(完整)数学选修1-1导数测试题(含答案),推荐文档

一、选择题1．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-2．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞3．已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是（ ） A ．9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．4,(0,)3⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．4,03⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．9,(0,)2⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e5．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（ ） A ．()()310f e f <B ．()()210f e f < C ．()()310f e f >D ．()()210f e f >6．已知函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a ≤-B ．1a ≤-C ．1a ≤D ．01a ≤≤7．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题8．对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（ ） A．34f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()2cos113f f π⎛⎫⋅⎪⎝⎭＞ C．()14f f π⎛⎫⋅⎪⎝⎭D．46f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭9．函数()2xf x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，且212x x ≥，则实数a 的最小值为（ ） A ．ln 22-B ．ln 2-C ．2e-D ．ln 210．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e --- 11．已知函数()221,02,0k x f x x x k x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k 0<B ．0k >C ．27k <D ．27k >12．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞二、填空题13．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为___________．14．已知函数()2ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，则实数a 的取值范围为______．15．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.16．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是______.17．已知a R ∈，设函数232,1()1,1x x a x f x x a nx x ⎧-+=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在R上恒成立，则a 的取值范围是_________.18．若函数()()20xf x ae xa =-≠仅有1个零点，则实数a 的取值范围是______.19．已知成立, 则实数a 的取值范围是 ．20．使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立的一个m 值是_____.三、解答题21．已知函数()()()2220xf x ax x ea =++>，其中e 是自然对数的底数.（1）若()f x 在[]22-,上是单调增函数，求a 的取值范围； （2）证明：当1a =时，方程()5f x x =+有且只有两个零点. 22．设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ （1）若方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，求t 的取值范围； （2）证明：当0m n >>时，(1)(1)n mm n +<+.23．设函数(),02alnxf x x a =->. （1）求()f x 的单调区间;（2）求证:当1,ax e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aaf x e ≤-24．已知函数()ln 1f x a x =，a R ∈.（1）若函数()f x 在()1,+∞上单调递减，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在最大值，且最大值不大于0，求a 的值.25．已知函数())ln f x a x a =∈R ． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在[1,4]上的最小值． 26．已知函数2()ln f x x ax =-． （1）当a =1时，①求f (x )在(1，f （1）)处的切线方程； ②求f (x )的极值点；（2）若f (x )≤0恒成立，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()0g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．A解析：A 【分析】求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与x 轴三个交点，据此得出取值范围. 【详解】由条件得2()3(3)f x x x x x '=+=+， 令()0f x '>，可得解集为(,3)(0,)-∞-⋃+∞ 令()0f x '<，可得解集为(3,0)-则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，所以902c -<<. 故选：A 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．4．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．5．A解析：A 【分析】 构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e=，则()()()()()()3323333x x x x f x e f x e f x f x g x e e ⋅--=='''， 因为()()30f x f x '->在R 上恒成立， 所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减，所以()()10g g <，即()()3010f f e e <，即()()310f e f <， 故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.6．B解析：B 【分析】 由函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，知'0y ≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，分离参数，求最值得答案. 【详解】 因为函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以22'20a x x ay x x x --=--=≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以222(1)1a x x x ≤-=--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以1a ≤-， 故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立； （2）求导；（3）分离参数，求最小值，得结果.7．D解析：D 【分析】分析函数()13log xf x e x =-为增函数，若01x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+,且导函数()10ln 3xf x e x '+=>， 则函数单调递增，结合()1131log 1e f e =-=， 可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠故选：D 【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.8．D解析：D 【分析】构造函数()()cos g x f x x =，对其求导后利用已知条件得到()g x 的单调性，将选项中的角代入函数()g x 中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项. 【详解】解：构造函数()()cos g x f x x =，则()()()cos sin g x x f x x f x ='⋅⋅'-， ∵()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜，∴()()()cos sin 0g x x f x x f x =⋅-⋅''＞， 即()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为增函数，由43g g ＜ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即cos cos 4433f fππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜1423f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，故A 正确；()13g g 由＜π⎛⎫⎪⎝⎭，即()1cos1cos 33f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，即()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞，故B 正确；()14g g π⎛⎫⎪⎝⎭由＜，即()cos 1cos144f f ＜ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1cos124f f π⎛⎫⎪⎝⎭＜，故C 正确；由64g g ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即cos cos 6644f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即2624f f ＜ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即64f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，故错误的是D ．故选D ． 【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有()f x ，也含有其导数()f x '的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是()()0xf x f x -<'，可构造()()f x g x x=，可得()()()20xf x f x g x x'-='<.9．B解析：B 【分析】函数()2xf x ae x =+，变形为2x x a e =-，令()2xxg x e =-，利用导数求函数的最值，可得20a e -<<，结合212x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值，再把1x ，2x 代入20x ae x +=，求解1x ，再代入112xae x =-，即可求得a 的最小值【详解】函数()2xf x ae x =+，变形为2x x a e =-，令()2x xg x e =-，得()()21xx g x e-'=， 当(),1x ∈-∞时，0g x ，当()1,∈+∞x 时，0g x ，可得1x =时，函数()g x 取得最小值2e-. 又当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()0g x <， 且函数()2xf x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，得20a e-<<. 由212x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值. 由112xae x =-，222x aex =-，得1214x ae x =-，∴12x e =，解得1ln 2x =.代入112xae x =-，解得ln 2a =-.∴a 的最小值为ln 2-. 故选：B. 【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化的数学思想，考查计算能力，属于中档题10．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e --，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】表示出函数()g x ，分0k =，k 0<及0k =讨论，易知当0k =及k 0<时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数()g x 在(0,)+∞上的最小值小于0即可． 【详解】解：依题意，222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩， 当0k =时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故0k ≠；观察解析式，易知函数()g x 为偶函数，则函数()g x 有且仅有四个不同的零点，可转化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点， 当k 0<时，函数()g x 在(0,)+∞上递增，最多一个零点，不合题意；当0k >时，322()()x k g x x -'=，0x >，令()0g x '>，解得13x k >，令()0g x '<，解得130x k <<， 故函数()g x 在13(0,)k 上递减，在13(k ，)+∞上递增， 要使()g x 在(0,)+∞上有且仅有两个不同的零点， 则1233132()()0min k g x g k k k k==+-<，解得27k >．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系以及利用导数研究函数的单调性，最值等，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．12．D解析：D 【分析】构造新函数2()()xg x ef x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】 令2()()xg x ef x =，则2()[2()()]xg x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()x f x g x e=的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间； （4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.14．【分析】先由题意得到关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实根令对其求导判定其单调性以及的取值情况即可得出结果【详解】因为函数的图象与x 轴交于不同两点所以关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实 解析：1a >【分析】先由题意，得到关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即2ln 1x x x a +=在()0,∞+上有两不等实根，令()2ln x x g x x +=，对其求导，判定其单调性，以及()g x 的取值情况，即可得出结果. 【详解】因为函数()2ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，所以关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即2ln 1x x x a+=在()0,∞+上有两不等实根，令()2ln x x g x x +=，则()2ln x x g x x +=与直线1y a =有两个不同交点， 又()()24311ln 212ln x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-+⋅ ⎪--⎝⎭'==， 令()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<在()0,∞+上恒成立，则()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x >，即()312ln 0x xg x x --'=>，则()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()312ln 0x xg x x --'=<，则()g x 单调递减； 所以()()max 110g x g ==>，又211101eg e e-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x =；因此当()00,x x ∈时，()0g x <；当()0,1x x ∈时，()0g x >； 又当1x >时，ln 0x >，所以()0g x >； 因此，为使()2ln x x g x x +=与直线1y a =有两个不同交点，只需101a<<，解得1a >. 故答案为：1a >. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法处理由函数零点个数求参数问题时，一般需要根据函数零点个数，得到对应方程的根的个数，再分离参数，构造新的函数，对新函数求导，利用导数的方法判定其单调性，确定函数的取值情况，进而可求出结果.（也可利用数形结合的方法求解）15．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时 解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值. 【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减.所以，()max 20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】由解析式可分析得到的一个周期为则只需考虑在上的值域即可利用导函数求得其最值即可【详解】由题的一个周期为故只需考虑在上的值域令解得或可得此时或或所以的最小值只能在点或或和边界点中取到因为所以的解析： 【分析】由解析式可分析得到()f x 的一个周期为2T π=,则只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域即可,利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题,()f x 的一个周期为2T π=, 故只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域,()()()()22sin 2cos 22sin 212sin 22sin 1sin 1f x x x x x x x '=-+=-+-=--+,令()0f x '=,解得1sin 2x =或sin 1x =-, 可得此时6x π=或56π或π, 所以()2cos sin 2f x x x =+的最小值只能在点6x π=或56π或π和边界点0x =中取到,因为6f π⎛⎫=⎪⎝⎭,56f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()2f π=-,()02f =,所以()f x 的最小值为故答案为:【点睛】本题考查导数的运算,考查利用导函数求最值,考查运算能力.17．【分析】根据分段函数当时将恒成立转化为恒成立令利用二次函数的性质求得其最大值当时将转化为恒成立令用导数法求得其最小值然后两种情况取交集【详解】当时等价于恒成立令其中则所以当时等价于恒成立令则当时递增 解析：[]1,e【分析】根据分段函数，当1x ≤时，将()2320f x x x a =-+≥恒成立，转化为232x x a -恒成立，令23()2x x g x -=，利用二次函数的性质求得其最大值，当1x >时，将()ln 0f x x a x =-≥，转化为1xanx 恒成立，令()ln x h x x=，用导数法求得其最小值，然后两种情况取交集. 【详解】当1x ≤时，()2320f x x x a =-+≥等价于232x x a -恒成立，令()22231139()322228x x g x x x x -⎛⎫==--=--+ ⎪⎝⎭，其中1x ≤，则()max 1g x =， 所以1a ≥，当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥等价于1xanx恒成立， 令()ln xh x x=，则221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -⋅-'==， 当x e >时，()()0,h x h x '>递增， 当1x e <<时，()()0,h x h x '<递减， ∴x e =时，()h x 取得最小值()h e e =， ∴()min a h x e ≤=， 综上：a 的取值范围是[]1,e . 故答案为：[]1,e . 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，函数的最值与导数以及导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．(或)【分析】令分离常数构造函数利用导数研究的单调性和极值结合与有一个交点求得的取值范围【详解】解：方程可化为令有当时；当或时所以函数的增区间为减区间为可得处取得极小值0处取得极大值画出的图象和直线解析：24a e >(或24(,)e+∞) 【分析】令()0f x = 分离常数2x x a e=，构造函数2()x x g x e =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a = 与()g x 有一个交点，求得a 的取值范围．【详解】解：方程()0f x = 可化为2x x a e=，令2()x x g x e =，有(2)()xx x g x e -'=， 当02x <<时，()0g x '>；当0x <或2x >时，()0g x '<， 所以函数()g x 的增区间为(0,2)，减区间为(,0)-∞，(2,)+∞， 可得0x = 处()g x 取得极小值 0，2x = 处取得极大值24e，画出()y g x = 的图象和直线y a =，可得当24a e>时，()y g x = 和y a = 的图象有 1 个交点． 故答案为：24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．19．【详解】当时当时时有最小值因为所以考点：函数的单调性 解析：【详解】，当时，，当时，()0,1f x x '>∴=-时，有最小值()1f -．因为()max g x a =， 所以．考点：函数的单调性．20．；【分析】首先有且根据导函数得到的单调区间及对应的单调性使函数在区间(0m 上单调递减成立即(0m 包含于的单调递减区间即可得到一个m 值【详解】由题意知：且∴当且时即单调递减当时即单调递增故要使在区间(解析：12； 【分析】首先有2(1)()xx e f x x-'=且0x ≠，根据导函数得到()f x 的单调区间及对应的单调性，使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立，即(0，m ]包含于()f x 的单调递减区间，即可得到一个m 值 【详解】由题意，知：2(1)()xx e f x x -'=且0x ≠∴当0x ≠且1x <时，()0f x '<，即()f x 单调递减 当1x >时，()0f x '> ，即()f x 单调递增故，要使()f x 在区间(0，m ]上单调递减，则01m <<即可 ∴12m =符合要求 故答案为：12【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，结合导函数研究函数的单调区间，由命题中函数单调的成立条件确定区间的包含关系，进而求参数范围三、解答题21．（1）(]0,1；（2）证明见解析. 【分析】（1）转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立，利用二次函数知识可求得结果； （2）构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数可得()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，其中()01,0x ∈-，再根据零点存在性定理可证结论成立. 【详解】（1）因为()f x 在[]22-,上是单调增函数， 所以()()()()2222222140xxxf x ax e ax x e ax a x e '⎡⎤=++++=+++⎦≥⎣在[]22-,上恒成立，又0x e >，所以()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立. 令()()2214g x ax a x =+++，又0a >，故对称轴为110x a=--<.①当112a--≤-，即01a <≤时，()g x 在[]22-,上单调递增， 则()()min 244(1)40g x g a a =-=-++=，所以此时()()20g x g ≥-=恒成立. ②当1210a -<--<，即1a >时，()g x 在12,1a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,2a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递增，所以min 1()1g x g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()21112114a a a a ⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()2a a =-++()21a a-=-0<，所以()0g x ≥在[]22-,上不恒成立，故1a >不合题意， 综上所述，a 的取值范围是(]0,1.（2）因为1a =，设()()2225xh x x x e x =++--，则()()()()2222221441xxxh x x e x x e x x e =++'++-=++-.令()()2441xx x x e ϕ=++-，则()()()()()()2224446842xxxxx x e x x e x x e x x e ϕ=+++'+=++=++，由()()()420xx x x e ϕ'=++=，得4x =-或2x =-.所以4410x e =-=-<极大值，210x =-=-<极小值 因为()1110eϕ-=-<，()030ϕ=>，所以存在()01,0x ∈-，使()00x ϕ=， 当()0,x x ∈-∞时，()0x ϕ<，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0h x '>， 所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 又因为()51750h e -=>，()410410h e -=-<，()030h =-<，()1560h e =->， 故根据零点存在定理，可知()0h x =的根()15,4x ∈--，()20,1x ∈， 所以方程()5f x x =+有且只有两个零点. 【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立是解题关键，第（2）问构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数研究函数的零点是解题关键.22．（1）11ln 2,022⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，等价于函数()f x 在区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像与直线y t =有两个交点，所以利用导数求出()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减，再比较出(1)f 和12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小即可得答案； （2）由0m n >>，要证(1)(1)n mm n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)m n m n ++<，构造函数ln(1)(),(0)x g x x x +=>，然后利用导数证明()g x 是减函数即可 【详解】解：（1）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，定义域为()1,-+∞，()ln(1)f x x '=-+，()ln(1)00f x x x '=-+=⇒=，当102x -≤<时，()()0,f x f x '>单调递增， 当01x <≤时，()()0,f x f x '<单调递减， 则()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减，又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， 135(1)()ln 20,222∴--=-<f f 1(1)2f f ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭∴ 当11ln 2,022⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭t 时，方程()f x t =有两解. （2）∵ 0m n >>.∴ 要证：(1)(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+， 只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<. 设ln(1)(),(0)x g x x x+=>， 则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)xx x x x x g x x x x -+-+++=+'=.由（1）知()(1)ln(1)f x x x x =-++在(0,)+∞单调递减， 又()00=f ，∴ (1)ln(1)0x x x -++<， 即()g x 是减函数，而m n >. ∴ ()()g m g n <，故原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，考查数学转化思想，解题的关键是把(1)(1)n mm n +<+，转化为ln(1)ln(1)m n m n++<，再构造函数，再利用导数判断此函数为减函数即可，属于中档题 23．（1）单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）对()f x 求导，分别由()'0f x >和()'0f x <可求得单调递增和单调递减区间； （2）由题意只需证明()2max2aa f x e ≤-即可，讨论当12a ≤，即02a <≤，()f x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()()max a f x f e =；当2a >时先证明12aa e a >>>，可得()()max a f x f e =或()()max 11f x f ==，比较即可求证.【详解】（1）由题意得:()1,02af x x x'=->， 由()'0f x >，得2a x >， 由()'0f x <，得02ax <<，所以()f x 的单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若12a≤，即02a <≤，由（1）知()f x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递增， 所以()()22max 22aaaa a f x f e e e ==-≤-成立；若12a>，即2a >，设()a g a e a =-， 则当2a >时，()'10ag a e =->， 所以()()2220g a g e >=->，所以2aa e a >>，从而1,2a ae ∈⎡⎤⎣⎦. 结合（1）可知，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2aa e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，下面比较()22aaa f e e =-和()11f =的大小，设()22aa h a e =-，当2a >时，()'0,ah a e a =->所以()()2221h a h e >=->，即()()1af ef >，而()()2max2aaa f x f e e ==-，所以当1,ax e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aaf x e ≤-综上所述：当1,ax e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aaf x e ≤-.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性. 24．（1）12a ≤；（2）12a =. 【分析】（1）对函数求导，根据题中条件，得到()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，推出a ≤()1,+∞上恒成立，进而可得出结果；（2）对函数求导，先讨论0a ≤，判断函数在定义域上单调，无最值，舍去；再讨论0a >，利用导数的方法研究函数的单调性，得出最大值，进而可求出结果. 【详解】（1）因为()ln 1f x a x =，所以()0a f x x '=≤在()1,+∞上恒成立，所以a ≤在()1,+∞上恒成立，又1x >时，122>，所以只需12a ≤即可，即a 的取值范围是12a ≤；（2）因为函数()ln 1f x a x =的定义域为()0,∞+， 为使函数()f x 存在最大值，则()f x 在定义域内不单调； 因为()a f x x '=， 当0a ≤时，()0a f x x '=-<在()0,∞+上显然恒成立，所以()f x 在定义域上单调递减，无最值，不满足题意； 当0a >时，由()0a f x x '==可得24x a =， 所以当()20,4x a∈时，()0af x x '=>，则()f x 单调递增；当()24,x a ∈+∞时，()0a f x x '=<，则()f x 单调递减；所以()()()()22max 4ln 412ln 221f x f a a a a a a ===-+，又最大值不大于0，即()()()2max42ln 2210f x f a a a a ==-+≤， 令()ln 1h x x x x =-+，0a >，则()10110h =-+=， 又()ln 11ln h x x x '=+-=，当()0,1x ∈时，()ln 0h x x '=<，则()ln 1h x x x x =-+单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()ln 0h x x '=>，则()ln 1h x x x x =-+单调递增， 所以()()min 10h x h ==，即()()22ln 221h a a a a =-+的最小值为0，此时12a =， 为使()2ln 2210a a a -+≤恒成立，只能()2ln 2210a a a -+=，即12a =. 综上，12a =. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法研究函数的最值问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，求出极值，结合题中条件，即可求出最值.（有时解析式中会含有参数，求解时，要讨论参数的不同取值范围，再判断函数的单调性，进行求解） 25．（1）单调递增区间为(4,)+∞；单调递减区间为(0,4)；（2）min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.【分析】（1）当1a =-时，()f x '=，进而得4x >时，()0f x '>， 04x <<时，()0f x '<，进而得函数的单调区间；（2）()f x '=，故分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论即可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当1a =-时，1()f x x '=-= 当4x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为(4,)+∞； 当04x <<时，()0f x '<，则()f x 的单调递减区间为(0,4). （2）2()2a af x x x'== 当1a ≤-时，()0,()f x f x '≤在[1,4]上单调递减， 此时，()min (4)2ln 22f x f a ==+ 当12a ≥-时，()0,()f x f x '≥在[1,4]上单调递增， 此时，()min (1)1f x f == 当112a -<<-时，若214x a <<，则()0,()f x f x '<单调递减； 若244a x <<，则()0,()f x f x '>单调递增此时，()()22min ()4ln 42ln(2)2f x f a a a a a a ==+=--．综上所述：min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩【点睛】本题考查利用导数求解函数的最小值问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，其中第二问解题的关键在于求导得2()2af x x'=，进而分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论求解，是中档题.26．（1）①0x y +=；②极大值点是2，无极小值点；（2）12a e ≥. 【分析】（1）①利用导数的几何意义求切线方程；②利用导数判断函数的单调性，根据极值点的定义求解；（2）不等式转化为2ln xa x ≥恒成立，即2maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用导数求函数()2ln xg x x =的最大值. 【详解】 （1）①当1a =时，()2ln f x x x =-，定义域是()0,∞+，()21122x x x xf x -=-='，()11f '=-，()11f =-， 所以函数在点()()1,1f 处的切线方程是()11y x +=--， 即0x y +=；②()0f x '>时，解得：0x <<，函数在区间⎛ ⎝⎭单调递增， ()0f x '<，解得：2x >，函数在区间,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，所以函数在2x =时取得极大值，极大值点是2，无极小值点；（2）若()0f x ≤恒成立，等价于2ln 0x ax -≤，即2ln xa x ≥恒成立，即2maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ 设()2ln xg x x=，()432ln 12ln x x x x g x x x --'==， 当()0g x '=时，x =当(x ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数单调递减，所以当x =()max 12g x e=， 即12a e ≥. 【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.。

一、选择题1．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-2．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定3．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞4．若函数()3221f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．43m ≥B ．43m >C ．43m ≤D ．43<m 5．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f << B ．()()()623428f f f << C ．()()()346229f f f <<D ．()()()286234f f f <<6．若函数32()x x x f x e e e a =---存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．[,)e C ．2[,)e -+∞ D ．[1,)-+∞7．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，8．已知函数,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（其中e 为自然对数的底数），若函数2()y f x ax =-恰有三个零点，则（ ）A ．24e a >B ．24e aC ．22e a >D ．2e a >9．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<-C ．{}2018x x >-D ．{}20200x x -<<10．若曲线()11xmy e x x =+<-+上存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围是（ ） A ．34,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．341,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ） A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 12．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞二、填空题13．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =. ②直线l ：1x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：()21y x =+.③直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =. ④直线l ：1y x =+在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y e =. ⑤直线l ：1y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =.14．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是_________．15．对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题：①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为22e -； ②函数f (x )的最小值为2e-； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____. 16．若函数()()32111562f x x mx n x =-++-+是[]0,1上的单调增函数，其中0m ≥，0n ≥，则()()2268m n +++的最小值为________．17．已知函数18ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围为________.18．函数31()3f x x ax =-的极大值为a =__________． 19．已知函数()xf x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．20．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()32xxf x f x x e'-=，()339f e =，则关于x 的方程()>f x e 的解集为_____________. 三、解答题21．已知函数()21x f x ae x =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）函数()()ln g x f x x x =+，当0a >时，讨论()g x 零点的个数. 22．已知()()2122x f x ax ax x e =-++-. （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间 （2）若f (x )存在3个零点，求实数a 的取值范围.23．已知函数())ln f x a x a =∈R ． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在[1,4]上的最小值．24．已知函数()(0)x axf x a e=≠． （1）当1a =时，求函数()y f x =在[0,2]上的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调区间．25．已知函数()ln x f x x x ae a =-+，其中a ∈R . （1）当0a =时，求函数在(,())e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()()213ln 22f x x x ax a R =+-+∈． （1）若()f x 在1x =处的切线过点()2,2，求a 的值；（2）若()f x 恰有两个极值点1x ，()212x x x <，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2．A解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.3．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()00g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x '-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.4．A解析：A 【分析】由于()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，利用参数分离求得参数范围. 【详解】因为()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，则()2340f x x x m '=++≥所以234m x x ≥--在R 上恒成立，令()234g x x x =--，则()max m g x ≥因为()g x 为二次函数且图像的对称轴为23x =-，所以()max 2433g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 故43m ≥故选：A 【点睛】方法点晴：本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题，结合参数分离法求得参数范围.5．B解析：B 【分析】 构造函数()()ln f x g x x=，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】令()()ln f x g x x=，则()()()()2ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>， 所以函数()()ln f x g x x=在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()248ln 22ln 23ln 2f f f <<. 化简得，()()()623428f f f <<， 故选：B.6．D解析：D 【分析】由题意得32x x x a e e e =--，令32()x xx g x e e e =--，求()g x 的取值范围可得答案.【详解】 由32()0xx x f x ee e a =---=，则32x x x a e e e =--，令32()xxx g x e ee =--，则()()()3223()3211213x xx x x x x x x g x e ee e e e e e e '=--=+-=--，当()0g x '>得0x >，()g x 单调递增，当()0g x '<得0x <，()g x 单调递减， 所以min()(0)1g x g ≥=-，()2215()124x x x x x g x e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当x 趋向于正无穷大时，()g x 也趋向于正无穷大， 所以函数()f x 存在零点，则1a ≥-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．7．C解析：C 【分析】构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->， 所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 8．A解析：A 【分析】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)f x a x x=≠，令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点，利用导数研究函数()y g x =的性质并作出示意图可求得答案. 【详解】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)f x a x x =≠， 令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点， 当0x >时，2()x e g x x =，则4(2)()x xe x g x x -'=，则()g x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x =时，()g x 有最小值为2(2)4e g =，当0x →时，()g x →+∞，作出()y g x =的示意图如图所示：由图知，若函数()2y f x ax =-恰有三个零点，则24e a >. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 的零点个数的方法如下： 直接解方程()0f x =，求出零点可得零点个数.； 数形结合法：转化为两个函数的交点；参变分离法：将参数分离出来，再作函数的图像进而转化为y a =与()y g x =（分离后的函数）的交点问题.9．B解析：B 【分析】构造新函数()()2g x x f x =，求导后可证明()g x 在()0,∞+上单调递增，而不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+可等价于()()20202+<g x g ，故2020020202x x +>⎧⎨+<⎩，解之即可. 【详解】令()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦， ∵定义域为()0,∞+，且()()20xf x f x '+>，()0g x '∴>，()g x 在()0,∞+上单调递增，不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+等价于()()20202+<g x g ，2020020202x x +>⎧∴⎨+<⎩，解得20202018-<<-x 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先求出原函数的导函数，令0y '=，得到2(1)x m x e =+，然后将问题转化为2(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解，再构造函数2()(1)(1)x f x x e x =+<-，求出()f x 的取值范围，即可得到m 的取值范围． 【详解】由(1)1xm y e x x =+<-+，得2(1)xm y e x '=-+，令0y '=，则2(1)x m x e =+，曲线(1)1xmy e x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， 2(1)x m x e ∴=+在(,1)-∞-上有两个不同的解．令2()(1)x f x x e =+，则22()2(1)(1)(43)x x x f x x e x e x x e '=+++=++．∴当3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，()f x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)--上单调递减， ∴34()(3)max f x f e =-=， 又当3x <-时，()0f x >，(1)0f -=．m ∴的取值范围为34(0,)e．故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题．11．D解析：D 【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x +=-，2324log log x x -=，化简结论得32312x x -，311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可． 【详解】已知函数图象如下：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-， 令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒大于0， 故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增， 所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故选:D ． 【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．12．D解析：D 【分析】构造新函数2()()x g x e f x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】 令2()()xg x ef x =，则2()[2()()]xg x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．①③【分析】根据直线在点处切过曲线的定义对5个函数逐个判断可得答案【详解】对于①由得所以则直线：是曲线：在点处的的切线又当时当时满足曲线在附近位于直线的两侧故直线：在点处切过曲线：故①正确；对于②由解析：①③ 【分析】根据直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义，对5个函数逐个判断可得答案. 【详解】对于①，由3y x =，得23y x '=，所以0|0x y ='=，则直线l ：0y =是曲线C ：3y x =在点()0,0P 处的的切线，又当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，满足曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，故直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =，故①正确；对于②，由()21y x =+，得2(1)y x '=+，所以1|0x y =-'=，而直线l ：1x =-的斜率不存在，在点()1,0P -处与曲线C ：()21y x =+不相切，故②不正确；对于③，由sin y x =，得cos y x '=，所以0|1x y ='=，则直线l ：y x =是曲线C ：sin y x =在点()0,0P 处的切线，令sin y x x =-，则1cos y x '=-，当02x π-<<时，0y '>，函数sin y x x =-递增，所以当02x π-<<时，0sin 0y x <-=，当02x π<<时，0y '>，函数sin y x x =-递增，所以当02x π<<时，0sin 00y >-=，所以当02x π-<<时，sin x x <，当02x π<<时，sin x x >，所以曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，故直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =，故③正确；对于④，由x y e =，得e x y '=，所以0|1x y ='=，则曲线C ：xy e =在点()0,1P 处的切线方程为10y x -=-，即1y x =+，令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 递增，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 递减，则当0x =时，函数()g x 取得极小值，同时也是最小值(0)0g =，则()0g x ≥，即1x e x ≥+，则曲线C ：xy e =不在切线l ：1y x =+的两侧，故④不正确；对于⑤，由ln y x =，得1y x'=，所以|11y x '==，所以曲线C ：ln y x =在点()1,0P 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，令()1ln g x x x =--，则1()1g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，函数()g x 取得极小值，也是最小值，所以()(1)0g x g ≥=，所以曲线C ：ln y x =不在切线l ：1y x =-的两侧，故⑤不正确.故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：对直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义正确理解是解题关键.14．【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下： 极大值 极小值 所以函数的极大值点为 解析：()3,2--【分析】利用导数求出函数()f x 的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】()32133f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：所以，函数f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =， 由于函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值， 所以，230m m <-⎧⎨+>⎩，解得32m -<<-.因此，实数m 的取值范围是()3,2--. 故答案为：()3,2--. 【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．15．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(解析：①②④ 【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③. 【详解】x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝22e-，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e-， x ＞0时，f (x )＝2122x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝122e->-故f (x )有最小值2e-，②④正确；令20x x e ⋅=得0x =，令21202xx -+=得222x ±=，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.16．49【分析】求出函数的导数根据函数的单调性得到关于的不等式组根据两点间的距离公式求出其最小值即可【详解】若在上递增则故满足条件的平面区域如图示：的几何意义表示和阴影部分的点的距离故到阴影部分的最小值解析：49 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m ，n 的不等式组，根据两点间的距离公式求出其最小值即可． 【详解】21()(1)2f x x mx n '=-++-，若()f x 在[0，1]上递增， 则(0)10f n '=-，()11102m n f =-++-'， 故满足条件001102m n n m n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-+⎪⎩的平面区域如图示：22(6)(8)m n -+-的几何意义表示(6,8)和阴影部分的点的距离，故(6,8)到阴影部分的最小值是自(6,8)向1n =作垂线， 故垂线段是7，故22(6)(8)m n -+-的最小值是49， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及简单的线性规划问题，考查了数学运算能力和数形结合思想.17．【分析】设代入解析式得到两个方程联立可得让取值域即可【详解】设则所以联立可得即对于有解令由可得：；由可得：所以在单调递减在上单调递增所以所以值域为即可得的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利解析：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】设()00,Q x y 、()00,P x y -代入解析式，得到两个方程联立可得2008ln 2a x x =-+，2000()8ln 2h x x x =-+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，让a 取0()h x 值域即可.【详解】设()00,Q x y 、则()00,P x y -所以2002y x =--，008ln y a x -=+，联立可得2008ln 2a x x =-+即2008ln 2a x x =-+对于1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 令2000()8ln 2h x x x =-+，200000288()2x h x x x x -'=-=，由0()0h x '>可得：2x e <<；由0()0h x '<可得：12x e<<， 所以0()h x 在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]2,e 上单调递增，20min ()(2)28ln 2268ln 2h x h ==-+=-，2211118ln 210h e e e e ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()228ln 26h e e e e =-+=-，所以0max 21()10h x e =+， 所以0()h x 值域为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，即可得a 的取值范围为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决存在性问题，涉及求函数的值域，属于中档题.18．3【分析】求导数取导数为0计算代入原函数计算极大值得到答案【详解】函数的极大值为由题意知：当时有极大值所以故答案为3【点睛】本题考查了函数的极大值意在考查学生的计算能力解析：3 【分析】求导数，取导数为0，计算x =. 【详解】函数31()3f x x ax =-的极大值为 2()f x x a '=- 由题意知：0,a x >⇒=当x =(f =所以3a = 故答案为3 【点睛】本题考查了函数的极大值，意在考查学生的计算能力.19．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛 解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()xf x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增， ∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x-≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥. 故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔20．【分析】由所给等式变形可得则令可求得c 从而求出的解析式利用导数研究函数的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为所以即所以因为所以解得则当时函数在上单调递增又所以的解集为故答案为:【点睛】本题考 解析：()1,+∞【分析】由所给等式变形可得()2[]x f x e x '=，则()2x f x e c x =+，令3x =可求得c 从而求出()f x 的解析式，利用导数研究函数()f x 的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为()()32x xf x f x x e '-=，所以()()242xx f x xf x e x'-=，即()2[]x f x e x '=， 所以()2x f x e c x=+，因为()339f e =，所以33e e c =+，解得0c，则()2x f x e x =，()()20xf x x e x =>，当0x >时，()()22220x x x f x x e x e e x x '=⋅+⋅=+>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()1f e =，所以()()1f x e f >=的解集为()1,+∞. 故答案为: ()1,+∞ 【点睛】本题考查导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）讨论0a ≤，0a >两种情况，确定()'f x 的正负，利用导数求()f x 的单调性；（2）设()()g x h x x=，利用导数得出()h x 的单调性，进而得出最小值，讨论最小值大于、小于、等于0的情况结合零点存在性定理确定()h x 的零点个数，即()g x 零点的个数.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()2xf x ae '=-.①当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()0f x '=得2ln x a=. 若2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<； 若2ln,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>； 所以()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减；()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）()ln 21xg x ae x x x =+-+设函数()1()ln 2x g x ae h x x x x x==++-()2221(1)(1)11()xx ae x ae x h x x x x x +--'=+-=因为0a >，所以()0h x '=得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减. 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增. 所以当1x =时，()h x 取最小值，最小值为(1)1h ae =-. 若1a e=时，(1)0h =，所以函数()h x 只有1个零点； 若1a e>时，()(1)0h x h ≥>，所以函数()h x 无零点； 若10a e <<时，(1)0h <，()222222240ee h e a e e e---=-+->->，()22221220e e h e a e e=++->，故()2(1)0h h e -<，()2(1)0h h e <；所以函数()h x 在()21,e -和()21,e各有一个零点，所以函数()h x 有两个零点.综上所述，当1a e =时，函数()g x 只有1个零点；当1a e>时，函数()g x 无零点； 当10a e<<时，函数()g x 有两个零点 【点睛】方法点睛：研究含参函数()g x 的零点问题，即方程()0g x =的实根问题，通常选择参变分离,得到()ag x 的形式，后借助数形结合(几何法)思想求解；若无法参变分离，则整体含参讨论函数()g x 的单调性、极值符号，由数形结合可知函数()g x 的图象与x 轴的交点情况即函数()g x 的零点情况.22．（1）在(),1-∞单调递减，在()1+∞，上单调递增；（2）22(2,)(,)e e e +∞.【分析】（1）当1a =-时，()()2122x f x x x x e =-+-，求出导数，令()0f x '>，()0f x '<得出答案.（2）由2x =为()f x 的一个零点，所以方程10(2)2x ax e x -+=≠有2个实数根，即2(2,0)x e a x x =≠有两个实数根，设2()(2,0)x e h x x x =≠，分析出其导数，得出单调性，画出函数图象，由数形结合可得答案. 【详解】（1）当1a =-时，()()2122x f x x x x e =-+- ()()()()1111x x f x x x e x e '=-+-=-+由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得1x <，所以()f x 在(),1-∞单调递减，在()1+∞，上单调递增 （2）由函数211()(2)(2)22()x x f x ax ax x e x ax e =-++-=--+， 可得()f x 有一个零点2x =， 要使得()f x 有3个零点，即方程10(2)2x ax e x -+=≠有2个实数根， 又由方程10(2)2xax e x -+=≠，可化为2(2,0)x e a x x=≠，令2()(2,0)xe h x x x =≠，即函数y a =与()y h x =图象 有两个交点，令22222(1)()0x x x xe e e x h x x x --'===，得1x =，()h x的单调性如表：x (,0)-∞(0,1)1 (1,2)(2,)+∞()h x ' － － 0 ＋ ＋ ()h x↘↘极小值↗↗所以函数()f x 在1x =处取得极小值2e ，当0x <时，()0h x <，又2(2)h e =，()h x 的大致图象如图，由函数y a =与()()2y h x x =≠图象有两个交点，根据图象可得22(2,)(,)a e e e ∈+∞所以要使得()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围为22(2,)(,)e e e +∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.23．（1）单调递增区间为(4,)+∞；单调递减区间为(0,4)；（2）min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.【分析】（1）当1a =-时，2()2x f x x'=，进而得4x >时，()0f x '>， 04x <<时，()0f x '<，进而得函数的单调区间；（2）2()2af x x+'=，故分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论即可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当1a =-时，1()f x x '=-= 当4x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为(4,)+∞； 当04x <<时，()0f x '<，则()f x 的单调递减区间为(0,4). （2）2()2a af x x x'== 当1a ≤-时，()0,()f x f x '≤在[1,4]上单调递减， 此时，()min (4)2ln 22f x f a ==+ 当12a ≥-时，()0,()f x f x '≥在[1,4]上单调递增， 此时，()min (1)1f x f == 当112a -<<-时，若214x a <<，则()0,()f x f x '<单调递减； 若244a x <<，则()0,()f x f x '>单调递增此时，()()22min ()4ln 42ln(2)2f x f a a a a a a ==+=--．综上所述：min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩【点睛】本题考查利用导数求解函数的最小值问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，其中第二问解题的关键在于求导得()f x '=1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论求解，是中档题. 24．（1）最大值为1e，最小值分别为0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，()x xf x e=，对其求导，利用导函数得符号判断()y f x =在[0,2]上的单调性，即可求得最值；（2）对()f x 求导可得()1()xa x f x e-'=，讨论0a >和0a <，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<，可得单调递减区间. 【详解】（1）当1a =时，()x x f x e =，所以21()x x x x e xe x f x e e--'==． 令()0f x '=，得1x =． 当01x ≤<时，()0f x '>； 当12x <≤时，()0f x '<．所以()y f x =在()0,1单调递增，在()1,2单调递减， 所以当1x =时，()f x 取最大值1(1)f e=． 又因为(0)0f =，22(2)f e =，所以函数()x xf x e =的最大值和最小值分别为1e，0． （2）因为()1()xa x f x e -'=． 当0a >时，由()0f x '>，得1x <；由()0f x '<，得1x >，此时函数()x xf x e=的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得1x <．此时函数()x xf x e=的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞ 综上所述：当0a >时，函数()x xf x e =的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，函数()x xf x e=的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞．【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.25．（1）20x y e --=；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）0a =时，先求出切点和切线斜率，再利用点斜式写直线方程即可； （2）先将单调性问题转化成恒成立问题，再分离参数研究最值即得结果. 【详解】解:（1）当0a =时，()ln ,()f x x x f e e ==，即切点为(),e e ，由()ln 1f x x '=+知，切线斜率()2k f e '==，∴切线方程为：2()y e x e -=-，即20x y e --=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1xf x x ae '=+-，因为()f x 在(0,)+∞内是减函数，所以()ln 10xf x x ae '=+-≤在(0,)+∞内恒成立，ln 1xx a e+∴≥在(0,)+∞内恒成立， 令ln 1()xx g x e +=，则1ln 1()xx x g x e --'=，由函数1y x =和ln y x =-在(0,)+∞上递减可知，函数1()ln 1h x x x=--在(0,)+∞单调递减，且(1)0h =，(0,1)x ∴∈时()0g x '>，即()g x 在(0,1)单调递增， (1,)x ∈+∞时()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞单调递减，故max 11()(1)g x g a e e==∴≥， 即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 方法点睛：已知函数()y f x =单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题： （1）函数()y f x =在区间I 上单调递增，则()0f x '≥在区间I 上恒成立；（2）函数()y f x =在区间I 上单调递减，则()0f x '≤在区间I 上恒成立.26．（1）1；（2）()2,+∞. 【分析】（1）利用在某点处切线方程的求法可表示出()f x 在1x =处的切线方程，代入()2,2即可求得结果；（2）求导后，令()21g x x ax =-+，分别在0∆≤和0∆>两种情况下，根据()0g x =根的情况，确定()g x 的正负，进而得到()f x 单调性，从而确定符合题意的范围.【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，()1f x x a x'=+-， 则()12f a '=-，()12f a =-，()f x ∴在1x =处的切线方程为()()()221y a a x --=--，又切线过()2,2，2a a ∴=-，解得：1a =.（2）由（1）知：()()2110x ax f x x a x x x-+'=+-=>，令()21g x x ax =-+，则24a ∆=-，①当0∆≤，即22a -≤≤时，()0g x ≥恒成立，()0f x '∴≥在()0,∞+上恒成立， 此时()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值，不合题意； ②当0∆>，即2a <-或2a >时，令()0g x =，解得：1x =，2x =⑴若2a <-，则10x <，20x <，()0g x ∴>在()0,∞+上恒成立，()0f x '∴≥在()0,∞+上恒成立，此时()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值，不合题意； ⑵若2a >，则120x x <<，∴当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；()f x ∴在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，()f x ∴恰有两个极值点12,x x ，符合题意；综上所述：a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】思路点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围的问题，求解此类问题的关键是将问题转化为导函数零点个数的讨论问题，需注意的是在导函数有零点的情况下，需结合定义域确定零点是否满足定义域要求.。

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

一、选择题1．已知,a b ∈R ，若函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>，则下列结论可能成立的是（ ）．A ．0ae b >>B ．0ae b >>C ．0b ae >>D ．0ae b >> 2．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f <<B ．()()()623428f f f <<C ．()()()346229f f f <<D ．()()()286234f f f << 3．已知函数()23ln f x x ax x =-+在其定义域内为增函数，则a 的最大值为（ ）A ．4B ．26C ．27D ．6 4．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ． 5．已知函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a ≤- B ．1a ≤- C ．1a ≤ D ．01a ≤≤ 6．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点7．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ）A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞， D ．(3)+∞，8．已知实数2343a e =，4565b e =，6787c e =，那么a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >> 9．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l ，底面半径为r ，上部为半径为r 的半球形，按照设计要求容器的体积为283π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r 的值为（ ） A ．1 B ．32 C ．34D ．210．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +<B ．()()()1322f f f +≤C ．()()()1322f f f +≥D ．()()()1322f f f +> 11．已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ） A ．300万元 B ．252万元 C ．200万元 D ．128万元二、填空题13．对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题： ①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为22e -； ②函数f (x )的最小值为2e-； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.其中正确命题的序号是_____.14．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为___________．15．已知函数3223,01()21,1x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．16．已知函数()()()3ln 06x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.17．已知a R ∈，设函数232,1()1,1x x a x f x x a nx x ⎧-+=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.18．已知函数()()ln ,11,1x x x f x x e x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()()()2g x f x f x a =--⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数a 的取值范围是______.19．已知函数()()21a x x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为______. 20．已知函数()x f x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数22()1ln f x x ax a x =++-．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0a =，且(0,1)x ∈，求证：2()2ln 122x f x x x e x-+-<． 22．已知函数()xae f x x=，0a ≠，0x >，若函数()f x 的最小值为e （e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 的值；（2）方程1()0f x m x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在[]1,2有解，求m 的取值范围． 23．已知函数32()691f x x x x =-++．（1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程．（2）证明：()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立．24．已知函数32()24,1f x x ax x =-+=是函数()f x 的一个极值点. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当[1,2]x ∈-，求函数()f x 的最小值.25．已知函数3()f x x x =-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅲ）设函数()()2sin f x t x x x =-，(0,)x ∈π，试判断()t x 的零点个数，并证明你的结论. 26．已知函数32113f x x ax ，0a >． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D【分析】根据题意将问题转化为方程x b e a x =在0,上有两个实数根，进而令()(),0,xe g x x x=∈+∞，再研究函数()g x 的单调性得0b e a >>，进而分0a >和0a <讨论即可得答案.【详解】解:当0a =时，函数()f x 只有一个零点，故0a ≠，因为函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>所以方程x b e a x =在0,上有两个不相等的实数根.令()(),0,x e g x x x =∈+∞，()()21'x x e g x x-=， 所以当()1,∈+∞x 时()'0g x >，()0,1∈x 时()'0g x <，故函数()(),0,xe g x x x =∈+∞在1,上单调递增，在0,1上单调递减；所以()()min 1g x g e ==，所以0b e a>>， 当0a >时，0b ae >>，当0a <时，0b ae <<.故选：D.【点睛】 本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程xb e a x =在0,上有两个不相等实数根，进而令()g x 研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.2．B解析：B 【分析】构造函数()()ln f x g x x=，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论.【详解】令()()ln f x g x x=，则()()()()2ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>，所以函数()()ln f x g x x=在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()248ln 22ln 23ln 2f f f <<. 化简得，()()()623428f f f <<，故选：B.3．B解析：B【分析】求导，则由题意导函数在0,上恒大于等于0，分参求a 范围. 【详解】由题意可得()160f x x a x '=-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，即16a x x ≤+，对()0,x ∈+∞恒成立因为16x x +≥16x x =即6x =时取最小值所以a ≤故选：B【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．4．A解析：A【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象.【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x -'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减；当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5．B解析：B【分析】 由函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，知'0y ≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，分离参数，求最值得答案.【详解】因为函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以22'20a x x a y x x x--=--=≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， 所以222(1)1a x x x ≤-=--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， 所以1a ≤-，故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立； （2）求导；（3）分离参数，求最小值，得结果.6．C解析：C【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误.【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误； 对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误.故选：C.【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.7．C解析：C【分析】构造函数()()3x x g x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案.【详解】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->，所以()g x 在R 上单调递增，又因为00(0)(0)30g e f e =⋅--=，所以()0>g x ⇒0x >， 即不等式的解集是(0)+∞，， 故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3x xg x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于 ()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 8．C解析：C【分析】根据所给实数的表达式进行构造函数，然后利用导数判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性进行判断即可.【详解】构造函数'()(2)()(1)x x f x x e f x x e =-⇒=-，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当1x <时，'()0,()f x f x >单调递增. 因为2342()33a e f ==，4564()55b e f ==，6786()77c e f ==，246357<<， 所以642()()()753f f f >>，即c b a >>. 故选：C【点睛】 关键点睛：根据几个实数的特征构造函数，利用导数判断其单调性是解决此类问题的关键. 9．C解析：C【分析】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.【详解】 解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=，故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=， 由0l >可知r <.∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r r πππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<， 则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C .【点睛】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题. 10．B解析：B【分析】 根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解.【详解】 因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤.故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题. 11．B解析：B【分析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解.【详解】 已知函数321()13f x x ax x =+++， 则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，函数31812863y x x =-+-，所以281y x '=-+，当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(解析：①②④ 【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③. 【详解】x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝22e -，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e-， x ＞0时，f (x )＝2122x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝122e->-故f (x )有最小值2e-，②④正确；令20x x e ⋅=得0x =，令21202x x -+=得22x =，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.14．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()xf xg x e =的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间； （4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.15．【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意解析：1(0,)2【分析】利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，()()'26661fx x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为()0f m =，最小值为()11f m =-.当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增， 而2110m -⨯+>，所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.当0m =时，3223,01()1,1x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点()00f =，所以0m =不符合题意.当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则需0102110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩，解得102m <<.综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1(0,)2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.16．【分析】转化条件得设求导后求出函数的最小值令即可得解【详解】由题意得由于时故设则由于所以当时单调递减；当时单调递增于是所以即故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题 解析：(]0,e【分析】转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解. 【详解】由题意得()2ln 2x f x a x '=-.由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.设()()g x f x '=，则()(2x x x a g x x x+-'==. 由于0x >，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.于是()()()min min 1ln 022a af xg x ga a '===-=-≥， 所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e . 故答案为：(]0,e 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.17．【分析】根据分段函数当时将恒成立转化为恒成立令利用二次函数的性质求得其最大值当时将转化为恒成立令用导数法求得其最小值然后两种情况取交集【详解】当时等价于恒成立令其中则所以当时等价于恒成立令则当时递增 解析：[]1,e【分析】根据分段函数，当1x ≤时，将()2320f x x x a =-+≥恒成立，转化为232x x a -恒成立，令23()2x x g x -=，利用二次函数的性质求得其最大值，当1x >时，将()ln 0f x x a x =-≥，转化为1xanx 恒成立，令()ln x h x x=，用导数法求得其最小值，然后两种情况取交集. 【详解】当1x ≤时，()2320f x x x a =-+≥等价于232x x a -恒成立，令()22231139()322228x x g x x x x -⎛⎫==--=--+ ⎪⎝⎭，其中1x ≤，则()max 1g x =， 所以1a ≥，当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥等价于1xanx恒成立， 令()ln xh x x=，则221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -⋅-'==， 当x e >时，()()0,h x h x '>递增， 当1x e <<时，()()0,h x h x '<递减， ∴x e =时，()h x 取得最小值()h e e =， ∴()min a h x e ≤=， 综上：a 的取值范围是[]1,e . 故答案为：[]1,e . 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，函数的最值与导数以及导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】当时利用导数法得到函数的单调性与极值再由时作出函数的大致图象令将问题转化为方程有两个不等根且即各有3个根求解【详解】当时所以当时递增当时递减所以当时取得最大值1又当时所以的大致图象如图所示：解析：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当1x <时，()()1xf x x e =-，利用导数法得到函数的单调性与极值，再由1≥x 时，()ln f x x =，作出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，将问题转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ，且12,(0,1)t t ∈即()()12,f x t f x t ==各有3个根求解.【详解】当1x <时，()()1xf x x e =-，所以()xf x xe '=-，当0x <时，()0f x '>，()f x 递增，当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减， 所以当0x =时， ()f x 取得最大值1， 又当1≥x 时，()ln f x x =， 所以()f x 的大致图象如图所示：令()f x t =，则转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ， 且()()2121,(0,1),,t f x t f t x t ==∈各有3个根， 方程20t t a --=在(0,1)有两个不同的解，设2()g t t t a =--，所以(0)0140(1)0g a a g a =->⎧⎪∆=+>⎨⎪=->⎩，解得104a -<<. 故答案为：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要方程的根与函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值，还考查了转化化归思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】求函数的导数根据利用参数分离法进行转化然后构造函数转化为求函数的最值即可【详解】解：函数的导数由在上恒成立得在上恒成立即得在上恒成立设则当时恒成立即在上是增函数则当时取得最小值则即实数的取值 解析：(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可． 【详解】解：函数的导数2()21f a x x x '=+-， 由()0f x '在1x 上恒成立得2210ax x +-在1x 上恒成立， 即221a x x +， 得322x x a +在1x 上恒成立， 设32()2g x x x =+，则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=， 则3a ，即实数a 的取值范围是(],3-∞， 故答案为：(],3-∞ 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．20．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛 解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()xf x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x -≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥.故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔三、解答题21．（1）单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[1,)+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后分别令0f x 和0f x ，解不等式可求出函数的单调区间； （2）22()2ln 11ln 12222x xf x x x x x e x e x--+-<⇔+-<，即()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，然后构造函数()(1ln )(01)g x x x x =-<<和()3()221x h x e x x =-++，利用导数分别求出()()11g x g <=，()1h x >，从而可得结论【详解】（1）当1a =时，2()1ln f x x x x =++-，定义域为(0,)+∞，∴1(1)(21)()12x x f x x x x--+'=+-=， 令0fx ，得01x <<；令0f x ，得1x >，∴()f x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[1,)+∞． （2）当0a =时，()1ln f x x =+， ∴22()2ln 11ln 12222x xf x x x x x e x e x--+-<⇔+-<， 即()3(1ln )221(01)xx x exx x -<-++<<，令()(1ln )(01)g x x x x =-<<，∴()ln 0g x x '=->， ∴()g x 在0,1上单调递增，∴()()11g x g <=．令()3()221xh x ex x =-++（01x <<），∴()32()2623xh x e x x x '=--++，令32()2623x x x x ϕ=--++，∴2()6122x x x ϕ'=--+在0,1上递减， 又(0)20ϕ'=>，(1)160ϕ'=-<，∴0(0,1)x ∃∈使()00x ϕ'=，且()00,x x ∈时，()0x ϕ'>，()ϕx 递增，()0,1x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 递减，而(0)30ϕ=>，(1)30ϕ=-<， ∴1(0,1)x ∃∈使()10x ϕ=，即()10h x '=，()10,x x ∈时()0h x '>，()h x 单调递增，()1,1x x ∈时()0h x '<，()h x 单调递减，而(0)1h =，(1)h e =，∴()1h x >恒成立，∴()()g x h x <，即()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，即2()2ln 122x f x x x e x-+-<．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，第2问解题的关键是把2()2ln 122xf x x x e x-+-<等价转化为()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，然后构造函数()(1ln )(01)g x x x x =-<<，()3()221x h x e x x =-++，分别求出两个函数的最值即可，考查数学转化思想，属于中档题22．（1）1；（2）2[,]52--e e；【分析】（1）求导然后分类讨论0a <与0a >两种情况，求出最小值即可计算a 的值；（2）参变分离将等式转化为21-=+x e m x ，设2()1=+xe g x x ，然后求导判断单调性，求解最值，即可得m 的取值范围. 【详解】（1）22(1)()x x x axe ae ae x f x x x'--==，当0a <时，函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，此时函数有最大值，与题意不符；当0a >时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()min (1)===f x f ae e ，可得1a =；（2）1()0f x m x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在[]1,2有解，即2(1)0++=x e m x 在[]1,2有解，即21-=+x e m x 在[]1,2有解，设2()1=+xe g x x ，()()2221()01-'=≥+x x e g x x 恒成立，所以()g x 在[]1,2上单调递增，2minmax ()(1),()(2)25====e e g x g g x g ，所以225≤-≤e e m ，得252-≤≤-e em ，所以m 的取值范围为2[,]52--e e.【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数()f x 在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ （或()0f x '≤）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．23．（1）91y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数在0x =处的导数后可得切线方程.（2）设函数()1ln g x x x =+-，利用导数可证明在1(,)2+∞上有()()1,1f x g x ≥≥，但等号不同时成立，结合余弦函数的性质可证明()()1ln 2cos x x f x x +->在1()2,x ∈+∞恒成立.【详解】（1）解：2()3129f x x x -'=+，则()09f =，故曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为91y x =+． （2）证明：当1(,1)(3,)2x ∈⋃+∞时，()0f x '>， 则()f x 在1(,1),(3,)2+∞上单调递增；当()1,3x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()1,3上单调递减． 因为133()(3)128f f =>=， 所以()f x 在1(,)2+∞上的最小值为()31f =． 设函数()1ln g x x x =+-．则1()(0)x g x x x-'=>．当1(,1)2x ∈时，()0g x '<，则()g x 在1(,1)2上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故()()12g x g ≥=．从而()()1ln 2x x f x +-≥，但由于()1f x ≥与()2g x ≥的取等条件不同， 所以()()1ln 2x x f x +->． 因为2cos 2x ≤，所以()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立的问题，如果该不等式中含有三角函数，那么可以利用三角函数的有界性把前者转化为与三角函数无关的不等式，这样便于问题的讨论与处理. 24．（1）(,0)-∞和(1,)+∞；（2）1-. 【分析】（1）由极值点求出参数3a =，再代入，解不等式()0f x '>求递增区间 （2）求()f x 在[1,2]-上的极值，与端点值比较得出最小值. 【详解】（1）由题意2()62f x x ax '=-()01f '=，则3a =32()234,()6(1)f x x x f x x x '=-+=-，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞ （2）当[1,2]x ∈-时，(),()f x f x '的变化情况如下表当1,(1)2343x f ==-+=.所以当[1,2]x ∈-时，函数()f x 的最小值为1-.【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；25．（Ⅰ）22y x =-；（Ⅱ）()f x 的单调递减区间是(，单调递增区间是(,-∞，)+∞9-；（Ⅲ）一个，证明见解析. 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）根据()0f x '>和()0f x '<，求函数的单调递增和递减区间，根据极值的定义求极值；（Ⅲ）首先方程等价于212sin 0x x --=，设函数2()12sin ,(0,)g x x x x π=--∈，求函数的导数()22cos g x x x '=-，分0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭两个区间讨论函数的单调性，并结合零点存在性定理说明函数的零点个数. 【详解】（Ⅰ）由3()f x x x =-，得 2()31x f x '=-.因为(1)0f =，(1)2f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-.（Ⅱ）令()0f x '=，得2310x -=，解得3x =-或3x =. 当x 变化时，()f x 和()'f x 变化情况如下表：)+∞；()f x 在x =3x =处取得极小值9-. （Ⅲ）(0,)x π∈,()0t x =，即2120sin x x--=， 等价于212sin 0x x --=. 设2()12sin ,(0,)g x x x x π=--∈，则()22cos g x x x '=-.①当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0r g x >，()g x 在区间,2上单调递增.又2()3024g ππ=-<，2()10g π=π->，所以()g x 在区间,2上有一个零点.②当(0,)2x π∈时,设()()22cos h x g x x x '==-.()22sin 0h x x '=+>，所以()'g x 在区间(0,)2π上单调递增.又(0)20g '=-<，()02g π'=π>，所以存在0(0,)2x π∈，使得00()g x '=.所以，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当0(,)2x x π∈时，()0g x '>，()g x 单调递增.又(0)10g =-<，2()3024g ππ=-<， 所以()g x 在区间(0,)2π上无零点.综上所述，函数()t x 在定义域内只有一个零点. 【点睛】关键点点睛：本题第三问判断零点个数，首先要构造函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用二次导数判断()g x '单调递增，存在0(0,)2x π∈，使得00()g x '=，再判断零点个数时，需结合函数的单调性和端点值共同判断. 26．（1）89；（2）存在，12a =. 【分析】（1）由1a =，求导()22f x x x '=-，利用导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，再求得切线的x 轴、y 轴上的截距，代入三角形的面积公式求解.（2）求导()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，然后分022a <<，22a ≥，由()f x 在[]0,2上的最小值为56求解.【详解】（1）当1a =时，()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-，所以()11f '=-，又()113f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()113y x -=--， 即3340x y +-=，直线3340x y +-=在x 轴、y 轴上的截距均为43， 所以三角形的面积为14482339S =⨯⨯=． （2）()()222f x x ax x x a '=-=-， 令()0f x '=，得0x =或2x a =． 当022a <<，即01a <<时，当[]0,2x a ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减； 当[]2,2x a ∈时．()0f x '≥，()f x 单调递增． 则()()33min 8524136f x f a a a ==-+=，解得12a =， 当22a ≥，即1a ≥时，当[]0,2x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减， 则()()min 8524136f x f a ==-+=，解得17124a =<，舍去． 综上：存在12a =，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56． 【点睛】方法点睛：（1）求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。

一、选择题1．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定2．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（ ） A ．(2020)(2021)f ef >B ．(2020)(2021)f ef <C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <5．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定6．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点7．已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．28．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +< B ．()()()1322f f f +≤ C ．()()()1322f f f +≥ D ．()()()1322f f f +>9．若曲线()11xmy e x x =+<-+上存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围是（ ） A ．34,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．341,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知函数()()()0ln 10xe xf x x x ax x -⎧-<⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．[)1,e -+∞D ．(],1e -∞-11．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ）A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 12．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e--+∞ B ．21[,)2e-+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e--- 二、填空题13．已知一个母线长33米的圆锥形容器，则当该容器的容积最大时，其高为___________米.14．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是____________.15．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．16．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.17．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.18．已知三次函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是_______.19．已知成立, 则实数a 的取值范围是 ．20．函数()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()2ln 2f x x x =-，函数()212g x x a x=--+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间． 23．已知函数()()21xf x x ae=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围. 24．已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）设函数()'()g x f x =（'()f x 为()f x 的导函数），若方程()g x a =在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，求实数a 的取值范围.25．为了美化城市环境，提高市民的精神生活，市政府计划在人民广场一块半径为10米的圆形空地进行种植花草绿化改造．规划如图所示，在中央正六边形区域和六个相同的矩形区域种植鲜花，其余地方种植草地．设OAB θ∠=，正六边形的面积为1S ，六个矩形的面积和为2S ．（1）用θ分别表示区域面积1S ，2S ； （2）求种植鲜花区域面积的最大值． （参考数据：3tan 41︒≈，23tan 49︒≈）26．已知函数1()(0,1)xxf x a a a a =->≠． （I ）若1a >，不等式()2(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围； （II ）若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.2．A解析：A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-， 整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.3．A解析：A 【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象. 【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减； 当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. 所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()x g x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立，所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减， 所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+． （2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()x f x F x e=． 5．A解析：A 【分析】先对函数()xf x xe =和()ln a xg x x=求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln xh x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a x g x x =，∴()2ln a a xg x x -'=， 由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =， 则()()()ln ln xx xh x f x g x xe e x x==⋅=， ∴()()ln 1ln xx xx x ee h x e x x x+=='+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ． 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）6．C解析：C 【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误. 【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确； 对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.7．B解析：B 【分析】首先代入函数，变形为1221ln1x kx x x >-，再通过换元设12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，利用参变分离转化为(1)ln k t t <-，设()()1ln g t t t =-(1t >)，转化为求函数()g t 的最小值. 【详解】 设12x x >，因为()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12212lnx kx x x x >-， 等价于1221ln1x k x x x >-，因为120x x >>，令12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，即(1)ln k t t <-. 设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <.当1t >时1()ln 10g t t t'=+->恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=. 所以0k ≤，k 的最大值为0. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将条件变形为12212ln x kx x x x >-，并进一步变形为1221ln1x k x x x >-，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.8．B解析：B 【分析】根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.9．C解析：C 【分析】先求出原函数的导函数，令0y '=，得到2(1)x m x e =+，然后将问题转化为2(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解，再构造函数2()(1)(1)x f x x e x =+<-，求出()f x 的取值范围，即可得到m 的取值范围． 【详解】由(1)1xm y e x x =+<-+，得2(1)xm y e x '=-+，令0y '=，则2(1)x m x e =+，曲线(1)1xmy e x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， 2(1)x m x e ∴=+在(,1)-∞-上有两个不同的解．令2()(1)x f x x e =+，则22()2(1)(1)(43)x x x f x x e x e x x e '=+++=++．∴当3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，()f x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)--上单调递减，∴34()(3)max f x f e =-=， 又当3x <-时，()0f x >，(1)0f -=．m ∴的取值范围为34(0,)e．故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题．10．C解析：C 【分析】转化条件为当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x --=>，通过导数确定()g x 的取值范围即可得解. 【详解】若()f x 的图象上存在关于原点对称的点， 则当0x >时，()()ln 1x ex x ax ----=++有解，即当0x >时，ln 1x e x x ax =++有解，所以当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x--=>，则()()()2ln 1ln 1xx e x x e x x g x x -----'=()()()221111xx x e x e x x x ----+==， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()()min 11g x g e ==-，()[)1,g x e ∈-+∞， 所以[)1,a e ∈-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用及利用导数研究方程有解问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.11．D解析：D 【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x +=-，2324log log x x -=，化简结论得32312xx -，311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可． 【详解】已知函数图象如下：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-， 令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤⎥⎝⎦上恒大于0， 故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增， 所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故选:D ． 【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．12．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)x f x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)a a e =-+， 由题意可得(1)21aa e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e--， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设圆锥的高为米可得出底面圆的半径为求出圆锥形容器的体积关于的表达式利用导数可求得的最大值及其对应的的值【详解】设圆锥形容器的高为米半径为米由勾股定理可得其中圆锥形容器的体积为则令由于可得当时 解析：3【分析】设圆锥的高为h 米，可得出底面圆的半径为r =V 关于h 的表达式，利用导数可求得V 的最大值及其对应的h 的值. 【详解】设圆锥形容器的高为h 米，半径为r 米，由勾股定理可得2227h r +=，2227r h ∴=-，其中0h <<圆锥形容器的体积为()()2231112727333V r h h h h h πππ==-=-，则()29V hπ'=-，令0V '=，由于(h ∈，可得3h =.当03h <<时，0V '>；当3h <<0V '<.所以，当3h =时，圆锥形容器的体积V 取得最大值. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.14．【分析】首先利用导数判断函数的单调性再根据函数在开区间内存在最大值可判断极大值点就是最大值点列式求解【详解】由题可知：所以函数在单调递减在单调递增故函数的极大值为所以在开区间内的最大值一定是又所以得 解析：(3,2]--【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间(),3a a +内存在最大值，可判断极大值点就是最大值点，列式求解. 【详解】由题可知： 2()32(32)f x x x x x '=-=-所以函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2(,0),,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，故函数的极大值为 (0)0f =.所以在开区间(,3)a a +内的最大值一定是(0)0,f =又(1)(0)0f f ==， 所以03,31a a a <<+⎧⎨+≤⎩ 得实数a 的取值范围是(3,2].-- 故答案为：(]3,2-- 【点睛】关键点点睛：由函数在开区间内若存在最大值，即极大值点在区间内，同时还得满足极大值点是最大值，还需列不等式31a +≤，不要忽略这个不等式.15．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于 解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，所以()()22420a a ∆=+-+>， 即()()2240a a ++->， 解得：2a >或2a <-， 故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.16．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时 解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值. 【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减.所以，()max20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-.故答案为：4-. 【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】因为函数2sin y x x =-， 所以12cos y x '=-， 令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=， 当533x ππ≤≤时，0y '>， 所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】待定系数法:设利用图象上点坐标代入与联立求解可得【详解】设由题知：由图象知解得故答案为：【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法换元法待定系数法解方程组法解题时根据具体条件对应方法求解析式 解析：32()232f x x x【分析】待定系数法:设32()f x ax bx cx d =+++，利用图象上点坐标代入，与(0)(1)=0f f ''=联立求解可得. 【详解】设32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '=++由题知：(0)2(1)1f f ，== ，由图象知(0)(1)=0f f ''=2++103+20d a b c d c a b c =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩ 解得2302a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩32()232f x x x故答案为：32()232f x x x【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式.19．【详解】当时当时时有最小值因为所以考点：函数的单调性 解析：【详解】，当时，，当时，()0,1f x x '>∴=-时，有最小值()1f -．因为()max g x a =， 所以．考点：函数的单调性．20．【分析】求导得到恒成立化简得到计算得到答案【详解】在恒成立即恒成立故故答案为【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性意在考查学生的计算能力 解析：[1,)+∞【分析】 求导得到1'()0f x a x =-≤恒成立，化简得到1a x≤，计算得到答案. 【详解】1()ln '()0f x x ax f x a x=-∴=-≤在()1,+∞恒成立 即1a x≤恒成立，故1a ≥ 故答案为[1,)+∞【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力.三、解答题21．（1）单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞. 【分析】（1）求导，判断导函数正负，进而判断函数单调区间； （2）()()f x g x ≥恒成立，可转化为不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，设()1ln h x x x=+，求导，判断单调性并求得最小值，()min a h x ≤. 【详解】（1）函数()2ln 2f x x x =-的定义域为0,，则()()()21212114'4x x x f x x x x x-+-=-==， 由题意120x +>，得 当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()()'0,f x f x >递增， 当1,2⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x 时，令()()'0,f x f x <递减， 所以()f x 的单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立， 即不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 令()1ln h x x x=+， 则()22111'x h x x x x-=-=， 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'0h x <， 函数()h x 单调递减， 当时()1,∈+∞x ，()'0h x >， 函数()h x 单调递增，所以当1x =时，()h x 有最小值()1ln111h =+=， 从而a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．（1）220x y --=；（2）函数()f x 的单调增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝⎭，单调减区间为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）解方程()0f x '=，列表分析()f x '的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间. 【详解】（1）由()3f x x x =-，得()231f x x '=-，所以()12f '=，又()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()21y x =-，即220x y --=．（2）令()2310f x x '=-=，得x =， x 、()f x '、()f x 在R 上的情况如下：所以函数()f x 的单调增区间为,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为⎛ ⎝⎭． 【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间；解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间. 23．（1）()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增；（2）(][),11,-∞-+∞.【分析】（1）先求导并解得()0f x '=的根，再判断根附近导数值的正负，即得单调性； （2）先判断极小值即最小值，再结合()210f a =>可知()min0f x ≤，解不等式即得结果. 【详解】解：（1）()()21xf x x a e '=-+，定义域为R ，由()0f x '=，得21x a =-，当21x a <-时，()0f x '<；当21x a >-时，()0f x '>， 故()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增；（2）由（1）知()f x 在21x a =-处取得极小值，也是最小值， 则()()221min 11a f x f a e-=-=-，因为()f x 存在零点，且()210f a =>，故只需()21min 10a f x e -=-≤，即2101ae e -≥=，故210a -≥，解得1a ≤-或1a ≥， 所以a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞.【点睛】 方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.24．（1）220x y --=；（2）2(2,1]e -． 【分析】（1）求出()'f x ，计算(1)f '得切线斜率，从而得切线议程；（2）对()g x 求导，确定()g x 的单调性，极值，得()g x 的变化趋势，从而可得结论．【详解】（1）由已知2211()2ln 212ln 1f x x x x x'=+-+=++， 所以(1)2f '=，又(1)0f =，所以切线议程为2(1)y x =-，即220x y --=；（2）由（1）21()2ln 1g x x x=++，定义域为(0,)+∞，33222(1)(1)()x x g x x x x -+'=-=， 所以在(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增， 所以1x =时，()g x 取得极小值也是最小值(1)2g =，211g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x →+∞时，()g x →+∞， 所以方程()g x a =在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是2(2,1]e -． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究方程根的分布．根据方程根的个数求参数范围问题，一般方法是数形结合思想，把问题转化为函数图象与直线的交点问题，可利用导数研究出函数的性质，如单调性，极值，确定函数的变化趋势，然后利用函数的图象得出参数范围．25．（1）216003sin S θ=，221200sin cos 12003sin S θθθ=-；（2）()30073-. 【分析】（1）如图：连接BO 、CO 、OD ，过点O 作BC 的垂线，交BC 于点E ，交AD 于点F ，OAD △为等腰三角形，可得AOF OAB θ∠=∠=即可求出BC 的长，进而可得1S ，求出OBC 的高OE ，AB EF OF OE ==-，26S AB BC =⨯⨯即可求解； （2）将面积之和12S S +用角θ表示出来，在求其求导，利用导数判断单调性即可求最值.【详解】（1）如图：连接BO 、CO 、OD ，过点O 作BC 的垂线，交BC 于点E ，交AD 于点F ，由对称性可知OAD △为等腰三角形，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，由AB BC ⊥，OF BC ⊥，可得//AB OF ，所以AOF OAB θ∠=∠=，所以22sin 20sin BC AD AF OA θθ====，所以正六边形的面积2122666400sin OBC SBC S θθ====， 在OBC中，20sin 22OE BC θθ===，所以10cos AB EF OF OE θθ==-=-，所以()26610cos 20sin S AB BC θθθ=⨯⨯=-⨯21200sin cos θθθ=-，综上所述：21S θ=，221200sin cos S θθθ=-.（2）求种植鲜花区域面积的最大值即是求12S S +的最大值.设22121200sin cos y S S θθθθ=+=+-21cos21200sin cos 600sin 22θθθθθ-=-=-600sin 2θθ=+-所以1200cos 22y θθ'=-令0y '=，可得tan 2θ= 当249θ>时，0y '<；当249θ<时，0y '>，所以当249θ=时，y 取得最大值，max 600sin 493003cos 493003y =+- 因为tan 49︒≈，可得22sin 49cos 491sin 49cos 493︒︒︒︒⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2sin 4921cos 49⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以max 60030077y =⨯+-=-. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是得出AOF OAB θ∠=∠=，求出2BC AD AF ==，2OE BC =，AB EF OF OE ==-即可将面积1S ，2S 用θ表示出来，利用导数求面积之和的最值.26．（I ）()3,5-;（II ）2m =【分析】（Ⅰ）判断出()1x x f x a a=-是R 上的单调递增和()f x 为定义域为R 的奇函数，进而转化为()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而可求解 （Ⅱ）利用()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()122x x u f x ==-，则()222g u u mu =-+，进而利用导数求最值即可求出m 的值 【详解】 解:（Ⅰ） ()1(0,1)x x f x a a a a =->≠，因为()10f >，所以10a a->，又0a >且1a ≠，所以1a >，所以，()1x x f x a a =-是R 上的单调递增， 又()f x 是定义域为R 的函数，满足()()f x f x -=-，所以，()f x 为定义域为R 的奇函数，所以，()()()()2224044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>- 即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立，所以()21160b ∆=--<，即35b -<<，所以实数b 的取值范围为()3,5-.（Ⅱ）因为()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()122x x u f x ==-，则()222g u u mu =-+， 因为()122x x f x =-在R 上为增函数，且1≥x ，所以()312u f ≥=， 因为()()221222x xh x mf x =+-在[)1,+∞上的最小值为2-， 所以()222g u u mu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为2-，因为()()222222g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m = 所以当32m ≥时， ()()2min 22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去），当32m <时， ()min 3173224g u g m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>， 综上可知：2m =【点睛】关键点睛：解题关键：（Ⅰ）利用函数的奇偶性和单调性得到 ()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而转化求解即可； （Ⅱ）求出a ，构造函数()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 然后令()122x x u f x ==-，构造出()222g u u mu =-+，进而求解。

一、选择题1．已知函数()2()x xf x x e e x-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）A ．0xy >B ．0xy <C ．0x y +>D ．0x y +<2．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e3．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点5．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ）A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，6．设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，记()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''.若函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，则在区间(,)a b 上有()0f x ''<恒成立.已知2()(2)(1)e x kxf x e e e +=-++在(0,3)上为“凸函数”，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,)e -∞C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞7．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x2-0 4 ()f x11-1A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 8．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ） A ．12B ．1326-C ．1326+ D ．239．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题10．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）A ．300万元B ．252万元C ．200万元D ．128万元11．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e --- 12．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞二、填空题13．已知1a >，若对于任意的1[,)3x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a的最小值为______.14．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为___________．15．已知函数()x f x e alnx =-+2在[]1,4上单调递增，则a 的取值范围是__． 16．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若361,,S S 成等差数列，则9326S S S -的最大值为________ 17．已知函数21()ln 2f x x x =+，函数()f x 在[1,]e 上的最大值为__________. 18．若函数()()20xf x ae x a =-≠仅有1个零点，则实数a 的取值范围是______.19．已知函数()1ln x f x x+=，若关于x 的不等式()()20f x af x ->恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是_______.20．已知函数f (x )＝2,(,0],(0,)xx x e x +∈-∞⎧⎨∈+∞⎩，若存在x 1，x 2（x 2＞x 1）满足f （x 1）＝f （x 2），则x 2﹣2x 1的取值范围为_____.三、解答题21．已知函数()xae f x x =，0a ≠，0x >，若函数()f x 的最小值为e （e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 的值； （2）方程1()0f x m x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在[]1,2有解，求m 的取值范围． 22．已知函数21()ln 2x f x x x -=-．（1）求()f x 的单调区间； （2）设()*ln 1,1,2,k k a n k n n ⎫⎛=+∈=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭N ，在（1）的条件下，求证：123214n n a a a a ++++⋅⋅⋅+<()*n ∈N ． 23．已知函数()()()242,f x x x a a R =--∈，()f x '为()f x 的导函数，且()10f '-=．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在[]22-,上的最大值和最小值． 24．已知函数32()691f x x x x =-++． （1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程．（2）证明：()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 25．已知函数()ln xx kf x e+=(k 为常数，e =2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1，()1f )处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；（2）设()()'g x xf x =，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，()21g x e -<+.26．已知函数()()22ln f x x t x t x =++-.（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值；（2）若()ln 1xg x e t x =+-，求实数t 的范围，使得()()f x g x ≤恒成立.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,所以函数是偶函数.当0x >时，1()()2xx x x f x e xe xe x e-'=-+++， 因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符； 如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符； 如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，()()()f x f y f x <<，显然不成立.故选：A 【点睛】方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.2．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．3．A解析：A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．C解析：C 【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误. 【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确； 对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.5．C解析：C 【分析】构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】令()()3x x g x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->， 所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 6．A解析：A 【分析】首先根据题中所给的函数解析式，对其求导，再求二阶导，根据题中所给的条件，得到则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，构造函数()xe e g x x=，利用导数求得其最小值，得到结果.【详解】因为2()(2)(1)e x kx f x e e e +=-++，所以11(2)'()(2)(1)1e e xx k e x kx f x e e e e e +++=-=-+++， (1)''()1ex e x k e x f x e kx e e +=-=-+，要使2()(2)(1)e x kxf x e e e +=-++在(0,3)上为“凸函数”， 则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，即0e x kx e -<，即xe e k x<在(0,3)上恒成立，令()x e e g x x =，1122()'()x e x e x e e ee x e ex e x x e g x x x --⋅-⋅⋅-==， 所以()g x 在(0,)e 上单调递减，在(,1)e 上单调递增，所以min ()()1ee e g x g e e===，所以k 的取值范围是(,1)-∞，故选：A.【点睛】思路点睛：该题属于新定义问题，在解题的过程中，注意： （1）细读题文，理解题中所给的信息，明确凸函数的定义；（2）根据定义，对所给的函数求导，再求二阶导，令二阶导小于零在给定区间上恒成立； （3）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到所求的结果.7．A解析：A 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<，可得：3322a -<<， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.8．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<， 设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-6(p p =---则函数y 在单调递减，在单调递增，故函数在36p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.9．D解析：D 【分析】分析函数()13log xf x e x =-为增函数，若01x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+,且导函数()10ln 3xf x e x '+=>， 则函数单调递增，结合()1131log 1e f e =-=， 可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠故选：D 【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.10．C解析：C 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，函数31812863y x x =-+-，所以281y x '=-+，当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a ⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e --，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】构造新函数2()()x g x e f x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】令2()()x g x e f x =，则2()[2()()]x g x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】不等式等价变形利用同构函数的单调性得解【详解】令∴在上单调递增∵∴∴恒成立令只需∴单调递增∴单调递减时的最大值为∴∴的最小值为故答案为：【点睛】不等式等价变形同构函数是解题关键解析：3e【分析】不等式等价变形()()()4ln 3ln 3ln 3ln xxxe x x a a x x a a e e-≤-⇔-≤-，利用同构函数()ln f x x x =-的单调性得解【详解】()()4ln 3ln 3ln 3ln x x e x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=， ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1[,)3x ∈+∞，∴[)3,1,x e x a ∈+∞，∴33xx eae x x a ⇔≤⇔≤恒成立，令()3x x g x e =，只需max ()a g x ≥，()33xxg x e-'=，∴1[,1),()0,()3x g x g x ∈'>单调递增，∴(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减，1x ∴=时，()g x 的最大值为3e，∴3a e ≥，∴a 的最小值为3e.故答案为：3e【点睛】不等式等价变形，同构函数()ln f x x x =-是解题关键.14．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()x f x g x e=的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间； （4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.15．【分析】由函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设利用导数求得的单调性与最小值即可求解【详解】由题意函数则因为函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设则所以当时所以为单调递增函数所以函数 解析：a e ≤【分析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，即()0xaf x e x'=-≥在[]1,4上恒成立，即x a xe ≤在[]1,4上恒成立，设()xg x xe =，利用导数求得()g x 的单调性与最小值，即可求解． 【详解】由题意，函数()2x f x e alnx =-+，则()xa f x e x '=-， 因为函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，即()0xa f x e x'=-≥在[]1,4上恒成立，即x a xe ≤在[]1,4上恒成立，设()xg x xe =，则()(1)x x xe xe e g x x ='=++，所以当[]1,4x ∈时，()(1)0xg x e x '=+≥，所以()g x 为单调递增函数，所以函数()xg x xe =的最小值为()1g e =，所以a e ≤．【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求参数问题，其中解答中把函数的转化为不等式的恒成立问题，利用导数求得新函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【分析】设正项等比数列的公比为由等比数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得由等比数列的性质可得进而可得令结合导数即可得的最大值即可得解【详解】设正项等比数列的公比为因为成等差数列当时不合题意；当时即解析：3-【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得()12311qa q -=-，由等比数列的性质可得932663S S S S q -=，进而可得()393233611q q S S S q--=+，令30t q =>，()()11t tt t f -=+，结合导数即可得()f t 的最大值，即可得解.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >， 因为361,,S S 成等差数列，当1q =时，362S S =，不合题意；当1q ≠时，3621S S =+即()()3611112111a q a q qq=----+⋅，化简得()12311qaq -=-，又()33465139698qS S a a a q a a a S =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-，所以()()()()()3932236666612333333611111111q q S S S q q S S S q q q q q a qq q q---=====-+-⋅---， 设30t q =>，()()11t tt t f -=+，则()()()()()()22221212111t t t t t t f t t t -+----+'==++， 令()0f t '=可得110t =<，210t =>， 所以()f t在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减，所以())max 1213f t f ⎡⎤===-⎣⎦所以9326S S S -的最大值为3-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的综合应用，考查了换元法及利用导数求函数最值的应用，属于中档题.17．【分析】根据求导函数根据在上单调性求解【详解】因为函数所以所以在上单调递增所以函数在上的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值还考查了运算求解的能力属于中档题解析：212e +【分析】 根据21()ln 2f x x x =+，求导函数，根据()f x 在[1,]e 上单调性求解. 【详解】 因为函数21()ln 2f x x x =+， 所以1()0f x x x'=+>， 所以()f x 在[1,]e 上单调递增，所以函数()f x 在[1,]e 上的最大值为2()()12e f x f e ==+.故答案为：212e +【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．(或)【分析】令分离常数构造函数利用导数研究的单调性和极值结合与有一个交点求得的取值范围【详解】解：方程可化为令有当时；当或时所以函数的增区间为减区间为可得处取得极小值0处取得极大值画出的图象和直线解析：24a e >(或24(,)e +∞) 【分析】令()0f x = 分离常数2x x a e=，构造函数2()x x g x e =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a = 与()g x 有一个交点，求得a 的取值范围．【详解】解：方程()0f x = 可化为2x x a e=，令2()x x g x e =，有(2)()xx x g x e -'=， 当02x <<时，()0g x '>；当0x <或2x >时，()0g x '<， 所以函数()g x 的增区间为(0,2)，减区间为(,0)-∞，(2,)+∞， 可得0x = 处()g x 取得极小值 0，2x = 处取得极大值24e ， 画出()y g x = 的图象和直线y a =，可得当24a e>时，()y g x = 和y a = 的图象有 1 个交点．故答案为：24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．19．【分析】先对函数求导判定其单调性分别讨论三种情况即可得出结果【详解】因为所以由得；由得；所以函数在上单调递增在上单调递减；画出函数的大致图象如下当时由得或为使满足关于的不等式恰有两个整数解只需即；当解析：1ln 31ln 2,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先对函数()1ln xf x x+=求导，判定其单调性，分别讨论0a >，0a =，0a <三种情况，即可得出结果. 【详解】因为()1ln xf x x+=， 所以()2211ln ln x xf x x x --'==-， 由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >；所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 画出函数()f x 的大致图象如下，当0a >时，由()()20fx af x ->得()f x a >或()0f x <，为使满足关于x 的不等式()()20f x af x ->恰有两个整数解，只需()()23f af a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即1ln 31ln 2,32a ++⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 当0a =时，由()()20fx af x ->得()20f x >，即()0f x >或()0f x <，所以1≥x ，不能满足题意；当0a <时，由()()20f x af x ->得()f x a <-或()0f x >，所以1≥x ，不能满足题意； 综上，1ln 31ln 2,32a ++⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1ln 31ln 2,32a ++⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究不等式能成立的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性即可，属于常考题型.20．ln22）【分析】用表示出得出关于的函数根据的范围判断函数单调性得出值域即可【详解】显然由题意可知故由可得故设则在上单调递减又故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值意在考查学生解析：[ln 2，2） 【分析】用2x 表示出1x ，得出212x x -关于2x 的函数2()g x ，根据2x 的范围，判断函数单调性得出值域即可． 【详解】显然10x ，20x >，由题意可知212x x e +=，故212x x e =-，2212224x x x x e ∴-=-+，由2121x x e +=>可得110x -<，故2120x e -<-，202x ln ∴<， 设()24(02)x g x x e x ln =-+<，则()120x g x e '=-<，()g x ∴在(0，2]ln 上单调递减， 又(0)2g =，(2)2g ln ln =， 2()2ln g x ∴<．故答案为：[2ln ，2)． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）1；（2）2[,]52--e e；【分析】（1）求导然后分类讨论0a <与0a >两种情况，求出最小值即可计算a 的值；（2）参变分离将等式转化为21-=+x e m x ，设2()1=+xe g x x ，然后求导判断单调性，求解最值，即可得m 的取值范围. 【详解】（1）22(1)()x x x axe ae ae x f x x x'--==，当0a <时，函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，此时函数有最大值，与题意不符；当0a >时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()min (1)===f x f ae e ，可得1a =；（2）1()0f x m x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在[]1,2有解，即2(1)0++=x e m x 在[]1,2有解，即21-=+x e m x 在[]1,2有解，设2()1=+xeg x x ，()()2221()01-'=≥+xx e g x x恒成立，所以()g x 在[]1,2上单调递增，2minmax ()(1),()(2)25====e e g x g g x g ，所以225≤-≤e e m ，得252-≤≤-e em ，所以m 的取值范围为2[,]52--e e.【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数()f x 在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ （或()0f x '≤）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．22．（1）()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无递减区；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）得1x >时，()0f x >，即11ln ()2x x x<-，令1,1,2,,k x k n n =+=，代入后得n 个不等式，相加后可得证明题设结论． 【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞由21()ln 2x f x x x -=-，得()ln 1f x x x '=--令1()ln 1()1g x x x g x x'=--⇒=-()0(1,)()0(0,1)g x x g x x ''>⇒∈+∞<⇒∈即()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0f x f '''≥=，于是()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无递减区（2）证明：由（1）可知()f x 在(0,)+∞上单调递增函数，又(1)0f =，∴当1x >时，()0f x >，11ln 2x x x ⎫⎛∴<- ⎪⎝⎭1ln 112k k k n k k a n n n k +-⎫⎫⎛⎛∴=+<+- ⎪ ⎪+⎝⎝⎭⎭1(1,2,)2kk k n n n k ⎫⎛=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭123112122111n n n a a a a n n n n n n ⎫⎛∴+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭1121221n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎫⎛=+ ⎪+⎝⎭(1)(1)12122214n n n n n n n ++⎫⎛⎪ +=+=⎪+⎪⎝⎭于是()*123214n n a a a a n ++++⋅⋅⋅+<∈N 得证． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求单调区间，用导数证明数列不等式．这类问题的解决，通常后一小题需要用到前一小题（或前面所有）的结论，通过变形，赋值等手段进行证明求解．如本题第（1）小题函数单调性得出不等式11ln ()2x x x<-，只要在此不等式中对x 赋值1,1,2,,kx k n n=+=，n 个不等式相加即可． 23．（1）单调递增区间为][4,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）最大值为9，最小值为10027-. 【分析】(1)先求出()'f x ，由()'10f -=求出a 的值，再由()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果. 【详解】(1) 函数()()()242(f x x x a a =--∈ R ),()()()22'2242628f x x x a x x ax ∴=-+-⨯=--.()'10,6280f a -=∴+-=,解得1a =.则()()()232421284,f x x x x x x x =--=--+∈ R .()()()2'6282341f x x x x x =--=-+,令()'0f x =，解得1241,3x x =-=.由()'0f x >得43x >或1x <-，此时函数单调递增， 由()'0f x <得413x -<<，此时函数单调递减， 即函数的单调递增区间为][4,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当22x -≤≤时，函数()f x 与()'f x 的变化如下表：由表格可知：当1x =-时，函数f x 取得极大值，19f -=，当43x =时，函数()f x 取得极小值，4100327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 又()()20,20f f -==，可知函数()f x 的最大值为9，最小值为10027-. 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数在闭区间上的最值，属于难题. 求函数()f x 最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小24．（1）91y x =+；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数在0x =处的导数后可得切线方程.（2）设函数()1ln g x x x =+-，利用导数可证明在1(,)2+∞上有()()1,1f x g x ≥≥，但等号不同时成立，结合余弦函数的性质可证明()()1ln 2cos x x f x x +->在1()2,x ∈+∞恒成立.【详解】（1）解：2()3129f x x x -'=+，则()09f =，故曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为91y x =+．（2）证明：当1(,1)(3,)2x ∈⋃+∞时，()0f x '>，则()f x 在1(,1),(3,)2+∞上单调递增；当()1,3x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()1,3上单调递减． 因为133()(3)128f f =>=， 所以()f x 在1(,)2+∞上的最小值为()31f =． 设函数()1ln g x x x =+-．则1()(0)x g x x x-'=>． 当1(,1)2x ∈时，()0g x '<，则()g x 在1(,1)2上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在(1,)+∞上单调递增．故()()12g x g ≥=．从而()()1ln 2x x f x +-≥，但由于()1f x ≥与()2g x ≥的取等条件不同，所以()()1ln 2x x f x +->．因为2cos 2x ≤，所以()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立．【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立的问题，如果该不等式中含有三角函数，那么可以利用三角函数的有界性把前者转化为与三角函数无关的不等式，这样便于问题的讨论与处理. 25．（1）()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）证明见详解.【分析】（1）先利用导数的几何意义列式()01f '=，求得参数1k =，再通过研究导数的正负来判断函数()f x 的单调性即可；（2）根据e 1x >，先进行不等式放缩()1ln g x x x x <--，再令1l ()n x x F x x --=，利用导数证明2l ()1n 1x x F x x e -=--≤+，即得结果.【详解】解：（1）由ln ()x x k f x e +=，得1l (n )xkx x x x f xe --'=，(0,)x ∈+∞，由于曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行．所以()110k f e-'==，因此1k =． 此时ln 1()xx f x e +=，1ln 1()xx x f x e --'=，(0,)x ∈+∞， 令1()ln 1h x x x=--，(0,)x ∈+∞，则22111()0x h x x x x +'=--=-<， 故1()ln 1h x x x=--在(0,)x ∈+∞上递减，且(1)1ln110h =--=， 故当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0f x '<． 因此()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）因为1l ()n ()x g x xf x x x x e'==--，0x >即e 1x >，所以()1ln g x x x x <--， 令1l ()n x x F x x --=，(0,)x ∈+∞，则2l (n )F x x --'=， 令()0F x '=得2x e -=，当()20,x e -∈时，()0F x '>，函数()F x 单调递增； 当()2,x e -∈+∞时，()0F x '<，函数()F x 单调递减．故()()22max 1F x F e e --=+=，即2l ()1n 1x x F x x e -=--≤+，所以2()1ln 1g x x x x e -<--≤+，即证()21g x e -<+. 【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③根据不等式解集写出单调区间.26．（1）7-；（2）t e ≥-.【分析】（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t ，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，221x e x x t x-+--≤在0x >时恒成立，构造函数()221x e x x h x x-+-=，结合导数及函数的性质可求. 【详解】解：（1）()22t f x x t x '=--+，0x >，由题意可得，()23403f t '=-=，解可得6t =，∴()()()213628x x f x x x x--'=-+=， 所以，当3x >，01x <<时 ，()0f x '>，函数单调递增，当13x <<时，()0f x '<，函数单调递减，故当1x =时，函数取得极大值()17f =-；（2）由()()f x g x ≤得()22ln ln 1xx t x t x e t x -++≤+-在0x >时恒成立可得，221x e x x t x -+--≤在0x >时恒成立，2min21x e x x t x ⎛⎫-+--≤ ⎪⎝⎭ 令()221x e x x h x x-+-=， 则()()()()()()2222222211111x x x x e x x e x x x e x e x x h x x x x -+--+------+'===， 令()1x F x e x =--，所以()'1x F x e =-，令()'0F x =，提0x =， 所以当0x >，()'0F x >，函数单调递增，当0x <时，()'0F x <，函数单调递减， 故当0x =时，函数取得最小值()00F =，又0x >，所以10x e x -->，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 1h x h e ==，可得()min t h x e -≤=，所以t e ≥-.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.。

选修1-1——导数的计算答案和解析【答案】1.2cosx-xsinx2.03.14.f'（x）=-1x −325.2ln2-36.37.28.229.cos2x10.-x1+x11.-1π212.013.1−lnxx14.-315.4316.2e17.318.019.-320.-11621.-222.-223.1x−12224.1225.-2【解析】1. 解：f（x）=xcosx+sinx，求导，f′（x）=cosx+x（-sinx）+cosx=2cosx-xsinx；故答案为：2cosx-xsinx．由导数的运算法则即可求得f（x）的导数．本题考查导数的运算法则，考查函数的导数公式，考查计算能力，属于基础题．2. 解：函数f（x）的图象上各点的瞬时变化率即为f′（x），而f′（x）=1−lnxx．∴函数y=lnxx在点x=e处的瞬时变化率为f′（e）=0．故答案为：0．先求出函数f（x）的导数，再利用导数的意义即瞬时变化率即可求出答案．熟练掌握导数的运算法则和变化的快慢与变化率的意义是解题的关键．3. 解：f（x）=x•lnx，求导f′（x）=lnx+x×1x=lnx+1，∴f'（1）=1，故答案为：1．根据求导法则可知：f′（x）=lnx+x×1x=lnx+1，将x=1时，即可求得f'（1）．本题考查导数的运算，考查导数的运算法则，属于基础题．4. 解：f'（x）=（x −12）'=-12x −32，x∈（0，+∞）．故答案为：f'（x）=-12x −32根据基本导数公式求导即可本题考查了导数的运算法则，属于基础题．5. 解：∵f(x)=lnx+2xx2，∴f′（x）=(1x+2x ln2)x2−(lnx+2x)⋅2xx∴f′（x）=2ln2-3．故答案为：2ln2-3先求导数，再代入计算，即可得出结论．本题考查导数的计算，考查学生的计算能力，比较基础．6. 解：函数f（x）=x3-f′（2）x2+3x-5，可得f′（x）=3x2-2f′（2）x+3，∴f′（2）=3×22-2×2f′（2）+3，则f′（2）=3．故答案为：3．求出导函数，然后求解导函数值即可．本题考查导数的运算法则的应用，考查计算能力．7. 解：∵f（x）=x2+2x，∴f′（x）=2x+2，∴f′（0）=2，故答案为：2．先求导，再代值计算即可．本题考查了导数的运算法则和导数值得求法，属于基础题．8. 解：f（x）=sinx（cosx+1），f′（x）=cosx（cosx+1）+sinx（-sinx）=cos2x-sin2x+cosx=cos2x+cosx，则f′（π4）=cosπ2+cosπ4=22．故答案为：22．利用三角函数的导数运算法则即可得出．本题考查了三角函数的导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 解：∵y=sinx•cosx，∴y′=（sinx）′cosx+sinx（cosx）′=cos2x-sin2x=cos2x故答案为cos2x．利用导数的乘法与除法法则求出它的导数本小题主要考查求函数的导数，导数的乘法与除法法则的应用，属于基础题．10. 解：y′=1+x2（1+x2）′=2（-12（1+x2） −3）（1+x2）′=2（-12（1+x2） −3）（2x）=-x1+x2．故答案为：-x1+x2．利用复合函数的求导法则求导．本题考查了复合函数的求导法则，基本初等函数的导数，属于基础题．11. 解：f′（x）=x2cosx−2xsinxx =xcosx−2sinxx，∴f′（π）=πcosπ−2sinππ=-1π2，故答案为：-1π2．先根据导数的运算法则求导，再代值计算即可．本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．12. 解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x-e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt-t，即f（x）=lnx-x，∴f′（x）=1x-1，故f′（1）=1-1=0．故答案为：0．由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型．13. 解：∵函数f(x)=lnxx，∴f′（x）=1x⋅x−lnxx =1−lnxx，故答案为；1−lnxx根据函数的导数公式直接进行求导即可．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则．14. 解：函数f（x）=ax3+4x2+3x，∴f′（x）=3ax2+8x+3，∴f′（1）=3a+8+3=2，∴a=-3，故答案为：-3．先根据导数的运算法则求导，再代值计算即可．本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．15. 解：∵f（x）=lnx-f′（1）x2+3x-4，∴f′（x）=1x-2f′（1）x+3∴f′（1）=1-2f′（1）+3，解得f′（1）=43，故答案为：43f′（1）是一个常数，对函数f（x）求导，能直接求出f′（1）的值．本题考查了求导法则，解题时应知f′（1）是一个常数，根据求导法则进行计算即可，是基础题．16. 解：由题意可得，f′（x）=e x+xe x∴f′（1）=e+e=2e故答案为：2e先对函数求导，然后把x=1代入导函数中即可求解本题主要考查了函数的导数的求导，解题的关键是利用函数的积的导数的求导法则，属于基础试题17. 解：∵f（x）=（2x+1）e x，∴f′（x）=2e x+（2x+1）e x，∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．故答案为：3．先求导，再带值计算．本题考查了导数的运算法则，属于基础题．18. 解：函数的导数为f′（x）=f′（π2）cosx-sinx，令x=π2，得f′（π2）=f′（π2）cosπ2-sinπ2=-1，则f（x）=-sinx+cosx，则f（π4）=-sinπ4+cosπ4=−22+22=0，故答案为：0．求函数的导数，先求出f′（π2）的值即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，求函数的导数，求出f′（π2）的值是解决本题的关键．19. 解：∵f（x）=x3+2xf′（-1），∴f′（x）=3x2+2f′（-1），令x=-1，则f′（-1）=3+2f′（-1），即f′（-1）=-3，故答案为：-3求函数的导数，即可得到结论．本题主要考查导数元素法则，和函数值的计算，属于基础题．20. 解：y′=-2 x3y′|x=4=-243=−116，故答案为：-116．根据导数的运算法则计算，并代值计算．本题考查了导数的运算和导数值的求法，属于基础题．21. 解：由f（x）=x2+3xf′（2），得：f′（x）=2x+3f′（2），所以，f′（2）=2×2+3f′（2），所以，f′（2）=-2．故答案为：-2．把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．22. 解：求导得：f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=-2．故答案为：-2利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中得到关于f′（1）的方程，求出方程的解即可得到f′（1）的值．本题要求学生掌握求导法则．学生在求f（x）的导函数时注意f′（1）是一个常数，这是本题的易错点．23. 解：由题意得，y′=(x1)′=12x−12，故答案为：12x−12．根据题意和求导公式求出函数的导数即可．本题考查求导公式的应用，属于基础题．24. 解：函数f（x）=lnxx+1，∴f′（x）=(lnx)′(x 2+1)−lnx(x2+1)′(x2+1)2=1x(x2+1)−2xlnx(x+1)=x2+1−2x2lnxx(x2+1)2，∴f′（1）=12，故答案为：12．根据导数的运算法则计算即可．本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．25. 解：求导得：f′（x）=2f′（1）+1x，令x=1，得到f′（1）=2f′（1）+1，解得：f′（1）=-1，∴f（x）=-2x+lnx，则f（1）=-2+ln1=-2．故答案为-2．对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值，确定出函数f（x）的解析式，把x=1代入f（x）解析式，即可求出f（1）的值．此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f'（1）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键，属于基础题．26. 解：函数的f（x）的导数f′（x）=sinx+xcosx，则f′（3π2）=sin3π2+3π2cos3π2=-1，故答案为：-1．求函数的导数，即可得到结论．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．27. 解：函数的f（x）的导数f′（x）=f′（π3）cosx-sinx，令x=π3，则f′（π3）=f′（π3）cosπ3-sinπ3=12f′（π3）-32，即12f′（π3）=-32，则f′（π3）=-3，故答案为：-3求函数的导数，然后代入即可．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．28. 解：由导数的运算法则可知f′（x）=2xcosx-x2sinx，∴f′（π2）=2×π2cosπ2-（π2）2sinπ2=−π24，故答案为：−π24求函数的导数，根据导数的运算法则即可得到结论．本题主要考查导数的基本计算，要求熟练掌握函数的导数公式以及导数的运算法则，比较基础．。

一、选择题1．已知函数()()2ex x f x x =∈R ，若关于方程()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．()24,22,e e ⎛⎫⋃⎪⎝⎭ B ．24,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．24,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．241,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2．已知函数()2()x xf x x e e x-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）A ．0xy >B ．0xy <C ．0x y +>D ．0x y +<3．函数2()2ln 1f x ax x =--有两个不同零点，则a 的取值范围为（ ） A ．(,e)-∞B ．(0,e)C ．(0,1)D ．(,1)-∞4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（ ） A ．(2020)(2021)f ef > B ．(2020)(2021)f ef < C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <5．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r ，高为h 的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π6．已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．27．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l ，底面半径为r ，上部为半径为r 的半球形，按照设计要求容器的体积为283π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r 的值为（ ）A．1B C D ．28．设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，记()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''.若函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，则在区间(,)a b 上有()0f x ''<恒成立.已知2()(2)(1)e x kxf x e e e +=-++在(0,3)上为“凸函数”，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,)e -∞C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞9．对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（ ）A．34f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()2cos113f f π⎛⎫⋅⎪⎝⎭＞ C．()14f f π⎛⎫⋅⎪⎝⎭D．426f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ 10．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()03xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-⋃ B ．(,2)(2,2)-∞--C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(0,2)(2,)⋃+∞11．已知函数()221,02,0k x f x x x k x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k 0<B ．0k >C ．27k <D ．27k >12．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数12,x x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >；（3）对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =；（4）对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-.其中真命题的个数有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题13．已知函数2()ln 3mf x x x x x=+-+．若函数()f x 在[1,2]上单调递减，则实数m 的最小值为________．14．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.15．已知函数()x f x e alnx =-+2在[]1,4上单调递增，则a 的取值范围是__．16．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若361,,S S 成等差数列，则9326S S S -的最大值为________17．已知函数()()()3ln 06x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.18．若存在两个正实数x ，y 使等式()()ln ln 0x m y x y x +--=成立，（其中2.71828e =）则实数m 的取值范围是________．19．已知函数18ln ,y a x x e e ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围为________.20．若函数()()20xf x ae xa =-≠仅有1个零点，则实数a 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()()23x f x m e x =-+，且()03f '=.（1）求()f x 的解析式；（2）设()22g x x ax a =+-，若对任意2x ≥，()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.22．如图一边长为10cm 的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积V （单位：cm 2）是关于截去的小正方形的边长x （单位：cm ）的函数．（1）写出体积V 关于x 的函数表达式()f x ．（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？最大体积是多少？ 23．设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ （1）若方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，求t 的取值范围； （2）证明：当0m n >>时，(1)(1)n mm n +<+.24．已知函数()()22646x x e f x x x -=++.（1）求函数()f x 的单调区间，并求()f x 的最值； （2）已知[)0,1a ∈，()()()2322202x e a x x g x x x-++=>.①证明：()g x 有最小值；②设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 25．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈． （1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 26．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，g (x )＝ln xx，x ∈(0，e ]，其中e 是自然常数，a R ∈. （1）讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f (x )>g (x )＋12； （3）是否存在正实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，将方程()()210f x tf x t -+-=因式分解为()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，则()1f x =或()1f x t =-，从而()1f x t =-有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，数形结合即可得到1t -的取值范围，从而得解； 【详解】解：函数2()x x f x e=的导数为22()xx x f x e -'=， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减， 可得()f x 在0x =处取得极小值0， 在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象如下所示，因为()()210fx tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，所以()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x t =-，当()1f x =时，有1个实数解，所以()1f x t =-应有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点， 所以2401t e <-<，即2411t e<<+ 故选：D 【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力．2．A解析：A 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,所以函数是偶函数.当0x >时，1()()2xx xx f x e xe xe x e-'=-+++， 因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符；如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符； 如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，()()()f x f y f x <<，显然不成立.故选：A 【点睛】方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.3．C解析：C 【分析】先令()0f x =，分离参数得到22ln 1x a x +=，令()22ln 1x g x x +=根据函数有两个不同零点，可得y a =与()22ln 1x g x x +=的图象有两个不同交点，对()g x 求导，判定其单调性，得出最值，画出大致图象，结合图象，即可得出结果. 【详解】因为函数2()2ln 1f x ax x =--有两个不同零点， 所以方程22ln 10ax x --=有两不同实根，即22ln 1x a x +=有两个不同的零点， 令()22ln 1x g x x +=，0x >，则得y a =与()22ln 1x g x x+=的图象有两个不同交点， 因为()()24322ln 124ln x x xx x g x x x ⋅-+⋅-'==，由()0g x '=可得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 所以()()max 11g x g ==， 又由()22ln 10x g x x +=>可得x >()22ln 10x g x x+=<可得0x <<， 画出()22ln 1x g x x +=的大致图象如下：由图像可得，当01a <<时，y a =与()22ln 1x g x x +=的图象有两个不同交点， 即原函数有两个不同零点. 故选：C. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法研究函数零点个数（方程根的个数）求参数问题时，一般需要先分离参数，根据分离后的结果，构造新的函数，利用导数的方法研究函数单调性，确定函数最值，利用数形结合的方法求解.4．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()xg x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立， 所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减， 所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+． （2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()xf x F x e =． 5．B解析：B 【分析】利用体积相等可得出216r h ，再将圆柱表面积表示出来将216h r =代入求导即可得最值. 【详解】由题意可得圆柱和圆锥的体积相等，底面半径为4，高为3的圆锥为2143163ππ⨯⨯⨯=， 底面半径为r ，高为h 的圆柱2r h π， 所以216r h ππ=，可得216r h ，即216h r =圆柱的表面积为：2222163222222S r rh r rr r rππππππ=+=+=+， 322324324r S r r rππππ-'=-=， 令324320r S r ππ-'=>可得2r >，令324320r S rππ-'=<可得02r <<， 所以2r 时，表面积最小为23222242S πππ=⨯+=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用体积相等得出h 和r 的关系，再将圆柱表面积用r 表示利用导数求最值.6．B解析：B 【分析】首先代入函数，变形为1221ln1x kx x x >-，再通过换元设12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，利用参变分离转化为(1)ln k t t <-，设()()1ln g t t t =-(1t >)，转化为求函数()g t 的最小值. 【详解】 设12x x >，因为()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12212lnx kx x x x >-， 等价于1221ln1x k x x x >-，因为120x x >>，令12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，即(1)ln k t t <-.设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <.当1t >时1()ln 10g t t t'=+->恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=. 所以0k ≤，k 的最大值为0. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将条件变形为12212lnx kx x x x >-，并进一步变形为1221ln1x k x x x >-，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.7．C解析：C 【分析】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可. 【详解】解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=， 故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=， 由0l >可知r <. ∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<，则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C . 【点睛】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.8．A解析：A 【分析】首先根据题中所给的函数解析式，对其求导，再求二阶导，根据题中所给的条件，得到则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，构造函数()xe e g x x=，利用导数求得其最小值，得到结果.【详解】因为2()(2)(1)e x kx f x e e e +=-++，所以11(2)'()(2)(1)1e e xx k e x kx f x e e e e e +++=-=-+++， (1)''()1ex e x k e x f x e kx e e +=-=-+，要使2()(2)(1)e x kxf x e e e +=-++在(0,3)上为“凸函数”， 则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，即0e x kx e -<，即xe e k x<在(0,3)上恒成立，令()x e e g x x =，1122()'()x e x e x e e ee x e ex e x x e g x x x --⋅-⋅⋅-==， 所以()g x 在(0,)e 上单调递减，在(,1)e 上单调递增，所以min ()()1ee e g x g e e===，所以k 的取值范围是(,1)-∞，故选：A. 【点睛】思路点睛：该题属于新定义问题，在解题的过程中，注意： （1）细读题文，理解题中所给的信息，明确凸函数的定义；（2）根据定义，对所给的函数求导，再求二阶导，令二阶导小于零在给定区间上恒成立； （3）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到所求的结果.9．D解析：D 【分析】构造函数()()cos g x f x x =，对其求导后利用已知条件得到()g x 的单调性，将选项中的角代入函数()g x 中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项. 【详解】解：构造函数()()cos g x f x x =，则()()()cos sin g x x f x x f x ='⋅⋅'-， ∵()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜，∴()()()cos sin 0g x x f x x f x =⋅-⋅''＞， 即()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为增函数，由43g g ＜ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即cos cos 4433f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即12423f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，故A 正确；()13g g 由＜π⎛⎫⎪⎝⎭，即()1cos1cos 33f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，即()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞，故B 正确；()14g g π⎛⎫⎪⎝⎭由＜，即()cos 1cos144f f ＜ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1cos124f f π⎛⎫⎪⎝⎭＜，故C 正确；由64g g ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即cos cos 6644f fππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即2624f f ＜ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即264f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， 故错误的是D ．故选D ．【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有()f x ，也含有其导数()f x '的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是()()0xf x f x -<'，可构造()()f x g x x=，可得()()()20xf x f x g x x'-='<.10．C解析：C 【分析】通过令3()()g x x f x =可知问题转化为解不等式()0>g x ，利用当0x >时32()3()0x f x x f x '+>及奇函数与偶函数的积函数仍为奇函数可知()g x 在(,0)-∞递减、在(0,)+∞上单调递增，进而可得结论．【详解】解：令3()()g x x f x =，则问题转化为解不等式()0>g x ， 当0x >时，()3()0xf x f x '+>，∴当0x >时，233()()0x f x x f x +'>，∴当0x >时()0g x '>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(2)0f -=，()()f x x R ∈是奇函数，()()()()()()()333g x x f x x f x x f x g x ∴-=--=--== 故()g x 为偶函数，f ∴（2）0=，g （2）0=，且()g x 在(,0)-∞上单调递减， ∴当0x >时，()0>g x 的解集为(2,)+∞，当0x <时，()0(2)g x g >=-的解集为(2,0)-，∴使得f ()0x >成立的x 的取值范围是(2-，0)(2⋃，)+∞，故选C ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．11．D解析：D 【分析】表示出函数()g x ，分0k =，k 0<及0k =讨论，易知当0k =及k 0<时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数()g x 在(0,)+∞上的最小值小于0即可． 【详解】解：依题意，222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩， 当0k =时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故0k ≠；观察解析式，易知函数()g x 为偶函数，则函数()g x 有且仅有四个不同的零点，可转化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点， 当k 0<时，函数()g x 在(0,)+∞上递增，最多一个零点，不合题意；当0k >时，322()()x k g x x -'=，0x >，令()0g x '>，解得13x k >，令()0g x '<，解得130x k <<， 故函数()g x 在13(0,)k 上递减，在13(k ，)+∞上递增， 要使()g x 在(0,)+∞上有且仅有两个不同的零点， 则1233132()()0min k g x g k k k k==+-<，解得27k >．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系以及利用导数研究函数的单调性，最值等，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】运用指数函数的单调性，即可判断（1）；由二次函数的单调性，即可判断（2）； 通过函数2()2x h x x ax =+-，求出导数判断单调性，即可判断（3）； 通过函数2()2x h x x ax =++，求出导数判断单调性，即可判断（4）．解：对于（1），由于21>，由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增，即有0m >，则（1）正确；对于（2），由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2a -∞-递减，在(2a-，)+∞递增，则0n >不恒成立，则（2）错误；对于（3），由m n =，可得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即为1122()()()()g x f x g x f x -=-，考查函数2()2x h x x ax =+-，()222x h x x a ln '=+-， 当a →-∞，()h x '小于0，()h x 单调递减，则（3）错误；对于（4），由m n =-，可得1212()()[()()]f x f x g x g x -=--，考查函数2()2x h x x ax =++，()222x h x x a ln '=++，对于任意的a ，()h x '不恒大于0或小于0，则（4）正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键，属于中档题．二、填空题13．6【分析】求导函数令恒成立变量分离转化为求新函数的最大值【详解】可得令若函数在上单调递减即当时单调增所以函数在上单调递增所以故答案为:6【点睛】关键点睛：变量分离转化为不等式恒成立问题进而求又一函数解析：6 【分析】求导函数()f x '，令()0f x '≤恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】21()23mf x x x x'=+--，()0f x '≤，可得3223m x x x ≥-+， 令()3223g x x x x =-+，若函数()f x 在[1,2]上单调递减，即()max m g x ≥ 当[1,2]x ∈时，()2661g x x x '=-+单调增，()()266110g x x x g ''=-+≥>，所以函数()g x 在[1,2]上单调递增()()max 26g x g ==，所以6m ≥.故答案为:6关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.14．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率，因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内， 不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立， 由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立，设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-， 故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.15．【分析】由函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设利用导数求得的单调性与最小值即可求解【详解】由题意函数则因为函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设则所以当时所以为单调递增函数所以函数 解析：a e ≤【分析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，即()0xaf x e x'=-≥在[]1,4上恒成立，即x a xe ≤在[]1,4上恒成立，设()xg x xe =，利用导数求得()g x 的单调性与最小值，即可求解． 【详解】由题意，函数()2xf x e alnx =-+，则()xa f x e x '=-， 因为函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，即()0xa f x e x'=-≥在[]1,4上恒成立，即x a xe ≤在[]1,4上恒成立，设()xg x xe =，则()(1)x x xe xe e g x x ='=++，所以当[]1,4x ∈时，()(1)0xg x e x '=+≥，所以()g x 为单调递增函数，所以函数()xg x xe =的最小值为()1g e =，所以a e ≤．【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求参数问题，其中解答中把函数的转化为不等式的恒成立问题，利用导数求得新函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【分析】设正项等比数列的公比为由等比数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得由等比数列的性质可得进而可得令结合导数即可得的最大值即可得解【详解】设正项等比数列的公比为因为成等差数列当时不合题意；当时即解析：3-【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得()12311qa q -=-，由等比数列的性质可得932663S S S S q -=，进而可得()393233611q q S S S q --=+，令30t q =>，()()11t tt t f -=+，结合导数即可得()f t 的最大值，即可得解.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，因为361,,S S 成等差数列，当1q =时，362S S =，不合题意； 当1q ≠时，3621S S =+即()()3611112111a q a q qq=----+⋅，化简得()12311qaq -=-，又()33465139698qS S a a a q a a a S =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-，所以()()()()()3932236666612333333611111111q q S S S q q S S S q q q q q a qq q q---=====-+-⋅---， 设30t q =>，()()11t tt t f -=+，则()()()()()()22221212111t t t t t t f t t t -+----+'==++， 令()0f t '=可得110t =<，210t =>， 所以()f t在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减，所以())max1213f t f ⎡⎤===-⎣⎦所以9326S S S -的最大值为3-.故答案为：3-. 【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的综合应用，考查了换元法及利用导数求函数最值的应用，属于中档题.17．【分析】转化条件得设求导后求出函数的最小值令即可得解【详解】由题意得由于时故设则由于所以当时单调递减；当时单调递增于是所以即故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题 解析：(]0,e【分析】转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解. 【详解】由题意得()2ln 2x f x a x '=-.由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.设()()g x f x '=，则()(2x x x a g x xx+-'==.由于0x >，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.于是()()()min min 1ln 022a af xg x ga a '===-=-≥， 所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e . 故答案为：(]0,e 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.18．【分析】由条件转化为换元令由导数确定函数的值域即可求解【详解】设且设那么恒成立所以是单调递减函数当时当时函数单调递增当函数单调递减所以在时取得最大值即解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研 解析：(),0-∞【分析】 由条件转化为11ln y y m x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，换元0yt x=>，令()()1ln g t t t =-，由导数确定函数的值域即可求解. 【详解】()()ln ln x m x y y x =--，()()ln ln 11ln x y y x y y m x x x--⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭ 设0yt x=>且1t ≠， 设()()1ln g t t t =-，那么()()11ln 1ln 1g t t t t t t'=-+-⋅=-+-，()221110t g t t t t+''=--=-<恒成立，所以()g t '是单调递减函数，当1t =时，()10g '=，当()0,1t ∈时，()0g t '>，函数单调递增， 当()1,t ∈+∞，()0g t '<，函数单调递减， 所以()g t 在1t =时，取得最大值，()10g =，即10m<， 解得：0m <，故答案为：(),0-∞ 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了变形运算能力，属于中档题.19．【分析】设代入解析式得到两个方程联立可得让取值域即可【详解】设则所以联立可得即对于有解令由可得：；由可得：所以在单调递减在上单调递增所以所以值域为即可得的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利解析：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】设()00,Q x y 、()00,P x y -代入解析式，得到两个方程联立可得2008ln 2a x x =-+，2000()8ln 2h x x x =-+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，让a 取0()h x 值域即可.【详解】设()00,Q x y 、则()00,P x y -所以2002y x =--，008ln y a x -=+，联立可得2008ln 2a x x =-+ 即2008ln 2a x x =-+对于1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，令2000()8ln 2h x x x =-+，200000288()2x h x x x x -'=-=，由0()0h x '>可得：2x e <<；由0()0h x '<可得：12x e<<， 所以0()h x 在1,2e⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]2,e 上单调递增，20min ()(2)28ln 2268ln 2h x h ==-+=-，2211118ln 210h e e e e ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()228ln 26h e e e e =-+=-，所以0max 21()10h x e=+， 所以0()h x 值域为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 即可得a 的取值范围为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，故答案为：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决存在性问题，涉及求函数的值域，属于中档题.20．(或)【分析】令分离常数构造函数利用导数研究的单调性和极值结合与有一个交点求得的取值范围【详解】解：方程可化为令有当时；当或时所以函数的增区间为减区间为可得处取得极小值0处取得极大值画出的图象和直线解析：24a e >(或24(,)e +∞) 【分析】令()0f x = 分离常数2x x a e=，构造函数2()x x g x e =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a = 与()g x 有一个交点，求得a 的取值范围．【详解】解：方程()0f x = 可化为2x x a e=，令2()x x g x e =，有(2)()xx x g x e -'=， 当02x <<时，()0g x '>；当0x <或2x >时，()0g x '<， 所以函数()g x 的增区间为(0,2)，减区间为(,0)-∞，(2,)+∞， 可得0x = 处()g x 取得极小值 0，2x = 处取得极大值24e ， 画出()y g x = 的图象和直线y a =，可得当24a e >时，()y g x = 和y a = 的图象有 1 个交点．故答案为：24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．三、解答题21．（1）()23x f x e x +=；（2）(3,3e ⎤-∞⎦.【分析】（1）求得()f x '，利用()03f '=求出m 的值，即可得出函数()f x 的解析式； （2）分2x =、2x >两种情况讨论，在2x =时可得出a R ∈；在2x >时，由参变量分离法得出32x e a x ≤-，利用导数求出函数()32x e h x x =-在区间()2,+∞上的最小值，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）()()23x f x m e x =-+，()()32x f x m e x '∴=-+，则()033f m '=-=，解得6m =，因此，()23xf x e x +=；（2）①当2x =时，则()()223xf x e x xg x =+≥=成立，此时a R ∈；②当2x >时，由题意得32xe a x ≤-恒成立，令()32xe h x x =-，其中2x >，得()min a h x ≤，以下只需求()min h x .()()()2332x e x h x x -'=-，当23x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当3x >时，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以()()3min 33h x h e ==，所以33a e ≤.综上所述，实数a 的取值范围是(3,3e ⎤-∞⎦.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.22．（1）()()2102V f x x x ==-⋅，()0,5x ∈；（2）小正方形的边长为53cm 时，作品的体积最大，最大体积是200027cm 3． 【分析】（1）根据长方体的体积公式可得答案； （2）利用导数求()f x 单调区间及极值可得答案. 【详解】（1）由题意可得()()2102V f x x x ==-⋅，()0,5x ∈.（2）()()()()24320254355f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得53x =，5x =，∴53x =时，()f x 的最大值为52000327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，截去的小正方形的边长为53cm 时，作品的体积最大，最大体积是()3200027cm ． 【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 23．（1）11ln 2,022⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，等价于函数()f x 在区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像与直线y t =有两个交点，所以利用导数求出()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减，再比较出(1)f 和12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小即可得答案； （2）由0m n >>，要证(1)(1)n mm n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)m n m n ++<，构造函数ln(1)(),(0)x g x x x +=>，然后利用导数证明()g x 是减函数即可 【详解】解：（1）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，定义域为()1,-+∞，()ln(1)f x x '=-+，()ln(1)00f x x x '=-+=⇒=，当102x -≤<时，()()0,f x f x '>单调递增， 当01x <≤时，()()0,f x f x '<单调递减， 则()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]0,1上单调递减，又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， 135(1)()ln 20,222∴--=-<f f 1(1)2f f ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭∴ 当11ln 2,022⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭t 时，方程()f x t =有两解. （2）∵ 0m n >>.∴ 要证：(1)(1)n m m n +<+，只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+， 只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<. 设ln(1)(),(0)x g x x x+=>， 则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)xx x x x x g x x x x -+-+++=+'=. 由（1）知()(1)ln(1)f x x x x =-++在(0,)+∞单调递减， 又()00=f ，∴ (1)ln(1)0x x x -++<， 即()g x 是减函数，而m n >.∴ ()()g m g n <，故原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，考查数学转化思想，解题的关键是把(1)(1)n mm n +<+，转化为ln(1)ln(1)m n m n++<，再构造函数，再利用导数判断此函数为减函数即可，属于中档题24．（1）单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，最小值为1-，无最大值；（2）①证明见解析；②31627e ⎛⎤⎥⎝⎦，.【分析】（1）对()f x 求导，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<可得单调递减区间，比较极值即可得最值； 【详解】（1）()f x 的定义域为R()()()()()()()2322222446262424646x x xx e x x x e x x e f x xx xx ⎡⎤-++--+⎣⎦==++++'当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞单调递减， 当()0,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞单调递增， 所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，()()min 01f x f ==-，()f x 最小值为()()min 01f x f ==-，无最大值.（2）①()()()()()()()22244242646464626=22462x x x e a x x x x x x x e g a f x a x x x x x x -+++++++⎡⎤-==++⎡⎤⎢⎥⎣⎦++⎣⎦'令()()x f x a ϕ=+，()0,+x ∈∞ ，由（1）知，()x ϕ单调递增，()010a ϕ=-<，()30a ϕ=≥ 所以存在唯一的(]00,3x ∈，使得()00x ϕ=，即()0020026046xx e a x x -+=++当00x x <<时，()0x ϕ<，()g x 单调递减； 当0x x >时，()0x ϕ>，()g x 单调递增 故()()()00200min 032000222246x x e a x x e g x g x x x x -++===++， 所以()g x 有最小值得证②令()020046x e h a x x =++，()00,3x ∈，()()22222204646xxx x e ex x x x '++⎡⎤=>⎢⎥++⎣⎦++，所以()h a 单增， 所以，由()00,3x ∈，得()0033222001= < =6040646343627x e e e e h a x x =≤+⨯++++⨯+因为246xe x x ++单调递增，对任意31627e λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，存在唯一的()00,3x ∈，()[)00,1a f x =-∈，使得()h a λ=，所以()h a 的值域为31627e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，综上：当[)0, 1a ∈，函数()g x 最小值为()h a ，函数()h a 的值域为31627e ⎛⎤⎥⎝⎦，【点睛】利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.25．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导()()1'(0)a x f x x x-=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解. 【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x-=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间． （2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-， 所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>． 【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 26．（1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；最小值1；（2）证明见解析；（3）存在，2a e =. 【分析】(1)根据f (x )＝x －ln x ，求导得11()1x f x x x'-=-=，分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0求解单调性和极值.(2)要证 f (x )>g (x )＋12，即证[f (x )]min －[g (x )]max >12，由(1)知f (x )在(0，e ]上的最小值为1，再利用导数法求得[g (x )]max 即可.(3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3，求导11()ax f x a x x'-=-=，分0<1a <e ，1a ≥e 讨论求解.【详解】(1)因为f (x )＝x －ln x ， 所以11()1x f x x x'-=-=， 所以当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x ≤e 时，f ′(x )>0时，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1. (2)∵f (x )的极小值为1，∴f (x )在(0，e ]上的最小值为1，即[f (x )]min ＝1. 又g ′(x )＝21ln x x -， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增．∴[g(x)]max＝g(e)＝112e<，∴[f(x)]min－[g(x)]max>12，∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋12.(3)假设存在正实数a，使f(x)＝ax－ln x(x∈(0，e])有最小值3，则11 ()axf x ax x'-=-=.①当0<1a<e时，f(x)在(0，1a)上单调递减，在(1a，e]上单调递增，[f(x)]min＝f(1a)＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件；②当1a≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，[f(x)]min＝f(e)＝a e－1＝3，a＝4e(舍去)，所以，此时f(x)无最小值．综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时f(x)有最小值3.【点睛】方法点睛：不等式问题.（1）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．（2）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．。

一、选择题1．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为(),f x '若对任意的0x >的实数，都有：()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为（ ）A ．{}1xx ≠±∣ B ．(-1，1) C ．()(),11,-∞-+∞D ．(-1，0)()0,1⋃2．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞3．已知函数32()22sin 524x f x x x π⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，且()22(34)12f t t f t -+-+<，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(1,4) B ．(,1)(4,)-∞⋃+∞ C ．(4,1)-D ．(,4)(1,)-∞-+∞4．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定5．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞6．函数2()2ln 1f x ax x =--有两个不同零点，则a 的取值范围为（ ） A ．(,e)-∞B ．(0,e)C ．(0,1)D ．(,1)-∞7．已知函数()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R .若函数()f x 有三个零点，则（ ）A ．1a >，0b <B ．01a <<，0b >C ．0a <，0b >D ．01a <<，0b <8．已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有极大值()2f -B ．()f x 有极小值()2f -C ．()f x 有极大值()1fD ．()f x 有极小值()1f10．若曲线()11xmy e x x =+<-+上存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围是（ ） A ．34,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．341,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞12．函数()2xf x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，且212x x ≥，则实数a 的最小值为（ ） A ．ln 22-B ．ln 2-C ．2e-D ．ln 2二、填空题13．若函数()()()()21222xf x a x e ax ax a R ⎡⎤=---+∈⎢⎥⎣⎦在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值范围是___________.14．已知函数,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c 的取值范围是________. 15．已知函数21()ln 2f x x x =+，函数()f x 在[1,]e 上的最大值为__________. 16．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，当0x >时，有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<的解集为________.17．已知函数()()()2ln f x x x x x a a R =+-∈，若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______________.18．若函数2sin y x ax =+在[]0,2π上单调递增，则实数a 的取值范围为______.19．使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立的一个m 值是_____.20．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()32xxf x f x x e'-=，()339f e =，则关于x 的方程()>f x e 的解集为_____________. 三、解答题21．已知函数22()1ln f x x ax a x =++-． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若0a =，且(0,1)x ∈，求证：2()2ln 122x f x x x e x-+-<．22．已知a 为实数，()()()24f x x x a =--.（1）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在(],2-∞-和[)2,+∞上都是递增的，求a 的取值范围. 23．已知函数()xf x e ax a =--.（1）当1a =时，求过点()0,1-且与曲线()y f x =相切的直线方程; （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 24．已知()ln ,(0,],R f x ax x x e a =-∈∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调性和极值; （2）若()3f x ≤有解，求a 的取值范围. 25．已知函数()()331f x x ax a R =--∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的极大值； （2）讨论函数()f x 的单调性. 26．已知函数()ln xx kf x e+=(k 为常数，e =2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1，()1f )处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；（2）设()()'g x xf x =，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，()21g x e -<+.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：C 【点睛】关键点点睛：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．2．B解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围.【详解】∵()2222ln 2x x t f x x -+-'=，∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.3．A解析：A 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，构造()()6g x f x =-为R 上单调递增的奇函数，再转化不等式为()22(34)g t t g t -<-，利用单调性解不等式即得结果. 【详解】解：33()26cos 2sin 62f x x x x x x x π⎛⎫=++-+=+++⎪⎝⎭令3()()62sin g x f x x x x =-=++，则2()32cos 0g x x x '=++>，()()g x g x -=-， 故()g x 在R 上单调递增，且()g x 为奇函数.不等式()22(34)12f t t f t -+-+<，即()226(34)60f t t f t --+-+-<， 即()22(34)0g t t g t -+-+<，则()22(34)g t t g t -<- 故2234t t t -<-，即2540t t -+<，所以14t <<． 故选：A. 【点睛】 方法点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.4．A解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.5．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()0g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x '-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.6．C解析：C 【分析】先令()0f x =，分离参数得到22ln 1x a x +=，令()22ln 1x g x x +=根据函数有两个不同零点，可得y a =与()22ln 1x g x x +=的图象有两个不同交点，对()g x 求导，判定其单调性，得出最值，画出大致图象，结合图象，即可得出结果. 【详解】因为函数2()2ln 1f x ax x =--有两个不同零点， 所以方程22ln 10ax x --=有两不同实根，即22ln 1x a x +=有两个不同的零点， 令()22ln 1x g x x +=，0x >，则得y a =与()22ln 1x g x x +=的图象有两个不同交点， 因为()()24322ln 124ln x x xx x g x x x ⋅-+⋅-'==，由()0g x '=可得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 所以()()max 11g x g ==， 又由()22ln 10x g x x +=>可得x e >；由()22ln 10x g x x+=<可得0x e <<， 画出()22ln 1x g x x +=的大致图象如下：由图像可得，当01a <<时，y a =与()22ln 1x g x x +=的图象有两个不同交点， 即原函数有两个不同零点. 故选：C. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法研究函数零点个数（方程根的个数）求参数问题时，一般需要先分离参数，根据分离后的结果，构造新的函数，利用导数的方法研究函数单调性，确定函数最值，利用数形结合的方法求解.7．B解析：B 【分析】首先求出函数的导函数，要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即可求出参数a 的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到()10f a ->，即可判断b 的范围； 【详解】解：因为()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R 所以()()()()()()()222111111ax a a x a a ax x a f x ax a a xxx+--+---+-'=++--==要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即11x a=，21x a =-，所以1010a a->⎧⎪⎨>⎪⎩解得01a <<，此时111x a =>，211x a =-<，令()0f x '>，解得01x a <<-或1x a >，即函数在()0,1a -和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，解得11a x a -<<或1x a >，即函数在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在1x a =-处取得极大值，在1x a=处取得极小值； 因为当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，要使函数函数()f x 有三个零点，则()10f a ->，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭即()()()()()()2211ln 11112a f a a a a a a ab -=--+-+---+ ()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤=--++>⎢⎥⎣⎦且()()2211111ln 102a f a a a b a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为01a <<，所以011a <-<，20a -<，所以()()2102a a -+<，()ln 10a -<，所以()()()()211ln 102a a a a -+⎡⎤--+<⎢⎥⎣⎦，又()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤--++>⎢⎥⎣⎦，所以0b >故选：B【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．8．B解析：B 【分析】首先代入函数，变形为1221ln1x kx x x >-，再通过换元设12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，利用参变分离转化为(1)ln k t t <-，设()()1ln g t t t =-(1t >)，转化为求函数()g t 的最小值. 【详解】 设12x x >，因为()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12212lnx kx x x x >-， 等价于1221ln1x k x x x >-，因为120x x >>，令12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，即(1)ln k t t <-. 设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <.当1t >时1()ln 10g t t t'=+->恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=. 所以0k ≤，k 的最大值为0.故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将条件变形为12212lnx kx x x x >-，并进一步变形为1221ln1x k x x x >-，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.9．A解析：A 【分析】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求.【详解】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -. 故选：A .【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题. 10．C解析：C【分析】先求出原函数的导函数，令0y '=，得到2(1)x m x e =+，然后将问题转化为2(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解，再构造函数2()(1)(1)x f x x e x =+<-，求出()f x 的取值范围，即可得到m 的取值范围．【详解】 由(1)1x m y e x x =+<-+，得2(1)x m y e x '=-+， 令0y '=，则2(1)x m x e =+， 曲线(1)1x m y e x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， 2(1)x m x e ∴=+在(,1)-∞-上有两个不同的解．令2()(1)x f x x e =+，则22()2(1)(1)(43)x x x f x x e x e x x e '=+++=++．∴当3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，()f x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)--上单调递减， ∴34()(3)max f x f e =-=， 又当3x <-时，()0f x >，(1)0f -=．m ∴的取值范围为34(0,)e． 故选：C ．【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题．11．B解析：B【分析】构造函数()()f x g x x=，易知()g x 在()0,∞+上单调递增，由()f x 是定义在R 上的偶函数可推出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，故()g x 在(),0-∞上也单调递增，且()()220g g =-=.而不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，从而得解.【详解】解：设()()f x g x x =，0x ≠，则()()()'2xf x f x g x x-'=， ∵当0x >时，有()()'xfx f x >恒成立，∴当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()()()f x f x g x g x x x--===---，即()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上也单调递增.又()20f =，∴()()2202f g ==，∴()20g -=. 不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，∴02x <<或2x <-，∴不等式的解集为()(),20,2-∞-.故选：B .【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题． 12．B解析：B【分析】函数()2x f x ae x =+，变形为2x x a e =-，令()2x x g x e=-，利用导数求函数的最值，可得20a e-<<，结合212x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值，再把1x ，2x 代入20x ae x +=，求解1x ，再代入112x ae x =-，即可求得a 的最小值【详解】函数()2x f x ae x =+，变形为2x x a e =-，令()2x x g x e =-，得()()21xx g x e -'=，当(),1x ∈-∞时，0g x，当()1,∈+∞x 时，0g x ，可得1x =时，函数()g x 取得最小值2e-. 又当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()0g x <， 且函数()2xf x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，得20a e -<<. 由212x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值. 由112x ae x =-，222x aex =-，得1214x ae x =-，∴12x e =，解得1ln 2x =. 代入112x ae x =-，解得ln 2a =-.∴a 的最小值为ln 2-.故选：B.【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化的数学思想，考查计算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】先通过有根在上求得参数范围再验证其左右的导数符号以保证取得极大值即得结果【详解】依题意在开区间上函数有最大值即说明在上有极大值故在上有根易见导函数的一个根故有根且在上故即故此时有两个根要使为解析：)【分析】先通过()0f x '=有根在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上求得参数范围，再验证其左右的导数符号，以保证取得极大值，即得结果.【详解】 依题意，在开区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上，函数()f x 有最大值，即说明()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值， 故()()()()()()21210x x f x a x e ax a a x e a '⎡⎤=---+=---=⎣⎦在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有根， 易见，导函数的一个根11,12x ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭，故0x e a -=有根，且在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上，故10,ln ,12a x a ⎛⎫>=∈ ⎪⎝⎭，即ln ln ln a e <e a <<， 此时()()()()210x f x a x e a '=---=有两个根，要使ln x a =为极大值点， 则需(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，()ln ,1x a ∈时，()0f x '<，故20a ->，即2a <.综上，a 的取值范围是(),2e . 故答案为：(),2e . 【点睛】易错点点睛： ()00f x '=是0x x =为极值点的必要条件，利用其求得参数值（或范围）后必须验证()f x '在0x x =左右的符号，也进而能确定0x x =是极大值点还是极小值点，这是这类题的易错点.14．【分析】利用导数判断出函数的单调区间作出函数的图象数形结合即可得解；【详解】解：当时函数单调递增；当时则时且时时故当时在上单调递减在上单调递增在处取极小值极小值为；作出函数的图象如图：函数恰有3个零解析：()2,0e --【分析】利用导数判断出函数()f x 的单调区间，作出函数()f x 的图象，数形结合即可得解；【详解】解：当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(2)0x f x e x '=+=时，2x =-，且2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>，故当0x 时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个零点，由图可知，20e c --<<，故答案为：()2,0e --．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及利用导数判断函数单调性，数形结合思想等，属于中档题． 15．【分析】根据求导函数根据在上单调性求解【详解】因为函数所以所以在上单调递增所以函数在上的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：212e + 【分析】 根据21()ln 2f x x x =+，求导函数，根据()f x 在[1,]e 上单调性求解. 【详解】 因为函数21()ln 2f x x x =+， 所以1()0f x x x'=+>， 所以()f x 在[1,]e 上单调递增，所以函数()f x 在[1,]e 上的最大值为2()()12e f x f e ==+. 故答案为：212e + 【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．【分析】构造函数判断函数的单调性和奇偶性得到解得答案【详解】设函数当时函数单调递增为奇函数故为奇函数故函数在上单调递增即即解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式构造函数判断 解析：(),2019-∞-【分析】构造函数()()2g x x f x =，判断函数的单调性和奇偶性，得到()()20212g x g +<，解得答案.【详解】设函数()()2g x x f x =， 当0x >时，()()()()()23220g x xf x x f x x f x xf x x '''=+=+>>⎡⎤⎣⎦，函数单调递增，()f x 为奇函数，故()g x 为奇函数，故函数()g x 在R 上单调递增，22(2021)(2021)4(2)(2021)(2021)4(2)0x f x f x f x f +++-=++-<， 即()()20212g x g +<，即20212x +<，解得2019x <-.故答案为：(),2019-∞-.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造函数判断单调性和奇偶性是解题的关键.17．【分析】求得导函数后代入不等式则可将不等式化为根据能成立的思想可得利用基本不等式可求得最小值进而得到结果【详解】即为整理得到即使得成立（当且仅当即时取等号）即实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考解析：)+∞ 【分析】 求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为12a x x>+，根据能成立的思想可得min 12a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果. 【详解】()()()2ln 12f x x x a x x a '=++-+-， ()()f x xf x '∴>即为()()()222ln ln 2x x x x a x x x x x a x x a +->++-+-， 整理得到22210x ax -+<，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得221122x a x x x +>=+成立，12x x +≥=12x x =，即2x =时取等号），a ∴>， 即实数a的取值范围为)+∞. 故答案为：)+∞. 【点睛】 本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.18．【分析】求出函数的导数问题转化为即可得到本题答案【详解】由题得因为函数在递增所以在恒成立即又当时所以故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围考查学生的转化能力和运算求解能力 解析：[)2,+∞【分析】求出函数的导数，问题转化为()max 2cos a x ≥-，即可得到本题答案.【详解】由题，得2cos y x a '=+，因为函数在[]0,2π递增，所以2cos 0y x a '=+≥在[]0,2π恒成立，即()max 2cos a x ≥-，又当[]0,2x π∈时，22cos 2x -≤-≤，所以2a ≥，故答案为：[)2,+∞【点睛】本题主要考查根据函数的单调区间确定参数的取值范围，考查学生的转化能力和运算求解能力. 19．；【分析】首先有且根据导函数得到的单调区间及对应的单调性使函数在区间(0m 上单调递减成立即(0m 包含于的单调递减区间即可得到一个m 值【详解】由题意知：且∴当且时即单调递减当时即单调递增故要使在区间( 解析：12； 【分析】 首先有2(1)()xx e f x x-'=且0x ≠，根据导函数得到()f x 的单调区间及对应的单调性，使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立，即(0，m ]包含于()f x 的单调递减区间，即可得到一个m 值【详解】 由题意，知：2(1)()xx e f x x -'=且0x ≠ ∴当0x ≠且1x <时，()0f x '<，即()f x 单调递减当1x >时，()0f x '> ，即()f x 单调递增故，要使()f x 在区间(0，m ]上单调递减，则01m <<即可 ∴12m =符合要求 故答案为：12 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，结合导函数研究函数的单调区间，由命题中函数单调的成立条件确定区间的包含关系，进而求参数范围20．【分析】由所给等式变形可得则令可求得c 从而求出的解析式利用导数研究函数的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为所以即所以因为所以解得则当时函数在上单调递增又所以的解集为故答案为:【点睛】本题考 解析：()1,+∞【分析】由所给等式变形可得()2[]x f x e x '=，则()2x f x e c x =+，令3x =可求得c 从而求出()f x 的解析式，利用导数研究函数()f x 的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】因为()()32x xf x f x x e '-=，所以()()242x x f x xf x e x'-=，即()2[]x f x e x '=， 所以()2x f x e c x =+，因为()339f e =，所以33e e c =+，解得0c ，则()2x f x e x =，()()20x f x x e x =>，当0x >时，()()22220x x x f x x e x e e x x '=⋅+⋅=+>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()1f e =，所以()()1f x e f >=的解集为()1,+∞.故答案为: ()1,+∞【点睛】本题考查导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式，属于中档题.三、解答题21．（1）单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[1,)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后分别令0f x 和0f x ，解不等式可求出函数的单调区间；（2）22()2ln 11ln 12222x x f x x x x x e x e x--+-<⇔+-<，即()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，然后构造函数()(1ln )(01)g x x x x =-<<和()3()221x h x e x x =-++，利用导数分别求出()()11g x g <=，()1h x >，从而可得结论【详解】（1）当1a =时，2()1ln f x x x x =++-，定义域为(0,)+∞， ∴1(1)(21)()12x x f x x x x --+'=+-=， 令0f x ，得01x <<；令0f x ，得1x >，∴()f x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[1,)+∞．（2）当0a =时，()1ln f x x =+，∴22()2ln 11ln 12222x x f x x x x x e x e x--+-<⇔+-<， 即()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，令()(1ln )(01)g x x x x =-<<，∴()ln 0g x x '=->，∴()g x 在0,1上单调递增，∴()()11g x g <=．令()3()221x h x e x x =-++（01x <<），∴()32()2623x h x e x x x '=--++， 令32()2623x x x x ϕ=--++，∴2()6122x x x ϕ'=--+在0,1上递减，又(0)20ϕ'=>，(1)160ϕ'=-<，∴0(0,1)x ∃∈使()00x ϕ'=，且()00,x x ∈时，()0x ϕ'>，()ϕx 递增， ()0,1x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 递减，而(0)30ϕ=>，(1)30ϕ=-<，∴1(0,1)x ∃∈使()10x ϕ=，即()10h x '=，()10,x x ∈时()0h x '>，()h x 单调递增，()1,1x x ∈时()0h x '<，()h x 单调递减， 而(0)1h =，(1)h e =，∴()1h x >恒成立，∴()()g x h x <，即()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<， 即2()2ln 122x f x x x e x-+-<． 【点睛】 关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，第2问解题的关键是把2()2ln 122x f x x x e x-+-<等价转化为()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，然后构造函数()(1ln )(01)g x x x x =-<<，()3()221x h x e x x =-++，分别求出两个函数的最值即可，考查数学转化思想，属于中档题22．（1）最大值为92，最小值为5027-；（2）[]2,2-. 【分析】（1）求出导数，由()10f '-=求出参数值，代入导函数中，求出极值点.比较极值点处函数值与区间端点函数值的大小，得出最值.（2）由导函数为二次函数，且在(],2-∞和[)2,+∞函数值恒大于等于零，结合二次函数图像求解.【详解】解：（1）由原式的()3244f x x ax x a =--+，∴()2324f x x ax '=--； 由()10f '-=，得12a =，此时有()234f x x x '=--； ()10f '-=得43x =或1x =-，故极值点为43x =和1x =- 又450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()912f -=，()20f -=，()20f =， 所以()f x 在[]2,2-上的最大值为92，最小值为5027-. （2）()2324f x x ax '=--的图像为开口向上且过点()0,4-的二次函数，由条件知，()2324f x x ax '=--在(],2-∞-和[)2,+∞上恒大于等于零 故仅须满足()20f '-≥，()20f '≥，∴22a -≤≤.所以a 的取值范围为[]2,2-.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．23．（1）()110e x y ---=；（2）01a ≤≤.【分析】（1）设切点坐标，求出导数及切线方程，把()0,1-代入切线方程可得0x ，然后再求出切线方程；（2）求出导函数，对a 进行讨论并判断函数的单调性，利用函数的最小值可得答案.【详解】（1）当1a =时，点()0,1-不在函数图象上，()1x f x e '=-，设切点为()000, x x e ax a --，则切线方程为()()()0000xy e ax a f x x x '---=-， 因为过点()0,1-，所以0000()111x x e x e x --++=--， 解得01x =，因此所求的直线方程为()110e x y ---=.（2）()xf x e a '=-， 当0a ≤时，()'0f x >，所以在R 上单调递增，其中0a =，()0xf x e =>，符合题意， 当0a <时，取110a x a-=<，()1110x f x e =-<，不符合题意； 当0a >时，()()n 0,,l x a f x '∈-∞<，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()()ln ,,0x a f x '∈+∞>，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，所以()()ln f x f a ≥，要使()0f x ≥，只需()ln 0f a ≥，()ln ln ln 0a f a e a a a =--≥，解得01a <≤；综上所述，01a ≤≤.【点睛】本题考查求函数过一点的切线方程和求参数问题，对于求切线的问题时需要讨论此点是否是切点；对于求参数问题，有时可采用对原函数进行求导讨论其单调性和最值方法求解，也可以采用对参数实行分离的方法，构造新函数并求新函数的值域可得解.24．（1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；极小值为1，无极大值；（2）(2,e ⎤-∞⎦. 【分析】（1）求导得()11'1x f x x x -=-=，进而得函数的单调区间与极值； （2）根据题意3ln x a x x≤+在(]0,x e ∈时有解，设()3ln x g x x x =+，(]0,x e ∈，进而求函数()g x 的最大值即可得取值范围.【详解】解:(1)由题意，函数()ln f x x x =-，则()11'1x f x x x-=-=， 当01x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减;当1x e <≤时()'0f x >，()f x 单调递增.∴()f x 的极小值为()11f =，无极大值.(2)∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈， ∴ln 3ax x -≤在(]0,x e ∈时有解，即3ln x a x x≤+在(]0,x e ∈时有解， 令()3ln x g x x x =+，(]0,x e ∈，则()2231ln 'x g x x x -=-+22ln x x +=-.令()'0g x =，得21x e =，当210x e <<时，()'0g x >，()g x 单调递增; 当21x e e <≤时，()'0g x <，()g x 单调递减. ∴()2222132max g x g e e e e ⎛⎫==-=⎪⎝⎭， ∴实数a 的取值范围是(2,e ⎤-∞⎦. 【点睛】不等式恒成立或能成立，转化为函数的最值与参数的关系，设I 是定义域的子集，通常有：min ,()()x I a g x a g x ∀∈<⇔<，max ,()()x I a g x a g x ∀∈>⇔<，max ,()()x I a g x a g x ∃∈<⇔<，min ,()()x I a g x a g x ∃∈>⇔<.25．（1）极大值为1；（2）答案见解析.【分析】（1）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极大值；（2）求得()233f x x a '=-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调区间.【详解】（1）当1a =时，()331f x x x =--，该函数的定义域为R ，且233f x x ， 令()0f x '>，得1x <-或1x >；令()0f x '<，得11x -<<，()f x ∴在(),1-∞-，()1,+∞上递增，在()1,1-上递减，故()f x 的极大值为()11f -=；（2）()()22333f x x a x a '=-=-. ①当0a ≤时，()0f x '≥在R 上恒成立，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，得x <x >令()0f x '<，得x <所以，函数()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减. 【点睛】 方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间；解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.26．（1）()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）证明见详解.【分析】（1）先利用导数的几何意义列式()01f '=，求得参数1k =，再通过研究导数的正负来判断函数()f x 的单调性即可；（2）根据e 1x >，先进行不等式放缩()1ln g x x x x <--，再令1l ()n x x F x x --=，利用导数证明2l ()1n 1x x F x x e -=--≤+，即得结果.【详解】 解：（1）由ln ()x x k f x e +=，得1l (n )x kx x x x f xe--'=，(0,)x ∈+∞， 由于曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行．所以()110k f e -'==，因此1k =． 此时ln 1()xx f x e +=，1ln 1()xx x f x e --'=，(0,)x ∈+∞， 令1()ln 1h x x x =--，(0,)x ∈+∞，则22111()0x h x x x x +'=--=-<， 故1()ln 1h x x x=--在(0,)x ∈+∞上递减，且(1)1ln110h =--=， 故当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0f x '<． 因此()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）因为1l ()n ()x g x xf x x x x e'==--，0x >即e 1x >，所以()1ln g x x x x <--， 令1l ()n x x F x x --=，(0,)x ∈+∞，则2l (n )F x x --'=， 令()0F x '=得2x e -=，当()20,x e -∈时，()0F x '>，函数()F x 单调递增； 当()2,x e -∈+∞时，()0F x '<，函数()F x 单调递减．故()()22max 1F x F e e --=+=，即2l ()1n 1x x F x x e -=--≤+，所以2()1ln 1g x x x x e -<--≤+，即证()21g x e -<+. 【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③根据不等式解集写出单调区间.。

一、选择题1．已知α，β∈R ，则“0αβ+<”是“sin sin αβαβ+<+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件2．已知关于x 的不等式32ln x ax x -≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(,1]-∞B ．(0,1]C ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(,0]-∞3．已知函数()2()x xf x x e e x-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）A ．0xy >B ．0xy <C ．0x y +>D ．0x y +<4．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．3325．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f << B ．()()()623428f f f << C ．()()()346229f f f << D ．()()()286234f f f <<6．设函数()ln 2e f x x mx n x =--+.若不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，则nm的最大值为（ ） A ．4eB ．2e C ．e D ．2e7．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r ，高为h 的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π8．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，9．已知函数()()30f x ax bx c ac =++<，则函数()y f x =的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．10．已知定义域为R 的函数 f x （） 的导函数为'f x （） ，且满足'24f x f x （）﹣（）＞ ，若 01f =（）﹣ ，则不等式22x f x e +（）＞ 的解集为（ ）A ．∞（0，+）B ．1+∞（﹣，）C ．0∞（﹣，）D ．1（﹣，﹣）∞ 11．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4[2,2+ B ．5[2ln 2,ln 2)4-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4+-D ．(]2ln2,2-12．函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（ ） A ．[1，3]B ．[1，)+∞C ．(1，3]D ．(1,)+∞二、填空题13．已知()f x 满足()()431f f =-=，()f x '为其导函数，且导函数()y f x '=的图象如图所示，则()1f x <的解集是_________.14．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.15．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最大值是__________． 16．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，'()f x 为其导函数，当0x >时，()()0xf x f x +>'，且(2)0f =，则不等式()0f x >的解集为__________．17．若不等式224x x ax b lnx -++对任意的[]1,x e ∈恒成立，则实数b 的最大值为______.18．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若361,,S S 成等差数列，则9326S S S -的最大值为________ 19．已知函数21()ln 2f x x x =+，函数()f x 在[1,]e 上的最大值为__________. 20．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是______.三、解答题21．已知函数32()392f x x x x =-++-.（1）求函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间. 22．已知()()2log 1f x x =+.（1）若()()0121f x f x <--<，求x 的取值范围； （2）若关于x 的方程()40xf x m -+=有解，求实数m 的取值范围.23．已知函数()21x f x ae x =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）函数()()ln g x f x x x =+，当0a >时，讨论()g x 零点的个数.24．“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C （不同于A ，B 两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设BAC θ∠= (弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数()S θ；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：l r α=⋅，其中α为弧所对的圆心角)25．已知函数()()22646x x e f x x x -=++.（1）求函数()f x 的单调区间，并求()f x 的最值； （2）已知[)0,1a ∈，()()()2322202x e a x x g x x x-++=>.①证明：()g x 有最小值；②设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 26．设函数2()cos ,()sin a f x x x g x x=+=. （1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性； （2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()0f x g x -恒成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先构造函数()sin x x x f -=，利用导数判断函数的单调性，再判断选项. 【详解】构造函数()sin x x x f -=，()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()f x ∴是单调递增函数，0αβ+<，即αβ<-，()()f f αβ∴<-，即()()sin sin ααββ-<---，即sin sin αβαβ+<+，反过来，若sin sin αβαβ+<+，即()()sin sin ααββ-<---，αβ∴<-，即0αβ+<.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过条件观察后构造函数()sin x x x f -=，通过判断函数的单调性，比较大小.2．A解析：A 【分析】将不等式32ln x ax x -≥恒成立，转化为不等式2ln x xa x≤-在()0,∞+上恒成立，令()2ln x x xg x =-，用导数法求得其最小值即可. 【详解】因为不等式32ln x ax x -≥恒成立， 所以不等式2ln x xa x ≤- 在()0,∞+上恒成立， 令()2ln x x xg x =-， 则()3312ln x xg x x-+'=， 令()312ln h x x x =-+，则()2230h x x x'=+>， 所以()h x 在()0,∞+上是递增，又()10h =， 所以当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<， 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得最小值()11g =， 所以 1a ≤， 故选：A 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 3．A解析：A 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,所以函数是偶函数.当0x >时，1()()2xx x x f x e xe xe x e-'=-+++，因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符； 如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符； 如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，()()()f x f y f x <<，显然不成立.故选：A 【点睛】方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.4．C解析：C 【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可. 【详解】设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以()22,0,2a V a x x x ⎛⎫=-⋅∈ ⎪⎝⎭，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，令0V '=，得2a x =（舍） 或6a x =，当06ax <<时，0V '>，单调递增；当62a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则23max 2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a ≥，故a 的最小值为3. 故选：C. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．5．B解析：B 【分析】 构造函数()()ln f x g x x=，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】令()()ln f x g x x=，则()()()()2ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>， 所以函数()()ln f x g x x=在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()248ln 22ln 23ln 2f f f <<. 化简得，()()()623428f f f <<， 故选：B.6．D解析：D 【分析】 由题意可得ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，根据它们的图象，结合的导数的几何意义，以及射线的性质，即可得到所求的最大值. 【详解】由不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，即为ln 20e x mx n x --+≤，即ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，由()210eg x x x'=+>， 可得()g x 在()0,∞+上递增，且()0g e =，当0x →时，()g x →-∞；x →+∞，()g x →+∞， 作出()y g x =的图象， 再设()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，可得()h x 表示过,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为2m 的一条射线（不含端点）， 要求nm 的最大值，且满足不等式恒成立，可得2n m的最大值， 由于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴上移动， 只需找到合适的0m >，且()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：此时2n e m =，即nm 的最大值为2e . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将问题转化为()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，注意运用转化思想和数形结合思想，考查了导数的应用，求切线的斜率与单调性，考查了运算能力和推理能力.7．B解析：B 【分析】利用体积相等可得出216r h ，再将圆柱表面积表示出来将216h r =代入求导即可得最值. 【详解】由题意可得圆柱和圆锥的体积相等，底面半径为4，高为3的圆锥为2143163ππ⨯⨯⨯=， 底面半径为r ，高为h 的圆柱2r h π， 所以216r h ππ=，可得216r h ，即216h r=圆柱的表面积为：2222163222222S r rh r rr r rππππππ=+=+=+， 322324324r S r r r ππππ-'=-=， 令324320r S r ππ-'=>可得2r >，令324320r S r ππ-'=<可得02r <<，所以2r 时，表面积最小为23222242S πππ=⨯+=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用体积相等得出h 和r 的关系，再将圆柱表面积用r 表示利用导数求最值.8．C解析：C 【分析】构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x xg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->，所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 9．B解析：B【分析】利用函数()f x 的对称性排除A 选项；然后分0a >和0a <两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合()0f 的符号可得出合适的选项. 【详解】()3f x ax bx c =++，则()3f x ax bx c -=--+，()()2f x f x c ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,c 对称，排除A 选项；()3f x ax bx c =++，则()23f x ax b '=+，当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 又0ac <，()00f c ∴=<，排除D 选项；当0a <，x →+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 又0ac <，()00f c ∴=>，排除C 选项. 故选：B ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.10．A解析：A 【解析】 设()()22xf x F x e+=，则()()()224xf x f x F x e'--'=，∵f (x )−2f ′(x )−4>0，∴F ′(x )>0,即函数F (x )在定义域上单调递增， ∵f (0)=−1,∴F (0)=1，∴不等式f (x )+2>e 2x 等价为不等式()221e xf x +>等价为F (x )>F (0)，解得x >0，故不等式的解集为(0,+∞)， 本题选择A 选项.11．A解析：A 【分析】将问题转化为()()f x g x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】()f x 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，即221ln3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解， 令()2ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x---+'=+-==， ∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x ∴在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，又15ln 224h m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.12．A解析：A 【分析】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解【详解】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】利用导数分析函数的单调性分和两种情况解不等式由此可得出原不等式的解集【详解】由函数的图象可知当时此时函数单调递减；当时此时函数单调递增因为当时由可得；当时由可得综上所述不等式的解集时故答案为 解析：()3,4-【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，分0x ≤和0x >两种情况解不等式()1f x <，由此可得出原不等式的解集. 【详解】由函数()y f x '=的图象可知，当0x <时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减； 当0x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.因为()()431f f =-=，当0x ≤时，由()()13f x f <=-，可得30x -<≤； 当0x >时，由()()14f x f <=，可得04x <<. 综上所述，不等式()1f x <的解集时()3,4-.故答案为：()3,4-. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.14．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率，因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内， 不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立， 由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立， 设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-， 故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.15．【分析】求导后利用导数的正负求得函数的单调区间利用单调性求得函数的最大值【详解】由题意知是周期为的偶函数当时得的减区间为当时的增区间为所以当时取最大值故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最【分析】求导后利用导数的正负求得函数的单调区间，利用单调性求得函数的最大值. 【详解】2()2sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)f x x x x x x x '=-+=-+-=--+由题意知()f x 是周期为2π的偶函数， 当()0f x '≤时，得()f x 的减区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当()0f x '≥时，()f x 的增区间为5132,2()66Z k k k ππππ⎡⎤++⎢⎥∈⎣⎦，所以当2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x ．故答案为：2. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.16．【详解】设则恒成立所以函数在上是增函数又因为是定义在上的偶函数所以上上的奇函数所以函数在上是增函数因为所以即所以化为当时不等式等价于即解得；当时不等式等价于即解得；综上不等式的解集为点睛：本题考查了 解析：(,2)(2,)-∞-+∞【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>恒成立， 所以函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()g x xf x =上R 上的奇函数， 所以函数()g x 在(,0)-∞上是增函数，因为()20f =，所以()20f -=，即()()20,20g g =-=， 所以()0xf x >化为()0g x >，当0x >时，不等式()0f x >等价于()0g x >，即()()2g x g >，解得2x >； 当0x <时，不等式()0f x >等价于()0g x <，即()()2g x g <-，解得2x <-； 综上，不等式()0f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞.点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零时自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.17．2【分析】由对任意的恒成立得对任意的恒成立令利用导数研究函数的单调性在同一坐标平面内作出两个函数的图象求出过且与函数相切的直线在轴上的截距数形结合得答案【详解】解：由对任意的恒成立得对任意的恒成立令解析：2 【分析】由224x x ax b lnx -++对任意的[1x ∈，]e 恒成立，得2224x x ax b lnx x -+-+-对任意的[1x ∈，]e 恒成立，令2()2f x x x =-+-，2()4g x lnx x =-．利用导数研究函数()g x 的单调性，在同一坐标平面内作出两个函数的图象，求出过(1,1)-且与函数2()2f x x x =-+-相切的直线在y 轴上的截距，数形结合得答案．【详解】解：由224x x ax b lnx -++对任意的[1x ∈，]e 恒成立， 得2224x x ax b lnx x -+-+-对任意的[1x ∈，]e 恒成立， 令2()2f x x x =-+-，2()4g x lnx x =-．由2()4g x lnx x =-，得2442()2(1)x g x x x e x x-'=-=． 当(1,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(2,)x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减．在同一平面直角坐标系内，作出函数()y f x =与()y g x =的图象如图：设过(1,1)-与2()2f x x x =-+-相切的直线方程为1(1)y k x +=-，联立2(1)12y k x y x x =--⎧⎨=-+-⎩，消去y 得2(1)10x k x k +-+-=． 由2(1)4(1)0k k ∆=---=，解得3k =-或1k =．当3k =-时，直线方程为32y x =-+．由图可知，满足不等式224x x ax b lnx -++对任意的[1x ∈，]e 恒成立的实数b 的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题．18．【分析】设正项等比数列的公比为由等比数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得由等比数列的性质可得进而可得令结合导数即可得的最大值即可得解【详解】设正项等比数列的公比为因为成等差数列当时不合题意；当时即解析：3-【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得()12311qa q -=-，由等比数列的性质可得932663S S S S q -=，进而可得()393233611q q S S S q--=+，令30t q =>，()()11t tt t f -=+，结合导数即可得()f t 的最大值，即可得解.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >， 因为361,,S S 成等差数列，当1q =时，362S S =，不合题意； 当1q ≠时，3621S S =+即()()3611112111a q a q qq=----+⋅，化简得()12311qaq -=-，又()33465139698qS S a a a q a a a S =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-，所以()()()()()3932236666612333333611111111q q S S S q q S S S q q q q q a qq q q---=====-+-⋅---， 设30t q =>，()()11t tt t f -=+，则()()()()()()22221212111t t t t t t f t t t -+----+'==++， 令()0f t '=可得110t =<，210t =>， 所以()f t在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减，所以())max1213f t f ⎡⎤===-⎣⎦所以9326S S S -的最大值为3-.故答案为：3-. 【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的综合应用，考查了换元法及利用导数求函数最值的应用，属于中档题.19．【分析】根据求导函数根据在上单调性求解【详解】因为函数所以所以在上单调递增所以函数在上的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值还考查了运算求解的能力属于中档题解析：212e +【分析】 根据21()ln 2f x x x =+，求导函数，根据()f x 在[1,]e 上单调性求解. 【详解】 因为函数21()ln 2f x x x =+， 所以1()0f x x x'=+>， 所以()f x 在[1,]e 上单调递增，所以函数()f x 在[1,]e 上的最大值为2()()12e f x f e ==+.故答案为：212e +【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】由解析式可分析得到的一个周期为则只需考虑在上的值域即可利用导函数求得其最值即可【详解】由题的一个周期为故只需考虑在上的值域令解得或可得此时或或所以的最小值只能在点或或和边界点中取到因为所以的解析： 【分析】由解析式可分析得到()f x 的一个周期为2T π=,则只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域即可,利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题,()f x 的一个周期为2T π=, 故只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域,()()()()22sin 2cos 22sin 212sin 22sin 1sin 1f x x x x x x x '=-+=-+-=--+,令()0f x '=,解得1sin 2x =或sin 1x =-, 可得此时6x π=或56π或π, 所以()2cos sin 2f x x x =+的最小值只能在点6x π=或56π或π和边界点0x =中取到,因为62f π⎛⎫=⎪⎝⎭,562f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2f π=-,()02f =,所以()f x 的最小值为故答案为:【点睛】本题考查导数的运算,考查利用导函数求最值,考查运算能力.三、解答题21．（1）1230x y --=；（2）单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调递增区间为()1,3-.【分析】（1）求出导函数()'f x ，然后计算导数得斜率，从而得切线方程；（2）由()0f x '>得增区间，()0f x '<得减区间． 【详解】解：（1）∵32()392f x x x x =-++-，∴2()369f x x x '=-++， ∴()112f '=. 又∵()19f =，∴函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为912(1)y x -=-， 即1230x y --=.（2）由（1），得2()3693(1)(3)f x x x x x '=-++=-+-，令()0f x '=，解得1x =-或3x =； 当()0f x '<时，1x <-或3x >； 当()0f x '>时，13x.∴()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调递增区间为()1,3-. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查求函数的单调区间．解题方法是求出导函数()'f x ，计算0()f x '得切线斜率，由点斜式写出切线方程并整理成一般式．而求单调区间只要解不等式()0f x '>即得增区间，解不等式()0f x '<即得减区间． 22．（1）10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞-. 【分析】（1）利用对数的运算法则化简，求解对数不等式. 注意化简前保证真数大于零.（2）分离参数，利用方程()2log 41xx m +-=-有解，构造函数()()2log 41x g x x =+-，求导，分析函数单调性，求出最值，得到m 的取值范围.【详解】（1）()()212log 22f x x -=-()()()()222lo 2212log 22g 1log 11f x x x x x xf ----+-=<+= 1220110222x x x x ⎧⎪->⎪+>⎨⎪-<+⎩<⎪ 则103x <<故x 的取值范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）()40xf x m -+=则()()2log 4104xxf x m m x =+-++=- ()2log 41xx m +-=- 设()()2log 41xg x x =+-()()'ln 444111441ln 2x x x x g x ⋅-=-=++⋅当(),0x ∈-∞时，'0gx当()0,x ∈+∞时，()'0g x > 且x →-∞时，()g x →+∞()2min log 21g x ==故1m -≥ 则1m ≤-故m 的取值范围为：(],1-∞- 【点睛】利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域. 23．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）讨论0a ≤，0a >两种情况，确定()'f x 的正负，利用导数求()f x 的单调性；（2）设()()g x h x x=，利用导数得出()h x 的单调性，进而得出最小值，讨论最小值大于、小于、等于0的情况结合零点存在性定理确定()h x 的零点个数，即()g x 零点的个数.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()2xf x ae '=-.①当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()0f x '=得2ln x a=. 若2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<； 若2ln,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>； 所以()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减；()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）()ln 21xg x ae x x x =+-+设函数()1()ln 2x g x ae h x x x x x==++-()2221(1)(1)11()xx ae x ae x h x x x x x +--'=+-=因为0a >，所以()0h x '=得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减. 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增. 所以当1x =时，()h x 取最小值，最小值为(1)1h ae =-.若1a e=时，(1)0h =，所以函数()h x 只有1个零点； 若1a e>时，()(1)0h x h ≥>，所以函数()h x 无零点； 若10a e <<时，(1)0h <，()222222240ee h e a e e e---=-+->->，()22221220e e h e a e e=++->，故()2(1)0h h e -<，()2(1)0h h e <；所以函数()h x 在()21,e -和()21,e各有一个零点，所以函数()h x 有两个零点.综上所述，当1a e =时，函数()g x 只有1个零点；当1a e>时，函数()g x 无零点； 当10a e<<时，函数()g x 有两个零点 【点睛】方法点睛：研究含参函数()g x 的零点问题，即方程()0g x =的实根问题，通常选择参变分离,得到()ag x 的形式，后借助数形结合(几何法)思想求解；若无法参变分离，则整体含参讨论函数()g x 的单调性、极值符号，由数形结合可知函数()g x 的图象与x 轴的交点情况即函数()g x 的零点情况.24．（1）()200cos 100,0,2S πθθθθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6πθ=.【分析】（1）在直角三角形ABC 中，求出AC ，在扇形COB 中利用弧长公式求出弧BC 的长度，则可得函数()S θ； （2）利用导数可求得结果. 【详解】（1）如图，连接,BC OC ，在直角三角形ABC 中，100,,AB BAC θ=∠= 所以100cos ,AC θ=由于22,BOC BAC θ∠=∠= 则弧BC 的长为250100,l r αθθ=⋅=⋅=()22100cos 100200cos 100,0,2S AC l πθθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可知()200sin 100S θθ'=-+， 令()0,S θ'= 得1sin 2θ=，因为(0,)2πθ∈所以6πθ=，当0,,()0,()6S S πθθθ'⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增，当,,()0,()62S S ππθθθ'⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单调递减，所以当6πθ=时，使得绿化带总长度()S θ最大.【点睛】关键点点睛：仔细审题，注意题目中的关键词“两侧”和“一侧”是解题关键.25．（1）单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，最小值为1-，无最大值；（2）①证明见解析；②31627e ⎛⎤⎥⎝⎦，.【分析】（1）对()f x 求导，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<可得单调递减区间，比较极值即可得最值； 【详解】（1）()f x 的定义域为R()()()()()()()2322222446262424646x x xx e x x x e x x e f x x x x x ⎡⎤-++--+⎣⎦==++++'当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞单调递减， 当()0,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞单调递增， 所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，()()min 01f x f ==-，()f x 最小值为()()min 01f x f ==-，无最大值.（2）①()()()()()()()22244242646464626=22462x x x e a x x xx x x x e g a f x a x x x x x x -+++++++⎡⎤-==++⎡⎤⎢⎥⎣⎦++⎣⎦'令()()x f x a ϕ=+，()0,+x ∈∞ ，由（1）知，()x ϕ单调递增，()010a ϕ=-<，()30a ϕ=≥ 所以存在唯一的(]00,3x ∈，使得()00x ϕ=，即()0020026046xx e a x x -+=++当00x x <<时，()0x ϕ<，()g x 单调递减； 当0x x >时，()0x ϕ>，()g x 单调递增故()()()00200min 032000222246x x e a x x e g x g x x x x -++===++， 所以()g x 有最小值得证②令()020046x e h a x x =++，()00,3x ∈，()()22222204646xxx x e e x x x x '++⎡⎤=>⎢⎥++⎣⎦++，所以()h a 单增， 所以，由()00,3x ∈，得()0033222001= < =6040646343627x e e e e h a x x =≤+⨯++++⨯+因为246xe x x ++单调递增，对任意31627e λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，存在唯一的()00,3x ∈，()[)00,1a f x =-∈，使得()h a λ=，所以()h a 的值域为31627e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，综上：当[)0, 1a ∈，函数()g x 最小值为()h a ，函数()h a 的值域为31627e ⎛⎤⎥⎝⎦，【点睛】利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.26．（1）()f x 单调递增；（2）24a π.【分析】 （1）求导()'2sin fx x x =-，得出导函数的符号，从而可得函数()f x 单调性.（2）由已知将问题转化为不等式sin ()a x f x ⋅恒成立，令()sin ()k x x f x =⋅，求导''()cos ()sin ()k x x f x x f x =⋅+⋅，分析导函数的符号，得出()k x 单调递增，求得()k x 的最大值，由恒等式的思想可得出a 的取值范围. 【详解】 解：（1）()'2sin fx x x =-，令()2sin h x x x =-，当[0,]x π∈时，'()2cos 0h x x =->，所以当[0,]x π∈时，()2sin h x x x =-单调递增；所以()(0)0h x h =，即()0f x '，所以()f x 单调递增. （2）因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()0f x g x -恒成立， 所以当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin ()a x f x ⋅恒成立， 令()sin ()k x x f x =⋅，所以''()cos ()sin ()k x x f x x f x =⋅+⋅，因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，'cos 0,()0,sin 0,()0x f x x f x >>>>，所以'()0k x >，所以()k x 单调递增，所以2()24k x k ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以24a π≥. 【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题，常常采用：()f x a >对一切x I ∈恒成立，等价于min ()f x a >；()f x α<对一切x I ∈恒成立，等价于max ()f x α<．。