山东省滨州市2021届高三期末考试数学(文)试题

山东省滨州市麻店镇中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)的导函数为f ′ (x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋lnx，则f ′(1)＝（）A．－e B．－1 C．1 D．e参考答案：B略2. 设P(x,y)是曲线x2+(y+4)2=4上任意一点，则的最大值为 ( ）A． B．C．5 D．6参考答案：A3. 设等差数列的前项和为，若，则必有A．且 B．且C．且 D．且参考答案：A试题分析：由题意知，，得，，故答案为A考点：等差数列的前项和公式4. 设函数，若互不相等，且，则的最大值为（）A. B. C. 12 D.参考答案：D【分析】作出函数的图像，由，确定所取范围，及，点与点关于直线对称，得，可将表示为的函数，判断此函数的单调性，可确定函数的最大值.【详解】设，作出函数的图像由函数的图象可知，，，，根据，可得，根据，可得，，令，在上恒成立，所以在上是增函数，所以，所以的最大值为，选D．【点睛】本题考查函数的最值问题，函数式的建立，把所求式化为某一变量的函数是解题关键，变量范围要及时确定，考查数形结合，运算求解能力，属于难题.5. 已知函数的反函数满足，则的最小值为( )A．1 B． C．D．参考答案：C略6. 对于函数，若存在,使成立，则称为的不动点. 已知函数，若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（）A . (0,1)B .（1，+∞）C . ［0，1) D .以上都不对参考答案：A略7. （x++1）4展开式中常数项为（）A．18 B．19 C．20 D．21参考答案：B【考点】二项式系数的性质．【分析】（x++1）4展开式的T r+1=，（r=0，1，…，4）．的通项公式：T k+1==x r﹣2k，令r=2k，进而得出．【解答】解：（x++1）4展开式的T r+1=，（r=0，1，…，4）．的通项公式：T k+1==x r﹣2k，令r=2k，可得：k=0时，r=0；k=1时，r=2，k=2时，r=4．∴（x++1）4展开式中常数项=1++=19．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 如图，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C1、C2、C3的离心率分别为e1、e2、e3，则( )A．e1=e2＜e3 B．e2=e3＜e1 C．e1=e2＞e3 D．e2=e3＞e1参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由图形可知，椭圆C1、C2、C3的长半轴长，短半轴长，分别计算离心率，即可求得结论．解答：解：由图形可知，椭圆C1的长半轴长为2a，短半轴长为1.5a，则e1==椭圆C2的长半轴长为4a，短半轴长为2a，则e2==椭圆C3的长半轴长为6a，短半轴长为3a，则e2==∴e2=e3＞e1，故选D．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．9. 已知i 为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a 的值为（ ）（A ）－2 （B ）－1 （C ）1（D ）2参考答案：D10. 设集合A={x|﹣1＜x ＜2}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=( ) A ．（﹣1，1] B ．（﹣1，1） C ．[﹣1，2） D ．（﹣1，2）参考答案：A【考点】交集及其运算． 【专题】计算题．【分析】求解一元二次不等式化简集合B ，然后直接利用交集运算进行求解． 【解答】解：由A={x|﹣1＜x ＜2}， 又B={x|x 2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x ＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]． 故选A ．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量 =（，1），=（0，﹣1），=（，k ），若﹣2 与 垂直，则 k= ．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由与垂直列式求得k 值．【解答】解：∵，，∴=（），又，且与垂直， ∴，解得：k=﹣1．故答案为：﹣1．12. 从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为参考答案：13. 已知的展开式中没有常数项，，且2 ≤ n ≤ 7，则n =______．参考答案：514. 已知向量，.若，则实数_____.参考答案：因为，所以即所以，所以。

山东省滨州市市第一中学2020-2021学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 点在内，满足，那么与的面积之比是A.B. C. D.参考答案：B2. 已知=A．-2 B．-1 C． D．参考答案：A3. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( )参考答案：B4. 已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．25参考答案：C 【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．5. 已知点,则直线的倾斜角是（）A． B． C．D．参考答案：C略6. 在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，BC=2，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则（）A．B．C．D．2参考答案：D设△ABC的外心为O，则点O在AE上，设OE=r,则.设四面体ABCD的外接球半径为R，则.因为所以. 故选D.7. 已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．8. 已知函数在区间(－1,+∞)上单调，且函数的图象关于对称.若数列是公差不为0的等差数列.且，则数列的前100项的和为（）A．-200 B．-100 C. 0 D．-50参考答案：B因为函数y=f(x－2)的图象关于x=1对称，则函数f(x)的图象关于对称，又函数f(x)在(－1,+∞)上单调，数列是公差不为0的等差数列，且，所以，所以，故选B．9. 已知命题：，，，则是（）A．，，B．，，C．，，D．，，参考答案：C试题分析：本题考查全称命题的否定.已知全称命题则否定为故选C.考点：全称命题的否定.10. 《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成公式即若△ABC 满足，且周长为，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。

高三数学试题2024.1（答案在最后）本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}21,0,1,2,3,4U =--，，集合{}14A x x =∈-Z ≤≤，{}2,3B =，则()U B A = ðA.{}2,2,3- B.{}2,1,2,3-- C.{}2,1,0,2,3-- D.∅2.平面α与平面β平行的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行 B.α，β垂直于同一个平面C.α，β平行于同一条直线D.α内有两条相交直线都与β平行3.已知向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上的投影向量为A.()2,0 B.()0,2 C.()3,0- D.()0,3-4.若不等式240x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是A.[]0,4 B.(],4-∞ C.13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.(],5-∞5.某学校一同学研究温差x （单位：℃）与本校当天新增感冒人数y （单位：人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912y1620252836由上表中数据求得温差x 与新增感冒人数y 满足经验回归方程 2.6y bx =+ ，则下列结论不正确．．．的是A.x 与y 有正相关关系B.经验回归直线经过点()8,25C. 2.4b= D.9x =时，残差为0.26.已知直线:2l y kx =-与圆22:670C x y x +--=交于A ，B 两点，则AB 的最小值为A. B.7.已知02πα<<，02πβ<<，()3cos 5αβ+=，()1sin 5αβ-=，则tan tan αβ=A.310 B.35C.53D.1038.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…….记第n 层球的个数为n a ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为A.1021B.2021C.4021D.1910二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则下列说法中正确的是A.z 的共轭复数是1z i =-+B.z =C.z 的辐角主值是4πD.21ii z=+10.已知函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，下列选项中正确的有A.若()f x 的最小正周期2T=，则ωπ=B.当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C.若()f x 在区间()0,π上单调递减，则ω的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤ ⎥⎝⎦11.已知函数()1y f x =-的图象关于直线2x =-对称，且对x ∀∈R ，有()()6f x f x +-=.当(]0,3x ∈时，()3f x x =+，则下列说法正确的是A.10是()f x 的周期B.()3f x +为偶函数C.()20241f = D.()f x 在[]6,12上单调递减12.拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:4C x y =，O 为坐标原点，一束平行于y 轴的光线1l 从点()4,P m 射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经过C 上另一个点()22,B x y 反射，沿直线2l 射出，经过点Q ，则A.124y y =B.254AB =C.延长AO 交直线1y =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线D.若PB 平分ABQ ∠，则414m =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()ln 3y x =在点1,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为_______________.14.()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为__________.（用数字作答）15.甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用1A 、2A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则()2P A B =__________16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为4，60ABC ∠=︒，以A 为球心，面11CDD C 的交线长为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等比数列{}n a 的公比为2，且4a 是3a 与58a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,21,n n a n b n n ⎧=⎨-⎩为奇数,为偶数.求数列{}n b 的前2n 项和2n S .18.（12分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ，已知222433a cb S +-=，2a =.（1）求角B ；（2）若22cos cos 210A A +-=，求S 的值.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，四边形ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=︒，AB CD ∥，3AB =，1CD AD ==，点M 在线段PD 上，且2PM MD =，点N 在线段PB 上，且3PB PN =.（1）求证：CN ∥平面PAD ；（2）求平面CDN 与平面DNM 夹角的余弦值.20.（12分）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神.某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.（1）小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开.求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；（2）为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物.若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？21.（12分）已知1A ，2A 两点的坐标分别为()0,2-，()0,2，直线1PA ，2PA 相交于点P ，且它们的斜率之积为43-，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设点F 的坐标为()0,1-，直线PF 与曲线C 的另一个交点为Q ，与x 轴的交点为M ，若MP PF λ=，MQ QF μ=，试问λμ+是否为定值？若是定值，请求出结果，若不是定值，请说明理由.22.（12分）已知函数()()2x f x a ax e =--.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1a =，求证：()()ln 11x f x e x x +++≤.高三数学试题参考答案2024.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.C8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.BCD10.ACD11.BC12.BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.310x y --=14.40-15.518四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）解：（1）由题意，得43528a a a =+-.又数列{}n a 的公比为2，所以111164168a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=.（2）因为,21,n n a n b n n ⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.所以1b ，3b ，…21n b -是以2为首项，4为公比的等比数列，2b ，4b ，…2n b 是以3为首项，4为公差的等差数列.所以()()()()21321242214341142n n n n n n S b b b b b b -⨯-⨯+-=+++++++=+- 2122242222233n n n n n n +⋅--=++=++.18.（12分）解：（1）因为222433a c b S +-=，所以222431sin 32a cb ac B +-=⨯，所以2221sin 3222ac Ba cb ac ac ⨯+-=，即3cos sin 3B B =，于是tan B =又02B π<<，所以3B π=.（2）因为22cos cos 210A A +-=，所以cos 20A =.因为203A π<<，所以4A π=.由正弦定理，得2sin sin 43b ππ=，解得b =所以113sin 2sin 2243432S ab C πππππ+⎛⎫⎛⎫==⨯⨯--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19.（12分）解：（1）证明：在PA 上取一点E ，使13PE PA =，连接DE ，EN .因为13PE PA =，13PN PB =，所以EN AB ∥，且113EN AB ==.又因为CD AB ∥，且1CD =，所以EN CD ∥，且EN CD =.所以，四边形DCNE 为平行四边形.所以CN DE ∥.又因为DE ⊂PAD ，CN ⊄平面PAD ，所以CN ∥PAD.（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则2,0,13M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,1,2N ，所以，()0,1,0DC = ，()1,1,2DN =- ，1,0,13DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .令平面CDN 的法向量()1111,,n x y z = ，则110,0,n DC n DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11110,20,y x y z =⎧⎨-++=⎩取11z =，则12x =，10y =，即()12,0,1n =.令平面DMN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则220,0,n DN n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220,10,3x y z x z -++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取23x =，则21z =，21y =，即()23,1,1n =.所以121212cos ,55n n n n n n ⋅==⋅.设平面CDN 与平面DNM 夹角为θ，则12755cos cos ,55n n θ== .所以，平面CDN 与平面DNM 夹角的余弦值为75555.20.（12分）解：（1）设小明第3次购买是恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P ，则1111123322944432C C C C C P ⨯+⨯⨯==⨯⨯.（2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X .X 的可能取值为80，110.则()1338044C P X ===，()11104P X ==.所以()3117580110442E X =⨯+⨯=.方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y .依题意，Y 的可能取值为70，100，130，则()1132637044168C C P Y ⨯====⨯，()11123391004416C C C P Y ⨯+===⨯，()111304416P Y ===⨯.所以()691725701001301616168E Y =⨯+⨯+⨯=.因为17572528<.所以小明应该选择方案一.21.（12分）解：（1）设点P 的坐标为(),x y ，则直线1PA 的斜率为()120PA y k x x+=≠，直线2PA 的斜率为()220PA y k x x-=≠.由已知，()22403y y x x x +-⋅=-≠，化简，得点P 的轨迹C 的方程为()221043y x x +=≠.（缺少0x ≠，扣1分）（2）λμ+为定值83-.理由如下：根据题意可知直线PF 的斜率一定存在且不为0，设:1PF y kx =-，则1,0M k ⎛⎫⎪⎝⎭.联立221,1,43y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2243690k x kx +--=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122643k x x k +=+，122943x x k-⋅=+.又因为111,MP x y k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,1PF x y =---，且MP PF λ= ，所以111kx λ=-+.同理211kx μ=-+.所以121212121111111122x x kx kx k x x k x x λμ⎛⎫++=-+-+=-++=-+⋅⎪⎝⎭2261168432299343kk k k k k +=-+⋅=-+⋅=---+，所以，λμ+为定值83-.22.（12分）解：（1）由题知，函数()f x 得定义域为R ，()()22x f x a ax e '=--.当0a =时，()20x f x e '=>恒成立，即()f x 的增区间为R ，无减区间；当0a >时，由()0f x '>得22x a <-，由()0f x '<得22x a>-，即()f x 的增区间为2,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，减区间为22,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，由()0f x '>得22x a >-，由()0f x '<得22x a<-，即()f x 的增区间为22,a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，减区间为2,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，()()1x f x x e =-.要证()()ln 11x f x e x x +++≤，只需证()()1ln 11xxx e e x x -+++≤，只需证()11ln 1x x x x e +-++≤，即证()1ln 110xx x x e +-++-≥.令()()1ln 11x x g x x x e+=-++-，()1,x ∈-+∞，()()()()1111111x x xx e x x g x e x x e⎡⎤-+-+⎣⎦'=-+=++.令()()1x h x e x =-+，()1,x ∈-+∞，()1x h x e '=-.由()0h x '=得，0x =.列表如下，x ()1,0-0()0,+∞()h x '-0+()h x ↘↗由表可得()h x 在0x =时取得最小值()00h =，所以，()0h x ≥恒成立.所以，当10x -<<时，()0g x '<，()g x 在()1,0-单调递减；当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,+∞单调递增；当0x =时，()g x 取得最小值()00g =，所以()0g x ≥恒成立.。

2021-2022学年山东省滨州市高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数在处的切线方程是( )A． B. C. D.参考答案：B略2. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的值是( )A. -B. -C.D.参考答案：B【分析】利用倍角公式变形，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合奇函数g（0）=0求解φ的取值．【详解】y＝sin（x）cos（x），沿x轴向左平移个单位，得g（x）．由g（0），得φ，即φ，k∈Z．当k＝0时，φ；∴φ的取值是．故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，考查正弦函数的性质，属于基础题．3. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：D略4. 已知，实数a、b、c满足＜0，且0＜a＜b＜c，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A．＜a B．＞b C．＜c D．＞c参考答案：D略5. 函数的定义域是（）A．B．C．D．参考答案：B6. 函数的值域为A．[0,4] B．(－∞,4] C．[0,+∞)D．[0,2]参考答案：D7. 直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（）（A）[1，5)∪（5，+∞（B）（0，5）(C) (D) （1，5）参考答案：A略8. 一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为（）A．＋1B．＋1C．D．参考答案：A略9. 若是的重心，分别是角的对边，若则角（） A、 B、 C、D、参考答案：D略10. 定义在R上的函数满足，对任意，都有，非零实数a，b满足，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先构造函数，易得为偶函数，且在上单调递减，然后将不等式等价转化我，得，即，得出选项.【详解】解：记，则因为当时，，所以在上单调递减又因为，所以为偶函数因为所以，即故选：D.【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的应用，结合条件特点巧妙构造函数是解题关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列满足，且对任意的正整数都有，若数列的前项和为，则= 。

山东省滨州市2021-2022学年高三期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设集合A ，B 满足{}{}{}123456242345A B A B A ⋃=⋂==,,,,,,,,,,,，则B =（ ） A ．{}2,4,5,6 B ．{}1,2,4,6 C ．{}2,4,6 D ．{}1,2,42．若复数1iz i=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．12B C ．1 D3．有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为10%，乙厂生产的次品率为20%，丙厂生产的次品率为30%，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%、30%、20%，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是（ ） A ．0.83B ．0.79C ．0.21D ．0.174．已知在正方形网格中的向量a ，b ，c 如图所示，则“(),R c a b λμλμ=+∈”是“3λμ+=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．()()611x x +-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．-3B ．3C ．-5D ．56．已知0.13πtan 7a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2πlog sin 8b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23πlog cos 7c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>7．函数21ex x y +=（其中e 为自然对数的底数）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知圆C C 在直线20x y ++=上，圆C 上的动点P 到直线()220R kx y k k --+=∈的距离的最大值为C 的标准方程为（ ）A ．()()22112x y +++= B ．()2222x y ++= C ．()()22422x y ++-= D ．()()22312x y ++-=二、多选题9．已知函数()()()πsin cos 0,2⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭f x x x ωϕωϕωϕ的最小正周期为π，且()f x 的图象过点(，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f xB ．()f x 的图象一条对称轴为π4C ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()π26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象10．一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球．，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（ ） A ．若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为310B ．若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为12C ．若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为18125D ．若有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为5412511．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为4，过焦点F 的直线与抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列结论中正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线l 的方程为2x =- B ．MN 的最小值为4C ．若()4,2A ，点Q 为抛物线C 上的动点，则QA QF +的最小值为6 D．122x x +的最小值12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60ABC ∠=︒，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连接1B C 和1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．1AMBC ⊥ B ．CN 的长为定值C ．1AB 与CN 的夹角为π6D ．当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是8π 三、填空题13．已知tan 2α=，则1cos 2sin 22αα-=______．14．函数()cos f x x x =在点（, ππ-）处的切线方程是_______________．15．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右支上一点P 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ．若1PH PF +的最小值为3a ，则双曲线C 的离心率为______．16．在ABC 中，AB AC =，AC 边上的中线6BD =，则ABC 面积的最大值为______． 四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =5b =，cos A =． (1)求B ；(2)设D 是AB 边上点，且3AB AD =，求证：CD AB ⊥．18．某校高三年级甲班50名学生在一次期中考试中，数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150．其中a ，b ，c 成等差数列，且2c a =．物理成绩统计如表所示．（说明：数学成绩满分为150分，物理成绩满分为100分）物理成绩频数分布表：(1)根据甲班数学成绩的频率分布直方图，估计甲班数学成绩的平均分；(2)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知甲班中数学或物理成绩中至少有一科为“优”的学生总共有6人，从这6人中随机抽取3人，记X 表示抽到数学和物理两科成绩都是“优”的学生人数，求X 的分布列及期望． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，E 是BC 的中点．(1)求证：AD PE ⊥；(2)若PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37S =，45656a a a ++=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中的i a 和()*1i a i +∈N 之间插入i 个数1m ，2m ，3m ，…，i m ，使i a ，1m ，2m ，3m ，…，i m ，1i a +成等差数列，这样得到一个新数列{}n b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求21T ．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()2,0F O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点()()3,0P m m >，过F 作PF 的垂线交椭圆于A ，B 两点．求OAB 面积的最大值．22．（1）设0b a >>ln ln b ab a-<-；（2）若函数()1ln sin 12f x x x x =+--，∃120x x >>，使()()12f x f x =，请证明：124x x ⋅<.参考答案：1．B 【解析】 【分析】利用集合A ，B 的运算结果以及集合A ，结合选项可得集合B ． 【详解】{}{}{}123456242345A B A B A ⋃=⋂==,,,,,,,,,,,，B ∴={}1,2,4,6故选：B 2．B 【解析】 【分析】复数的分式运算，同乘共轭复数，利用模长公式即可得到答案. 【详解】()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-,11i 22z =-,z = 故选：B. 3．D 【解析】 【分析】根据三个工厂生产的产品数的占比以及次品率可求得结果. 【详解】由题意可知，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是0.10.50.20.30.30.20.17⨯+⨯+⨯=.故选：D. 4．A 【解析】 【分析】由题可得()1,1a =，()0,1b =-，()2,1c =，由(),R c a b λμλμ=+∈可得21λμ=⎧⎨=⎩，然后利用充分条件及必要条件的定义判断即得.【详解】设三个向量都在平面直角坐标系内，正方形网格长度为1，则()1,1a =，()0,1b =-，()2,1c =，由(),R c a b λμλμ=+∈，则()()()2,11,10,1λμ=+-，解得21λμ=⎧⎨=⎩，则3λμ+=，∴由“(),R c a b λμλμ=+∈”可以推出“3λμ+=”， 当1,2λμ==时，()1,1a b c λμ+=-≠， ∴由“3λμ+=”推不出“(),R c a b λμλμ=+∈”故“(),R c a b λμλμ=+∈”是“3λμ+=”的充分不必要条件. 故选：A. 5．C 【解析】 【分析】分()()661,11x x x -⋅-两种情况讨论，进而将3x 的系数相加求得答案. 【详解】由题意，3x 的系数为()34366C C 15+-=-.故选：C. 6．D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质结合三角函数值的大小可判断0.13πtan)7(a =的范围，利用对数函数的单调性结合三角函数相关知识可比较2(πlog sin )8b =，23πlog (cos )7c =，进而可得答案.【详解】3472πππ<< ，故3πtan 17>，所以0.13πtan )7(1a =>， 又330cossin()sin sin 1727148πππππ<=-=<< ， 则223πlog (cos)()7πlog sin 08b c =<<=， 故a b c >> ， 故选：D. 7．A 【解析】 【分析】函数见式识图，该题型不是要求画函数图像，而是识别判断图像，因此只需要分辨即可. 【详解】从表达式可以判断出21()()ex x f x f x +==-，所以函数是偶函数，所以选项D 不对；利用幂函数与指数函数的增长得快慢，即指数函数有爆炸函数之称，可以得到分母增长速度更快，所以当自变量趋于正无穷时，因变量趋于0，所以选项C 不正确；对于选项AB 在自变量1处的单调性不同，所以可以选择特值来判断，23(1),(2),(1)(2)e e 14f f f f ==<，所以B 不对. 故选:A. 8．A 【解析】 【分析】由直线方程可知恒过定点()2,2A ，结合条件可得圆心C 到直线的距离的最大值为几何知识可知CA 垂直直线()220R kx y k k --+=∈时，圆心C 到直线的距离的最大，利用两点间距离公式即求. 【详解】∴直线()220R kx y k k --+=∈，∴()220k x y --+=，令20x -=，得2,2x y ==， ∴直线()220R kx y k k --+=∈恒过定点()2,2A ，∴圆C 上的动点P 到直线()220R kx y k k --+=∈的距离的最大值为 ∴圆心C 到直线()220R kx y k k --+=∈的距离的最大值为= 又圆心C 在直线20x y ++=上，∴可设(),2C a a --，当直线CA 垂直直线()220R kx y k k --+=∈时，圆心C 到直线()220R kx y k k --+=∈的距离的最大，=1a =-，故圆心()1,1C --，∴圆C 的标准方程为()()22112x y +++=. 故选：A. 9．AC 【解析】 【分析】根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的最值性质，可判断A;采用代入验证的方法可判断B;根据余弦函数的单调性可判断C;根据三角函数图象的平移变换规律可判断D. 【详解】())4f x x πωϕ++，最小正周期为π，∴2ππω=，得2ω=，则())4f x x πϕ=++，()f x 的图象过点，(0))4f πϕ∴+即sin()14πϕ+=，得242k ππϕπ+=+，得24k πϕπ=+，k Z ∈，||2πϕ<，∴当0k =时，4πϕ=，则()))442f x x x x πππ++=+，则()f x A 正确，()042f ππ==≠()f x 图象的一条对称轴为4π错误，当02x π<<时，02x π<<，此时()2f x x =为减函数，故C 正确，把()f x 的图象向左平移6π个单位长度，得到))63y x x ππ++，无法得到())6g x x π=+的图象，故D 错误，故选：AC ． 10．BCD 【解析】 【分析】利用条件逐项分析即得. 【详解】对于A ，第一次摸到红球的概率为35，故A 错误；对于B ，不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为2142P ==，故B 正确； 对于C ，有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为33218555125⨯⨯=，故C 正确；对于D ，有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为223325455125C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD. 11．ACD 【解析】 【分析】由焦点到准线的距离可得p 的值，进而求出抛物线的方程，可判断A 正确；设直线MN 的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长||MN 的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B 不正确；过Q 作准线的垂线，垂足为P ，由抛物线的性质可得246QA QF QA QP +=++=，可判断C 正确；由两根之积及均值不等式的性质可得122x x +的最小值为D 正确． 【详解】由焦点F 到准线l 的距离为4可得4p =，所以抛物线的方程为28y x =， A 中，由抛物线的方程为28y x =，所以可得准线方程为2x =-，故A 正确；B 中，过焦点的直线为2x my =+，则228x my y x=+⎧⎨=⎩，整理可得28160y my --=， 可得128y y m +=，21212()484x x m y y m +=++=+，所以212||4888MN x x m =++=+，0m =时取等号，||MN 最小值为8，所以B 不正确；C 中，()4,2A 满足2284<⨯ ，可知点()4,2A 在抛物线内部， 过Q 作准线的垂线，垂足为P ，则426QA QF QA QP+=++=，当且仅当A ，Q ，P 三点共线时取等号，所以||||QA QF +的最小值为6，故C 正确；D 中，由B 的分析可知：1216y y =- 由抛物线的方程可得：21212()464y y x x ==，所以1212222x x x x +122x x =时取等号，所以D 正确； 故选：ACD ．12．ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直，判断A 选项；取AD 中点E ，连接EN ，EC ，结合余弦定理，求得CN ，并判断B 选项；利用几何法将1AB 与CN 的夹角转化为EN 与CN 的夹角，判断C 选项；将几何体还原为长方体，求得外接球半径，进而判断D 选项. 【详解】A 选项：由题意在菱形ABCD 中，2AB =，M 为BC 的中点，所以11122AM BC AB ===，又60ABC ∠=︒，所以AM BC ⊥，且将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，所以1AM B M ⊥，又1B M BC M =，AM ⊥平面1B MC ，又1B C ⊂平面1B MC ，所以1AM B C ⊥，故A 选项正确；B 选项：如图所示，取AD 中点E ，连接EN ，EC ，所以//EC AM ，且EC AM =，又因为N 为1BD 的中点，所以1//EN AB ，且1112EN AB ==又由A 选项得AM BC ⊥，60ABC ∠=︒，所以130BAM B AM ∠=∠=︒且AM 30NEC ∠=︒，EC =CEN 中，由余弦定理得：2222cos 31211CN CE NE CE NE NEC =+-⋅⋅∠=+-=，即1CN =，故B 选项正确；C 选项：由B 选项得1//EN AB ，所以1AB 与CN 的夹角θ即为EN 与1AB 所成角，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1CN EN ==，且30NEC ∠=︒，所以120CNE ∠=︒，所以3πθ=，故C 选项错误；D 选项：当三棱锥1B AMD -的体积最大时，1B M ⊥平面ABCD ，由四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，30BAM ∠=︒，可知AM AD ⊥，故三棱锥1B AMD -的外接球即为其所在矩形的外接球，故外接球半径R 248S R ππ==，故D 选项正确； 故选：ABD. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 13．－1 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式和齐次式弦化切即可计算. 【详解】221cos 2sin 2cos sin sin cos 2αααααα-=--22222222cos sin sin cos 1tan tan 1221cos sin 1tan 12αααααθααα------====-+++.故答案为：－1. 14．．【解析】 【详解】试题分析：因为()cos sin f x x x x -'= ，所以()cos sin 1`f ππππ'=-=-所以函数()cos f x x x =在点（, ππ-）处的切线方程是：()()1y x ππ--=-⋅-，整理得：y x =-所以答案应填：y x =-．考点：导数的几何意义与求导公式．15【解析】 【分析】利用双曲线的定义122PF PF a =+，从而可得12||||2PH PF PH PF a +=++，利用点到直线的距离公式可得2||PH PF b +=，由题意可得23b a a +=，进而求出离心率. 【详解】由双曲线定义知，122PF PF a -=，则122PF PF a =+， ∴12||||2PH PF PH PF a +=++，所以，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H ，交右支于点P ，此时2||2PH PF a ++最小，且最小值为3a ， 易求焦点到渐近线的距离为b ，即2||PH PF b +=，所以23b a a +=，即b a =，222c a =，可求离心率e =16．24 【解析】 【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值． 【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：22223643641212m m m n m m+-+-=-，整理可得：22362m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：112322S BC n =⨯22163242n n +-=⨯=， 当且仅当28n =时等号成立． 则ABC 面积的最大值为24． 故答案为：24. 17．(1)4π； (2)详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用同角关系式及正弦定理即求；（2）利用和角公式可得sin C =c =0CD BA ⋅=，即证.(1)∴在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 0A =>，∴sin A =a =5b =，∴5sinsinb ABa===，又5ba=>=，A B>，∴4Bπ=；(2)∴()sin sinC A B=+==∴sinsina CcA===∴23CD BD BC BA BC=-=-，35,210BA BC==∴(22222333CD BA BA BC BA BA BC BA⎛⎫⋅=-⋅=-⋅=⨯-=⎪⎝⎭，∴CD BA⊥，∴CD AB⊥.18．(1)117.8分；(2)分布列见解析，期望为32.【解析】【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图的性质，求得0.008,0.012,0.016a b c===，再利用平均数的计算公式，即可求解；（2）根据题意得到6人中有3人数学和物理两科都为“优秀”，得出X的可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.(1)解：因为a ，b ，c 成等差数列，且2c a =，所以23b a c a =+=，可得32b a =， 由频率分布直方图，可得(0.00040.0200.024)101bc c a ++++++⨯=， 所以13(0.048)1012a +⨯=，解得0.008=a ，所以0.012,0.016b c ==， 所以估计甲班数学成绩的平均分为：(0.004850.012950.0161050.0201150.0241250.016135⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.008145)10117.8+⨯⨯=（分）.(2)解：甲班中物理成绩为优秀的有5人，数学成绩为优秀的有0.00810504⨯⨯=人， 因为数学或物理成绩至少有一科为“优秀”的学生共有6人， 所以6人中有5463+-=人数学和物理两科都为“优秀”，从这6人中随机抽取3人，记X 表示抽到数学和入了两科成绩都是“优秀”的学生人数，则随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，则312333336619(0),(1)2020C C C P X P X C C ======， 213333336691(2),(3)2020C C C P X P X C C ======，所以X 的分布列为：所以期望为()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．(1)证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出向量坐标，利用向量数量积的坐标运算进行证明即可，（2）根据PA PC ⊥求出P 的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可． (1)证明PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，E 是BC 的中点，∴建立以D 为原点，在底面内作DC 的垂线作为x 轴，DC 作为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系如图：则(0D ，0，0)，A 1-，0)，(0C ，2，0)，B 1，0)，E 32，0)， 则(3AD =-1，0)，设PD a =(0)a >，则(0P ，0，)a ，3(2PE =32，)a -，则3(2AD PE ⋅=32，)(a -⋅1，330)022=-+=，则AD PE ⊥，即AD PE ⊥； (2) 解：(3PA =1-，)a -，(0PC =，2，)a -，若PA PC ⊥，∴(3PA PC ⋅=1-，)(0a -⋅，2，2)20a a -=-+=，得a = 即(0PC=，2，，(3PB=1，，(0PD=，0，，设平面PBC 的法向量为(n x =，y ，)z ，平面PCD 的法向量可取为(1m =，0，0)，由3020nPB x y n PC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令z =，则1y=，x =3(3n =，1，则cos m <，33,||||10m n n m n ⋅>===即二面角B PC D -- 20．(1)12n n a ；(2)5132. 【解析】 【分析】（1）由题可得38q =，然后利用条件可求11a =，即得； （2）由题可得1122334562146a m a m m a m m m T a a =+++++++++++，然后利用等差数列的性质求和即得. (1)设等比数列{}n a 的公比为q ,∴31237S a a a ==++，45656a a a ++=， ∴38q =，即2q，∴111247a a a ++=，即11a =， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a .(2)因为在数列{}n a 中的i a 和()*1i a i +∈N 之间插入i 个数，则在列{}n b 的前21项中，就是在1a 到6a 每两项之间各插入一组数，共插入五组， 数列{}nb 的前21项为1122334564,,,,,,,,,,,a m a m m a m m m a∴1122334562146a m a m m a m m m T a a =+++++++++++()()()()3456121223344556352222a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++++++++++ ()()()()348516321212244828161632222+++=++++++++++++5132=. 21．(1)22162x y +=；【解析】 【分析】（1）由题可得2c =，利用离心率可得a =（2）由题可得直线方程为2x my =-+，联立椭圆方程，利用韦达定理法可得12y y -=，进而可得1212S OF y y =⨯⨯-=得. (1)由右焦点为()2,0F ，可得2c =∴a =222642b a c =-=-=， ∴椭圆C 的标准方程为22162x y +=.(2)由题可知32PF mk m ==-， ∴1AB k m=-， 故直线AB 为()12y x m=--，即2x my =-+， 由221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，可得()223420m y my +--=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122242,33m y y y y m m -+==++， ∴12y y -= ∴OAB面积为1212S OF y y =⨯⨯-=， 令1t =>，∴S t t==≤=+2tt=，即1t m ==时取等号，∴OAB22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）不等式等价于1ln b b a -<,b t a=可得()ln f t t =即可证明；（2）方程等价于()1212121sin sin ln ln 2x x x x x x ---=-，设()sin g x x x =-，可得()g x 在()0+∞，上递增，则得1212sin sin x x x x ->-，进而得出12122ln ln x x x x -<-，再利用（1）中结论即得证.【详解】（1）0b a >>，所以ln ln 0b a ->，ln ln b a b a--，只需证明ln ln b a -<1ln b b a -< 设,b t a=则1t >，()ln f t t =， ()1f t t '=2110,t ==< ()f t ∴在()1+∞，单调递减，()()10f t f ∴<=，命题得证.（2）存在120x x >>,使()()12f x f x =，即1111ln sin 12x x x +--=2221ln sin 12x x x +--， ()1212121sin sin ln ln 2x x x x x x ---=-， 设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，()g x ∴在()0,∞+上递增，则()()12g x g x >,即11sin x x ->22sin x x -，1212sin sin x x x x ∴->-，∴()12121sin sin 2x x x x ---<()()1212121122x x x x x x ---=-， 即()12121ln ln 2x x x x -<-，12122ln ln x x x x -<-，由（11212ln ln x x x x --，2，124x x <.【点睛】关键点睛：第一问考查不等式证明，解题的关键是将不等式等价为1ln b b a -<求出()ln f t t =的单调性进行证明；第二问的方程等价于()1212121sin sin ln ln 2x x x x x x ---=-，通过()sin g x x x =-的单调性得出1212sin sin x x x x ->-，得出12122ln ln x x x x -<-，利用（1）中结论求解.。

山东省滨州市博兴县第三中学2021届高三数学上学期期末考试试题（满分：150分，考试时间：120分钟）一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N =A.}{43x x -<<B.}42{x x -<<-C.}{22x x -<<D.}{23x x <<2.若复数z 满足(1+i)z=2－i(i 为虚数单位)，则=zA ．21B ．210C ．2D ．2233.已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是A ．sin sin a b >B ．a b c c >C ．c c a b <D ．11c c b a--<4.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，1)，则cos2θA ．35-B ．35 C ．45- D ．455.设,l m 是两 条不同的直线，α是一个平面，则下列结论正确的是A ．若//l α，//m α，则//l mB ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥6.在2=33ABC AB AC BAC π∆=∠=中，，，，BD =若23BC ，则AD BD ⋅= A ．229B ．229-C ．169D ．89-7.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A 、B 、C 三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为A ． 8B ．7C ．6D ．58. 用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为 A ．93B ．63C ．18D ．27二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届山东省滨州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．设集合()(){}{}310,04M x x x N x x =+-<=<<，则M N =（ ）A ．()0,1B ．()1,4-C ．()0,3D ．()1,3-答案：A化简集合M ，然后根据交集的概念求出结果即可. 解：∵()(){}{}31031M x x x x x =+-<=-<<， ∴{}01M N x x ⋂=<<. 故选：A.2．已知i 为虚数单位，若1cos sin z i θθ=+，则z 的共扼复数z =（ ）A ．cos sin i θθ-B ．sin cos i θθ-C ．sin cos i θθ+D ．cos sin i θθ+答案：D根据复数除法运算法则，上下同乘以cos sin i θθ-，化简后，根据共轭复数定义写出结果. 解：()()1cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i z i i i i θθθθθθθθθθ-===-++-，则cos sin z i θθ+= 故选：D3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是:“有大夫、不更、簪裹、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱?”.在这个问题中，若大夫出4钱，则上造出的钱数为（ ） A ．8 B ．12 C ．20 D ．28答案：D将实际问题转化为等差数列的数学模型，根据前n 项和公式求出公差，结合通项公式即可求解. 解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a . 根据题意可知，等差数列{}n a 的首项为14a =，前5项和为100，设公差为d ， 则()551100452d ⨯-=⨯+，解得8d =，所以上造出的钱数为()4441828a =+-⨯=. 故选：D.4．函数()()32xf x x x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C根据函数的奇偶性以及函数值的正负进行综合判断.解：因为()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，故排除A 选项；因为0x >时，()()32xf x x x e =-令()0f x >，即()320x x x e -<，所以()()2110xx x x e -+<，故01x <<，排除B 、D 选项.故选：C.5．已知平面向量a b ，满足()3a a b ⋅+=,且||2,||1a b ==,则向量a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：C解：设向量a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π] 由a •（a +b ）=3代入数据可得22+2×1×cosθ=3， 解之可得cosθ=12-，故可得θ=2π3. 故答案为C.6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -，则cos 2=α（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-答案：B根据角终边上点的坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得cos2α的值．解：因为终边上点()3,4P -，所以43sin ,cos 55αα==-，所以2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯--=- ⎪⎝⎭故选：B ．7．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，且当[)0,2x ∈时.()()2log 1f x x =+，则()()20212021f f --=（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-答案：A由题知函数的周期为4，进而()()()()2021202111f f f f --=--，再结合已知条件求解即可. 解：解：因为函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-， 所以对任意x ∈R 都()()()42f x f x f x +=-+=，即函数的周期为4， 所以()()()()()()20212021150541505411f f f f f f --=+⨯---⨯=--， 又因为[)0,2x ∈时.()()2log 1f x x =+，对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-， 所以()21log 21f ==，()()()11211f f f -=--+=-=-， 所以()()()()20212021112f f f f --=--= 故选：A【点睛】本题主要考查函数的周期性.常见表示周期的形式有()(),f x a f x T a +==；()(),2f x a f x T a +=-=；()()1,2f x a T a f x +==；()(),f x a f x b T b a +=+=-等等，简而言之，如果两个变量的差为常数，这个函数即为周期函数，要熟记常见的表示形式.8．已知双曲线()()220022:10,0,,x y C a b P x y a b-=>>是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22002x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点.则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．(C ．()2,+∞D ．)+∞答案：B由直线20bx ay a -+=与渐近线0bx ay -=的距离得到圆心()00,P x y 到直线0bx ay -=的距离为2ad c=，再根据圆()()22002x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，由2a d c =≥.解：双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为0bx ay -=，因为点()00,P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点， 又直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离为：2ad c =，即圆心()00,P x y 到直线0bx ay -=的距离为：2a d c=, 因为圆()()22002x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，所以2ad c =c e a=≤1e >,所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B【点睛】本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问题转化为渐近线0bx ay -=与直线20bx ay a -+=9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b << C ．若0c a b >>>，则a bc a c b<-- D ．若0a b c >>>，则a a cb b c+>+ 答案：D根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果. 解：对于A 选项，当0c时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当3,2a b =-=-时，满足0a b <<，但22a ab b <<不满足，故B 选项为假命题； 对于C 选项，当3,2,1c a b ===时，21322a b c a c b =>=---，不满足，故C 选项为假命题；对于D 选项，由于0a b c >>>，所以()()()()()()0a b c b a c a b ca a c ac bcb bc b b c b b c b b c +-+-+--===>++++， 即a a cb b c+>+，故D 选项为真命题. 故选：D. 二、多选题10．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m⊥α，n⊥α，则m //n B ．若α⊥β，m⊥β，m ⊄α，则m //α C ．若α⊥β，m ⊂α，则m β⊥ D ．若m ⊂α，n ⊂α，m //β，n //β，则α//β答案：AB选项A.由线面垂直的性质可判断;选项B. 由面面垂直的性质和线面垂直的性质判断;选项C. 由面面垂直的性质和线面垂直的性质判断;选项D. 没有直线m ，n 相交的条件，所以α，β可能平行，也可能相交.解：选项A. 由m⊥α，n⊥α，则m //n ，故A 正确.选项B. 由α⊥β，m⊥β，可得//m α，或m α⊂，由条件m ⊄α，所以//m α，故B 正确. 选项C. α⊥β，m ⊂α,设l αβ=，若m 不垂直于l ，则l 与平面β也不垂直，故选项C 不正确.选项D. m ⊂α，n ⊂α，m //β，n //β，则α，β可能平行，也可能相交.故D 不正确. 故选：AB11．二项展开式()5543254321021x a x a x a x a x a x a -=+++++，则（ ）A ．01a =-B ．54321543210a a a a a ++++=C ．380a =D ．123451a a a a a ++++=答案：ABC对A 、D 选项，给x 赋特值即可判断；对于C 选项则需要根据二项式系数的公式即可得出；对于B 选项求导以后赋特值即可求出.解：对A ：令0x =，可得01a =-，故A 正确；对B ：左右两边分别求导得：()443215432152125432x a x a x a x a x a ⨯-⨯=++++，令1x =，得54321543210a a a a a ++++=，故B 正确； 对C ：()223352180a C =⨯⨯-=，故C 正确；对D ：令1x =，可得0123451a a a a a a +++++=，而01a =-，所以123452a a a a a ++++=，故D 错误. 故选：ABC.12．已知函数()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠，且对任意x ∈R 都有33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 在上2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增C ．56x π=是()f x 的一个零点 D ．ab=答案：ACD由已知可得3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3ab ，化简函数解析式为()2sin 6f x b x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.解：由题意可知函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭即12b =，整理可得2230a b -+=，即()20a =，所以，3a b ，0ab ≠，所以，ab=D 选项正确；()sin cos 2sin 6f x x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 选项正确；当2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，可得,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，若0b <，则函数()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 选项错误； 52sin 06f b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故56x π=是()f x 的一个零点，故C 选项正确. 故选：ACD.【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为()()sin +0y A x B ωϕω=+>或()()cos +0y A x B ωϕω=+>的形式； （2）将x ωϕ+看成一个整体；（3）借助正弦函数sin y x =或余弦函数cos y x =的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 三、填空题13．曲线C ：x y xe =在点M （1，e ）处的切线方程为_____________． 答案：2y ex e =-解：试题分析：因为x x y e xe ='+，所以切线斜率为2e ，切线方程为2(1)y e e x -=-，2y ex e =- 【解析】导数几何意义14．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，则AB =______.答案：8求出直线l 的方程，设11()A x y ，、22()B x y ，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，然后由焦点弦长公式可得结论．解：抛物线24y x =的焦点坐标为(10)F ，，直线l 方程为1y x =-，设11()A x y ，、22()B x y ，，则由抛物线焦点弦长公式得：12122AB x x p x x =++=++，又A 、B 是抛物线与直线的交点，由241y xy x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，则126x x +=，∴||8AB =. 故答案为：8.【点睛】结论点睛：焦点弦的一些性质：抛物线22y px =的焦点为F ，AB 是其过焦点的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，则（1）12AB x x p =++．（2）112AF BF p +=．（3）2124p x x =，212y y p =-．15．甲、乙两人从4门不同的课程中各随机选修2门课程.则甲、乙所选的课中至少有1门课程不同的概率为________ 答案：56甲、乙所选的课中至少有1门课程不同的概率较难求解，不如求甲、乙所选的课程相同的概率，再用15()166P A =-=即可. 解：甲、乙两人从4门不同的课程中各自随机选修2门课程的选法2244C C 为种， 设事件A ：甲、乙所选的课程中至少有1门课程不同， 则事件A ：甲、乙所选的课程相同，2422441()6C P A C C ∴== ,15()166P A =-= ,故答案为：56四、双空题16S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，当该棱锥体积最大时，底面ABCD 的边长为______，此时球O 的表面积为______. 答案：2 9π求出当1h =时，体积最大，得底面边长2AB =，再在Rt AOE 中，求出球的半径，进而求出表面积.解：如图，3SA SB SC SD ====设四棱锥体积最大时高为SE h = ， 则23AE h -，223AC h =-，223AB h -22312(23)233S ABCD V h h h h -=⨯-⋅=-+，22'()222(1)V h h h =-+=-- ， 当1h = 时，体积最大，即1SE =， 则23=2AE h -2AB = , 设外接球半径为R ，则OA R =Rt AOE 中，22222,2(1)AE OE OA R R +=+-= ,解得32R =, 球O 的表面积为234()92ππ= .故答案为：（1）2；（2）9π.【点睛】充分利用正四面体的几何特点，以及和外接球的关系，利用导函数求最大值. 五、解答题17．在①2sin 3sin A B =;②ABC ∆315；③()cos cos 6b b C c B +=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且11,cos 4a b C -==-（1）求c 的值; （2）求tan 2B 的值.注:如果选择多种方案分别解答，那么接第一种方案的解答记分. 答案：（1）4；（2715（1）选择①，利用正弦定理角化边，结合已知求得a,b 的值，然后由余弦定理求得；选择②，先由同角三角函数关系求得角C 的正弦值，进而利用面积公式求得ab 的值，结合a-b=1，解方程组求得a,b 的值,然后利用余弦定理求得；选择③，先利用余弦定理角化边，整理求得ab 的值，接下来同选择②；（2）方法一：利用余弦定理求得B 的余弦值，进而利用同角三角函数的关系求得B 的正切，然后利用正切的二倍角公式计算；方法二：由C 的余弦值求得正弦值，利用正弦定理求得B 的正弦，进而求得B 的正切值，然后同解法一计算即得. 解：（1）选①：因为2sin 3sin A B =， 由正弦定理，得23a b =. 又因为1a b -=， 解得3a =，2b =.由余弦定理，得2294114236c ⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭=+-，所以4c =.选②：因为1cos 4C =-，0C π<<，所以sin C =.又因为ABC ，所以1sin 2ab C =.所以6ab =. 又因为1a b -=， 所以260b b +-=，解得2b =，或3b =-（舍去）. 所以3a =.由余弦定理，得2294114236c ⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭=+-，所以4c =.选③：因为()cos cos 6b b C c B +=，由余弦定理，得222222622a b c a c b b b c ab ac ⎛⎫+-+-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，整理得（或由射影定理，得）6ab =. 又因为1a b -=， 所以260b b +-=，解得2b =，或3b =-（舍去）.所以3a =.由余弦定理，得2294114236c ⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭=+-，所以4c =. （2）方法一：由余弦定理，得22291647cos 22348a c b B ac +-+-===⨯⨯.又因为0B π<<，所以sin B =所以tan B =所以22tan 7tan 2151tan 149B B B ===--. 方法二：因为0C π<<，且1cos 4C =-，所以sin C =. 由正弦定理，得sin sin bB C c=，又由（1）知2b =，4c =，所以24sin 4B ==因为1cos 4C =-，所以2C ππ<<，所以02B π<<.所以7cos 8B ==，所以sin tan cos B B B ==所以22tan 7tan 2151tan 149B B B ===--. 18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34232S S S =+，12a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，11+=+n n n n c a b b ，求{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）2n n a =；（2）1221n n n T n ++=-+. （1）根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比，利用等比数列的通项公式可求得n a ；（2）求得1121nn c n n =+-+，然后利用分组求和法结合裂项相消法可求得n T . 解：（1）因为34232S S S =+，所以()()12312341232a a a a a a a a a ++=+++++， 化简，得342a a =，所以432a a ，所以等比数列{}n a 的公比2q.因为12a =，所以111222n n n n a a q--==⋅=；（2）由（1）知2log n n b a n ==，所以()111112211n n n n n n c a b b n n n n +=+=+=+-++. 所以()12311111248212231n n n T c c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221121221212111n n n n n n n +++-+=+-=-+-=--+++. 19．2020年春，我国武汉出现新型冠状病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等症状，严重的可导致肺炎甚至危及生命.新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心.为了遏制病毒的传播，危难时刻全国人民众志成城.共克时艰.某校为了了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动.并从男生.女生中各随机抽取20人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表:女生成绩规定:成绩在80分以上(含80分)的同学称为“防疫明星”. 成绩[)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数 7 7 42（1）根据以上数据，完成以下22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“防疫明星”与性别有关;（2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取4人，其中“防，明星”的人数为X ，求随机变量的分布列与数学期望.附:参考公式()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：答案：（1）有99%的把握认为“防疫明星”与性别有关；（2）分布列见详解，期望125. （1）由已知条件补全22⨯列联表，然后计算出2K ，与临界值比较即可得出结论； （2）判断X 服从二项分布，然后列出分布列，根据二项分布的期望可以直接求出. 解：（1）由频率分布直方图得，男生中成绩大于等于80的频率为()0.0350.025100.6+⨯=， 则男生中“防疫明星”的人数为200.612⨯=人，“非防疫明星”人数为8； 由频数分布表得，女生中“防疫明星”的人数为6人，“非防疫明星”人数为14人. 所以22⨯列联表为因为2K 的观测值()21468201568401220 6.67 6.6312320k ==≈⨯>⨯-⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“防疫明星”与性别有关.（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从20名男生中随机抽取1人，是“防疫明星”的概率为123205=. 从该校男生中随机抽取4人，其中“防疫明星”的人数X 服从二项分布，即3~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭.X 的可能取值为0，1，2，3，4，则()04043216055625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()13143296155625P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222432216255625P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()313432216355625P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()40443281455625P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P166259662521662521662581625所以X 的数学期望为()312455E X =⨯=.20．如图1一副标准的三角板中90,60,,B E A DE EF BC DF ︒︒∠=∠=∠===，.将三角板的BC 边与DF 重合，把两个三角板拼成一个空间图形，如图2设M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.（1）求证:平面ABC ⊥平面EMN（2）若24AC EM ==，求二面角E AC B --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）55（1）分别证得MN BC ⊥，EN BC ⊥，从而BC ⊥平面EMN .进而证得平面ABC ⊥平面EMN . （2）方法一：根据边长关系证得EN NM ⊥，从而有EG AC ⊥，EGN ∠为二面角E AC B --的平面角.分别在三角形中解得NG ，EG 的长，即可求得二面角的余弦值；方法二：以N 为坐标原点，分别以NM ，NC ，NB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面EAC 的法向量，取平面ABC 的法向量为NE →，根据向量的夹角求得二面角的余弦值. 解：（1）证明：因为M ，N 分别为AC ，BC 的中点，所以//MN AB . 又因为AB BC ⊥，所以MN BC ⊥. 因为DE EF =，所以EN BC ⊥.因为MN EN N ⋂=，所以BC ⊥平面EMN . 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面EMN .（2）方法一：在Rt ABC △中60BAC ∠=︒，4AC =，所以2AB =，23BC = 所以1MN =，3EN =又因为2EM =，所以222EM EN MN =+，所以EN NM ⊥.又因为EN BC ⊥，MN ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，MN EN N ⋂=， 所以EN ⊥平面ABC ，EN AC ⊥， 过点N 作NG AC ⊥于点G ，连接EG ， 则AC ⊥平面EGN ，所以EG AC ⊥， 所以EGN ∠为二面角E AC B --的平面角.在Rt MNC △中，1MN =，3NC 2MC =，所以3NG =在Rt ENG 中，3EN 31534EG =+.所以352cos 5152NG EGN EG ∠===. 所以二面角E AC B --的余弦值为55. 方法二：在Rt ABC △中60BAC ∠=︒，4AC =，所以2AB =，23BC =. 所以132EN BC ==，1MN =， 又因为2EM =，所以222EM EN MN =+， 所以EN NM ⊥.由（1）可知EN BC ⊥，MN BC ⊥，所以以N 为坐标原点，分别以NM ，NC ，NB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系N xyz -.则()0,0,0N ，()2,3,0A -，()3,0C ，()0,3,0B -，(3E ， 所以()2,23,0AC →=-，(3,3EC →=-.设平面EAC 的法向量为(),,nx y z →=，则0,0,n AC n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2230,330.x y z ⎧-+=⎪= 所以平面EAC 的一个法向量)3,1,1n →=. 因为NE ⊥平面ABC ，所以可取平面ABC 的法向量为(3NE →=.因为35cos ,35NE nNE n NE n→→→→→→⋅===⨯ 所以二面角E AC B --5【点睛】方法点睛：求二面角时，一般分为两种解法：几何法，建系法；几何法需要根据二面角定义，作出其平面角，在三角形中求得各边长，并利用余弦定理求解余弦值；建系法是通过将二面角转化为平面的法向量的夹角来得.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点(P 在椭圆C 上，且满足2122PF PF PF ⋅=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同两点,M N ，且OM ON ⊥，证明:总存在一个确定的圆与直线l 相切，并求该圆的方程.答案：（1）22184x y +=；（2）证明详见解析，2283x y +=. （1）方法一，将数量积公式转化为坐标运算求c ，再根据点P 在椭圆上，求椭圆方程；方法二，由数量积运算公式化简后，可得121PF F F ⊥，可得焦点坐标，再利用椭圆的定义求2a 以及椭圆方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示0OM ON ⋅=，得()22813k m +=，并计算原点到直线的距离，判断圆的方程.解：（1）方法一：设()1,0F c -，()2,0F c （0c >），则(12,PF c =--，(22,PF c =-.因为2122PF PF PF ⋅=，所以()224222c c -+=-+，解得2c =，或0c （舍去）.所以224a b =+.又因为点(P 在椭圆C 上，所以224214b b +=+， 即42280b b --=，解得24b =，或22b =-（舍去）.所以28a =，所以，椭圆C 的标准方程为22184x y +=. 方法二：因为2122PF PF PF ⋅=， 所以()2120PF PF PF ⋅-=， 即2210PF F F ⋅=，所以221PF F F ⊥.又点(P 在椭圆C 上，所以()12,0F -，()22,0F .且由椭圆的定义，得122a PF PF =+==所以a =所以2244b a =-=.所以，椭圆C 的标准方程为22184x y +=.（2）联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()222214240k x kmx m +++-=.因为直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，所以()()()2222221682148840k m k m k m ∆=-+-=+->.设()11,M x y ，()22,N x y ，则122421km x x k +=-+，()21222421m x x k -=+. 所以()()()()221212121212121OM ON x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()222222221442121k m k m m k k +-=-+++. 又因为OM ON ⊥，所以0OM ON ⋅=，即()()()2222222144210k m k m m k +--++=， 所以()22813k m +=.所以，原点O 到直线l的距离d ==所以，存在定圆2283x y +=与直线l 相切. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，本题的关键是利用韦达定理得到()22813k m +=，并且能推理计算原点到直线的距离为常数，从而得到圆的方程.22．已知函数()ln af x x x =-+（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若1a =，证明:1xf e x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭答案：（1）当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增； （2）见详解（1）对函数进行求导，然后根据参数进行分类讨论；（2）构造函数()()1e xg x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求函数的最小值即可证出.解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()2x af x x +'=. 当0a ≥时，()0f x '>在()0,∞+上恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，()0,x a ∈-时，()0f x '<；(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. （2）当1a =时，()1ln f x x x=-+.令()()1e xg x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，则()ln e xg x x x =--+.()11e xg x x'=--+， 令()11e xh x x =--+，()0,x ∈+∞.()21e 0x h x x'=+>恒成立， 所以()h x 在()0,∞+上单调递增.因为1302h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()12e 0h =-+>，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00011e 0x h x x =--+=，即01e 1x x =+.①当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()0,x +∞上单调递增.所以，()()0000min ln e xg x g x x x ==--+，②方法一：把①代入②得 ()00001ln 1g x x x x =--++，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设()1ln 1x x x x ϕ=--++，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则()21110x x x ϕ'=---<恒成立， 所以()x ϕ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()()110x ϕϕ>=>.因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()00x ϕ>，即()00g x >，所以()0g x >，所以1a =时，1e xf x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭.方法二：设()e 1xh x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则()12e 1e 10x h x '=->->，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()102h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以e 1x x ->.因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以00e 1xx ->，所以()00000e ln 1ln 0xg x x x x =-->->，所以1a =时，1e xf x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭.【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明.。

山东省滨州市蒲城中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25参考答案：A考点：圆的切线方程；圆的标准方程．专题：计算题．分析：设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．解答：解：设圆心为，则，当且仅当a=1时等号成立．当r最小时，圆的面积S=πr2最小，此时圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故选A．点评：本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．2.（A）（B）（C）（D）参考答案：A3. 在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（）A． B．2 C． D．4参考答案：B略4. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，，直线与底面所成角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：A5. 在椭圆上有一点，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：D考点：椭圆的定义余弦定理与基本不等式等知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是椭圆的几何性质与函数方程的数学思想的范围问题,解答时先运用余弦定理建立,再借助椭圆的定义将其等价转化为,然后再运用基本不等式将其转化为不等式,最后通过解该不等式将该椭圆的离心率求出,从而获得答案.6. 给出下列说法:①命题“若,则”的否命题是假命题;②命题p:存在,使,则p:任意,;③“”是“函数为偶函数”的充要条件;④命题p:存在 ,使;命题q:在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,那么命题(p)且q为真命题.其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.1参考答案：B略7. 命题“设、、，若则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：C略8. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1；所以，该三棱柱的体积为V=Sh=×1×1×1=．故选：C．点评： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．9. 函数y=f （x ）的图象向右平移单位后与函数y=cos2x 的图象重合，则y=f （x ）的解析式是（ ）A ．f （x ）=cos （2x ）B ．f （x ）=﹣cos （2x ﹣） C ．f （x ）=﹣sin （2x+） D ．f （x ）=sin （2x ﹣）参考答案：C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【分析】由题意，将函数y=cos2x 的图象向左平移单位后可得y=f （x ）的图象，利用图象变换规律即可得解．【解答】解：由题意，将函数y=cos2x 的图象向左平移单位后，可得y=f （x ）的图象，可得：y=f （x ）=cos[2（x+）]=cos （2x+）=cos （2x++）=﹣sin （2x+）．故选：C ．10. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是2，那么该定点到原点的距离是（ ）A.B.C.D.参考答案： A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ= ．参考答案：﹣【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系． 【专题】压轴题；三角函数的求值．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．【解答】解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=﹣，而cos 2θ==，∵θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，则sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12. 已知中，角A 、B 、C 所对的边分别是，且，则．参考答案：因为，所以，所以。

2021年山东省滨州市安达第三中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设数列是首项为1公比为3的等比数列，把中的每一项都减去2后，得到一个新数列，的前n项和为，对任意的n,下列结论正确的是A．B．C．D．参考答案：C2. 当时，，则的取值范围是（）A. (0，)B. (，1)C. (1，)D. (，2)参考答案：B3. 已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A．B．C．2 D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选B．4. 已知命题,则是的充分不必要条件;命题已知是锐角三角形的三个内角,向量,则与的夹角是锐角,则（）A．假真 B．且为真 C．真假 D．或为假参考答案：A5. 在复平面内,复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C6. 已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C． x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0参考答案：B【考点】J7：圆的切线方程．【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程．【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直线l的方程为x+y﹣4=0，故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．7. 空间中，若α,β,γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是A．若l∥α,，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l⊥β，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β参考答案：C8. 设α、β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A 【考点】直线与平面垂直的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．根据题意由判断定理得l⊥β?α⊥β．若α⊥β，直线l?α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．由α⊥β，直线l?α得不到l⊥β，所以所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l?α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l?α，且l⊥β?α⊥β若α⊥β，直线l?α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故答案为充分不必要．【点评】解决此类问题的关键是判断充要条件可以先判断命题的真假，最好用?来表示，再转换为是什么样的命题，最后转化是什么样的条件．9. 设函数的定义域为D，若存在非零实数t使得对于任意，则称为M上的“t高调函数”.如果定义域为R的函数是奇函数，当为R上的“t高调函数”，那么实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B略10. 设，且为正实数，则2 1参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的单调递减区间是________.参考答案：的单调递减区间需满足且递减.12. 从某地高中男生中随机抽取100名 同学，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为参考答案：13. 若实数, 则目标函数的最大值是参考答案：略14..参考答案：2/315. 函数的单调递减区间为 ．参考答案：（0，1]考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题．分析： 根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．解答： 解：对于函数，易得其定义域为{x|x ＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x ＞0，则≤0?x 2﹣1≤0，且x ＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]点评： 本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域．16. 根据如下图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．参考答案：1017. 已知△ABC，点O 满足=2，过点O 的直线与线段AB 及AC的延长线分别相交于点E ，F ，设=λ，=μ，则8λ+μ的最小值是_________ ．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年山东省滨州市无棣第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，∠ACB=90°，P为BC1上的动点，则CP+PA1的最小值为A.B．C．5D．参考答案：C由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得.2. （5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A． B． 1 C． D．参考答案：D【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】： a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．3. 关于函数f(x)＝tan|x|+|tan x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数; ②f(x)在区间上单调递减;③f(x)是周期函数; ④f(x)图象关于对称其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ②③C. ①②D. ③④参考答案：C【分析】①用奇偶性定义证明为正确；②化简去绝对值，可证为正确；③④作出图像，可判断为不正确.【详解】为偶函数，①为正确;单调递减，②为正确；作出函数在的图像如下图：可判断③④不正确.故选:C【点睛】本题考查有关三角函数的性质，考查了正切函数的图象及应用，属于中档题.4. 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20 B．15 C．12 D．10参考答案：D本题考查了对几何体的观察推理能力，难度中等。