sin B=2sin A 及正弦定理,得b=2a.(11分)由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得a 2+b 2-ab=3.(13分)由=2 , 2+ 2- =3,解得 =1,=2.(14分)16.思路分析(1)要证MF ∥平面ABCD ,只要证MF 与平面ABCD 内的某直线平行.当F 沿 移到B 时,M 恰好移到AC 的中点E.也可以找MF 所在的平面AC 1F 与底面ABCD 的交线.(2)只要先证MF ⊥平面ACC 1A 1,只要证EB ⊥平面ACC 1A 1.规范解答(1)证法1如图1,连结AC ,取AC 的中点E ,连结ME ,EB.因为M ,E 分别是AC 1,AC 的中点,所以ME 12C 1C.(2分)又F 是B 1B 的中点,且B 1B C 1C ,得FB12C 1C ,所以MEFB ,四边形MFBE 是平行四边形,(4分)所以MF ∥EB.因为MF ⊄平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图1证法2如图2,延长C 1F ,CB 相交于点G ,连结AG.因为FB12C 1C ,所以F 是GC 1的中点.(2分)又因为M 是AC 1的中点,所以MF ∥AG.(4分)因为MF ⊄平面ABCD ,AG ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图2(2)如图1,因为底面ABCD 是菱形,得BA=BC ,又E 是AC 的中点,所以EB ⊥AC.因为A 1A ⊥平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以A 1A ⊥EB.(9分)由(1)知,MF ∥EB ,所以MF ⊥AC ,MF ⊥A 1A.(11分)又因为A 1A ∩AC=A ,A 1A ,AC ⊂平面ACC 1A 1,所以MF ⊥平面ACC 1A 1.(13分)因为MF ⊂平面AFC 1,所以平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.(14分)17.思路分析(1)由e 求得a ∶b ∶c.(2)最简单直接的解法是:利用PA ,PB 的斜率互为相反数,直接求出A ,B 的坐标.规范解答(1)由e==得a ∶b ∶c=2∶1∶3,椭圆C 的方程为 24 2+ 22=1.(2分)把P (2,-1)的坐标代入,得b 2=2,所以椭圆C 的方程是 28+ 22=1.(5分)(2)由已知得PA ,PB 的斜率存在,且互为相反数.(6分)设直线PA 的方程为y+1=k (x-2),其中k ≠0.由+1= ( -2),2+4 2=8,消去y ,得x 2+4[kx-(2k+1)]2=8,即(1+4k 2)x 2-8k (2k+1)x+4(2k+1)2-8=0.(8分)因为该方程的两根为2,x A ,所以2x A =4(2 +1)2-81+4 2,即x A =8 2+8 -21+4 2.从而y A =4 2-4 -14 2+1.(10分)把k 换成-k ,得x B =8 2-8 -21+4 2,y B =4 2+4 -14 2+1.(12分)计算,得k AB = --=8-16 =-12,是定值.(14分)解后反思利用直线PA 与椭圆C 已经有一个交点P (2,-1),可使得解答更简单.由+1= ( -2), 2+4 2=8,得+1= ( -2),4( 2-1)=4- 2,当(x ,y )≠(2,-1)时,可得+1= ( -2),4 ( -1)=- -2.解得=8 2+8 -24 2+1,=4 2-4 -14 2+1.以下同解答.下面介绍一个更优雅的解法.由A ,B 在椭圆C :x 2+4y 2=8上,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,所以k AB = 1- 2 1- 2=-14· 1+21+2.同理k PA =1+1 1-2=-14· 1+21-1,k PB =2+1 2-2=-14· 2+22-1.由已知,得k PA =-k PB ,所以1+1 1-2=-2+1 2-2,且1+2 1-1=-2+2 2-1,即x 1y 2+x 2y 1=2(y 1+y 2)-(x 1+x 2)+4,且x 1y 2+x 2y 1=(x 1+x 2)-2(y 1+y 2)+4.从而可得x 1+x 2=2(y 1+y 2).所以k AB =-14· 1+ 21+2=-12,是定值.18.思路分析(1)首先B (-2,1).设曲线段AB 对应函数的解析式为f (x ),则f (-2)=1且f'(-2)=12.(2)先算出M P 的最大值.规范解答(1)首先B (-2,1),由y'=-16 (4+ 2)2,得曲线段BCD 在点B 处的切线的斜率为12.(2分)设曲线段AB 对应函数的解析式为y=f (x )=a (x-m )2(x ∈[m ,-2]),其中m<-2,a>0.由题意,得 (-2)= (-2- )2=1,'(-2)=2 (-2- )=12,解得=-6,=116.(4分)所以曲线段AB 对应函数的解析式为y=116(x+6)2(x ∈[-6,-2]).(5分)(2)设P (x ,y ),记g (x )=M P =(0-x )+6), ∈[-6,-2],∈[-2,0].(7分)①当x ∈[-6,-2]时,g (x )的最大值为g (-3)=98;(10分)②当x ∈[-2,0]时,g (x )-g (-2)=-( 2-4)2(4+ 2)2≤0,即g (x )≤g (-2)=1,得g (x )的最大值为g (x )max =98.(13分)综上所述,g (x )max =98.(14分)因为0.8<98<1.5<2,所以,游客踏乘的观光车不能过桥,蓄电池动力、内燃机动力观光车能够顺利过桥.(16分)19.思路分析(1)利用a n =1, =1,- -1,≥2,得到a n+1与a n 的关系.(2)与(1)类似,相当于(-1) n 项和为1.当n ≥2时,(-1)n+1 2 +1=1 -1-1.(3)即c n+1-c n >0对n ∈N *恒成立.考虑分离出λ.规范解答(1)a 1=S 1=2.由a n+1=S n+1-S n =(2a n+1-2)-(2a n -2),得a n+1=2a n .(2分)所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,a n =2n .(4分)(2)由1 1= 12+1,得b 1=32.(5分)当n ≥2时,1-1 -1=(-1)n+12 +1,得b n =(-1)n 2 +12.(8分)所以b n =1,1) 2 +12,≥2.(9分)(3)假设数列{c n }是单调增数列,则c n+1-c n =2n +λ(b n+1-b n )>0对n ∈N *恒成立.①当n=1时,由2+0,得λ<8;(11分)②当n ≥2时,b n+1-b n =(-1)n+12 +1+12 +1-(-1)n 2 +12=(-1)n+12 +2+32 +1.若n=2k ,k ∈N *,则λ<12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递增,当n=2时取最小值3219,得λ<3219;(13分)若n=2k+1,k ∈N *,则λ>-12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而-12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递减,当n=3时取最大值-12835,得λ>-12835.(15分)综上所述,存在实数λ,且λ的取值范围是-12835(16分)解后反思特别要注意对n=1时的单独处理.20.思路分析(1)只要注意对k 的讨论.(2)分离出k ,转化为k>K (x )恒成立问题.(3)先说明0<x 1<e k <x 2,从而只要证e k <x 2<e 2 1,只要证f (x 1)=f (x 2)转化为关于x 1的不等式对0<x 1<e k 恒成立问题.规范解答(1)f'(x )=ln x-k ,其中x>1.(1分)①若k ≤0,则x>1时,f'(x )>0恒成立,f (x )在(1,+∞)上单调递增,无极值;(2分)②若k>0,则f (x )在(1,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增,(4分)有极小值f (e k )=-e k ,无极大值.(5分)(2)问题可转化为k>1x-1对x ∈[e,e 2]恒成立.(7分)设K (x )=1x-1,则K'(x )=42ln x+11=4 2(ln x-1)+1.当x ∈[e,e 2]时,K'(x )≥1>0,所以K (x )在[e,e 2]上单调递增,K (x )max =K (e 2)=1-8e2.(9分)所以实数k 的取值范围是1-8e 2,+∞.(10分)(3)因为f'(x )=ln x-k ,所以f (x )在(0,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增.不妨设0<x 1<e k <x 2.要证x 1x 2<e 2k ,只要证x 2<e 21.因为f (x )在[e k ,+∞)上单调递增,所以只要证f (x 1)=f (x 2)即要证(ln x 1-k-1)x 1<(k-ln x 1-1)e 21.(12分)令t=2(k-ln x 1)>0,只要证(t-2)e t +t+2>0.设H (t )=(t-2)e t +t+2,则只要证H (t )>0对t>0恒成立.H'(t )=(t-1)e t +1,H ″(t )=t e t >0对t>0恒成立.所以H'(t )在(0,+∞)上单调递增,H'(t )>H'(0)=0.(14分)所以H (t )在(0,+∞)上单调递增,H (t )>H (0)=0.综上所述,x 1x 2<e 2k .(16分)21.A.规范解答由切割线定理,得FG 2=FD ·FA.(2分)因为EF=FG ,所以EF 2=FD ·FA ,即 =.(5分)又因为∠EFA=∠DFE ,所以△EFA ∽△DFE.所以∠EAF=∠DEF.(8分)因为∠EAF=∠BAD=∠BCD ,所以∠DEF=∠BCD.所以EF ∥CB.(10分)B.规范解答因为AC=B ,所以C=A -1B.(2分)由|A|=2113=6-1=5,得A -13-112.(6分)所以3-112110-1341-3=35-15-3(10分)C.思路分析化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程,可利用直线l 的标准参数方程的几何意义求线段AB 的长.规范解答因为曲线C 经过极点,所以其极坐标方程也为ρ2sin 2θ-4ρcos θ=0,(2分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的直角坐标方程为y 2-4x=0.(4分)把直线l 的标准参数方程代入,得t 2+82t=0,解得t 1=0,t 2=-82.(8分)所以AB=|t 2-t 1|=82.(10分)易错警示必须先说明“曲线C 经过极点”,才能在方程ρsin 2θ-4cos θ=0两边同乘ρ,否则新方程表示的曲线可能比曲线C 多一个极点.D.思路分析化x 2+y 2为xy ,显然可用基本不等式x 2+y 2≥2xy.规范解答因为a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,所以(ax+by )(bx+ay )=ab (x 2+y 2)+(a 2+b 2)xy ≥ab ·2xy+(a 2+b 2)xy=(a+b )2xy=xy.(9分)当且仅当x=y 时,取等号.(10分)22.思路分析本质上就是要求出ξ的分布,否则怎么说明理由?规范解答(1)设第一次与第二次取到卡片上数字分别为X ,Y.则P (X=1)=P (Y=1)=P (X=2)=P (Y=2)=38,P (X=3)=P (Y=3)=28.随机变量ξ的可能取值为2,3,4,5,6.(2分)P (ξ=2)=P (X=1)P (Y=1)=964,P (ξ=3)=P (X=1)P (Y=2)+P (X=2)P (Y=1)=932,P (ξ=4)=P (X=1)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=1)+P (X=2)P (Y=2)=2164,P (ξ=5)=P (X=2)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=2)=316,P (ξ=6)=P (X=3)P (Y=3)=116.(7分)所以当ξ=4时,其发生的概率最大.(8分)(2)由(1)可知E (ξ)=2×964+3×1864+4×2164+5×1264+6×464=24064=154.(10分)解后反思利用ξ=X+Y 来计算P (ξ=k ),条理清楚,不易出错.思想根源实际上,因为ξ=X+Y ,所以E (ξ)=E (X )+E (Y )=158+158=154.23.思路分析可直接判断点C 的轨迹是直线MN ,也可设C (x ,y ),得关于(x ,y )的参数方程.(1)只要证 · =x 1x 2+y 1y 2=0.可利用根与系数的关系.(2)设弦为EF ,则 ·=0,可设直线EF 的方程为x-m=λy.规范解答(1)由 =t +(1-t ) ,得 - =t ( - ),即 =t .所以点C 的轨迹就是直线MN ,其轨迹方程为x-y-4=0.(2分)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由- -4=0,2=4 ,消去x ,得y 2-4y-16=0,所以y 1y 2=-16.而x 1x 2= 124· 224=16,所以 · =x 1x 2+y 1y 2=0.所以OA ⊥OB.(4分)(2)设经过点P (m ,0)的弦EF 所在的直线方程为x-m=λy.设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则以EF 为直径的圆经过原点等价于x 1x 2+y 1y 2=0.由- = ,2=4 ,得y 2-4λy-4m=0.当Δ=16λ2+16m>0时,y 1+y 2=4λ,y 1y 2=-4m.从而x 1x 2=12 2216=m 2.所以m 2-4m=0,解得m=0或m=4.(6分)①若m=0,则λ≠0,此时圆心D (x ,y )满足 =2 2,=2 (λ≠0).圆心的轨迹方程为y 2=2x (y ≠0).(8分)②若m=4,则λ∈R,此时圆心D (x ,y )满足=2 2+4, =2 .圆心的轨迹方程为y 2=2(x-4).(10分)易错警示不要轻易舍去m=0的情况.。

六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。

粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。

如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。

万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。

只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。

2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。

如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。

写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。

3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。

若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。

不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。

4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。

如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。

5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。

然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。

不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。

请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。

6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。

14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。

听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。

听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。

江苏省苏州市2019届高三数学最后一卷试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}02x x <<，B ＝{}1x x >，则A I B ＝ ． 答案：(1，2) 考点：集合的运算 解析：∵02x <<，1x >∴12x <<∴A I B ＝(1，2) 2．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为 ．考点：虚数 解析：i 1i 2i 22a az -==--，因为复数z 的模为1，所以21144a +=，求得a ． 3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．答案：48考点：频率分布直方图解析：15(0.03750.0125)0.75-⨯+= 212(0.75)6÷⨯＝484．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为 ．答案：7考点：算法初步解析：s 取值由3→9→45，与之对应的k 为3→5→7，所以输出k 是7．5．设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y )为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ． 答案：1﹣8π 考点：几何概型解析：设事件A 发生的概率为P ，P ＝88π-＝1﹣8π． 6．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A＝ ． 答案：2π 考点：三角函数与解三角形 解析：因为sin A cosC a b =，所以sin A cosCsin A sin B=，则sinB ＝cosC ，由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π．7．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝ ． 答案：8考点：等比中项 解析：∵2434(1)a a a =-∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 8．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ．考点：分段函数解析：∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f =∴log 22a =，解得a．9．如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm ．答案：4考点：圆柱、球的体积解析：设此圆柱底面的半径是r cm ． 得：32243863r r r r πππ⨯+=⋅ 解得：r ＝410．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为 ． 答案：13考点：椭圆的离心率解析：设点B 为椭圆的左顶点，由题意知AM ∥BQ ，且AM ＝12BQ ∴AM AFBQ BF =，则12a c a c-=+ 求得a ＝3c ，即e ＝13． 11．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是 ． 答案：(3π，+∞) 考点：三角函数的图像与性质解析：不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．12．已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点，且满足AP ⊥BP ，则点P 的纵坐标取值范围是 ． 答案：[2，6] 考点：圆的方程解析：要使AP ⊥BP ，即∠APB 的最大值要大于或等于90°，显然当PA 切圆C 于点A ，PB 切圆C 于点B 时，∠APB 最大，此时∠CPA 最大为45°，则sin ∠CPA ≥22，即CA CP≥2，设点P(5，0y )，则201016(4)y +-≥2，解得2≤0y ≤6．13．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，AB 2BC =u u u r u u u r ，则PC PA⋅u u u r u u u r 的最小值为 ．答案：5﹣13考点：平面向量数量积解析：取AC 中点M ，由极化恒等式得22219PC PA PM AC PM 44⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 有最小值为2﹣132，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r的最小值为5﹣1314．已知实数a ，b ，c 满足2121a cb c ee a b +--+≤++（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是 ． 答案：15考点：函数与导数解析：设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-，可知()(0)0u x u ≥=，即1xe x ≥+；可知211221a cb c ee a c b c a b +--+≥+++-=++，当且仅当210a c b c +=--=时取等； 即2121a cb c ee a b +--+=++，210a c b c +=--=．解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知向量a r ＝(sin θ，cos θ﹣2sin θ)，b r＝(1，2)． （1）若a r ∥b r ，求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值；（2）若a b =r r，0＜θ＜π，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．（1）求证：OM ∥平面PAD ； （2）求证：OM ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△P F1F23．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0，18)，求直线PQ的斜率．18．（本小题满分16分）如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60°时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．19．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为A n ，且A n ＝1()2n n a a +，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使k m a b =．（1）若11a =，35a =，求2a ； （2）证明：数列{}n a 为等差数列；（3）若q ＝2，是否存在整数m ，k ，使A k ＝86B m ，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x ＝t 处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”．（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；（2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”．①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈[1，+∞)，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围．附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足MN*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。

EDCBA2019届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学(文)试题（正卷）2018．9注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置． 3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 方差公式：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-，其中121()n x x x x n=+++.锥体体积公式：1=3V Sh 锥体(S 为锥体底面面积，h 为锥体的高).一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1}A =-，集合{|0}B x x =>，则AB = ▲ ．2．若复数12i z =+，22i z a =-(i 为虚数单位)，且12z z 为实数，则实数a = ▲ ．3．一组数据1，2，3，4，a 的平均数为2，则该组数据的方差等于 ▲ ． 4．如图是某一算法的伪代码，则输出值n 等于 ▲ ．5．一只口袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次 摸出2只球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ▲ ．6．已知函数222(0)()(0)x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥为奇函数，则实数a 的值等于 ▲ ．7．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0ϕπ<≤)的一条对称轴是512x π=-，则ϕ= ▲ ．8．已知等比数列{}n a 的前 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为 ▲ ．9．已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于 ▲ ． 101(cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为 ▲ cm 3．11．如图，已知AC 与BD 交于点E ，AB ∥CD ，AC =26AB CD ==，则当tan 3A =时，BE CD ⋅= ▲ ．(第4题)(第11题)12．已知函数f (x )＝|x 2－6|，若0a b >>，且f (a )＝f (b )，则a 2b 的最大值是 ▲ ． 13．在斜三角形ABC 中，已知11tan 0tan tan C A B++=，则tan C 的最大值等于 ▲ ． 14．已知⊙C 的方程为：222(3)(2)(0)x y r r -+-=>，若直线33x y +=上存在一点P ，在⊙C 总存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，则⊙C 的半径r 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知πcos (0,)2αα=∈． （1）求πsin()4α+的值；（2）若()11πcos ,(0,)142αββ+=∈，求β的值．16．（本题满分14分）如图，已知矩形CDEF 和直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，DE =DA ， M 为AE 的中点．(1)求证：AC ∥平面DMF ； (2)求证：BE ⊥DM ．MFE DCBA (第16题)17．（本题满分14分）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD 及矩形的停车场EFGH ，剩余的地方进行绿化．其中半圆的圆心为O ，半径为r ，矩形的一边AB 在直径上，点C ，D ，G ，H 在圆周上，E ，F 在边CD 上，且∠BOG =60︒，设BOC θ∠=．(1)记市民活动广场及停车场的占地总面积为()f θ，求()f θ的表达式； (2)当cos θ为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．18．（本题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P (1,32)为椭圆上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点(0,1)C 且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，若122k k =，求直线l 斜率的值．FEGH C DOBA(第17题)19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34S a =，523a a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； (3)是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.20．（本小题满分16分）若对任意的实数k ，b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．(1)判断函数2()f x x =是否为“恒切函数”；(2)若函数()ln f x m x nx =+(0m ≠)是“恒切函数”，求实数m ，n 满足的关系式； (3)若函数()(e 1)e x x f x x m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤．2018~2019学年第一学期期初教学质量调研卷 高三数学（正卷）参考解答与评分标准一、填空题：（每题5分，满分70分） 1．{1}2．43．24．45．356．−2 7．3π 8．2 9．1124-1011．1212．1613．-14．)+∞ 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（本题满分14分） 解：(1)由πcos (0,)2αα=∈，得1sin 7α=，············································· 2分 所以πππsin()sin cos cos sin 444ααα+=+ ·············································· 4分17=+=． ································ 6分 (2)因为π,(0,)2αβ∈，所以(0,π)αβ+∈．又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+== 8分所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+ ·············· 10分11111472=-⨯=． ············································· 12分 因为π(0,)2β∈，所以π6β=． ······················································ 14分16．（本题满分14分）证明：(1)连接EC 交DE 于N ，连接MN ．∵矩形CDEF ，∴EC ，DF 相互平分，∴N 为EC 中点． ·· 2分 又∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ． ··································· 4分 又∵AC ⊄平面DMF ，且MN ⊂平面DMF ．∴AC ∥平面DMF ． ·················································· 7分 (2)∵矩形CDEF ，∴CD ⊥DE ．又∵AB ∥CD ，∴AB ⊥DE ． ·························································· 8分 又∵直角梯形ABCD ，AB ∥CD 且90ADC ∠=︒，∴AB ⊥AD ． ∵DEAD =D ，∴AB ⊥平面ADE ． ··············································· 10分又∵DM ⊂平面ADE ，∴AB ⊥DM ．∵AD DE =，M 为AE 的中点，∴AE ⊥DM ． ·································· 11分 又∵AB AE A =，∴MD ⊥平面A BE ． ·········································· 13分∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥MD ． ··················································· 14分 17．（本题满分14分）解：(1)∵半圆的半径为r ，BOC θ∠=，∠OBC =90°．∴在直角三角形OBC 中，cos OB r θ=，sin BC r θ=，∴2cos AB r θ=．∴22sin cos ABCD S AB BC r θθ=⋅=矩形． ················································ 2分 又∵∠BOG =60︒，由半圆的对称性可知，∠HOA =60︒，∴∠HOG =60︒． ∴△HOG 为等边三角形，∴HG =r ，HEsin r θ-=sin )r θ．∴2sin )EFGH S EF EH r θ=⋅=-矩形． ·············································· 4分 ∴()ABCD EFGH f S S θ=+=矩形矩形2(2sin cos sin r θθθ-+，其中(0,)3πθ∈． ································································································· 7分(2) ∵222()(2cos 2sin cos )f r θθθθ'=--=22(4cos cos 2)r θθ--． ··········· 9分 令()0f θ'=，即24cos cos 20θθ--=，解得：cos θ=cos θ=(舍去)． ·································· 11分令0cos θ=0(0,)3πθ∈． 1︒当0(0,)θθ∈时，()0f θ'>，()f θ单调递增；2︒当0(,)3πθθ∈时，()0f θ'<，()f θ单调递减．∴当0θθ=时，()f θ取得最大值． ···················································· 13分答：当cos θ= · 14分18．（本题满分16分）解：(1)∵椭圆的离心率为12，∴2a c =．又∵222a b c =+，∴b =．∴椭圆的标准方程为：2222143x y c c+=． ··············· 3分ABODC H GEF又∵点P (1,32)为椭圆上一点，∴22914143c c +=，解得：1c =． ··············· 5分∴椭圆的标准方程为：22143x y +=． ················································· 6分 (2)由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为1y kx =+． 设1122(,),(,)M x y N x y ．联列方程组：221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：22(34)880k x kx ++-=． ∴由韦达定理可知：122834k x x k +=-+，122834x x k =-+． ····················· 8分 ∵1112y k x =+，2212yk x =-，且122k k =，∴1212222y y x x =+-． ·················· 10分即221222124(2)(2)y y x x =+-．①又∵1122(,),(,)M x y N x y 在椭圆上， ∴22113(4)4y x =-，22223(4)4y x =-．②将②代入①可得：121224(2)22x x x x -+=+-，即1212310()120x x x x +++=． ······· 12分 ∴22883()10()1203434k k k-+-+=++，即2122030k k -+=． ················· 14分 解得：16k =或32k =．又∵k >1，∴32k =． ······································ 16分 19．（本小题满分16分）解：(1)设奇数项的等差数列公差为d ，偶数项的等比数列公比为q ． ∴数列{}n a 的前5项依次为：1，2，1+d ，2q ，1+2d ．∵34523S a a a a =⎧⎨=+⎩，∴42123d q d d +=⎧⎨+=+⎩，解得：23d q =⎧⎨=⎩． ···························· 2分∴12()23()nn n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数． ······························································ 4分 (2) ∵12m m m a a a ++=．1︒若2m k =(N*k ∈)则22122k k k a a a ++=，∴123(21)23k k k -⋅⨯+=⋅，即213k +=，∴1k =，即2m =． ································································································· 6分2︒若21m k =-(N*k ∈)则21221k k k a a a -+=，∴1(21)2321k k k --⨯⋅=+，∴12122312121k k k k -+⋅==+--． ∵123k -⋅为整数，∴221k -必为整数，∴211k -=，∴1k =，此时0233⋅≠． 不合题意． ················································································· 8分 综上可知：m =2． ········································································ 9分 (3)∵21321242()()m m m S a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=(121)2m m +-+2(13)13m --=231m m +-． ································· 10分21122122312331m m m m m m S S a m m ---=-=+--⋅=+-． ··························· 11分∴221m m S S -=2123131m m m m -+-+-=2122(1)3331m m m ---+-≤． ······································ 12分 若221mm S S -为数列{}n a 中的项，则只能为123,,a a a ． 1︒2211m m S S -=，则2122(1)3131m m m ---=+-，∴130m -=，m 无解． ··················· 13分 2︒2212m m S S -=，则2122(1)3231m m m ---=+-，∴12310m m -+-=． 当1m =时，等式不成立； 当2m =时，等式成立；当3m ≥时，令1221()31313x x f x x x -=+-=⋅+-．∴ln3()323xf x x '=⋅-，2ln 3()323x f x ''=⋅-． 当3x ≥时，()0f x ''>，∴()f x '在[3,)+∞上单调递增． 又∵(3)9ln 360f '=->，∴()0f x '>在[3,)+∞上恒成立， ∴()f x 在[3,)+∞上单调递增．∵(3)10f =>，∴当3m ≥时，方程12310m m -+-=无解． ···················· 14分3︒2213m m S S -=，则2122(1)3331m m m ---=+-，∴210m -=，即1m =． ·············· 15分 综上可知：1m =或2m =． ···························································· 16分 20．（本小题满分16分）解：(1)函数()f x 为“恒切函数”，设切点为00(,)x y ．则0000()()f x kx b kx b f x k k ++=+⎧⎨'+=⎩，∴00()0()0f x f x =⎧⎨'=⎩． ······································· 2分对于函数2()f x x =，()2f x x '=．设切点为00(,)x y ，∴20020x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ······················································· 3分解得：00x =．∴2()f x x =是“恒切函数”． ······································· 4分 (2)若函数()ln f x m x nx =+(0m ≠)是“恒切函数”，设切点为00(,)x y ．∵()mf x n x '=+，∴000ln 00m x nx m n x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ·············································· 5分解得：0ln 1x =，即0x e =． ···························································· 7分 ∴实数m ，n 满足的关系式为：0m ne +=． ······································· 8分 (3) 函数()(1)x x f x e x e m =--+是“恒切函数”，设切点为00(,)x y ． ∵()(22)xxf x e x e '=--，∴000000(1)0(22)0x x x x e x e m e x e ⎧--+=⎪⎨--=⎪⎩， ∴0000(1)22x x x m e x e e x ⎧=---⎪⎨=+⎪⎩． ······························································· 10分考查方程22x e x =+的解，设()22x g x e x =--． ∵()21x g x e '=-，令()0g x '=，解得：ln 2x =-． ∴当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(ln 2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．∴min ()(ln 2)ln 210g x g =-=-<． ··················································· 12分1︒当(,ln 2)x ∈-∞-时∵24(2)0g e -=>，2(1)10g e-=-<． ∴()22x g x e x =--在(,ln 2)-∞-上有唯一零点0(2,1)x ∈--．又∵00(1)x x m e x e =---=001(2)4x x +，∴1(,0)4m ∈-． ························ 14分2︒当(ln 2,)x ∈-+∞时∵(0)0g =，∴()22x g x e x =--在(ln 2,)-+∞上有唯一零点0，∴0m =．································································································15分综上可知：14m-<≤．································································16分。

2019年江苏省苏州市新区第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是 ( ）A． B． C． D．参考答案：B2. 世界华商大会的某分会场有A，B，C，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（A）12种（B）10种（C）8种（D）6种i参考答案：D略3. （5分）（2015?浙江模拟）若a是实数，则“a2≠4”是“a≠2”的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件参考答案：C【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分必要条件的定义进行判断即可．解：若“a2≠4”，则“a≠2”，是充分条件，若“a≠2”，则推不出“a2≠4”，不是必要条件，故选：C．【点评】：本题考查了充分必要条件，考查了不等式问题，是一道基础题．4. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A． B． C． D．4参考答案：A略5. 已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（）A B.C. D.参考答案：B【分析】分析函数f(x)解析式可知函数存在唯一零点x=0,则只需，从而得到a的范围.【详解】指数函数，没有零点，有唯一的零点，所以若函数存在零点，须有零点，即，则，故选：B.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.6. （）A．B．C．D．参考答案：B.故选：B7. 已知球面上有A、B、C三点，且AB=AC=，BC=2，球心到平面ABC的距离为，则球的体积为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B由题意，，可得，又由球心到截面ABC的距离为，正好是球心到BC的中点的距离，所以球的半径为，所以球的体积为，故选B.8. 阅读图的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣36时，输出x的值为（）A．0 B．1 C．3 D．15参考答案：A【考点】程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x=﹣36时，|x|＞1，执行循环，x=6﹣2=4；|x|=4＞1，执行循环，x=2﹣2=0，|x|=0＜1，退出循环，输出的结果为x=1﹣1=0．故选：A9. “”是“函数在上单调递增的”（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A若在上单调递增，则恒成立，∴恒成立，∵，∴，∴“”是在上递增的充分不必要条件，选择．10. 若R，则=2是的A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件C、.既不充分又不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 存在以下三个命题：①若，则；②若a、b∈R，则；③若，则；其中正确的是（填序号）参考答案：①②③略12. 已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是_____________；参考答案：略13. 已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为．参考答案：[﹣1，+∞）【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】化简函数f（x），根据函数f（x）的单调性，解不等式即可．【解答】解：当x≤2时，f（x）=x|x﹣2|=﹣x（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，当x＞2时，f（x）=x|x﹣2|=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，此时函数单调递增．由f（x）=（x﹣1）2﹣1=1，解得x=1+．由图象可以要使不等式成立，则，即x≥﹣1，∴不等式的解集为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，使用数形结合是解决本题的基本思想．14. 已知实数满足，则直线恒过定点，该直线被圆所截得弦长的取值范围为．参考答案：；考点：直线过定点的知识及直线截圆所得的弦长计算公式及运用．15. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．【解答】解：蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体，其体积为1．而棱长为3的正方体的体积为27．故所求概率为．故答案为：．16. 已知函数，若，则关于的方程的所有不同实数根的积为．参考答案：略17. 一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为(用数值作答)．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数 学参考公式：样本数据12,,n x x x L 的方差2211()n i i s x x n==-∑，其中11ni i x x n==∑.柱体的体积V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1.已知集合{0,1},{1,1}A B ==-，则A B =I ________.2.已知复数z 满足(1)1z i i +=-（i 是虚数单位），则复数z =________.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,,9.2,9.4x， 且这5个分数的平均数为9.3，则实数x =________.4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y 值为1， 则输入的实数x 的值为________.5. 函数y =________.6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________.8. 已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆 柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的 体积的比值为________.9. 已知正数,x y 满足1yx x+=，则1x x y +的最小值为________.10. 若直线0kx y k --=与曲线e x y =（e 是自然对数的底数）相切，则实数 k =________.OP（第8题）(第4题)11. 已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈是偶函数，点(1,0)是函数()y f x =图象 的对称中心，则ω最小值为________.12. 平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==u u u r u u u r，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3||OC =u u u r ，则||OD =u u u r ________.13. 过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________.14. 数列{},{}n n a b 满足*1(1)()N n n n n b a a n +=+-∈，且数列{}n b 的前n 项和为2n ，已知数列{}n a n -的前2018项和为1，那么数列{}n a 的首项1a =________.二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M ，N 分别是AB ，CC 1的中点．(1) 求证：CM ∥平面AB 1N ； (2) 求证：平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B .(第15题)16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且b 2－233bcsinA ＋c 2＝a 2.(1) 求角A 的大小；(2) 若tanBtanC ＝3，且a ＝2，求△ABC 的周长．17. (本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1上，其中a ＞b ＞0，且点⎝⎛⎭⎫63，63是椭圆C 1，C 2位于第一象限的交点． (1) 求椭圆C 1，C 2的标准方程；(2) 过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A ，B ，已知PA →＝35PB →，求直线l 的斜率．18. (本小题满分16分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图(2)中所示的多边形ABCDEFGH )，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6 m ，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2 m ，记景观窗格的外框(图(2)中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.(1) 若∠ABC ＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6 m ，求景观窗格的外框总长度；(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5 m ，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度．图(1)图(2)(第18题)19. (本小题满分16分)已知在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＋3a n ＋4＝0，n ∈N *. (1) 求证：{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)已知函数m(x)＝x2，函数n(x)＝a ln x＋1(a∈R)．(1) 若a＝2，求曲线y＝n(x)在点(1，n(1))处的切线方程；(2) 若函数f(x)＝m(x)－n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(3) 若函数g(x)＝n(x)－1＋e x－e x≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．(e 是自然对数的底数，e＝2.718 28…)江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学参考答案及评分标准1. {1}2. －i3. 9.54. 35. (0，e ]6. 357. y ＝±3x 8. 38 9. 4 10. e 211. π2 12. 23 13. y ＝±3x 14. 32(第15题)15. (1) 令AB 1交A 1B 于点O ，连接OM ，ON ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1，BB 1＝CC 1，且四边形AA 1B 1B 是平行四边形，所以O 为AB 1的中点，又因为M 为AB 的中点，所以OM ∥BB 1，且OM ＝12BB 1.因为N 为CC 1的中点，CN ＝12CC 1，所以OM ＝CN ，且OM ∥CN ，所以四边形CMON 是平行四边形，(5分)所以CM ∥ON ，又ON ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ，所以CM ∥平面AB 1N.(7分) (2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CM.(9分)因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ，又由(1)知CM ∥ON ，所以ON ⊥AB ，ON ⊥BB 1.又因为AB ∩BB 1＝B ，AB ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，所以ON ⊥平面AA 1B 1B.(12分)又ON ⊂平面A 1BN ，所以平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B.(14分)16. (1) 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又b 2－233bc sin A ＋c 2＝a 2，所以b 2－2bc cos A ＋c 2＝b 2－233bc sin A ＋c 2，即2bc cos A ＝233bc sin A ，(3分) 从而sin A ＝3cos A ，若cos A ＝0，则sin A ＝0，与sin 2A ＋cos 2A ＝1矛盾，所以cos A ≠0，所以tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(7分)(2)tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝tan (B ＋C)＝tan (π－A)＝tan 2π3＝－ 3.(9分)又tan B tan C ＝3，所以tan B ＋tan C ＝－3×(－2)＝23，解得tan B ＝tan C ＝ 3.(11分) 又B ，C ∈(0，π)，所以B ＝C ＝π3.又因为A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，由a ＝2，得△ABC 的周长为6.(14分)17. (1) 椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点坐标为(±c ，0)，代入椭圆C 2的方程有c 2b 2＝1，点P ⎝⎛⎭⎫63，63的坐标代入椭圆C 1，C 2的方程有C 1：23a 2＋23b 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，23a 2＋23b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝c 2＝1，(3分)所以椭圆C 1，C 2的标准方程分别为x 22＋y 2＝1，y 22＋x 2＝1.(5分)(2) 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0，m)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 22＋x 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得（kx ＋m ）22＋x 2＝1，即⎝⎛⎭⎫1＋k 22x 2＋kmx ＋m22－1＝0， Δ＝k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫1＋k 22⎝⎛⎭⎫m 22－1＝0，即k 2＋2－m 2＝0.(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得x 22＋(kx ＋m)2＝1，即⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，因为直线l 与椭圆C 1相交，有Δ＝4k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2(m 2－1)＝4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋12>0(*)， x 1，2＝－2km±4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2.(9分)因为PA →＝35PB →，即(x 1，y 1－m)＝35(x 2，y 2－m)，则5x 1＝3x 2，所以5－2km ＋4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝3－2km －4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2或5－2km －4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝3－2km ＋4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2化简得，km ＝4k 2－12m 2＋12或km ＝－4k 2－12m 2＋12，即k 2m 2＝16⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋12.(12分) 又因为k 2＋2－m 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2，m 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，m 2＝6，符合(*)式，所以直线l 的斜率为±2或±2.(14分)18. (1) 记CH 与AF ，BE 的交点为M ，N ， 由∠ABC ＝2π3，得在△BCN 中，∠CBN ＝π6，其中CN ＝HM ＝12(1.2－0.6)＝0.3 m ，所以BC ＝CN sin ∠CBN＝0.3sin π6＝35m ，BN ＝CN tan ∠CBN＝0.3tan π6＝3310m ，(2分)所以CD ＝BE －2BN ＝1.6－335＝8－335，则 AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FG ＋GH ＋ HA ＝2AB ＋2CD ＋4BC ＝1.2＋16－635＋125＝34－635.(5分) 答：景观窗格的外框总长度为34－635m ．(6分)(2) AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FG ＋GH ＋HA ＝2AB ＋2CD ＋4BC ≤5， 设∠CBN ＝α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，BC ＝r ， 则CN ＝r sin α，BN ＝r cos α，所以AB ＝CH －2CN ＝1.2－2r sin α， CD ＝BE －2BN ＝1.6－2r cos α，所以2(1.2－2r sin α)＋2(1.6－2r cos α)＋4r ≤5，即4r(sin α＋cos α－1)≥35.(8分)设景观窗格的面积为S ，有S ＝1.2×1.6－2r 2sin α·cos α≤4825－9sin αcos α200（sin α＋cos α－1）2(当且仅当4r （sin α＋⎭⎫cos α－1）＝35时取等号.(9分)令t ＝sin α＋cos α∈(1，2]，则sin αcos α＝t 2－12，所以S ≤4825－9t 2－12200（t －1）2＝4825－9400·⎝⎛⎭⎫1＋2t －1，其中1＋2t －1≥1＋22－1⎝⎛⎭⎫当且仅当t ＝2，即α＝π4时取等号，(12分)所以S ≤4825－9400⎝⎛⎭⎫1＋2t －1≤4825－9400·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22－1＝4825－9400(3＋22)＝741400－92200， 即S ≤741400－92200⎝⎛当且仅当4r （sin α＋cos α－1）＝35⎭⎫且α＝π4时，取等号，所以当且仅当r ＝3（2＋1）20且α＝π4时，S 取到最大值．(15分)答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中∠ABC ＝3π4且BC ＝3（2＋1）20m ．(16分)19. (1) 由a n ＋1＋3a n ＋4＝0，得a n ＋1＋1＝－3(a n ＋1)，n ∈N *，(2分) 其中a 1＝1，所以a 1＋1＝2≠0，可得a n ＋1≠0，n ∈N *，(4分)所以a n ＋1＋1a n ＋1＝－3，n ∈N *，所以{a n ＋1}是以2为首项，－3为公比的等比数列，(6分)所以a n ＋1＝2(－3)n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2(－3)n －1，n ∈N *.(8分)(2) 若数列{a n }中存在三项a m ，a n ，a k (m <n <k )符合题意，其中k －n ，k －m ，n －m 都是正整数，(9分)分以下三种情形：①a m 位于中间，则2a m ＝a n ＋a k ，即2[2(－3)m －1－1]＝2(－3)n －1－1＋2 (－3)k －1－1， 所以2(－3)m ＝(－3)n ＋(－3)k ，两边同时除以(－3)m ，得2＝(－3)n －m ＋(－3)k－m是3的倍数，舍去；②a n 位于中间，则2a n ＝a m ＋a k ，即2[2(－3)n －1－1]＝2(－3)m －1－1＋2(－3)k －1－1， 所以2(－3)n ＝(－3)m ＋(－3)k ，两边同时除以(－3)m ，得2(－3)n －m ＝1＋(－3)k－m，即1＝2(－3)n－m－(－3)k－m是3的倍数，舍去；③a k位于中间，则2a k＝a m＋a n，即2[2(－3)k－1－1]＝2(－3)m－1－1＋2(－3)n－1－1，所以2(－3)k＝(－3)m＋(－3)n，两边同时除以(－3)m，得2(－3)k－m＝1＋(－3)n－m，1＝2(－3)k－m－(－3)n－m是3的倍数，舍去．(15分)综上可得，数列{a n}中不存在三项满足题意．(16分)20. (1) 当a＝2时，n(x)＝2ln x＋1，所以n′(x)＝2 x，所以n′(1)＝2，又n(1)＝1，所以切线的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(3分)(2) f(x)＝x2－a ln x－1，定义域为(0，＋∞)，其图象是一条不间断的曲线，f′(x)＝2x－ax＝2x2－ax.①若a≤0，则f′(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，符合题意．②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝a2或x＝－a2(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：1°.若a2>1，即a>2，此时a>a2，则f⎝⎛⎭⎫a2<f(1)＝0，f(a)＝a2－a ln a－1.令F1(a)＝a2－a ln a－1，a≥2，则F1′(a)＝2a－ln a－1，令F2(a)＝2a－ln a－1，则F2′(a)＝2－1a>0对a∈[2，＋∞)恒成立，所以F2(a)＝2a－ln a－1在[2，＋∞)上单调递增，所以F2(a)≥F2(2)＝3－ln 2>0，即F1′(a)>0对a∈[2，＋∞)恒成立，所以F1(a)＝a2－a ln a－1在[2，＋∞)上单调递增，所以F 1(a)≥F 1(2)＝3－2ln 2>0，即f(a)>0，又因为f ⎝⎛⎭⎫a 2<0，且函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增， 所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上有且只有一个零点， 因为函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，a 2上单调递减，且有一个零点x ＝1，故函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，不符合题意，舍去．2°.若a 2＝1，即a ＝2， 则函数f (x)在(0，1)上单调递减，所以f(x)>f(1)＝0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，故函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点，符合题意．3°.若a 2<1，即0<a<2，此时0<e －1a <e 0＝1，0<a 2<1. 因为函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2<f(1)＝0， 又f ⎝⎛⎭⎫e －1a ＝e －2a>0，所以函数f(x)在(0，1)内必有零点， 又因为1是函数f(x)的零点，不符合题意，舍去．(9分)综上，a ≤0或a ＝2.(10分)(3) 当x ≥1时，g(x)＝a ln x ＋e x －e x.令G(x)＝e x －e x ，x ≥1，则G′(x)＝e x －e ≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，所以函数y ＝G(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以G(x)≥G(1)＝0.①若a ≥0，则当x ≥1时，ln x ≥0，所以g(x)＝a ln x ＋e x －e x ≥0恒成立，符合题意．(11分)②若a<0，g′(x)＝a x ＋e x －e ，令H(x)＝a x ＋e x －e ，x ≥1，则H′(x)＝e x －a x2>0恒成立， 所以H(x)＝a x＋e x －e 在[1，＋∞)上单调递增， 且H(1)＝a<0.因为a<0，所以1－a>1，所以G(1－a)>G(1)＝0，即e 1－a >e (1－a)．(12分)所以H(1－a)＝a 1－a ＋e 1－a －e >a 1－a ＋e －e a －e ＝a 1－a －e a ＝11－a ＋(1－a)－2－(e －1)a ，因为a<0，1－a>1，所以11－a＋(1－a)>2，(e－1)a<0，所以H(1－a)>0，因为H(x)＝ax＋ex－e在[1，＋∞)上单调递增，其图象是一条不间断的曲线，且H(1)＝a<0，所以存在唯一的x0∈(1，1－a)，使得H(x0)＝0，即g′(x0)＝0，当x∈(1，x0)时，g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在(1，x0)上单调递减，此时g(x)<g(1)＝0，不符合题意，舍去．(15分)综上，a≥0.(16分)。

2019-2020学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）I．1．（5分）已知集合{|1}B=-，0，1，4}，则A B=A x x=…，{12．（5分）已知i是虚数单位，复数(1)(2)=++的虚部为3，则实数b的值为．z bi i3．（5分）从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为．4．（5分）为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入的x值为5，则输出的y值为．6．（5分）已知等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要” )7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 的坐标为(0,)b ，若12120F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ． 8．（5分）若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，则3z x y =+的最大值为 ．9．（5分）如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4cm π的扇形，则该冰淇淋的体积是 3cm ．10．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线20()x my m m R +++=∈上存在点P ，使得过点P 向圆22:2O x y +=作切线PA （切点为)A ，满足2PO PA =，则实数m 的取值范围为 ．11．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y =与函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ⋯，若点1A 的横坐标为1．则点2A 的横坐标为 ．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知3AD =，4BC =，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF u u u r u u u rg的值为 ．13．（5分）已知实数x ，y 满足2()12x x y y +=+，则2254x y -的最小值为 ． 14．（5分）已知函数,2()48,25xexx e f x x x x⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩…（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量3(sin ,)4a x =r，(cos ,1)b x =-r ．（1）当//a b rr 时，求tan 2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+r r r g，且(0,)2x π∈，求()f x 的最大值以及对应的x 的值． 16．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，D ，E 分别是AB ，1B C 的中点． （1）求证：//DE 平面11ACC A ； （2）若DE AB ⊥，求证：1AB B C ⊥．17．（14分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB 中，23AOB π∠=，23OB =（百米），荒地内规划修建两条直路AB ，OC ，其中点C 在¶AB 上(C 与A ，B 不重合），在小路AB 与OC 的交点D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设BDC θ∠=，蜂巢区的面积为S （平方百米）．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，蜂巢区的面积S 最小，并求此时S 的最小值．18．（16分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上辅点”．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的点3(1,)的上辅点为(1,3)．（1）求椭圆E 的方程； （2）若OPQ ∆的面积等于12，求上辅点Q 的坐标； （3）过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论．19．（16分）已知数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）求1a 和2a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设*1231111()2462n n T n N S S S S n=+++⋯+∈++++． ①若23k T T T =，求k 的值；②求证：数列{}n T 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 20．（16分）已知函数()()a lnxf x a R x+=∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当函数()f x 与函数()g x lnx =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（3）证明：当1(0,)2a ∈时，函数()()h x f x ax =-有两个零点1x ，2x ，且满足12111x x a +<．2019-2020学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知集合{|1}A x x =…，{1B =-，0，1，4}，则A B =I {1，4} ． 【解答】解：{|1}A x x =Q …，{1B =-，0，1，4}， {1A B ∴=I ，4}．故答案为：{1，4}．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数(1)(2)z bi i =++的虚部为3，则实数b 的值为 1 ． 【解答】解：(1)(2)(2)(21)z bi i b b i =++=-++Q 的虚部为3，213b ∴+=，即1b =．故答案为：1．3．（5分）从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为23． 【解答】解：从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动， 基本事件总数233n C ==，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数11212m C C ==， 则选中的恰好是一男一女的概率为23m p n ==． 故答案为：23． 4．（5分）为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 100 ．【解答】解：由频率分布直方图得：在[5，7)之间通过的车辆的频率为0.240.200.44+=， 在[8，9)之间通过的车辆的频率为0.10， 设在[8，9)之间通过的车辆数为n ． Q 在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，∴4400.440.1n=，解得100n =． 则在[8，9)之间通过的车辆数为100． 故答案为：100．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为2 ．【解答】解：输入5x =，不满足0x <，所以运行2log (51)2y =-=， 故答案为：26．（5分）已知等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要” ) 【解答】解：在等比数列{}n a 中，10a >，则由12a a <，得11a a q <，即1q >，∴243115a a q a q a =<=；反之，由243115a a q a q a =<=，得21q >，即1q >或1q <-，当1q <-时，112a a q a >=．∴等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 的坐标为(0,)b ，若12120F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，已知点1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 的坐标为(0,)b ， 由12120F PF ∠=︒，可得：cb，即222233()c b c a ==-， 即2223c a =，所以双曲线的离心率为：c e a ==． 8．（5分）若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，则3z x y =+的最大值为 3 ．【解答】解：作出不等式组0010x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„对应的平面区域如图：设3z x y =+得1133y x z =-+，平移直线1133y x z =-+，由图象可知当直线1133y x z =-+经过点(0,1)A 时，直线1133y x z =-+的截距最大，此时z 最大，此时3z =，故答案为：3．9．（5分）如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为2 5π，弧长为4cmπ的扇形，则该冰淇淋的体积是161663π+3cm．【解答】解：Q圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4cmπ的扇形，∴圆锥底面半径为422rππ==，圆锥母线长41025lππ==，圆锥的高为2210246h=-∴半个冰淇淋小球的半径2R=，∴该冰淇淋的体积是：2311422323V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．． 10．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线20()x my m m R +++=∈上存在点P ，使得过点P 向圆22:2O x y +=作切线PA （切点为)A ，满足PO =，则实数m 的取值范围为 {|0m m „或4}3m … ．【解答】解：根据题意，圆22:2O x y +=，其圆心为O ，半径r =若点P 向圆22:2O x y +=作切线PA ，满足PO ，又由OA r == 则有222||||||2PO PA OA -==，变形可得2PO =，若直线20()x my m m R +++=∈上存在点P2，变形可得：2340m m -…， 解可得：0m „或43m …，即m 的取值范围为{|0m m „或4}3m …；故答案为：{|0m m „或4}3m …．11．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y =与函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ⋯，若点1A 的横坐标为1．则点2A 的横坐标为 3 ．【解答】解：因为点1A 的横坐标为1，即当1x =时，1()sin()62f x πω=+=，所以266k ππωπ+=+或52()66k k Z ππωπ+=+∈， 又直线1:2l y =与函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ⋯，所以566ππω+=， 故23πω=， 所以：函数的关系式为2()sin()36f x x ππ=+．当23x =时，f （3）21sin(3)362ππ=⨯+=， 即点2A 的横坐标为3，1(3,)2为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：3．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知3AD =，4BC =，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF u u u r u u u r g 的值为 74- ．【解答】解：如图，连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，E Q ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，∴四边形EPFQ 为平行四边形，∴1()2PQ EQ EP AD BC =-=-u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r ，1()2EF EP EQ AD BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且3AD =，4BC =， ∴2217()44PQ EF AD BC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．故答案为：74-．13．（5分）已知实数x ，y 满足2()12x x y y +=+，则2254x y -的最小值为 4 ． 【解答】解：实数x ，y 满足2()12x x y y +=+， 化为：(2)()1x y x y +-=，令2x y m +=，x y n -=，则1mn =．解得23m nx+=，3m ny-=．则222222222221116116545()4()(2816)(28)(228)4 33999m n m nx y m mn n m mm m+--=-=++=+++=g…，当且仅当212mn=⎧⎪⎨=⎪⎩，212mn=-⎧⎪⎨=-⎪⎩时，即112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，112xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩时取等号．2254x y∴-的最小值为4．故答案为：4．14．（5分）已知函数,2()48,25xexxef xxxx⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩„（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程22()3|()|20f x a f x a-+=恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为12{}[2eU，4)5．【解答】解：当2x„时，令()10xef xe'=-=，解得1x=，所以当1x„时，()0f x'>，则()f x单调递增，当12x剟时，()0f x'<，则()f x单调递减，当2x>时，4848()555xf xx x-==-单调递减，且()[0f x∈，4)5作出函数()f x的图象如图：（1）当0a=时，方程整理得2()0f x=，只有2个根，不满足条件；（2）若0a>，则当()0f x<时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a++=++=，则()20f x a=-<，()0f x a=-<，此时各有1解，故当()0f x>时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a-+=--=，()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e ==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e >⎧⎪⎨<⎪⎩„，解得245a e <„，故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解， 当()0f x <时，()2f x a =-和()f x a =-无解，不符合题意．综上：a 的范围是12{}[2e U ，4)5故答案为12{}[2e U ，4)5二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量3(sin ,)4a x =r，(cos ,1)b x =-r ．（1）当//a b rr 时，求tan 2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+r r r g，且(0,)2x π∈，求()f x 的最大值以及对应的x 的值． 【解答】解：（1）Q //a b rr ，∴3sin cos 04x x --=， ∴3tan 4x =-，∴232tan 242tan 2917116x x tan x -===---； （2）()2()f x a b b =+r rr g 222a b b =+rr r g232sin cos 222x x cos x =-++ 3sin 2cos22x x =++32sin(2)42x π=++，Q (0,)2x π∈，∴52(,)444x πππ+∈， ∴242x ππ+=，即8x π=时，()f x 取得最大值322+． 16．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，D ，E 分别是AB ，1B C 的中点． （1）求证：//DE 平面11ACC A ； （2）若DE AB ⊥，求证：1AB B C ⊥．【解答】证明：（1）取AC 、1CC 的中点分别为M 、N ，D Q ，M 分别为AB ，AC 的中点，//DM BC ∴，且12DM BC =，E Q 、N 分别为1CB ，1CC 的中点，11//EN B C ∴，且1112EN B C =， 又11//BC B C ，11BC B C =，//DM EN ∴，且DM EN =，∴四边形DENM 为平行四边形，//DE MN ∴，又DE 不在平面11ACC A 内，MN 在平面11ACC A ，//DE ∴平面11ACC A ；（2）连接CD ，由CA CB =，且D 为AB 的中点可知CD AB ⊥，又DE AB ⊥，CD DE D =I ，且CD 、DE 都在平面CDE 内，AB ∴⊥平面CDE ，又1B C 在平面CDE 内， 1AB B C ∴⊥．17．（14分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB 中，23AOB π∠=，23OB =（百米），荒地内规划修建两条直路AB ，OC ，其中点C 在¶AB 上(C 与A ，B 不重合），在小路AB 与OC 的交点D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设BDC θ∠=，蜂巢区的面积为S （平方百米）．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，蜂巢区的面积S 最小，并求此时S 的最小值．【解答】解：（1）23AO OB ==，23AOB π∠=， 由余弦定理得：222(23)(23)22323cos 63AB π=+-⨯⨯⨯=， 在BDO ∆中，由正弦定理得sin sin BD BOBOD BDO=∠∠，∴23sin()6BD πθ=-， 23sin()6sin BD πθθ-∴=，23sin()66sin AD πθθ-=-， ∴蜂巢区的面积：AOD CDB AOD BDO COB S S S S S S ∆∆∆∆=+=+-扇形2116sin sin 26226AO AD AO BO BD πθππππ-=+-g g g g g g g ，整理，得S 关于θ的函数关系式为：36tan S θπθ=+-，5(,)66πθπ∈． （2）对36tan S θπθ=+-求导，得236S sin θ'=-， 令0S '=，解得4πθ=或34πθ=， 当(,)64ππθ∈时，0S '<，S 递减，当3(,)44ππθ∈时，0S '>，S 递增，当3(4πθ∈，5)6π时，0S '<，S 递减，综上所述，S 的最小值只可有在4πθ=或θ趋近56π时取得， 当4πθ=时，32S π=+，当56πθ=时，43332S ππ=->+， ∴当θ为4π时，蜂巢区的面积S 最小，S 的最小值为32π+．18．（16分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P的“上辅点”．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>上的点3(1,)的上辅点为(1,3)．（1）求椭圆E的方程；（2）若OPQ∆的面积等于12，求上辅点Q的坐标；（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）Q椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>上的点3)的上辅点为3)，∴辅圆的半径为132R=+=，椭圆长半轴为2a R==，将点3代入椭圆方程22214x yb+=中，解得1b=，∴椭圆E的方程为2214xy+=；（2）设点(Q x，)y，则点(P x，1)y，将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得，22004x y+=，22114xy+=，故22014y y=，即012y y=，又00111()22OPQS x y y∆=-=，则011x y=，将011x y=与22114xy+=联立可解得2x=2y=∴点Q的坐标为(2,2)；（3）直线PT与椭圆E相切，证明如下：设点(Q x，)y，由（2）可知，001(,)2P x y，与辅圆相切于点Q的直线方程为000()xy y x xy-=--，则点4(,0)Tx，直线PT 的方程为：00001420()4y y x x x x -=--，整理得00022x y y y =-+，将00022x y y y =-+与椭圆2214x y +=联立并整理可得，2200222000210x x x x y y y -+=， 由一元二次方程的判别式22004400440x x y y =-=V ，可知，上述方程只有一个解，故直线PT 与椭圆E 相切．19．（16分）已知数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）求1a 和2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设*1231111()2462n n T n N S S S S n=+++⋯+∈++++． ①若23k T T T =，求k 的值；②求证：数列{}n T 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．【解答】解：（1）Q 数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； 221121222()0S a a a a a ∴=+=+⇒=；331123232232()242S a a a a a a a a =+=++⇒==⇒=；猜想2(1)n a n =-； 当2(1)n a n =-时； 左边[02(1)]222(1)2n n n S n n +-=⨯=-；右边12(1)02(1)n na a n n n n +=⨯-+=-； 两边相等； 即猜想成立2(1)n a n ∴=-；(1)n S n n =-；（2）∴11112(1)1n S n n n n n ==-+++； ∴1231111111111112462223111n n nT S S S S n n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=+++++++；①23k T T T =⨯Q ；∴23111342k k k =⨯=⇒=+． ②对于给定的*n N ∈，若存在k ，t n ≠，k ，*t N ∈，使得n k t T T T =g ；1n n T n =+Q ，只需111n k tn k t =⨯+++， 两边取倒数，即111(1(1)(1)n k t +=++，即1111n k t kt =++；即kt nt nk n =++，(1)n k t k n+=-；取1k n =+，则(2)t n n =+； 1(2)n n n n T T T ++=⨯；∴对数列{}n T 中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积．20．（16分）已知函数()()a lnxf x a R x+=∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当函数()f x 与函数()g x lnx =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（3）证明：当1(0,)2a ∈时，函数()()h x f x ax =-有两个零点1x ，2x ，且满足12111x x a +<．【解答】解：（1）对()a lnx f x x +=求导，得21()a lnxf x x --'=， 令()0f x '=，解得1a x e -=，当1(0,)a x e -∈时，()0f x '>，()f x 单调递增． 当1(a x e -∈，)+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）设公切线l 与函数()g x lnx =的切点为0(x ，0)y ，则公切线l 的斜率001()k g x x ='=， 公切线l 的方程为：0001()y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =． 公切线l 的方程为：1y x e =，将它与()a lnx f x x +=联立，整理得21a x lnx e=-．令21()m x x lnx e=-，对之求导得：22()x e m x ex -'=，令()0m x '=．当x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减，值域为2(,)2ln +∞，当)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增，值域为2(,)2ln +∞， 由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，因此．故实数a 的取值集合为2{}2ln ．（3）证明：2()a lnx ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()k x ax lnx a =--有两个零点即可．k （1）0=，即1x =时函数()k x 的一个零点．对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x当x >时，()0k x '>，()k x 单调递增；当0x <时，()0k x '<，()k x 单调递减．当x =()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()(1)12k x ax lnx a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >在使得二次函数2001()02u x ax x =-+>， 即00()()0k x u x >>．因此在区间上0)x 必定存在()k x 的一个零点．综上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间)+∞上．下面证明12111x x a+<． 由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间)+∞上．不妨设11x =，2x >12211111x x x +=+<+，下面证明11a+即可．令1()1v a a =，对之求导得21()0v a a '=-<， 故v （a）在定义域内单调递减，11()1()02v a v a =>=，即11a． 证明完毕．。